导数判断函数单调性例题.docx

专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一 求无参函数的单调区间万能模板 内 容使用场景 知函数()f x 的解析式判断函数的单调性 解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域； 第二步 求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步 若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二 判定含参数的函数的单调性万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三 由函数单调性求参数取值范围万能模板 内 容使用场景 由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题； 第三步 得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（ ） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（ ）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（ ） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+． （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间； （2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性； （2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性； （2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间； （2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数， （1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（） （1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数． （1）若，证明：在单调递增； （2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数． （1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数． （1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证 有三个零点． 【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围； （2）当时，证明：函数有且仅有3个零点． 【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。

为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为(　)
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。

第10讲 利用导数研究函数单调性5种常见题型总结【考点分析】考点一：利用导数判断函数单调性的方法 ①求函数的定义域（常见的0,ln >x x ）；①求函数的导数，如果是分式尽量通分，能分解因式要分解因式；①令()0='x f ，求出根 ,,,321x x x ，数轴标根，穿针引线，注意x 系数的正负；④判断()x f '的符号，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数． 考点二：已知函数的单调性求参数问题①若()f x 在[]b a ,上单调递增，则()0f x '≥在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）； ①若()f x 在[]b a ,上单调递减，则()0f x '≤在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）．【题型目录】题型一：利用导数求函数的单调区间题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围 题型四：已知含量参函数在区间上不单调求参数范围 题型五：已知含量参函数存在单调区间求参数范围【典型例题】题型一：利用导数求函数的单调区间【例1】（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数()()2e x f x x =+的单调递减区间是（ ）A ．(),3-∞-B ．()0,3C ．()3,0-D ．()3,-+∞【例2】（2022·北京市第三十五中学高二阶段练习）函数ln xy x=的单调递增区间是（ ） A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()e,+∞C ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,e【例3】（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,2)【例4】（2022·黑龙江·铁人中学高三开学考试）函数2()ln 1f x x x =--的单调增区间为_________.【例5】（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数()()ln 1f x x x =+，则（ ） A ．()f x 在()1,-+∞单调递增 B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是偶函数【例6】（2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习）若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3k ≤-或11k -≤≤或3k ≥ B ．31k -<<-或13k << C ．22k -<<D ．不存在这样的实数【例7】（2022·全国·高二课时练习多选题）设函数()e ln x f x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的定义域是()0,∞+B ．当()0,1x ∈时，()f x 的图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有两个单调区间【例8】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．()0,∞- B ．(1,+∞)C ．()1,∞-D ．(0,+∞)【例9】 （2022·全国·高二专题练习）已知函数()1xlnx f x e +=，（其中e ＝2.71828…是自然对数的底数）．求()x f 的单调区间.【例10】【2020年新课标2卷理科】已知函数()x x x f 2sin sin 2=.（1）讨论()x f 在区间()π,0的单调性；【例11】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数()ln f x x x x =-. (1)求()f x 的单调区间；【例12】（2022·陕西渭南·高二期末（文））函数()()2e x f x x ax b =++，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为：450x y ++=. (1)求,a b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间.【例13】【2020年新课标1卷理科】已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当1=a 时，讨论()x f 的单调性；【例14】【2019年新课标2卷理科】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论()x f 的单调性，并证明()x f 有且仅有两个零点；【题型专练】1．（2022湖南新邵县教研室高二期末（文））函数()4ln f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．()0,∞+ B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）函数()()3e x f x x =-，则()f x 的单调增区间是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),3-∞D ．()3,+∞3．（2022·四川绵阳·高二期末（文））函数()2ln 2x x x f -=的单调递增区间为（ ）A ．()1,-∞-B ．()+∞,1C ．()1,1-D ．()1,04．（2022·广西桂林·高二期末（文））函数()3213f x x x =-的单调递减区间为（ ）A ．()02，B ．()()02∞∞-+，，，C ．()2+∞，D ．()0-∞，5．（2022·重庆长寿·高二期末）函数()65ln f x x x x=--的单调递减区间为（ ）A ．（0，2）B ．（2，3）C ．（1，3）D ．（3，+∞）6．（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 3f x x x =-的单调减区间为__________．7．（2022·全国·高二专题练习）函数2()2x x f x =的单调递增区间为__________.8.（2022·全国·高二专题练习）函数cos y x x =+的单调增区间为_________.9.（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的单调区间(1)()211x f x x +=-；(2)()21ln 2f x x x =-； (3)()3223361f x x x x =+-+；(4)()sin ,0f x x x x π=-<<；(5)()()22e xf x x x -=+；(6)()sin 2cos xf x x=+．10．（2022·全国·高二单元测试）已知函数()()321313x x x f x =-++，求()f x 的单调区间．11.函数()x e x x f -=2的递增区间是（ ） A ．()0,2B ．(),0∞-C ．(),0∞-，()2,+∞D ．()(),02,-∞+∞12.【2022年新高考2卷】已知函数f(x)=x e ax −e x ． (1)当a =1时，讨论f(x)的单调性；13.（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1m m -+上不单调，则实数m 的取值范围是（ ）A ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.（2020·河北省石家庄二中高二月考）函数1()ln f x x x=的单调递减区间为____________. 15.（2022·全国·高三专题练习（文））函数(2)e ,0()2,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的单调递减区间为__________．题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【例1】（2022·河南·高三阶段练习（文））如图为函数()f x （其定义域为[],m m -）的图象，若()f x 的导函数为()f x '，则()y f x '=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【例2】（2022·四川·遂宁中学外国语实验学校高三开学考试（理））设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，其图象如图所示.记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0xf x '≤的解集为（ ）A ．[][)31,0,12,323⎛⎤--⋃⋃ ⎥⎝⎦B ．[]18,01,2,333⎡⎤⎡⎫-⋃⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31148,,,323233⎛⎫⎡⎤⎡⎫--⋃⋃ ⎪⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎣⎦⎣⎭【例4】（2022·全国·高二单元测试）已知函数()f x 的导函数()'f x 图像如图所示，则()f x 的图像是图四个图像中的（ ）．A ．B ．C ．D ．【例5】（2022·广东潮州·高二期末多选题）已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则下列结论正确的为（ ）A ．曲线m 是()f x 的图象，曲线n 是()f x '的图象B ．曲线m 是()f x '的图象，曲线n 是()f x 的图象C ．不等式组()()02f x f x x >⎧⎨<<'⎩的解集为()0,1D ．不等式组()()02f x f x x >⎧⎨<<'⎩的解集为41,3⎛⎫⎪⎝⎭【题型专练】1．（2022·江苏常州·高三阶段练习）如图是()y f x '=的图像，则函数()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．()2,1-B ．()()2,0,2,-+∞C ．(),1-∞-D ．()(),1,1,-∞-+∞2．（2022·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，且()f x '是()f x 的导函数，则（ ）A ．()()()()12012f f f f ''''-=-<<<B ．()()()()21012f f f f ''''<<<-=-C ．()()()()02112f f f f ''''>>>-=-D ．()()()()21021f f f f ''''<<<-<-3．（2022·福建莆田·高二期末）定义在()1,3-上的函数()y f x =，其导函数()y f x '=图像如图所示，则()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．()1,0-B ．()1,1-C ．()0,2D ．()2,34．（2022·广东广州·高二期末）已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，函数()y f x ='的图象如图所示，则函数()y f x =图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022·北京·牛栏山一中高二阶段练习）设()f x '是函数()f x 的导函数，在同一个直角坐标系中，()y f x =和()y f x '=的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2022·福建宁德·高二期末多选题）设()f x 是定义域为R 的偶函数，其导函数为()f x '，若0x ≥时，()f x 图像如图所示，则可以使()()0f x f x '⋅<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,3题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ax x x x f ++=2ln 的单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．(],3a ∈-∞-B ．3a =-C ．3a =D ．(],3a ∈-∞【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．[]1,1- C ．[]1,3 D ．[]1,3-【例3】（2022·浙江·高二开学考试）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a >D ．1a ≥-【例4】（2022·全国·高二课时练习）若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．(],3-∞C ．23,e 1⎡⎤+⎣⎦ D ．(2,e 1⎤-∞+⎦【例5】（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高二阶段练习）已知函数()321f x x x ax =+-+在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数1()sin 2cos 2f x x a x =+在区间(0,)π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞-B ．[1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．[1,)+∞【例7】（2022·山东临沂·高二期末）若对任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有121212ln ln 3x x x x x x ->-，则m 的最小值是________.【例8】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()0ln 232>+-=a x x axx f ，若函数()x f 在[]2,1上为单调函数，则实数a 的取值范围是________.【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）若函数2()ln 5f x x ax x =+-在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,3]-∞ B ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．253,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．25,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-4.（2022·全国·高三专题练习）若函数()d cx bx x x f +++=23的单调递减区间为()3,1-，则=+c b （ ）A ．－12B ．－10C ．8D ．105.（2022·全国·高三专题练习）若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是_______. 6.函数321()3f x ax x a =-+在[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．1a ≥C ．2a >D ．2a ≥7.对于任意1x ，2[1,)x ∈+∞，当21x x >时，恒有2211ln 2()x a x x x <-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞C ．(,2]-∞D ．(,3]-∞8.若函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数，则t 的取值范围是（ ） A ．[1,2] B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞题型四：已知含量参函数在区间上不单调，求参数范围【例1】（2022·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习（文））已知函数()3212132a g x x x x =-++．若()g x 在()2,1--内不单调，则实数a 的取值范围是______．【例2】（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数()()41xf x ax x e =+-在区间[]1,3上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2,416e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．32,3616e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【题型专练】 1.函数()()2244xf x e xx =--在区间()1,1k k -+上不单调，实数k 的范围是 .2.（2022·全国·高三专题练习）若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.题型五：已知含量参函数存在单调区间，求参数范围【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数()21()ln 12g x x x b x =+--存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．()3,+∞ C ．(),3-∞D ．(],3-∞【例2】（2022·全国·高三专题练习）若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．【例3】（2022·河北·高三阶段练习）若函数()2()e xf x x mx =+在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在单调递减区间，则m 的取值范围是_________．【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知()2ln ag x x x x=+-. (1)若函数()g x 在区间[]1,2内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若()g x 在区间[]1,2上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习（文））若函数()()0221ln 2≠--=a x ax x x h 在[]4,1上存在单调递减区间”，则实数a 的取值范围为________.2.若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为 .3.故函已知函数32()3()f x ax x x x =+-∈R 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3,-+∞ B ．()()3,00,-+∞C ．()(),00,3-∞D ．[)3,-+∞4.已知函数()()R a x ax x x f ∈+++=123在⎪⎭⎫⎝⎛--31,32内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,√3] B ．(−∞,√3]C ．(√3,+∞)D ．(√3,3)。

专题02 利用导数求函数单调区间与单调性专项突破一 利用导数判断或证明函数单调性一、多选题1．若函数f （x ）的导函数在定义域内单调递增，则f （x ）的解析式可以是（ ）A ．()2sin f x x x =+B ．()2f x x =C ．()1cos f x x =+D ．()2ln f x x x =+【解析】A ：由()()2sin 2cos f x x x f x x x '=+⇒=-，令()()2cos g x f x x x '==-，因为()2sin 0g x x '=+>，所以函数()f x '是实数集上的增函数，符合题意；B ：由()()22f x x f x x '=⇒=，因为一次函数()2f x x '=是实数集上的增函数，所以符合题意；C ：由()()1cos sin f x x f x x '=+⇒=-，因为函数()sin f x x '=-是周期函数，所以函数()sin f x x '=-不是实数集上的增函数，因此不符合题意；D ：由()()21ln 2f x x x f x x x '=+⇒=+，令()()12g x f x x x'==+，则()2221212x g x x x -'=-=，当2x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，因此不符合题意， 故选：AB 二、解答题2．已知函数()()21e xf x x x a -=++-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 至少有两个零点，求a 的取值范围．【解析】(1)由2()(21)e (1)e (1)e x x x f x x x x x x ---'=+-++=-， 在(,0)-∞，(1,)+∞上()0f x '<，在(0,1)上()0f x '>， 所以()f x 在(,0)-∞上递减，(0,1)上递增，(1,)+∞上递减.(2)由（1）知：()f x 极小值为(0)1f a =-，极大值为3(1)ef a =-，要使()f x 至少有两个零点，则1030ea a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩，可得31e a ≤≤.3．设函数()323f x x ax b =-+.(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处与直线8y =相切，求a ，b 的值； (2)讨论函数()y f x =的单调性.【解析】(1)由题意知，2()36f x x ax '=-，又(2)8(2)0f f '==，即322232832620a b a ⎧-⨯+=⎨⨯-⨯=⎩，解得112a b ==，； (2)已知2()36f x x ax '=-，令()0f x '=，知1202x x a ==， 当0a =时，2()30f x x '=≥，此时函数()f x 在R 单调递增当0a >时，令()00f x x '>⇒<或2x a >，令()002f x x a '<⇒<<， 所以函数()f x 在(0)(2)a ∞∞-+，、，上单调递增，在(02)a ，上单调递减， 当0a <时，令()02f x x a '>⇒<或0x >，令()020f x a x '<⇒<<， 所以函数()f x 在(2)(0)a ∞∞-+，、，上单调递增，在(20)a ，上单调递减. 4．已知函数()1()x f x e axlnx a R =--∈，2()x g x xe x =-．当1a =时，求证：()f x 在(0,)+∞上单调递增. 【解析】证明：当1a =时，()ln 1x f x e x x =--，(0,)x ∈+∞，则()1x f x e lnx '=--，又1()x f x e x ''=-在(0,)+∞上单调递增，且1()202f ''<，且f ''（1）10e =->，01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得0001()0xf x e x ''=-=，当0(0,)x x ∈时，()0f x ''<，当0(x x ∈,)+∞时，()0f x ''>，()f x ∴'在0(0,)x 上单调递减，在0(x ,)+∞上单调递增，000()()1x f x f x e lnx ∴'≥'=--，0010x e x -=，∴001x e x =，00ln x x =-，001()10f x x x ∴'=+->，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增.5．已知函数()()()()211422ln f x x x a a x =-+-+-，讨论()f x 的单调性；【解析】因为2()(1)(14)(22)ln f x x x a a x =-+-+-，所以[][]2'2(1)(1)22()24(0)x a x a a f x x a x x x---+-=-+=>， 当1a ≤-时，110a a -<+≤，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增．当11a -<≤时，10a -≤，10a +>，若(1,1)x a a ∈-+，则'()0f x <，()f x 单调递减，若(0,1)x a ∈-，则'()0f x >，()f x 单调递增．当1a >时，110a a +>->，若(1,1)x a a ∈-+，则'()0f x <，()f x 单调递减，若 (0,1)x a ∈-或(1,)x a ∈++∞，则'()0f x >，()f x 单调递增．综上可得，当1a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当11a -<≤时()f x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(1,1)a a -+上单调递减，在(0,1)a -，(1,)a ++∞上单调递增． 6．已知a ∈R ，设函数()()ln ln f x a x a x =++. (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)若()2ln xf x a x a≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)()()()11a x a a f x x a x x x a ++'=+=++，0x >且x a >-， ①0a ≥，()0f x '>，()f x 单调递增；②1a ≤-，()0f x '<，()f x 单调递减； ③10a -<<，01aa a ->->+， ,1a x a a ⎛⎫∈-- ⎪+⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，,1a x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪+⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； 综上，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a ≤-时，()f x 在(,)a -+∞单调递减； 当10a -<<时，()f x 在,1a a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭单调递减，在,1a a ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭单调递增 (2)()()2ln ln lnxf x a x a x a x a=++≤+， 即()2ln ln 0a x a a x a +-+≤，令()()2ln ln h x a x a a x a =+-+， 则()232a a x a a h x a x a x a -+-'=-=++，令()0h x '=，可得21a x a-=， 当1a ≥时，()0h x '≤，则()h x 在()0,∞+单调递减，则只需满足()0ln ln 0h a a a =+≤，∴ln 0≤a ，解得01a <≤，∴1a =；当01a <<时，可得()h x 在210,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在21,a a ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭单调递减，则()()22max11ln 1ln 0a h x h a a a a a a ⎛⎫-==--+≤ ⎪⎝⎭，整理可得2ln 0a a a --≤，令()2ln a a a a ϕ=--，则()()()121121a a a a a aϕ-+-'=--=， ()1002a a ϕ'>⇒<<，()1012a a ϕ'<⇒>>，则可得()a ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则()max 13ln 2024a ϕϕ⎛⎫==--< ⎪⎝⎭，故01a <<时，()0h x ≤恒成立，综上，01a <≤；7．已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R .(1)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(2)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【解析】（1）由题意2()f x x ax '=-，所以，当2a =时，(3)0f =，2()2f x x x =-'， 所以(3)3f '=，因此，曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程是3(3)y x =-， 即390x y --=.（2）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+---()()sin x x a x a x =---()(sin )x a x x =--， 令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增，因为(0)0h =， 所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <. （1）当0a <时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增.所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--，当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-. （2）当0a =时，()(sin )g x x x x '=-， 当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值. （3）当0a >时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(0,)x a ∈时，0x a -<，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(,)x a ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增. 所以当0x =时()g x 取到极大值，极大值是(0)g a =-； 当x a =时()g x 取到极小值，极小值是31()sin 6g a a a =--.综上所述：当0a <时，函数()g x 在(,)a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是31()sin 6g a a a =--，极小值是(0)g a =-；当0a =时，函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6g a a a =--.专项突破二 利用导数求函数单调区间(不含参)一、单选题1．函数()1e 2xf x x =-的单调减区间是（ ）A ．(2),ln -∞B ．(ln2,)+∞C ．(–),2∞D ．(2,)+∞【解析】1()1e 2xf x '=-,由()0f x '<，得ln 2x >，所以()f x 的单调递减区间为(ln2,)+∞.故选：B2．函数()()2ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．112⎛⎫⎪⎝⎭， D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由题得函数的定义域为(0,)+∞.()121222x f x x x-'=-⨯=， 令1()0,02f x x '<∴<<.所以函数的单调递减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A 3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()2ln 1f x x f x '=+，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【解析】由()()2ln 1f x x f x '=+得1()2(1)f x f x x''=+，所以(1)12(1)f f ''=+，(1)1f '=-， 2112()2x f x x x x -'=-=，因为0x >，所以由212()0x f x x -'=>得0x <<C ． 4．已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．(-∞,0)B ．(1,+∞)C ．(-∞,1)D ．(0,+∞)【解析】由题设()()()22e 0x f x f f x -''=-+，则()()()2202f f f ''=-+，可得()02f =，而()()2022e f f -'==，则()2e 22f '=，所以()212e 22xf x x x =-+，即()2e 2x f x x '=-+，则()00f '=且fx 递增，当0x <时0f x，即()f x 递减，故()f x 递减区间为(-∞,0).故选：A二、多选题 5．函数()1ln f x x x=的一个单调递减区间是（ ） A ．（e ，+∞）B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，1e ）D ．（1e，1）【解析】()f x 的定义域为()()0,11,+∞，()()()'2210ln 1ln ln ln x x x x f x x x x x ⎛⎫-+⨯ ⎪+⎝⎭==-， 所以()f x 在区间()1,1,1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()'0f x <，()f x 递减，所以AD 选项符合题意.故选：AD三、填空题6．函数()2ln f x x x x =+-的单调递增区间是______．【解析】()2ln f x x x x=+-的定义域为()0,∞+，()()()2222211221x x x x f x x x x x -+--='=--=，令()0f x '>，解得：2x >或1x <-， 因为定义域为()0,∞+，所以单调递增区间为()2,+∞.7．函数()2cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的增区间为___________.【解析】由已知得()12sin f x x =-'，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，即12sin 0x ->，解得π06x <<，令()0f x '<，即12sin 0x -<，解得ππ62x <<， 则()f x 的单调递增区间为π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为:π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭.四、解答题8．已知函数2()ln 3f x x x x=++． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．【解析】(1),()0x ∈+∞，22221232(32)(1)()3x x x x f x x x x x +--+=-+=='， 解()0f x '<得20,3x <<解()0f x '>得2,3x >所以()f x 的单调减区间是20,,()3f x ⎛⎤ ⎥⎝⎦的单调增区间是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．(2)由（1）知(1)2f '=，而(1)5f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为52(1)y x -=-，即23y x =+．专项突破三 利用导数求函数单调区间(含参)1．设函数()e 2xf x ax =--，求()f x 的单调区间．【解析】()f x 的定义域为(),-∞+∞，()e xf x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增．若0a >，则当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增． 2．已知函数()()21ln 12f x a x x a x =+-+. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥ 0对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)求导可得()(1)()(0)>'--=x a x f x x x①0a ≤时，令()0f x '<可得1x <，由于0x >知01x <<；令()0f x '>，得1x > ∴函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；②01a <<时，令()0f x '<可得1<<a x ；令()0f x '>，得1x >或x a <，由于0x >知0x a <<或1x >；∴函数()f x 在(,1)a 上单调递减，在(0,),(1,)+∞a 上单调递增； ③1a =时，()0f x '≥，函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增；④1a >时，令()0f x '<可得1x a <<；令()0f x '>，得x a >或1x <，由于0x >知01x <<或x a > ∴函数()f x 在(1,)a 上单调递减，在(0,1),(,)+∞a 上单调递增； (2)由（1）0a ≥时，1(1)02f a =--<，（不符合，舍去）当0a <时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故函数在1x =处取得最小值，所以函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立时，只需要(1)0f ≥即可 ，∴12a ≤-.综上，12a ≤-.3．设函数()()32211,3f x x x m x =-++-其中0m >．（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率； （2）求函数()f x 的单调区间．【解析】（1）由题设，()3213f x x x =-+，则()22f x x x '=-，∴()11f '=，故点()()1,1f 处的切线斜率为1.（2）由题设，()()2221f x x x m '=-++-，又2244(1)40m m ∆=+-=>，∴()(1)(1)f x x m x m '=-+++-，且11m m -<+， 当0f x 时，11m x m -<<+，()f x 单调递增； 当0fx时，1x m <-或1x m >+，()f x 单调递减；∴()f x 在(1,1)m m -+上递增，在(,1)m -∞-、(1,)m ++∞上递减.4．已知函数()()22x xf x ae a e x =+--，讨论()f x 的单调性．【解析】()f x 的定义域为R ，()()()22211(21)x x x xf x ae a e ae e '=+--=-+，若0a ≤，则()0f x '<恒成立，故()f x 在(),-∞+∞上为减函数； 若0a >，则当ln x a <-时，()0f x '<，当ln x a >-时，()0f x '>， 故()f x 在()ln ,a -+∞上为增函数，在(),ln a -∞-上为减函数，综上，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上为减函数；当0a >时，()f x 在()ln ,a -+∞上为增函数，在(),ln a -∞-上为减函数． 5．已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的值．【解析】(1)()()21a f x x a x ax a x x'=--=--，令()0f x '=，得20x ax a --=．因为0a >，则240a a ∆=+>，即原方程有两根设为12,x x 0x >，所以10x =<（舍去），2x =则当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '> ()f x在⎛ ⎝⎭上是减函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是增函数．(2)由（1）可知()()2min f x f x =．①若()20f x =，则()()220,0,f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即222222210,20,x alnx ax x ax a ⎧--=⎪⎨⎪--=⎩，可得2212ln 0x x --=，设()12ln h x x x =--，()h x 在()0,∞+上单调递减所以()0h x =至多有一解且()10h =，则21x =，代入解得12a =． ②若()20f x <，则()()220,0,f x f x ⎧<⎪⎨='⎪⎩，即222222210,20,x alnx ax x ax a ⎧--<⎪⎨⎪--=⎩，可得2212ln 0x x --<，结合①可得21>x ，因为211ex <<，21111ln e 2ee ef a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2102e e a a =+->，所以()y f x =在21,ex ⎛⎫⎪⎝⎭存在一个零点．当4x a >时，()2ln f x ax a x ax >--()ln 0a x x =->，所以()y f x =在()2,x +∞存在一个零点．因此()y f x =存在两个零点，不合题意 综上所述：12a =．6．已知函数()()e 1xf x m x =++()m ∈R .(1)当1m =时，求()f x 在()()22f ,处的切线方程； (2)讨论()f x 的单调性.【解析】(1)当1m =时，()e 2x f x x =+，()22e 4f =+，()e 2x f x '=+，()22e 2f '=+，故()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()22e 4e 22y x -+=+-，即()22e 2e 0x y +--=；(2)()e 1xx m f =++'，当10m +≥，即1m ≥-时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增； 当10+<m ，即1m <-时，由()0f x '>，得()ln 1x m >--，由()0f x '<，得()ln 1x m <--， ∴()f x 在()()ln ,1m -∞--上单调递减，在()(),ln 1m --+∞上单调递增． 综上所述，当1m ≥-时，()f x 在R 上单调递增；当1m <-时，()f x 在()()ln ,1m -∞--上单调递减，在()(),ln 1m --+∞上单调递增． 7．设函数2()(2)ln ()f x x a x a x a R =+--∈. (1)若1a =，求()f x 的极值； (2)讨论函数()f x 的单调性.【解析】(1)当1a =时，2()ln f x x x x =--(0)x >， 所以2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==， 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增，当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减， 所以当1x =时，该函数有极小值(1)0f =，无极大值. (2)由2()(2)ln (0)f x x a x a x x =+-->，22(2)(2)(1)()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x+--+-'⇒=+--==，当0a ≥时，当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增，当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当0a <时，1()02af x x '=⇒=-，或21x =，当2a =-时，22(1)()0x f x x-'=≥，函数在0x >时，单调递增， 当2a <-时，12a ->， 当01x <<时，()0,()f x f x '>单调递增，当12a x <<-时，()0,()f x f x '<单调递减， 当2a x >-时，()0,()f x f x '>单调递增， 当20a -<<时，12a -<， 当02a x <<-时，()0,()f x f x '>单调递增， 当12a x -<<时，()0,()f x f x '<单调递减， 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增，综上所述：当0a ≥时， ()f x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减；当2a =-时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2a <-时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)2a -单调递减，在(,)2a -+∞上单调递增； 当20a -<<时，()f x 在(0,)2a -单调递增，在(,1)2a -单调递减，在(1,)+∞上单调递增 8．已知函数()2()ln(1)2f x x a x x =++++(其中常数0a >)，讨论()f x 的单调性； 【解析】21231()(21)11ax ax a f x a x x x +++=++=++， 记2()231g x ax ax a =+++，28a a ∆=-，①当0∆≤，即08a <≤时，()0g x ≥，故'()0f x ≥，所以()f x 在(1,)-+∞单调递增．②当0∆>，即当8a >时，()0g x =有两个实根1x ，2x 注意到(0)10g a =+>， (1)610g a =+>且对称轴3(1,0)4x =-∈-，故12(),1,0x x ∈-，所以当11x x -<<或2x x >时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增；当2i x x x <<时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当08a <≤时，()f x 在(1,)-+∞单调递增；当8a >时，()f x 在(-和)+∞上单调递增，在上单调递减．专项突破四 利用函数单调性比较大小一、单选题1．已知ln 33a =，1e b =，ln 55c =，则以下不等式正确的是（ ） A ．c b a >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >> 【解析】令()ln x f x x =,则()21ln x f x x -'=, 当0e x <<时,()()0,f x f x '>单调递增,当e x >时,()()0,f x f x '<单调递减,因为e<35<,所以()()()e 35f f f >>,所以b a c >>故选:C2．设11011,ln2,10a b c e ===，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．a b c >> 【解析】根据题意，111,ln2110a b =>=<，则a b >， 构造函数()1(0)x f x e x x =-->，所以()10x f e x ='->恒成立，所以()1xf x e x =--在()0,∞+上单调递增，所以()110111001010f e f ⎛⎫=-->= ⎪⎝⎭，即1101110e >，所以c a >，故c a b >>.故选：A3．已知a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．b a c >>【解析】根据题意，ln55a =，1ln =e b e e -=，ln88c =. 令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=，由()0f x '<得x e >；由()0f x '>得0x e <<； 则函数()f x 在()0e ，上单调递增，在(),e +∞上单调递减，又58e <<，所以()()()58f e f f >>，因此b a c >>．故选：D ．4．已知函数()sin f x x x =，ln 22a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，sin 3b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，(ln )c f π=，则a ，b ，c 大小（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<【解析】由题意，函数()sin f x x x =，可得()sin cos f x x x x '=+，当(0,)2x π∈时，可得()0f x '>，()f x 单调递增，又由ln 21,sin ln 1223e ππ==>=，且3ln 2π<=， 所以ln 20sin ln 232πππ<<<<，所以a b c <<.故选：B. 5．已知()232ln 3ln 31,,e 3ea b c -===，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．a b c >> 【解析】由题可知22e ln ln 3ln e 3,,e 33a b c e ===，构造函数ln ()x f x x=，则21ln ()x f x x -'=， 所以()f x 在()0,e 单调递增，()e,∞+单调递减，所以()()max e f x f =，即c 最大；对于a 、b ，构造函数()()2e ,(e)g x f x f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 因为()222222e e ln ln 2ln e e e e x x x x x f x x-⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令()()22ln e x x h x -=，得()21ln e x h x -'=， 在(,)e +∞上，()()22221ln 1ln 111ln 0e e x x g x x x x--⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭'，()g x 单调递增； 所以()()3e 0g g >=，从而()2e 303f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，(3)b f =，2()3e a f =，即b a >，综上，c b a >>.故选：A 6．若2e 2e x x y y ---<-，则（ ）A ．()ln 10y x -+<B ．()ln 10y x -+>C ．ln 0x y ->D ．ln 0x y -<【解析】令()2e x x f x -=-，则()2ln 2e 0x x f x -'=+>恒成立，故()2e x x f x -=-单调递增，由2e 2e x x y y ---<-可得：x y <，故()ln 1ln10y x -+>=，A 错误，B 正确；x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故不能确定ln x y -与0的大小关系，CD 错误. 故选：B7．已知21ln 2ln3,,e 49a b c ===，则（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【解析】设2ln ()x f x x =，则()()()e ,2,3a f b f c f ===，又312ln ()-'=x f x x ，于是当)x ∞∈+时，()0f x '<，故2ln ()x f x x =2e 3=<<，则有()()()3e 2f f f <<，即c a b <<.故选：B. 8．已知函数()f x '为函数()f x 的导函数，满足()tan ()x f x f x '⋅>，6a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，4b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3c π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下面大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【解析】根据题意，()()tan ()tan ()0x f x f x x f x f x ''⋅>⇔⋅->，变换可得：()()()()cos tan 0tan 0tan sin f x f x x x f x x f x x x ⋅⎛⎫⎛⎫''->⇔-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin ()0cos sin x f x x x '⎛⎫⇔> ⎪⎝⎭， 解析可得，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0x >，()0sin f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， cos 0x <，()0sin f x x '⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以函数()()sin f x g x x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以643sin sin sin 643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<，即2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A. 9．已知ln a ππ=，2ln 2b =，c e =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c << 【解析】ln a ππ=，2ln 2b =，ln e c e e ∴== 构造函数()ln x f x x=且()2ln 1()ln x f x x -'= 当1x e <<时ln 1x <,此时()2ln 1()0ln x f x x -'=<;当x e >时ln 1x >,此时()2ln 1()0ln x f x x -'=>. 故()ln x f x x=当()1,x e ∈单调递减,当(,)x e ∈+∞单调递增. 故min ()()f x f e e c === 故,a c b c >> ，2224(4)ln 22ln 2ln 4b f ⋅==== 又40(4)()f f ππ>>∴> 即b a > ，故c a b <<，故选: B10．若01a b <<<，则（ ）A ．e e ln ln b a b a -<-B ．e e ln ln b a b a -≥-C ．e e a b b a ≤D ．e e a b b a >【解析】对于A,B,令()e ln x f x x =- ，则1()e x f x x'=-， 当01x <<时，1()e x f x x'=-单调递增，且2132123()e 20,()e 0232f f ''=-<=-=>> 故存在012(,)23x ∈ ，使得0()0f x '=， 则当0(0,)x x ∈时，()e ln x f x x =-递减，当0(,1)x x ∈时，()e ln x f x x =-递增，由于01a b <<<，此时()e ln ,()e ln a b f a a f b b =-=-大小关系不确定，故A,B 均不正确；对于C,D,设e g()=x x x ，则e (1)g ()=x x x x-'， 当01x <<时，()0g x '<，故e g()=xx x 单调递减， 所以当01a b <<<时，()()g a g b > ，即e e a b a b> ，即e e a b b a >， 故C 错误，D 正确，故选：D 11．设20222020a =，20212021b =，20202022c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【解析】∵ln2020ln 2022ln20202021ln2021ln 2021ln20212022a b ==，构造函数()()2ln 1x f x x e x =≥+，()()21ln 1x x x f x x x +-'=+， 令()1ln g x x x x =+-，则()ln 0g x x '=-<，∴()g x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，∴()()2210g x g e e ≤=-<，故()0f x '<， ∴()f x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，∴()()202020210f f >>，∴()()2020ln 1ln 2021f a b f => ∴ln ln a b >.∴a b >，同理可得ln ln b c >，b c >，故a b c >>，故选：A二、多选题12．下列命题为真命题的个数是（ ）A．ln3< B．ln π<C．15< D．3eln2<【解析】设函数()0f x x =>，则()f x '==当20e x <≤时，()0f x '>，当2e x >时，()0f x '<，故()0f x x =>在2(0,e ) 上递增，在2(e ,)+∞ 上递减， 对于A ，由234e << ，故(3)(4)f f <,<， 即2ln 2,ln 322<<，A 正确； 对于B ，2e<π <e ，故(e)(π)f f <<ln πB 错误； 对于C ，21615e >> ，故(16)(15)f f <4ln 24<<故ln 22ln15<<，则ln 15<<，故C 正确； 对于D ，28e > ，故2(8)(e )f f <22e<，即3eln2<D 正确，故选：ACD专项突破五 函数与导函数图像关系一、单选题1．函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，图像如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≥的解集为（ ）A ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦D ．3148,,2333⎛⎤⎡⎤--⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 【解析】()0f x '≥的解集即为()y f x =单调递增区间结合图像可得()y f x =单调递增区间为[]31,,1,223⎛⎤-- ⎥⎝⎦则()0f x '≥的解集为[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦，故选：C ． 2．如图是函数y =f （x ）的导函数()y f x '=的图象，则下列判断正确的是（ ）A ．在区间()2,1-上f （x ）单调递增B ．在区间（1，3）上f （x ）单调递减C ．在区间()4,5上f （x ）单调递增D ．在区间（3，5）上f （x ）单调递增 【解析】由导数图象知，在区间32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上小于0，在3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭上大于0，函数f （x ）先减后增，A 错误； 在区间()1,2上大于0，在()2,3上小于0，函数f （x ）先增后减，B 错误；在区间()4,5上大于0，函数f （x ）单调递增，C 正确；在区间()3,4上小于0，在()4,5上大于0，函数f （x ）先减后增，D 错误.故选：C.3．函数f （x ）的图象如图所示，则()0x f x '⋅<的解集为（ ）A ．()()320,1--,B ．()(),13,-∞-⋃+∞C ．()()2,10,--⋃+∞D ．()(),31,-∞-⋃+∞ 【解析】由函数图象与导函数大小的关系可知：当()(),3,2,1x x ∞∈--∈-时，()0f x '<，当()()3,2,1,x x ∞∈--∈+时，()0f x '>，故当()()(),3,2,0,1,,x x x ∞∈--∈-∈+∞时，()0x f x '⋅>；当()0,1x ∈时，()0x f x '⋅<；当()3,2x ∈--时，()0x f x '⋅<，故()0x f x '⋅<的解集为()()320,1--,.故选：A4．若函数()y f x =的导函数图象如图所示，则该函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】由导函数图像可知，原函数的单调性为先单增后单减再单增，符合的只有A 选项. 故选：A5．已知()21cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()y f x '=的图像大致是（ ） A ．B ．C ． D ． 【解析】1()sin 2f x x x '=-，()'f x 为奇函数，则函数()f x '的图像关于原点对称，排除选项A 、D ，令()()g x f x '=，1()cos 2g x x '=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故选B ． 6．已知函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．()()()()224224f f f f ''<-<B ．()()()()222242f f f f '<<-C ．()()()()222442f f f f ''<<-D ．()()()()422422f f f f ''-<<【解析】由函数()f x 的图象可知，当0x ≥时，()f x 单调递增，所以(2)0f '>，(4)0f '>，(4)(2)0f f ->，由此可知，()'f x 在(0,)+∞上恒大于0，因为直线的斜率逐渐增大，所以()'f x 单调递增，结合导数的几何意义， 故(4)(2)(2)(4)42f f f f -''<<-，所以()()()()224224f f f f ''<-<，故选：A ．。

高三复习：利用导数讨论函数单调性、求极值、最值1． 函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是增加的；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是减少的． 2． 函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3． 函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上是增加的，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上是减少的，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1． 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.2． 函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．3. 如图是y ＝f (x )导数的图像，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．4． 设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．－239D.335． (·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)典例透析题型一 利用导数研究函数的单调性 例1 已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增加的，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间． 解探究提高(1)利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求导数f ′(x )《③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； ④根据③的结果确定函数f (x )的单调区间． (2) 要注意对含参数的函数的单调性进行讨论． 例2.（2018年新课标1）已知函数()1ln f x x a x x=-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--.1.如果函数()y f x =的图象如右图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）2.（2014广东文数）已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈， 求函数()f x 的单调区间；3 .当0x >时,讨论函数2()xg x e x =-的单调性例3.（2017年新课标1）已知函数)f x =（a e 2x+(a ﹣2) e x ﹣x .（1）讨论()f x 的单调性；练习1.若函数f (x ) =e x (x 2- 2x + 1- a ) - x 恒有2个零点， 则a 的取值范围是 ()A. (-1e ，+∞) B. (-∞,1) C. (0，1e ) D. (-∞，-1e )2.. (安徽)设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解2.（2020年新课标1理科）已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.3.(2021年新高考1)22. 已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1. 若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像可能为( )2． 设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a >－1eD ．a <－1e3． 函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．44． 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ≤2 B ．5≤a ≤7 C ．4≤a ≤6 D ．a ≤5或a ≥7二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．6． 已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m ＝________.7． 函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·重庆)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )2． 函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最小值为( )A ．0 B.1eC.4e4D.2e23． f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋x ·f ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为( )A ．(0,4)B ．(－4,4)C ．(－∞，－4)∪(0,4)D ．(－∞，－4)二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (x ∈[－2,2])对应的曲线C 过坐标原点，且在x ＝±1处切线的斜率均为－1，则f (x )的最大值和最小值之和等于________．5． 设函数f (x )＝p ⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x (p 是实数)，若函数f (x )在其定义域内是增加的，则实数p 的取值范围为______．6． 已知函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是________．。

导数与函数的单调性练习题(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--导数与函数的单调性基础巩固题：1.函数f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） <a<21 <-1或a>21 >21>-2答案：C 解析：∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>21.2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a <－4C ．a ≥0或a ≤－4D ．a >0或a <－4答案：C 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋ax，f (x )在(0,1)上单调， ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立， 所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋2x ),0<x <1，可知－4<g (x )<0， ∴a ≥0或a ≤－4，故选C. 3．函数f (x )＝x ＋9x的单调区间为________．答案：(－3,0)，(0,3) 解析：f ′(x )＝1－9x 2＝x 2－9x2，令f ′(x )<0，解得－3<x <0或0<x <3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．4 函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________答案：2(0,)3 ； 2(,0),(,)3-∞+∞ 解析： '22320,0,3y x x x x =-+===或5．确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3 (1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4 .∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1) 令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1. ∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)6．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．[答案] (－∞，－1) [解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12，∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)7．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________．[答案] b <－1或b >2 [解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，∴－1≤b ≤2，由题意b ＜－1或b ＞2.8.已知x ∈R ,求证：e x≥x +1．证明:设f （x ）=e x －x －1,则f ′（x ）=e x－1．∴当x =0时，f ′（x ）=0,f （x ）=0．当x ＞0时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数．∴f （x ）＞f （0）=0．当x ＜0时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0．9．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +x 1)′=1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(x x x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1.∴y =x +x1的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +x 1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)10．已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x ．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P （0，2），知d=2， 所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++=' 由在M(-1,f(-1))处的切线方程是076=+-y x ， 知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即{{326,23,12 1.0,3.b c b c b c b c b c -+=-=-∴-+-+=-===-即解得 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （Ⅱ）22()36 3.3630,f x x x x x '=----=令2210.x x --=即 解得 .21,2121+=-=x x当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或 当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,()(--∞在x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数．点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．11.已知函数f(x)=x 3-21x 2+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;解 （1）)(x f '=3x 2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则)(x f '≥0.即3x 2-x+b≥0,∴b≥x -3x 2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x 2.当x=61时，g(x)max =121,∴b≥121.12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a 的取值范围.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x 3-(a+1)x 2+ax ∴)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 在（2，+∞）上满足)(x f '≥0即可.∵)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 的对称轴是x=31+a ,∴a的取值应满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥'≤+0(2)231f a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+'>+0)31(231a f a 解得:a≤38.∴a 的取值范围是a≤38.13．已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．14.已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，)1(-f ）处的切线方程076=+-y x ，（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的单调区间。

导数单调性练习题导数单调性练习题数学作为一门抽象而又精确的学科，常常被人们认为是一种枯燥乏味的学科。

然而，当我们深入探索数学的奥妙时，会发现其中蕴含着无限的魅力和趣味。

导数单调性就是数学中一个非常重要且有趣的概念。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用导数单调性。

练习题1：已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，求f(x)的单调区间。

解答：首先，我们需要求出f'(x)。

对于f(x)=x^3-3x^2+2x-1，我们可以使用求导法则来求导。

根据求导法则，我们有：f'(x)=3x^2-6x+2接下来，我们需要找到f'(x)的零点，即求方程3x^2-6x+2=0的解。

通过求解这个方程，我们可以得到两个解：x=1和x=2/3。

然后，我们可以选取这些零点将实数轴分成三个区间：(-∞，2/3)，(2/3，1)，(1，∞)。

接下来，我们需要确定每个区间上f(x)的单调性。

对于区间(-∞，2/3)，我们可以选择一个任意的数值c<2/3，计算f'(c)的值。

由于f'(x)是一个二次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。

因此，f'(x)在(-∞，2/3)上是单调递减的。

这意味着在这个区间上，f(x)是单调递增的。

对于区间(2/3，1)，我们可以选择一个任意的数值c∈(2/3，1)，计算f'(c)的值。

由于f'(x)是一个二次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。

因此，f'(x)在(2/3，1)上是单调递增的。

这意味着在这个区间上，f(x)是单调递减的。

对于区间(1，∞)，我们可以选择一个任意的数值c>1，计算f'(c)的值。

由于f'(x)是一个二次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。

因此，f'(x)在(1，∞)上是单调递增的。

这意味着在这个区间上，f(x)是单调递增的。

综上所述，函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的单调递增区间是(-∞，2/3)和(1，∞)，单调递减区间是(2/3，1)。

利用导数求函数的单调性利用导数求函数的单调性例 讨论下列函数的单调性：1．xx a a x f --=)(（0>a 且1≠a ）； 2．)253(log)(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）； 3．)0,11(1)(2≠<<--=b x x bx x f ． 分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数)(x f '，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内)(x f '的符号，来确定函数)(x f 在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．解： 1．函数定义域为R ．).(ln )(ln ln )(xx x x a a a x a a a a x f --+='-⋅⋅-=' 当1>a 时，.0)(,0,0ln >'∴>+>-x f a a a x x∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数． 当10<<a 时，.0)(,0,0ln <'∴>+<-x f a a a x x ∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是减函数．2．函数的定义域是31>x 或.2-<x )2)(13(log )56()253(253log )(22+-+='-+⋅-+='x x e x x x x x e x f a a①若1>a ，则当31>x 时，0)2)(13(,056,0log >+->+>x x x e a ， ∴0)(>x f ，∴函数)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31上是增函数； 当2-<x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在()2,-∞-上是减函数②若10<<a ，则当31>x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31上是减函数； 当2-<x 时，0)(>'x f ，∴函数)(x f 在()2,-∞-上是增函数3．函数)(x f 是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性当10<<x 时，2222)1()1()1()(-'-⋅--⋅'⋅='x x x x x b x f222)1()1(-+-=x x b 若0>b ，则0)(<'x f ，函数)(x f 在（0，1）上是减函数；若0<b ，则0)(>'x f ，函数)(x f 在（0，1）上是增函数．又函数)(x f 是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当0>b 时，函数)(x f 在（－1，1）上是减函数，当0<b 时，函数)(x f 在（－1，1）上是增函数．说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定)(x f '的符号，否则会产生错误判断． 分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力．利用导数求函数的单调区间例 求下列函数的单调区间：1．32)(24+-=x xx f ； 2．22)(x x x f -=；3．).0()(>+=b xb x x f 分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．解：1．函数)(x f 的定义域为R ，x x x x x x f )1)(1(44)(4+-=-=' 令0)(>'x f ，得01<<-x 或1>x ．∴函数)(x f 的单调递增区间为（－1，0）和),1(+∞； 令0)(<'x f ，得1-<x 或10<<x ，∴函数)(x f 的单调递减区间为)1,(--∞和（0，1）．2．函数定义域为.20≤≤x.2122)2()(222x x x x x x x x f --=-'-='令0)(>'x f ，得10<<x ．∴函数)(x f 的递增区间为（0，1）；令0)(<'x f ，得21<<x ，∴函数)(x f 的单调递减区间为（1，2）．3．函数定义域为).)((11)(,022b x b x x x bx f x +-=-='≠ 令0)(>'x f ，得b x >或b x -<．∴函数)(x f 的单调递增区间为),(b --∞和),(+∞b ； 令0)(<'x f ，得b x b <<-且0≠x ，∴函数)(x f 的单调递减区间是)0,(b -和),0(b ．说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数)(x f 的单调递增区间和递减区间分别写成),1()0,1(+∞- 和)1,0()1,( --∞ 的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．求解析式并根据单调性确定参数例 已知c x x f +=2)(，且).1()]([2+=x f x f f1．设)]([)(x f f x g =，求)(x g 的解析式；2．设)()()(x f x g x λϕ-=，试问：是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-内为减函数，且在（－1，0）内是增函数．分析：根据题设条件可以求出)(x ϕ的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数)(x ϕ是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数λ的取值范围，使问题获解． 解：1．由题意得c c x c x f x f f ++=+=222)()()]([，)1()]([.)1()1(2222+=++=+x f x f f c x x f ，∴.1,1,)1()(222222=∴+=+∴++=++c x c x c x c c x∴.1)1()1()]([)(,1)(2222++=+==+=x x f x f f x g x x f2．)2()2()()()(24λλλϕ-+-+=-=x x x f x g x ． 若满足条件的λ存在，则.)2(24)(3x xx λϕ-+=' ∵函数)(x ϕ在()1,-∞-内是减函数，∴当1-<x 时，0)(<'x ϕ， 即0)2(243<-+x x λ对于)1,(--∞∈x 恒成立． ∴.44,1,4)2(222-<-∴-<∴->-x x x λ∴4)2(2-≥-λ，解得4≤λ．又函数)(x ϕ在（－1，0）上是增函数，∴当01<<-x 时，0)(>'x ϕ即0)2(243>-+x x λ对于)0,1(-∈x 恒成立， ∴.044,01,4)2(222<<-∴<<--<-xx x λ∴4)2(2-≤-λ，解得4≥λ． 故当4=λ时，)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的λ存在．说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用a x f <)(恒成立a x f <⇔max )]([和a x f >)(恒成立a x f >⇔min )]([，究其原因是对函数的思想方法理解不深．利用导数比较大小例 已知a 、b 为实数，且e a b >>，其中e 为自然对数的底，求证：a b b a >．分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明),(),()(b a x x g x f ∈>，可以等价转化为证明0)()()(>-=x g x f x F ，如果0)(>'x F ，则函数)(x F 在),(b a 上是增函数，如果0)(≥a F ，由增函数的定义可知，当),(b a x ∈时，有0)(>x F ，即)()(x g x f >．解：证法一： e a b >> ，∴要证a b b a >，只要证b a a b ln ln >，设)(ln ln )(e b b a a b b f >-=，则b a a b f -='ln )(．e a b >> ，∴1ln >a ，且1<ba ，∴.0)(>'b f∴函数b a a b b f ln ln )(-⋅=在),(+∞e 上是增函数．∴0ln ln )()(=-=>a a a a a f b f ，即0ln ln >-b a a b ，∴.,ln ln a b b a b a a b >∴> 证法二：要证a b b a >，只要证)(ln ln b a e b a a b <<>⋅， 即证b b a a lnln >，设)(ln)(e x x x x f >=，则0ln 1)(2<-='x x x f ，∴函数)(x f 在),(+∞e 上是减函数．又)()(,b f a f b a e >∴<< ，即.,lnlna b b a b b a a >∴>说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出)()()()(x g x f x g x f >⇒'>'的错误结论．判断函数在给定区间上的单调性例 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y 11log 21在区间),0(+∞上是（ ）A ．增函数，且0>yB ．减函数，且0>yC ．增函数，且0<yD ．减函数，且0<y 分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y 的大小；二是要判断此函数的单调性．解：解法一：令xu 11+=，且1),,0(>∴+∞∈u x ， 则0log 21<=u y ，排除A 、B ．由复合函数的性质可知，u 在),0(+∞上为减函数． 又u y 21log =亦为减函数，故⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y 11log 21在 ),0(+∞ 上为增函数，排除D ，选C ．解法二：利用导数法0log )1(11log 1112221>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅+='e x x x e x y（),0(+∞∈x ），故y 在),0(+∞上是增函数．由解法一知0<y ．所以选C ．说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．。

利用导数研究函数的单调性精选题24道一．选择题（共7小题） 1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是()A ．(-∞，1)(0-⋃，1) B ．(1-，0)(1⋃，)+∞C ．(-∞，1)(1--⋃，0)D ．(0，1)(1⋃，)+∞2．若函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是() A ．[1-，1] B ．[1-，1]3C ．1[3-，1]3D ．[1-，1]3-3．函数32()f x a x b x c x d=+++的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a<，0b<，0c<，0d>D ．0a>，0b>，0c>，0d<4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x x f x =．若2(log 5.1)ag =-，0.8(2)bg =，cg=（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．ab c<<B ．cb a<< C ．ba c<< D ．bc a<<5．若函数21()f x xa x x=++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是()A ．[1-，0]B ．[1-，)+∞C ．[0，3]D ．[3，)+∞6．若定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是( )A ．11()f k k <B ．11()1f k k >-C ．11()11f k k <-- D ．1()11k f k k >--7．已知21()s in ()42f x xx π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是()A ．B ．C ．D ．二．填空题（共12小题）8．已知函数31()2xxf x x x ee=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+…．则实数a 的取值范围是 ． 9．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为 ． 10．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 ．11．已知函数3(21)34,(),a x a x tf x x x x t-+-⎧=⎨->⎩…，无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调．则a 的取值范围是 ． 12．已知()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，()f x '是()f x 的导函数，且满足()2()0x f x f x '->，若()f x 是偶函数，f（1）1=，则不等式2()f x x>的解集为 ．13．函数()(3)xf x x e=-的单调递增区间是 ．14．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R∈有2()()f x f x x-+=，且在(0,)+∞上()f x x'>．若(2)f a f--（a ）22a-…，则实数a 的取值范围是 ．15．已知三次函数32()()32a b f x x xc xd a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-的最小值为 ． 16．已知函数21()22f x m xln x x=+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为 ．17．函数212yxln x=-的单调递减区间为 ．18．已知函数321()242f x x xx =+-+，则函数的单调减区间为 ．19．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式1()(21)x e f x f x -<-的解为 ．三．解答题（共5小题） 20．已知函数1()f x x a ln xx=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．21．设函数2()(1)xf x x e=-⋅．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，()1f x a x +…，求实数a 的取值范围．22．已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．24．已知函数()1f x x a ln x=--．（1）若()0f x …，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<，求m 的最小值．利用导数研究函数的单调性精选题24道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题） 1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是()A ．(-∞，1)(0-⋃，1) B ．(1-，0)(1⋃，)+∞C ．(-∞，1)(1--⋃，0)D ．(0，1)(1⋃，)+∞【分析】由已知当0x >时总有()()0x f x f x '-<成立，可判断函数()()f xg x x=为减函数，由已知()f x 是定义在R 上的奇函数，可证明()g x 为(-∞，0)(0⋃，)+∞上的偶函数，根据函数()g x 在(0,)+∞上的单调性和奇偶性，模拟()g x 的图象，而不等式()0f x >等价于()0x g x ⋅>，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设()()f x g x x =，则()g x 的导数为：2()()()x f x f x g x x'-'=，当0x >时总有()()xf x f x '<成立，即当0x>时，()g x '恒小于0， ∴当0x>时，函数()()f xg x x =为减函数，又()()()()()f x f x f xg x g x xxx---====--，∴函数()g x 为定义域上的偶函数又(1)(1)01f g --==-，∴函数()g x 的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式()0()0f x xg x >⇔⋅>⇔0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，01x ⇔<<或1x <-．故选：A ．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题． 2．若函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是() A ．[1-，1] B ．[1-，1]3C ．1[3-，1]3D ．[1-，1]3-【分析】求出()f x 的导数，由题意可得()0f x '…恒成立，设c o s (11)t x t=-剟，即有25430ta t -+…，对t 讨论，分0t=，01t <…，10t -<…，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+的导数为2()1c o s 2c o s 3f x x a x'=-+，由题意可得()0f x '…恒成立，即为21c o s 2c o s 03x a x -+…， 即有254c o s c o s 033x a x -+…，设co s (11)t x t =-剟，即有25430ta t -+…，当0t =时，不等式显然成立；当01t <…时，534a t t-…，由54tt-在(0，1]递增，可得1t =时，取得最大值1-，可得31a -…，即13a -…；当10t -<…时，534a t t-…，由54tt-在[1-，0)递增，可得1t=-时，取得最小值1，可得31a …，即13a …．综上可得a 的范围是1[3-，1]3．另解：设co s (11)tx t =-剟，即有25430ta t -+…，由题意可得5430a -+…，且5430a --…，解得a 的范围是1[3-，1]3．故选：C ．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题． 3．函数32()f x a x b x c x d=+++的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a<，0b<，0c<，0d>D ．0a>，0b>，0c>，0d<【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可． 【解答】解：(0)0f d =>，排除D ，当x→+∞时，y →+∞，0a ∴>，排除C ， 函数的导数2()32f x a x b x c'=++，则()0f x '=有两个不同的正实根，则12203b x x a+=->且123c x x a=>，(0)a>，b ∴<，0c>，方法22:()32f x a x b x c'=++，由图象知当当1x x <时函数递增，当12x x x <<时函数递减，则()f x '对应的图象开口向上，则0a>，且12203b x x a+=->且123c x x a=>，(0)a >，b ∴<，0c>，方法3:(0)0f d =>，排除D ，函数的导数2()32f x a x b x c'=++，则(0)0f c '=>，排除B ，C ，故选：A ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及(0)f 的符号是解决本题的关键．4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x x f x =．若2(log 5.1)ag =-，0.8(2)bg =，cg=（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．ab c<<B ．cb a<< C ．ba c<< D ．bc a<<【分析】由奇函数()f x 在R 上是增函数，则()()g x x f x =偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则22(lo g 5.1)(lo g 5.1)a g g =-=，则22lo g 5.13<<，0.8122<<，即可求得ba c<< 【解答】解：奇函数()f x 在R 上是增函数，当0x>，()(0)0f x f >=，且()0f x '>，()()g x xf x ∴=，则()()()0g x f x xf x '=+'>，()g x ∴在(0,)+∞单调递增，且()()g x x f x =偶函数，22(lo g 5.1)(lo g 5.1)a g g ∴=-=， 则22lo g 5.13<<，0.8122<<，由()g x 在(0,)+∞单调递增，则0.82(2)(lo g 5.1)g g g<<（3），b a c∴<<，故选：C ．【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题． 5．若函数21()f x xa x x=++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是()A ．[1-，0]B ．[1-，)+∞C ．[0，3]D ．[3，)+∞【分析】由函数21()f x xa x x=++在1(2，)+∞上是增函数，可得21()20f x x a x'=+-…在1(2，)+∞上恒成立，进而可转化为212a xx-…在1(2，)+∞上恒成立，构造函数求出212xx-在1(2，)+∞上的最值，可得a 的取值范围．【解答】解：21()f x x a x x=++在1(2，)+∞上是增函数，故21()20f x x a x'=+-…在1(2，)+∞上恒成立，即212a x x-…在1(2，)+∞上恒成立，令21()2h x x x=-， 则32()2h x x'=--，当1(2x ∈，)+∞时，()0h x '<，则()h x 为减函数．1()()32h x h ∴<=3a ∴…．故选：D ．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．6．若定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是( )A ．11()f k k<B ．11()1f k k >- C ．11()11f k k <-- D ．1()11k f k k >-- 【分析】根据导数的概念得出()(0)1f x f k x->>，用11x k =-代入可判断出11()11f k k >--，即可判断答案． 【解答】解；()(0)(0)limx f x f f x →-'=-()1f x k '>>， ∴()(0)1f x f k x ->>，即()11f x k x+>>，当11xk =-时，11()1111k f k k k k +>⨯=---，即11()1111k f k k k >-=---故11()11f k k >--，所以11()11f k k <--，一定出错，另解：设()()1g x f x kx =-+，(0)0g =，且()()0g x f x k '='->，()g x 在R 上递增，1k >，对选项一一判断，可得C错．故选：C ．【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题． 7．已知21()s in ()42f x xx π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是()A ．B ．C ．D ．【分析】先化简2211()s in ()c o s 424f x xx xxπ=++=+，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B ，D ．再根据导函数的导函数小于0的x 的范围，确定导函数在(3π-，)3π上单调递减，从而排除C ，即可得出正确答案． 【解答】解：由2211()s in ()c o s 424f x xx xxπ=++=+，1()s in 2f x x x ∴'=-，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ． 又1()c o s 2f x x''=-，当33x ππ-<<时，1c o s 2x>，()0f x ∴''<，故函数()yf x ='在区间(3π-，)3π上单调递减，故排除C ．故选：A ．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减． 二．填空题（共12小题）8．已知函数31()2xxf x x x ee=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+…．则实数a 的取值范围是 [1-，1]2．【分析】求出()f x 的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得()f x 在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得()f x 为奇函数，原不等式即为221a a-…，运用二次不等式的解法即可得到所求范围． 【解答】解：函数31()2xxf x x x ee=-+-的导数为： 211()3220xxxxf x x e ee'=-++-+=…，可得()f x 在R 上递增；又331()()()220xxxxf x f x x x e ex x ee--+=-++-+-+-=，可得()f x 为奇函数，则2(1)(2)0f a f a -+…， 即有2(2)(1)f a f a --… 由((1))(1)f a f a --=--，2(2)(1)f a f a -…，即有221a a -…， 解得112a-剟，故答案为：[1-，1]2．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题． 9．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为(1,)-+∞ ．【分析】构建函数()()(24)F x f x x =-+，由(1)2f -=得出(1)F -的值，求出()F x 的导函数，根据()2f x '>，得到()F x 在R 上为增函数，根据函数的增减性即可得到()F x 大于0的解集，进而得到所求不等式的解集． 【解答】解：设()()(24)F x f x x =-+，则(1)(1)(24)220F f -=---+=-=，又对任意x R∈，()2f x '>，所以()()20F x f x '='->，即()F x 在R 上单调递增， 则()0F x >的解集为(1,)-+∞，即()24f x x >+的解集为(1,)-+∞．故答案为：(1,)-+∞【点评】本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题． 10．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是(-∞，1)(0-⋃，1) ．【分析】构造函数()()f x g x x=，利用()g x 的导数判断函数()g x 的单调性与奇偶性，画出函数()g x 的大致图象，结合图形求出不等式()0f x >的解集．【解答】解：设()()f xg x x=，则()g x 的导数为：2()()()x f x f x g x x'-'=，当0x >时总有()()xf x f x '<成立，即当0x>时，()g x '恒小于0， ∴当0x>时，函数()()f xg x x =为减函数，又()()()()()f x f x f xg x g x xxx---====--，∴函数()g x 为定义域上的偶函数又(1)(1)01f g --==-，∴函数()g x 的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式()0()0f x xg x >⇔⋅>⇔0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，01x ⇔<<或1x <-．()0f x ∴>成立的x 的取值范围是(-∞，1)(0-⋃，1)．故答案为：(-∞，1)(0-⋃，1)．【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题目． 11．已知函数3(21)34,(),a x a x tf x x x x t-+-⎧=⎨->⎩…，无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调．则a 的取值范围是 12a …．【分析】首先分析3()f x x x=-，其单调区间．然后根据无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调，判断()(21)34f x a x a =-+-的单调性，求出a 的取值范围即可．【解答】解：对于函数3()f x x x=-，2()31f x x '=-x t>当2310x ->时，即3x>或3x<-此时3()f x x x=-，为增函数当2310x -<时，33x -<<x t>，3()f x x x∴=-，一定存在单调递增区间要使无论t 取何值， 函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调()(21)34f x a x a ∴=-+-不能为增函数210a ∴-…∴12a …故答案为：12a …．【点评】本题考查函数单调性的判定与应用，3次函数与1次函数的单调性的判断，属于中档题． 12．已知()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，()f x '是()f x 的导函数，且满足()2()0x f x f x '->，若()f x 是偶函数，f（1）1=，则不等式2()f x x>的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞ ．【分析】构造函数2()()(0)f xg x x x=≠，依题意可知它是偶函数且在(0,)+∞上单调递增，于是2()f x x>等价转化为()g x g>（1），即(||)(|1|)||1g x g x >⇒>，从而可得答案．【解答】解：令2()()(0)f xg x x x=≠，则243()2()()2()()x f x x f x x f x f x g x xx'-'-'==，因为足()2()0x f x f x '->，所以，当0x>时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增． 又()f x 是偶函数，故2()()(0)f xg x x x=≠也是偶函数，而f（1）1=，故g （1）2(1)1f f==（1）1=，因此，2()f x x>⇔2()1f x x>，即()g x g >（1），即(||)(|1|)g x g >所以，||1x >，解得：1x >或1x<-．则不等式2()f x x>的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，故答案为：(-∞，1)(1-⋃，)+∞．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数2()()(0)f xg x x x=≠，并判断它为偶函数且在(0,)+∞上单调递增是关键，考查等价转化思想与逻辑思维能力及运算能力，属于中档题． 13．函数()(3)xf x x e=-的单调递增区间是(2,)+∞ ．【分析】先求出函数的导数，令导函数大于0，解不等式求出即可．【解答】解：()(2)xf x x e'=-，令()0f x '>，解得：2x >，()f x ∴在(2,)+∞递增，故答案为：(2,)+∞．【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题． 14．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R∈有2()()f x f x x-+=，且在(0,)+∞上()f x x'>．若(2)f a f --（a ）22a-…，则实数a 的取值范围是(-∞，1] ．【分析】令21()()2g x f x x=-，由()()g x g x -+=，可得函数()g x 为奇函数．利用导数可得函数()g x 在R 上是增函数，(2)f a f--（a ）22a-…，即(2)g a g-…（a ），可得2a a-…，由此解得a 的范围． 【解答】解：令21()()2g x f x x=-，2211()()()()022g x g x f x xf x x-+=--+-=，∴函数()g x 为奇函数．(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x x '='->，故函数()g x 在(0,)+∞上是增函数，故函数()g x 在(,0)-∞上也是增函数， 由(0)0f =，可得()g x 在R 上是增函数． (2)f a f--（a ）22a-…，等价于2(2)(2)2a f a f---…（a ）22a-，即(2)g a g-…（a ），2a a∴-…，解得1a …，故答案为：(-∞，1]．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题． 15．已知三次函数32()()32a b f x x xc xd a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-的最小值为3 ．【分析】由题意得2()f x a x b x c'=++在R 上恒大于或等于0，得0a>，△240ba c =-…，将此代入a b c b a++-，将式子进行放缩，以b a为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决． 【解答】解：由题意2()0f x a x b x c '=++…在R 上恒成立，则0a>，△240ba c =-…．∴222222111()441b b a a b ba b c aa b a c aa b b aa b aa b aa++++++++==----…令(1)b tt a=>，222111(2)1(13)194(16)31414141t ta b c t t t b at t t t +++++-+===-++-----厖．（当且仅当4t =，即4bc a==时取“=” )故答案为：3【点评】本题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题，属于中档题． 16．已知函数21()22f x m xln x x=+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为[1，)+∞ ．【分析】函数21()22f x m xl nx x =+-在定义域(0)x >内是增函数⇔2121()20f x m x mxx x'=+-⇔-厖对于任意0x>．⇔221()m a xm xx-…．利用导数即可得出．【解答】解：函数21()22f x m x l n xx =+-在定义域(0)x >内是增函数，∴1()20f x m x x'=+-…，化为221m xx-…．令221()g x xx=-，233222(1)()x g x xxx-'=-+=-，解()g x '>，得01x <<；解()0g x '<，得1x >．因此当1x =时，()g x 取得最大值，g （1）1=．1m ∴…．故答案为[1，)+∞．【点评】正确把问题等价转化、利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键． 17．函数212yxln x=-的单调递减区间为(0，1] ．【分析】根据题意，先求函数212yxln x=-的定义域，进而求得其导数，即211xy x x x-'=-=，令其导数小于等于0，可得210x x -…，结合函数的定义域，解可得答案． 【解答】解：对于函数212yxln x=-，易得其定义域为{|0}x x>，211x y x xx-'=-=，令210x x-…，又由0x>，则221010x x x-⇔-剟，且0x>；解可得01x <…，即函数212yxln x=-的单调递减区间为(0，1]，故答案为(0，1]【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域． 18．已知函数321()242f x x xx =+-+，则函数的单调减区间为2[1,]3- ．【分析】对函数进行求导即可求出单调区间． 【解答】解：31()242f x x x x =+-+2()32(32)(1)f x x x x x ∴'=+-=-+令2()0,13f x x '-剟?．∴函数的单调减区间为2[1,]3-．【点评】此题较为容易，考查了导数与函数的单调性问题，注意区间端点的取值就可以了． 19．设定义域为R的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式1()(21)x ef x f x -<-的解为(1,)+∞ ．【分析】令()()xf xg x e=，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．【解答】解：令()()xf xg x e=，则()()()xf x f xg x e'-'=>，故()g x 在R 递增， 不等式1()(21)x e f x f x -<-，即21()(21)xx f x f x ee--<，故()(21)g x g x <-，故21xx <-，解得：1x >，故答案为：(1,)+∞【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题． 三．解答题（共5小题） 20．已知函数1()f x x a ln xx=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可． （2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论． 【解答】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞， 函数的导数22211()1a xa x f x xxx-+'=--+=-，设2()1g x x a x =-+，当0a …时，()0g x >恒成立，即()0f x '<恒成立，此时函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，当0a>时，判别式△24a =-，①当02a <…时，△0…，即()0g x …，即()0f x '…恒成立，此时函数()f x 在(0,)+∞上是减函数， ②当2a>时，x ，()f x '，()f x 的变化如下表：综上当2a …时，()f x 在(0,)+∞上是减函数，当2a>时，在(02和2，)+∞上是减函数，则22上是增函数．（2）由（1）知2a>，不妨设12x x <，则121x x <<<，121x x =，则1221122112121()()()(1)()2()()f x f x x x a ln x ln x x x a ln x ln x x x -=-++-=-+-，则12121212()()()2f x f x a ln x ln x x x x x --=-+--，则问题转为证明12121ln x ln x x x -<-即可，即证明1212ln x ln x x x ->-，则111111ln x lnx x x ->-， 即11111ln x ln x x x +>-，即证11112ln x x x >-在(0,1)上恒成立，设1()2h x ln x x x=-+，(01)x <<，其中h （1）0=， 求导得222222121(1)()10x x x h x xxxx-+-'=--=-=-<，则()h x 在(0,1)上单调递减，()h x h∴>（1），即120ln xx x-+>，故12ln x x x>-，则1212()()2f x f x a x x -<--成立．（2）另解：注意到11()()f x a ln x f x x x=--=-，即1()()0f x f x +=，不妨设12x x <，由韦达定理得121x x =，122x x a +=>，得121x x <<<，121x x =，可得221()()0f x f x +=，即12()()0f x f x +=，要证1212()()2f x f x a x x -<--，只要证2212()()2f x f x a x x --<--，即证22220a a ln x a x x -+<，2(1)x >，构造函数()2a h x a ln x a x x=-+，(1)x >，22(1)()a x h x x--'=…，()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，()h x h∴<（1）0=，20a a ln x a x x∴-+<成立，即22220a a ln x a x x -+<，2(1)x >成立．即1212()()2f x f x a x x -<--成立．【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 21．设函数2()(1)xf x x e=-⋅．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，()1f x a x +…，求实数a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可． （2）化简()(1)(1)xf x x x e=-+．()1f x a x +…，下面对a 的范围进行讨论：①当1a …时，②当01a <<时，设函数()1xg x e x =--，则()10(0)xg x e x '=->>，推出结论；③当0a …时，推出结果，然后得到a 的取值范围．法二：0x …时，2()(1)10xg x e x a x =-++…恒成立，推出()g x '，求解[()]g x ''，当(0)10g a '=-…时，判断函数的单调性，判断满足题意，当(0)10g a '=-<时，推出()(0)0g m g <=，不合题意，得到结果． 【解答】解：（1）因为2()(1)xf x x e=-，x R∈，所以2()(12)xf x x x e'=--，令()0f x '=可知1x=-±当1x<--1x>-+()0f x '<，当11x --<<-+时()0f x '>，所以()f x在(,1-∞--，(1-+)+∞上单调递减，在(1--，1-+上单调递增；（2）由题可知()(1)(1)xf x x x e=-+．下面对a 的范围进行讨论：①当1a …时，设函数()(1)xh x x e=-，则()0(0)xh x x e x '=-<>，因此()h x 在[0，)+∞上单调递减， 又因为(0)1h =，所以()1h x …，所以()(1)()11f x x h x x a x =+++剟；②当01a <<时，设函数()1xg x e x =--，则()10(0)x g x e x '=->>，所以()g x 在[0，)+∞上单调递增， 又(0)1010g =--=，所以1x e x +…．因为当01x <<时2()(1)(1)f x x x >-+，所以22(1)(1)1(1)x x a x x a x x -+--=---，取0(0,1)2x =，则2000(1)(1)10x x a x -+--=，所以00()1f x a x >+，矛盾；③当0a …时，取0(0,1)2x =，则20000()(1)(1)11f x x x a x >-+=+…，矛盾；综上所述，a 的取值范围是[1，)+∞． （2）法二：0x …时，2()(1)10x g x e x a x =-++…恒成立，2()(21)x g x e x x a'=+-+，2[()](41)0(0)xg x e x x x ''=++>…，()g x '在0x …时单调递增，当(0)10g a '=-…时，0x>时()0g x '>恒成立，()g x 单调递增，则0x …时，()(0)0g x g =…，符合题意，当(0)10g a '=-<时，(||)0g a '>，于是存在0m>使得()g m '=，当0x m<<时，()0g x '<，()g x 单调递减，有()(0)0g x g <=，不合题意，所以1a …．综上所述，a 的取值范围是[1，)+∞．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力． 22．已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出()f x 的导数，讨论当0a …时，2e a<-时，2e a=-时，02e a -<<，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a 讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由2()(2)(1)x f x x e a x =-+-，可得()(1)2(1)(1)(2)xxf x x e a x x e a '=-+-=-+，①当0a …时，由()0f x '>，可得1x>；由()0f x '<，可得1x<，即有()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增（如右上图）； ②当0a <时，（如右下图）， 由20xe a +=，可得(2)x ln a =-，由(2)1ln a -=，解得2e a=-，若2e a =-，则()0f x '…恒成立，即有()f x 在R 上递增；若2e a <-时，由()0f x '>，可得1x<或(2)x ln a >-；由()0f x '<，可得1(2)x ln a <<-．即有()f x 在(,1)-∞，((2)ln a -，)+∞递增；在(1，(2))ln a -递减； 若02e a -<<，由()0f x '>，可得(2)xln a <-或1x>；由()0f x '<，可得(2)1ln a x -<<．即有()f x 在(-∞，(2))ln a -，(1,)+∞递增；在((2)ln a -，1)递减； （Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当0a>时，()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增， 且f（1）0e =-<，x→+∞，()f x →+∞；当x→-∞时()0f x >或找到一个1x <使得()0f x >对于0a>恒成立，()f x 有两个零点；②当0a =时，()(2)xf x x e=-，所以()f x 只有一个零点2x=；③当0a <时， 若2e a<-时，()f x 在(1，(2))ln a -递减，在(,1)-∞，((2)ln a -，)+∞递增，又当1x …时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点；当2e a -…时，在(-∞，(2))ln a -单调增，在(1,)+∞单调增，在((2)ln a -，1)单调减， 只有((2))f ln a -等于0才有两个零点，而当1x …时，()0f x <，所以只有一个零点不符题意．综上可得，()f x 有两个零点时，a 的取值范围为(0,)+∞．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题． 24．已知函数()1f x x a ln x=--．（1）若()0f x …，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<，求m 的最小值．【分析】（1）通过对函数()1(0)f x x a ln x x =-->求导，分0a …、0a>两种情况考虑导函数()f x '与0的大小关系可得结论；（2）通过（1）可知1ln x x -…，进而取特殊值可知11(1)22kkln +<，*k N∈．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知2111(1)(1)(1)222ne ++⋯+<，另一方面可知2111(1)(1)(1)2222n++⋯+>，从而当3n …时，2111(1)(1)(1)(2222n++⋯+∈，)e ，比较可得结论．【解答】解：（1）因为函数()1f x x a ln x=--，0x>，所以()1a x a f x x x-'=-=，且f（1）0=．所以当0a …时()0f x '>恒成立，此时()yf x =在(0,)+∞上单调递增，故当01x <<时，()f x f <（1）0=，这与()0f x …矛盾；当0a>时令()0f x '=，解得x a=，所以()y f x =在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，即()m in f x f=（a ），若1a≠，则f （a ）f<（1）0=，从而与()0f x …矛盾；所以1a =；（2）由（1）可知当1a =时()10f x x ln x =--…，即1ln x x -…，所以(1)ln xx +…当且仅当0x=时取等号，所以11(1)22kkln +<，*k N∈．221111111(1)(1)(1)112222222nnnln ln ln ++++⋯++<++⋯+=-<，即2111(1)(1)(1)222ne++⋯+<；因为m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<成立，当3n=时，23111135(1)(1)(1)222264+++=>，所以m 的最小值为3．【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题．。

14导数:利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系2.确定不含参数的函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．3.确定含参数的函数的单调性的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)，并尽量化为乘积或商的形式．(3)令f′(x)＝0，①若此方程在定义域内无解，考虑f′(x)恒大于等于0(或恒小于等于0)，直接判断单调区间．如举例说明中a≥1时，f′(x)>0，a≤0时，f′(x)<0.②若此方程在定义域内有解，则用之分割定义域，逐个区间分析f′(x)的符号确定单调区间．如举例说明中0<a<1时，f′(x)＝0有一个实根练习1.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )答案 C解析由y＝f′(x)的图象易得，当x<0或x＞2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0.所以函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，故选C.2.f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为( )A．(0,4) B．(0,2)C．(4，＋∞) D．(－∞，0)答案 A解析f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0得0<x<4，所以f(x)的单调递减区间为(0,4)．3.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)答案 D解析函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝e x＋(x－3)e x ＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)e x>0，解得x>2.4.函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间是( )A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)答案 D解析 依题意得f ′(x )＝e x －e.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝e x －e>0，解得x >1.5．函数f (x )＝3xx 2＋1的单调递增区间是___________. 解析 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝31－x 2x 2＋12＝31－x 1＋xx 2＋12.要使f ′(x )>0，只需(1－x )(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)．6．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32(x >0)．则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5. 但－1∉(0，＋∞)，舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0,5)．7.已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2解析 因为f (x )＝x sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )>0，得x cos x >0. 又因为－π<x <π，所以－π<x <－π2或0<x <π2， 所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.8.讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x .①当a ≥1时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a2a， 则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞时，f ′(x )>0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当0<a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞上单调递增．9.已知函数f (x )＝(x －1)e x －x 2，g (x )＝a e x －2ax ＋a 2－10(a ∈R )．(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)(x>0)的单调性．解(1)由题意，得f′(x)＝x e x－2x，则f′(1)＝e－2.又f(1)＝－1，故所求切线方程为y－(－1)＝(e－2)(x－1)，即y＝(e－2)x＋1－e.(2)由已知，得h(x)＝f(x)－g(x)＝(x－a－1)e x－x2＋2ax－a2＋10.此函数的定义域为(0，＋∞)．则h′(x)＝e x＋(x－a－1)e x－2x＋2a＝(x－a)(e x－2)．①若a≤0，则x－a>0.当0<x<ln 2时，h′(x)<0，当x>ln 2时，h′(x)>0.所以h(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．②若0<a<ln 2，则当0<x<a或x>ln 2时，h′(x)>0.当a<x<ln 2时，h′(x)<0.所以h(x)在(0，a)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．③若a＝ln 2，则h′(x)≥0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．④若a>ln 2，则当0<x<ln 2或x>a时，h′(x)＞0；当ln 2<x<a时，h′(x)<0.所以h(x)在(0，ln 2)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．10．设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)>0的解集是?解析∵f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即[f(x)g(x)]′>0.∴f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(x)g(x)为奇函数，f(0)g(0)＝0，∴f(x)g(x)在(0，＋∞)上也是增函数．∵f(3)g(3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0.∴f(x)g(x)>0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．11．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间， 所以当x ∈(0，＋∞)时， 1x－ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1. 又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减， 所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ， 而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)． 12．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )答案 D解析 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 项符合题意．13．已知函数f (x )＝x 3＋ax ，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当a ≥0时，f ′(x )＝3x 2＋a ≥0，f (x )在R 上单调递增，“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．故选A.14.已知函数f (x )＝3x ＋2cos x ，若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 27)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 D解析 ∵f (x )＝3x ＋2cos x 的定义域为R ，f ′(x )＝3－2sin x >0，∴f (x )为R 上的单调递增函数．又y ＝log 2x 为(0，＋∞)上的单调递增函数，∴2＝log 24<log 27<log 28＝3.∵y ＝3x 为R 上的单调递增函数，∴32>31＝3，∴2<log 27<3 2.∴f (2)<f (log 27)<f (32)，即b <c <a .15．若函数f (x )＝e x －(a －1)x ＋1在(0,1)上单调递减，则a 的取值范围为( )A．(e＋1，＋∞) B．[e＋1，＋∞)C．(e－1，＋∞) D．[e－1，＋∞)答案 B解析由f(x)＝e x－(a－1)x＋1，得f′(x)＝e x－a＋1.因为函数f(x)＝e x －(a－1)x＋1在(0,1)上单调递减，所以f′(x)＝e x－a＋1≤0在(0,1)上恒成立，即a≥e x＋1在(0,1)上恒成立，令g(x)＝e x＋1，x∈(0,1)，则g(x)在(0,1)上单调递增，所以g(x)<g(1)＝e＋1.所以a≥e＋1.所以实数a的取值范围为[e＋1，＋∞)．故选B.16．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数．若2f(m－2019)>(m－2019)f(2)，则实数m的取值范围为( )A．(0,2019) B．(2019，＋∞)C．(2021，＋∞) D．(2019,2021)答案 D解析令h(x)＝f xx，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝xf′x－f xx2.∵xf′(x)－f(x)<0，∴h′(x)<0，∴函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵2f(m－2019)>(m－2019)f(2)，m－2019>0，∴f m－2019m－2019>f22，即h(m－2019)>h(2)．∴m－2019<2且m－2019>0，解得2019<m<2021.∴实数m的取值范围为(2019,2021)．17．已知f(x)＝1＋ln x2ax(a≠0，且a为常数)，求f(x)的单调区间．解因为f(x)＝1＋ln x2ax(a≠0，且a为常数)，所以f′(x)＝－2a ln x2ax2＝－ln x2ax2，x>0.所以①若a>0，当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.即a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．②若a<0，当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.即a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． 18．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2x －1.(1)若函数f (x )在区间[1,3]上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在区间[－2，－1]上单调递减，求实数a 的取值范围． 解 由f (x )＝x 3＋ax 2＋2x －1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋2.(1)因为函数f (x )在区间[1,3]上单调递增，所以f ′(x )≥0在[1,3]上恒成立．即a ≥－3x 2－22x 在[1,3]上恒成立．令g (x )＝－3x 2－22x ，则g ′(x )＝－3x 2＋22x 2，当x ∈[1,3]时，g ′(x )<0，所以g (x )在[1,3]上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－52，所以a ≥－52.(2)因为函数f (x )在区间[－2，－1]上单调递减，所以f ′(x )≤0在[－2，－1]上恒成立，即a ≥－3x 2－22x 在[－2，－1]上恒成立，由(1)易知，g (x )＝－3x 2－22x 在[－2，－1]上单调递减，所以a ≥g (－2)，即a ≥72.。