利用导数判断函数的单调性练习题

高一数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵f（x）=x3+ax-2，∴f′（x）=3x2+a，∵函数f（x）=x3+ax-2在区间[1，+∞）内是增函数，∴f′（1）=3+a≥0，∴a≥-3．故选B．.【考点】利用导数研究函数的单调性．.2.已知函数（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；【答案】(1)详见解析（2）.【解析】（1）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与0的关系判断函数的单调性；（2）函数f（|x|）是偶函数，只要f（x）＞0对任意x≥0恒成立即可，等价于f（x）在[0，+∞）的最小值大于零．试题解析：解：（1）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是． 4（2）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．【考点】1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.利用导数研究函数的单调性．.3.已知函数f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R．（1）若a＝－4，求函数f(x)的单调区间；（2）求y＝f(x)的极值点（即函数取到极值时点的横坐标）．【答案】（1）f(x)的单调增区间为（-1,3），单调减区间为（3,+∞）。

（2）ⅰ. 7分ⅱ.当时，若,由函数的单调性可知f(x)有极小值点；有极大值点。

若时， f(x)有极大值点,无极小值点。

【解析】（1）因为，f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R，定义域为（-1，+∞）。

所以，，故，f(x)的单调增区间为（-1,3），单调减区间为（3,+∞）。

（2）因为，f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R，定义域为（-1，+∞）。

高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）当a≥0时，递增区间为(0，＋∞)；当a＜0时，递减区间是(0，)；递增区间是(，＋∞)；（Ⅱ）．【解析】解题思路：（Ⅰ）求定义域与导函数，因含有参数，分类讨论求出函数的单调区间；（Ⅱ）利用“函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立”，得到不等式恒成立；再分离参数，求函数的最值即可.规律总结：若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立.试题解析：（Ⅰ）f′(x)＝2x＋＝，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．①当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a＜0时，f′(x)＝．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：x(0，)(，＋∞)－0＋由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，＋∞)．（Ⅱ）由g(x)＝＋x2＋2aln x，得g′(x)＝－＋2x＋，由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立．即a≤－x2在[1,2]上恒成立．令h(x)＝－x2，在[1,2]上h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)＜0，＝h(2)＝－，所以a≤－．所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min故实数a的取值范围为{a|a≤－}.【考点】1.利用导数求函数的单调区间；2.根据函数的单调性求参数.2.函数的部分图象大致为( ).【答案】D【解析】，为奇函数，图像关于原点对称，排除选项Ｂ；，所以排除选项Ａ；当时，，所以排除选项Ｃ；故选选项Ｄ.【考点】函数的图像.3.已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．【答案】（1）；（2）减区间(0,1)，增区间(1,+∞)【解析】(1)由函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值可知,解得;(2)由(1)可知,其定义域是(0,+∞),由,得由,得所以函数的单调减区间(0,1)，增区间(1,+∞).试题解析：(1)又函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值,所以解得.(2)由(1)可知,其定义域是(0,+∞)由,得由,得所以函数的单调减区间(0,1)，增区间(1,+∞).【考点】1.导数与极值;2.导数与单调性4.函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0B．a＜1C．a＜0D．a≤1【答案】【解析】当时,在上为减函数,成立;当时, 的导函数为,根据题意可知, 在上恒成立,所以且,可得.综上可知.【考点】导数法判断函数的单调性;二次函数恒成立.5.已知在R上开导，且，若，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，由，则，在上为增函数，，所以的解集为,故选B.【考点】函数的单调性与导数的关系.6.设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是 ( )A．B．C．D．【答案】D.【解析】先根据可确定，进而可得到在时单调递增，结合函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数可确定在时也是增函数．于是构造函数知在上为奇函数且为单调递增的，又因为，所以，所以的解集为，故选D．【考点】利用导数研究函数的单调性．7.在上可导的函数的图形如图所示，则关于的不等式的解集为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】由图象可知f′（x）=0的解为x=-1和x=1函数f（x）在（-∞，-1）上增，在（-1，1）上减，在（1，+∞）上增∴f′（x）在（-∞，-1）上大于0，在（-1，1）小于0，在（1，+∞）大于0当x＜0时，f′（x）＞0解得x∈（-∞，-1）当x＞0时，f′（x）＜0解得x∈（0，1）综上所述，x∈（-∞，-1）∪（0，1），故选A．【考点】函数的图象；导数的运算；其他不等式的解法．8.函数，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有 | f(x1)－f (x2)|≤ t，则实数t的最小值是()A．20B．18C．3D．0【答案】A【解析】所以在区间，单调递增，在区间单调递减．，，，，可知的最大值为20 .故的最小值为20.【考点】利用导数求函数的单调性与最值.9.设函数.（1）若在时有极值，求实数的值和的极大值；（2）若在定义域上是增函数,求实数的取值范围．【答案】（1）极大值为（2）【解析】（1）先求导，根据在时有极值，则，可求得的值。

高三数学利用导数研究函数的单调性试题1.函数在内单调递减，则实数a的范围为．【答案】．【解析】∵函数f（x）=x3-ax2+4在（0，2）内单调递减，∴f′（x）=3x2-2ax≤0在（0，2）内恒成立，即在（0，2）内恒成立，∵∴，答案为．【考点】利用导数研究函数的单调性.2.设函数，其中（1）讨论在其定义域上的单调性；（2）当时，求取得最大值和最小值时的的值.【答案】（1）在和内单调递减，在内单调递增；（2）所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.【解析】（1）对原函数进行求导，，令，解得，当或时；从而得出，当时，.故在和内单调递减，在内单调递增.（2）依据第（1）题，对进行讨论，①当时，，由（1）知，在上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值.②当时，.由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，因此在处取得最大值.又，所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.（1）的定义域为，.令，得，所以.当或时；当时，.故在和内单调递减，在内单调递增.因为，所以.①当时，，由（1）知，在上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值.②当时，.由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，因此在处取得最大值.又，所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.【考点】1.含参函数的单调性；2.含参函数的最值求解.3.设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围．【答案】(e，＋∞)【解析】解：令f′(x)＝－a＝<0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，进而解得x>a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝e x－a＝0，得x＝ln a．当x<ln a时，g′(x)<0；当x>ln a时，g′(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.综上，a的取值范围为(e，＋∞)．4.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，求出导函数，所以曲线在处的切线斜率，又，进而得出切线方程；（2）易得函数的定义域为，对函数进行求导得，令并在定义域范围内解之，即，再对其分和进行分类讨论，求得函数的单调增区间，函数的单调增区间在定义域内的补集即为函数的单调减区间；由题意得：对任意，使得恒成立，只需在区间内，，对进行分类讨论，从而求出的取值范围.(1)时,曲线在点处的切线方程(2)①当时, 恒成立,函数的递增区间为②当时,令,解得或（舍去）x( 0,)-+所以函数的递增区间为,递减区间为(3)由题意知对任意的,,则只需对任意的,①当时,在上是增函数,所以只需，而，所以满足题意;②当时,,在上是增函数, 所以只需而，所以满足题意;③当时,,在上是减函数,上是增函数,所以只需即可，而，从而不满足题意;综合①②③实数的取值范围为.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值中的应用.5.函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】∵f′（x）=3x2+2ax+3，又f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=30﹣6a=0则a=5．故选D6.已知函数在区间[－1，2]上是减函数，那么b+c( )A．有最大值B．有最大值－C．有最小值D．有最小值－【答案】B【解析】由f(x)在[－1，2]上是减函数，知，x∈[－1，2]，则15+2b+2c0b+c．7.已知函数．(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性;(2)当m≤2时，证明f(x)>0．【答案】（1）m=1(讨论见解析)；（2）见解析．【解析】(1)．由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0，所以m=1．于是f(x)=e x－ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．函数在(－1，+∞)上单调递增，且f '(0)=0，因此当x∈(－1，0)时， f '(x)<0;当x∈(0，+∞)时， f '(x)>0．所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．(2)当m≤2，x∈(－m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)>0．当m=2时，函数在(－2，+∞)上单调递增．又f '(－1)<0， f '(0)>0，故f '(x)=0在(－2，+∞)上有唯一实根，且．当时， f '(x)<0;当时， f '(x)>0，从而当时，f(x)取得最小值．)=0得=，，由f '(x故．综上，当m≤2时， f(x)>0．8.已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0.其中正确结论的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】C【解析】∵f(x)＝x3－6x2＋9x－abc.∴f′(x)＝3x 2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.依题意有，函数f(x)＝x3－6x2＋9x－abc的图象与x轴有三个不同的交点，故f(1)f(3)＜0，即(1－6＋9－abc)(33－6×32＋9×3－abc)＜0，∴0＜abc＜4，∴f(0)＝－abc＜0，f(1)＝4－abc＞0，f(3)＝－abc＜0，故②③是对的，应选C.9.函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为 ()．A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．10.已知f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．【答案】（1）当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)．（2）(－∞，0]．【解析】(1)∵f(x)＝e x－ax－1(x∈R)，∴f′(x)＝e x－a.令f′(x)≥0，得e x≥a.当a≤0时，f′(x)>0在R上恒成立；当a>0时，有x≥ln a．综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)．(2)由(1)知f′(x)＝e x－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝e x－a≥0恒成立，即a≤e x在R上恒成立．∵x∈R时，e x>0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]．11.若函数存在极值，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵函数存在极值点，∴有解，∴∴∵时，，∴，故选A．【考点】应用导数研究函数的单调性、极值.12.已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)下面四个图象中，的图象大致是 ( )【答案】C【解析】由函数的图象可知，当时，在上是增函数，同理可得在上是减函数，在上是减函数，故选C．【考点】导数与函数的单调性．13.已知R，函数e．（1）若函数没有零点，求实数的取值范围；（2）若函数存在极大值，并记为，求的表达式；（3）当时，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）详见试题解析．【解析】（1）令得，∴．再利用求实数的取值范围；（2）先解，得可能的极值点或，再分讨论得函数极大值的表达式；（3）当时，，要证即证，亦即证，构造函数，利用导数证明不等式．试题解析：(1)令得，∴． 1分∵函数没有零点，∴，∴． 3分(2)，令，得或． 4分当时，则，此时随变化，的变化情况如下表：当时，取得极大值； 6分当时，在上为增函数，∴无极大值． 7分当时，则，此时随变化，的变化情况如下表:当时，取得极大值，∴ 9分(3)证明：当时， 10分要证即证，即证 11分令，则． 12分∴当时，为增函数；当时为减函数，时取最小值，，∴．∴，∴． 14分【考点】1．函数的零点；2．函数的导数与极值；3．不等式的证明．14.若=上是减函数，则的取值范围是___________.【答案】【解析】转化为在上恒成立，即在上恒成立，令，所以，则的取值范围是.【考点】1.导数判断函数的单调性；2.不等式恒成立.15.已知为函数图象上一点，O为坐标原点，记直线的斜率．（1）若函数在区间上存在极值，求实数m的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：．【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）在函数定义域范围内求函数的极值，则极值点在内；（2）首先根据条件分离出变量，由转化成求的最小值（利用二次求导判单调性）；（3）结合第（2）问构造出含的不等关系，利用裂项相消法进行化简求和.试题解析：（1）由题意， 1分所以 2分当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值． 3分因为函数在区间（其中）上存在极值，所以，得．即实数的取值范围是． 4分（2）由得，令，则． 6分令，则，因为所以,故在上单调递增． 7分所以,从而在上单调递增,所以实数的取值范围是． 9分（3）由(2) 知恒成立,即 11分令则， 12分所以，， ,．将以上个式子相加得：，故． 14分【考点】1.函数极值、最值的求法；2.函数单调性的判定；3.恒成立问题的转化.16.已知函数，.（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）有极大值为;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先明确函数的定义域，然后利用求导的方法研究函数的单调性，进而确定函数的极值；（Ⅱ）利用转化思想将原不等式转化为在上恒成立，然后借助构造函数求解函数的最大值进而探求的取值范围.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为。

专题02 利用导数求函数单调区间与单调性专项突破一 利用导数判断或证明函数单调性一、多选题1．若函数f （x ）的导函数在定义域内单调递增，则f （x ）的解析式可以是（ ）A ．()2sin f x x x =+B ．()2f x x =C ．()1cos f x x =+D ．()2ln f x x x =+【解析】A ：由()()2sin 2cos f x x x f x x x '=+⇒=-，令()()2cos g x f x x x '==-，因为()2sin 0g x x '=+>，所以函数()f x '是实数集上的增函数，符合题意；B ：由()()22f x x f x x '=⇒=，因为一次函数()2f x x '=是实数集上的增函数，所以符合题意；C ：由()()1cos sin f x x f x x '=+⇒=-，因为函数()sin f x x '=-是周期函数，所以函数()sin f x x '=-不是实数集上的增函数，因此不符合题意；D ：由()()21ln 2f x x x f x x x '=+⇒=+，令()()12g x f x x x'==+，则()2221212x g x x x -'=-=，当2x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，因此不符合题意， 故选：AB 二、解答题2．已知函数()()21e xf x x x a -=++-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 至少有两个零点，求a 的取值范围．【解析】(1)由2()(21)e (1)e (1)e x x x f x x x x x x ---'=+-++=-， 在(,0)-∞，(1,)+∞上()0f x '<，在(0,1)上()0f x '>， 所以()f x 在(,0)-∞上递减，(0,1)上递增，(1,)+∞上递减.(2)由（1）知：()f x 极小值为(0)1f a =-，极大值为3(1)ef a =-，要使()f x 至少有两个零点，则1030ea a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩，可得31e a ≤≤.3．设函数()323f x x ax b =-+.(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处与直线8y =相切，求a ，b 的值； (2)讨论函数()y f x =的单调性.【解析】(1)由题意知，2()36f x x ax '=-，又(2)8(2)0f f '==，即322232832620a b a ⎧-⨯+=⎨⨯-⨯=⎩，解得112a b ==，； (2)已知2()36f x x ax '=-，令()0f x '=，知1202x x a ==， 当0a =时，2()30f x x '=≥，此时函数()f x 在R 单调递增当0a >时，令()00f x x '>⇒<或2x a >，令()002f x x a '<⇒<<， 所以函数()f x 在(0)(2)a ∞∞-+，、，上单调递增，在(02)a ，上单调递减， 当0a <时，令()02f x x a '>⇒<或0x >，令()020f x a x '<⇒<<， 所以函数()f x 在(2)(0)a ∞∞-+，、，上单调递增，在(20)a ，上单调递减. 4．已知函数()1()x f x e axlnx a R =--∈，2()x g x xe x =-．当1a =时，求证：()f x 在(0,)+∞上单调递增. 【解析】证明：当1a =时，()ln 1x f x e x x =--，(0,)x ∈+∞，则()1x f x e lnx '=--，又1()x f x e x ''=-在(0,)+∞上单调递增，且1()202f ''<，且f ''（1）10e =->，01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得0001()0xf x e x ''=-=，当0(0,)x x ∈时，()0f x ''<，当0(x x ∈,)+∞时，()0f x ''>，()f x ∴'在0(0,)x 上单调递减，在0(x ,)+∞上单调递增，000()()1x f x f x e lnx ∴'≥'=--，0010x e x -=，∴001x e x =，00ln x x =-，001()10f x x x ∴'=+->，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增.5．已知函数()()()()211422ln f x x x a a x =-+-+-，讨论()f x 的单调性；【解析】因为2()(1)(14)(22)ln f x x x a a x =-+-+-，所以[][]2'2(1)(1)22()24(0)x a x a a f x x a x x x---+-=-+=>， 当1a ≤-时，110a a -<+≤，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增．当11a -<≤时，10a -≤，10a +>，若(1,1)x a a ∈-+，则'()0f x <，()f x 单调递减，若(0,1)x a ∈-，则'()0f x >，()f x 单调递增．当1a >时，110a a +>->，若(1,1)x a a ∈-+，则'()0f x <，()f x 单调递减，若 (0,1)x a ∈-或(1,)x a ∈++∞，则'()0f x >，()f x 单调递增．综上可得，当1a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当11a -<≤时()f x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(1,1)a a -+上单调递减，在(0,1)a -，(1,)a ++∞上单调递增． 6．已知a ∈R ，设函数()()ln ln f x a x a x =++. (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)若()2ln xf x a x a≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)()()()11a x a a f x x a x x x a ++'=+=++，0x >且x a >-， ①0a ≥，()0f x '>，()f x 单调递增；②1a ≤-，()0f x '<，()f x 单调递减； ③10a -<<，01aa a ->->+， ,1a x a a ⎛⎫∈-- ⎪+⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，,1a x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪+⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； 综上，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a ≤-时，()f x 在(,)a -+∞单调递减； 当10a -<<时，()f x 在,1a a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭单调递减，在,1a a ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭单调递增 (2)()()2ln ln lnxf x a x a x a x a=++≤+， 即()2ln ln 0a x a a x a +-+≤，令()()2ln ln h x a x a a x a =+-+， 则()232a a x a a h x a x a x a -+-'=-=++，令()0h x '=，可得21a x a-=， 当1a ≥时，()0h x '≤，则()h x 在()0,∞+单调递减，则只需满足()0ln ln 0h a a a =+≤，∴ln 0≤a ，解得01a <≤，∴1a =；当01a <<时，可得()h x 在210,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在21,a a ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭单调递减，则()()22max11ln 1ln 0a h x h a a a a a a ⎛⎫-==--+≤ ⎪⎝⎭，整理可得2ln 0a a a --≤，令()2ln a a a a ϕ=--，则()()()121121a a a a a aϕ-+-'=--=， ()1002a a ϕ'>⇒<<，()1012a a ϕ'<⇒>>，则可得()a ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则()max 13ln 2024a ϕϕ⎛⎫==--< ⎪⎝⎭，故01a <<时，()0h x ≤恒成立，综上，01a <≤；7．已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R .(1)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(2)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【解析】（1）由题意2()f x x ax '=-，所以，当2a =时，(3)0f =，2()2f x x x =-'， 所以(3)3f '=，因此，曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程是3(3)y x =-， 即390x y --=.（2）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+---()()sin x x a x a x =---()(sin )x a x x =--， 令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增，因为(0)0h =， 所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <. （1）当0a <时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增.所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--，当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-. （2）当0a =时，()(sin )g x x x x '=-， 当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值. （3）当0a >时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(0,)x a ∈时，0x a -<，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(,)x a ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增. 所以当0x =时()g x 取到极大值，极大值是(0)g a =-； 当x a =时()g x 取到极小值，极小值是31()sin 6g a a a =--.综上所述：当0a <时，函数()g x 在(,)a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是31()sin 6g a a a =--，极小值是(0)g a =-；当0a =时，函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6g a a a =--.专项突破二 利用导数求函数单调区间(不含参)一、单选题1．函数()1e 2xf x x =-的单调减区间是（ ）A ．(2),ln -∞B ．(ln2,)+∞C ．(–),2∞D ．(2,)+∞【解析】1()1e 2xf x '=-,由()0f x '<，得ln 2x >，所以()f x 的单调递减区间为(ln2,)+∞.故选：B2．函数()()2ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．112⎛⎫⎪⎝⎭， D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由题得函数的定义域为(0,)+∞.()121222x f x x x-'=-⨯=， 令1()0,02f x x '<∴<<.所以函数的单调递减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A 3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()2ln 1f x x f x '=+，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【解析】由()()2ln 1f x x f x '=+得1()2(1)f x f x x''=+，所以(1)12(1)f f ''=+，(1)1f '=-， 2112()2x f x x x x -'=-=，因为0x >，所以由212()0x f x x -'=>得0x <<C ． 4．已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．(-∞,0)B ．(1,+∞)C ．(-∞,1)D ．(0,+∞)【解析】由题设()()()22e 0x f x f f x -''=-+，则()()()2202f f f ''=-+，可得()02f =，而()()2022e f f -'==，则()2e 22f '=，所以()212e 22xf x x x =-+，即()2e 2x f x x '=-+，则()00f '=且fx 递增，当0x <时0f x，即()f x 递减，故()f x 递减区间为(-∞,0).故选：A二、多选题 5．函数()1ln f x x x=的一个单调递减区间是（ ） A ．（e ，+∞）B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，1e ）D ．（1e，1）【解析】()f x 的定义域为()()0,11,+∞，()()()'2210ln 1ln ln ln x x x x f x x x x x ⎛⎫-+⨯ ⎪+⎝⎭==-， 所以()f x 在区间()1,1,1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()'0f x <，()f x 递减，所以AD 选项符合题意.故选：AD三、填空题6．函数()2ln f x x x x =+-的单调递增区间是______．【解析】()2ln f x x x x=+-的定义域为()0,∞+，()()()2222211221x x x x f x x x x x -+--='=--=，令()0f x '>，解得：2x >或1x <-， 因为定义域为()0,∞+，所以单调递增区间为()2,+∞.7．函数()2cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的增区间为___________.【解析】由已知得()12sin f x x =-'，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，即12sin 0x ->，解得π06x <<，令()0f x '<，即12sin 0x -<，解得ππ62x <<， 则()f x 的单调递增区间为π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为:π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭.四、解答题8．已知函数2()ln 3f x x x x=++． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．【解析】(1),()0x ∈+∞，22221232(32)(1)()3x x x x f x x x x x +--+=-+=='， 解()0f x '<得20,3x <<解()0f x '>得2,3x >所以()f x 的单调减区间是20,,()3f x ⎛⎤ ⎥⎝⎦的单调增区间是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．(2)由（1）知(1)2f '=，而(1)5f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为52(1)y x -=-，即23y x =+．专项突破三 利用导数求函数单调区间(含参)1．设函数()e 2xf x ax =--，求()f x 的单调区间．【解析】()f x 的定义域为(),-∞+∞，()e xf x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增．若0a >，则当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增． 2．已知函数()()21ln 12f x a x x a x =+-+. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥ 0对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)求导可得()(1)()(0)>'--=x a x f x x x①0a ≤时，令()0f x '<可得1x <，由于0x >知01x <<；令()0f x '>，得1x > ∴函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；②01a <<时，令()0f x '<可得1<<a x ；令()0f x '>，得1x >或x a <，由于0x >知0x a <<或1x >；∴函数()f x 在(,1)a 上单调递减，在(0,),(1,)+∞a 上单调递增； ③1a =时，()0f x '≥，函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增；④1a >时，令()0f x '<可得1x a <<；令()0f x '>，得x a >或1x <，由于0x >知01x <<或x a > ∴函数()f x 在(1,)a 上单调递减，在(0,1),(,)+∞a 上单调递增； (2)由（1）0a ≥时，1(1)02f a =--<，（不符合，舍去）当0a <时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故函数在1x =处取得最小值，所以函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立时，只需要(1)0f ≥即可 ，∴12a ≤-.综上，12a ≤-.3．设函数()()32211,3f x x x m x =-++-其中0m >．（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率； （2）求函数()f x 的单调区间．【解析】（1）由题设，()3213f x x x =-+，则()22f x x x '=-，∴()11f '=，故点()()1,1f 处的切线斜率为1.（2）由题设，()()2221f x x x m '=-++-，又2244(1)40m m ∆=+-=>，∴()(1)(1)f x x m x m '=-+++-，且11m m -<+， 当0f x 时，11m x m -<<+，()f x 单调递增； 当0fx时，1x m <-或1x m >+，()f x 单调递减；∴()f x 在(1,1)m m -+上递增，在(,1)m -∞-、(1,)m ++∞上递减.4．已知函数()()22x xf x ae a e x =+--，讨论()f x 的单调性．【解析】()f x 的定义域为R ，()()()22211(21)x x x xf x ae a e ae e '=+--=-+，若0a ≤，则()0f x '<恒成立，故()f x 在(),-∞+∞上为减函数； 若0a >，则当ln x a <-时，()0f x '<，当ln x a >-时，()0f x '>， 故()f x 在()ln ,a -+∞上为增函数，在(),ln a -∞-上为减函数，综上，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上为减函数；当0a >时，()f x 在()ln ,a -+∞上为增函数，在(),ln a -∞-上为减函数． 5．已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的值．【解析】(1)()()21a f x x a x ax a x x'=--=--，令()0f x '=，得20x ax a --=．因为0a >，则240a a ∆=+>，即原方程有两根设为12,x x 0x >，所以10x =<（舍去），2x =则当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '> ()f x在⎛ ⎝⎭上是减函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是增函数．(2)由（1）可知()()2min f x f x =．①若()20f x =，则()()220,0,f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即222222210,20,x alnx ax x ax a ⎧--=⎪⎨⎪--=⎩，可得2212ln 0x x --=，设()12ln h x x x =--，()h x 在()0,∞+上单调递减所以()0h x =至多有一解且()10h =，则21x =，代入解得12a =． ②若()20f x <，则()()220,0,f x f x ⎧<⎪⎨='⎪⎩，即222222210,20,x alnx ax x ax a ⎧--<⎪⎨⎪--=⎩，可得2212ln 0x x --<，结合①可得21>x ，因为211ex <<，21111ln e 2ee ef a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2102e e a a =+->，所以()y f x =在21,ex ⎛⎫⎪⎝⎭存在一个零点．当4x a >时，()2ln f x ax a x ax >--()ln 0a x x =->，所以()y f x =在()2,x +∞存在一个零点．因此()y f x =存在两个零点，不合题意 综上所述：12a =．6．已知函数()()e 1xf x m x =++()m ∈R .(1)当1m =时，求()f x 在()()22f ,处的切线方程； (2)讨论()f x 的单调性.【解析】(1)当1m =时，()e 2x f x x =+，()22e 4f =+，()e 2x f x '=+，()22e 2f '=+，故()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()22e 4e 22y x -+=+-，即()22e 2e 0x y +--=；(2)()e 1xx m f =++'，当10m +≥，即1m ≥-时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增； 当10+<m ，即1m <-时，由()0f x '>，得()ln 1x m >--，由()0f x '<，得()ln 1x m <--， ∴()f x 在()()ln ,1m -∞--上单调递减，在()(),ln 1m --+∞上单调递增． 综上所述，当1m ≥-时，()f x 在R 上单调递增；当1m <-时，()f x 在()()ln ,1m -∞--上单调递减，在()(),ln 1m --+∞上单调递增． 7．设函数2()(2)ln ()f x x a x a x a R =+--∈. (1)若1a =，求()f x 的极值； (2)讨论函数()f x 的单调性.【解析】(1)当1a =时，2()ln f x x x x =--(0)x >， 所以2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==， 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增，当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减， 所以当1x =时，该函数有极小值(1)0f =，无极大值. (2)由2()(2)ln (0)f x x a x a x x =+-->，22(2)(2)(1)()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x+--+-'⇒=+--==，当0a ≥时，当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增，当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当0a <时，1()02af x x '=⇒=-，或21x =，当2a =-时，22(1)()0x f x x-'=≥，函数在0x >时，单调递增， 当2a <-时，12a ->， 当01x <<时，()0,()f x f x '>单调递增，当12a x <<-时，()0,()f x f x '<单调递减， 当2a x >-时，()0,()f x f x '>单调递增， 当20a -<<时，12a -<， 当02a x <<-时，()0,()f x f x '>单调递增， 当12a x -<<时，()0,()f x f x '<单调递减， 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增，综上所述：当0a ≥时， ()f x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减；当2a =-时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2a <-时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)2a -单调递减，在(,)2a -+∞上单调递增； 当20a -<<时，()f x 在(0,)2a -单调递增，在(,1)2a -单调递减，在(1,)+∞上单调递增 8．已知函数()2()ln(1)2f x x a x x =++++(其中常数0a >)，讨论()f x 的单调性； 【解析】21231()(21)11ax ax a f x a x x x +++=++=++， 记2()231g x ax ax a =+++，28a a ∆=-，①当0∆≤，即08a <≤时，()0g x ≥，故'()0f x ≥，所以()f x 在(1,)-+∞单调递增．②当0∆>，即当8a >时，()0g x =有两个实根1x ，2x 注意到(0)10g a =+>， (1)610g a =+>且对称轴3(1,0)4x =-∈-，故12(),1,0x x ∈-，所以当11x x -<<或2x x >时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增；当2i x x x <<时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当08a <≤时，()f x 在(1,)-+∞单调递增；当8a >时，()f x 在(-和)+∞上单调递增，在上单调递减．专项突破四 利用函数单调性比较大小一、单选题1．已知ln 33a =，1e b =，ln 55c =，则以下不等式正确的是（ ） A ．c b a >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >> 【解析】令()ln x f x x =,则()21ln x f x x -'=, 当0e x <<时,()()0,f x f x '>单调递增,当e x >时,()()0,f x f x '<单调递减,因为e<35<,所以()()()e 35f f f >>,所以b a c >>故选:C2．设11011,ln2,10a b c e ===，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．a b c >> 【解析】根据题意，111,ln2110a b =>=<，则a b >， 构造函数()1(0)x f x e x x =-->，所以()10x f e x ='->恒成立，所以()1xf x e x =--在()0,∞+上单调递增，所以()110111001010f e f ⎛⎫=-->= ⎪⎝⎭，即1101110e >，所以c a >，故c a b >>.故选：A3．已知a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．b a c >>【解析】根据题意，ln55a =，1ln =e b e e -=，ln88c =. 令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=，由()0f x '<得x e >；由()0f x '>得0x e <<； 则函数()f x 在()0e ，上单调递增，在(),e +∞上单调递减，又58e <<，所以()()()58f e f f >>，因此b a c >>．故选：D ．4．已知函数()sin f x x x =，ln 22a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，sin 3b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，(ln )c f π=，则a ，b ，c 大小（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<【解析】由题意，函数()sin f x x x =，可得()sin cos f x x x x '=+，当(0,)2x π∈时，可得()0f x '>，()f x 单调递增，又由ln 21,sin ln 1223e ππ==>=，且3ln 2π<=， 所以ln 20sin ln 232πππ<<<<，所以a b c <<.故选：B. 5．已知()232ln 3ln 31,,e 3ea b c -===，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．a b c >> 【解析】由题可知22e ln ln 3ln e 3,,e 33a b c e ===，构造函数ln ()x f x x=，则21ln ()x f x x -'=， 所以()f x 在()0,e 单调递增，()e,∞+单调递减，所以()()max e f x f =，即c 最大；对于a 、b ，构造函数()()2e ,(e)g x f x f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 因为()222222e e ln ln 2ln e e e e x x x x x f x x-⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令()()22ln e x x h x -=，得()21ln e x h x -'=， 在(,)e +∞上，()()22221ln 1ln 111ln 0e e x x g x x x x--⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭'，()g x 单调递增； 所以()()3e 0g g >=，从而()2e 303f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，(3)b f =，2()3e a f =，即b a >，综上，c b a >>.故选：A 6．若2e 2e x x y y ---<-，则（ ）A ．()ln 10y x -+<B ．()ln 10y x -+>C ．ln 0x y ->D ．ln 0x y -<【解析】令()2e x x f x -=-，则()2ln 2e 0x x f x -'=+>恒成立，故()2e x x f x -=-单调递增，由2e 2e x x y y ---<-可得：x y <，故()ln 1ln10y x -+>=，A 错误，B 正确；x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故不能确定ln x y -与0的大小关系，CD 错误. 故选：B7．已知21ln 2ln3,,e 49a b c ===，则（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【解析】设2ln ()x f x x =，则()()()e ,2,3a f b f c f ===，又312ln ()-'=x f x x ，于是当)x ∞∈+时，()0f x '<，故2ln ()x f x x =2e 3=<<，则有()()()3e 2f f f <<，即c a b <<.故选：B. 8．已知函数()f x '为函数()f x 的导函数，满足()tan ()x f x f x '⋅>，6a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，4b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3c π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下面大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【解析】根据题意，()()tan ()tan ()0x f x f x x f x f x ''⋅>⇔⋅->，变换可得：()()()()cos tan 0tan 0tan sin f x f x x x f x x f x x x ⋅⎛⎫⎛⎫''->⇔-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin ()0cos sin x f x x x '⎛⎫⇔> ⎪⎝⎭， 解析可得，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0x >，()0sin f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， cos 0x <，()0sin f x x '⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以函数()()sin f x g x x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以643sin sin sin 643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<，即2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A. 9．已知ln a ππ=，2ln 2b =，c e =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c << 【解析】ln a ππ=，2ln 2b =，ln e c e e ∴== 构造函数()ln x f x x=且()2ln 1()ln x f x x -'= 当1x e <<时ln 1x <,此时()2ln 1()0ln x f x x -'=<;当x e >时ln 1x >,此时()2ln 1()0ln x f x x -'=>. 故()ln x f x x=当()1,x e ∈单调递减,当(,)x e ∈+∞单调递增. 故min ()()f x f e e c === 故,a c b c >> ，2224(4)ln 22ln 2ln 4b f ⋅==== 又40(4)()f f ππ>>∴> 即b a > ，故c a b <<，故选: B10．若01a b <<<，则（ ）A ．e e ln ln b a b a -<-B ．e e ln ln b a b a -≥-C ．e e a b b a ≤D ．e e a b b a >【解析】对于A,B,令()e ln x f x x =- ，则1()e x f x x'=-， 当01x <<时，1()e x f x x'=-单调递增，且2132123()e 20,()e 0232f f ''=-<=-=>> 故存在012(,)23x ∈ ，使得0()0f x '=， 则当0(0,)x x ∈时，()e ln x f x x =-递减，当0(,1)x x ∈时，()e ln x f x x =-递增，由于01a b <<<，此时()e ln ,()e ln a b f a a f b b =-=-大小关系不确定，故A,B 均不正确；对于C,D,设e g()=x x x ，则e (1)g ()=x x x x-'， 当01x <<时，()0g x '<，故e g()=xx x 单调递减， 所以当01a b <<<时，()()g a g b > ，即e e a b a b> ，即e e a b b a >， 故C 错误，D 正确，故选：D 11．设20222020a =，20212021b =，20202022c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【解析】∵ln2020ln 2022ln20202021ln2021ln 2021ln20212022a b ==，构造函数()()2ln 1x f x x e x =≥+，()()21ln 1x x x f x x x +-'=+， 令()1ln g x x x x =+-，则()ln 0g x x '=-<，∴()g x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，∴()()2210g x g e e ≤=-<，故()0f x '<， ∴()f x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，∴()()202020210f f >>，∴()()2020ln 1ln 2021f a b f => ∴ln ln a b >.∴a b >，同理可得ln ln b c >，b c >，故a b c >>，故选：A二、多选题12．下列命题为真命题的个数是（ ）A．ln3< B．ln π<C．15< D．3eln2<【解析】设函数()0f x x =>，则()f x '==当20e x <≤时，()0f x '>，当2e x >时，()0f x '<，故()0f x x =>在2(0,e ) 上递增，在2(e ,)+∞ 上递减， 对于A ，由234e << ，故(3)(4)f f <,<， 即2ln 2,ln 322<<，A 正确； 对于B ，2e<π <e ，故(e)(π)f f <<ln πB 错误； 对于C ，21615e >> ，故(16)(15)f f <4ln 24<<故ln 22ln15<<，则ln 15<<，故C 正确； 对于D ，28e > ，故2(8)(e )f f <22e<，即3eln2<D 正确，故选：ACD专项突破五 函数与导函数图像关系一、单选题1．函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，图像如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≥的解集为（ ）A ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦D ．3148,,2333⎛⎤⎡⎤--⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 【解析】()0f x '≥的解集即为()y f x =单调递增区间结合图像可得()y f x =单调递增区间为[]31,,1,223⎛⎤-- ⎥⎝⎦则()0f x '≥的解集为[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦，故选：C ． 2．如图是函数y =f （x ）的导函数()y f x '=的图象，则下列判断正确的是（ ）A ．在区间()2,1-上f （x ）单调递增B ．在区间（1，3）上f （x ）单调递减C ．在区间()4,5上f （x ）单调递增D ．在区间（3，5）上f （x ）单调递增 【解析】由导数图象知，在区间32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上小于0，在3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭上大于0，函数f （x ）先减后增，A 错误； 在区间()1,2上大于0，在()2,3上小于0，函数f （x ）先增后减，B 错误；在区间()4,5上大于0，函数f （x ）单调递增，C 正确；在区间()3,4上小于0，在()4,5上大于0，函数f （x ）先减后增，D 错误.故选：C.3．函数f （x ）的图象如图所示，则()0x f x '⋅<的解集为（ ）A ．()()320,1--,B ．()(),13,-∞-⋃+∞C ．()()2,10,--⋃+∞D ．()(),31,-∞-⋃+∞ 【解析】由函数图象与导函数大小的关系可知：当()(),3,2,1x x ∞∈--∈-时，()0f x '<，当()()3,2,1,x x ∞∈--∈+时，()0f x '>，故当()()(),3,2,0,1,,x x x ∞∈--∈-∈+∞时，()0x f x '⋅>；当()0,1x ∈时，()0x f x '⋅<；当()3,2x ∈--时，()0x f x '⋅<，故()0x f x '⋅<的解集为()()320,1--,.故选：A4．若函数()y f x =的导函数图象如图所示，则该函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】由导函数图像可知，原函数的单调性为先单增后单减再单增，符合的只有A 选项. 故选：A5．已知()21cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()y f x '=的图像大致是（ ） A ．B ．C ． D ． 【解析】1()sin 2f x x x '=-，()'f x 为奇函数，则函数()f x '的图像关于原点对称，排除选项A 、D ，令()()g x f x '=，1()cos 2g x x '=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故选B ． 6．已知函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．()()()()224224f f f f ''<-<B ．()()()()222242f f f f '<<-C ．()()()()222442f f f f ''<<-D ．()()()()422422f f f f ''-<<【解析】由函数()f x 的图象可知，当0x ≥时，()f x 单调递增，所以(2)0f '>，(4)0f '>，(4)(2)0f f ->，由此可知，()'f x 在(0,)+∞上恒大于0，因为直线的斜率逐渐增大，所以()'f x 单调递增，结合导数的几何意义， 故(4)(2)(2)(4)42f f f f -''<<-，所以()()()()224224f f f f ''<-<，故选：A ．。

高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.我们把形如y＝f(x)φ(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y＝φ(x)lnf(x)，两边求导得＝φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·，于是y′＝f(x)φ(x)[φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·]．运用此方法可以探求得y＝x的单调递增区间是________．【答案】(0，e)【解析】由题意知y′＝x (－ln x＋·)＝x·(1－ln x)，x>0，>0，x>0，令y′>0，则1－ln x>0，所以0<x<e.2.已知函数f(x)＝(ax＋1)e x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值．【答案】（1）见解析（2）当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；当0<a≤1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为.【解析】解：依题意，函数的定义域为R，f′(x)＝(ax＋1)′e x＋(ax＋1)(e x)′＝e x(ax＋a＋1)．(1)①当a＝0时，f′(x)＝e x>0，则f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；②当a>0时，由f′(x)>0，解得x>－，由f′(x)<0，解得x<－，则f(x)的单调递增区间为(－，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(－∞，－)；③当a<0时，由f′(x)>0，解得x<－，由f′(x)<0解得，x>－，则f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，f(x)的单调递减区间为(－，＋∞)．(2)①当时，)上是减函数，在(－，0)上是增函数，则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－)＝－a·；②当时，即当0<a≤1时，f(x)在[－2,0]上是增函数，则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－2)＝.综上，当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；当0<a≤1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为.3.函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则m＝________.【答案】1【解析】f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，1<x<3，f′(x)<0；x<1或x>3，f′(x)>0，此时x＝1处取得极大值，不合题意，所以m＝1.4.设，曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)若对于任意的，恒成立，求的范围；(3)求证：【解析】（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；（2）先将原来的恒成立问题转化为lnx≤m(x−)，设g(x)＝lnx−m(x−)，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．（3）由（2）知，当x＞1时，m＝时，lnx＜(x−)成立．不妨令x＝，k∈N*，得出[ln(2k+1)−ln(2k−1)]＜，k∈N*，再分别令k=1，2，，n．得到n个不等式，最后累加可得．(1) 2分由题设，∴，. 4分(2),，，即设，即.6分①若，，这与题设矛盾. 7分②若方程的判别式当，即时，.在上单调递减，，即不等式成立. 8分当时，方程，设两根为，当,单调递增，，与题设矛盾.综上所述， . 10分(3) 由(2)知,当时, 时,成立.不妨令所以，11分12分累加可得∴∴ ---------------14分【考点】1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.导数在最大值、最小值问题中的应用．5.已知函数.（1）当时，证明：当时，；（2）当时，证明：.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将当时，转化为，对函数求导，利用单调递增，单调递减，来判断函数的单调性来决定函数最值，并求出最值为0，即得证；第二问，先将转化为且，利用导数分别判断函数的单调性求出函数最值，分别证明即可.(1)时，，令，，∴在上为增函数 3分，∴当时，，得证． 6分(2)令，，时，，时，即在上为减函数，在上为增函数 9分∴①令，，∴时，，时，即在上为减函数，在上为增函数∴②∴由①②得． 12分【考点】导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.6.已知函数.（1）当a=l时，求的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围；（3）令，是否存在实数a，当(e是自然对数的底数)时，函数g(x)最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）；（3）存在实数.【解析】（1）把代入函数解析式得，且定义域为，利用导数法可求出函数的单调区间，由，分别解不等式，，注意函数定义域，从而可求出函数的单调区间；（2）此问题利用导数法来解决，若函数在上是减函数，则其导函数在上恒成立，又因为，所以函数，必有，从而解得实数的取值范围；（3）利用导数求极值的方法来解决此问题，由题意得，则，令，解得，通过对是否在区间上进行分类讨论，可求得当时，有，满足条件，从而可求出实数的值.（1）当时，. 2分因为函数的定义域为，所以当时，，当时，.所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 4分（2）在上恒成立.令，有， 6分得，. 8分（3）假设存在实数，使有最小值3，. 9分当时，在上单调递减，，（舍去）； 10分②当时，在上单调递减，在上单调递增.，解得，满足条件； 12分③当时，在上单调递减，，（舍去）. 13分综上，存在实数，使得当时，有最小值3. 14分【考点】1.导数性质；2.不等式求解；3.分类讨论.7.设函数f(x)＝x－2msin x＋(2m－1)sin xcos x(m为实数)在(0，π)上为增函数，则m的取值范围为()A．[0，]B．(0，)C．(0，]D．[0，)【答案】A【解析】∵f(x)在区间(0，π)上是增函数，∴f′(x)＝1－2mcos x＋2(m－)cos 2x＝2[(2m－1)cos2x－mcos x＋1－m]＝2(cos x－1)[(2m－1)cos x＋(m－1)]＞0在(0，π)上恒成立，令cos x＝t，则－1＜t＜1，即不等式(t－1)[(2m－1)t＋(m－1)]＞0在(－1,1)上恒成立，①若m＞，则t＜在(－1,1)上恒成立，则只需≥1，即＜m≤，②当m＝时，则0·t＋－1＜0，在(－1,1)上显然成立；③若m＜，则t＞在(－1,1)上恒成立，则只需≤－1，即0≤m＜．综上所述，所求实数m的取值范围是[0，]．8.已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=xe x，则（）A．1是f（x）的极小值点B．﹣1是f（x）的极小值点C．1是f（x）的极大值点D．﹣1是f（x）的极大值点【答案】B【解析】f（x）=xe x⇒f′（x）=e x（x+1），令f′（x）＞0⇒x＞﹣1，∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣1，+∞）；令f′（x）＜0⇒x＜﹣1，∴函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），故﹣1是f（x）的极小值点．故选：B．9.若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】[5，7]【解析】f′(x)＝x2－ax＋(a－1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x＋1在(1，4)上恒成立且a≤x＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7.10.已知函数f(x)＝x2－mlnx＋(m－1)x，当m≤0时，试讨论函数f(x)的单调性；【答案】当－1<m≤0时单调递增区间是和(1，＋∞)，单调递减区间是；当m≤－1时，单调递增区间是和，单调递减区间是【解析】函数的定义域为，f′(x)＝x－＋(m－1)＝.①当－1<m≤0时，令f′(x)>0，得0<x<－m或x>1，令f′(x)<0，得－m<x<1，∴函数f(x)的单调递增区间是和(1，＋∞)，单调递减区间是；②当m≤－1时，同理可得，函数f(x)的单调递增区间是和，单调递减区间是.11.若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是________．【答案】a≥3【解析】f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立．令g(x)＝－2x，求导可得g(x)在上的最大值为3，所以a≥3.12.函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是()A．(-∞,0)B．(0,+∞)C．(-∞,-3)和(1,+∞)D．(-3,1)【答案】D【解析】y'=-2xe x+(3-x2)e x=e x(-x2-2x+3)>0x2+2x-3<0-3<x<1,∴函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是(-3,1).13.若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．【答案】-4【解析】∵f(x)＝x3－x2＋ax＋4，∴f′(x)＝x2－3x＋a.又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝－1×4＝－4.14.函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为 ()．A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．15.已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若方程有且只有一个解，求实数m的取值范围；（3）当且，时，若有，求证：.【答案】（1）的递增区间为，递减区间为和；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）对求导可得，令，或，由导数与单调性的关系可知，所以递增区间为，递减区间为；（2）若方程有解有解，则原问题转化为求f（x）的值域，而m只要在f（x）的值域内即可，由（1）知，，方程有且只有一个根，又的值域为，;（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，则有，，又，即，同理，又，，且在上单调递减，，即.试题解析：（1），令，即，解得，令，即，解得，或，的递增区间为，递减区间为和. 4分（2）由（1）知，， 6分方程有且只有一个根，又的值域为，由图象知8分（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，则有，，又，即， 11分，又，，且在上单调递减，，即. 13分【考点】1.导数在函数单调性上的应用；2. 导数与函数最值.16.某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为亿元，其中用于风景区改造为亿元。

高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.已知(1)如果函数的单调递减区间为,求函数的解析式；(2)对一切的,恒成立,求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）三个二次间的关系，其实质是抓住二次函数的图像与横坐标的交点、二次不等式解集的端点值、二次方程的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程的思想、化归的思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决；（2）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到；（3）(3)对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）（2）试题解析：解:(1)由题意的解集是即的两根分别是．将或代入方程得．．……4分(2)由题意:在上恒成立即可得设,则令,得(舍)当时,;当时,当时,取得最大值, =-2．的取值范围是．【考点】(1)利用函数的单调性求函数解析式；（2）利用导数解决横成立的问题．2.函数的单调递增区间是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】，；令，得，即函数的单调递增区间是.【考点】利用导数研究函数的单调性.3.已知为定义在(0,+∞)上的可导函数,且恒成立,则不等式的解集为．【答案】【解析】因为为定义在(0,+∞)上的可导函数,且恒成立，所以在上恒成立，即在上为减函数；可化为，所以，解得.【考点】解抽象不等式.4.已知函数f(x)是偶函数，在上导数>0恒成立，则下列不等式成立的是( ).A．f(-3)<f(-1)<f(2)B．f(-1)<f(2)<f(-3)C．f(2)<f(-3)<f(-1)D．f(2)<f(-1)<f(-3)【答案】B【解析】因为函数在上，所以函数在上为增函数；又因为为偶函数，所以，，所以，即.【考点】函数的奇偶性.5.函数有极值点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵函数有极值点，∴f（x）的导数 f′（x）=x2-2x+a=0有两个实数根，∴，故选D．【考点】函数存在极值的条件.6.若定义在R上的函数f(x)的导函数为，且满足，则与的大小关系为（）.A．<B．=C．>D．不能确定【答案】C【解析】构造函数，则，因为，所以；即函数在上为增函数，则，即.【考点】利用导数研究函数的单调性.7.函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）证明函数在上是增函数；（3）解不等式：.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】（1）（由是定义在上的奇函数，利用可求得，再由可求得，即可求得；（2）由（1）可得，即得函数在上是增函数；（3）由，再利用为奇函数，可得，即可求得结果.试题解析：（1）是定义在上的奇函数，；又，，；（2），，即，∴函数在上是增函数.（3），又是奇函数，，在上是增函数，，解得，即不等式的解集为.【考点】函数的奇偶性；利用导数判断函数单调性.8.已知定义域为R的函数，且对任意实数x，总有/（x）＜3则不等式＜3x－15的解集为()A．(﹣∞，4）B．（﹣∞，﹣4）C．（﹣∞，﹣4）∪（4，﹢∞）D．（4，﹢∞）【答案】【解析】设,则所求的不等式解集可理解为使的解集.的导函数为,根据题意可知对任意实数恒成立,所以在上单调递减.则,令,则根据单调递减可知:.【考点】导数法判断单调性;根据单调性解不等式.9.在区间内不是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】选项中，时都有，所以在上为单调递增函数，所以在是增函数；选项在，而在上为增函数，所以在是增函数；选项，令得或，所以在为增函数，而，所以在上增函数；选项，令，得。

利用导数探究函数的单调性一.求单调区间例1:已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解：()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.则令()()g x f x '=因为当0,1a a >≠ 所以2()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数, 又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+,故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞，变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间解：'()x f x e a =- 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调递增当0a >时，由'()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增由'()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞，二.函数单调性的判定与逆用例2.已知函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数a 的取值集合 解：2()322f x x ax '=+-因为函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数 所以2()322=0f x x ax '=+-在1132（，）上有解 所以''11()()032f f <又*a N ∈ 解得：5542a << 所以正整数a 的取值集合{2}三.利用单调性求字母取值范围 例3. 已知函数()ln xf x ax x=-，若函数()y f x =在1+?（，）上是减函数，求实数a 的最小值. 解：因为()ln xf x ax x=-在1+?（，）上是减函数 所以'2ln 1()0(ln )x f x a x -=-?在1+?（，）上恒成立 即2ln 1(ln )x a x -³在1+?（，）上恒成立令ln ,(1)t x x =>，则0t >21()(0)t h t t t -=> 则max ()a h t ³因为222111111()=()()24t h t t t t t -=-+=--+ 所以max 1()=(2)4h t h =所以14a ³变式：若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)+?上为增函数，试求实数a 的取值范围. 解：2'()=1f x x ax a -+-因为函数()y f x =在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)+?上为增函数 所以''()0(1,4)()0,(6,)f x x f x x ìï??ïíï???ïî，恒成立即2210(1,4)10,(6,)x ax a x x ax a x ì-+-??ïïíï-+-???ïî， 所以2211,(1,4)111,(6,)1x a x x x x a x x x ì-ïï?+"?ïï-íï-ï?+"??ïï-ïî所以4161a a ì?ïïíï?ïî所以57a ＃四.比较大小例4. 设a 为实数，当ln 210a x >->且时，比较x e 与221x ax -+的大小关系. 解：令2()21(0)x f x e x ax x =-+-> 则'()=22x f x e x a -+ 令'()()g x f x = 则'()e 2x g x =- 令'()0g x =得：ln 2x =当ln 2x >时，'()0g x >；当ln 2x <时，'()0g x <所以ln2min ()()=(ln2)2ln2222ln22g x g x g e a a ==-+=-+极小值 因为ln 21a >- 所以'()()0g x f x =>所以()f x 在0+?（，）上单调递增所以()(0)0f x f >= 即2210x e x ax -+-> 所以221x e x ax >-+变式：对于R 上的可导函数()y f x =，若满足'(3)()0x f x ->，比较(1)(11)f f +与2(3)f 的大小关系.解：因为'(3)()0x f x ->所以当3x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，故(11)(3)f f >当3x <时，'()0f x <，()f x 单调递减，故(1)(3)f f > 所以(1)(11)2(3)f f f +> 五.证明不等式例5.已知函数|ln |)(x x f =，()(1)g x k x =- (R)k ∈.证明：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >. 证明：令()|ln |(1)=ln (1),(1,)G x x k x x k x x =----∈+∞ 则有'11(),(1,)kx G x k x x x-=-=∈+∞ 当01k k ≤≥或时，'()0G x >，故 ()G x 在1+∞（，）上单调递增，()G(1)0G x >=.故任意实数 (1,)x ∈+∞ 均满足题意.当 01k << 时，令'()=0G x ，得11x k=>. 当1(1,)x k ∈时，'()0G x >，故 ()G x 在1(1,)k上单调递增当1()x k∈+∞，时，'()0G x <，故 ()G x 在1()k +∞，上单调递减 取01x k=，对任意0(1,)x x ∈，有'()0G x >，故()G x 在0(1,)x 上单调递增所以()G(1)0G x >= 即()()f x g x >综上所述：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >.变式：已知关于x 的方程2(1)x x e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、.求证：120x x <+ 证明：因为2(1)x x e ax a --=所以2(1)1xx e a x -=+令2(1)()1xx e f x x -=+则222222(23)[(1)2]()11x xx x x e x x e f x x x --+--+'==++（）（）当0x >时()0f x '<，()f x 单调递减 当0x <时()0f x '>，()f x 单调递增因为关于x 的方程2(1)x x e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、所以不妨设12(,0),(0,)x x ∈-∞∈+∞ 要证：120x x <+ 只需证：21x x <-因为210x x -∈+∞（，），且函数()f x 在0+∞（，）上单调递减 所以只需证：21()()f x f x >-，又因为21()=()f x f x 所以只需证：11()()f x f x >-即证：11112211(1)(1)11x x x e x e x x --+>++ 即证：(1)(1)0x x x e x e ---+>对0x ∈-∞（，）恒成立 令g()(1)(1)x x x x e x e -=--+，0x ∈-∞（，）则g ()()x x x x e e -'=-因为0x ∈-∞（，）所以0x x e e -->所以g ()()0x x x x e e -'=-<恒成立所以g()(1)(1)x x x x e x e -=--+在0-∞（，）上单调递减所以g()(0)0x g >= 综上所述：120x x <+ 六.求极值例6.已知函数2()()x f x x ax a e =++，是否存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.解：'22()(2)()[(2)2]=()(2)x x x x f x x a e x ax a e x a x a e x a x e =++++=+++++ 令'()=0f x 得：2x a x =-=-或当2a =时，'()0f x ≥恒成立，无极值，舍去当2a <时，2a ->-由表可知：2()=(2)(42)3f x f a a e --=-+=极大值 解得：2432a e =-< 当2a >时，2a -<-由表可知：22()=()()3a f x f a a a a e --=-+=极大值，即3a ae -= 所以：=3a a e 令()3(2)a g a e a a =-> 则'2()31310a g a e e =->->所以()y g a =在2+∞（，）上单调递增又2(2)320g e =->所以函数()y g a =在2+∞（，）上无零点即方程=3a a e 无解综上所述：存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3，此时243a e =- 七.求最值例7. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，若存在]1,1[,21-∈x x ,使得12()()e 1f x f x -≥-（其中e 是自然对数的底数),求实数a 的取值范围. 解：因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立, 而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤, 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值()()m i n 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值.因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++,令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+,所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数.而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-; 当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥;当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a+-≥,函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得10ea <≤.综上可知,所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+ 我变式：已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>在区间0+∞（，）上的最小值为1，求实数a 的值.解：1()=x a f x e x a-'-+ 令()()g x f x '=则21()=0(x a g x e x a -'+>+）所以()y g x =在区间0+∞（，）单调递增所以存在唯一的00x ∈+∞（，），使得0001()0x a g x e x a-=-=+ 即001=x a e x a-+ 所以当0(0,)x x ∈时，()()0g x f x '=<，()y f x =单调递减当0()x x ∈+∞，时，()()0g x f x '=>，()y f x =单调递增 所以0min 00()()ln()x a f x f x e x a -==-+ 由001=x a e x a-+得：00=ln()x a x a --+ 所以0min 00001()()ln()=x a f x f x e x a x a x a-==-++-+001=()2222x a a x aa a++-+≥=- 当且仅当001=x a x a++即0=1x a +，min 0()()22f x f x a ==- 由22=1a -得12a =，此时01=2x ，满足条件 所以12a =八.解不等式例8. 函数2)0())((=∈f R x x f ，，对任意1)()('>+∈x f x f R x ，，解不等式：1)(+>x x e x f e 解：令()()x x g x e f x e =-则()()()(()()1)x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-因为对任意1)()('>+∈x f x f R x ， 所以()0g x '>，所以()y g x =为R 上的单调递增函数 又(0)(0)11g f =-=所以当1)(+>x x e x f e 即()1x x e f x e -> 所以()(0)g x g > 所以0x >即不等式：1)(+>x x e x f e 的解集为0+∞（，）变式：已知定义在R 上的可导函数()y f x =满足'()1f x <，若(12)()13f m f m m -->-，求m 的取值范围.解：令()()g x f x x =- 则()()1g x f x ''=- 因为'()1f x <所以()()10g x f x ''=-<所以()()g x f x x =-为R 上递减函数 由(12)()13f m f m m -->- 得：(12)()f m m f m m ---（1-2)> 即(12)()g m g m -> 所以12m m ->即13m <九.函数零点个数（方程根的个数）例9. 已知2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值.若关于x 的方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围.解： '2()21f x x x a=--+ 因为2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值 所以'2(0)1=0f a=-， 即2a =，检验知2a =符合题意.令2()()2ln(2)[1,1]g x f x b x x x b x =+=+--+∈-，'52()22()21(11)x x g x x x +=--=--≤≤ 所以()=(0)2ln 2g x g b =+极大值因为方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根所以(1)0(0)0(1)0g g g -≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，即02ln 202ln 320b b b ≤⎧⎪+>⎨⎪-+≤⎩解得：2ln 222ln 3b -<≤-所以实数b 的取值范围是：2ln 222ln3]--（， 变式：已知函数()y f x =是R 上的可导函数，当0x ¹时，有'()()0f x f x x+>，判断函数13()()F x xf x x=+的零点个数解：当0x ¹时，有'()()0f x f x x+> 即'()()0xf x f x x+> 令()()g x xf x =，则'()()()g x xf x f x ¢=+所以当0x >时，'()()()0g x xf x f x ¢=+>，函数()y g x =在0+∞（，）单调递增 且()g(0)=0g x >所以当0x >时，13()()0F x xf x x=+>恒成立，函数()y F x =无零点 当0x <时，'()()()0g x xf x f x ¢=+<，函数()y g x =在0∞（-，）单调递减 且()g(0)=0g x >恒成立 所以13()()F x xf x x=+在0∞（-，）上为单调递减函数 且当0x →时，()0xf x ®，所以13()0F x x? 当x →-∞时，10x®，所以()()0F x xf x ? 所以13()()F x xf x x=+在0∞（-，）上有唯一零点 综上所述：13()()F x xf x x =+在0∞∞（-，）（0,+）上有唯一零点 十.探究函数图像例10.设函数在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为下列图像的 .解：由()y f x =的图像可判断出：()f x 在(,0)-∞递减，在(0)+∞，上先增后减再增 所以在(,0)-∞上()0f x '<，在(0)+∞，上先有()0f x '>，后有()0f x '<，再有()0f x '>. 所以图（4）符合.变式：已知函数ln(2)()x f x x =，若关于x 的不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，求实数a 的取值范围. 解：21ln(2)()=x f x x -'，令()=0f x '得2e x = 所以当02e x <<时，()0,()f x f x '>单调递增 当2e x >时，()0,()f x f x '<单调递减 由当12x <时，()0f x <，当12x >时，()0f x >（1）（2）（3）（4）作出()f x 的大致函数图像如图所示： 因为2()()0f x af x +>（1）若0a =，即2()0f x >，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；（2）若0a >，则()()0f x a f x <->或，由图像可知，()0f x >，有无穷多整数解（舍）（3）若0a <则()0()f x f x a <>-或，由图像可知，()0f x <无整数解， 所以()f x a >-有两个整数解因为(1)(2)ln 2f f ==，且()f x 在(,)2e +∞上单调递减 所以()f x a >-的两个整数解为：1,2x x == 又ln 6(3)3f =所以ln 6ln 23a ≤-< 所以ln 6ln 23a -<≤-。

1．y ＝8x 2－ln x 在(0，14)和(12，1)上分别为( ) A ．增函数，增函数 B ．增函数，减函数C ．减函数，增函数D ．减函数，减函数解析：y ′＝16x －1x ＝(4x －1)(4x ＋1)x ，当x ∈(0，14)时，y ′<0，y ＝8x 2－ln x 在(0，14)上为减函数；当x ∈(12，1)时，y ′>0，y ＝8x 2－ln x 在(12，1)上为增函数． 答案：C2．若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2]解析：因为h (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋k x 2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．答案：A3．(2012·辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 解析：函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x ，令y ′≤0，则可得0<x ≤1.答案：B4.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，y ＝f (x )的图象大致是下图中的( )解析：由y ＝xf ′(x )的图象，知当x >1时，f ′(x )>0，这时f (x )是增函数．同理，当0<x <1时，f ′(x )<0，这时f (x )是减函数，只有C 满足题意．答案：C5．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∵函数f (x )的单调减区间为[－1,2]，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0的解集是[－1,2]．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根．∴⎩⎨⎧－2b 3＝(－1)＋2，c 3＝(－1)×2.∴b ＝－32，c ＝－6. 答案：－32 －6 6．已知f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在区间(6，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令g (x )＝f ′(x )，要满足函数f (x )在(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)内单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)≤0，g (4)≤0，g (6)≥0，解之得5≤a ≤7.答案：[5,7]7．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数，当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数，当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．8．已知f (x )＝e x －ax －1.(1)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；(2)是否存在a 使f (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在， 求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a ≤e x ，x ∈R 恒成立． ∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0.(2)f ′(x )＝e x －a .若f (x )在(－∞，0]上是单调递减函数⇒e x －a ≤0在x ∈(－∞，0]上恒成立⇒a ≥(e x )max ， 当x ∈(－∞，0]时，e x ∈(0,1]，∴a ≥1.①若f (x )在[0，＋∞)上是单调递增函数⇒e x －a ≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立⇒a ≤(e x )min ，当x ∈[0，＋∞)时，e x ∈[1，＋∞)，∴a ≤1.②由①②知a ＝1，故存在a ＝1满足条件．。

专题4.2 应用导数研究函数的单调性（真题测试）一、单选题1.（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ） A ．2yxB ．sin y x x =+C ．||2x y =D ．tan y x =【答案】B 【解析】 【分析】根据初等函数的奇偶性与单调性，再结合导数即可判断答案. 【详解】容易判断()3R y x x =∈是奇函数，且在R 上是增函数，而2||,2x y x y ==是偶函数，tan y x =在R 上不是增函数，所以排除A,C,D.对B ，函数()sin R y x x x =+∈是奇函数，且1cos 0y x '=+≥，则函数在R 上是增函数. 故选：B.2．（2015·陕西·高考真题（文））设()sin f x x x =-，则()f x =（ ） A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数【答案】B 【解析】 【详解】 试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，故答案为B ．3．（2016·全国·高考真题（文））函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称， 因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<， 所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数， 当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数． 故选：D.4.（2009·湖南·高考真题（文））若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：∵函数y=f （x ）的导函数在区间[a ，b]上是增函数，∴对任意的a ＜x 1＜x 2＜b ，有也即在a,x 1,x 2,b 处它们的斜率是依次增大的．∴A 满足上述条件，对于B 存在使，对于C 对任意的a ＜x 1＜x 2＜b ，都有，对于D 对任意的x ∈[a ，b]，不满足逐渐递增的条件，故选A ．5．（2013·全国·高考真题（理））若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由条件知()2120f x x a x -'=+≥在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上恒成立． ∵函数212y x x =-在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max21123212y <-⨯=⎛⎫⎪⎝⎭, ∴．故选D ．6．（2015·福建·高考真题（理））若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ．111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】 【详解】试题分析：令()g()x f x kx =-，则()'()0g x f x k '=->，因此1111g()(0)(0)1111111k k g f f f k k k k k k ⎛⎫⎛⎫>⇒->⇒>-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭，所以选C. 7．（2011·辽宁·高考真题（文））函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(),-∞+∞【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()24g x f x x =--，利用导数判断出函数()y g x =在R 上的单调性，将不等式()24f x x >+转化为()()1g x g >-，利用函数()y g x =的单调性即可求解. 【详解】依题意可设()()24g x f x x =--，所以()()20g x f x ''=->. 所以函数()y g x =在R 上单调递增，又因为()()11240g f -=-+-=. 所以要使()()240g x f x x =-->，即()()1g x g >-，只需要1x >-，故选B. 8．（2022·青海·模拟预测（理））若01a b <<<，则（ ） A ．e e ln ln b a b a -<- B ．e e ln ln b a b a -≥- C ．e e a b b a ≤ D ．e e a b b a >【答案】D 【解析】 【分析】对于A,B ，构造函数()e ln x f x x =-，利用导数判断其单调性，根据01a b <<<，比较()e ln ,()e ln abf a a f b b =-=-，可判断A,B ；对于C,D, 设e g()=x x x,利用导数判断其单调性，根据01a b <<<，比较(),()g a g b ，可判断C,D. 【详解】对于A,B,令()e ln x f x x =- ，则1()e xf x x '=-，当01x <<时，1()e xf x x'=-单调递增，且2132123()e 20,()e 0232f f ''=-<=-=>>故存在012(,)23x ∈ ，使得0()0f x '=，则当0(0,)x x ∈时，()e ln x f x x =-递减，当0(,1)x x ∈时，()e ln x f x x =-递增， 由于01a b <<<，此时()e ln ,()e ln a b f a a f b b =-=-大小关系不确定， 故A,B 均不正确；对于C,D,设e g()=x x x ，则e (1)g ()=x x x x -'，当01x <<时，()0g x '<，故eg()=xx x单调递减，所以当01a b <<<时，()()g a g b > ，即e ea b a b> ，即e e a b b a >，故C 错误，D 正确， 故选：D 二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +'>，则下列式子成立的是（ ） A ．()()20212022f ef < B ．()()20212022f ef >C ．()f x 是R 上的增函数D ．0t ∀>，则()()tf x e f x t <+【答案】AD 【解析】 【分析】构造函数()xy e f x =，由已知可得函数单调递增，即可判断选项ABD ，举特例可判断选项C.【详解】由()()0f x f x +'>，得()()0x x e f x e f x '+>，即()0x e f x '⎡⎤>⎣⎦，所以函数()x y e f x =为R 上的增函数，故()()2021202220212022e f e f <，所以()()20212022f ef <，故A 正确，B 不正确；函数()xe f x 为增函数时，()f x 不一定为增函数，如()12x f x =，显然()x e f x 是增函数，但()f x 是减函数，所以C 不正确；因为函数()x e f x 为增函数，所以0t >时，有()()x x t e f x e f x t +<+，故有()()tf x e f x t <+成立，所以D 正确.故选：AD.10．（2022·湖北·模拟预测）已知正实数a ，b ，c 满足1log b ac c b a <<<，则一定有（ ）A ．1a <B ．a b <C ．b c <D ．c a <【答案】AB 【解析】 【分析】根据1b c <，1a b <可得(),0,1c b ∈，进而判断出1a c <<，A 正确； 构造()ln xf x x=，0x >得到单调性，从而求出a b <，B 正确；CD 选项可以举出反例. 【详解】由正实数a ，b ，c ，以及1b c <，1a b <可得(),0,1c b ∈， 又log 1log c c a c >=，所以1a c <<． 所以b b a c <，又b a c b <，所以b a a b <， 即ln ln b a a b <，等价于ln ln a ba b<， 构造函数()ln xf x x=，0x > ()21ln xf x x -'=， 当()0,1x ∈时，()21ln 0xf x x -'=> 故()ln xf x x=在()0,1上递增，从而a b <． 又取b c =时，原式为1log b ab b b a <<<同样成立，故CD 不正确，故选：AB 11．（2022·辽宁沈阳·二模）已知奇函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且()()1120f x f x x --++=恒成立，若()f x 在[]0,1单调递增，则（ ）A ．()f x 在[]1,2上单调递减B ．()00f =C ．()20222022f =D ．()20231f '=【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可. 【详解】 方法一：对于A ，若()f x x =，符合题意，故错误，对于B ，因已知奇函数()f x 在R 上可导，所以()00f =，故正确， 对于C 和D ，设()()g x f x x =-，则()g x 为R 上可导的奇函数，()00g =，由题意()()1111f x x f x x -+-=+--，得()()11g x g x -=+，()g x 关于直线1x =对称， 易得奇函数()g x 的一个周期为4，()()()2022200g g g ===，故C 正确，由对称性可知，()g x 关于直线1x =-对称，进而可得()10g '-=，（其证明过程见备注） 且()g x '的一个周期为4，所以()()202310g g '='-=，故D 正确．备注：()()11g x g x -=+，即()()11g x g x --=-+，所以()()11g x g x -+=--， 等式两边对x 求导得，()()11g x g x '-+=-'--， 令0x =，得()()11g g '-=-'-，所以()10g '-=． 方法二：对于A ，若()f x x =，符合题意，故错误，对于B ，因已知奇函数()f x 在R 上可导，所以()00f =，故正确，对于C ，将()()1120f x f x x --++=中的x 代换为1x +，得()()2220f x f x x --+++=，所以()()222f x f x x ++=+，可得()()4226f x f x x +++=+，两式相减得，()()44f x f x +-=，则()()624f f -=，()()1064f f -=，…，()()202220184f f -=， 叠加得()()202222020f f -=，又由()()222f x f x x ++=+，得()()2022f f =-+=， 所以()()2022220202022f f =+=，故正确，对于D ，将()()1120f x f x x --++=的两边对x 求导，得()()1120f x f x ''---++=， 令0x =得，()11f '=，将()()f x f x --=的两边对x 求导，得()()f x f x '-='，所以()11f '-=， 将()()44f x f x +-=的两边对x 求导，得()()4f x f x ''+=， 所以()()()2023201911f f f '''==⋅⋅⋅=-=，故正确． 故选：BCD12．（2021·福建·福州三中高三阶段练习）已知函数()xf x xe ax =+.则下列说法正确的是（ ）A ．当0a =时，min ()0f x =B ．当1a =时，直线2y x =与函数()f x 的图像相切C ．若函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，则0a ≥D ．若在区间[]0,1上，()2f x x ≤恒成立，则1a e -≤【答案】BD 【解析】 【分析】对于A ：当0a =时，()e xf x x =，求导函数，分析导函数的符号，得出函数()f x 的单调性，从而求得函数()f x 的最小值；对于B ：当1a =时，()e +xf x x x '=，求导函数，设切点为()00,x y ，则过切点的切线方程为：()()()0000000e +e +e +1x x x y x x x x x -=-，由切线过原点，求得00x =，继而求得过原点的切线方程；对于C ：问题等价于()+e 0xf x x x a '=+≥在区间[)0,∞+上恒成立，分离参数得e x a x x ≥--在区间[)0,∞+上恒成立，令()e xg x x x =--，求导函数，分析导函数的符号，得函数()g x 的单调性和最值，由此可判断；对于D ：问题等价于2e x x x ax +≤在区间[]0,1上恒成立，0x =时，不等式恒成立；当01x <≤时，分离参数e x a x ≤-，令()e xh x x =-，求导函数，分析()h x '的符号，得函数()h x 的单调性和最值，由此可判断.【详解】对于A ，当0a =时，()()()e ,1e x xf x x f x x ==+'，易知函数()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，()min 1()1ef x f ∴=-=-，故选项A 不正确；对于B ，当1a =时，()()()()e ,1e 1,02x xf x x x f x x f +''=+=+=，∴函数()f x 在()0,0处的切线方程为2y x =，故选项B 正确；对于C ，()()1e xf x x a =++'，若函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，则()0f x '在[)0,∞+上恒成立，()1e x a x ∴-+，令()()1e ,0x g x x x =-+，则()()2e 0x g x x =-+<'， ∴函数()g x 在[)0,∞+上单调递减，()max ()01a g x g ∴==-，故选项C 错误；对于D ，当0x =时，a ∈R 恒成立；当(]0,1x ∈时，()2f x x 恒成立等价于2e x x ax x +恒成立，即e x a x +，即e x a x -恒成立，设()e ,01x h x x x =-<，则()10e xh x '=-<在(]0,1上恒成立，()h x ∴在(]0,1上单调递减，()min ()11e a h x h ∴==-，故选项D 正确.故选：BD. 三、填空题13．（2009·江苏·高考真题）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为_____. 【答案】(1,11)- 【解析】 【详解】f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，令f ′(x )＜0，得－1＜x ＜11，所以单调减区间为(－1,11)．14．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，定义域为(0,)+∞，且满足'()()0xf x f x -<，则不等式2(2022)(2022)(2)f m m f ->-恒成立时m 的取值范围为__________. 【答案】()2022,2024【解析】 【分析】 设()()f x F x x=，根据题意得到()0F x '<，得出函数()F x 在(0,)+∞上单调递减，结合不等式2(2022)(2022)(2)f m m f ->-，得到020222m <-<，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为()()0xf x f x '-<，可得2()'()()'0f x xf x f x x x -⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦， 设()()f x F x x=，可得()0F x '<，所以函数()F x 在(0,)+∞上单调递减，又由2(2022)(2022)(2)f m m f ->-，所以20220m ->，且(2022)(2)20222f m f m ->-，则020222m <-<，解得20222024m <<，即m 的取值范围为()2022,2024. 故答案为：()2022,2024.15．（2022·江苏盐城·三模）已知()f x '为()f x 的导函数，且满足()01f =，对任意的x 总有()()22f x f x '->，则不等式()223xf x e +≥的解集为__________． 【答案】[)0,+∞##{|0}x x ≥ 【解析】 【分析】 构造新函数()()22exf xg x +=，利用已知条件()()22f x f x '->，可以判断()g x 单调递增，利用()g x 的单调性即可求出不等式的解集 【详解】设函数()()22e x f x g x +=，则()()()()222221()22222e x x x x f x e e f x f x f x g x e '⋅-⋅⋅+⎡⎤⎣⎦'--'==⎛⎫ ⎪⎝⎭又()()22f x f x '-> ()0g x '∴>所以()g x 在R 上单调递增，又()()0023g f =+=故不等式2()23xf x e +≥ 可化为()(0)g x g ≥ 由()g x 的单调性可得该不等式的解集为[)0,+∞． 故答案为：[)0,+∞16．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知函数()33x f x ax b =-+，则对任意的x ∈R ，存在a 、b （其中a 、b ∈R 且1a ≥），能使以下式子恒成立的是___________.①()()221f x f x ≤+；②()()2021f x f x +-=；③()()21f x f a -≤+；④()()221a f x f ->-.【答案】①②③ 【解析】 【分析】取1a =-，0b =，利用导数研究函数()f x 的单调性，可判断①；取20212=b 可判断②；取1a =-，利用导数研究函数()f x 的单调性，可判断③；分1a ≤-、1a ≥两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断④. 【详解】对于①，取1a =-，0b =，则()33x f x x =+，()210f x x '=+>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，因为()221210x x x +-=-≥，即221x x ≤+，故()()221f x f x ≤+恒成立，①对；对于②，取1a =-，20212=b ，则()3202132x f x x =++，所以，()()33202120213232x x f x x x --=-+=--+，则()()2021f x f x +-=，②对； 对于③，当1a =-时，()33x f x x b =++，则()210f x x '=+>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，20x -≤，故()()21f x f a -≤+，③对；对于④，当1a ≥时，()2f x x a '=-.由()0f x '>可得x <x ()0f x '<可得x <此时，函数()f x 的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为(，所以，函数()f x 的极大值为(f b b =+>，极小值为fb b =<，20x ≥，所以，()2f x fb ≥=，1210a a --≤-<-<，所以，(()()210af f f b f->->=>，则()()221af x f ->-不恒成立；当1a ≤-时，()20f x x a '=->，则()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，211--≥a ，所以，()2f x 、()21af --的大小关系无法确定，④错.故答案为：①②③. 四、解答题17．（2014·全国·高考真题（文））函数f(x)=ax 3+3x 2+3x(a≠0). （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）5[,0)(0,)4-⋃+∞【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）首先求出函数的导数，然后求出使()0f x '>或()0f x '<的解集即可. （2）分类讨论在区间（1，2）上使()0f x '>成立的条件，并求出参数a 的取值范围即可 试题解析：（1）2()363f x ax x '=++，2()3630f x ax x ++'==的判别式△=36（1-a ）. （i ）若a≥1，则()0f x '≥，且()0f x '=当且仅当a=1，x=-1，故此时f （x ）在R 上是增函数.（ii ）由于a≠0，故当a<1时，()0f x '=有两个根：12x x ==， 若0<a<1,则当x ∈（－∞，x 2）或x ∈（x 1，+∞）时，()0f x '>，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是增函数；当x ∈（x 2，x 1）时，()0f x '<，故f （x ）在（x 2，x 1）上是减函数；若a<0，则当x ∈（－∞，x 2）或x ∈（x 1，+∞）时，()0f x '<，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是减函数；当x ∈（x 2，x 1）时，()0f x '>，故f （x ）在（x 2，x 1）上是增函数；（2）当a>0，x>0时,()0f x '>，所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数. 若a<0时，f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得504a -≤<.综上，a 的取值范围是5[,0)(0,)4-⋃+∞.18．（2008·四川·高考真题（文））设1x =和2x =是函数()531f x x ax bx =+++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）求()f x 的单调区间 【答案】（1）25,203a b =-= （2）单调增区间是()()(),2,1,1,2,-∞--+∞，单调减区间是()()2,1,1,2-- 【解析】 【分析】（1）根据极值点为导函数的零点，且在零点两边导函数符号相反，列出方程组，求出a 和b 的值，代入检验是否符合要求；（2）在第一问的基础上求出导函数，解不等式，求出单调区间. 【详解】（1）因为()4253f x x ax b =++'，由题设知：()1530f a b '=++=()42225230f a b =⨯⨯+'+=，解得：25,203a b =-=，此时()53252013f x x x x +-=+，()()()422252520514f x x x x x =+=-'--，令()0f x '>得：2x <-或11x -<<或2x >，令()0f x '<得：21x -<<-或12x <<，故1x =是函数的极大值点，2x =是函数的极小值点，满足要求，综上：25,203a b =-=； （2）由（1）知()()()()()()()42245351451212f x x ax b x x x x x x =++=--=++--'当()()(),21,12,x ∈-∞-⋃-⋃+∞时，()0f x '>；当()()2,11,2x ∈--⋃时，()0f x '<. 因此()f x 的单调增区间是()()(),2,1,1,2,-∞--+∞，()f x 的单调减区间是()()2,1,1,2-- 19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.【答案】(1) f (x )在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递减，在区间ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递增.（2）3420e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】 【分析】(1)求f (x )的导函数为f ′(x )＝(2e x ＋a )(e x －a )，通过讨论a ，求函数的单调区间即可. (2)因为f (x )≥0，所以即求f (x )的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f (x )的最小值，解关于a 的不等式即可求出a 的范围. 【详解】(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当x ∈,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 时，f ′(x )<0；当x ∈ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 时，f ′(x )>0.故f (x )在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递减，在区间ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，f (x )取得最小值，最小值为f ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝a 23ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故当且仅当a 23ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥0，即0>a ≥342e -时，f (x )≥0. 综上a 的取值范围是[342e -，0]. 20．（2014·山东·高考真题（文））设函数若，求曲线处的切线方程；讨论函数的单调性.【答案】（1）210x y --=.（2）当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a -<<时，()f x 在，)+∞上单调递减，在上单调递增.【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+，求切线的斜率，即1(1)2f '=，又(1)0f =，由直线方程的点斜式进一步整理，得到切线方程为210x y --=.（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++'=+=++，根据a 的不同情况，讨论导函数值的正负，以确定函数的单调性.其中0a ≥时，情况较为单一，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++，由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+，再分12a =-，12a <-，102a -<<等情况加以讨论.试题解析：（1）由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+， 此时22()(1)f x x ='+，可得1(1)2f '=，又(1)0f =， 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为210x y --=. （2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 2222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++'=+=++，当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++， 由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+， 当12a =-时，0∆=，221(1)2()0(1)x f x x x --=≤+'，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，当12a <-时，0,()0g x ∆<<，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，当102a -<<时，0∆>，设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个零点，则1x =2x =由1x =0=>，所以1(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减， 12(,)x x x ∈时，()0,()0g x f x '>>，函数()f x 单调递增，2(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减，综上可知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a -<<时，()f x 在，)+∞上单调递减，在上单调递增.21．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a =>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 【答案】（1）20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,+∞e e .【解析】 【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x ax a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln a y a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅-⋅===', 令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x '>,当2ln 2x >时，()0f x '<, ∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减； （2）[方法一]【最优解】：分离参数()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =, 则()21ln xg x x -'=,令()0g x '=，得x e =, 在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==,又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<, 所以a 的取值范围是()()1,,+∞e e .[方法二]：构造差函数由()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点知()1f x =，即a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解，取对数得方程ln ln a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解．构造函数()ln ln ,(0,)g x a x x a x =-∈+∞，求导数得ln ()ln a a x a g x a x x'-=-=． 当01a <<时，ln 0,(0,),ln 0,()0,()a x a x a g x g x '<∈+∞->>在区间(0,)+∞内单调递增，所以，()g x 在(0,)+∞内最多只有一个零点，不符合题意； 当1a >时，ln 0a >，令()0g x '=得ln a x a =，当0,ln a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,ln a x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；所以，函数()g x 的递增区间为0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为,ln a a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭． 由于1110e1,e 1e ln 0ln aaa a g a a ---⎛⎫<<<=--< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，有ln ln a x x a <，即()0g x <，由函数()ln ln g x a x x a =-在(0,)+∞内有两个零点知ln 10ln ln a a g a a a ⎛⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以e ln aa >，即eln 0a a ->．构造函数()eln h a a a =-，则e e()1a h a a a'-=-=，所以()h a 的递减区间为(1,e)，递增区间为(e,)+∞，所以()(e)0h a h ≥=，当且仅当e a =时取等号，故()0>h a 的解为1a >且e a ≠．所以，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞． [方法三]分离法：一曲一直曲线()y f x =与1y =有且仅有两个交点等价为1ax xa=在区间(0,)+∞内有两个不相同的解．因为a x x a =，所以两边取对数得ln ln a x x a =，即ln ln x a x a=，问题等价为()ln g x x =与ln ()x ap x a =有且仅有两个交点．①当01a <<时，ln 0,()ap x a<与()g x 只有一个交点，不符合题意． ②当1a >时，取()ln g x x =上一点()()000011,ln ,(),,()x x g x g x g x xx ''==在点()00,ln x x 的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，即0011ln y x x x =-+． 当0011ln y x x x =-+与ln ()x a p x a =为同一直线时有00ln 1,ln 10,a ax x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩得0ln 1,e e.a a x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 直线ln ()x a p x a =的斜率满足：ln 1e0a a <<时，()ln g x x =与ln ()x ap x a =有且仅有两个交点．记2ln 1ln (),()a a h a h a a a'-==，令()0h a '=，有e a =．(1,e),()0,()a h a h a '∈>在区间(1,e)内单调递增；(e,),()0,()a h a h a '∈+∞<在区间(,)e +∞内单调递减；e a =时，()h a 最大值为1(e)eg =，所当1a >且e a ≠时有ln 1e0a a <<． 综上所述，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞． [方法四]：直接法()112ln (ln )()(0),()a a x x a a x xx x ax a a a x x a x a f x x f x a a a --'⋅-⋅-=>==． 因为0x >，由()0f x '=得ln a x a=． 当01a <<时，()f x 在区间(0,)+∞内单调递减，不满足题意；当1a >时，0ln aa >，由()0f x '>得0,()ln a x f x a<<在区间0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，由()0f x '<得,()ln ax f x a >在区间,ln a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减． 因为lim ()0x f x →+∞=，且0lim ()0x f x +→=，所以1ln a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即ln ln ln 1(ln )aaa a a a aa a a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭=>，即11ln ln (ln ),ln a a a a a a a a a -->>，两边取对数，得11ln ln(ln )ln a a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即ln 1ln(ln )a a ->．令ln a t =，则1ln t t ->，令()ln 1h x x x =-+，则1()1h x x'=-，所以()h x 在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,)+∞内单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，所以1ln t t -≥，则1ln t t ->的解为1t ≠，所以ln 1a ≠，即e a ≠． 故实数a 的范围为(1,e)(e,)⋃+∞．] 【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题， 方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值. 方法三：将问题取对，分成()ln g x x =与ln ()x ap x a=两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.22．（2022·江苏江苏·三模）设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+--+.(1)当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 在R 上单调递增，求a .【答案】(1)在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增 (2)12 【解析】 【分析】（1）求得()()e cos 21xf x a x ax a =+--+'，设()()g x f x '=，得到()()e 2sin x g x a x +'=-，得到()y g x =在R 上单调递增，得到()y f x '=在R 上单调递增，结合()00f '=，即可求解；（2）令()e 1xh x x =--，利用导数求得()()00h x h ≥=，得到e 10x x --≥和e 1x x -≥-，令()sin x x x ϕ=-，得出0x ≥时，sin x x ≥；0x ≤，得到sin x x ≤，分0a ≤，102a <<，12a >和12a =，四种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解. (1)解：因为()()2e sin 1xf x a x ax a x =+--+，可得()()e cos 21x f x a x ax a =+--+'，设()()g x f x '=，则()()e 2sin xg x a x +'=-所以当0a ≤时，()0g x '>，函数()y g x =在R 上单调递增， 即函数()y f x '=在R 上单调递增，又由()00f '=，所以当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>，所以当0a ≤时，()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增. (2)解：令()e 1x h x x =--，可得()e 1xh x '=-，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，又由()00h =，所以()()00h x h ≥=，即e 10x x --≥， 所以e 1x x ≥+，所以e 1x x -≥-；令()sin x x x ϕ=-，可得()1cos 0x x ϕ'=-≥，所以函数()x ϕ单调递增， 因为()00ϕ=，当0x ≥，可得()()00x ϕϕ≥=，即sin 0x x -≥，即sin x x ≥； 当0x ≤，可得()()00x ϕϕ≤=，即sin 0x x -≤，即sin x x ≤， （2.1）当0a ≤时，由（1）知不合题意；（2.2）当102a <<时，若(),0x ∈-∞，()()e cos 21xf x a x ax a =+--+'()1cos 211a x ax a x≤+--+- 121212111ax x a a ax a x x⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≤+---=--； 当1102x a-<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，不合题意； （2.3）当12a >时，若()0,1x ∈，同理可得()12121ax x a f x x⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎝⎣'⎥⎭⎦≤-， 当1012x a<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减，不合题意； （2.4）当12a =时，()2113e sin 222x f x x x x =+--，可得()13e cos 22xf x x x =+--'， 设()()g x f x '=，则()1e sin 12xg x x '=--，①当0x >时，()111e sin 11sin 10222xg x x x x x x =-'-≥+--≥->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()f x '在()0,∞+上单调递增， ②当0x >时，若[)1,0x ∈-，()()()1111e sin 11021221x x x g x x x x x +=--≤--=≤--'， 若(],1x ∈-∞-，()111e sin 1102e 2x g x x -≤+'=--<， 所以()g x 在(),0∞-上单调递增，()f x '在(),0∞-上单调递增， 由①②可知，()()00f x f ''≥=，所以()f x 在R 上单调递增， 综上所述，12a =.。

导数判断函数单调性例题一.利用导数求函数单调性1. 若/(X )= X 2 - 2x - 41nx,求f(x)的单调递增区间2. 己知函数f (兀)=—%2- ax - lnx(a G R)•当a = -3时,求f(x)的单调递减区间；乙 3. 已知函数/'(x) = x 2e x .(1) 求函数n>)的单调区间.(2) 求函数门无)在区间[-3,i]±的最大值和最小值.4. 已知函数/"(X )= x\nx,gM = % + a.设虹兀)=f(x) 一 g(x),求函数y =人(兀)的单调区间; 5•如果函数y = /(%)的图象如图所示，那么导函数y = f(%)的图象可能是C.6.已知函数y = /(%)的图象是下列四个图象乙一，且其导函数y = f'(x)的图象如图所示,()则该函数的图象可能是(& 己知函数/'(X )= £% + ax + b(a,b G R)在兀=ln2处的切线方程为y = x - 21n2. 求函数门尢)的单调区间;9. 已知函数/'(%) = lnx — a 2x + 2a.讨论/'(尤)的单调性;10. 已知函数f(x)=咒 +a (a —i )_ ［口兀(a < 0).X(1)当a = _l 时,求曲线y = f(x)在点(1J(1))处的切线方程;(2) 求函数y = 的单调区间；11. 设/(%) = ax 3 4-划nx (aWR).求函数0(咒)=丛丸的单调区间;X 7.函数y = /(%)的导函数y = f(%)的图象如图所示，函数y = f(%)图象可 能是()J'A二.己知单调性求参数的取值范围12.已知函数/'(X)= a2lnx + ax — x2 a.讨论f (x)在(1, +8)上的单调性;13.已知函数f(x) = e x— x2 + 2ax1)若a=l,求曲线y = f(x)在点(1J(1))处的切线方程(2)若门x)在R上单调递增,求实数a的取值范围14.已知函数f(x) = lnx + |x2 -ax + a, (a G R).若函数f(x)在(0,+oo)时上为单调递增函数,求实数a的取值范围；15.己知幣数f(X)= |x3一ax2 - 3% 4-1在区间(-1,2)上为减函数(1)求a的取值范围；(2)当a = l时，方程/(%) = 0有几个不同的实根？说明理由.16.已知函数f(x) = x2 4- (m + 2)x + n (m,n为常数).(1)当兀=1时，讨论函数g(x) = "f(x)的单调性；(2)当？1 = 2吋，若函数/i(x) = % 4-在［0,+8)上单调递增，求m的取值范围.练习• 1 •已知函数f(x) = -|x3 + ；x2 + 2ax.(1)若函数在(I，+8)上存在单调增区间，求实数a的取值范圉.(2)若函数在(|,1)上单调递增，求实数a的取值范围.2.函数/(x) = a\nx + x在区间［2, 3］上单调递增，则实数a的収值范围为( )。

3.2 利用导数求函数单调性考向一 利用导数求单调性【例1】(1)函数f (x )＝x ·e x －e x＋1的单调增区间是________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调减区间是________．(3)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调增区间是_______． 【答案】(1)(e －1，＋∞)(2)⎝⎛⎭⎫0，1e (3) ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 【解析】(1)由f (x )＝x ·e x －e x ＋1，得f ′(x )＝(x ＋1－e)·e x ，令f ′(x )>0，解得x >e －1， 所以函数f (x )的单调增区间是(e －1，＋∞)．(2)因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，思维导图考向分析当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e . (3)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 【举一反三】1．（2019·黑龙江铁人中学）已知()22()2ln 2f x x x x x x =--+，则函数()f x 的单调递减区间为( )．A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,)+∞D ．(0,)+∞【答案】B【解析】函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()()()()42ln 222242ln f x x x x x x x '=-+--+=-，令()0f x '<，得112x <<，因此，函数()y f x =的单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，故选：B 。

专题10 利用导数研究函数的单调性一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知函数f(x)=e |2x|−4ax 2，对任意x 1，x 2∈(−∞,0]且x 1≠x 2，都有 (x 2−x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则实数a 的取值范围是 ( )A. (−∞,e2]B. (−∞,−e2]C. [0,e2]D. [−e2,0]2. f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)<0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A. af(b)<bf(a)B. bf(a)<af(b)C. bf(b)<af(a)D. af(a)<bf(b)3. 已知函数f(x)=e x −ax 2(a ∈R)有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. (e4,+∞)B. (e2,+∞)C. (e 24,+∞)D. (e 22,+∞)4. 已知定义域为R 的奇函数y =f(x)的导函数为y =f′(x)，当x >0时，xf′(x)−f(x)<0，若a =f(e)e,b =f(ln2)ln2,c =f(−3)−3，则a,b,c 的大小关系正确的是( )A. a <b <cB. b <c <aC. a <c <bD. c <a <b5. 函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x −2)f′(x)>0的解集为( )A. (2,+∞)B. (−∞,−1)C. (−∞,−1) ∪(1,2)D. (−1,1)∪(2,+∞)6. 已知函数f(x)=e x−x 22−1，若f(x)≥kx 在x ∈[0,+∞)时总成立，则实数k 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,e]C. (−∞,2e]D. (−∞,e 2]7. 设点P 为函数f(x)=12x 2+2ax 与g(x)=3a 2lnx +b(a >0)的图像的公共点，以P 为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( )A. 23e 23B. 32e 23C. 23e 32D. 32e 328.已知函数f(x)=13x3+mx2+nx+2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)=−23，则函数g(x)=f′(x)e x在区间[0,2]上的最小值为()A. −3eB. −2eC. eD. 2e9.已知函数f(x)=xe x−mx+m2(e为自然对数的底数)在(0,+∞)上有两个零点，则m的范围是()A. (0,e)B. (0,2e)C. (e,+∞)D. (2e,+∞)10.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(x)=a x g(x)(a>0,且a≠1),f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103，若数列{f(n)g(n)}的前n项和大于363，则n的最小值为()A. 4B. 5C. 6D. 7二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11.设定义域为R的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式e x−1f(x)<f(2x−1)的解集为__________．12.若函数f(x)=xx2+a (a>0)在[1,+∞)上的最大值为√33，则a的值为________．13.已知函数f(x)=a−x2(0<x<√a)在其图象上任意一点P(t,f(t))处的切线，与x轴、y轴的正半轴分别交于M，N两点，设△OMN(O是坐标原点)的面积为S(t)，当t=t0时，S(t)取得最小值，则√at0的值为．14.函数f(x)的定义域为R，f(0)=2，对于任意的x∈R，f(x)+f’(x)>1，则不等式e x f(x)>e x+1的解集为__________．三、解答题（本大题共3小题，共30分）15.已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx+1．(Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．16.已知函数f(x)=ax+lnx，g(x)=e x−1−1．(1)讨论函数y=f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)≤g(x)+a在x∈[1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．17.已知函数f(x)=ax +lnx，g(x)=12bx2−2x+2，a,b∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)记函数ℎ(x)=f(x)+g(x)，当a=0时，ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围．专题10 利用导数研究函数的单调性一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）18. 已知函数f(x)=e |2x|−4ax 2，对任意x 1，x 2∈(−∞,0]且x 1≠x 2，都有 (x 2−x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则实数a 的取值范围是 ( )A. (−∞,e2]B. (−∞,−e2]C. [0,e2]D. [−e2,0]【答案】A【解析】解：因为对任意x 1<0，x 2<0，都有(x 2−x 1)[f (x 2)−f (x 1)]<0， 所以函数f (x )在(−∞,0]单调递减． 又因为f(x)=e |2x|−4ax 2=e −2x −4ax 2， 所以f′(x )=−2e −2x −8ax ，因此−2e −2x −8ax ≤0对(−∞,0]恒成立， 即4a ≤−e −2x x对(−∞,0]恒成立． 令ℎ(x )=−e −2x x，则ℎ′(x )=e −2x (2x+1)x 2，因此当x ∈(−∞,−12)时，ℎ′(x )<0，函数ℎ(x )是减函数； 当x ∈(−12,0)时，ℎ′(x )>0，函数ℎ(x )是增函数， 所以当x =−12时，函数ℎ(x )有最小值ℎ(−12)=2e ， 因此4a ≤2e ，即a ≤e2． 故选A ．19. f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)<0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A. af(b)<bf(a)B. bf(a)<af(b)C. bf(b)<af(a)D. af(a)<bf(b)【答案】C【解析】解：设g(x)=xf(x)，(x >0)， 则g′(x)=[xf(x)]′=xf′(x)+f(x)<0， ∴函数g(x)在(0,+∞)上是减函数， ∵a <b ，∴g(a)>g(b)即bf(b)<af(a)故选C．20.已知函数f(x)=e x−ax2(a∈R)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. (e4,+∞) B. (e2,+∞) C. (e24,+∞) D. (e22,+∞)【答案】C【解析】解：令f(x)=e x−ax2=0，当x=0时显然不成立，故a=e xx2，令g(x)=e xx2，则问题转化为直线y=a与g(x)=exx2的图象有三个交点，∵g′(x)=(x−2)e xx3，令g′(x)=0，解得x=2，∴当x<0或x>2时，g′(x)>0，g(x)在(−∞,0)，(2,+∞)上单调递增，当0<x<2时，g′(x)<0，g(x)在(0,2)上单调递减，g(x)在x=2处取极小值，g(2)=e24，作出g(x)的图象如下：要使直线y=a与曲线g(x)=e xx2有三个交点，，则a>e24，故实数a的取值范围是．故选C．21.已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x)，当x>0时，xf′(x)−f(x)<0，若a=f(e)e ,b=f(ln2)ln2,c=f(−3)−3，则a,b,c的大小关系正确的是()A. a<b<cB. b<c<aC. a<c<bD. c<a<b 【答案】D【解析】解：构造函数g(x)=f(x)x，∴g′(x)=xf′(x)−f(x)x 2，当x >0时，∵xf′(x)−f(x)<0， ∴g′(x)<0，∴函数g(x)在(0,+∞)单调递减． 又∵函数f(x)为奇函数， ∴g(x)=f(x)x是偶函数，∴c =f(−3)−3=g(−3)=g(3)，∵a =f(e)e=g(e)，b =f(ln2)ln2=g(ln2)，ln2<1<e <3，∴g(3)<g(e)<g(ln2)， ∴c <a <b ， 故选D ．22. 函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x −2)f′(x)>0的解集为( )A. (2,+∞)B. (−∞,−1)C. (−∞,−1) ∪(1,2)D. (−1,1)∪(2,+∞)【答案】D【解析】解：由图知，f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)，(1,+∞)，单调递减区间为(−1,1)，所以在区间(−∞,−1)及(1,+∞)上，f′(x)>0，在(−1,1)上，f′(x)<0， 又(x −2)f′(x)>0， 所以{x −2>0f′(x)>0或{x −2<0f′(x)<0, 得x >2或−1<x <1，即不等式(x −2)f′(x)>0的解集为(−1,1)∪(2,+∞)． 故选D ．23.已知函数f(x)=e x−x22−1，若f(x)≥kx在x∈[0,+∞)时总成立，则实数k的取值范围是()A. (−∞,1]B. (−∞,e]C. (−∞,2e]D. (−∞,e2]【答案】A【解析】解：当x=0时，f(x)≥kx显然恒成立；当x>0时，f(x)≥kx即为e x−12x2−kx−1≥0，设g(x)=e x−12x2−kx−1(x>0)，则g′(x)=e x−x−k，令ℎ(x)=g′(x)=e x−x−k，ℎ′(x)=e x−1>0，∴函数g′(x)在(0,+∞)上为增函数，①当k≤1时，g′(x)>g′(0)=1−k≥0，故函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，∴g(x)>g(0)=0，即f(x)≥kx成立；②当k>1时，g′(0)=1−k<0，g′(k)=e k−2k>0，故存在x0∈(0,k)，使得g′(x0)= 0，∴当x∈(0,x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，则g(x)<g(0)=0，即f(x)<kx，不符题意；综上所述，实数k的取值范围为(−∞,1]．故选：A．24.设点P为函数f(x)=12x2+2ax与g(x)=3a2lnx+b(a>0)的图像的公共点，以P为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b的最大值为()A. 23e23 B. 32e23 C. 23e32 D. 32e32【答案】B【解析】解：设P(x0,y0)，由于点P为两曲线的公切点，则12x02+2ax0=3a2lnx0+b．又在点P处的切线斜率相同，则f′(x0)=g′(x0)，即x0+2a=3a2x0，即(x0+3a)(x0−a)= 0．又a>0，x0>0，所以x0=a，于是b=52a2−3a2lna，其中a>0．设ℎ(x)=52x2−3x2lnx，其中x>0，则ℎ′(x)=2x(1−3lnx)，其中x>0，所以ℎ(x)在(0,e 13)内单调递增，在(e13,+∞)内单调递减，所以实数b 的最大值为ℎ(e 13)=32e 23．故选B ．25. 已知函数f(x)=13x 3+mx 2+nx +2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)=−23，则函数g(x)=f′(x)e x 在区间[0,2]上的最小值为( )A. −3eB. −2eC. eD. 2e【答案】B【解析】f′(x)=x 2+2mx +n ， 要使导函数f′(x)为偶函数，则m =0， 故f(x)=13x 3+nx +2，则f(1)=13+n +2=−23，解得n =−3， 所以f′(x)=x 2−3，故g(x)=e x (x 2−3)，g′(x)=e x (x 2−3+2x)=e x (x −1)(x +3)， 当x ∈[0,1)时，g′(x)<0，当x ∈(1,2]时，g′(x)>0．所以函数g(x)在区间[0,1)上单调递减，在区间(1,2]上单调递增， 所以函数g(x)在区间[0,2]上的最小值为g(1)=e ×(1−3)=−2e ． 故选B ．26. 已知函数f(x)=xe x −mx +m 2(e 为自然对数的底数)在(0,+∞)上有两个零点，则m 的范围是( )A. (0,e)B. (0,2e)C. (e,+∞)D. (2e,+∞)【答案】D【解析】解：由f(x)=xe x −mx +m 2=0得xe x =mx −m 2=m(x −12)，当x =12时，方程不成立，即x ≠12， 则m =xe xx−12，设ℎ(x)=xe xx−12，(x >0且x ≠12)，则ℎ′(x)=(xe x )′(x−12)−xe x(x−12)2=e x (x 2−12x−12)(x−12)2=12e x(x−1)(2x+1)(x−12)2，∵x >0且x ≠12，∴由ℎ′(x)=0得x =1，当x >1时，ℎ′(x)>0，函数为增函数，当0<x <1且x ≠12时，ℎ′(x)<0，函数为减函数， 则当x =1时函数取得极小值，极小值为ℎ(1)=2e ，当0<x <12时，ℎ(x)<0，且单调递减，作出函数ℎ(x)的图象如图： 要使m =xe xx−12有两个不同的根，则m >2e 即可，即实数m 的取值范围是(2e,+∞)， 方法2：由f(x)=xe x −mx +m 2=0得xe x =mx −m 2=m(x −12)，设g(x)=xe x ，ℎ(x)=m(x −12)，g′(x)=e x +xe x =(x +1)e x ，当x >0时，g′(x)>0，则g(x)为增函数，设ℎ(x)=m(x −12)与g(x)=xe x 相切时的切点为(a,ae a )，切线斜率k =(a +1)e a ， 则切线方程为y −ae a =(a +1)e a (x −a)， 当切线过(12,0)时，−ae a =(a +1)e a (12−a)，即−a =12a +12−a 2−a ，即2a 2−a −1=0，得a =1或a =−12(舍)，则切线斜率k =(1+1)e =2e ，要使g(x)与ℎ(x)在(0,+∞)上有两个不同的交点，则m >2e ， 即实数m 的取值范围是(2e,+∞) 故选：D ．27. 已知f(x),g(x)都是定义在R 上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(x)=a x g(x)(a >0,且a ≠1),f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103，若数列{f(n)g(n)}的前n 项和大于363，则n 的最小值为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】解：∵f(x)=a x ⋅g(x)(a >0且a ≠1)，∴f(x)g(x)=a x ， 又∵f′(x)g(x)>f(x)g′(x)， ∴(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g 2(x)>0，∴f(x)g(x)=a x 是增函数， ∴a >1， ∵f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103．∴a +a −1=103，解得a =13或a =3， 综上得a =3．∴数列{f(n)g(n)}是等比数列，f (n )g (n )=3n ． ∵数列{f(n)g(n)}的前n 项和大于363， ∴3+32+33+⋯+3n =3(1−3n )1−3=12(3n+1−3)>363，即3n+1>729，∴n +1>6，解得n >5． ∴n 的最小值为6． 故选C ．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）28. 设定义域为R 的函数f (x )满足f′(x )>f (x )，则不等式e x−1f (x )<f (2x −1)的解集为__________． 【答案】(1,+∞) 【解析】解：设F(x)=f(x)e x，则F ′(x)=f ′(x)−f(x)e x，∵f ′(x)>f(x)，∴F ′(x)>0，即函数F(x)在定义域R 上单调递增， ∵e x−1f(x)<f(2x −1)， ∴f(x)e x<f(2x−1)e 2x−1，即F(x)<F(2x −1)，∴x <2x −1，即x >1，∴不等式e x−1f(x)<f(2x −1)的解集为(1,+∞)， 故答案为(1,+∞)．29. 若函数f(x)=xx 2+a (a >0)在[1,+∞)上的最大值为√33，则a 的值为________．【答案】√3−1【解析】解：f′(x)=x 2+a−2x2(x2+a)2=a−x2(x2+a)2，当x>√a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当−√a<x<√a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x=√a时，f(x)=√a2a =√33，√a=√32<1，不合题意．∴f(x)最大值=f(1)=11+a=√33，a=√3−1，经检验a=√3−1满足题意．故答案为√3−1．30.已知函数f(x)=a−x2(0<x<√a)在其图象上任意一点P(t,f(t))处的切线，与x轴、y轴的正半轴分别交于M，N两点，设△OMN(O是坐标原点)的面积为S(t)，当t=t0时，S(t)取得最小值，则√at0的值为．【答案】√3【解析】解：因为f(x)=a−x2(0<x<√a)，所以f′(x)=−2x，所以在点P处的切线的斜率为k=f′(t)=−2t，又f(t)=a−t2，所以在点P处切线方程为y−(a−t2)=−2t(x−t)，令x=0，得y N=a+t2，令y=0得x M=t2+a2t，所以是坐标原点)的面积为：S(t)=12(a+t2)·t2+a2t=14·t4+2at2+a2t=14(t3+2at+a2t)，所以S′(t)=14(3t2+2a−a2t2)=14·3t4+2at2−a2t2，由S′(t)=0，得t=√a3，当0<t<√a3时，S′(t)<0，函数S(t)单调递增，当t>√a3时，S′(t)<0，函数S(t)单调递增，所以当t=√a3时，S(t)取得最小值，此时t0=√a3，所以√a t 0=√a √a 3=√3．故答案为√3．31. 函数f(x)的定义域为R ，f(0)=2，对于任意的x ∈R ，f(x)+f’(x)>1，则不等式e x f(x)>e x +1的解集为__________．【答案】(0,+∞)【解析】解：构造函数g (x )=e x ·f (x )−e x ，则g ′(x )=e x ·f (x )+e x ·f ′(x )−e x=e x [f (x )+f ′(x )]−e x >e x −e x =0，∴g (x )=e x ·f (x )−e x 为R 上的增函数，∵g (0)=e 0·f (0)−e 0=1，∴不等式e x ·f(x)>e x +1转化为g (x )>g (0)，∴x >0．则解集为(0,+∞)．故答案为(0,+∞)．三、解答题（本大题共3小题，共30分）32. 已知函数f(x)=12x 2−(a +1)x +alnx +1．(Ⅰ)若x =3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)≥1恒成立，求a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由题意知函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=x −(a +1)+a x， ∵x =3是f(x)的极值点，∴f′(3)=3−(a +1)+a 3=0，解得a =3，当a =3时，f′(x)=(x−1)(x−3)x ，当x 变化时，故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增；(Ⅱ)要使得f(x)≥1恒成立，即当x>0时，12x2−(a+1)x+alnx≥0恒成立，设g(x)=12x2−(a+1)x+alnx，则g′(x)=x−(a+1)+ax=(x−1)(x−a)x，(ⅰ)当a≤0时，由g′(x)<0得单减区间为(0,1)，由g′(x)>0得单增区间为(1,+∞)，故g(x)min=g(1)=−a−12≥0，得a≤−12；(ii)当0<a<1时，由g′(x)<0得单减区间为(a,1)，由g′(x)>0得单增区间为(0,a)，(1,+∞)，此时g(1)=−a−12<0，∴不合题意；(iii)当a=1时，g(x)在(0,+∞)上单调递增，此时g(1)=−a−12<0，∴不合题意；(iv)当a>1时，由g′(x)<0得单减区间为(1,a)，由g′(x)>0得单增区间为(0,1)，(a,+∞)，此时g(1)=−a−12<0，∴不合题意．综上所述，a的取值范围为(−∞,−12]．33.已知函数f(x)=ax+lnx，g(x)=e x−1−1．(1)讨论函数y=f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)≤g(x)+a在x∈[1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)函数f(x)定义域是(0,+∞)，f′(x)=a+1x =ax+1x，当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)单调递增，无减区间；当a<0时，函数f(x)在(0,−1a )单调递增，在(−1a,+∞)单调递减，(2)由已知e x−1−lnx−ax−1+a≥0在x≥1恒成立，令F(x)=e x−1−lnx−ax−1+a，x≥1，则F′(x)=e x−1−1x−a，易得F′(x)在[1,+∞)递增，∴F′(x)≥F′(1)=−a，①当a≤0时，F′(x)≥0，F(x)在[1,+∞)递增，所以F(x)≥F(1)=0成立，符合题意．②当a>0时，F′(1)=−a<0，且当x=ln(a+1)+1时，F′(x)=a+1−1x−a=1−1x>0，∴∃x0∈(1,+∞)，使F′(x0)=0，即∃x∈(1,x0)时F′(x)<0，F(x)在(1,x0)递减，F(x)<F(1)=0，不符合题意．综上得a≤0．34.已知函数f(x)=ax +lnx，g(x)=12bx2−2x+2，a,b∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)记函数ℎ(x)=f(x)+g(x)，当a=0时，ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围．【答案】解：的定义域是(0,+∞)，且 f′(x)=−ax2+1x=x−ax2；①若a⩽0，则f′(x)>0，f(x)的单调增区间是(0,+∞)，②若a>0，令f′(x)=0，得x=a，当0<x<a时，f′(x)<0，当x>a时，f′(x)>0，∴f(x)的单调减区间是(0,a)，单调增区间是(a,+∞)；综上，当a⩽0时，f(x)的单调增区间是(0,+∞)，无单调减区间；当a>0时，f(x)的单调减区间是(0,a)，单调增区间是(a,+∞)；(2)a=0时，，∴ℎ′(x)=bx−2+1x =bx2−2x+1x ，∵ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，则ℎ′(x)=0在(0,1)上有唯一实数解，且两侧异号，由ℎ′(x)=0，得bx2−2x+1=0；令p(x)=bx2−2x+1，则p(x)在(0,1)上有且只有一个零点，易知p(0)=1>0，①当b =0，由p(x)=0，得x =12，满足题意;②当b >0时，由{Δ=4−4b >0p (1)=b −1<0，解得0<b <1；③当b <0时，{Δ=4−4b >0p (1)=b −1<0，得b <1，故b <0； 综上所述，ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点时，b <1． 故实数b 的取值范围为(−∞,1)．。

利用导数研究函数的单调性精选题24道一．选择题（共7小题） 1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是()A ．(-∞，1)(0-⋃，1) B ．(1-，0)(1⋃，)+∞C ．(-∞，1)(1--⋃，0)D ．(0，1)(1⋃，)+∞2．若函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是() A ．[1-，1] B ．[1-，1]3C ．1[3-，1]3D ．[1-，1]3-3．函数32()f x a x b x c x d=+++的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a<，0b<，0c<，0d>D ．0a>，0b>，0c>，0d<4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x x f x =．若2(log 5.1)ag =-，0.8(2)bg =，cg=（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．ab c<<B ．cb a<< C ．ba c<< D ．bc a<<5．若函数21()f x xa x x=++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是()A ．[1-，0]B ．[1-，)+∞C ．[0，3]D ．[3，)+∞6．若定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是( )A ．11()f k k <B ．11()1f k k >-C ．11()11f k k <-- D ．1()11k f k k >--7．已知21()s in ()42f x xx π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是()A ．B ．C ．D ．二．填空题（共12小题）8．已知函数31()2xxf x x x ee=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+…．则实数a 的取值范围是 ． 9．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为 ． 10．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 ．11．已知函数3(21)34,(),a x a x tf x x x x t-+-⎧=⎨->⎩…，无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调．则a 的取值范围是 ． 12．已知()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，()f x '是()f x 的导函数，且满足()2()0x f x f x '->，若()f x 是偶函数，f（1）1=，则不等式2()f x x>的解集为 ．13．函数()(3)xf x x e=-的单调递增区间是 ．14．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R∈有2()()f x f x x-+=，且在(0,)+∞上()f x x'>．若(2)f a f--（a ）22a-…，则实数a 的取值范围是 ．15．已知三次函数32()()32a b f x x xc xd a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-的最小值为 ． 16．已知函数21()22f x m xln x x=+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为 ．17．函数212yxln x=-的单调递减区间为 ．18．已知函数321()242f x x xx =+-+，则函数的单调减区间为 ．19．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式1()(21)x e f x f x -<-的解为 ．三．解答题（共5小题） 20．已知函数1()f x x a ln xx=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．21．设函数2()(1)xf x x e=-⋅．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，()1f x a x +…，求实数a 的取值范围．22．已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．24．已知函数()1f x x a ln x=--．（1）若()0f x …，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<，求m 的最小值．利用导数研究函数的单调性精选题24道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题） 1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是()A ．(-∞，1)(0-⋃，1) B ．(1-，0)(1⋃，)+∞C ．(-∞，1)(1--⋃，0)D ．(0，1)(1⋃，)+∞【分析】由已知当0x >时总有()()0x f x f x '-<成立，可判断函数()()f xg x x=为减函数，由已知()f x 是定义在R 上的奇函数，可证明()g x 为(-∞，0)(0⋃，)+∞上的偶函数，根据函数()g x 在(0,)+∞上的单调性和奇偶性，模拟()g x 的图象，而不等式()0f x >等价于()0x g x ⋅>，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设()()f x g x x =，则()g x 的导数为：2()()()x f x f x g x x'-'=，当0x >时总有()()xf x f x '<成立，即当0x>时，()g x '恒小于0， ∴当0x>时，函数()()f xg x x =为减函数，又()()()()()f x f x f xg x g x xxx---====--，∴函数()g x 为定义域上的偶函数又(1)(1)01f g --==-，∴函数()g x 的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式()0()0f x xg x >⇔⋅>⇔0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，01x ⇔<<或1x <-．故选：A ．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题． 2．若函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是() A ．[1-，1] B ．[1-，1]3C ．1[3-，1]3D ．[1-，1]3-【分析】求出()f x 的导数，由题意可得()0f x '…恒成立，设c o s (11)t x t=-剟，即有25430ta t -+…，对t 讨论，分0t=，01t <…，10t -<…，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+的导数为2()1c o s 2c o s 3f x x a x'=-+，由题意可得()0f x '…恒成立，即为21c o s 2c o s 03x a x -+…， 即有254c o s c o s 033x a x -+…，设co s (11)t x t =-剟，即有25430ta t -+…，当0t =时，不等式显然成立；当01t <…时，534a t t-…，由54tt-在(0，1]递增，可得1t =时，取得最大值1-，可得31a -…，即13a -…；当10t -<…时，534a t t-…，由54tt-在[1-，0)递增，可得1t=-时，取得最小值1，可得31a …，即13a …．综上可得a 的范围是1[3-，1]3．另解：设co s (11)tx t =-剟，即有25430ta t -+…，由题意可得5430a -+…，且5430a --…，解得a 的范围是1[3-，1]3．故选：C ．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题． 3．函数32()f x a x b x c x d=+++的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a<，0b<，0c<，0d>D ．0a>，0b>，0c>，0d<【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可． 【解答】解：(0)0f d =>，排除D ，当x→+∞时，y →+∞，0a ∴>，排除C ， 函数的导数2()32f x a x b x c'=++，则()0f x '=有两个不同的正实根，则12203b x x a+=->且123c x x a=>，(0)a>，b ∴<，0c>，方法22:()32f x a x b x c'=++，由图象知当当1x x <时函数递增，当12x x x <<时函数递减，则()f x '对应的图象开口向上，则0a>，且12203b x x a+=->且123c x x a=>，(0)a >，b ∴<，0c>，方法3:(0)0f d =>，排除D ，函数的导数2()32f x a x b x c'=++，则(0)0f c '=>，排除B ，C ，故选：A ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及(0)f 的符号是解决本题的关键．4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x x f x =．若2(log 5.1)ag =-，0.8(2)bg =，cg=（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．ab c<<B ．cb a<< C ．ba c<< D ．bc a<<【分析】由奇函数()f x 在R 上是增函数，则()()g x x f x =偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则22(lo g 5.1)(lo g 5.1)a g g =-=，则22lo g 5.13<<，0.8122<<，即可求得ba c<< 【解答】解：奇函数()f x 在R 上是增函数，当0x>，()(0)0f x f >=，且()0f x '>，()()g x xf x ∴=，则()()()0g x f x xf x '=+'>，()g x ∴在(0,)+∞单调递增，且()()g x x f x =偶函数，22(lo g 5.1)(lo g 5.1)a g g ∴=-=， 则22lo g 5.13<<，0.8122<<，由()g x 在(0,)+∞单调递增，则0.82(2)(lo g 5.1)g g g<<（3），b a c∴<<，故选：C ．【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题． 5．若函数21()f x xa x x=++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是()A ．[1-，0]B ．[1-，)+∞C ．[0，3]D ．[3，)+∞【分析】由函数21()f x xa x x=++在1(2，)+∞上是增函数，可得21()20f x x a x'=+-…在1(2，)+∞上恒成立，进而可转化为212a xx-…在1(2，)+∞上恒成立，构造函数求出212xx-在1(2，)+∞上的最值，可得a 的取值范围．【解答】解：21()f x x a x x=++在1(2，)+∞上是增函数，故21()20f x x a x'=+-…在1(2，)+∞上恒成立，即212a x x-…在1(2，)+∞上恒成立，令21()2h x x x=-， 则32()2h x x'=--，当1(2x ∈，)+∞时，()0h x '<，则()h x 为减函数．1()()32h x h ∴<=3a ∴…．故选：D ．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．6．若定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是( )A ．11()f k k<B ．11()1f k k >- C ．11()11f k k <-- D ．1()11k f k k >-- 【分析】根据导数的概念得出()(0)1f x f k x->>，用11x k =-代入可判断出11()11f k k >--，即可判断答案． 【解答】解；()(0)(0)limx f x f f x →-'=-()1f x k '>>， ∴()(0)1f x f k x ->>，即()11f x k x+>>，当11xk =-时，11()1111k f k k k k +>⨯=---，即11()1111k f k k k >-=---故11()11f k k >--，所以11()11f k k <--，一定出错，另解：设()()1g x f x kx =-+，(0)0g =，且()()0g x f x k '='->，()g x 在R 上递增，1k >，对选项一一判断，可得C错．故选：C ．【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题． 7．已知21()s in ()42f x xx π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是()A ．B ．C ．D ．【分析】先化简2211()s in ()c o s 424f x xx xxπ=++=+，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B ，D ．再根据导函数的导函数小于0的x 的范围，确定导函数在(3π-，)3π上单调递减，从而排除C ，即可得出正确答案． 【解答】解：由2211()s in ()c o s 424f x xx xxπ=++=+，1()s in 2f x x x ∴'=-，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ． 又1()c o s 2f x x''=-，当33x ππ-<<时，1c o s 2x>，()0f x ∴''<，故函数()yf x ='在区间(3π-，)3π上单调递减，故排除C ．故选：A ．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减． 二．填空题（共12小题）8．已知函数31()2xxf x x x ee=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+…．则实数a 的取值范围是 [1-，1]2．【分析】求出()f x 的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得()f x 在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得()f x 为奇函数，原不等式即为221a a-…，运用二次不等式的解法即可得到所求范围． 【解答】解：函数31()2xxf x x x ee=-+-的导数为： 211()3220xxxxf x x e ee'=-++-+=…，可得()f x 在R 上递增；又331()()()220xxxxf x f x x x e ex x ee--+=-++-+-+-=，可得()f x 为奇函数，则2(1)(2)0f a f a -+…， 即有2(2)(1)f a f a --… 由((1))(1)f a f a --=--，2(2)(1)f a f a -…，即有221a a -…， 解得112a-剟，故答案为：[1-，1]2．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题． 9．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为(1,)-+∞ ．【分析】构建函数()()(24)F x f x x =-+，由(1)2f -=得出(1)F -的值，求出()F x 的导函数，根据()2f x '>，得到()F x 在R 上为增函数，根据函数的增减性即可得到()F x 大于0的解集，进而得到所求不等式的解集． 【解答】解：设()()(24)F x f x x =-+，则(1)(1)(24)220F f -=---+=-=，又对任意x R∈，()2f x '>，所以()()20F x f x '='->，即()F x 在R 上单调递增， 则()0F x >的解集为(1,)-+∞，即()24f x x >+的解集为(1,)-+∞．故答案为：(1,)-+∞【点评】本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题． 10．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是(-∞，1)(0-⋃，1) ．【分析】构造函数()()f x g x x=，利用()g x 的导数判断函数()g x 的单调性与奇偶性，画出函数()g x 的大致图象，结合图形求出不等式()0f x >的解集．【解答】解：设()()f xg x x=，则()g x 的导数为：2()()()x f x f x g x x'-'=，当0x >时总有()()xf x f x '<成立，即当0x>时，()g x '恒小于0， ∴当0x>时，函数()()f xg x x =为减函数，又()()()()()f x f x f xg x g x xxx---====--，∴函数()g x 为定义域上的偶函数又(1)(1)01f g --==-，∴函数()g x 的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式()0()0f x xg x >⇔⋅>⇔0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，01x ⇔<<或1x <-．()0f x ∴>成立的x 的取值范围是(-∞，1)(0-⋃，1)．故答案为：(-∞，1)(0-⋃，1)．【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题目． 11．已知函数3(21)34,(),a x a x tf x x x x t-+-⎧=⎨->⎩…，无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调．则a 的取值范围是 12a …．【分析】首先分析3()f x x x=-，其单调区间．然后根据无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调，判断()(21)34f x a x a =-+-的单调性，求出a 的取值范围即可．【解答】解：对于函数3()f x x x=-，2()31f x x '=-x t>当2310x ->时，即3x>或3x<-此时3()f x x x=-，为增函数当2310x -<时，33x -<<x t>，3()f x x x∴=-，一定存在单调递增区间要使无论t 取何值， 函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调()(21)34f x a x a ∴=-+-不能为增函数210a ∴-…∴12a …故答案为：12a …．【点评】本题考查函数单调性的判定与应用，3次函数与1次函数的单调性的判断，属于中档题． 12．已知()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，()f x '是()f x 的导函数，且满足()2()0x f x f x '->，若()f x 是偶函数，f（1）1=，则不等式2()f x x>的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞ ．【分析】构造函数2()()(0)f xg x x x=≠，依题意可知它是偶函数且在(0,)+∞上单调递增，于是2()f x x>等价转化为()g x g>（1），即(||)(|1|)||1g x g x >⇒>，从而可得答案．【解答】解：令2()()(0)f xg x x x=≠，则243()2()()2()()x f x x f x x f x f x g x xx'-'-'==，因为足()2()0x f x f x '->，所以，当0x>时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增． 又()f x 是偶函数，故2()()(0)f xg x x x=≠也是偶函数，而f（1）1=，故g （1）2(1)1f f==（1）1=，因此，2()f x x>⇔2()1f x x>，即()g x g >（1），即(||)(|1|)g x g >所以，||1x >，解得：1x >或1x<-．则不等式2()f x x>的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，故答案为：(-∞，1)(1-⋃，)+∞．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数2()()(0)f xg x x x=≠，并判断它为偶函数且在(0,)+∞上单调递增是关键，考查等价转化思想与逻辑思维能力及运算能力，属于中档题． 13．函数()(3)xf x x e=-的单调递增区间是(2,)+∞ ．【分析】先求出函数的导数，令导函数大于0，解不等式求出即可．【解答】解：()(2)xf x x e'=-，令()0f x '>，解得：2x >，()f x ∴在(2,)+∞递增，故答案为：(2,)+∞．【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题． 14．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R∈有2()()f x f x x-+=，且在(0,)+∞上()f x x'>．若(2)f a f --（a ）22a-…，则实数a 的取值范围是(-∞，1] ．【分析】令21()()2g x f x x=-，由()()g x g x -+=，可得函数()g x 为奇函数．利用导数可得函数()g x 在R 上是增函数，(2)f a f--（a ）22a-…，即(2)g a g-…（a ），可得2a a-…，由此解得a 的范围． 【解答】解：令21()()2g x f x x=-，2211()()()()022g x g x f x xf x x-+=--+-=，∴函数()g x 为奇函数．(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x x '='->，故函数()g x 在(0,)+∞上是增函数，故函数()g x 在(,0)-∞上也是增函数， 由(0)0f =，可得()g x 在R 上是增函数． (2)f a f--（a ）22a-…，等价于2(2)(2)2a f a f---…（a ）22a-，即(2)g a g-…（a ），2a a∴-…，解得1a …，故答案为：(-∞，1]．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题． 15．已知三次函数32()()32a b f x x xc xd a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-的最小值为3 ．【分析】由题意得2()f x a x b x c'=++在R 上恒大于或等于0，得0a>，△240ba c =-…，将此代入a b c b a++-，将式子进行放缩，以b a为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决． 【解答】解：由题意2()0f x a x b x c '=++…在R 上恒成立，则0a>，△240ba c =-…．∴222222111()441b b a a b ba b c aa b a c aa b b aa b aa b aa++++++++==----…令(1)b tt a=>，222111(2)1(13)194(16)31414141t ta b c t t t b at t t t +++++-+===-++-----厖．（当且仅当4t =，即4bc a==时取“=” )故答案为：3【点评】本题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题，属于中档题． 16．已知函数21()22f x m xln x x=+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为[1，)+∞ ．【分析】函数21()22f x m xl nx x =+-在定义域(0)x >内是增函数⇔2121()20f x m x mxx x'=+-⇔-厖对于任意0x>．⇔221()m a xm xx-…．利用导数即可得出．【解答】解：函数21()22f x m x l n xx =+-在定义域(0)x >内是增函数，∴1()20f x m x x'=+-…，化为221m xx-…．令221()g x xx=-，233222(1)()x g x xxx-'=-+=-，解()g x '>，得01x <<；解()0g x '<，得1x >．因此当1x =时，()g x 取得最大值，g （1）1=．1m ∴…．故答案为[1，)+∞．【点评】正确把问题等价转化、利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键． 17．函数212yxln x=-的单调递减区间为(0，1] ．【分析】根据题意，先求函数212yxln x=-的定义域，进而求得其导数，即211xy x x x-'=-=，令其导数小于等于0，可得210x x -…，结合函数的定义域，解可得答案． 【解答】解：对于函数212yxln x=-，易得其定义域为{|0}x x>，211x y x xx-'=-=，令210x x-…，又由0x>，则221010x x x-⇔-剟，且0x>；解可得01x <…，即函数212yxln x=-的单调递减区间为(0，1]，故答案为(0，1]【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域． 18．已知函数321()242f x x xx =+-+，则函数的单调减区间为2[1,]3- ．【分析】对函数进行求导即可求出单调区间． 【解答】解：31()242f x x x x =+-+2()32(32)(1)f x x x x x ∴'=+-=-+令2()0,13f x x '-剟?．∴函数的单调减区间为2[1,]3-．【点评】此题较为容易，考查了导数与函数的单调性问题，注意区间端点的取值就可以了． 19．设定义域为R的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式1()(21)x ef x f x -<-的解为(1,)+∞ ．【分析】令()()xf xg x e=，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．【解答】解：令()()xf xg x e=，则()()()xf x f xg x e'-'=>，故()g x 在R 递增， 不等式1()(21)x e f x f x -<-，即21()(21)xx f x f x ee--<，故()(21)g x g x <-，故21xx <-，解得：1x >，故答案为：(1,)+∞【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题． 三．解答题（共5小题） 20．已知函数1()f x x a ln xx=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可． （2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论． 【解答】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞， 函数的导数22211()1a xa x f x xxx-+'=--+=-，设2()1g x x a x =-+，当0a …时，()0g x >恒成立，即()0f x '<恒成立，此时函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，当0a>时，判别式△24a =-，①当02a <…时，△0…，即()0g x …，即()0f x '…恒成立，此时函数()f x 在(0,)+∞上是减函数， ②当2a>时，x ，()f x '，()f x 的变化如下表：综上当2a …时，()f x 在(0,)+∞上是减函数，当2a>时，在(02和2，)+∞上是减函数，则22上是增函数．（2）由（1）知2a>，不妨设12x x <，则121x x <<<，121x x =，则1221122112121()()()(1)()2()()f x f x x x a ln x ln x x x a ln x ln x x x -=-++-=-+-，则12121212()()()2f x f x a ln x ln x x x x x --=-+--，则问题转为证明12121ln x ln x x x -<-即可，即证明1212ln x ln x x x ->-，则111111ln x lnx x x ->-， 即11111ln x ln x x x +>-，即证11112ln x x x >-在(0,1)上恒成立，设1()2h x ln x x x=-+，(01)x <<，其中h （1）0=， 求导得222222121(1)()10x x x h x xxxx-+-'=--=-=-<，则()h x 在(0,1)上单调递减，()h x h∴>（1），即120ln xx x-+>，故12ln x x x>-，则1212()()2f x f x a x x -<--成立．（2）另解：注意到11()()f x a ln x f x x x=--=-，即1()()0f x f x +=，不妨设12x x <，由韦达定理得121x x =，122x x a +=>，得121x x <<<，121x x =，可得221()()0f x f x +=，即12()()0f x f x +=，要证1212()()2f x f x a x x -<--，只要证2212()()2f x f x a x x --<--，即证22220a a ln x a x x -+<，2(1)x >，构造函数()2a h x a ln x a x x=-+，(1)x >，22(1)()a x h x x--'=…，()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，()h x h∴<（1）0=，20a a ln x a x x∴-+<成立，即22220a a ln x a x x -+<，2(1)x >成立．即1212()()2f x f x a x x -<--成立．【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 21．设函数2()(1)xf x x e=-⋅．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，()1f x a x +…，求实数a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可． （2）化简()(1)(1)xf x x x e=-+．()1f x a x +…，下面对a 的范围进行讨论：①当1a …时，②当01a <<时，设函数()1xg x e x =--，则()10(0)xg x e x '=->>，推出结论；③当0a …时，推出结果，然后得到a 的取值范围．法二：0x …时，2()(1)10xg x e x a x =-++…恒成立，推出()g x '，求解[()]g x ''，当(0)10g a '=-…时，判断函数的单调性，判断满足题意，当(0)10g a '=-<时，推出()(0)0g m g <=，不合题意，得到结果． 【解答】解：（1）因为2()(1)xf x x e=-，x R∈，所以2()(12)xf x x x e'=--，令()0f x '=可知1x=-±当1x<--1x>-+()0f x '<，当11x --<<-+时()0f x '>，所以()f x在(,1-∞--，(1-+)+∞上单调递减，在(1--，1-+上单调递增；（2）由题可知()(1)(1)xf x x x e=-+．下面对a 的范围进行讨论：①当1a …时，设函数()(1)xh x x e=-，则()0(0)xh x x e x '=-<>，因此()h x 在[0，)+∞上单调递减， 又因为(0)1h =，所以()1h x …，所以()(1)()11f x x h x x a x =+++剟；②当01a <<时，设函数()1xg x e x =--，则()10(0)x g x e x '=->>，所以()g x 在[0，)+∞上单调递增， 又(0)1010g =--=，所以1x e x +…．因为当01x <<时2()(1)(1)f x x x >-+，所以22(1)(1)1(1)x x a x x a x x -+--=---，取0(0,1)2x =，则2000(1)(1)10x x a x -+--=，所以00()1f x a x >+，矛盾；③当0a …时，取0(0,1)2x =，则20000()(1)(1)11f x x x a x >-+=+…，矛盾；综上所述，a 的取值范围是[1，)+∞． （2）法二：0x …时，2()(1)10x g x e x a x =-++…恒成立，2()(21)x g x e x x a'=+-+，2[()](41)0(0)xg x e x x x ''=++>…，()g x '在0x …时单调递增，当(0)10g a '=-…时，0x>时()0g x '>恒成立，()g x 单调递增，则0x …时，()(0)0g x g =…，符合题意，当(0)10g a '=-<时，(||)0g a '>，于是存在0m>使得()g m '=，当0x m<<时，()0g x '<，()g x 单调递减，有()(0)0g x g <=，不合题意，所以1a …．综上所述，a 的取值范围是[1，)+∞．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力． 22．已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出()f x 的导数，讨论当0a …时，2e a<-时，2e a=-时，02e a -<<，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a 讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由2()(2)(1)x f x x e a x =-+-，可得()(1)2(1)(1)(2)xxf x x e a x x e a '=-+-=-+，①当0a …时，由()0f x '>，可得1x>；由()0f x '<，可得1x<，即有()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增（如右上图）； ②当0a <时，（如右下图）， 由20xe a +=，可得(2)x ln a =-，由(2)1ln a -=，解得2e a=-，若2e a =-，则()0f x '…恒成立，即有()f x 在R 上递增；若2e a <-时，由()0f x '>，可得1x<或(2)x ln a >-；由()0f x '<，可得1(2)x ln a <<-．即有()f x 在(,1)-∞，((2)ln a -，)+∞递增；在(1，(2))ln a -递减； 若02e a -<<，由()0f x '>，可得(2)xln a <-或1x>；由()0f x '<，可得(2)1ln a x -<<．即有()f x 在(-∞，(2))ln a -，(1,)+∞递增；在((2)ln a -，1)递减； （Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当0a>时，()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增， 且f（1）0e =-<，x→+∞，()f x →+∞；当x→-∞时()0f x >或找到一个1x <使得()0f x >对于0a>恒成立，()f x 有两个零点；②当0a =时，()(2)xf x x e=-，所以()f x 只有一个零点2x=；③当0a <时， 若2e a<-时，()f x 在(1，(2))ln a -递减，在(,1)-∞，((2)ln a -，)+∞递增，又当1x …时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点；当2e a -…时，在(-∞，(2))ln a -单调增，在(1,)+∞单调增，在((2)ln a -，1)单调减， 只有((2))f ln a -等于0才有两个零点，而当1x …时，()0f x <，所以只有一个零点不符题意．综上可得，()f x 有两个零点时，a 的取值范围为(0,)+∞．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题． 24．已知函数()1f x x a ln x=--．（1）若()0f x …，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<，求m 的最小值．【分析】（1）通过对函数()1(0)f x x a ln x x =-->求导，分0a …、0a>两种情况考虑导函数()f x '与0的大小关系可得结论；（2）通过（1）可知1ln x x -…，进而取特殊值可知11(1)22kkln +<，*k N∈．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知2111(1)(1)(1)222ne ++⋯+<，另一方面可知2111(1)(1)(1)2222n++⋯+>，从而当3n …时，2111(1)(1)(1)(2222n++⋯+∈，)e ，比较可得结论．【解答】解：（1）因为函数()1f x x a ln x=--，0x>，所以()1a x a f x x x-'=-=，且f（1）0=．所以当0a …时()0f x '>恒成立，此时()yf x =在(0,)+∞上单调递增，故当01x <<时，()f x f <（1）0=，这与()0f x …矛盾；当0a>时令()0f x '=，解得x a=，所以()y f x =在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，即()m in f x f=（a ），若1a≠，则f （a ）f<（1）0=，从而与()0f x …矛盾；所以1a =；（2）由（1）可知当1a =时()10f x x ln x =--…，即1ln x x -…，所以(1)ln xx +…当且仅当0x=时取等号，所以11(1)22kkln +<，*k N∈．221111111(1)(1)(1)112222222nnnln ln ln ++++⋯++<++⋯+=-<，即2111(1)(1)(1)222ne++⋯+<；因为m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<成立，当3n=时，23111135(1)(1)(1)222264+++=>，所以m 的最小值为3．【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题．。

高三数学利用导数研究函数的单调性试题1.（本小题满分13分）设函数（为常数，是自然对数的底数）.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.【答案】（I）的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.【解析】（I）函数的定义域为，由可得，得到的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）分，，，时，讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少.试题解析：（I）函数的定义域为，由可得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）由（I）知，时，函数在内单调递减，故在内不存在极值点；当时，设函数，因为，当时，当时，，单调递增，故在内不存在两个极值点；当时，得时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以函数的最小值为，函数在内存在两个极值点；当且仅当，解得，综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.【考点】应用导数研究函数的单调性、极值，分类讨论思想，不等式组的解法.2.函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为________．【答案】(0，＋∞)【解析】函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋>0，故单调增区间是(0，＋∞)．3.已知函数函数在处取得极值1.（1）求实数b，c的值；（2）求在区间[-2，2]上的最大值．【答案】（1）（2）详见解析.【解析】（1）根据分段函数可知，时，，根据函数在处，取得极值1，可知,,求出与,并且回代函数，验证能够满足在处函数取得极值；（2）当时，函数,,求函数的极值点，与端点值，判定最大值，当时，,,设，显然大于0，所以只要讨论三种情况的正负，取得函数的单调性，闭区间内求最大值，再与的最大值比较大小.（1）由题意当时，，当时，，依题意得，经检验符合条件. 4分（2）由（1）知，当时，，，令得当变化时，的变化情况如下表：+—由上表可知在上的最大值为. 7分当时,.，令，当时，显然恒成立，当时，在单调递减，所以恒成立.此时函数在上的最大值为；当时，在上，当时, 在上所以在上，函数为单调递增函数.∴在最大值为，，故函数在上最大值为.综上：当时，在上的最大值为；当时, 在最大值为. 12分【考点】1.利用导数求函数的极值；2.利用导致求函数的最值.4.已知函数f(x)＝ax3＋(a－2)x＋c的图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)若g(x)＝－2ln x在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．【答案】（1）f(x)＝x3－x＋3（2）[1，＋∞)【解析】(1)∵f′(x)＝ax2＋a－2，由图可知函数f(x)的图象过点(0,3)，且f′(1)＝0.得即∴f(x)＝x3－x＋3.(2)∵g(x)＝－2ln x＝kx－－2ln x，∴g′(x)＝k＋－＝.∵函数y＝g(x)的定义域为(0，＋∞)，∴若函数y＝g(x)在其定义域内为单调增函数，则函数g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即kx2＋k－2x≥0在区间(0，＋∞)上恒成立．即k≥在区间(0，＋∞)上恒成立．令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，则h(x)＝＝≤1(当且仅当x＝1时取等号)．∴k≥1.∴实数k的取值范围是[1，＋∞)．5.已知函数其中a是实数．设，为该函数图象上的两点，且．（1）指出函数f(x)的单调区间;（2）若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且，求的最小值;（3）若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．【答案】（1）[－1，0)，(0，+∞)（2）1（3）(－ln2－1，+∞)【解析】（1）函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，+∞)．（2）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为，点B处的切线斜率为，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有．当x<0时，对函数f(x)求导，得．因为，所以，所以．因此当且仅当，即且时等号成立．所以函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，的最小值为1．（3）当或时，，故．当时，函数f(x)的图象在点处的切线方程为，即．当时，函数f(x)的图象在点处的切线方程为，即．两切线重合的充要条件是由（1）式及知，．由（1）（2）式得，．设，则．所以是减函数．则．所以．又当且趋近于－1时，无限增大，所以a的取值范围是．故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是．6.已知函数f(x)＝ln x＋ax(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝x2－4x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．【答案】(1) f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)【解析】(1)f′(x)＝a＋＝ (x＞0)．①当a≥0时，由于x＞0，故ax＋1＞0，f′(x)＞0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a＜0时，由f′(x)＝0，得x＝－.在区间上，f′(x)＞0，在区间上，f′(x)＜0，所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)由题意得f(x)max ＜g(x)max，而g(x)max＝2，由(1)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．当a＜0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)的极大值即为最大值，f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－.故a的取值范围为.7.设f(x)=-x3+x2+2ax.(1)若f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围.(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-,求f(x)在该区间上的最大值.【答案】(1) a>- (2) f(x)max = 【解析】(1)f(x)=-x 3+x 2+2ax,∴f'(x)=-x 2+x+2a,当x ∈[,+∞)时,f'(x)的最大值为f'()=+2a.函数f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,即导函数在(,+∞)上存在函数值大于零成立, ∴+2a>0a>-.(2)已知0<a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值-,而f'(x)=-x 2+x+2a 的图象开口向下,且对称轴为x=, ∴f'(1)=-1+1+2a=2a>0, f'(4)=-16+4+2a=2a-12<0,则必有一点x 0∈[1,4]使得f'(x 0)=0,此时函数f(x)在[1,x 0]上单调递增,在[x 0,4]上单调递减, f(1)=-++2a=+2a>0,∴f(4)=-×64+×16+8a=-+8a, ∴-+8a=-,得a=1,此时,由f'(x 0)=-+x 0+2=0得x 0=2或-1(舍去), 所以函数f(x)max =f(2)=.8. 若函数f(x)＝x 3－x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________． 【答案】-4【解析】∵f(x)＝x 3－x 2＋ax ＋4，∴f′(x)＝x 2－3x ＋a.又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a ＝－1×4＝－4.9. 函数y ＝x 2－ln x 的单调减区间是 ( )． A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)【答案】B【解析】y ′＝x －，且x ＞0， 令y ′＝x －≤0，解之得0＜x ≤1. ∴函数的单调减区间为(0,1]10. 没函数在(0，+)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数，取函数，恒有，则A ．K 的最大值为B ．K 的最小值为C ．K 的最大值为2D ．K 的最小值为2【答案】B 【解析】由，，得；当时，，当时，，即在时取到最大值，而恒成立，所以，故的最小值为，选B.【考点】应用导数研究函数的单调性及最值，不等式恒成立问题.11.设函数，若时，有极小值，（1）求实数的取值；（2）若数列中，，求证：数列的前项和；（3）设函数，若有极值且极值为，则与是否具有确定的大小关系？证明你的结论.【答案】(1)；（2）详见解析；（3）不具有.【解析】(1)对函数求导，再由极小值的定义，代入得到导数为0以及相应的函数值，从而得到；（2）由上问得到数列为递增的数列，所以，将代入即可得证；（3）先对函数求导，计算得极小值点.再通过作出比较大小，即构造函数.再计算该函数的极小值，又因为.从而的极值与不具有明确的大小关系.试题解析：（1） 1分3分4分（2）由条件和第（1）问可知，函数在上单调递增， 5分7分（3），由有极值且的定义域为可知：异号，极小值点为， 8分9分令，构造函数，由条件和第（1）问可知：时，有极小值而 11分所以可能大于0或可能等于0或可能小于0，即的极值与不具有明确的大小关系. 13分【考点】1.函数的求导法则；2.函数的单调性；3.极值；4.作差法比较大小.12.若函数有大于零的极值点，则的取值范围是_________.【答案】【解析】，令，∴，∴.【考点】函数的极值.13.已知定义在上的函数，其中为常数.（1）当是函数的一个极值点，求的值；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；（3）当时，若，在处取得最大值，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3） .【解析】(1) 本小题首先由可得，因为是是函数的一个极值点，所以；(2) 本小题首先利用导数的公式和法则求得，根据函数在区间上是增函数，讨论参数的不同取值对单调性的影响；（3）本小题首先求得，然后求得导数，然后讨论单调性，求最值即可.试题解析：（1）由可得因为是是函数的一个极值点，所以（2）①当时，在区间上是增函数，所以符合题意②当时，，令当时，对任意的，，所以符合题意当时，时，，所以，即符合题意综上所述，实数的取值范围为（3）当时，所以令，即显然设方程的两个实根分别为，则不妨设当时，为极小值所以在上的最大值只能是或当时，由于在上是递减函数，所以最大值为所以在上的最大值只能是或由已知在处取得最大值，所以即，解得又因为，所以实数的取值范围为【考点】1.导数公式与法则；2.函数的单调性；3.等价转化.14.若函数在上的导函数为，且不等式恒成立，又常数，满足，则下列不等式一定成立的是 .①；②；③；④.【答案】①【解析】令，.，因为,所以，即在上是增函数.由得，即，所以.所以①成立，③不成立；再令，.所以，因为不能确定是否大于0，所以单调性不能确定，即不知道与的大小关系，所以②④不一定成立.因此本题填①.【考点】利用导数研究函数的单调性、导数的运算法则、利用函数单调性比较大小15.设函数，其中为常数。

完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳利用导数求函数单调性题型全归纳一、求单调区间例1：已知函数$f(x)=ax+x^2-x\ln a(a>0,a\neq 1)$，求函数$f(x)$的单调区间。

解：$f'(x)=ax\ln a+2x-\ln a=2x+(a x-1)\ln a$。

令$g(x)=f'(x)$，因为当$a>0,a\neq 1$时，$g'(x)=2+a\ln a>0$，所以$f'(x)$在$\mathbb{R}$上是增函数，又$f'(0)=-\ln a0$的解集为$(0,+\infty)$，故函数$f(x)$的单调增区间为$(0,+\infty)$，减区间为$(-\infty,0)$。

变式：已知$f(x)=e^{-ax}$，求$f(x)$的单调区间。

解：$f(x)=e^{-ax}$，当$a\leq 0$时，$f(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$a>0$时，由$f(x)=e^{-a x}>0$得：$x>\ln a$，$f(x)$在$(\ln a,+\infty)$单调递增；由$f(x)=e^{-a x}0$时，$f(x)$的单调递增区间为$(\ln a,+\infty)$，递减区间为$(-\infty,\ln a)$。

二、函数单调性的判定与逆用例2：已知函数$f(x)=x+ax-2x+5$在$(0,+\infty)$上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数$a$的取值集合。

解：$f'(x)=3x+2ax-2$。

因为函数$f(x)=x+ax-2x+5$在$(0,+\infty)$上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，所以$f'(x)=3x+2ax-2=0$在$(0,+\infty)$上有解。

所以$f''(x)=6+2a>0$在$(0,+\infty)$上恒成立。

高二数学利用导数研究函数的单调性试题1.若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为()A．1B．C．D．【答案】B【解析】设P，点P到直线y＝x－2的距离==，设=（），所以==，当＜0时，＜0，当＞0时，＞0，则在（0,1）是减函数，在（1，+）上是增函数，则当=1时，取极小值也是最小值=2，此时=，故选B.考点:点到直线的距离公式，导数的综合运用2.直线与函数的图像有三个相异的交点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】得列表:x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ ) ++y画出大到图象可得：-2<a<2,故选A.【考点】函数的极值.3.已知函数有极大值和极小值，则的取值范围为()A．－12B．－36C．－1或2D．－3或6【答案】D【解析】,函数有极大值与极小值，则，即方程有两个不等的根，所以，解得或．【考点】函数的极值．4.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】显然x=1时，有|a|≥1，a≤-1或a≥1．令g（x）=ax3-lnx，g′(x)＝3ax2−＝=g（1）当a≤-1时，对任意x∈（0，1]，g′(x)＝＜0，g（x）在（0，1]上递减，g（x）min=a≤-1，此时g（x）∈[a，+∞），|g（x）|的最小值为0，不适合题意．当a≥1时，对任意x∈（0，1]，g′(x)＝＝0，∴x＝函数在（0，）上单调递减，在（,+∞）上单调递增∴|g（x）|的最小值为g()＝+ ，解得：a≥∴实数a 取值范围是[，+∞),故答案为.【考点】导数知识的运用，函数的单调性与最值，分类讨论的数学思想，函数恒成立问题.5.函数的单调减区间为___________.【答案】【解析】因为，解得，因此函数的单调减区间为.【考点】导数求单调区间6.设函数（1）试问函数能否在处取得极值，请说明理由;（2）若，当时，函数的图像有两个公共点，求的取值范围.【答案】（1）函数不能在处取得极值，理由详见试题解析;（2）的取值范围是.【解析】（1）先对函数求导，因为函数在实数上单调递增，故函数不可再处取得极值.（2）函数与的图像在有两个公共点，即方程在有两解，结合函数的单调性可求的取值范围.（1），当时，，而此时，函数在实数上单调递增，故函数不可再处取得极值.（2）当时，，函数与的图像在有两个公共点，即方程在有两解，方程可转化为，设，则，令，解得，所以函数在递增，在上递减.，所以要使得方程有两解需.【考点】导函数的综合应用、构造思想、转化与化归思想.7.已知若,使得成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】由题可知的最大值为，又，当时，减函数，当时，，为增函数，所以有最小值为.若,使得成立,只需.【考点】利用导数判断函数的单调性.8.若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】，在区间内是增函数，在区间内恒成立，由，故【考点】导数与单调性，恒成立问题9.(本小题满分15分)若函数在时取得极值，且当时，恒成立.（1）求实数的值；（2）求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，是方程的一个根，设另一个根是，则，所有（2）所以，，令，解得+0-0+极大值又，所以，当时，。

利用导数判断函数单调性专题一、用导数求函数的单调区间的基本步骤（1） 确定函数)(x f 的定义域（2） 求导数)(x f '（3） 若0)(>'x f ，解出相应的x 的范围，则)(x f 在相应的区间上是增函数，若0)(<'x f ，则)(x f 在相应的区间上是减函数备注：注意因式分解，注意对参数的分类讨论二、典型例题例题1（不含参数型）讨论函数2)32ln()(x x x f ++=的单调性例题2（不含参数型） 已知函数xx x f ln )(=，判断函数)(x f 的单调性，并求在区间]2,1[上的最值例题3（不含参数型）求函数x x x f ln )(2=的单调区间和极值例题4（含参数型、求导后研究一元二次函数） 已知函数1ln )(+-=x ax x x f ，当0≥a 时，讨论函数)(x f 的单调性例题5（含参数型、求导后注意因式分解） 已知函数]1,21(],,0[,)1()(2∈∈--=k k x kx e x x f x ，求函数)(x f 的单调区间例题6（因式分解解决不了的混合型函数） 已知函数)10(1ln )1()(≠>-+=x x x x x x f 且，讨论函数)(x f 的单调性提升训练（含参数）1、 已知函数11ln )(--+-=xa x ax x f ，试讨论)(x f 的单调性2、设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）. 当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；3、 已知函数)ln()(m x e x f x +-=，其中R m ∈且m 为常数（1）试判断当0=m 时，函数)(x f 在区间],1[+∞上的单调性，并证明（2）设函数)(x f 在0=x 处取得极值，求m 的值，并讨论函数)(x f 的单调性利用导数判断函数单调性专题参考答案例题1例题2 解：2ln 1)(xx x f -=' 当e x <<0时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数； 当e x >时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数因为函数)(x f 在),0(e 上单调递增，所以)(x f 在]2,1[上单调递增， 故22ln )2()(max ==f x f ，01ln )1()(min ===f x f例题3例题4例题5解所以 )(x f 的单调递增区间为)),2(ln(k k ，减区间为))2ln(,0(k例题6：提升训练1、23。

一、课前预习细读课本P93，回答以下问题1.设y=f(x)在区间(a，b)内可导，如果在区间(a,b)内，f′(x) ,则f(x)在此区间内是的；如果在区间(a,b)内，f′(x) ,则f(x) 在此区间内是的。

2.如果函数y=f(x)在x的某个开区间内，总有，则f(x)在这个区间上,如果x在某个开区间上，总有，则f(x)在这个区间上。

二、典例分析1.求y=x2-2x+4的单调区间2.求f(x)=x3+4x2+x-1的单调区间小结：求单调区间的步骤。

三、课堂巩固1.函数y=x3的递减区间是（）A．（-∞，+∞）B．（0，+∞）C．（-∞，0）D．不存在2.函数f(x)=2x-sinx在（-∞，+∞）上（）A ．是增函数B ．是减函数C ．在（0，+∞）上增 ，（-∞，0）上减D ．在（0，+∞）上减，（-∞，0）上增3.函数f(x)=(x-3)e x 的单调递增区间是（ ） A ．（-∞，2）B ．（0，3）C ．（1，4）D ．（2，+∞） 4.函数f(x)=x 3-x 的增区间是，减区间是。

5.函数f(x)的导数y=f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调增区间是。

6.求11+=x y 的单调区间7.讨论y=x 3-8x 2+13x-6的单调性3.31利用导数判断函数的单调性（二）一、基础知识1.利用导数判断函数单调性的法则：设函数y=f(x)在区间(a，b)内可导（1）（2）2.设函数y=f(x)在（a，b）内可导，若y=f(x)在（a，b）上是单调递增函数，则恒有，若y=f(x)在（a,b）上是单调递减函数，则恒有。

二、例题分析（1）判y=x2-5x+6的单调区间（2）讨论y=sinx在区间（0，2π）的单调性（3）求证：当x＜2时，x3-6x2+12x-1＜7（4）已知函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，求m的取值范围。

三、课堂巩固1.若在区间（a ，b ）内，f ′(x)＞0，且f(a)≥0,则在（a ，b ）内有（ ） A ．f(x)＞0B ．f(x)＜0C ．f(x)＝0D ．不能确定2.已知f(x)＝ax 3+3x 2-x+1在R 上是减函数，则a 的取值范围是 。