利用导数判断函数的单调性_说课2

导数在研究函数中的应用一、教学目标：知识与技能：1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．过程与方法：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：掌握函数的单调性与导数的关系．难点：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y ＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.（二）新知探究探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．思考2观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1x2<0，y是减函数．小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．思考4(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x >4，或x <1时，f ′(x )<0；当x ＝4，或x ＝1时，f ′(x )＝0.试画出函数f (x )图象的大致形状． 解 当1<x <4时，f ′(x )>0，可知f (x )在此区间内单调递增； 当x >4，或x <1时， f ′(x )<0，可知f (x )在这两个区间内单调递减；当x ＝4，或x ＝1时，f ′(x )＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”． 综上，函数f (x )图象的大致形状如图所示．反思与感悟 本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1 函数y ＝f (x )的图象如图所示，试画出导函数f ′(x )图象的大致形状．解 f ′(x )图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一． 例2 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1；(2)f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ；(4)f (x )＝3tx －x 3单调递减区间是(－3,2)．(2)f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，故函数f (x )的单调递减区间为(0，π) (3)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0，解得－33<x <0或x >33.又∵x >0，∴x >33.令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x<0，解得x <－33或0<x <33.又∵x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33)． (4)f ′(x )＝3t －3x 2.令f ′(x )≥0时，得3t －3x 2≥0，即t ≥x 2，∴当t ≤0时，无解；当t >0时，函数的单调递增区间是[－t ，t ]． 令f ′(x )≤0时，得3t －3x 2≤0，即t ≤x 2， 当t ≤0时，f ′(x )≤0恒成立，函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t >0时，函数的单调递减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)．综上所述，当t ≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；当t >0时，函数的单调增区间是[－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x .又∵x >0，∴x >22，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0得x <－22或0<x <22，又∵x >0，∴0<x <22， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22. (2)f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13<x <1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．探究点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．解(1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.反思与感悟通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．跟踪训练3已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()【答案】 D（三）当堂达标1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是增函数 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是减函数 【答案】 A【解析】 ∵f ′(x )＝1＋1x>0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确．3．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A【解析】 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.4．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( )．A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)【答案】 A5．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为 6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．【解析】 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3. 故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)． 6．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x ) <0，解得－1<x <3. 所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数． 五、小结。

《函数的单调性》说课稿数学组张学亮尊敬的各位领导、评委老师：大家好！我说课的题目是《函数的单调性》。

我将从以下六个方面说一下我对本节课的教学设计。

一、说教材1、教材位置：《函数的单调性》是中等职业教育课程改革国家规划教材3.1.3节内容，是中职高一学生必学内容。

根据新课改的要求，本节课安排一课时。

2、地位和作用：函数的单调性是初中相关知识的深化和提高，是数形结合思想的体现，使学生完成从感性认识到理性认识的升华；函数的单调性为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据，也为后面指数函数、对数函数和三角函数的学习打下基础。

所以本节课起着承上启下的作用。

二、学情分析学生是教学的主体，为了取得更好的教学效果，我对学生的学情进行了如下的分析：1、知识结构：学生已经学过了函数的概念及其表示方法，具备了进一步研究函数单调性的条件。

2、能力结构：学生直观思维能力稍好，抽象逻辑思维能力不足，动手能力差。

3、学习心理：学生好奇心强，普遍觉得函数难学，想学好函数，但不知如何去学。

三、教学目标及重难点根据学生的不同学情和本节课的知识结构，我制定本节课的教学目标及重难点如下：1、知识目标：让学生理解增函数和减函数的定义，并能根据定义判断和证明函数的单调性；让学生理解单调区间的概念，并能根据函数图象写出函数的单调区间。

2、能力目标：通过对函数单调性的学习，让学生掌握数形结合研究函数的方法，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生推理论证的能力。

3、情感目标：让学生积极观察、分析、探索，在掌握知识的过程中体会到成功的喜悦，以此培养学生的审美感，激发学生的求知欲。

教学重点：1、增函数、减函数的定义2、如何利用定义判断和证明函数的单调性教学难点：利用定义判断和证明函数单调性的步骤这样设计为了体现知识与技能、过程与方法的有机结合。

四、说教法教学有法，而无定法。

好的教学方法能起到事半功倍的效果。

为了实现本节课的教学目标，我以建构主义理论和教育心理学的相关知识为指导，主要采取以下三种教学方法：（1）启发式教学法：本教学法主要用在课题的导入方面，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲。

函数的单调性与导数教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】黑暗中，你是怎样通过远处汽车自身的灯光判断该车是上坡还是下坡的？(二)、探究新知，揭示概念探究1．问题：图1.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．探究2．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图1.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．猜想：导数与函数的单调性有什么联系呢？在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增； 在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．（三）、分析归纳，抽象概括 函数的单调性与导数的关系曲线 切线斜率k >0 上升函数()y f x = ()0f x '> ？ 递增()x I ∈在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增； 如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．（2）“某区间”指的是定义域的子集，研究函数单调性问题“定义域优先”． （四）、知识应用，深化理解例1．已知导函数'()f x 的下列信息： 当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+7 2.f (x )=x1+2x3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈4. y=xlnx（五）、归纳小结、布置作业。

利用导数判断函数单调性函数的单调性是数学中一个重要的概念，它描述了函数在指定区间上是递增还是递减的特性。

通过判断函数的导数的正负性，我们可以确定函数在不同区间上的单调性。

本文将介绍通过导数判断函数单调性的方法，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。

导数的定义在介绍如何利用导数判断函数单调性之前，让我们先复习一下导数的定义。

给定函数y = f(x)，如果在某个点x处导数存在，那么该导数表示函数在该点的变化率。

导数可以通过以下公式表示：f'(x) = lim({f(x + h) - f(x)}/{h}) as h approaches 0其中，f’(x)表示函数f(x)的导数。

可以看出，导数的定义是通过求函数在某个点附近的斜率来描述函数的变化率。

利用导数判断函数单调性的方法函数在某个区间上的单调性可以通过导数的正负来判断。

具体而言，如果在区间[a, b]上，函数的导数大于0，则函数在该区间上是递增的；如果导数小于0，则函数在该区间上是递减的。

这可以用以下定理来描述：定理 1：如果函数f(x)在一个区间(a, b)上连续，并且在该区间上处处可导，则有：1.如果f’(x) > 0在(a, b)上成立，则f(x)在(a, b)上递增。

2.如果f’(x) < 0在(a, b)上成立，则f(x)在(a, b)上递减。

基于这一定理，我们可以通过以下步骤来判断函数在指定区间上的单调性：1.求出函数的导数f’(x)。

2.找出导数f’(x)的所有零点，这些点被称为函数f(x)的临界点。

3.根据临界点将区间分为一系列子区间。

4.检查每个子区间内的导数的正负性。

5.根据导数的正负性判断函数在每个子区间内的单调性。

值得注意的是，我们还需要考虑函数在临界点和区间的端点上的单调性。

对于区间端点，我们可以采用类似的方式判断端点处的单调性。

接下来，我们将通过一些实例来帮助读者理解如何利用导数判断函数单调性。

实例 1考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间(-∞, +∞)上的单调性。

导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。

它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。

通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。

事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。

教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。

师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。

其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。

教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。

五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。

教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。

教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。

六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。

函数的单调性与导数说课稿一、说教材1、地位和作用本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值，最值及函数的其他相关性质打好基础。

另外，由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。

通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多，充分展示了导数解决问题的优越性。

2．教学目标知识与技能：1．结合实例，借助几何直观探索并感受函数的单调性与导数的关系。

2．尝试利用导数判断简单函数的单调性。

3．能根据导数的正负性画出函数的大致图象过程与方法：1．通过具体函数单调性与其导数正负关系，归纳概括出一般函数单调性的判断方法。

2．体会函数单调性定义判断方法与导数判断方法的比较，进一步认识函数单调性与导函数正负性之间的关系。

3．通过实验操作，直观感知，结合函数图象，初步尝试从导数的角度解释函数在某一范围内增减的快慢。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯3、重点与难点重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。

难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。

二、说教法1．教学方法的选择：本节课运用“问题解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法。

通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。

2．教学手段的利用：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，图、表并用，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。

三、说学法为使学生积极参与课堂学习，主要采用自主探究法和实验教学法，让学生自己发现问题，自己归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力。

四、说教学过程（一）提问引入：1．判断函数的单调性有哪些方法？（意图：引导学生回顾单调性的定义及利用定义判断函数单调性的方法）（引导学生回答“定义法”，“图象法”。