山东省淄博市第六中学高二数学上学期学分认定模块考试(期末)试题理

2014级高二上学期期中学分认定模块考试（数学文）注意事项：1．答卷前，考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的相应位置处。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

3．非选择题答案必须写在答题纸相应位置处，不按要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡和答题纸一并收回。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：（本大题共有10小题，每小题5分，共50分） 1. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( ) A 、b a 11< B 、22b a > C 、1122+>+c bc a D 、||||c b c a >. 2．已知53)sin(-=+απ，则一定有（ ）A ．53)2sin(=-απ B ．53)sin(=-α C ．53)2sin(-=+απk D ．53)sin(=-απ3．054cos 66cos 36cos 24cos -的值等于（ ）A ．0B ．22 C ．23 D ．214.已知yx 35+=2（x ＞0，y ＞0），则xy 的最小值是（ ） A 、12 B 、14 C 、15 D 、18 5.下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是( )A.sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C.sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且854,18S a a 则-==（ ）A ．18B ．36C ．54D ．72 7.下列结论正确的是 （ ）A 、当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B 、21,0≥+>xx x 时当C 、21,2的最小值为时当x x x +≥ D 、无最大值时当xx x 1,20-≤< 8.在△ABC中，若222(a c b )tanB ,+-=，则B=( )A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°9.设变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则z=2x-y 的最大值是( )A.4B.-1C.5D.-210. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为45，则5S 等于 ( ) A.35B.33C.31D.29第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）11、在△ABC 中，已知BC=8,AC=5,△ABC 的面积为12，则cos2C=_________. 12.已知232a b +=，则48ab+的最小值是 ．13．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________． 14.已知两个正变量y x ,满足4=+y x ，则使不等式m yx ≥+41恒成立的实数m 的取值范围是 .15.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则正整数m 的值为 ． 三、解答题16、（本小题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，△ABC 的面积为3，且c b >求b ，c . 17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*310,5,100,n S n N a S ∈==. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设32na nb n =+，求数列{}nb 的前n 项和为.n T 18. （本小题满分12分）已知集合A=﹛x ︳622<+x x ﹜，B=﹛x ︳342->x x ﹜，若C=A ∩B ， (1) 求集合C; (2) 若t ∈Ｃ，且y =t t--11，求y 的最小值，并指出使得y 取最小值的t 值. 19．（本小题满分12分）在△ABC 中，a ＝3，b ＝25，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值． 20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为()*1,1,1nn n S S a a n n N n==+-∈. （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求使得30m T n >对所有n ∈N *都成立的最大正整数m .21．（本小题满分14分）已知函数()()21f x ax bx a R =-+∈.(1)是否存在实数,a b 使不等式()0f x >的解集是{}34x x <<，若存在，求实数,a b 的值，若不存在，请说明理由；(2)若1b a =+,求不等式()0f x <的解集.2014级高二上学期期中学分认定模块考试答案（数学文） 一、选择题：（本大题共有10小题，每小题5分，共50分）CDDCD DBDAC二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）11. 72594m ≤15. 5三、解答题16、（本小题满分12分）(1) 由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .-------2分因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.---------------------4分由于0<A <π，故A ＝π3.----------------------------6分(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.-----------8分而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝10，又.c b >----10分 解得2,22==c b 。

2014级高二上学期期中学分认定模块考试（数学文）注意事项：1．答卷前，考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的相应位置处。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

3．非选择题答案必须写在答题纸相应位置处，不按要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡和答题纸一并收回。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：（本大题共有10小题，每小题5分，共50分） 1. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( ) A 、b a 11< B 、22b a > C 、1122+>+c bc a D 、||||c b c a >. 2．已知53)sin(-=+απ，则一定有（ ）A ．53)2sin(=-απ B ．53)sin(=-α C ．53)2sin(-=+απk D ．53)sin(=-απ3．054cos 66cos 36cos 24cos -的值等于（ ）A ．0B ．22 C ．23 D ．214.已知yx 35+=2（x ＞0，y ＞0），则xy 的最小值是（ ） A 、12 B 、14 C 、15 D 、18 5.下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是( )A.sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C.sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且854,18S a a 则-==（ ）A ．18B ．36C ．54D ．72 7.下列结论正确的是 （ ）A 、当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B 、21,0≥+>xx x 时当C 、21,2的最小值为时当x x x +≥ D 、无最大值时当xx x 1,20-≤< 8.在△ABC中，若222(a c b )tanB ,+-=，则B=( ) A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°9.设变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则z=2x-y 的最大值是( )A.4B.-1C.5D.-210. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为45，则5S 等于 ( ) A.35B.33C.31D.29第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）11、在△ABC 中，已知BC=8,AC=5,△ABC 的面积为12，则cos2C=_________. 12.已知232a b +=，则48ab+的最小值是 ．13．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________． 14.已知两个正变量y x ,满足4=+y x ，则使不等式m yx ≥+41恒成立的实数m 的取值范围是 .15.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则正整数m 的值为 ． 三、解答题16、（本小题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，△ABC 的面积为3，且c b >求b ，c . 17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*310,5,100,n S n N a S ∈==.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设32na nb n =+，求数列{}nb 的前n 项和为.n T 18. （本小题满分12分）已知集合A=﹛x ︳622<+x x ﹜，B=﹛x ︳342->x x ﹜，若C=A ∩B ， (1) 求集合C; (2) 若t ∈Ｃ，且y =t t--11，求y 的最小值，并指出使得y 取最小值的t 值. 19．（本小题满分12分）在△ABC 中，a ＝3，b ＝25，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值． 20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为()*1,1,1nn n S S a a n n N n==+-∈. （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求使得30m T n >对所有n ∈N *都成立的最大正整数m .21．（本小题满分14分）已知函数()()21f x ax bx a R =-+∈.(1)是否存在实数,a b 使不等式()0f x >的解集是{}34x x <<，若存在，求实数,a b 的值，若不存在，请说明理由；(2)若1b a =+,求不等式()0f x <的解集.2014级高二上学期期中学分认定模块考试答案（数学文）一、选择题：（本大题共有10小题，每小题5分，共50分）CDDCD DBDAC二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）11. 72594m ≤15. 5三、解答题16、（本小题满分12分）(1) 由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .-------2分因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.---------------------4分由于0<A <π，故A ＝π3.----------------------------6分(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.-----------8分而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝10，又.c b >----10分 解得2,22==c b 。

山东省淄博市第六中学2020年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若n>0,则n+的最小值为 ( )(A) 2 (B) 4 (C)6 (D) 8参考答案：C略2. 已知是抛物线的焦点,是该抛物线上的两点.若线段的中点到轴的距离为,则（）A．2 B．C．3 D．4参考答案：C3. 若函数的定义域为R ，则实数m取值范围是（）A. [0,8)B. (8,+∞)C. (0,8)D. (－∞,0)∪(8,+∞)参考答案：A【分析】根据题意可得出，不等式mx2mx+2>0的解集为R，从而可看出m＝0时，满足题意，m≠0时，可得出，解出m的范围即可．【详解】∵函数f（x）的定义域为R；∴不等式mx2mx+2>0的解集为R；①m＝0时，2>0恒成立，满足题意；②m≠0时，则；解得0＜m<8；综上得，实数m的取值范围是故选：A．【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R时，判别式△需满足的条件．4. 设条件p：实数m,n满足条件q：实数m,n满足，则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不是充分条件又不是必要条件参考答案：B5. 有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两数之和为偶数的概率是（）A、 B、 C、 D、参考答案：C6. 已知数列,3,,…,,那么9是数列的( )A。

. 第12项 B. 第13项 C. 第14项 D. 第15项参考答案：C7. 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f （x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：A【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点．从而问题得解．【解答】解：由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．8. 椭圆的两焦点之间的距离为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C9. 已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根x1，x2，则点P（x1，x2）( )A．必在圆x2+）y2=2上B．必在圆x2+y2=2内C．必在圆x2+y2=2外D．以上三种情况都有可能参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可求得c=a，b=a，从而可求得x1和x2，利用韦达定理可求得x12+x22的值，从而可判断点P与圆x2+y2=2的关系．【解答】解：∵椭圆的离心率e==，∴c=a，b=a，∴ax2+bx﹣c=ax2+ax﹣a=0，∵a≠0，∴x2+x﹣=0，又该方程两个实根分别为x1和x2，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=+1＜2．∴点P在圆x2+y2=2的内部．故选B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查点与圆的位置关系，求得c，b与a的关系是关键，属于中档题．10. 用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】要分清起止项，以及相邻两项的关系，由此即可分清增加的代数式。

2020-2021学年山东省淄博市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线10x ++=的倾斜角是（ ） A ．30 B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒答案：D由方程得到斜率，然后可得其倾斜角.解：因为直线10x ++=的斜率为-所以其倾斜角为150︒ 故选：D2．椭圆2221x y +=的焦点坐标是（ ） A ．()1,0± B ．()0,1±C．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D．0,⎛ ⎝⎭答案：C先将椭圆方程化为标准形式，即可求出焦点坐标. 解：由2221x y +=可得22112y x +=， 因此211,2a b ==2c ==，且焦点在x 轴上，所以焦点坐标为2⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.3．空间两点()1,5,4A ，()1,3,5B -间的距离等于（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．9答案：B直接利用两点间的距离公式可得答案. 解：由两点间的距离公式可得3AB ==.故选：B.4．圆221:8120C x y x +++=和圆222:60C x y y +-=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切答案：D分别求出两圆圆心坐标和半径，比较两圆圆心距和半径的关系即可作出判断. 解：圆1C 化为标准方程为：()2244x y ++=，圆心()14,0C -，半径12r =，圆2C 化为标准方程为：()2239x y +-=，圆心()2C 0,3，半径23r =，因为()()221240035C C =--+-=，12235r r +=+=，所以1212C C r r =+，所以圆1C 和圆2C 的位置关系是外切.故选：D ．5．2020年10月26日至29日，中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议在北京举行，审议通过了《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二〇三五年远景目标的建议》.某班级从3名男生和3名女生中任选2人参加学校十九届五中全会精神宣讲团，则选中的2人恰好都是女生的概率为（ ） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.5答案：A古典概型问题.求出基本事件有2615C =个，2人恰好都是女生包括三个基本事件，按照古典概型概率公式求解即可.解：2人恰好都是女生的概率为232630.215C C == 故选：A6．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是侧面11CDD C 的中心，若1AF xAD yAB zAA =++，求x y z ++=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52答案：C利用空间向量的加减法运算用1,,AD AB AA 来表示AF ，即得结果. 解：()()11111112222AF AD DF AD DD DC AD AB AD AB AA AA =+=++=++=++，故1x =，12y =，12z =，则2x y z ++=． 故选：C.7．光线通过点A （2，3），在直线l ：10x y ++=上反射，反射光线经过点B （1，1），则反射光线所在直线方程为（） A ．4510x y -+= B ．4x+5y-1=0 C ．3x-4y+1=0 D ．3x-4y-1=0答案：A根据对称的性质，设点A （2，3）关于直线l 的对称点为A′（x 0，y 0），利用斜率和中点坐标可得A′，可得反射光线所在直线的方程． 解：设点A （2，3）关于直线l 的对称点为A′（x 0，y 0），则00002+x 31022312y y x +⎧++=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得：A′（﹣4，﹣3）．由于反射光线所在直线经过点A′（﹣4，﹣3）和B （1，1）， 所以反射光线所在直线的方程为y ﹣1＝（x ﹣1）•1+31+4，即4x ﹣5y+1＝0． 故答案为A.点评：本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，斜率，中点坐标的应用，属于基础题．8．设1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点.若126PF PF a +=，且122PF F S △，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A0y ±= B．0x ±= C20y ±= D．20x =答案：A利用双曲线的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可求得123F PF π∠=，利用双曲线的定义以及126PF PF a +=可求得14PF a =，22PF a =，再利用余弦定理可得出ba的值，由此可求得双曲线C 的渐近线方程.解：设12F PF θ∠=，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 在12PF F △中，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即()()()22212121212222cos 421cos c PF PF PF PF PF PF a PF PF θθ=-+⋅-⋅=+⋅-，所以，222122221cos 1cos c a b PF PF θθ-⋅==--，1222221222sin cos1sin 22sin 21cos tan112sin 22PF F b b b S PF PF θθθθθθθ⋅=⋅====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭△，tan2θ∴=0θπ<<，可得022θπ<<，26θπ∴=，所以，3πθ=，由已知可得121226PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1242PF aPF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即222221416416122c a a a a =+-⨯=，则223c a =，即2223a b a +=，b ∴=， 因此，双曲线C的渐近线方程为by x a=±=0y ±=.故选：A.点评：思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）转化已知条件，得到a 、b 、c 中任意两个量的等量关系；（2）若得到a 、b 的等量关系，则渐近线方程可得；若已知a 、c 或b 、c 之间的等量关系，结合222+=a b c 可求得ba的值，则渐近线方程可求. 二、多选题9．若()1,,2a λ=--，()2,1,1b =-，a 与b 的夹角为120︒，则λ可以取的值为（ ） A ．17- B ．17 C ．1- D ．1答案：BC利用模长公式代入计算表示,a b ，然后利用数量积的定义与坐标表示公式代入列等式，求解关于λ的一元二次方程.解：由题意，5λ=+a ，6=b ，所以1cos1202242λλ⋅==-=---=--a b a b ，即216170λλ--=，得17λ=或1λ=-.故选：BC.10．已知空间向量i 、j 、k 都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ） A ．向量i j k ++的模是3B ．{},,i j i j k +-可以构成空间的一个基底C ．向量i j k ++和k 夹角的余弦值为3D ．向量i j +与k j -共线 答案：BC利用空间向量的模长公式可判断A 选项的正误；利用空间向量数量积公式得出i j +、i j -、k 两两垂直，可判断B 选项的正误；利用空间向量夹角的余弦公式可判断C 选项的正误；利用空间向量夹角的余弦公式计算出i j +与k j -夹角的余弦值，可判断D 选项的正误.解：对于A 选项，()222222223i j ki j ki j k i j i k j k ++=++=+++⋅+⋅+⋅=，3i j k ∴++=，A 选项错误；对于B 选项，因为空间向量i 、j 、k 都是单位向量，且两两垂直，则i j +、i j -、k 均为非零向量，()()220i j i j ij +⋅-=-=，()0i j k i k j k +⋅=⋅+⋅=，()0i j k i k j k -⋅=⋅-⋅=，所以，i j +、i j -、k 两两垂直，则{},,i j i j k +-可以构成空间的一个基底，B 选项正确；对于C 选项，()cos ,331i j k k i j k k i j k k++⋅<++>===⨯++⋅，C 选项正确； 对于D 选项，()()21i j k j i k i j j k j +⋅-=⋅-⋅+⋅-=-，()22222i j i j i j i j +=+=++⋅=，同理可得2k j -=，所以，()()1cos ,22i j k j i j k j i j k j+⋅-<+->===-⨯+⋅-，0,i j k j π≤<+->≤，则2,3i j k j π<+->=，D 选项错误. 故选：BC.11．已知A ，B 是随机事件，则下列结论正确的是（ ） A ．若A ，B 是互斥事件，则()()()P AB P A P B = B ．若事件A ，B 相互独立，则()()()P A B P A P B +=+ C ．若A ，B 是对立事件，则A ，B 是互斥事件D ．事件A ，B 至少有一个发生的概率不小于A ，B 恰好有一个发生的概率 答案：CD根据互斥事件加法公式、独立事件乘法公式、对立事件的定义可得答案. 解：对于A ， 若A ，B 是互斥事件，则()()()P A B P A P B +=+； 对于B ， 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =；对于C ，根据对立事件的定义， 若A ，B 是对立事件，则A ，B 是互斥事件，正确； 对于D ， A 、B 可能的发生共有只有A 发生、只有B 发生、AB 都发生、AB 都不发生四种情况，A 、B 至少有一个发生包括：只有A 发生、只有B 发生、AB 同时发生三种情况，故其概率是75%；而恰有一个发生很明显包括只有A 发生或只有B 发生两种情况，故其概率是50%，事件A ，B 至少有一个发生的概率不小于A ，B 恰好有一个发生的概率，正确. 故选：CD.12．已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，1A ，2A 分别为其实轴的左右端点，且212b F F a=，点P 为双曲线右支一点，I 为12PF F △的内心，则下列结论正确的有（ ）A ．离心率1e =B ．点I 的横坐标为定值aC ．若()1221IPF IP F F IF SSSλλ=+∈R 成立，则1λ=D ．若PH 垂直x 轴于点H ，则212PH HA HA =⋅答案：ABCA. 由22b ac =，消去2b ，转化为关于,a c 的二次齐次式，左右同除2a ，求解关于e 的一元二次方程即可.B.作出图像，结合内切圆的性质和双曲线的定义得到122F E EF a -=，从而算得E x a =，故有I x a =C.设出内切圆半径为r ，表示出三个三角形的面积，化简得到22a c λ=⋅，从而算得λ的值.D.设()00,P x y ，分别表示出212,PH HA HA ⋅，其并不相等解：A. 2122b F F c a==，故有22b ac =，则222c a ac -=左右两边同除2a 得()22101e e e --=>，解得1e =，故A 对B.设圆I 与x 轴相切于点E ，与1PF 相切于点M ，与2PF 相切于点N ， 则如图有1211222,,,PF PF a PM PN MF F E NF EF -==== 故()()122PM MF PN NF a +-+= 则有122MF NF a -=则有122F E EF a -=,又1E F E x c =+，2E EF c x =- 故()2E E x c c x a +--=则E x a =，故I x a =，点I 的横坐标为定值a ，则B 对. C. 若()1221IPF IP F F IF SSSλλ=+∈R 成立，设内切圆半径为r ，则有121211222PF r PF r F F r λ⋅=⋅+⋅ 则121222PF PF a F F c λλ-===⋅ 则121a c eλ===-，故C 对 D. 若PH 垂直x 轴于点H ，设()00,P x y 则()0,0H x则()()2012002x a x a x a HA HA =+-=-⋅()2222220002221x b y b x a a a PH ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭=又22b ac =，故()22222221b ac ca a a===+故212HA HA PH ≠⋅ 故D 错 故选：ABC点评：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF 1|-|PF 2||＝2a ，得到a ，c 的关系． 三、填空题13．已知直线()1: 1330l m x y --+=和直线2:250l x my +-=垂直，则实数m =___________.答案：2-根据两条直线相互垂直的条件列方程，解方程求得m 的值.解：由于两条直线垂直，故()()1230m m -⨯+-⨯=，解得2m =-.故答案为：2m =-.14．现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是___________. 答案：0.972根据题意可知，这段时间内该电路上有两个或三个灯泡能正常照明，利用独立重复试验的概率公式可求得结果.解：根据题意可知，这段时间内该电路上有两个或三个灯泡能正常照明，因此，所求事件的概率为22330.90.10.90.972P C =⨯⨯+=.故答案为：0.972.15．已知空间直线l 的方向向量是()()1,2,1,m a b a a b =+-∈R ，平面α的法向量()2,3,3n =.若l α⊥，则a b +=___________.答案：2由直线l 的方向向量与平面α的法向量共线可得答案.解：若因为l α⊥，所以()0m n λλ=≠，即122313a b a λλλ=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，所以125212a b λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩，则2a b +=. 故答案为：2. 16．已知抛物线218y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，抛物线的准线与y 轴交于点M ，当AMAF最大时，弦AB 长度是___________. 答案：8作出图形，过点A 作AE 垂直于抛物线218y x =的准线于点E ，可得出1sin AM AF AME=∠，可知当AME ∠取最小值时，即直线AM 与抛物线相切时，AM AF 最大，可求出直线AM 的斜率，求出点A 的坐标，利用对称性可求得点B 的坐标，抛物线的焦点弦长公式，进而可求得弦AB 的长度.解：设点A 为第一象限内的点，过点A 作AE 垂直于抛物线218y x =的准线于点E ，如下图所示：由抛物线的定义可得AE AF =，则1sin AM AM AF AE AME==∠， 可知当AME ∠取最小值时，即直线AM 与抛物线相切时，AMAF 最大，抛物线218y x =的焦点为()0,2F ，易知点()0,2M -. 当直线AM 与抛物线218y x =相切时，直线AM 的斜率存在，设直线AM 的方程为2y kx =-，联立228y kx x y=-⎧⎨=⎩，消去y 得28160x kx -+=，264640k ∆=-=，因为点A 在第一象限，则0k >，解得1k =，方程为28160x x -+=，解得4x =，此时，228xy ==，即点()4,2A ，此时AB y ⊥轴，由对称性可得()4,2B -， 因此，448AB =+=. 故答案为：8点评：方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++或12AB y y p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 四、解答题17．已知在空间直角坐标系O xyz -中，点A ，B ，C ，M 的坐标分别是()2,0,2，()2,1,0，()0,4,1-，()2,3,1-，过点A ，B ，C 的平面记为α.（1）证明：点A ，B ，C ，M 不共面； （2）求点M 到平面α的距离. 答案：（1）证明见解析；（2. （1）由AB AC λ=知A ，B ，C 三点不共线，然后由AM x AB y AC =+得不存在实数x ，y 得答案；（2）利用点M 到平面α的距离M AM m d m⋅=可得答案.解：（1）由已知可得：()0,1,2AB =-，()2,4,3AC =--，()0,3,3AM =-假设A ，B ，C 三点共线，则存在R λ∈，使得AB AC λ=，即()()0,1,22,4,3λ-=--，所以021423λλλ=-⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，此方程组无解，所以AB ，AC 不共线， 所以A ，B ，C 不共线，所以过点A ，B ，C 的平面α是唯一的，若点A ，B ，C ，M 共面，则存在x ，y R ∈，使得AM x AB y AC =+， 即()()()0,3,30,1,22,4,3x y -=-+--，即0234323y x y x y =-⎧⎪=+⎨⎪-=--⎩，此方程组无解， 即不存在实数x ，y ，使得AM x AB y AC =+， 所以点A ，B ，C ，M 不共面. （2）设平面α的法向量为(),,m a b c =，则00m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以202430b c a b c -=⎧⎨-+-=⎩，令2c =，则4b =，5a =，所以()5,4,2m =， 所以点M 到平面α的距离25M AM m d m⋅==.点评：本题考查了向量法求四点共面问题、点到平面的距离问题，关键点是建立坐标系后利用坐标进行运算，考查了学生的空间想象力、计算能力.18．已知ABC 中，点()1,5A -，边BC 所在直线1l 的方程为7180x y --=，边AB 上的中线所在直线2l 的方程为y x =. （1）求点B 和点C 的坐标； （2）若ABC 的外接圆为M ，求直线2l 被M 截得的弦长.答案：（1）(2,4)-B ，()3,3C ；（2）（1）利用点C 在直线1l 上，也在直线2l 上，建立方程求得点C ；利用B 在直线2l 上，边AB 的中点在直线1l 上构建方程求得点B ；（2）根据三个顶点在圆上利用待定系数法求外接圆的方程，再利用几何法求弦长即可. 解：解：（1）依题意，点C 在直线1l 上，也在直线2l 上，故联立方程组7180x y y x--=⎧⎨=⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，即点()3,3C ，设点(),B s t ，则三角形边AB 的中点坐标为15,22s t -+⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1l 上，B 在直线2l 上， 故可得15227180s t s t -+⎧=⎪⎨⎪--=⎩，解得24s t =⎧⎨=-⎩，即点B(2，-4)； （2）设ABC 的外接圆方程为()()()2220x a y b r r -+-=>， 将三角形三个顶点的坐标代入，得：()()()()()()222222222152433a b r a b r a b r ⎧--+-=⎪⎪-+--=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得105a b r =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以三角形外接圆的方程为()22125x y ++=. 由圆的标准方程()22125x y ++=，得圆心坐标为1,0，=5r ； 圆心1,0到直线2:0l x y -=的距离为：d ==；所以弦长等于==.点评：方法点睛： 圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为L ，则2222L r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）代数法，设直线与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程()()222y kx mx a y b r=+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y ，得到一个关于x 的一元二次方程，从而可求出12x x +，12x x ，根据弦长公式AB =.19．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球､黄球､绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是59，得到黄球或绿球的概率是23，试求： （1）从中任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率各是多少？ （2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 答案：（1）黑球､黄球､绿球的概率分别是13，29，49；（2）1318.（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件A ，B ，C ，由已知列出()()()P A P B P C 、、的方程组可得答案；（2）求出从9个球中取出2个球的样本空间中共有的样本点，再求出两个球同色的样本点可得答案.解：（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件A ，B ，C ， 由于A ，B ，C 为互斥事件，根据已知，得()()()()()()()()()()59231P A B P A P B P B C P B P C P A B C P A P B P C ⎧+=+=⎪⎪⎪+=+=⎨⎪++=++=⎪⎪⎩，解得()()()132949P A P B P C ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率分别是13，29，49. （2）由（1）知黑球､黄球､绿球个数分别为3，2，4，从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，于是，两个球同色的概率为31653618++=， 则两个球颜色不相同的概率是51311818-=. 点评：本题考查互斥事件和对立事件的概率，一般地，如果事件A 1、A 2、…、A n 彼此互斥，那么事件A 1+A 2+…+A n 发生(即A 1、A 2、…、A n 中有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ).20．在平面直角坐标系中，动点(),P x y （0y >）到定点()0,1M 的距离比到x 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点M 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若8AB =，求直线l 的方程. 答案：（1）24x y =；（2）1y x =+或1y x =-+.（1）由1PM y =+，结合两点间的距离公式得出轨迹方程；（2）由题直线l 斜率存在，设出直线l 的方程，联立轨迹C 的方程，由韦达定理以及抛物线的定义求出直线l 的方程.解：（1）动点(),P x y （0y >）到x 轴的距离为y ，到点M 的距离为PM =由动点(),P x y 到定点()0,1M 的距离比到x 轴的距离大1，1y =+，两边平方得：24x y =，所以轨迹C 的方程：24x y =； （2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：1y kx =+，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消去x 整理得()222410y k y -++=， ∴21224y y k +=+，∴2122428AB y y p k =++=++=， 解得21k =，即1k =±，∴直线l 的方程为1y x =+或1y x =-+.点评：方法点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法，（2）定义法，（3）相关点法. 21．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为BC ，CD 的中点.（1）求平面1C EF 与平面11AB D 夹角的余弦值；（2）设CM CA λ=，若平面1//C EF 平面11MB D ，求λ的值. 答案：（1）53；（2）34.（1）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用数量积公式可得答案； （2）求出平面1C EF 的法向量m ，由10m MB ⋅=与10m MD ⋅=可得答案. 解：（1）以D 为坐标原点，分别以棱DA ，DC ，1DD 所在的直线为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系如图所示，由已知可得：()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，()12,2,2B =，()10,2,2C ，()10,0,2D ，所以点()1,2,0E ，()0,1,0F ，所以()11,0,2C E =-，()10,1,2C F =--， 设平面1C EF 的法向量为(),,m x y z =，则1100m C E m C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x z y z -=⎧⎨--=⎩，令1z =，则2x =，2y =-，所以()2,2,1m =-， 又()12,0,2AD =-，()10,2,2AB =， 设平面11AB D 的法向量为(),,n a b c =，所以1100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220a c b c -+=⎧⎨+=⎩，令1c =，则1a =，1b =-，所以()1,1,1n =-， 设平面1C EF 和11AB D 的夹角为θ，所以2cos 2m n m nθ⋅===⋅ 平面1C EF 和11AB D 的夹角的余弦值是9. （2）因为CM CA λ=，设点M 的坐标为(),,x y z ， 所以()(),2,2,2,0x y z λ-=-， 所以点M 的坐标为()2,22,0λλ-，所以()12,22,2MD λλ=--，()122,2,2MB λλ=-， 由（1）可知平面1C EF 的法向量为()2,2,1m =-，因为平面1//C EF 平面11MB D ，所以10m MB ⋅=，且10m MD ⋅=，()()2,2,122,2,244420λλλλ-⋅-=--+=，()()2,2,12,22,244420λλλλ-⋅--=-+-+=，所以34λ=. 点评：本题考查了利用空间向量求面面角及证明面面平行的问题，解题的关键点是建立空间直角坐标系，考查了学生的空间想象力.22．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>），四点()11,1P ，()20,1P ，331,2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，331,2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，431,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）蝴蝶定理：如图1，AB 为圆O 的一条弦，M 是AB 的中点，过M 作圆O 的两条弦CD ，EF .若CF ，ED 分别与直线AB 交于点P ，Q ，则MP MQ =.该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆C 中，弦AB 的中点M 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且两条弦CD ，EF 所在直线斜率存在，证明：MP MQ =.答案：（1）2214x y +=；（2）证明见解析. （1）根据椭圆的对称性，可知3P ，4P ，2P 在椭圆上，然后将点的坐标代入椭圆的方程中得到关于a 和b 的方程组，求出a 和b 即得椭圆方程； （2）设()11,C x y ，()22,D x y ，()33,E x y ，()44,F x y ， 设直线CD 的方程为112y k x =+，直线EF 的方程为212y k x =+，分别与椭圆的方程联立，消去y 后得到关于x 的一元二次方程，再由韦达定理可得112211221441341k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨⎪=-⎪+⎩和234223422441341k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨⎪=-⎪+⎩，由C 、P 、F 三点共线，得()12141124Pk k x x x k x k x -=-，由E 、Q 、D 三点共线，得：()12231223Qk k x x x k x k x -=-，通过计算可得0P Q x x +=，即可证明结论.解：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称， 故由题设知C 经过3P ，4P 两点， 又由222211134a b a b +>+知，C 不过点1P ，所以点2P 在C 上， 因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）因点M 的坐标10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在y 轴上，且M 为AB 的中点， 所以直线AB 平行于x 轴，设()11,C x y ，()22,D x y ，()33,E x y ，()44,F x y ，设直线CD 的方程为112y k x =+，代入椭圆22:14x C y +=，得：221113044k x k x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， 根据韦达定理得：11221441k x x k +=-+，1221341x x k =-+，① 同理，设直线EF 的方程为212y k x =+，代入椭圆22:14x C y +=，得：222213044k x k x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， 根据韦达定理得：23422441k x x k +=-+，3422341x x k =-+，②由于C 、P 、F 三点共线，得111142441212P P y x x k x x x k x y --==--，()12141124P k k x x x k x k x -=-，同理，由于E 、Q 、D 三点共线，得：()12231223Q k k x x x k x k x -=-，结合①和②可得：()()1214122311241223P Q k k x x k k x x x x k x k x k x k x --+=+--()()()()()()121412231223112411241223k k x x k x k x k k x x k x k x k x k x k x k x --+--=--()()()()12112421341123223411241223k k k x x x k x x x k x x x k x x x k x k x k x k x --+-=--()()()()()12112342341211241223k k k x x x x k x x x x k x k x k x k x -+-+⎡⎤⎣⎦=--()()()1221122222122111241223343441414141k k k k k k k k k k k x k x k x k x ⎛⎫-----⋅-⋅⎪++++⎝⎭=-- ()()()()()()()12121222221212112412231212414141410k k k k k k k k k k k x k x k x k x ⎛⎫ ⎪-- ⎪++++⎝⎭==-- 即P Q x x =-，所以P Q x x =，即MP MQ =.点评：关键点点睛：对于第二问，关键是由C 、P 、F 三点共线，得()12141124P k k x x x k x k x -=-及由E 、Q 、D 三点共线，得：()12231223Q k k x x x k x k x -=-，进而结合韦达定理的结果求得P Q x x =-，最后证得结论MP MQ =.。

2013级高二下学期学分认定模块考试（文科数学）注意事项：1．答卷前，考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的相应位置处。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

3．非选择题答案必须写在答题纸相应位置处，不按要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡和答题纸一并收回。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：（本大题共有10小题，每小题5分，共50分）1．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝ A ．(－2,1C ．(－∞，11，＋∞)2．命题“若x >1，则x >0”的否命题是( ) A ．若x >1，则x ≤0 B ．若x ≤1，则x >0 C ．若x ≤1，则x ≤0D ．若x <1，则x <0 3．“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间D.⎣⎡⎭⎫138，27．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b8..函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <09．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)10．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝() A．1B．－1C．－e－1D．－e第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）11．已知命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0，则⌝p为12. 函数y＝x ln(1－x)的定义域为13. 函数x exxf)3()(-=的单调递增区间是14. 若曲线2y x ax b=++在点(0,)b处的切线方程是10x y-+=，则=+ba15.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈时，f(x)＝2x－1，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值为三、解答题（本大题共有6小题，共75分）16.（本小题满分12分）用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，求小正方形边长为多少时所做的铁盒容积最大，最大值为多少？17．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x3－ax－1(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由。

山东省淄博市淄博实验中学、淄博齐盛高级中学2024-2025学年高二上学期第一次模块考试数学试题一、单选题1．现有质地相同的4个球，编号为1，2，3，4，从中一次性随机取两个球，则两个球的号码之和大于4的概率是（）A ．23B ．56C ．12D ．352．设直线l 的斜率为k ，且1k ≤<，则直线l 的倾斜角的取值范围为（）A ．20ππ3π,,4⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ B ．50,,46πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C ．π5π,46⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π5π0,,π46⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭3．已知直线1:10l x ay +-=和直线()2:3220l a x ay ---=，则13a =是两直线平行的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直线l 过点(1,1,1)M ，且方向向量为(1,0,1)n =-，则点(1,1,1)A --到直线l 的距离为（）A ．B CD 5．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长为2，四边形ABCD 是正方形，11π3A AD A AB ∠=∠=，点O 是1B C 与1BC 的交点，则直线AO 与CD 所成角的余弦值为（）A ．1B ．56C D ．126．已知圆22:230M x y x +--=，若圆M 与圆22:260C x y x y a +---=恰有三条公切线，则实数a =（）A ．9B ．9-C ．8D ．8-7．设直线20x ay ++=与圆22:(2)16C x y +-=相交于,A B 两点，且ABC V 的面积为8，则a =（）A ．B ．1-C ．1D8．已知点1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y B a b a b +=>>的左、右焦点，点M 为椭圆B 上一点，点1F 关于12F MF ∠的角平分线的对称点N 也在椭圆B 上，若127cos 9F MF ∠=，则椭圆B 的离心率为（）A B C D ．5二、多选题9．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是对立的事件是().A ．“恰有一名女生”和“全是女生”B ．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”C ．“至多有一名男生”和“全是男生”D ．“至少有一名男生”和“全是女生”10．已知椭圆222:12x y C m +=的焦点分别为1(0,2)-F ，2(0,2)F ，设直线l 与椭圆C 交于M 、N两点，且点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（）A ．椭圆CB ．椭圆上存在点Q 使得1290FQF ∠=C ．直线l 的方程为320x y +-=D ．1F MN △的周长为11．已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 是直线0x y +=上一动点，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点分别是A 和B ，下列说法正确的为（）A ．圆C 上恰有一个点到直线l 的距离为12B ．四边形ACBP 面积的最小值为1C ．存在唯一P 点，使得90APB ∠=D ．直线AB 恒过定点31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭三、填空题12．已知随机事件,,A B B 中，A 与B 相互独立，B 与B 对立，且()0.3P A =，()0.4P B =，则()P A B =.13．已知点(0,3)M ，直线20x ky --=被圆22(1)8x y -+=所截得弦的中点为N ，则M 的最大值是.14．加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆()2222:199x y C a a +=>，若直线:43300l x y -+=上存在点P ，过P 可作C 的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是.四、解答题15．在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，每局比赛都是相互独立的.(1)求比赛只需打三局的概率；(2)已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.16．已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线3450x y ++=相切.(1)求圆A 的方程；(2)过点(0,1)B -的直线l 与圆A 相交与M ，N 两点，当||MN =l 方程；(3)已知实数x ，y 满足圆A 的方程，求22(2)x y -+的取值范围.17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点.(1)证明：1//BC 平面1ACD ；(2)已知2AB =，1AC B AA C ===CD 与平面1A CE 所成角的大小.18．在三棱台ABC DEF -中，G 为AC 中点，2AC DF =，AB BC ⊥，BC CF ⊥.(1)求证：⊥BC 平面DEG ；(2)若2AB BC ==，CF AB ⊥，平面EFG 与平面ACFD 所成二面角大小为π3，求三棱锥E DFG -的体积.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左焦点为F ，离心率为12，以坐标原点O 为圆心，OF为半径作圆使之与直线0x y -=相切.(1)求C 的方程；(2)设点()4,0P ，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，PB 交C 于另一点E ，①证明：直线AE 经过定点；②求AEF △的内切圆半径的范围.。

山东省淄博第六中学2024-2025学年高二上学期第一次单元检测数学试卷一、单选题1．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ） A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③2．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A ．23B ．35C ．25D ．153．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．234．设M ，N 为两个随机事件，给出以下命题，不正确的是（ ） A ．若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则M ，N 为相互独立事件B ．若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则M ，N 为相互独立事件C ．若()12P M =，()13P N =，()13P MN =，则M ，N 为相互独立事件D ．若()12P M =，()13P N =，()5·6P M N =，则M ，N 为相互独立事件 5．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件,A B ，若()16P A B =，()23P A B ⋃=，()23P B =，则下列结论错误的是（ ） A ．事件A 与事件B 互斥 B ．()12P A =C ．事件A 与事件B 相互独立D ．()13P AB =6．已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中点，则点E 到直线PD 的距离是（ ）A B C D 7．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2GN MG =，现用向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 表示向量OG u u u r，设OG =u u u r x y OA +u u u r OB z +u u u rOC u u u r ，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．111,,333x y z ===B ．111,,336x y z ===C ．111,,366x y z ===D ．111,,633x y z ===8．如图，以等腰直角ABC V 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把ABD △和ACD V 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（ ）A ．1AB AC ⋅=u u u r u u u rB ．AB DC ⊥C ．BD AC ⊥ D ．平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直二、多选题9．如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A ，B ，C ，D ，E . 盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是（ ）A ．A ，B 两个盒子串联后畅通的概率为13B ．D ，E 两个盒子并联后畅通的概率为130C ．A ，B ，C 三个盒子混联后畅通的概率为56D ．当开关合上时，整个电路畅通的概率为293610．如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝π2，∠BAA 1＝2π3，∠CAA 1＝π3，1AB AC ==，12AA =，点O 是1B C 与1BC 的交点，则下列结论正确的是（ ）A ．11()2AO AB AC AA =++u u u r u u u r u u u r u u u rB ．||AO =u u u rC ．AO BC ⊥D ．平面ABC ⊥平面11B BCC11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别是棱1111,,,AB AD A B A D 的中点，点P ，Q 分别在棱11,DD BB 上移动，且02DP BQ l l ==<<（）. 则（ ）A ．不存在λ的值，使得直线1//BC 平面EFPQ ；B ．当1λ=时，直线1//BC 平面EFPQ ；C ．当1λ=EFPQ ⊥平面PQMN ；D ．当1λ=EFPQ ⊥平面PQMN ；三、填空题12．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：根据以上数据估计该运动员射击4次恰好击中3次的概率为．13．已知空间向量()1,0,1a =-r，()1,1,0b =-r ，则向量a r 在向量b r 上的投影向量是．14．已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG ＝2，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，点B 到平面GEF 的距离为.四、解答题15．如图，三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2BM A M C N B N ==．设A B a u u r r =，AC b =u u u r r ，1AA c =u u u r r ．(1)试用a r ，b r ，c r 表示向量MN u u u u r ；(2)若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=︒∠=∠=︒===，求MN 的长．16．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P (ξ＝4)和P (ξ＝6)的值．17．某校举行知识竞赛，规则如下：选手每两人一组，同一组的两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，比赛进行到一方比另一方多2分为止，且多得2分的一方胜出．现甲乙两人分在同一组，两人都参与每一次抢题．．．．．．．．．．，每次抢到的概率都为12．若甲、乙正确回答每道题的概率分别为23和12，每道题回答是否正确相互独立．(1)求第1题答完甲得1分的概率； (2)求第2题答完比赛结束的概率；18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ==12AB AA ==，M 为棱AB 的中点，N 是1AC 的中点．(1)证明：//MN 平面11BCC B ；(2)求直线1AC 与平面1B MN 所成角的正弦值．19．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，,D E 分别是,AC AB 上的点，满足DE BC ∥且DE 经过ABC V 的重心，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1AC CD ⊥，M 是1A D 的中点，如图所示.AC 平面BCDE；(1)求证：1A BE所成角的大小；(2)求CM与平面11CN的长度；若不存在，请说明理由.。

2013级高二上学期学分认定考试试题（文科数学）第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1.不等式的解集是为（A ） （B ） （C ）（-2，1） （D ）∪ 2.下列命题中，真命题是(A)00,||0x R x ∃∈≤ (B) a -b =0的充要条件是1a b=(C) 2,2x x R x ∀∈> (D)若p ∧q 为假，则p ∨q 为假(p ，q 是两个命题) 3. 若双曲线C ：222x y m -= (m>0)与抛物线28y x =的准线交于A ，B 两点，且||AB =， 则实数m 的值为(A) 29 (B) 20 (C) 12 (D) 54. 设a,b ∈R,且a+b=3,则2a +2b 的最小值是 （A ）6 （B ）4 （C ）2 （D ）25.设x ∈R ，则“”是“”的(A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件6.设分别是中所对边的边长，则直线与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是(A)平行(B)重合(C)垂直(D)相交但不垂直7. 数列{a n }的通项公式其前n 项和为S n ，则S 2012等于 (A)1006 (B)2012 (C)503 (D)08. 若直线y=2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为(A)-1 (B)1 (C) 32(D)29.若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是 (A) (B) (C) 5 (D) 610. 设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 曲线y =x (3ln x +1)在点处的切线方程为________ 12. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若＝，则＝_________13. 45,=ABC a b B A ∆==∠=∠中，则_________14. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝_________ 15. 已知双曲线：的离心率为.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16. （本小题满分12分） 已知命题p 关于x 的方程0422=++ax x无实数解；命题q ：函数f(x)=(3－2a)x 是增函数，若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数a 的取值范围．17. （本小题满分12分） 已知∆ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()(sin sin )()sin b a B A b c C-+=-，cos 3C a ==． (I)求sinB ； (II)求∆ABC 的面积．18.（本小题满分12分）设{a n }是公比为 q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由．19. （本小题满分12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600vy v v v =>++（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ （2）若要求在该时段内车流量超过10 千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？20.（本小题满分13分）已知函数在处取得极值为（1）求a 、b 的值；（2）若有极大值28，求在上的最小值．21.（本小题满分14分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且二者的离心率之积是1. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求的最小值.2013级高二上学期学分认定考试答案（文科数学）选择题 CADBA CABCC填空题 11. y=4x-3 12. 1 13. 14. 32 15． 16.解：设2()24g x x ax =++， 由于关于x 的方程2240x ax ++=无解故24160,22a a ∆=-<∴-<< ---------------------------------------------2分 又因为()(32)f x a x =-是增函数，所以1,123<∴>-a a ----------------------4分又由于p q ∨为真，p q ∧为假，可知p 和q 一真一假 -------------------------6分(1）若p 真q 假，则21,122<≤∴⎩⎨⎧≥<<-a a a ---------------------------------8分(2）若p 假q 真，则2,122-≤∴⎩⎨⎧<≥-≤a a a a 或---------------------------------10分综上可知，实数a 的取值范围为2,21-≤<≤a a 或----------------------------12分 17.18．解：（1）由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或－…………………………………………4分（2）若q＝1，则S n＝2n＋＝．当n≥2时，S n－b n＝S n－1＝＞0，故S n＞b n．……………………7分若q＝－，则S n＝2n＋(－)＝．当n≥2时，S n－b n＝S n－1＝，……………………………………10分故对于n∈N+，当2≤n≤9时，S n＞b n；当n＝10时，S n＝b n；当n≥11时，S n＜b n．…12分19．解：（1）依题意，y=当且仅当v= 即v=40时上式等号成立，∴y=（千辆/小时）max在该时段内，当汽车的平均速度v 为40时，车流量最大，最大车流量为千辆/小时。

2020-2021学年山东省淄博市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．直线x+y+1＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．椭圆x2+2y2＝1的焦点坐标是（）A．（±1，0）B．（0，±1）C．（±，0）D．（0，±）3．空间两点A（1，5，4），B（﹣1，3，5）间的距离等于（）A．2B．3C．4D．94．圆C1：x2+y2+8x+12＝0和圆C2：x2+y2﹣6y＝0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切5．2020年10月26日至29日，中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议在北京举行，审议通过了《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二O三五年远景目标的建议》．某班级从3名男生和3名女生中任选2人参加学校十九届五中全会精神宣讲团，则选中的2人恰好都是女生的概率为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.56．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若＝x+y+z，求x+y+z＝（）A．1B．C．2D．7．光线通过点A（2，3），在直线l：x+y+1＝0上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为（）A．4x﹣5y+1＝0B．4x+5y﹣9＝0C．5x﹣4y﹣1＝0D．5x+4y﹣9＝0 8．设F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点．若|PF1|+|PF2|＝6a，且＝，则双曲线C的渐近线方程是（）A．x±y＝0B．x y＝0C．x±2y＝0D．2x y＝0二、多项选择题（共4小题）.9．若，，与的夹角为120°，则λ的值为（）A．17B．﹣17C．﹣1D．110．已知空间向量都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（）A．向量的模是3B．可以构成空间的一个基底C．向量和夹角的余弦值为D．向量与共线11．已知A，B是随机事件，则下列结论正确的是（）A．若A，B是互斥事件，则P（AB）＝P（A）P（B）B．若事件A，B相互独立，则P（A+B）＝P（A）+P（B）C．若A，B是对立事件，则A，B是互斥事件D．事件A，B至少有一个发生的概率不小于A，B恰好有一个发生的概率12．已知F1，F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A1，A2分别为其实轴的左、右端点，且|F1F2|＝，点P为双曲线右支一点，I为△PF1F2的内心，则下列结论正确的有（）A．离心率B．点I的横坐标为定值aC．若（λ∈R）成立，则λ＝﹣1D．若PH垂直x轴于点H，则|PH|2＝|HA1|•|HA2|三、填空题（共4小题）.13．已知直线l1：（m﹣1）x﹣3y+3＝0和直线l2：2x+my﹣5＝0垂直，则实数m＝．14．现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是．15．已知空间直线l的方向向量是，平面α的法向量．若l⊥α，则a+b＝．16．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与y轴交于点M，当最大时，弦AB长度是．四、解答题（共6小题）.17．已知在空间直角坐标系Oxyz中，点A，B，C，M的坐标分别是（2，0，2），（2，1，0），（0，4，﹣1），（2，3，﹣1），过点A，B，C的平面记为α．（1）证明：点A，B，C，M不共面；（2）求点M到平面α的距离．18．已知△ABC中，点A（﹣1，5），边BC所在直线l1的方程为7x﹣y﹣18＝0，边AB上的中线所在直线l2的方程为y＝x．（1）求点B和点C的坐标；（2）若△ABC的外接圆为⊙M，求直线l2被⊙M截得的弦长．19．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：（Ⅰ）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？（Ⅱ）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？20．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）（y＞0）到定点M（0，1）的距离比到x轴的距离大1．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点M的直线l交曲线C于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．21．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CD的中点．（1）求平面C1EF与平面AB1D1夹角的余弦值；（2）设，若平面C1EF∥平面MB1D1，求λ的值．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），中恰有三点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）蝴蝶定理：如图1，AB为圆O的一条弦，M是AB的中点，过M作圆O的两条弦CD，EF．若CF，ED分别与直线AB交于点P，Q，则MP＝MQ．该结论可推广到椭圆．如图2所示，假定在椭圆C中，弦AB的中点M的坐标为（0，），且两条弦CD，EF所在直线斜率存在，证明：MP＝MQ．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．直线x+y+1＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°解：直线x+y+1＝0的斜率k＝，设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan，∴θ＝150°．故选：D．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．2．椭圆x2+2y2＝1的焦点坐标是（）A．（±1，0）B．（0，±1）C．（±，0）D．（0，±）解：∵椭圆x2+8y2＝1的标准方程为：x2+＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2﹣b2＝，∴c＝．又椭圆x2+2y2＝1的焦点在x轴，∴椭圆x2+2y2＝1的焦点坐标是（±，0）．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质，着重考查椭圆的焦点坐标的求法，由其方程明确焦点位置是关键，属于中档题．3．空间两点A（1，5，4），B（﹣1，3，5）间的距离等于（）A．2B．3C．4D．9解：因为空间两点A（1，5，4），B（﹣1，3，5），故A，B两点间的距离为．故选：B．【点评】本题考查了空间中两点间的距离公式的应用，解题的关键是熟练掌握空间两点间的距离公式，属于基础题．4．圆C1：x2+y2+8x+12＝0和圆C2：x2+y2﹣6y＝0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切解：根据题意圆C1：x2+y2+8x+12＝0，即（x+4）2+y2＝4，其圆心为（﹣4，0），半径r ＝2，圆C2：x2+y2﹣6y＝0，即x2+（y﹣3）2＝9，其圆心为（0，3），半径R＝3，圆心距|C1C2|＝＝5，则圆心距|C1C2|＝R+r＝5，则两圆外切，故选：D．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意将圆的方程变形为标准方程，属于基础题．5．2020年10月26日至29日，中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议在北京举行，审议通过了《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二O三五年远景目标的建议》．某班级从3名男生和3名女生中任选2人参加学校十九届五中全会精神宣讲团，则选中的2人恰好都是女生的概率为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5解：某班级从3名男生和3名女生中任选2人参加学校十九届五中全会精神宣讲团，基本事件总数n＝＝15，选中的2人恰好都是女生包含的基本事件个数m＝＝3，则选中的2人恰好都是女生的概率为P＝＝＝0.2．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若＝x+y+z，求x+y+z＝（）A．1B．C．2D．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵点F是侧面CDD1C1的中心，∴连接DC1，D1C，交于点F，＝＝＝（﹣）＝+（﹣）＝﹣，∵＝x+y+z，∴x+y+z＝1+＝1．故选：A．【点评】本题考查代数式求值，考查空间向量加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．光线通过点A（2，3），在直线l：x+y+1＝0上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为（）A．4x﹣5y+1＝0B．4x+5y﹣9＝0C．5x﹣4y﹣1＝0D．5x+4y﹣9＝0解：根据光学性质可知点A（2，3）关于直线x+y+1＝0的对称点A′（﹣4，﹣3）在反射光线所在直线上，由两点式可得反射光线所在直线方程为：＝，化简得：4x﹣5y+1＝0．故选：A．【点评】本题考查了点关于直线对称，直线方程的两点式，属中档题．8．设F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点．若|PF1|+|PF2|＝6a，且＝，则双曲线C的渐近线方程是（）A．x±y＝0B．x y＝0C．x±2y＝0D．2x y＝0解：由双曲线的定义知，|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵|PF1|+|PF2|＝6a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵＝|PF1|•|PF2|sin∠F1PF2，∴•4a•2a•sin∠F1PF2＝，即sin∠F1PF2＝，在△PF1F2中，由余弦定理知，cos∠F1PF2＝＝＝1﹣，∵，∴（）2+（1﹣）2＝1，化简得，＝2，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0．故选：A．【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，还运用了正弦的面积公式和余弦定理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．若，，与的夹角为120°，则λ的值为（）A．17B．﹣17C．﹣1D．1解：∵，，与的夹角为120°，∴cos120°＝＝，解得λ＝﹣1或λ＝17．故选：AC．【点评】本题考查实数值的求法，考向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．已知空间向量都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（）A．向量的模是3B．可以构成空间的一个基底C．向量和夹角的余弦值为D．向量与共线解：对于选项A，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直，所以，且，则＝，所以向量的模是，故选项A错误；对于选项B，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直，所以不共面，而向量均与共面，所以与不共面，则可以构成空间的一个基底，故选项B正确；对于选项C，设与的夹角为α，则＝，所以向量和夹角的余弦值为，故选项C正确；对于选项D，因为，同理可得，则，所以向量与的夹角为120°，则向量与不共线，故选项D错误．故选：BC．【点评】本题考查了空间向量的应用，涉及了空间向量模的求解、空间向量的基底、空间向量的夹角等知识点，考查的知识面广，对学生基础知识掌握的情况有较高的要求，属于中档题．11．已知A，B是随机事件，则下列结论正确的是（）A．若A，B是互斥事件，则P（AB）＝P（A）P（B）B．若事件A，B相互独立，则P（A+B）＝P（A）+P（B）C．若A，B是对立事件，则A，B是互斥事件D．事件A，B至少有一个发生的概率不小于A，B恰好有一个发生的概率解：对于A，若A，B是互斥事件，则P（AB）＝0，故A错误；对于B，若事件A，B互斥事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B），故B错误；对于C，∵对立事件一定是互斥事件，∴若A，B是对立事件，则A，B是互斥事件，故C正确；对于D，∵事件A，B至少有一个发生包含A，B恰好有一个发生和A，B同时发生两种情况，∴事件A，B至少有一个发生的概率不小于A，B恰好有一个发生的概率，故D正确．故选：CD．【点评】本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质等基础知识，是基础题．12．已知F1，F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A1，A2分别为其实轴的左、右端点，且|F1F2|＝，点P为双曲线右支一点，I为△PF1F2的内心，则下列结论正确的有（）A．离心率B．点I的横坐标为定值aC．若（λ∈R）成立，则λ＝﹣1D．若PH垂直x轴于点H，则|PH|2＝|HA1|•|HA2|解：∵|F1F2|＝＝2c，且b2＝c2﹣a2，∴c2﹣2ac﹣a2＝0，∵e＝＞1，∴e2﹣2e﹣1＝0，∴e＝+1，即选项A正确；设内切圆I与△PF1F2的三边分别相切于点M，N，T，如图所示，由圆的切线长定理知，|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1T|，|F2N|＝|F2T|，由双曲线的定义知，2a＝|PF1|﹣|PF2|＝|PM|+|F1M|﹣（|PN|+|F2N|）＝|F1T|﹣|F2T|，而|F1T|+|F2T|＝2c，∴|F1T|＝c+a，|F2T|＝c﹣a，∴T（a，0），即点I的横坐标为定值a，故选项B正确；设圆I的半径为r，∵（λ∈R），∴|PF1|•r＝|PF2|•r+λ•|F1F2|•r，即|PF1|＝|PF2|+λ|F1F2|，∴|PF1|﹣|PF2|＝λ|F1F2|，即2a＝λ•2c，∴λ＝＝＝＝，即选项C正确；假设点P在第一象限，设其坐标为（m，n），则﹣＝1，∵PH垂直x轴于点H，∴|PH|2＝n2＝（1﹣）b2，|HA1|＝m+a，|HA2|＝m﹣a，∴|HA1|•|HA2|＝（m+a）（m﹣a）＝m2﹣a2，若|PH|2＝|HA1|•|HA2|，则（1﹣）b2＝m2﹣a2，化简得m2＝a2，此时点P与H重合，不符合题意，即选项D错误．故选：ABC．【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，圆的切线长定理，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l1：（m﹣1）x﹣3y+3＝0和直线l2：2x+my﹣5＝0垂直，则实数m＝﹣2．解：因为直线l1：（m﹣1）x﹣3y+3＝0和直线l2：2x+my﹣5＝0垂直，所以（m﹣1）×2+（﹣3）×m＝0，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了两条直线位置关系的运用，涉及了直线的一般式方程的应用、两条直线互相垂直的充要条件的应用，属于基础题．14．现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是0.972．解：现有3个灯泡并联而成的闭合电路，在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，∴在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是：P＝＝0.972．故答案为：0.972．【点评】本题考查概率的求法，考查n个独立重复试验中事件A恰好有k个发生的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．已知空间直线l的方向向量是，平面α的法向量．若l⊥α，则a+b＝2．解：∵是直线l的方向向量，是平面α的法向量，l⊥α，∴∥，∴＝＝，解得a+b＝2．故答案为：2．【点评】本题向量平行、线面垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题．16．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与y轴交于点M，当最大时，弦AB长度是8．解：抛物线的标准方程为x2＝8y，所以焦点F（0，2），准线方程为y＝﹣2，因为抛物线的准线与y轴交于点M，所以点M（0，﹣2），设A（x1，y1），y1＞0，则有，所以，，所以＝＝，当且仅当，即y1＝2时取等号，所以当y1＝2时，最大，此时A（±4，2），故AB＝4+4＝8．答案为：8．【点评】本题考查了抛物线的应用，涉及了抛物线标准方程的应用、抛物线的几何性质、利用基本不等式求最值等，涉及知识点多，对学生的解题能力有一定的要求，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知在空间直角坐标系Oxyz中，点A，B，C，M的坐标分别是（2，0，2），（2，1，0），（0，4，﹣1），（2，3，﹣1），过点A，B，C的平面记为α．（1）证明：点A，B，C，M不共面；（2）求点M到平面α的距离．【解答】证明：（1）由已知可得，，，，假设A、B、C三点共线，则存在实数λ，使得，即（0，1，﹣2）＝λ（﹣2，4，﹣3），则，此方程组无解，故不共线，∴A，B，C不共线，即过点A，B，C的平面是惟一的，若点A，B，C，M共面，则存在x，y∈R，使得，即（0，3，﹣3）＝x（0，1，﹣2）+y（﹣2，4，﹣3），即，此方程组无解，即不存在实数x，y，使得，即A、B、C、M不共面；（2）设平面α的法向量为，则，取c＝2，得．∴点M到平面α的距离为d＝＝．【点评】本题考查平面的基本性质及应用，训练了利用空间向量求点到面的距离，考查运算求解能力，是中档题．18．已知△ABC中，点A（﹣1，5），边BC所在直线l1的方程为7x﹣y﹣18＝0，边AB上的中线所在直线l2的方程为y＝x．（1）求点B和点C的坐标；（2）若△ABC的外接圆为⊙M，求直线l2被⊙M截得的弦长．解：（1）联立方程组，解得，即C（3，3）．设B（s，t），则边AB上的中点坐标为（，），可得方程组，解得，即点B（2，﹣4）；（2）设△ABC的外接圆方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），将三角形的三个顶点坐标代入，得：．解得．所以三角形外接圆的方程为（x+1）2+y＝25．所以该圆的圆心坐标是（﹣1，0），半径r＝5．圆心（﹣1，0）到直线l2的方程为x﹣y＝0的距离为：d＝＝．所以弦长等于2＝7．【点评】考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系和圆的一般方程等知识，属于中档题．19．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：（Ⅰ）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？（Ⅱ）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？【解答】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知得，解得∴从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是．（2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4，得到的两个球同色的可能有：两个黑球共3种情况，两个黄球只有1种情况，两个绿球共有6种情况，而从9个球中取出2个球的情况共有36种，所以所求概率为，则得到的两个球颜色不相同的概率是．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件事件概率加法公式的合理运用．20．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）（y＞0）到定点M（0，1）的距离比到x轴的距离大1．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点M的直线l交曲线C于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．解：（1）动点P（x，y）到x轴的距离为y，到点M的距离为PM＝，因为动点P（x，y）（y＞0）到定点M（0，1）的距离比到x轴的距离大1，所以＝y+1，两边平方可得，x2＝4y，故动点P的轨迹C的方程为x2＝4y；（2）根据题意，显然直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x可得y2﹣（2+4k2）y+1＝0，所以，所以AB＝，解得k＝±1，所以直线l的方程为y＝x+1或y＝﹣x+1．【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，涉及了抛物线标准方程的应用、直线与抛物线位置关系，要掌握常见的求解动点轨迹的方法：定义法、直接法、代入法、消元法、交轨法等，属于中档题．21．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CD的中点．（1）求平面C1EF与平面AB1D1夹角的余弦值；（2）设，若平面C1EF∥平面MB1D1，求λ的值．解：（1）以D为坐标原点，分别以棱DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2），因为E，F分别为BC，CD的中点，所以点E（1，2，0），F（0，1，0）所以，设平面C1EF的法向量为，则有，所以，令z＝1，则x＝2，y＝﹣2，所以，又，设平面AB1D1的法向量为，则有，所以，令c＝1，则a＝1，b＝﹣1，所以，设平面C1EF和平面AB1D1的夹角为θ，所以＝，所以平面C1EF与平面AB1D1夹角的余弦值为；（2）因为，设点M的坐标为（x，y，z），所以（x，y﹣2，z）＝λ（2，﹣2，0），故点M的坐标为（2λ，2﹣2λ，0），所以，由（1）可知，平面C1EF的法向量为，因为平面C1EF∥平面MB1D1，所以，所以，解得．【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，主要考查了利用空间向量求二面角的余弦值，利用空间向量解决空间中线面位置关系，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，属于中档题．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），中恰有三点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）蝴蝶定理：如图1，AB为圆O的一条弦，M是AB的中点，过M作圆O的两条弦CD，EF．若CF，ED分别与直线AB交于点P，Q，则MP＝MQ．该结论可推广到椭圆．如图2所示，假定在椭圆C中，弦AB的中点M的坐标为（0，），且两条弦CD，EF所在直线斜率存在，证明：MP＝MQ．【解答】（1）解：由于P3，P4两点关于y轴对称，所以椭圆C必经过P3，P4两点，又+＞+，所以椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上，所以，解得，所以椭圆C的方程为．（2）证明：因为点M在y轴上，且M为AB的中点，所以直线AB平行于x轴，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），F（x4，y4），设直线CD的方程为y＝k1x+，代入椭圆C的方程中，得（+）x2+k1x﹣＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝，同理，设直线EF的方程为y＝k2x+，则x3+x4＝，x3x4＝，因为C、P、F三点共线，所以＝＝，解得x P＝，同理，由E、Q、D三点共线，可得x Q＝，所以x P+x Q＝+＝＝＝＝＝＝0．即x P＝﹣x Q，所以|x P|＝|x Q|，即MP＝MQ【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于难题．。