北师大版八年级上册数学《立方根》实数精品PPT教学课件 (2)

那么这个数x就叫做a的平方根，记作 a ，
读作“正负根号a”.
试一试，你能给出立方根定义吗？
立方根定义
一般地，如果一个数x做a的立方根
（cube root,也叫做三次方根）
3a
如：2是 8 的立方根，-3是 -27的立方根 ， 0是 0 的立方根．
3.一个正方体大木块，现在把它锯成8块大
小相同的正方体小木块，那么小木块的棱 长是本来的几分之几？
解：设大正方体的棱长a，则它的体积为a3，
锯成8块后小木块的棱长为x，则
x3
a3 , 8
则 x 3 a3 a , 所以小木块的棱长是本来的 1.
82
2
第二章 实数
3. 立方根
想一想
（1）什么叫一个数a的平方根？如何 用符号表示数a （ a ≥0）的平方根?
（2）正数的平方根有几个？它们之间 的关系是什么？负数有没有平方根？ 0的平方根是什么？
（3）平方和开平方运算有何关系？
（4）算术平方根和平方根有何区分和 联系？
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，
(2)对于立方根，被开方数没有限制，正数、 零、负数都有一个立方根；
(3)平方根和立方根的区分：正数有两个平
方根，但只有一个立方根；负数没有平方根，
但却有一个立方根；
(4)灵活运用公 （3 a）3 a 3 a 3 a
式 3 a 3 a ，
，
(5)立方与.开立方也互为逆运算。我们可以用
立方运算求一个数的立方根，或检验一个数
现在你发现平方根与 立方根有什么相同与 不同了吗？
类比平方根与立方根
1．开平方的定义 求一个数a的平方根的 运算，叫做开平方， 其中a叫做被开方数

3
（4）
=9.
（3 9）
3
（3 a）
a
技能点拨
（1）求一个负数的立方根，可以先求出这个负
数绝对值的立方根，然后再取它的相反数；
（2）负号可从“根号内” 直接移到“根号外” .
对照记忆
平方根
①一个正数有两个平方根；
性质
②0只有一个平方根，它是
0本身；
③负数没有平方根
被开方数的
取值范围

a≥0
中
立方根
数是（ B ）
A. -1
B. 0
C. ±1
D. 不存在
3.一个正方体，它的体积是棱长为3cm的正方体体积的8倍，
这个正方体的棱长是_____．
6cm
随堂练习
4.求下列各式的值：
3
（1）3 0.125 ；（2） 3 64 ；（3） 3 53 ；（4）
.
（3 16）
解：（1）3 0.125 =0.5；
27
3+2=0.
（x+1）
6.求未知数x： 4
27
4
解：移项，得 （x+1）3=-2，
（x+1）3=-
8
，
27
3
x+1= −
5
3
x=- .
8
2
=- ，
27 3
课堂小结
立
方
根
概念
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么
这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）.
表示
a的立方根表示为 3 a ，读作“三次根号a”.
3
（4）-5的立方根是 −5.
典例精讲
例2 求下列各式的值：

答案： A
知2－练
感悟新知
知2－练
3-1. －a2 的立方根的值一定为( A )
A. 非正数
B. 负数
C. 正数
D. 非负数
知2－练
例4
已知3 3y－1和3 1－2x互为相反数，且x≠0，y≠0，
x
求 的值.
y
解题秘方：根据立方根互为相反数，则被开方数互为相
反数，建立x与y之间的等量关系求解.
知2－练
1
2-1.已知 7a+1 的立方根是 ，8a+b － 2 的平方根是 ±2.
2
(1)求 a，b 的值 .
1
解：因为 7a＋1 的立方根是 ，8a＋b－2 的平方根是±2.
2
1
所以 7a＋1＝ ，8a＋b－2＝4，
8
1
解得 a＝－ ，b＝7.
8
感悟新知
知1－练
(2)求 － 8a+3b+3 的平方根 .
(3)－1.
解：因为(－1)3＝－1，所以－1的立方根是－1，
即3 －1＝－1.
1-1. 求下列各数的立方根：
知1－练
(1)－343；
解：因为(－7)3＝－343，所以－343的立方根是－7.
(2)1.331；
因为1.13＝1.331，所以1.331的立方根是1.1.
(3)－
64
；
27
43
64
(1)


27 ；(2)
(5)( －8) 3.

1 6
－ ( ) ；(3)
10

3
3 ；(4)
8

7
－1 ；
8
感悟新知

（3）-3
8 125
-3
23 5
-2 5
（4）（3 9）3 9
知识拓展
平方根与立方根的区别与联系： 1.区别： (1)在用根号表示平方根时，根指数2可以省略 ，而用根号表示立方根时，根指数3不能省略； (2)平方根只有非负数才有，而立方根任何数都 有，并且每个数都只有一个立方根；(3)正数的 平方根有两个，而正数的立方根只有一个.
的半径为R 则
4R3 4r3
8பைடு நூலகம்
，
3
3
则 R 2 .
r
（2）如果储气罐的体积是原来的4倍呢？
解：如果储气罐的体积是原来的4倍时，
R 3 4 r
3.求下列各式的值.
（1）3 0.125 （2）3 - 64
（3）3 5 3
（4）(3 16）3
解：(1)0.5. (2)-4. (3)5. (4)16.
4.一个正方体大木块，现在把它锯成8块大 小相同的正方体小木块，那么小木块的棱 长是原来的几分之几？
解：设大正方体的棱长a，则它的体积为a3，锯
成8块后小木块的棱长为x，则
x3 a3 , 8
则 x 3 a3 a , 所以小木块的棱长是原来的 1 .
82
2
(1)新做的祭坛的体积到底是原祭坛体积的多 少倍？
(2)要做一个体积是原来祭坛体积2倍的新祭 坛，它的棱长应是原来的多少倍？
情境思考2
(1)面积为2的正方形的边长为多少？ (2)体积为2 的正方体的棱长是多少？
请同学们回忆求解a2=2时的情境，那么a3=2呢 ？
学习新知
某化工厂使用半径为1 m的一种球形储气罐储 藏气体。现在要造一个新的球形储气罐，如 果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原 储气罐半径的多少倍？如果储气罐的体积是 原来的4倍呢？

分数化成假分数再求.
解：
例4：某金属冶炼厂，将27个大小相同的立方体 钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭，量得这个 长方体钢锭的长、宽、高分别为160cm、80cm和40cm. 求原来立方体钢锭的边长为多少？ 解析 原来立方体钢锭体积=在炉中熔化后浇铸成的长 方：体钢锭的体积. 解： 设立方体的边长为xcm，
正数
负数
0
立方根
小明家计划用80块正方形的地板砖铺设面积是20m2 的客厅，你知道小明家需要购买边长为多少的地板砖 ，才不不会浪费，为了帮助小明家解决这问题，你得 好好研究本节课的教学内容哟.
例：已知
+|b3-27|=0,求（a-b）b的立方根.
根据已知条件如何求出a、b的值 （由非负数的性质求出a、b的值）
则27x3=160×80×40.
答：原来立方体钢锭的边长为
B
D
±1,0 ±6
11.求各数的方立根. (1)-512 (2)-0.729
解：
(5)±0.125
本节课学习了立方根、开立方等概念以及立方 根的求法、立方根的性质等内容.
解：由题意，得 于是a3+64=0，b3－27=0. 解得a=－4，b=3. 因此（a－b）b=（－4－3）3=－343. 故（a－b）b的立方根为
D
D 0
2
4
0
例1：下列语句正确的是（ A ）
解析
A
：
√
因为 =8，而2的立方等于8，故8的立 方根是2.
B
×
因为-3的立方等于-27，-3是27的立方根 的说法是错误的.
2022年秋初二数学北师 大版上册课件：立方根 (
共17张PPT)
1.理解立方根、开立性质.

根是负数.
探究 求下列各式的值:
3 23 __2_
3 43 _4__
3 (2)3 _-_2__ 3 (3)3 _-3__
体会：对于任何数a , 3 a3 _a__
3 3 8 _8__
3 27 3 __27_
( 3 8)3 _-_8_
3 27 3 _-2_7_
3
体会：对于任何数a , 3 a _a__
（3） 3 x 2
（4） 3 x 2 4
解: (1) x 3 343
∴x＝7 （3） x＝23
∴x＝8
(2)x 1 3 125
∴x-1＝5 x=6 （4） x-2＝43
∴x＝66
小结
1.平方根的定义：如果一个数的平 方等于a,那么这个数叫做a的平方 根. a的平方根用± a表示
2.平方根的性质 （1）一个正数有两个平方根，这两
3.立方根的求法：如求8的立方根： ∵ 23 = 8 ∴8的立方根是2
即 3 82
（4） 3 3 3 ； （5） 3 64 .
8
125
解：（1）3 8 =2；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2) 3 8 = -2；
（3） 3 0.125 = -0.5；
(4)
3 33
27
3
3
；
8
82
（5）
64 3
64 4
3
.
125 125 5
例3.你能求出下列各式中的未知数x吗？
（1） x3＝343
（2）（x－1）3＝125
个平方根互为相反数 （2）0的平方根还是0 （3）负数没有平方根
3.平方根的求法：如求4的平方根： ∵ (±2)2 = 4 ∴4的平方根是±2

思考
1. 64的算术平方根是 （ 8 ） 2. (6)的2 平方根是 （ 6 ） 3. 若a的平方根只有一个，那么a =( 0 )
4. 若数b 的一个平方根是1.2，那么b
的另一个平方根是 （ -1.2） 5. 81的算术平方根是（ 3 ）
( 2 )3=8 ( 3 )3=27 ( 10 )3=1000
(1) 3 8
(2) 3 0.064
(3)
3
8 125
(4) (3 9 )3
解: (1) 3 8 3 (2)3 2
(2) 3 0.064 3 (0.4)3 0.4
(3) 3
8 125
3
( 2)3 5
2 5
(4) (3 9 )3 9
当堂训练：
1、求下列各数的立方根 -1,
( 0 )3= 0
( 2) 3=
3
8 27
定义
如果一个数x的立方等 于a，即x3=a，那么这个数x 就叫做a的立方根(cube root 也叫做三次方根).
做一做
(1) 2的立方等于多少？ 是否有其 它的数，它的立方是8？ (2)-3的立方等于多少？是否有其 它的数，它的立方也是 -27？
5 125
125 5
(3) (0.6)3 0.216 3 0.216 0.6
(4) -5的立方根是3 5
想一想
(3 8)3 =（ 8 ）， (3 0)3 =（ 0 ），
(3 27 )3 =（-27）， (3 2 )3 =（ 2 ） .
(3 a )3 a
例题
例2 求下列各式的值:
议一议
(1) 正数有几个立方根？ (2) 0有几个立方根？ (3) 负数呢？

3
a
a叫做被开方数
1.求下列各数的立方根：
(1)-27；


(2) ；
(3) 0.
解： (1)因为(−) = −，
所以-27的立方根是-3；


(2)因为( ) = ，




所以 的立方根是 ；


(3)0的立方根是0.
开立方与立方互为逆运算，
因此可以用立方运算求某些
数的立方根.
(2) 任何数的立方根都只有一个; ( √ )
(3) 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一
定是零; ( × )
(4)一个数的立方根不是正数就是负数; ( × )
(5) 0的平方根和立方根都是0 . ( √ )
2.计算下列各式的值：



（1） −；（2）( −) ；（3） . .
所以x=6，y=8，所以 + = + =100，
所以± + =± =±10，
即 + 的平方根为±10.
6.将体积分别为600 cm3和129 cm3的长方体铁块，熔成
一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？
解：因为600+129=729，

=9，
第二章
2.3
实数
立方根
学习目标
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数
的立方根；
2.了解开立方与立方互为逆运算，能用立方
运算求某些数的立方根.
新知引入
要制作一种容积为27 cm3的正方体形状的包装箱，这种
包装箱的边长应该是多少?
设这种包装箱的边长为x cm，
则x3=27.

类比
1 开立方的定义
求一个数a的平方根的 一个正数有两个平方根；
2
2
4 4Biblioteka 2若正方体的棱长为a，体积为8，即 ,那a叫8的什么呢？
运算，叫做开平方 4 平方根与立方根的区别和联系。
（4）被开方数的取值范围不同。
，
中0只被有开一方个数平其a是方中根非，负a它数叫是；0做本身被； 开方数 如： 求下列各数的立方根，找规律。
若 ，则x叫a的平方根，即
一个正数有两个平方根；0只有一个平方 根，它是0本身；负数没有平方根。
求一个数a的立方根的运算，叫做 开 立方，其中a叫做被开方数 如：
23 83 8 2
2 立方根的性质
正数的立方根是正数；负数的 立方根是负数；0的立方根是0。
第3页，共7页。
活动二
平方根与立方根的联系与区别
1 求下列各式的值
（1） 3 8
（2）3 0.064
（3） 3 8 125
（4）
393
解：（1） 3 8 2 （2） 3 0.064 0.4
2 下列说法对不对？
（1）－4没有立方根 （3）－5的立方根是
3
（2）1的立方根是
1
5 （4）64的算术平方根是8
3 p39
随堂练习1 2
第6页，共7页。
小结
本节课学习了以下知识：
1 立方根的定义。 2 立方根的性质。 3 开立方的定义。
4 平方根与立方根的区别和联系。 5 会求一个数的立方根。
作业
习题2．5
思考：一个正方体的体积变为原来的n倍，它的棱
长
变为原来的多少倍？
第7页，共7页。
（1）－27
（2）

3
(1)∵ 2 =8，

∴ 2是8的立方根,即 =
(2)∵ (-3)3=-27，

∴ -3是-27的立方根，即 − = −
新知讲解
填空
( 2 ) =

=( 2 )
( 0.5 ) = .

. =( 0.5 )
( 0 ) =

=( 0 )
( -2 ) = −
因为y＋4的平方根是它本身，
所以y＋4＝0，解得y＝－4.
所以xy＝2×(－4)＝－8.
又(－2)3＝－8，所以xy的立方根为－2.
课堂总结
通过这节课的学习，大家获得哪些知识呢？
1、立方根定义，性质及表示方法；
2、如何求一个数的立方根；
3、立方根和平方根的区别；
4、平方根、算术平方根、立方根等于本身的数.
方根．记做 (也叫做三次方根). 如2是8的立方根，0是0的立方根.
一个数a的立方根可以表示为:
根指数
3
a
被开方数
读作:三次根号 a，
其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
做一做
(1)2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？
(2)-3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是-27？
3
个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数．
4.一个正数 a 的两个平方根是 2b-1和 b+4，则 a+b 的立方根为 2
.
课堂练习
5．已知x＋2是49的算术平方根，2x－y＋10的立方根是2，
求x2＋y2的平方根．
解：因为x＋2是49的算术平方根，所以x＋2＝7，解得x＝5.
因为2x－y＋10的立方根是2，