八年级上册数学实数阶梯培训同步训练【100页PPT】

[解析] 由题意知 x＝3， 所以|x－ 4|＝|3－2|＝1.
6
实数
11．实数 a 在数轴上对应的点的位置如图 2－6－2 所示，则化简
a－2 ＋



（a－1）2的结果为_1_______．
图 2－6－2
[解析] 由数轴可知，1＜a＜2， 所以 a－2＜0，a－1＞0， 所以a－2＋ （a－1）2＝2－a＋a－1＝1.
知识点3 有关实数的简单运算
8．下列计算正确的是( D )
A．3 2－2 3＝1
C.
2－
ห้องสมุดไป่ตู้
3 ＋
2＝2
2－ 3
B.3 27＝±3 1
D．( 3＋ 3)× 3＝4
9．计算|－ 7|＋(6－ 7)的结果为_6_______．
6
实数
B 规律方法综合练
10．已知 x 是－ 9的相反数，那么|x－ 4|的值为_1_______．
6 实数
4．将下列实数填在相应的集合中：
0，－
3，0.3·4·，
（－5）2，π
，－3
13 －20，－ 7 ，
1 3，
0.7171171117…(相邻两个 7 之间 1 的个数逐次加 1)．
整数集合：{…}；
正无理数集合：{…}；
有理数集合：{…}．
6 实数
解：整数集合：{0， （－5）2，…}；
6
实数
12．用“※”定义新运算：对于任意实数 a，b，都有 a※b＝2a2 ＋b.例如 3※4＝2×32＋4＝22，那么 3※2＝_8_______．
[解析] 3※2＝2×3＋2＝6＋2＝8.
第二章 实数
6 实数
第二章 实数

( − ) ＝0，
∵ + ≥0， ( − ) ≥0，∴1＋ a ＝0，2－ b ＝0，

a
－1
解得 a ＝－1， b ＝2，所以 b ＝2 ＝ .

1
2
3
4
5
6
7
8
5. 已知有理数 a 满足｜2 023－ a ｜＋ − ＝ a ，求 a
－2 0232的值.
解：依题意得 a －2 024≥0，则 a ≥2 024，∴2 023－
是
值，最小值
.
⁠
(2)[2023南通崇川区月考]代数式3－ − 的最大值
是
3
.
⁠
1
2
3
4
5
6
7
8
7. [2024如皋月考]已知｜2 a ＋ b ｜与 + 互为相反
数，求2 a －3 b 的平方根.
解：∵｜2 a ＋ b ｜与 + 互为相反数，∴｜2 a ＋
解：∵ − ＋( y －2)2＋｜ x ＋ z ｜＝0，∴ x ＝1， y
＝2， z ＝－1，
∴ + − ＝ × + × + ＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
第4章
实数
专题训练8 算术平方根双重非负性的应用
类型1
中被开方数 a ≥0的应用
1. 已知 是整数，则正整数 n 的最小值为
1
2
3
4
5
6
7
8
3
.
⁠
2. [2024南通崇川区校级月考]若整数 x 满足｜ x ｜≤3，则使

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自学检测3
实数与数轴上点的对应关系 1：如图，直径为1的圆上一点在数轴上转动一周后到 达点A，则点A在数轴上表示的数是多少？
直径为1的圆
π
-2 -1 0 1 2 3 A 4
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5、 3 -π 3
考点：化简绝对
值结果为非负数。
6、 2 1 的相反数是___2____1__ 的绝对
值是___2____1__
7、
2 3 1
2 （
1
3 ）
3
3
2
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自学指导3 实数与数轴上点的对应关系
结合课本P39议一议，讨论如何在数轴上找到
易错点：以为-a
是负数
2.和数轴上的点一一对应的是（ D ）
A、整数 B、有理数 C、无理数 D、实数
3. 实数在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小
关系正确的是（ D ） A．a a 1 B．a a 1
C．1 a a D．a 1 a
a 0 1 -a
4. 下列各组数中互为相反数的是（ A ）
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自学指导2
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值
的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝
对值的意义完全一样．
例如：
2 与 2 互为相反数
35
与
1 35
互为倒数
| 3 | 3, | 0 | 0,| |
小它结的：相反a是数一为个_实_a_数，，绝对值为_丨__a_;丨

【点拨】如图，由题意可知 OA 的长是圆的周长， 而 C＝πd＝π×1＝π，∴OA＝π，∴点 A 表示的数是 π.
8．【中考·聊城】－ 2的相反数是( D )
A．－
2 2
B．
2 2
C．－ 2
D． 2
9．【中考·遂宁】－|－ 2|的值为( B ) A． 2 B．－ 2 C．± 2
D．2
10．【中考·丹东】计算|1－ 2|＝( D )
数的是( D )
A．－|b＋1|
B．－(a－b)2
C．－ a2＋b2
D．－(a2＋1)
15．有下列说法：①有限小数都是有理数；②有理数包括正有理 数、负有理数；③无理数都可以用数轴上的点来表示；④符 号不同的两个数互为相反数；⑤实数的绝对值都是正数．其 中真命题有( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
A．－1－ 2
B．1－ 2
C．1＋ 2
D．－1＋ 2
【点拨】∵1＜ 2＜2，∴1－ 2＜0，∴|1－ 2|＝ 2－1.
11．【易错题】实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示， 化简|a－b|＋|c－b|得( )
A．a＋c－2b C．2b
B．a－c D．2b－a－c
【点拨】由题意可得：c＜b＜a，∴a－b＞0，c－b＜0， ∴|a－b|＝a－b，|c－b|＝－(c－b)， ∴原式＝a－b－(c－b)＝a－b－c＋b＝a－c. 注意|c－b|去掉绝对值符号时不要忽略 c－b 的符号．
(2)若 a＝x＋4 y，b＝－z2，c＝－4mn，且满足 x 与 y 互为相反数， z 是绝对值最小的负整数，m，n 互为倒数，试求 98a＋99b
＋100c 的值．
解：因为 x 与 y 互为相反数，所以 x＋y＝0.所以 a＝0. 因为 z 是绝对值最小的负整数， 所以 z＝－1.所以 b＝－(－1)2＝－1. 因为 m，n 互为倒数，所以 mn＝1. 所以 c＝－4×1＝－4. 所以 98a＋99b＋100c＝98×0＋99×(－1)＋100×(－4)＝－99－400 ＝－499.

第二章 实 数
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数学·八年级（上）·配北师
4
考点 2 无理数的估计与实数的大小比较
【典例 2】【2018·福建中考】已知 m＝ 4＋ 3，则以下对 m 的估算正确的( )
A．2<m<3
B．3<m<4
C．4<m<5
D．5<m<6
分析：∵m＝ 4＋ 3＝2＋ 3，1＜ 3＜2，∴3＜m＜4．
第二章 实 数
数学·八年级（上）·配北师
16
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17
★考点 5 二次根式的运算
1．下列运算结果是无理数的是
A．2 3× 3
B．3 2×2 3
C． 27÷ 3
D． 132－52
2．计算：－ 40＋ 10＝_－____1_0__．
(B )
第二章 实 数
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A．3
B．0
( C)
C．－ 2
D．0.35
2．估计 6 3－ 27的值应在
( C)
A．3 和 4 之间
B．4 和 5 之间
C．5 和 6 之间
D．6 和 7 之间
第二章 实 数
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数学·八年级（上）·配北师
12
3．比较 5＋ 2与 3＋2 的大小关系，并写出推理过程．
解：∵( 5＋ 2)2＝7＋2 10， ( 3＋2)2＝7＋4 3＝7＋2 12， ∴ 5＋ 2< 3＋2．
(2)
75－
54÷ 2＋(3－
3)1＋
1 3
＝5 3－3 3＋3＋ 3－ 3－1

“＞”“＜”或“＝”)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. [2024高邮期末]比较
解：∵
−

与 的大小.


−

−
−

－ ＝
＜0，∴
＜ .





1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
方法五
作商比较法
8. 【母题教材P104交流】用“＞”或“＜”填空：
－


＞ －

；

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
第4章
专题训练9
实数
比较实数大小的常用方法
方法一
直接比较法


1. [2023无锡锡山区期中]在－ ，－ ，0，2四个数中，最
大的数是(
A
)
A. 2
C.
B. 0

－

D. －
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

2. [2024南京秦淮区期中]比较大小：－
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
＜
11
.
方法二
是(
A
)
A. ＜1＜
C.

＜



B. ＜
＜1
D.

数的绝对值、相反数、倒数的求法以及实数的运算 法则，了解实数与数轴上点的对应关系，并会在数 轴上表示无理数和比较大小.
：
B.0既不是正整数,也不是负整数,故选项错误；
是分数，属于有理数，故本选项正确；
是开得尽方的数,属于有理数， 故本选项错误.故选C. 解：C.
例2：已解答下列问题： （1）若某数的绝对值是 求这个数； （2）设a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的倒数是 其本身，化简 解析 在解决（1）时要考虑到正负两种情形；（2）由a 与：bห้องสมุดไป่ตู้为相反数可得a+b=0，由c与d互为倒数可得cd=1， 由m的倒数是其本身可得m=±1，然后化简可解.
阅读教材P38-39, 了解本节主要内容.
有理数 无理数
正有理数 0 负有理数
正整数 正分数
负整数 负分数
正无理数
负无理数
实数
大 负数
负数 0
小
小明学习到今天，他思考了这样一些问题：能不 能对已学过的数分类？这些数的运算法则与有理数相 同吗？无理数能在数轴上表示吗？你有过这方面的思 考吗？不妨走进课本，帮助小明寻求答案.
2021年秋八年级数学北 师大版上册课件：实数 (
共18张PPT)
2020/9/12
1.了解实数的意义，会对实数准确分类. 2.了解实数的性质，会进行实数的运算. 3.理解实数与数轴上的点是一一对应的关系，能在数 轴上比较实数大小.
重点：会进行实数分类，会进行实数计算. 难点：理解实数与数轴上的点是一一对应的关系.
例：
1.把下列各数填入相应的集合内 （1）无理数集合：{ …}； （2）正实数集合：{ …}；
2.从上述数字中选出一组数相加,他们的和为0,写出算式.

8. 9 的算术平方根是 3 ； 9. (-5)3 的立方根是 -5 ； 10. 10-2 的平方根是 ±0.1 .
12. 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点如图所示，则 将它们用“ < ”连接是 c < d < b < a .
c
d
其中：
ab a + b
0 ba
d c -d - c
cb b - c
八年级数学上 教学课件
第二章 实数
小结与复习
知识构架 知识梳理
当堂练习
课后作业
知识构架
实数
平方根与 立方根
概念与 性质
平方根 算术平方根 立方根 定义 分类 定义：最简二次根式
二次根式 性质：积（商）的算术平方根
运算：加、减、乘、除、乘方
知识梳理
一 实数的相关概念
1. 实数的分类
有理数(有限或无限
b
a+b = 0) ab = 1)
4. 绝对值（到原点的距离） a (a > 0)
① |a|= 0 (a = 0) |a| 为非负数，即 |a|≥0 -a (a < 0)
② 非负式的常见形式有：|a|； a2； a2； a 5. 实数的大小比较
① 利用数轴（右边的数总比左边大）；
② 作差与 0 比；
⑵商的算术平方根：等于算术平方根的商；
a a a≥0,b＞0
bb
3、最简二次根式 ：
满足以下三个条件的二次根式叫最简二次根式：
⑴被开方数不能含有开得尽方的因数或因式； 反例：54
⑵被开方数不能含有分母； 反例：1
2
⑶分母不能含有根号. 反例：1
3
注意：二次根式的化简与运算，最后结果应化成最简

第4章 实数
4.3 实数
第4章 实数
第2课时 实数的运算
知识目标 目标突破 总结反思
4.3 实数
知识目标
1．通过阅读，知道有理数的绝对值、相反数、倒数等概念在实 数范围内仍然适用，会求一个实数的绝对值、相反数、倒数． 2．通过阅读，知道有理数的运算性质、运算律在实数范围内仍 然适用，会运用这些性质进行实数的运算． 3．通过对无理数大小的分析、比较，会用多种方法比较实数的 大小．
4.3 实数
例 4 [教材补充例题]比较大小：－ 2和－ 3.
解：∵|－ 2|＝ 2，|－ 3|＝ 3，而 2< 3，∴－ 2>－ 3.
4.3 实数
【归纳总结】比较两个数大小的常用方法： 1． 作差与 0 比较大小：若 a－b>0，则 a>b；若 a－b＝0， 则 a＝b；若 a－b<0，则 a<b. 2． 作商与 1 比较大小：对于两个正数 a，b，若ab＝1，则 a＝b； 若ab>1，则 a>b；若ab<1，则 a<b. 3．比较两数的平方或立方，如比较 7与 3 的大小．
4.3 实数
目标三 会比较实数的大小
例 3[教材补充例题]估计 10＋1 的值在( C )
A．2 和 3 之间
B．3 和 4 之间
C．4 和 5 之间
D．5 和 6 之间
【解析】因为 9< 10< 16，即 3< 10<4，所以 4< 10＋1<5.
4.3 实数
【归纳总结】估计一个无理数的大小，一般方法是看它较接近 哪两个完全平方数，将完全平方数开方就会得到该数 2＋ 3.
4.3 实数
【归纳总结】实数范围内的相反数、绝对值与倒数的意义： (1) 实数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义和求法与有理 数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义和求法完全相同； (2)若 a 是一个实数，则 a 的绝对值是|a|，a 的相反数是－a， a(a≠0)的倒数是1a.

第二章
识无理数
一．无理数的存在性探索
1. 探究：
① ② 什么是有理数：整数和分数统称为有理数。 不是有理数的数：π、正方形的面积为2、3、5、 6、7，13---时，它们的边长。--- 广泛存在。 X2=a（a ≥0），当我们知道a求x 时，结果可能 是有理数，也可能不是有理数。
3 3 3 3
【练习】求下列各式的值：
8 3 3 3 3 3 ( 3 ) ; ( 4 )( 9 ) . (1) 8 ; (2) 0.064 ; 125 解：(1)3 8 3 (2) 3 2;
(2) 0.064 (0.4) 0.4;
3
3 3
8 (3) 3 3 125
（ 5） (－ 4 )2的 算 术 平 方 根 是 ＿ ＿ 4 10 （ 6） 10的 算 术 平 方 根 是 ＿ ＿
1＿ .2 36=＿ ＿ 1.44=＿
6
3 1 2 =＿ ＿ 25=＿ ＿ 2 4
5
【练习】 求下列各数的算术平方根：
（1）900； （4）14
49 （ 2） 1； （ 3） 64
二．无理数的概念
1. 2. 3. 定义：无限不循环小数叫做无理数。 特征：小数部分无限；小数部分不循环；不 能表示成分数的形式。 与小数的关系：
有限小数 小数 无限循环小数 无限循不环小数 无理数 有理数
4.
无理数有正的无理数和负的无理数.
【例2】说说谁“有理”，谁“无理” 以下各数： 2 －1,— 3 ,3.14,－4π,3,0,2,－0.2020020002 -(相邻两个2之间0的个数逐次加1) ，3.3 其中，是有理数的是_____________，是 无理数的是______________ . 在上面的有理数中，分数有__________， 整数有____________.

则x 3 280 ； ｙ 3 28 000。
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六、无理数的整数部分与小数部分
1.π的整数部分为3,则它的小数部分是 π－3 ；
2. 5 的整数部分是 2 ，
则它的小数部分是 5 2 ；
3. 记 2 3 的整数部分为 a ，小数部分为b , 求代数式 a b 的值 .
5、2012 a a 2013 a，求a－20122的值。
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总结
1、平方根立方根有关概念 2、实数分类 3、实数有关运算 4、实数大小比较 5、扩大、缩小的变化规律 6、明确表示一个数的小数部分和整数部分 7、式子有意义的条件
试化简：
a
b0
c
（1） a2 － |a－b|+|c－a|+ (b c)2
（2）|a+b－c|+|b－2c|+ －2 (b a)2 a2
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七、式子有意义
1、在开平方运算中，被开方数具有非负性
2、分母不为0
(1)若式子 x - 3有意义，则x的取值范围是什么？ (2)若式子 x - 3 5 x有意义，则x的取值 范围是什么？ (3)若式子 x - 3 有意义，则x的取值范围是什么？
三、实数的相关概念及运算
1.实数与数轴：实数与数轴上的点__一__一______对应。 2.实数的相反数、绝对值：
相反数：实数a的相反数为____a__；
若a，b互为相么数，则a b __0___

－287的
倒数为－32．
第二章 实 数
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能力提升
数学·八年级（上）·配北师
11
6．下列说法正确的有
(B )
①a 的倒数是1a；②m 的绝对值是 m；③无理数都是无限小数；④实数可以分为
有理数和无理数．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第二章 实 数
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数学·八年级（上）·配北师
13
8．在实数 0,3.141 592 6， 2，272，1.010 010 001…(每两个 1 之间依次多一个 0)， 0.32，3 8，π3中无理数有__3___个．
第二章 实 数
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12
7．已知1a－|a|＝1，那么1a＋|a|值是 A． 5 C．± 3
B．± 5 D． 5或 1
( A)
解析：∵1a－|a|＝1，则1a＝1＋|a|>1，故 0<a<1，原式可化为1a－a＝1.1a＋|a|＝ a12＋2＋a2＝ 1a－a2＋4＝ 5，∴1a＋|a|＝ 5．
无理数正负无无理理数数
第二章 实 数
数学·八年级（上）·配北师
4
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5
(2)按正负性分类：
实正实数正正有无理理数数正正整分数数 数零
负实数负负有无理理数数负负整分数数 提示：将实数分类时，要注意防止陷入下列误区：(1)误认为带有分数线的即为 分数；(2)误认为带有根号的数即为无理数；(3)误认为小数点后面的数按一定规律 出现即为无限循环小数．