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2020年天津高考数学试题及答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UA B =∩A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数241xy x =+的图象大致为A BC D4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A ．10B ．18C ．20D ．365．若棱长为23 A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π6．设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 11．在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________．12．已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．15．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求πsin(2)4A +的值． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 19．（本小题满分15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20．（本小题满分16分）已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．参考解答一．选择题：每小题5分，满分45分．1．C2．A3．A4．B5．C6．D7．D8．B9．D二．填空题：每小题5分，满分30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．32i - 11．1012．513．16；2314．4 15．16；132三．解答题 16．满分14分．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及22,5,13a b c ===，有2222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,22,134C a c ===，可得sin 213sin 13a C A c ==． （Ⅲ）解：由a c <及213sin 13A =，可得2313cos 1sin 13A A =-=，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=． 所以，πππ12252172sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=．17．满分15分．依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ．因此有|||cos ,6|A CA C CA ⋅〈〉==n n n ，于是sin ,CA 〈〉=n ． 所以，二面角1B B E D --的正弦值为6． （Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,3||||AB AB AB ⋅==-n n n ． 所以，直线AB 与平面1DB E 18．满分15分．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221kx k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k kk --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-． 19．满分15分．（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由11a =，()5435a a a =-，可得1d =，从而{}n a 的通项公式为n a n =．由()15431,4b b b b ==-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()22211(1)24n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<． （Ⅲ）解：当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++；当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==． 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和22311211352144444nnkknk k k n c==--==++++∑∑． ① 由①得22311113232144444n k n n k n n c +=--=++++∑． ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，从而得21565994nk nk n c =+=-⨯∑． 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑． 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯． 20．满分16分．（Ⅰ）（i ）解：当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-． （ii ）解：依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x -+'=．令()0g x '=，解得1x =．当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭． ①令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0tt t -->．因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2336ln 31t t t t-=++-． ②由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故23336ln 10t t t t-++->． ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）(数学)第I 卷参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()È=+P A B P A P B ．如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．球的表面积公式24S R p =，其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =I ð（）A.{3,3}- B.{0,2}C.{1,1}-D.{3,2,1,1,3}---2.设a ÎR ，则“1a >”是“2a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数241xy x =+的图象大致为（）A.B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]L ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为）A.12pB.24pC.36pD.144p6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -æö===ç÷èø，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c<< B.b a c<< C.b c a<< D.c a b<<7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A.22144x y -= B.2214y x -= C.2214x y -= D.221x y -=8.已知函数()sin 3f x x p æö=+ç÷èø．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2p ；②2f p æöç÷èø是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3p个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A.① B.①③C.②③D.①②③9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ì=í-<î…若函数2()()2()g x f x kx xk =--ÎR 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A.1,)2æö-¥-+¥ç÷èøUB.1,(0,2æö-¥-ç÷èøUC.(,0)(0,-¥UD.(,0))-¥+¥U2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）(数学)第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数82ii-=+_________．11.在522x x æö+ç÷èø的展开式中，2x 的系数是_________．12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．14.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．15.如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB °Ð==，6BC =，且3,2AD BC AD AB l =×=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数l 的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =u uu u r ，则DM DN ×u u u u r u u u r的最小值为_________．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A p æö+ç÷èø的值．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ^平面,,2ABC AC BC AC BC ^==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ^；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =u u u r u u u r，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<ÎN；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+ì-ïï=íïïî为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+Î，()f x ¢为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x¢=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k -…时，求证：对任意的12,[1,)x x Î+¥，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ¢¢+->-．答案及解析第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =I ð（）A.{3,3}- B.{0,2}C.{1,1}-D.{3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U 2,1,1B =--ð，则(){}U 1,1A B =-I ð.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.2.设a ÎR ，则“1a >”是“2a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.3.函数241xy x =+的图象大致为（）A.B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]L ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 36【答案】B 【解析】【分析】根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【详解】根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+´=，则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518´=.故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.5.若棱长为）A.12pB.24pC.36pD.144p【答案】C 【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R p p p ==´=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -æö===ç÷èø，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c<< C.b c a<< D.c a b<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -æö==>=ç÷èø，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A.22144x y -= B.2214y x -= C.2214x y -= D.221x y -=【答案】D 【解析】【分析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-´=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-´=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．8.已知函数()sin 3f x x p æö=+ç÷èø．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2p ；②2f p æöç÷èø是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3p个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A.① B.①③ C.②③D.①②③【答案】B 【解析】【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为()sin(3f x x p =+，所以周期22T pp w ==，故①正确；51()sin()sin 122362f p p pp =+==¹，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3p个单位长度，得到sin()3y x p =+的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ì=í-<î…若函数2()()2()g x f x kx xk =--ÎR 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A.1,)2æö-¥-+¥ç÷èøUB.1,(0,2æö-¥-ç÷èøUC.(,0)(0,-¥UD.(,0))-¥+¥U 【答案】D 【解析】【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ì>==í<î，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0D =得280k -=，解得k =，所以k >综上，k的取值范围为(,0))-¥+¥U .故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i是虚数单位，复数82ii-=+_________．【答案】32i-【解析】【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.【详解】()()()()828151032 2225i ii iii i i----===-++-.故答案为：32i -.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.11.在522x x æö+ç÷èø的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x 的指数为2，即可求出．【详解】因为522x x æö+ç÷èø的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r rr r r T C x C x r x --+æö==××=ç÷èø，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ´=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．【答案】5【解析】【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式||AB =，即可求得r ．【详解】因为圆心()0,0到直线80x +=的距离4d ==，由||AB =可得6==5r ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】 (1).16(2).23【解析】【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236´=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-´-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23.【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.14.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．【答案】4【解析】【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解.【详解】0,0,0a b a b >>\+>Q ，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b\++=++++4==，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b =-=+，或22a b =+=.故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.15.如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB °Ð==，6BC =，且3,2AD BC AD AB l =×=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数l 的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =u uu u r ，则DM DN ×u u u u r u u u r的最小值为_________．【答案】 (1).16 (2).132【解析】【分析】可得120BAD Ð=o ，利用平面向量数量积的定义求得l 的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ££），得出DM DN ×u u u u r u u u r关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ×u u u u r u u u r的最小值.【详解】AD BC l =u u u r u u u rQ ，//AD BC \，180120BAD B \Ð=-Ð=o o ，cos120AB AD BC AB BC AB l l ×=×=×ouu u r uu u r uu u r u uu r u uu r u uu r1363922l l æö=´´´-=-=-ç÷èø，解得16l =，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，()66,0BC C =\Q ，,∵3,60AB ABC =Ð=°，∴A的坐标为3,22A æöç÷ç÷èø,∵又∵16AD BC =uu u r u u u r ,则5,22D æöç÷ç÷èø，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ££），5,22DM x æö=--ç÷èøu u u u r，3,22DN x æö=--ç÷èøu u u r，()2225321134222222DM DN x x x x x æöæöæö×=--+=-+=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøu u u u r u u u r ，所以，当2x =时，DM DN ×u u u u r u u u r 取得最小值132.故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A p æö+ç÷èø的值．【答案】（Ⅰ）4C p =；（Ⅱ）sin 13A =；（Ⅲ）sin 2426A p æö+=ç÷èø.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin 2,cos 2A A ，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（Ⅰ）在ABC V中，由5,a b c ===及余弦定理得222cos 22a b c C ab +-===，又因为(0,)C p Î，所以4C p=；（Ⅱ）在ABC V 中，由4C p =，a c ==及正弦定理，可得sin sin a C A c ´===13；（Ⅲ）由a c <知角A为锐角，由sin 13A =，可得cos A ==13，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin2cos cos2sin 444132132A A A p p p +=+=´+´=26.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ^平面,,2ABC AC BC AC BC ^==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ^；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6；（Ⅲ）3.【解析】【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC u u u r u u u r u u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量1C M u u u u r 和1B D u u u u r 的坐标，得出110C M B D ×=uu u u r u uu u r，即可证明出11C M B D ^；（Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA uu u r ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n r，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA uu u r 、CB u u u r、1CC u u u u r 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M =uu uu r ，()12,2,2B D =--uu u u r，从而112200C M B D ×=-+=uu u u r u u u u r，所以11C M B D ^；（Ⅱ）依题意，()2,0,0CA =uu u r是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB =u uu r ，()2,0,1ED =-u u u r．设(),,n x y z =r为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ì×=ïí×=ïîr u u u r r u u u r ，即2020y z x z +=ìí-=î，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-r．cos ,6C CA n A C n A n ×<>===×u u u r ru u u r u r u u r r，sin ,6CA n \<>==u u u r r ．所以，二面角1B B E D --的正弦值为6；（Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =-u u u r．由（Ⅱ）知()1,1,2n =-r 为平面1DB E的一个法向量，于是cos ,3AB n AB n AB n ×<>===-×u u u r ru u u r r u u u r r ．所以，直线AB 与平面1DB E所成角的正弦值为3.【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =u u u r u u u r，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ^，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ^，求出直线AB 的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）Q 椭圆()222210x ya b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，\3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）Q 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ^，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx +=，即3y kx =-，2231189y kx x y =-ìïí+=ïî，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+.将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =×--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k æö-ç÷++èø，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -æöç÷++èø，由3OC OF =u u u r u u u r，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ^，所以231261k k k ×=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =.所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<ÎN；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+ì-ïï=íïïî为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n nn n +--+´.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nk k c-=å和21nkk c=å的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==æö=-=-ç÷+-+èøåå，和223111211352321444444nnk k n n k k k n n c -==---==+++++ååL ①由①得22314111352321444444n k nn k n n c +=--=+++++åL ②由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=æö-ç÷--èø=+++-=---åL ，由于11211121221121156544144334444123414n n n n n n n n ++æö-ç÷--+èø--=-´--´=-´-，从而得：21565994nk nk n c =+=-´å.因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+´ååå.所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+´.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+Î，()f x ¢为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x¢=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k -…时，求证：对任意的12,[1,)x x Î+¥，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ¢¢+->-．【答案】（Ⅰ）（i ）98y x =-；（ii ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得()g x ¢的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ) (i)当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.(ii)依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++Î+¥.从而可得()2263'36g x x x x x=-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x¢-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：x ()0,11x =()1,+?()'g x -0+()g x 单调递减极小值单调递增所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x¢=+.对任意的12,[1,)x x Î+¥，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ¢¢-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x æöæö=-+++--+ç÷ç÷èøèø3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x æö=--++--ç÷èø()332213312ln x t t t k t t t æö=-+-+--ç÷èø.①令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--Î+¥.当x >1时，22121()110h x x x x ¢æö=+-=->ç÷èø，由此可得()h x 在[)1,+¥单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ³，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ³-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t ttæöæö-+-+-------ç÷+ç÷èøèø (323)36ln 1t t t t=-++-.②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++->③由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ¢¢-+-->.所以，当3k ³-时，任意的[)12,1,x x Î+¥，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ¢¢+->-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UA B =∩A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数241xy x =+的图象大致为A BC D4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A．10 B．18 C．20 D．365．若棱长为23A．12πB．24πC．36πD．144π6．设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 11．在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________．12．已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 15．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求πsin(2)4A +的值． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 19．（本小题满分15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20．（本小题满分16分）已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学参考解答一．选择题：每小题5分，满分45分．1．C2．A3．A4．B5．C6．D7．D8．B9．D二．填空题：每小题5分，满分30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．32i - 11．1012．513．16；2314．4 15．16；132三．解答题 16．满分14分．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及22,5,13a b c ===，有2222cos 2a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,22,134C a c ===，可得sin 213sin a C A c ==． （Ⅲ）解：由a c <及213sin 13A =，可得2313cos 1sin 13A A =-=，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=． 所以，πππ12252172sin(2)sin 2cos cos 2sin 4441313A A A +=+=⨯+⨯=．17．满分15分．依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ．因此有|||cos ,6|A CA C CA ⋅〈〉==n n n ，于是sin ,CA 〈〉=n ． 所以，二面角1B B E D --的正弦值为6． （Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,3||||AB AB AB ⋅==-n n n ． 所以，直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为3． 18．满分15分．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221kx k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．19．满分15分．（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由11a =，()5435a a a =-，可得1d =，从而{}n a 的通项公式为n a n =．由()15431,4b b b b ==-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()22211(1)24n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<． （Ⅲ）解：当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++；当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==． 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和22311211352144444nnk knk k k n c ==--==++++∑∑． ① 由①得22311113232144444n k nn k n n c +=--=++++∑． ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，从而得21565994nk nk n c =+=-⨯∑． 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑．所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯． 20．满分16分．（Ⅰ）（i ）解：当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-． （ii ）解：依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x -+'=．令()0g x '=，解得1x =．当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x xx x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭． ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0tt t -->．因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2336ln 31t t t t-=++-． ②由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故23336ln 10t t t t-++->． ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．。
2020年中考数学一模试卷一、选择题1．计算9×（﹣5）的结果等于（）A．45B．﹣45C．4D．﹣142．cos45°的值等于（）A．B．C．D．3．下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．据北京市通信管理局披露，截至3月30日，北京市已建设了5G基站数量超过17000个．将17000用科学记数法表示为（）A．1.7×104B．1.7×105C．1.7×106 D．0.17×1065．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．估计在（）A．2～3之间B．3～4之间C．4～5之间D．5～6之间7．计算﹣1的结果为（）A．B．x C．1D．8．直线y＝2x与直线y＝﹣3x+15的交点为（）A．（3，6）B．（4，3）C．（4，8）D．（2，3）9．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y3 10．如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（2，3），（m，0），则顶点B的坐标为（）A．（3，2+m）B．（3+m，2）C．（2，3+m）D．（2+m，3）11．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC沿直线BC折叠，得到点A的对称点A'，连接BA'，过点A作AH⊥BA'于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（）A．A'C＝A'H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A'H12．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0，且b＝a+3，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①﹣3＜a＜0；②方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根；③该抛物线经过定点（﹣1，0）和（0，3）．其中，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分13．计算：a5÷a3＝．14．计算（+1）（﹣1）的结果等于．15．九年一班共35名同学，其中女生有17人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率为．16．若一次函数y＝kx+b（b为常数）的图象过点（3，4），且与y＝x的图象平行，这个一次函数的解析式为．17．如图，已知正方形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，过点O的直线EF与直线GH分别交AD，BC，AB，CD于点E，F，G，H．若EF⊥GH，OC与FH相交于点M，当CF＝4，AG＝2时，则OM的长为．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积为；（Ⅱ）若有一个边长为6的正方形，且满足点A为该正方形的一个顶点，且点B，点C 分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）．绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图①中a的值为；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定10人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m 的运动员能否进入复赛．21．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F．（Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小；（Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小．22．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．23．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形；（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．25．已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；（Ⅱ）将抛物线C绕点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值；（Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算9×（﹣5）的结果等于（）A．45B．﹣45C．4D．﹣14【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．解：原式＝﹣9×5＝﹣45，故选：B．2．cos45°的值等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．解：cos45°＝．故选：D．3．下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；B、不是轴对称图形，本选项不合题意；C、是轴对称图形，本选项符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不合题意；故选：C．4．据北京市通信管理局披露，截至3月30日，北京市已建设了5G基站数量超过17000个．将17000用科学记数法表示为（）A．1.7×104B．1.7×105C．1.7×106 D．0.17×106【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．解：将17000用科学记数法可表示为1.7×104．故选：A．5．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．解：从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2．故选：B．6．估计在（）A．2～3之间B．3～4之间C．4～5之间D．5～6之间【分析】确定出被开方数23的范围，即可估算出原数的范围．解：∵16＜23＜25，∴4＜＜5，故选：C．7．计算﹣1的结果为（）A．B．x C．1D．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．解：原式＝＝，故选：A．8．直线y＝2x与直线y＝﹣3x+15的交点为（）A．（3，6）B．（4，3）C．（4，8）D．（2，3）【分析】联立两函数解析式解关于x、y的二元一次方程组即可得解．解：解析式联立，解得，所以，交点坐标为（3，6）．故选：A．9．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y3【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，又∵﹣6＜2＜3，∴y1＜y3＜y2．故选：C．10．如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（2，3），（m，0），则顶点B的坐标为（）A．（3，2+m）B．（3+m，2）C．（2，3+m）D．（2+m，3）【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，且BA＝OC即可得到结论．解：如图，在▱OABC中，O（0，0），C（m，0），∴OC＝BA＝m，又∵BA∥CO，∴点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，∴B（2+m，3），故选：D．11．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC沿直线BC折叠，得到点A的对称点A'，连接BA'，过点A作AH⊥BA'于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（）A．A'C＝A'H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A'H【分析】由折叠的性质可得AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，由“AAS”可证△BHE≌△AHA'，可得BE＝AA'＝2AC．解：∵将△ABC沿直线BC折叠，∴AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，∴∠ABA'＝45°，AA'＝2AC，∵AH⊥A'B，∴∠ABH＝∠BAH＝45°，∴AH＝BH，∵∠A'+∠HAA'＝90°，∠A'+∠A'BC＝90°，∴∠A'BC＝∠HAA'，又∵AH＝BH，∠BHE＝∠AHA'＝90°，∴△BHE≌△AHA'（AAS），∴BE＝AA'，∴BE＝2AC，故选：B．12．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0，且b＝a+3，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①﹣3＜a＜0；②方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根；③该抛物线经过定点（﹣1，0）和（0，3）．其中，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】①y＝ax2+bx+3，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣，分a＞0、a＜0分别求解即可；②△＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2+2a+9＝（a+1）2+8＞0，即可求解；③当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3＝0，故抛物线过定点（﹣1，0），当x＝0时，y＝3，即可求解．解：①y＝ax2+bx+3，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣，当a＞0时，x＝﹣＞0，解得：a＜﹣3，无解；当a＜0时，x＝﹣＞0，解得：a＞﹣3，故﹣3＜a＜0；故①正确，符合题意；②ax2+bx+3＝2，即ax2+bx+1＝0，△＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2+2a+9＝（a+1）2+8＞0，故方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根，正确，符合题意；③抛物线y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3，当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3＝0，故抛物线过定点（﹣1，0），当x＝0时，y＝3，故③正确，符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分13．计算：a5÷a3＝a2．【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．解：a5÷a3＝a5﹣3＝a2．故填a2．14．计算（+1）（﹣1）的结果等于2．【分析】利用平方差公式计算．解：原式＝3﹣1＝2．故答案为2．15．九年一班共35名同学，其中女生有17人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率为．【分析】根据概率的求法，求出女生的人数与总人数的比值就是其发生的概率．解：∵九年一班共35名同学，其中女生有17人，∴现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率＝，故答案为：．16．若一次函数y＝kx+b（b为常数）的图象过点（3，4），且与y＝x的图象平行，这个一次函数的解析式为y＝x+1．【分析】根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求出b值，即可得解．解：∵一次函数y＝kx+b的图象平行于y＝x，∴k＝1，∴这个一次函数的解析式为y＝x+b．把点（3，4）代入得，4＝3+b，解得b＝1，所以这个一次函数的解析式为y＝x+1，故答案为y＝x+1．17．如图，已知正方形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，过点O的直线EF与直线GH分别交AD，BC，AB，CD于点E，F，G，H．若EF⊥GH，OC与FH相交于点M，当CF＝4，AG＝2时，则OM的长为．【分析】先证明△AOG≌△BOF（ASA）、△BOF≌△COH≌DOE≌△AOG，进而证明四边形EGFH为正方形，求出两个正方形的边长，由勾股定理求得AC、GF的长，从而得出OC、OH的长度，由有两个角相等的三角形相似判定△OHM∽△OCH，由相似三角形的性质得出比例式，计算即可求得OM的长．解：∵四边形ABCD是正方形，AC，BD为对角线，∴OA＝OB，∠OAG＝∠OBF＝45°，∴AC⊥BD，又∵EF⊥GH，∴∠AOG+∠BOG＝90°，∠BOF+∠BOG＝90°，∴∠AOG＝∠BOF，在△AOG和△BOF中，，∴△AOG≌△BOF（ASA）．∴BF＝AG＝2，OG＝OF，同理可证：△BOF≌△COH，DOE≌△AOG．∴OF＝OH＝OE＝OG，又∵EF⊥GH，四边形EGFH为正方形，∵BF＝AG＝2，FC＝4，∴BC＝6，即正方形ABCD的边长为6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝6，∴OC＝3，∵AG＝2，∴BG＝6﹣2＝4，在Rt△BFG中，由勾股定理得：GF＝＝2，∴小正方形的边长为2．∵GH为小正方形的对角线，∴GH＝×2＝2，∴OH＝，在△OHM和△OCH中，∵∠OHM＝∠COH，∠OHM＝∠OCH＝45°，∴△OHM∽△OCH，∴＝，∴＝，∴OM＝．故答案为：．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积为15；（Ⅱ）若有一个边长为6的正方形，且满足点A为该正方形的一个顶点，且点B，点C 分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明）取格点O，L，连接OB 交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．【分析】（Ⅰ）利用三角形的面积公式计算即可．（Ⅱ）取格点O，L，连接OB交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．解：（Ⅰ）S△ABC＝×5×6＝15，故答案为15．（Ⅱ）如图，正方形ADEF即为所求．故答案为：取格点O，L，连接OB交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x≤﹣3；（Ⅱ）解不等式②，得x＜1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为x≤﹣3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤﹣3；（Ⅱ）解不等式②，得x＜1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：，（Ⅳ）原不等式组的解集为x≤﹣3．20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）．绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图①中a的值为25；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定10人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m 的运动员能否进入复赛．【分析】（Ⅰ）用整体1减去其它所占的百分比，即可求出a的值；（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可；（Ⅲ）根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛．解：（1）根据题意得：1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%＝25%；则a的值是25；故答案为：25；（Ⅱ）观察条形统计图，∵＝1.61，∴这组数据的平均数是1.61．∵在这组数据中，1.65出现了6次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为1.65，∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.60，有∴这组数据的中位数为1.60，（Ⅲ）能．∵共有20个人，中位数是第10、11个数的平均数，∴根据中位数可以判断出能否进入前10名；∵1.65m＞1.60m，∴能进入复赛．21．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F．（Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小；（Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小．【分析】（Ⅰ）如图①，连接AD．由切线的性质求出∠BAC＝90°，则可求出∠C的度数，求出∠DAB＝90°﹣∠ABC＝38°，则可求出∠DFB的度数；（Ⅱ）如图②，连接OD．求出∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°．得出∠BDO＝∠B＝52°，则∠ODF＝76°﹣52°＝24°，则可求出答案．解：（Ⅰ）如图①，连接AD．∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°．∵∠ABC＝52°，∴∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠DAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°．∵＝，∴∠DFB＝∠DAB＝38°．（Ⅱ）如图②，连接OD．在△BDE中，DB＝DE，∠B＝52°，∴∠BED＝∠B＝52°，∴∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°．又在△BOD中，OB＝OD，∴∠BDO＝∠B＝52°，∴∠ODF＝76°﹣52°＝24°．∵OD＝OF，∴∠F＝∠ODF＝24°．22．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．【分析】根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC＝CD，CB＝，可得答案．解：过点C作CD⊥AB垂足为D，在Rt△ACD中，tan A＝tan45°＝＝1，CD＝AD，sin A＝sin45°＝＝，AC＝CD．在Rt△BCD中，tan B＝tan37°＝≈0.75，BD＝；sin B＝sin37°＝≈0.60，CB＝．∵AD+BD＝AB＝63，∴CD+＝63，解得CD≈27，AC＝CD≈1.414×27＝38.178≈38.2，CB＝≈＝45.0，答：AC的长约为38.2m，CB的长约等于45.0m．23．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算；（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x 的值，进而得到每辆汽车的售价．解：（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：×1+8＝14，则此时，平均每周的销售利润是：（22﹣15）×14＝98（万元）；（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90，解得x1＝1，x2＝5，当x＝1时，销售数量为8+2×1＝10（辆）；当x＝5时，销售数量为8+2×5＝18（辆），为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25﹣5＝20（万元），答：每辆汽车的售价为20万元．24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形；（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）由题意得OA＝，OB＝1，求出∠BAO＝30°．得出AB＝2OB＝2，由旋转性质得，DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，求出DM＝，AM＝DM ＝，进而得出答案；（Ⅱ）延长OE交AC于F，证△BOE是等边三角形，得出OE＝OB，由旋转性质得DC ＝OB，得出OE＝DC．证出OE∥DC．即可得出结论；（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G，当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大，证△OBE是等边三角形，得出∠OEB＝60°，求出AG＝，得出CG＝+2，进而得出答案．解：（Ⅰ）∵A（，0），点B（0，1），∴OA＝，OB＝1，在△AOB中，∠AOB＝90°，tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°．∴AB＝2OB＝2，由旋转性质得，DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，如图①所示：则在Rt△DAM中，DM＝AD＝，AM＝DM＝，∴OM＝AO﹣OM＝﹣，∴D（﹣，）．（Ⅱ）延长OE交AC于F，如图②所示：在Rt△AOB中，点E为AB的中点，∠BAO＝30°，∴OE＝BE＝AE．又∠ABO＝60°，∴△BOE是等边三角形，∴OE＝OB，∴∠BOE＝60°，∴∠EOA＝30°，由旋转性质，DC＝OB，∴OE＝DC．∵α＝60°，∴∠OAD＝60°，由旋转性质知，∠DAC＝∠OAB＝30°，∠DCA＝∠OBA＝60°，∴∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝90°，∴∠OFA＝90°﹣∠EOA＝90°﹣30°＝60°，∴∠DCA＝∠OFA，∴OE∥DC．∴四边形OECD是平行四边形．（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，如图③所示：过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G，当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大，∵点E是边AB中点，∠AOB＝90°，AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝AB＝1＝OB，∴△OBE是等边三角形，∴∠OEB＝60°，∴∠AEG＝∠OEB＝60°，在Rt△AEG中，∠AGE＝90°，AE＝1，sin∠AEG＝，∴AG＝AE×sin∠AEG＝1×＝，∴CG＝AG+AC＝AG+AB＝+2，∴△OEC面积的最大值＝OE×CG＝×1×（+2）＝+1．25．已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；（Ⅱ）将抛物线C绕点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值；（Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．【分析】（Ⅰ）点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，则点B的坐标为（3，0），则y＝（x+1）（x﹣3），即可求解；（Ⅱ）点P（m，t）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3，由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3，则m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，即可求解；（III）分a+1＜1、a＜1≤a+1、a≥1三种情况，分别求解即可．解：（Ⅰ）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，∴点B的坐标为（3，0），则y＝（x+1）（x﹣3），即抛物线C的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；∴顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由抛物线C解析式知B（3，0），点A的坐标为（﹣1，0），所以点A点B关于原点的对称点为（1，0）和（﹣3，0），都在抛物线C′上，且抛物线C′开口向下，形状与由抛物线C相同，于是可得抛物线C′的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；由点P（m，t）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3，由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3，∴m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，解得：m＝；（III）①当a+1＜1时，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1﹣（正值舍去）；②当a＜1≤a+1时，即0≤a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；③当a≥1时，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+（负值舍去）；综上，a的值为1﹣或2+．。
天津市河西区2020年中考数学一模试卷一、选择题1．计算9×（﹣5）的结果等于（）A．45 B．﹣45 C．4 D．﹣142．cos45°的值等于（）A．B．C．D．3．下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．据北京市通信管理局披露，截至3月30日，北京市已建设了5G基站数量超过17000个．将17000用科学记数法表示为（）A．1.7×104B．1.7×105C．1.7×106 D．0.17×106 5．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．估计在（）A．2～3之间B．3～4之间C．4～5之间D．5～6之间7．计算﹣1的结果为（）A．B．x C．1 D．8．直线y＝2x与直线y＝﹣3x+15的交点为（）A．（3，6）B．（4，3）C．（4，8）D．（2，3）9．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y310．如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（2，3），（m，0），则顶点B的坐标为（）A．（3，2+m）B．（3+m，2）C．（2，3+m）D．（2+m，3）11．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC沿直线BC折叠，得到点A 的对称点A'，连接BA'，过点A作AH⊥BA'于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（）A．A'C＝A'H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A'H12．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0，且b＝a+3，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①﹣3＜a＜0；②方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根；③该抛物线经过定点（﹣1，0）和（0，3）．其中，正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分13．计算：a5÷a3＝．14．计算（+1）（﹣1）的结果等于．15．九年一班共35名同学，其中女生有17人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率为．16．若一次函数y＝kx+b（b为常数）的图象过点（3，4），且与y＝x的图象平行，这个一次函数的解析式为．17．如图，已知正方形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，过点O的直线EF与直线GH分别交AD，BC，AB，CD于点E，F，G，H．若EF⊥GH，OC与FH相交于点M，当CF＝4，AG＝2时，则OM的长为．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积为；（Ⅱ）若有一个边长为6的正方形，且满足点A为该正方形的一个顶点，且点B，点C 分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）．绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图①中a的值为；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定10人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m 的运动员能否进入复赛．21．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F．（Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小；（Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小．22．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．23．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形；（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．25．已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；（Ⅱ）将抛物线C绕点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值；（Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算9×（﹣5）的结果等于（）A．45 B．﹣45 C．4 D．﹣14【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．解：原式＝﹣9×5＝﹣45，故选：B．2．cos45°的值等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．解：cos45°＝．故选：D．3．下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；B、不是轴对称图形，本选项不合题意；C、是轴对称图形，本选项符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不合题意；故选：C．4．据北京市通信管理局披露，截至3月30日，北京市已建设了5G基站数量超过17000个．将17000用科学记数法表示为（）A．1.7×104B．1.7×105C．1.7×106 D．0.17×106【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．解：将17000用科学记数法可表示为1.7×104．故选：A．5．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．解：从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2．故选：B．6．估计在（）A．2～3之间B．3～4之间C．4～5之间D．5～6之间【分析】确定出被开方数23的范围，即可估算出原数的范围．解：∵16＜23＜25，∴4＜＜5，故选：C．7．计算﹣1的结果为（）A．B．x C．1 D．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．解：原式＝＝，故选：A．8．直线y＝2x与直线y＝﹣3x+15的交点为（）A．（3，6）B．（4，3）C．（4，8）D．（2，3）【分析】联立两函数解析式解关于x、y的二元一次方程组即可得解．解：解析式联立，解得，所以，交点坐标为（3，6）．故选：A．9．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y3【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，又∵﹣6＜2＜3，∴y1＜y3＜y2．故选：C．10．如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（2，3），（m，0），则顶点B的坐标为（）A．（3，2+m）B．（3+m，2）C．（2，3+m）D．（2+m，3）【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，且BA＝OC即可得到结论．解：如图，在▱OABC中，O（0，0），C（m，0），∴OC＝BA＝m，又∵BA∥CO，∴点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，∴B（2+m，3），故选：D．11．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC沿直线BC折叠，得到点A 的对称点A'，连接BA'，过点A作AH⊥BA'于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（）A．A'C＝A'H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A'H【分析】由折叠的性质可得AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，由“AAS”可证△BHE≌△AHA'，可得BE＝AA'＝2AC．解：∵将△ABC沿直线BC折叠，∴AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，∴∠ABA'＝45°，AA'＝2AC，∵AH⊥A'B，∴∠ABH＝∠BAH＝45°，∴AH＝BH，∵∠A'+∠HAA'＝90°，∠A'+∠A'BC＝90°，∴∠A'BC＝∠HAA'，又∵AH＝BH，∠BHE＝∠AHA'＝90°，∴△BHE≌△AHA'（AAS），∴BE＝AA'，∴BE＝2AC，故选：B．12．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0，且b＝a+3，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①﹣3＜a＜0；②方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根；③该抛物线经过定点（﹣1，0）和（0，3）．其中，正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①y＝ax2+bx+3，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣，分a＞0、a＜0分别求解即可；②△＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2+2a+9＝（a+1）2+8＞0，即可求解；③当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3＝0，故抛物线过定点（﹣1，0），当x＝0时，y＝3，即可求解．解：①y＝ax2+bx+3，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣，当a＞0时，x＝﹣＞0，解得：a＜﹣3，无解；当a＜0时，x＝﹣＞0，解得：a＞﹣3，故﹣3＜a＜0；故①正确，符合题意；②ax2+bx+3＝2，即ax2+bx+1＝0，△＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2+2a+9＝（a+1）2+8＞0，故方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根，正确，符合题意；③抛物线y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3，当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3＝0，故抛物线过定点（﹣1，0），当x＝0时，y＝3，故③正确，符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分13．计算：a5÷a3＝a2．【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．解：a5÷a3＝a5﹣3＝a2．故填a2．14．计算（+1）（﹣1）的结果等于 2 ．【分析】利用平方差公式计算．解：原式＝3﹣1＝2．故答案为2．15．九年一班共35名同学，其中女生有17人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率为．【分析】根据概率的求法，求出女生的人数与总人数的比值就是其发生的概率．解：∵九年一班共35名同学，其中女生有17人，∴现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率＝，故答案为：．16．若一次函数y＝kx+b（b为常数）的图象过点（3，4），且与y＝x的图象平行，这个一次函数的解析式为y＝x+1 ．【分析】根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求出b值，即可得解．解：∵一次函数y＝kx+b的图象平行于y＝x，∴k＝1，∴这个一次函数的解析式为y＝x+b．把点（3，4）代入得，4＝3+b，解得b＝1，所以这个一次函数的解析式为y＝x+1，故答案为y＝x+1．17．如图，已知正方形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，过点O的直线EF与直线GH分别交AD，BC，AB，CD于点E，F，G，H．若EF⊥GH，OC与FH相交于点M，当CF＝4，AG＝2时，则OM的长为．【分析】先证明△AOG≌△BOF（ASA）、△BOF≌△COH≌DOE≌△AOG，进而证明四边形EGFH 为正方形，求出两个正方形的边长，由勾股定理求得AC、GF的长，从而得出OC、OH的长度，由有两个角相等的三角形相似判定△OHM∽△OCH，由相似三角形的性质得出比例式，计算即可求得OM的长．解：∵四边形ABCD是正方形，AC，BD为对角线，∴OA＝OB，∠OAG＝∠OBF＝45°，∴AC⊥BD，又∵EF⊥GH，∴∠AOG+∠BOG＝90°，∠BOF+∠BOG＝90°，∴∠AOG＝∠BOF，在△AOG和△BOF中，，∴△AOG≌△BOF（ASA）．∴BF＝AG＝2，OG＝OF，同理可证：△BOF≌△COH，DOE≌△AOG．∴OF＝OH＝OE＝OG，又∵EF⊥GH，四边形EGFH为正方形，∵BF＝AG＝2，FC＝4，∴BC＝6，即正方形ABCD的边长为6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝6，∴OC＝3，∵AG＝2，∴BG＝6﹣2＝4，在Rt△BFG中，由勾股定理得：GF＝＝2，∴小正方形的边长为2．∵GH为小正方形的对角线，∴GH＝×2＝2，∴OH＝，在△OHM和△OCH中，∵∠OHM＝∠COH，∠OHM＝∠OCH＝45°，∴△OHM∽△OCH，∴＝，∴＝，∴OM＝．故答案为：．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积为15 ；（Ⅱ）若有一个边长为6的正方形，且满足点A为该正方形的一个顶点，且点B，点C 分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明）取格点O，L，连接OB 交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．【分析】（Ⅰ）利用三角形的面积公式计算即可．（Ⅱ）取格点O，L，连接OB交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．解：（Ⅰ）S△ABC＝×5×6＝15，故答案为15．（Ⅱ）如图，正方形ADEF即为所求．故答案为：取格点O，L，连接OB交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x≤﹣3 ；（Ⅱ）解不等式②，得x＜1 ；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为x≤﹣3 ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤﹣3；（Ⅱ）解不等式②，得x＜1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：，（Ⅳ）原不等式组的解集为x≤﹣3．20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）．绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图①中a的值为25 ；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定10人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m 的运动员能否进入复赛．【分析】（Ⅰ）用整体1减去其它所占的百分比，即可求出a的值；（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可；（Ⅲ）根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛．解：（1）根据题意得：1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%＝25%；则a的值是25；故答案为：25；（Ⅱ）观察条形统计图，∵＝1.61，∴这组数据的平均数是1.61．∵在这组数据中，1.65出现了6次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为1.65，∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.60，有∴这组数据的中位数为1.60，（Ⅲ）能．∵共有20个人，中位数是第10、11个数的平均数，∴根据中位数可以判断出能否进入前10名；∵1.65m＞1.60m，∴能进入复赛．21．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F．（Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小；（Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小．【分析】（Ⅰ）如图①，连接AD．由切线的性质求出∠BAC＝90°，则可求出∠C的度数，求出∠DAB＝90°﹣∠ABC＝38°，则可求出∠DFB的度数；（Ⅱ）如图②，连接OD．求出∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°．得出∠BDO＝∠B＝52°，则∠ODF＝76°﹣52°＝24°，则可求出答案．解：（Ⅰ）如图①，连接AD．∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°．∵∠ABC＝52°，∴∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠DAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°．∵＝，∴∠DFB＝∠DAB＝38°．（Ⅱ）如图②，连接OD．在△BDE中，DB＝DE，∠B＝52°，∴∠BED＝∠B＝52°，∴∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°．又在△BOD中，OB＝OD，∴∠BDO＝∠B＝52°，∴∠ODF＝76°﹣52°＝24°．∵OD＝OF，∴∠F＝∠ODF＝24°．22．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．【分析】根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC＝CD，CB＝，可得答案．解：过点C作CD⊥AB垂足为D，在Rt△ACD中，tan A＝tan45°＝＝1，CD＝AD，sin A＝sin45°＝＝，AC＝CD．在Rt△BCD中，tan B＝tan37°＝≈0.75，BD＝；sin B＝sin37°＝≈0.60，CB＝．∵AD+BD＝AB＝63，∴CD+＝63，解得CD≈27，AC＝CD≈1.414×27＝38.178≈38.2，CB＝≈＝45.0，答：AC的长约为38.2m，CB的长约等于45.0m．23．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算；（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x 的值，进而得到每辆汽车的售价．解：（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：×1+8＝14，则此时，平均每周的销售利润是：（22﹣15）×14＝98（万元）；（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90，解得x1＝1，x2＝5，当x＝1时，销售数量为8+2×1＝10（辆）；当x＝5时，销售数量为8+2×5＝18（辆），为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25﹣5＝20（万元），答：每辆汽车的售价为20万元．24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形；（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）由题意得OA＝，OB＝1，求出∠BAO＝30°．得出AB＝2OB＝2，由旋转性质得，DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，求出DM＝，AM＝DM＝，进而得出答案；（Ⅱ）延长OE交AC于F，证△BOE是等边三角形，得出OE＝OB，由旋转性质得DC＝OB，得出OE＝DC．证出OE∥DC．即可得出结论；（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G，当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大，证△OBE 是等边三角形，得出∠OEB＝60°，求出AG＝，得出CG＝+2，进而得出答案．解：（Ⅰ）∵A（，0），点B（0，1），∴OA＝，OB＝1，在△AOB中，∠AOB＝90°，tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°．∴AB＝2OB＝2，由旋转性质得，DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，如图①所示：则在Rt△DAM中，DM＝AD＝，AM＝DM＝，∴OM＝AO﹣OM＝﹣，∴D（﹣，）．（Ⅱ）延长OE交AC于F，如图②所示：在Rt△AOB中，点E为AB的中点，∠BAO＝30°，∴OE＝BE＝AE．又∠ABO＝60°，∴△BOE是等边三角形，∴OE＝OB，∴∠BOE＝60°，∴∠EOA＝30°，由旋转性质，DC＝OB，∴OE＝DC．∵α＝60°，∴∠OAD＝60°，由旋转性质知，∠DAC＝∠OAB＝30°，∠DCA＝∠OBA＝60°，∴∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝90°，∴∠OFA＝90°﹣∠EOA＝90°﹣30°＝60°，∴∠DCA＝∠OFA，∴OE∥DC．∴四边形OECD是平行四边形．（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，如图③所示：过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G，当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大，∵点E是边AB中点，∠AOB＝90°，AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝AB＝1＝OB，∴△OBE是等边三角形，∴∠OEB＝60°，∴∠AEG＝∠OEB＝60°，在Rt△AEG中，∠AGE＝90°，AE＝1，sin∠AEG＝，∴AG＝AE×sin∠AEG＝1×＝，∴CG＝AG+AC＝AG+AB＝+2，∴△OEC面积的最大值＝OE×CG＝×1×（+2）＝+1．25．已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；（Ⅱ）将抛物线C绕点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值；（Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．【分析】（Ⅰ）点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，则点B的坐标为（3，0），则y＝（x+1）（x﹣3），即可求解；（Ⅱ）点P（m，t）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3，由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3，则m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，即可求解；（III）分a+1＜1、a＜1≤a+1、a≥1三种情况，分别求解即可．解：（Ⅰ）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，∴点B的坐标为（3，0），则y＝（x+1）（x﹣3），即抛物线C的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；∴顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由抛物线C解析式知B（3，0），点A的坐标为（﹣1，0），所以点A点B关于原点的对称点为（1，0）和（﹣3，0），都在抛物线C′上，且抛物线C′开口向下，形状与由抛物线C相同，于是可得抛物线C′的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；由点P（m，t）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3，由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3，∴m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，解得：m＝；（III）①当a+1＜1时，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1﹣（正值舍去）；②当a＜1≤a+1时，即0≤a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；③当a≥1时，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+（负值舍去）；综上，a的值为1﹣或2+．。
2020年高考数学真题试卷（天津卷）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（共9题；共45分）1.设全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,0,1,2},B={−3,0,2,3}，则A∩(∁U B)=（）A. {−3,3}B. {0,2}C. {−1,1}D. {−3,−2,−1,1,3}2.设a∈R，则“ a>1”是“ a2>a”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=4x的图象大致为（）x2+1A. B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),⋯,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π6.设 a =30.7, b =(13)−0.8, c =log 0.70.8 ，则 a,b,c 的大小关系为（ ） A. a <b <c B. b <a <c C. b <c <a D. c <a <b 7.设双曲线 C 的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) ，过抛物线 y 2=4x 的焦点和点 (0,b) 的直线为l ．若C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ） A.x 24−y 24=1 B. x 2−y 24=1 C. x 24−y 2=1 D. x 2−y 2=18.已知函数 f(x)=sin(x +π3) ．给出下列结论：① f(x) 的最小正周期为 2π ；② f(π2) 是 f(x) 的最大值；③把函数 y =sinx 的图象上所有点向左平移 π3 个单位长度，可得到函数 y =f(x) 的图象．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③9.已知函数 f(x)={x 3,x ⩾0,−x,x <0.若函数 g(x)=f(x)−|kx 2−2x| (k ∈R) 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2) D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分，（共6题；共30分）10.i 是虚数单位，复数8−i 2+i= ________．11.在 (x +2x 2)5 的展开式中， x 2 的系数是________．12.已知直线 x −√3y +8=0 和圆 x 2+y 2=r 2(r >0) 相交于 A,B 两点．若 |AB|=6 ，则 r 的值为________．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 12 和 13 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．14.已知 a >0, b >0 ，且 ab =1 ，则 12a +12b +8a+b 的最小值为________．15.如图，在四边形 ABCD 中， ∠B =60°, AB =3 ， BC =6 ，且 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ , AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32 ，则实数 λ 的值为________，若 M,N 是线段 BC 上的动点，且 |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ，则 DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为________．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（共5题；共75分）16.在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ．已知 a =2√2,b =5,c =√13 ． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求 sinA 的值； （Ⅲ）求 sin(2A +π4) 的值．17.如图，在三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中， CC 1⊥ 平面 ABC,AC ⊥BC,AC =BC =2 ， CC 1=3 ，点 D, E 分别在棱 AA 1 和棱 CC 1 上，且 AD =1 CE =2, M 为棱 A 1B 1 的中点．（Ⅰ）求证： C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角 B −B 1E −D 的正弦值；（Ⅲ）求直线 AB 与平面 DB 1E 所成角的正弦值． 18.已知椭圆 x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的一个顶点为 A(0,−3) ，右焦点为F ，且 |OA|=|OF| ，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足 3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段 AB 的中点．求直线 AB 的方程．19.已知 {a n } 为等差数列， {b n } 为等比数列， a 1=b 1=1,a 5=5(a 4−a 3),b 5=4(b 4−b 3) ． （Ⅰ）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式；（Ⅱ）记 {a n } 的前 n 项和为 S n ，求证： S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗) ；（Ⅲ）对任意的正整数 n ，设 c n ={(3a n −2)b na n a n+2,n 为奇数,a n−1b n+1,n 为偶数.求数列 {c n } 的前2n 项和．20.已知函数 f(x)=x 3+klnx(k ∈R) ， f ′(x) 为 f(x) 的导函数． （Ⅰ）当 k =6 时，（i ）求曲线 y =f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程；（ii）求函数g(x)=f(x)−f′(x)+9的单调区间和极值；x（Ⅱ）当k⩾−3时，求证：对任意的x1,x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)>2f(x1)−f(x2)．x1−x2答案解析部分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交集及其运算，补集及其运算【解析】【解答】由题意结合补集的定义可知：∁U B={−2,−1,1}，则A∩(∁UB)={−1,1}.故答案为：C.【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，一元二次不等式的解法【解析】【解答】求解二次不等式a2>a可得：a>1或a<0，据此可知：a>1是a2>a的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.3.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质【解析】【解答】由函数的解析式可得：f(−x)=−4xx2+1=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，CD不符合题意；当x=1时，y=41+1=2>0，B不符合题意.故答案为：A.【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.4.【答案】B【考点】频率分布直方图，用样本的频率分布估计总体分布【解析】【解答】根据直方图，直径落在区间[5.43,5.47)之间的零件频率为：(6.25+5.00)×0.02= 0.225，则区间[5.43,5.47)内零件的个数为：80×0.225=18.故答案为：B.【分析】根据直方图确定直径落在区间[5.43,5.47)之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.5.【答案】C【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即R=√(2√3)2+(2√3)2+(2√3)22=3，所以，这个球的表面积为S=4πR2=4π×32=36π.故答案为：C.【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.6.【答案】D【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为a=30.7>1，b=(13)−0.8=30.8>30.7=a，c=log0.70.8<log0.70.7=1，所以c<1<a<b.故答案为：D.【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a,b,c的大小关系.7.【答案】D【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l的方程为x+yb=1，即直线的斜率为−b，又双曲线的渐近线的方程为y=±ba x，所以−b=−ba，−b×ba=−1，因为a>0,b>0，解得a=1,b=1．故答案为：D．【分析】由抛物线的焦点(1,0)可求得直线l的方程为x+yb=1，即得直线的斜率为-b，再根据双曲线的渐近线的方程为y=±ba x，可得−b=−ba，−b×ba=−1即可求出a,b，得到双曲线的方程．8.【答案】B【考点】三角函数的周期性及其求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的最值【解析】【解答】因为f(x)=sin(x+π3)，所以周期T=2πω=2π，故①正确；f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12≠1，故②不正确；将函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到y=sin(x+π3)的图象，故③正确.故答案为：B.【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.9.【答案】D【考点】函数的图象，根的存在性及根的个数判断，函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】注意到g(0)=0，所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|kx−2|=f(x)|x|恰有3个实根即可，令ℎ(x)=f(x)|x|，即y=|kx−2|与ℎ(x)=f(x)|x|的图象有3个不同交点.因为ℎ(x)=f(x)|x|={x2,x>01,x<0，当k=0时，此时y=2，如图1，y=2与ℎ(x)=f(x)|x|有2个不同交点，不满足题意；当k<0时，如图2，此时y=|kx−2|与ℎ(x)=f(x)|x|恒有3个不同交点，满足题意；当k>0时，如图3，当y=kx−2与y=x2相切时，联立方程得x2−kx+2=0，令Δ=0得k2−8=0，解得k=2√2（负值舍去），所以k>2√2.综上，k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞).故答案为：D.【分析】由g(0)=0，结合已知，将问题转化为y=|kx−2|与ℎ(x)=f(x)|x|有3个不同交点，分k= 0,k<0,k>0三种情况，数形结合讨论即可得到答案.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分， 10.【答案】 3-2i【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】 8−i2+i =(8−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−10i 5=3−2i .故答案为：3-2i.【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.11.【答案】 10 【考点】二项式定理【解析】【解答】因为 (x +2x 2)5 的展开式的通项公式为 T r+1=C 5r x 5−r (2x 2)r =C 5r ⋅2r ⋅x 5−3r (r =0,1,2,3,4,5) ，令 5−3r =2 ，解得 r =1 ．所以 x 2 的系数为 C 51×2=10 ．故答案为：10．【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令 x 的指数为2，即可求出． 12.【答案】 5【考点】点到直线的距离公式【解析】【解答】因为圆心 (0,0) 到直线 x −√3y +8=0 的距离 d =√1+3=4 ， 由 |AB|=2√r 2−d 2 可得 6=2√r 2−42 ，解得 r =5 ． 故答案为：5．【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式 |AB|=2√r 2−d 2 ，即可求得 r ． 13.【答案】 16；23【考点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 12,13 ， 且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为 12×13=16 ，甲、乙两球都不落入盒子的概率为 (1−12)×(1−13)=13 ， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 23 . 故答案为： 16 ； 23 .【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.14.【答案】 4 【考点】基本不等式【解析】【解答】 ∵a >0,b >0,∴a +b >0 ， ab =1 , ∴12a +12b +8a+b =ab2a +ab2b +8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2×8a+b =4 ，当且仅当 a +b =4时取等号，结合 ab =1 ,解得 a =2−√3,b =2+√3 ，或 a =2+√3,b =2−√3 时，等号成立. 故答案为：4【分析】根据已知条件，将所求的式子化为 a+b 2+8a+b，利用基本不等式即可求解.15.【答案】 16；132【考点】二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的运算【解析】【解答】 ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD //BC ， ∴∠BAD =180∘−∠B =120∘ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos120∘ =λ×6×3×(−12)=−9λ=−32 ， 解得 λ=16 ，以点B 为坐标原点， BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 xBy ，∵BC =6，∴C(6,0) ,∵ |AB|=3,∠ABC =60° ，∴ A 的坐标为 A(32,3√32) ,∵又∵ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 D(52,3√32) ，设 M(x,0) ，则 N(x +1,0) （其中 0≤x ≤5 ）， DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32) ， DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32) ， DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+(3√32)2=x 2−4x +212=(x −2)2+132 ， 所以，当 x =2 时， DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值 132.故答案为： 16 ；132.【分析】可得 ∠BAD =120∘ ，利用平面向量数量积的定义求得 λ 的值，然后以点B 为坐标原点， BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点 M(x,0) ，则点 N(x +1,0) （其中 0≤x ≤5 ），得出 DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于 x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得 DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值. 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.【答案】 解：（Ⅰ）在 △ABC 中，由 a =2√2,b =5,c =√13 及余弦定理得 cosC =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22，又因为 C ∈(0,π) ，所以 C =π4 ；（Ⅱ）在 △ABC 中，由 C =π4 ， a =2√2,c =√13 及正弦定理，可得 sinA =asinC c=2√2×√22√13=2√1313；（Ⅲ）由 a <c 知角A 为锐角，由 sinA =2√1313，可得 cosA =√1−sin 2A =3√1313，进而 sin2A =2sinAcosA =1213,cos2A =2cos 2A −1=513 ， 所以 sin(2A +π4)=sin2Acos π4+cos2Asin π4=1213×√22+513×√22=17√226.【考点】两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，正弦定理，余弦定理 【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出 sinA,cosA, 进一步求出 sin2A,cos2A ，再利用两角和的正弦公式计算即可.17.【答案】 解：依题意，以 C 为原点，分别以 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得 C(0,0,0) 、 A(2,0,0) 、 B(0,2,0) 、 C 1(0,0,3) 、 A 1(2,0,3) 、 B 1(0,2,3) 、 D(2,0,1) 、 E(0,0,2) 、 M(1,1,3) . （Ⅰ）依题意， C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0) ， B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2) ， 从而 C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2+0=0 ，所以 C 1M ⊥B 1D ； （Ⅱ）依题意， CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0) 是平面 BB 1E 的一个法向量， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1) ， ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−1) ． 设 n⃗ =(x,y,z) 为平面 DB 1E 的法向量，则 {n ⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅ED⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即 {2y +z =02x −z =0 ， 不妨设 x =1 ，可得 n ⃗ =(1,−1,2) ． cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |CA⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=2×√6=√66，∴sin <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=√1−cos 2<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=√306．所以，二面角 B −B 1E −D 的正弦值为 √306；（Ⅲ）依题意， AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0) ． 由（Ⅱ）知 n ⃗ =(1,−1,2) 为平面 DB 1E 的一个法向量，于是 cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=2√2×√6=−√33．所以，直线 AB 与平面 DB 1E 所成角的正弦值为 √33 .【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】以 C 为原点，分别以 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量 C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，得出 C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即可证明出 C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）可知平面 BB 1E 的一个法向量为 CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，计算出平面 B 1ED 的一个法向量为 n ⃗ ，利用空间向量法计算出二面角 B −B 1E −D 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线 AB 与平面 DB 1E 所成角的正弦值. 18.【答案】 解：（Ⅰ） ∵ 椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的一个顶点为 A(0,−3) ，∴ b =3 ，由 |OA|=|OF| ，得 c =b =3 ，又由 a 2=b 2+c 2 ，得 a 2=32+32=18 ， 所以，椭圆的方程为x 218+y 29=1 ；（Ⅱ） ∵ 直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以 CP ⊥AB ， 根据题意可知，直线 AB 和直线 CP 的斜率均存在，设直线 AB 的斜率为k ，则直线 AB 的方程为 y +3=kx ，即 y =kx −3 ， {y =kx −3x 218+y 29=1，消去 y ，可得 (2k 2+1)x 2−12kx =0 ，解得 x =0 或 x =12k2k 2+1 . 将 x =12k2k 2+1代入 y =kx −3 ，得 y =k ⋅12k 2k 2+1−3=6k 2−32k 2+1 ，所以，点 B 的坐标为 (12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1) ， 因为P 为线段 AB 的中点，点 A 的坐标为 (0,−3) ， 所以点P 的坐标为 (6k2k 2+1,−32k 2+1) ， 由 3OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得点 C 的坐标为 (1,0) ，所以，直线 CP 的斜率为 k CP =−32k 2+1−06k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，又因为 CP ⊥AB ，所以 k ⋅32k 2−6k+1=−1 ， 整理得 2k 2−3k +1=0 ，解得 k =12 或 k =1 . 所以，直线 AB 的方程为 y =12x −3 或 y =x −3 . 【考点】椭圆的定义，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助 a 2=b 2+c 2 ，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到 CP ⊥AB ，设出直线 AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据 CP ⊥AB ，求出直线 AB 的斜率，从而得解.19.【答案】 解：(Ⅰ)设等差数列 {a n } 的公差为d ，等比数列 {b n } 的公比为q. 由 a 1=1 ， a 5=5(a 4−a 3) ，可得d=1. 从而 {a n } 的通项公式为 a n =n . 由 b 1=1,b 5=4(b 4−b 3) ，又q≠0，可得 q 2−4q +4=0 ，解得q=2， 从而 {b n } 的通项公式为 b n =2n−1 . (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 S n =n(n+1)2 ，故 S n S n+2=14n(n +1)(n +2)(n +3) ， S n+12=14(n +1)2(n +2)2 ， 从而 S n S n+2−S n+12=−12(n +1)(n +2)<0 ， 所以 S n S n+2<S n+12 . (Ⅲ)当n 为奇数时， c n =(3a n −2)b n a n a n+2=(3n−2)2n−1n(n+2)=2n+1n+2−2n−1n，当n 为偶数时， c n =an−1b n+1=n−12n， 对任意的正整数n ，有 ∑c 2k−1n k=1=∑(22k 2k+1−22k−22k−1)nk=1=22n2n+1−1 ，和 ∑c 2kn k=1=∑2k−14k n k=1=14+342+543+⋯+2n−34n−1+2n−14n①由①得 14∑c 2k n k=1=142+343+544+⋯+2n−34n+2n−14n+1②由①②得 34∑c 2k n k=1=14+242+⋯+24n −2n−14n+1=24(1−14n )1−14−14−2n−14n+1，由于24(1−14n )1−14−14−2n−14n+1=23−23×14n −14−2n−14n×14=512−6n+53×4n+1 ，从而得： ∑c 2k n k=1=59−6n+59×4n .因此， ∑c k 2n k=1=∑c 2k−1n k=1+∑c 2k n k=1=4n2n+1−6n+59×4n −49 .所以，数列 {c n } 的前2n 项和为4n 2n+1−6n+59×4n−49.【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列 {a n } 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算 ∑c 2k−1n k=1 和 ∑c 2k nk=1 的值，据此进一步计算数列 {c n } 的前2n 项和即可.20.【答案】 解：(Ⅰ) (i) 当k=6时， f(x)=x 3+6lnx ， f ′(x)=3x 2+6x .可得 f(1)=1 ， f ′(1)=9 ，所以曲线 y =f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程为 y −1=9(x −1) ，即 y =9x −8 . (ii) 依题意， g(x)=x 3−3x 2+6lnx +3x ,x ∈(0,+∞) . 从而可得 g ′(x)=3x 2−6x +6x −3x 2 ， 整理可得： g ′(x)=3(x−1)3(x+1)x 2，令 g ′(x)=0 ，解得 x =1 .当x 变化时， g ′(x),g(x) 的变化情况如下表：所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由 f(x)=x 3+klnx ，得 f ′(x)=3x 2+kx .对任意的 x 1, x 2∈[1,+∞) ，且 x 1>x 2 ，令 x1x 2=t (t >1) ，则(x 1−x 2)(f ′(x 1)+f ′(x 2))−2(f(x 1)−f(x 2))=(x 1−x 2)(3x 12+k x 1+3x 22+k x 2)−2(x 13−x 23+kln x1x 2)=x 13−x 23−3x 12x 2+3x 1x 22+k(x 1x 2−x 2x 1)−2kln x1x2=x 23(t 3−3t 2+3t −1)+k(t −1t−2lnt) . ①令 ℎ(x)=x −1x −2lnx, x ∈[1,+∞) .当x>1时， ℎ′(x)=1+1x 2−2x =(1−1x)2>0 ，由此可得 ℎ(x) 在 [1,+∞) 单调递增，所以当t>1时， ℎ(t)>ℎ(1) ，即 t −1t −2lnt >0 . 因为 x 2≥1 ， t 3−3t 2+3t −1=(t −1)3>0 ， k ≥−3 ，所以x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t −2lnt)⩾(t3−3t2+3t−1)−3(t−1t−2lnt)=t3−3t2+6lnt+3t−1. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当t>1时，g(t)>g(1)，即t3−3t2+6lnt+3t>1，故t3−3t2+6lnt+3t−1>0③由①②③可得(x1−x2)(f′(x1)+f′(x2))−2(f(x1)−f(x2))>0.所以，当k≥−3时，任意的x1,x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得g′(x)的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令x1x2=t，将原问题转化为与t有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.。
2020年天津卷数学高考试题(含答案)2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
在答卷前，考生需填写姓名、考生号、考场号和座位号，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生需将答案涂写在答题卡上，不得在试卷上作答。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B)。
如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)。
球的表面积公式S=4πR，其中R表示球的半径。
1.设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3}，集合A={-1,0,1,2}，B={-3,0,2,3}，则A∩B={0,2}。
2.设a∈R，则“a>1”是“a>a的充分不必要条件”。
3.函数y=4x/(2x+1)的图象大致为下图中的CD线段。
4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),[5.35,5.37),[5.37,5.39),[5.39,5.41),[5.41,5.4 3),[5.43,5.45),[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为20个。
5.若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为36π。
6.设a=3，b=0.7^(1/3)，c=log0.7(0.8)，则a>b>c。
7.已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在x=2处有极值，则a<0.8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a3=7，则S10=55.9.已知函数f(x)=x^2-2x+3，g(x)=2x-1，则f(g(x))=4x^2-8x+5.1.双曲线C的方程为x^2/4-y^2/b^2=1，其中b>0.2.正确结论为D．①②③。
2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：{}U 211B=--，，，则(){}U11A B =-，.故选：C .【考点】补集运算，交集运算 2.【答案】A【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.求解二次不等式2a a ＞可得：1a ＞或0a ＜，据此可知：1a ＞是2a a ＞的充分不必要条件.故选：A . 【考点】二次不等式的解法，充分性和必要性的判定 3.【答案】A【解析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==+＞，选项B 错误.故选：A . 【考点】函数图象的识辨 4.【答案】B【解析】根据直方图确定直径落在区间[)5.435.47，之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.根据直方图，直径落在区间[)5.435.47，之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+⨯=，则区间[)5.435.47，内零件的个数为：800.22518⨯=.故选：B . 【考点】频率分布直方图的计算与实际应用 5.【答案】C【解析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C . 【考点】正方体的外接球的表面积的求法6.【答案】D【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a ，b ，c 的大小关系.因为0.731a =＞，0.80.80.71333b a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭＞，0.70.7log 0.8log 0.71c ==＜，所以1c a b ＜＜＜.故选：D .【考点】抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，直线与直线的位置关系的应用 8.【答案】B【解析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.因为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以周期22T ππω==，故①正确；51sin sin 122362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故③正确.故选：B .【考点】正弦型函数的性质及图象的平移 9.【答案】D【解析】由()00g =，结合已知，将问题转化为2y kx =-与()()f x h x x=有3个不同交点，分0k =，0k ＜，0k ＞三种情况，数形结合讨论即可得到答案.注意到()00g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()2f x kx x-=恰有3个实根即可，令()()f x h x x=，即2y kx =-与()()f x h x x=的图象有3个不同交点.因为()()2010f x x x h x xx ⎧⎪⎨⎪⎩==，＞，＜，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0＜时，如图2，此时2y kx =-与()()f x h x x=恒有3个不同交点，满足题意；当0k ＞时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得)(22+∞，【考点】函数与方程的应用第Ⅱ卷二、填空题 10.【答案】32i -【解析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.()()()()8i 2i 8i 1510i32i 2i 2i 2i 5----===-++-.故答案为：32i -. 【考点】复数的四则运算 11.【答案】10【解析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x 的指数为2，即可求出.因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()553155222012345rr r rr r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，，，，，，令532r -=，解得1r =.所以2x 的系数为15210C ⨯=.故答案为：10.【考点】圆的弦长，圆的标准方程，点到直线的距离公式【解析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.甲、乙两球落入盒子的概率分别为12，13，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为11111233⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23. 【考点】独立事件同时发生的概率，利用对立事件求概率 14.【答案】4.0a ＞，b 4b=，当且仅当【考点】应用基本不等式求最值【解析】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点()0M x ，，则点()10N x +，（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值.AD BC λ=，AD BC ∴∥，180120BAD B ∴∠=-∠=，13cos12063922AB AD BC AB BC AB λλλλ⎛⎫⋅=⋅=⋅=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，6BC =，()60C ∴，，3AB =，60ABC ∠=，A ∴的坐标为32A ⎛⎝⎭，，又16AD BC =,则52D ⎛ ⎝⎭，，设()0M x ，，则()10N x +，（其中05x ≤≤），52DM x ⎛=- ⎝⎭，32DN x ⎛=- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132.故答案为：16；132. 【考点】平面向量数量积的计算，平面向量数量积的定义与坐标运算4Cπ【解析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可.在ABC △中，由a =，5b =，c =及余弦定理222cos 22a b c C ab +-===，又因为()0C π∈，，所以4Cπ.（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案.在ABC △中，由4Cπ，a =c sin sin a C A c===（Ⅲ）先计算出sin A ，cos A ，进一步求出sin2A ，cos2A ，再利用两角和的正弦公式计算即可.由a c ＜知角A 为锐角，由sin A =，可得cos A =，进而12sin 22sincos 13A A A ==，25cos22cos 113A A =-=，所以125sin 2sin 2cos cos2sin 4441313A A A πππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.【考点】正、余弦定理解三角形，三角恒等变换在解三角形中的应用17.【答案】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()000C ，，、()200A ，，、()020B ，，、()1003C ，，、()1203A ，，、()1023B ，，、()201D ，，、()002E ，，、()113M ，，.（Ⅰ）证明：依题意，()1110C M =，，，()1222B D =--，，，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥.【解析】（Ⅰ）计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅=，即可证明出11C M B D ⊥.依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()000C ，，、()200A ，，、()020B ，，、()1003C ，，、()1203A ，，、()1023B ，，、()201D ，，、()002E ，，、()113M ，，.依题意，()1110C M =，，，()1222B D =--，，，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥. （Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果.依题意，()200CA =，，是平面1BB E 的一个法向量，()1021EB =，，，()201ED =-，，.设()n x y z =，，为平面1DB E 的法向量，则10n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，可得()112n =-，，.cos CA ＜，26C CA n A n n ⋅⋅===⨯，230sin 1cos CA n CA n ∴=-=，，.所以，二面角1B B E D --的正弦值为6. （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.依题意，()220AB =-，，.由（Ⅱ）知()112n =-，，为平面1DB E 的一个法向量，于是cos 22AB n AB n AB n⋅===⋅，.所以，直线AB 与平面1DB E .【解析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程.椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的一个顶点为()03A -，，3b ∴=，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=.（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解. 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥， 根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221kx k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为22212632121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()03-，， 所以点P 的坐标为22632121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，，由3OC OF =，得点C 的坐标为()10，， 所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 【考点】椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系，中点坐标公式以及直线垂直关系的应用19.【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得()12n n n S +=，故()()()211234n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而()()22111202n n n S S S n n ++-=-++＜，所以221n n n S S S ++＜. （Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯【解析】（Ⅰ）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果.设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得1d =从而{}n a 的通项公式为n a n =.由11b =，()5434b b b =-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可.证明：由（Ⅱ）可得()12n n n S +=，故()()()211234n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而()()22111202n n n S S S n n ++-=-++＜，所以221n n n S S S ++＜. （Ⅲ）分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nk k c-=∑和21nkk c=∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.当n 为奇数时，()()()1112323222222n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++， 当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121nnk k nk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444nnkk n n k k k n n c-==---==+++++∑∑① 由①得22314111352321444444nknn k n n c+=--=+++++∑② 由①②得22111211312221121441444444414nn k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，由于11211121221121156544143344124443414nn n n n n n n ++⎛⎫-⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994nk n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nnnk k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯.【考点】数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等 20.【答案】（Ⅰ）（i ）98y x =-（ii ）()g x 的极小值为()11g =，无极大值（Ⅱ）证明：由()3ln f x x k x =+，得()23k f x x x'=+. 对任意的1x ，[)21x ∈+∞，，且12x x ＞，令()121x t t x =＞，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭.①令()12ln h x x x x=--，[)1x ∈+∞，. 当1x ＞时，()22121110h x x x x ⎛⎫'=+-=- ⎪⎝⎭＞， 由此可得()h x 在[)1+∞，单调递增，所以当1t ＞时，()()1h t h ＞，即12ln 0t t t--＞. 因为21x ≥，()33233110t t t t -+-=-＞，3k -≥， 所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭≥ 32336ln 1t t t t=-++-.② 由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t ＞时，()()1g t g ＞，即32336ln 1t t t t-++＞， 故32336ln 10t t t t-++-＞③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+--＞. 所以，当3k -≥时，任意的1x ，[)21x ∈+∞，，且12x x ＞，有 ()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+--＞.【解析】（Ⅰ）（i ）首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可.（i ）当6k =时，()36ln f x x x =+，()263f x x x '=+.可得()11f =，()19f '=，所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.（ii ）首先求得()g x '的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可.依题意，()32336ln g x x x x x=-++，()0x ∈+∞，.从而可得()226336g x x x x x '=-+-，整理可得：()()()32311x x g x x -+'=，令()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为()01，，单调递增区间为()1+∞，；()g x 的极小值为()11g =，无极大值. （Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.证明：由()3ln f x x k x =+，得()23k f x x x'=+. 对任意的1x ，[)21x ∈+∞，，且12x x ＞，令()121x t t x =＞，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭.① 令()12ln h x x x x=--，[)1x ∈+∞，. 当1x ＞时，()22121110h x x x x ⎛⎫'=+-=- ⎪⎝⎭＞， 由此可得()h x 在[)1+∞，单调递增，所以当1t ＞时，()()1h t h ＞，即12ln 0t t t--＞. 因为21x ≥，()33233110t t t t -+-=-＞，3k -≥， 所以()()332323221133312ln 33132ln 36ln 1x t t t k t t t t t t t t t t t t t +⎛⎫⎛⎫-+-+-------=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥.② 由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t ＞时，()()1g t g ＞，即32336ln 1t t t t-++＞， 故32336ln 10t t t t-++-＞③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+--＞. 所以，当3k -≥时，任意的1x ，[)21x ∈+∞，，且12x x ＞，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+--＞.【考点】研究函数的单调性，极值（最值）最有效的工具。
