非线性规划约束极值问题求解方法与应用

kuhntucker定理Kuhn-Tucker定理是最优化理论中的一个重要定理，用于描述在约束条件下的极值问题。

该定理给出了一组必要条件，使得一个非线性规划问题的解可以被判定为最优解。

以下是Kuhn-Tucker定理的主要内容：设给定一个非线性规划问题，目标函数为f(x)，约束条件为g_i(x) ≤0，h_i(x) = 0，其中x 是决策变量，g_i(x) 和h_i(x) 是约束函数。

Kuhn-Tucker定理的主要结论是：如果x* 是一个可行解，并且满足一定条件（Kuhn-Tucker条件），那么x* 就是一个最优解。

Kuhn-Tucker条件包括以下几个方面：1. 约束条件的可行性：所有的约束条件必须满足，即g_i(x*) ≤0 和h_i(x*) = 0。

2. 梯度条件：目标函数的梯度和约束条件的梯度的线性组合必须为零，即存在拉格朗日乘子λ_i 和μ_i，使得满足以下条件：∇f(x*) + ∑[λ_i∇g_i(x*)] + ∑[μ_i∇h_i(x*)] = 03. 非负性条件：拉格朗日乘子λ_i 和μ_i 必须非负，即λ_i ≥0 和μ_i ≥0。

4. 互补松弛条件：拉格朗日乘子与约束条件的乘积为零，即λ_i * g_i(x*) = 0 和μ_i * h_i(x*) = 0。

这意味着当某个约束条件不活跃（对应的λ_i 为零）时，该约束条件的梯度应为零；当某个等式约束条件不是活跃约束（对应的μ_i 为零）时，该等式约束条件的梯度应为零。

通过满足上述Kuhn-Tucker条件，可以验证一个解是否为非线性规划问题的最优解。

需要注意的是，Kuhn-Tucker定理是一个必要条件定理，即如果一个解不满足Kuhn-Tucker条件，则它不一定是最优解。

因此，在应用Kuhn-Tucker定理时，还需要进一步考虑其他可能的情况和条件，以确保找到真正的最优解。

非线性规划问题的求解及其应用非线性规划，可以说是一种非常复杂的数学问题。

在实际应用中，许多系统的优化问题，都可以被转化为非线性规划问题。

但是，由于这种问题的复杂性，非线性规划的求解一直是数学界的一个研究热点。

一、非线性规划的基本概念1. 可行域在非线性规划中，可行域指的是满足所有约束条件的点集。

在二维平面上，可行域能够很容易地表示出来，但在多维空间中，可行域的表示就变得非常困难。

2. 目标函数目标函数是一个数学公式，它用来评估在可行域中各个点的“好坏程度”。

一个非线性规划问题的求解，其实就是在可行域内寻找一个能够最大化目标函数值的点。

3. 约束条件约束条件是指规划问题中需要满足的条件。

这些条件包括函数值的范围限制、变量之间相互制约等。

通常来说，非线性规划的约束条件相对于线性规划而言更加复杂。

二、非线性规划的求解方法在非线性规划问题的求解中，有很多种方法可供选择。

下面，我们来介绍其中一些常用的方法。

1. 半定规划半定规划（Semi-definite Programming, SDP）是非线性规划的一个子集，它具有线性规划的一些特性，但可以解决一些非线性问题。

与线性规划不同的是，半定规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。

2. 内点法内点法是一种非常流行的求解非线性规划问题的方法。

它是一种基于迭代的算法，可以在多项式时间内求解最优解。

内点法的一个优点是，它能够解决带有大量约束条件的规划问题。

3. 外点法外点法是另一种常用的求解非线性规划问题的方法。

外点法首先将非线性规划问题转化为一组等式和不等式约束条件的问题。

然后，采用一种迭代的方法，不断地拟合目标函数，以求得最优解。

4. 全局优化法全局优化法是非线性规划问题中最难的问题之一。

全局优化法的目标是寻找一个区域内的全局最优解，这个解要在这个区域中所有可能的解中处于最佳位置。

由于非线性规划问题的复杂性，全局优化法通常需要使用一些高级算法来求解。

三、非线性规划的应用非线性规划被广泛地应用于各种领域，下面我们来介绍其中一些应用。

第三讲非线性规划§4约束极值问题(1)问题min(),{|()0,1,}jf XR X g X j l⎧⎨=≥=⎩<1>思路:有约束→无约束; 非线性→线性; 复杂→简;一、最优性条件1. 可行下降方向(有用约束,可行方向,下降方向) (1) 有用(效)约束设<1>式的(),()jf Xg X有一阶连续偏导设(0)X是一个可行解, 下一步考察时，要讨论约束.分析: 应有(0)(0)(0)()0()0()0j j j g X g X g X ⎧>⎪≥→⎨=⎪⎩ 若(0)()0j g X>,则在(0)()U X 内, 有()0j g X >, 此时各个方向均可选. 若(0)()0j g X =,则(0)X∈()0j g X =形成的边界, 影响下一步选向.1x 2x {()0}R X g X =≥()f X ()0j g X =(0)X故称()0j g X =是(0)X 点的有效约束.(2) 可行方向(对可行域来说)设(0)X为可行点, P 为某方向,若存在00λ>, 使得(0)0,[0,]X P R λλλ+∈∈ 则称P 是(0)X点的一个可行方向.(a) 可行方向P 与有效约束(0)()0j g X =的梯度(0)()j g X ∇关系是:(0)()0T j g X P ∇≥.记有效约束下标集(0){|()0,1}j J j g X j l ==≤≤ 若P 为(0)X的可行方向, 则存在00λ>, 使得当0[0,]λλ∈,有(0)(0)()()0,j j g X P g X j J λ+≥=∈从而(0)(0)0d ()()0,d j T j g X P g X P j J λλλ=+=∇≥∈见下图.(b)反之, 若(0)()0Tj g XP ∇>, 则P 必为可行方向.(0)(0)(0)()()()()T j j j g X P g X g X P o λλλ+=+∇+ <1>对有效约束(0)()0j g X=,只要λ充分小,得(0)1()0g X =(0)2()0g X =(0)2()g X ∇(0)1()g X ∇P(0)X ∙(0)()0j g X P λ+≥, 所以P 是可行方向;<2>对无效约束(0)()0j g X >,同样只要λ充分小, 就有(0)()0j g X P λ+≥,故P 也是可行方向; 事实上, 对无效(0)()0j g X>,P ∀都是可行方向.(3) 下降方向(对目标函数来说) 设(0)XR ∈, 对某P 方向, 若在00[0,],0λλλ''∈>内, 有(0)(0)()()f X P f X λ+<则称P 是一个下降方向. 下降方向判定:若(0)()0T f X P ∇<,则P 是(0)X 的一个下降方向.因为(0)()()f X f X P λ=+(0)(0)()()()T f X f X P o λλ=+∇+,只要λ充分小, 都有(0)()()f X f X <.(4) 可行下降方向 若(0)XR ∈的某方向P 是 可行方向+下降方向,则称P 是(0)X的可行下降方向.即 存在00λ>,当0[0,]λλ∈时,有(0)()0j g X P λ+≥且(0)(0)()()f X P f X λ+<,是继续寻优方向. 讨论: (0)X非极小值点⇔存在可行下降方向P ; (0)X极小值点 ⇔ 无可行下降方向P ;(可行但不下降,或下降不可行)定理(局部极(最)小必要条件)设X *是min (),{()0}i f X X g X ∈≥局部极小点,(),(),j f X g X j J ∈(有效约束下标集)在X *处可微, (),j g X j J∉在X *处连续, 则在X *处无可行下降方向P ,即不存在P , 使**()0,,()0,T j Tg X P j J f X P ⎧∇>∈⎨∇<⎩(**) 证 否则由(**)及前面的分析, 可找出可行下降点 →X *非局部极小值点→矛盾.如图 所示问题:min (),{|()0,1,}j f X R X g X j l ⎧⎨=≥=⎩<1>2. 库恩—塔克条件(局部最小的必要条件) 是非线性规划中最重要成果之一 (1) Gordan 引理(不加证明) 设12,,...,l A A A 是l 个n 维向量, 则1x 2x ()f X *∇()f X 1()g X *∇*P ∃/,使0,1,2,...,T j A P j l <=⇔ 0j μ∃≥,不全为零, 使10lj j j A μ==∑.(不指向同侧的向量, 正组合为零)(如l =3,n =2)若同侧, 则有P (图a), 否则无P (图b),但可正组为0.3A 1A 2A PH ()a 3A 1A 2A P H()b(2) Fritz John 定理设X *是<1>极小值点, ()f X 和()j g X 有一阶连续偏导数, 则存在不全为零的01,,...,l μμμ, 使⎧⎪⎨⎪⎩01()()0()0,1,2,...,0,1,2,...,lj j j j j j f X g X g X j l j lμμμμ**=*∇-∇===≥=∑证明 因X *是问题<1>的解, 故由定理4, 不存在 可行下降方向P, 使()0()0,TTj f X P g X P j J **⎧∇<⎪⎨-∇<∈⎪⎩由Gordan 引理,存在不全为零非负数0,,j j J μμ∈使0()()0j j j Jf Xg X μμ**∈∇-∇=∑对无效约束j J ∉, 令0j μ=, 则()0j j g X μ*∇=从而有(对所有l )01()()0lj j j f X g X μμ**=∇-∇=∑且有()0,0,1,2,.j j j g X j l μμ*=≥=, 证毕.注1: 类似于条件极值的必要条件.注2 若00μ=,则有效约束的()j g X *∇正线性相关→同侧→有可行下降方向→X *非极值点. 故一般设()j g X *∇线性无关→00μ>. 以上条件称为 Fritz John 条件, *X 称为Fritz John 点.(3) 必要条件 (库恩-塔克条件)设X *是<1>极小值点, ()f X 和()j g X 有一阶连续偏导,且有效约束梯度线性无关,则1,...,l μμ**∃, 使⎧⎪⎨⎪⎩1()()0()0,1,2,...,0,1,2,...,lj j j j j j f X g X g X j l j lμμμ***=***∇-∇===≥=∑<2> 证明 由Fritz John 引理, ()j g X *∇j J ∈线性无关得00μ>, 作00/0j μμμ*=>, 即得<2>. 式<2>=库恩-塔克条件. 相应点=库恩-塔克点. 简称K-T 条件, K-T 点. 对一般非线性规划min (),()0,1,()0,1,i j f X h X i m g X j l⎧⎪==⇒⎨⎪≥=⎩ min (),()0,()0,1,()0,1,i ij f X h X h X i m g X j l⎧≥⎪⎨-≥=⎪≥=⎩<3> 它的K-T 条件如下设X *是<3>极小值点, 相应函数有一阶连续偏导,且有效约束的()i h X *∇和(),j g X j J *∇∈线性无关,则12(,,...,)Tm Γγγγ****∃=和1(,...,)T l M μμ***=,使11()()()0()0,1,2,...,0,1,2,...,mlii j j i j j j j f X h X g X g X j lj lγμμμ*****==***∇-∇-∇===≥=∑∑<4>其中12,,...,m γγγ***,1,...,l μμ**称为广义Lagrange 乘子.注1 对凸规划, K-T 条件也是充分的.设kX 为某可行解, 若kX 是极小点, 且1()0k g X =, 和2()0k g X =, 则()()k f X∇必与,1()k g X ∇和2()k g X ∇同侧, 否则有可行下降方向.由1()k g X ∇和2()k g X ∇线性无关1122()()()k k f X g X g X μμ*∇=∇+∇即1x 2x ()k f X -∇()f X 1()0k g X =2()0k g X =2()k g X ∇1()k g X ∇1122()()()0k k f X g X g X μμ*∇-∇-∇=例10 用库恩-塔克条件解非线性规划2max ()(4)16f x x x ⎧=-⎨≤≤⎩. 1()g X ∇()k X ()()k f X -∇86()1()0k g X =()2()0k g X =2()g X ∇R164解 变为 212min ()(4)()10()60f x x g x x g x x ⎧=--⎪=-≥⎨⎪=-≥⎩, 12()2(4),()1,()1f x x g x g x ∇=--∇=∇=-,引入广义拉格朗日乘子12,μμ**, 则有 所以1212122(4)0(1)0(6)0,0x x x μμμμμμ*********⎧---+=⎪-=⎪⎨-=⎪⎪≥⎩, 具体分析如下.若120,0,μμ**>>引出矛盾, 无解;若120,0μμ**>=:1x *=,点; ()9f x *=(1μ*=6) 若120,0μμ**==:4x *=,()0f x *=;若120,0μμ**=>:6x *=,()4f x *=(2μ*=4) 所以最大值点1x *=, 最大值()9f x *=. 注: 2()(4)f x x =--非凸函数, 在[1,6]上有两个局部最小值点.还有一个”驻点”164附加例题(略)用K-T 条件解非线性规划2min ()(3)05f x x x ⎧=-⎨≤≤⎩. 解 212min ()(3),()0,()50f x x g x x g x x ⎧=-⎪=≥⎨⎪=-≥⎩,(是凸规划) 12()2(3),()1,()1f x x g x g x ∇=-∇=∇=-,所以1212122(3)00(5)0,0x x x μμμμμμ*********⎧--+=⎪=⎪⎨-=⎪⎪≥⎩, 具体分析如下. 若120,0,μμ**≠≠引出矛盾, 无解;若120,0,μμ**≠=解得10,6x μ**==-,非K-T 点; 若120,0,μμ**=≠解得15,4x μ**==-,非K-T 点;若120,0,μμ**==解得3x *=,()0f x *=全局最小.习题4.1 已知非线性规划131212max ()(1)0,0f X x x x x x =⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩的极大点为(1,0), 试(1) 转化目标函数后, 写出其K-T 条件;(2) 求出K-T 点..4.2 试用K-T 条件求解问题2min ()(4)16f X x x =-≤≤.。

非线性约束优化问题的数值解法在实际问题中，我们经常会遇到一类非线性约束优化问题，即在一定约束条件下，最小化或最大化一个非线性目标函数。

这类问题的数学模型可以表示为：$$\begin{aligned}\min_{x} \quad & f(x) \\\text{s.t.} \quad & g_i(x) \leq 0, \quad i=1,2,\ldots,m \\& h_j(x) = 0, \quad j=1,2,\ldots,n\end{aligned}$$其中，$x$是决策变量，$f(x)$是目标函数，$g_i(x)$和$h_j(x)$是约束函数。

有时候，这类问题的解析解并不容易求得，因此需要借助数值方法来找到近似解。

本文将介绍几种常用的非线性约束优化问题的数值解法。

一、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是最基础的非线性约束优化问题求解方法之一。

它将原始问题转化为等价的无约束问题，并通过引入拉格朗日乘子来建立求解函数。

具体而言，我们将原始问题改写成拉格朗日函数的形式：$$L(x,\lambda,\mu) = f(x) + \sum_{i=1}^{m}\lambda_ig_i(x) +\sum_{j=1}^{n}\mu_jh_j(x)$$其中，$\lambda_i$和$\mu_j$是拉格朗日乘子。

然后，我们对拉格朗日函数求取对$x$的梯度，并令其等于零，得到一组等式约束：$$\nabla_x L(x,\lambda,\mu) = \nabla f(x) +\sum_{i=1}^{m}\lambda_i\nabla g_i(x) + \sum_{j=1}^{n}\mu_j\nablah_j(x) = 0$$再加上约束条件 $g_i(x) \leq 0$ 和 $h_j(x) = 0$，我们可以得到原始问题的一组等价条件。

二、内点法内点法是解决非线性约束优化问题的一种有效算法。

该方法通过将约束条件转化为惩罚项，将原问题转化为无约束的目标函数最小化问题。

非线性优化与约束优化问题的求解方法非线性优化问题是在目标函数和约束条件中包含非线性项的优化问题。

约束优化问题是在目标函数中加入了一些约束条件的优化问题。

解决这些问题在实际应用中具有重要意义，因此研究非线性优化和约束优化问题的求解方法具有重要的理论和实际意义。

一、非线性优化问题的求解方法非线性优化问题的求解方法有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 黄金分割法：黄金分割法是一种简单但有效的搜索方法，它通过不断缩小搜索范围来逼近最优解。

该方法适用于目标函数单峰且连续的情况。

2. 牛顿法：牛顿法利用目标函数的一阶和二阶导数信息来逼近最优解。

该方法收敛速度较快，但在计算高阶导数或者初始点选取不当时可能产生不稳定的结果。

3. 拟牛顿法：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过逼近目标函数的Hessian矩阵来加快收敛速度。

拟牛顿法可以通过不同的更新策略来选择Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法或者DFP方法。

4. 全局优化方法：全局优化方法适用于非凸优化问题，它通过遍历搜索空间来寻找全局最优解。

全局优化方法包括遗传算法、粒子群优化等。

二、约束优化问题的求解方法约束优化问题的求解方法也有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 等式约束问题的拉格朗日乘子法：等式约束问题可以通过引入拉格朗日乘子来转化为无约束优化问题。

通过求解无约束优化问题的驻点，求得原始约束优化问题的解。

2. 不等式约束问题的罚函数法：不等式约束问题可以通过引入罚函数来转化为无约束优化问题。

罚函数法通过将违反约束条件的点处添加罚项，将约束优化问题转化为无约束问题。

3. 逐次二次规划法：逐次二次规划法是一种常用的求解约束优化问题的方法。

该方法通过依次处理逐个约束来逼近最优解，每次处理都会得到一个更小的问题，直至满足所有约束条件。

4. 内点法：内点法是一种有效的求解约束优化问题的方法。

该方法通过向可行域内部逼近，在整个迭代过程中都保持在可行域内部，从而避免了外点法需要不断向可行域逼近的过程。