5-不等式约束的极值问题及其经济学应用

不等式约束条件求最值【实用版】目录一、引言二、不等式约束条件的定义与分类1.线性约束条件2.线性不等式约束条件3.凸约束条件三、求最值的方法1.梯度下降法2.拟牛顿法3.信赖域反射算法四、应用实例1.线性规划问题2.二次规划问题3.机器学习中的优化问题五、结论正文一、引言在数学优化问题中，我们常常需要求解一个函数在某个约束条件下的最大值或最小值。

这类问题被称为带约束条件的最优化问题。

为了更好地解决这类问题，我们需要了解不等式约束条件的定义和分类，并掌握求最值的方法。

二、不等式约束条件的定义与分类1.线性约束条件线性约束条件是指一个或多个线性方程组成的不等式约束条件。

例如，在线性规划问题中，约束条件通常是线性的。

2.线性不等式约束条件线性不等式约束条件是指一个或多个线性不等式组成的约束条件。

例如，在机器学习中的优化问题中，我们常常需要考虑线性不等式约束条件。

3.凸约束条件凸约束条件是指满足凸包性质的约束条件。

在凸优化问题中，约束条件通常是凸的。

三、求最值的方法1.梯度下降法梯度下降法是一种常用的求最值的方法。

它通过计算目标函数的梯度来不断更新参数，使目标函数值逐渐下降。

2.拟牛顿法拟牛顿法是一种基于牛顿法的优化算法。

它通过计算目标函数的二阶导数来更新参数，使目标函数值逐渐下降。

3.信赖域反射算法信赖域反射算法是一种基于梯度下降法的优化算法。

它通过在每个迭代步长内计算目标函数的梯度，并在信赖域内选择一个最优的步长来更新参数，使目标函数值逐渐下降。

四、应用实例1.线性规划问题线性规划问题是一种带线性约束条件的最优化问题。

它可以通过线性规划方法求解，例如单纯形法、内点法等。

2.二次规划问题二次规划问题是一种带二次约束条件的最优化问题。

它可以通过二次规划方法求解，例如梯度下降法、拟牛顿法等。

3.机器学习中的优化问题在机器学习中，我们常常需要解决带约束条件的优化问题。

例如，在支持向量机中，我们需要在满足约束条件的情况下求解最优的超平面。

等式约束条件极值存在的必要条件及其应用唐军强【期刊名称】《宜宾学院学报》【年(卷),期】2014(000)012【摘要】The conditional extreme values for multivariable functions under equality constrains was investigated by start⁃ing from the method of Lagrange multipliers. The necessary condition for the existence of conditional extreme values was obtained by theory of linear equations. Its application in the theory of optimization was discussed. The optimal solution is obtained with this necessary condition by converting inequality constrains into equality constrains.%从拉格朗日乘子法出发，考虑多元函数在等式约束条件下的极值问题。

由线性方程组理论得到多元函数在一个或多个等式约束条件下极值点存在的必要条件。

并进一步考虑该条件在优化理论中的应用，通过将不等式约束转化为等式约束，运用等约束条件下极值存在的必要条件获得最优解。

【总页数】4页(P14-17)【作者】唐军强【作者单位】焦作大学基础部，河南焦作454000【正文语种】中文【中图分类】O172【相关文献】1.三元函数双条件极值的一个必要条件 [J], 张秀梅2.乘积Banach空间中等式约束向量极值问题的最优性必要条件 [J], 李泽民3.不等式约束问题的最优性必要条件 [J], 李泽民4.多元函数条件极值的必要条件 [J], 张冬燕;王耀革;张武军5.二类不等式约束的条件极值的初等微积分解法 [J], 姚振坤;吴其苗因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

不等式约束情况下曲线的极值English Answer:Problem:Extrema of a curve under inequality constraints.Task:1. Use two languages to answer the article, first answer in English, and then answer in Chinese.2. The article should not be less than 800 words and should not expose my prompts.Introduction:In mathematical optimization, an inequality constraint is a condition that must be satisfied by a variable or set of variables. Inequality constraints are often used todefine the feasible region of a problem, which is the set of all possible values of the variables that satisfy the constraints. The extrema of a curve under inequality constraints are the points at which the curve reaches its highest or lowest value.Method:There are several methods that can be used to find the extrema of a curve under inequality constraints. One common method is the method of Lagrange multipliers. This method involves introducing a new variable, called a Lagrange multiplier, for each inequality constraint. The Lagrange multiplier is then used to convert the inequality constraints into equality constraints. The extrema of the curve can then be found by solving the system of equations that is obtained by setting the gradient of the curve equal to zero.Another method that can be used to find the extrema of a curve under inequality constraints is the method of feasible directions. This method involves finding adirection in which the curve can be moved without violating any of the inequality constraints. The extrema of the curve can then be found by moving along the feasible direction until a point is reached where the curve reaches its highest or lowest value.Applications:The extrema of a curve under inequality constraints have a wide range of applications in various fields, such as economics, engineering, and finance. For example, in economics, the extrema of a curve can be used to find the optimal production levels for a firm or the optimal consumption levels for a consumer. In engineering, the extrema of a curve can be used to design structures that are safe and efficient. In finance, the extrema of a curve can be used to find the optimal investment strategies.Conclusion:The extrema of a curve under inequality constraints are the points at which the curve reaches its highest or lowestvalue. There are several methods that can be used to find the extrema of a curve under inequality constraints. The method of Lagrange multipliers is a common method that involves introducing a new variable, called a Lagrange multiplier, for each inequality constraint. The method of feasible directions is another method that can be used to find the extrema of a curve under inequality constraints. The extrema of a curve under inequality constraints have a wide range of applications in various fields, such as economics, engineering, and finance.Chinese Answer:问题：在不等式约束下的曲线的极值。

在数学优化问题中，当我们寻找某个函数在满足一定约束条件下的极值（最大值或最小值）时，我们通常面对的是带有约束条件的优化问题。

这个问题可以通过拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）或者KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions，对于非线性优化问题中的约束条件）等方法来解决。

例如，设有函数f(x, y)要在区域D内找极值，区域D由g(x, y)=c这样的一组或几组约束条件定义，这里的c是一个常数。

拉格朗日乘数法的基本思想是构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) - λ(g(x, y) - c)，其中λ是拉格朗日乘子。

接下来需要求解L(x, y, λ)的偏导数，并令它们等于零，得到一组方程组，解这个方程组就可以找到可能的极值点。

对于KKT条件，它扩展了拉格朗日乘数法，适用于更广泛的优化问题，包括不等式约束。

在满足KKT条件的情况下，优化问题的解有可能是最优解。

具体步骤如下：
1.构造拉格朗日函数（若有不等式约束，需要构造广义拉格朗日函数）。

2.对目标函数和所有的约束函数分别求偏导数，并令它们等于零，得到必要条
件。

3.检验求得的点是否满足KKT条件，包括互补松弛条件、梯度条件以及可行
性条件（即该点必须位于可行域内）。

4.对于可能的极值点，还需进行二阶条件检验（如海森矩阵判别法）来判断是
局部极大值、局部极小值还是鞍点。

通过这些方法，我们可以在给定约束条件下寻找到函数的极值点。

不等式约束条件求最值（原创版）目录一、引言二、不等式约束条件的概念三、求最值的方法四、实际应用案例五、结论正文一、引言在数学和实际问题中，求最值问题一直是一个重要研究领域。

求最值问题通常需要解决一系列的不等式约束条件。

本文将介绍如何在不等式约束条件下求最值的方法。

二、不等式约束条件的概念不等式约束条件是指在一个数学模型中，变量之间存在的大小关系。

例如，一个线性规划问题中，不等式约束条件可以表示为：ax + by ≤ z，其中 a、b、c 为常数，x、y 为变量。

三、求最值的方法在不等式约束条件下求最值，通常可以采用以下几种方法：1.图形法：通过绘制不等式约束条件表示的区域，找到最值点。

这种方法适用于二维或三维空间中的不等式约束条件。

2.梯度法：梯度法是一种数值优化方法，通过计算目标函数的梯度来更新变量的值，直到找到最值点。

这种方法适用于任何维度的求最值问题。

3.内点法：内点法是一种基于预测 - 校正策略的原始 - 对偶路径跟踪算法。

这种方法不需要计算目标函数的梯度，适用于大规模的求最值问题。

四、实际应用案例不等式约束条件下求最值的方法在许多实际问题中都有广泛应用，例如：1.经济学中的线性规划问题：在资源有限的情况下，如何最大化利润或最小化成本。

2.工程领域的优化问题：在满足设计要求的前提下，如何降低材料的使用成本或提高生产效率。

3.机器学习和数据挖掘中的问题：在给定数据集的情况下，如何找到最优的分类器或回归器。

五、结论不等式约束条件下求最值问题是数学和实际应用领域中的一个重要问题。

通过采用图形法、梯度法、内点法等方法，可以有效地解决这类问题。

等式约束优化问题的极值条件求解等式约束优化问题 )(min x f ..t s ()0=x h k ()m k ,,2,1⋅⋅⋅= 需要导出极值存在的条件，对这一问题有两种处理方法：消元法和拉格朗日乘子法（升维法） 一、消元法（降维法）1.对于二元函数 ),(m in 21x x f ..t s ()0,21=x x h ，根据等式约束条件，将一个变量1x 表示成另一个变量2x 的函数关系()21x x ϕ=，然后将这一函数关系代入到目标函数()21,x x f 中消去1x 变成一元函数()2x F 2.对于n 维情况 ()n x x x f ,,,m in 21⋅⋅⋅ ..t s ()0,,,21=⋅⋅⋅n k x x x h ),,2,1(l k ⋅⋅⋅= 由l 个约束方程将n 个变量中的前l 个变量用其余的l n -个变量表示：()n l l x x x x ,,,2111⋅⋅⋅=++ϕ ()n l l x x x x ,,,2122⋅⋅⋅=++ϕ...()n l l l l x x x x ,,,21⋅⋅⋅=++ϕ将这些函数关系代入到目标函数中，得到()n l l x x x F ,,,21⋅⋅⋅++ 二、拉格朗日乘子法（升维法）设T n x x x x ),,,(21⋅⋅⋅=，目标函数是()x f ，约束条件()0=x h k ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=的l 个等式约束方程。

为了求出()x f 的可能极值点T n x x x x ),,,(**2*1*⋅⋅⋅=，引入拉格朗日乘子k λ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=，并构成一个新的目标函数 ()()x h x f x F lk k k ∑=+=1),(λλ把()λ,x F 作为新的无约束条件的目标函数来求解它的极值点，满足约束条件()0=x h k ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=的原目标函数()x f 的极值点。

()λ,x F 具有极值的必要条件),,2,1(0n i x F i ⋅⋅⋅==∂∂ ，),,2,1(0l k Fk⋅⋅⋅==∂∂λ可得n l +个方程，从而解得T n x x x x ),,,(21⋅⋅⋅=和k λ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=共有n l +个未知变量的值。

用不等式法解力学中的极值问题首先，我们要了解力学中极值问题是什么，然后看看如何以不等式法解决它。

力学中的极值问题是指研究物理学上的极端条件，即极大极小值。

例如在建筑中，我们可能要求寻找极大强度或极小的重量等。

在力学中，极值问题也是一类问题，就是有关于力学中物体运行轨迹的最值分析。

物体的位置、力学能量和质量都会影响运动的最值。

以不等式法解决极值问题，是学者们在力学中设计极值问题的一种重要方法。

这种方法的原理是，对一个给定的函数，从它的几个因素中挑选出一个最优值，其他因素变量可以以一组不等式的形式来定义。

通过解不等式系统，可以实现问题的解决。

比如，在弹性力学中，当在持续的应用力的情况下，物体的形状发生变化时，我们可以使用不等式法来求解，因为它可以提供一种方法，它可以将所有的变量放在一起，同时考虑应变能量和弹性能量，最终找到极值解。

然而，在实际应用中，一般情况下极值问题往往很复杂，而不等式法也不是一种非常容易解决它们的方法，因为它涉及到大量的数学运算，而且它本身也可能存在着困难，比如无解的情况，极限的情况等。

因此，为了实现极值问题的最优解，一般要求用分析法和数值法相结合，在分析法的基础上使用数值运算方法，从而找到最优解。

总而言之，不等式法是一种非常有用的方法，可以有效解决力学中极值问题，尽管在实际应用中可能存在着困难，但如果能正确应用它，我们也可以轻易地解决极值问题。

此外，在解决极值问题时，我们还可以使用其他的方法，比如微分法、泰勒展开等，来得到更准确的解决方案，并且在不同情况下选择相应的方法来解决极值问题。

另外，解决极值问题时，正确且谨慎的应用数学方法，对于解决极值问题至关重要。

数学的核心思想是将复杂的问题简化为更容易解决的问题，然后逐步分析，最终得出结果，这是解决极值问题的基本思路。

因此，以不等式法解决力学中的极值问题，是一个非常有意义的研究，它可以帮助我们更好地理解力学中的极值问题，从而有助于掌握有效的解决力学问题的方法，最终实现物理学上的极值分析。

不等式约束条件求最值1. 引言在数学中，不等式约束条件求最值是一个常见的问题。

它涉及到在一定的约束条件下，找到一个使目标函数取得最大值或最小值的变量的取值。

不等式约束条件可以是线性的，也可以是非线性的。

本文将介绍不等式约束条件求最值的基本概念和方法。

2. 线性不等式约束条件求最值2.1 单变量线性不等式约束条件求最值单变量线性不等式约束条件求最值是最简单的情况。

假设我们有一个目标函数 f(x) 和一个线性不等式约束条件 g(x)，我们的目标是找到使 f(x) 取得最大值或最小值的 x 的取值。

2.1.1 最大值的求解要求 f(x) 的最大值，我们需要找到满足 g(x) 的不等式约束条件的 x 的取值范围。

然后我们在这个范围内计算 f(x) 的值，并找到最大的那个值。

具体的求解步骤如下： 1. 找到满足 g(x) 的不等式约束条件的 x 的取值范围。

2. 在这个范围内计算 f(x) 的值。

3. 找到 f(x) 的最大值。

2.1.2 最小值的求解要求 f(x) 的最小值，我们需要找到满足 g(x) 的不等式约束条件的 x 的取值范围。

然后我们在这个范围内计算 f(x) 的值，并找到最小的那个值。

具体的求解步骤如下： 1. 找到满足 g(x) 的不等式约束条件的 x 的取值范围。

2. 在这个范围内计算 f(x) 的值。

3. 找到 f(x) 的最小值。

2.2 多变量线性不等式约束条件求最值多变量线性不等式约束条件求最值是相对复杂一些的情况。

假设我们有一个目标函数f(x1, x2, …, xn) 和一组线性不等式约束条件g1(x1, x2, …, xn), g2(x1, x2, …, xn), …, gm(x1, x2, …, xn)，我们的目标是找到使f(x1, x2, …, xn) 取得最大值或最小值的x1, x2, …, xn 的取值。

2.2.1 最大值的求解要求f(x1, x2, …, xn) 的最大值，我们需要找到满足g1(x1, x2, …, xn),g2(x1, x2, …, xn), …, gm(x1, x2, …, xn) 的不等式约束条件的x1, x2, …,xn 的取值范围。

极值问题与不等式在数学中，极值问题与不等式是两个重要的概念和主题。

极值问题与不等式的研究旨在确定一组数的最大值或最小值，并且在应用中有着广泛的应用价值。

本文将探讨极值问题与不等式的基本概念、解法以及其在实际中的应用。

一、极值问题的基本概念极值问题是数学中研究函数最大值和最小值的问题。

在一元函数的情况下，我们通常关心一个函数在给定区间上的最大值和最小值。

这些最大值和最小值称为极大值和极小值。

对于一个函数f(x)，我们称x=a是其定义域上的一个极小值点，如果在a的某个邻域内，f(x)的值都不大于f(a)。

同样地，我们称x=a是其定义域上的一个极大值点，如果在a的某个邻域内，f(x)的值都不小于f(a)。

二、极值问题的解法为了解决极值问题，我们需要使用微积分的工具和方法。

一般来说，我们通过以下步骤来找到一个函数的极值点：1. 找到函数f(x)的一阶导数f'(x)；2. 解方程f'(x)=0，找到导数为0的点，也就是函数的驻点；3. 利用二阶导数f''(x)的符号来判断驻点的性质：a. 若f''(x)>0，则x是极小值点；b. 若f''(x)<0，则x是极大值点；c. 若f''(x)=0，则二阶导数的判定方法失效，需要使用其他方法来进一步判断。

三、不等式问题的基本概念在数学中，不等式是比较两个数之间大小关系的数学表达式。

通常用符号">"、"<"、">="、"<="等来表示不等关系。

对于一元函数的不等式，我们可以通过解方程或者使用数学推导的方法来确定其解集。

而对于多元函数的不等式，则需要应用多元函数的性质来进行推导和求解。

四、不等式问题的解法解决不等式问题的方法有很多种，主要包括以下几种常见的方法：1. 代数法：通过代数运算和方程转化的方法，将不等式变形为更简单的形式，从而得到解集。

函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。

用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。

正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。

一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。

1、一元函数极值的判定及求法定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。

使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。

当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。

定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。

（1）若当时，当时，则在点取得最小值。

（2）若当时，当时，则在点取得最大值。

定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在处二阶可导，在处二阶可导，且，。

（1）若，则在取得极大值。

（2）若，则在取得极小值。

由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。

这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。

在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。

因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。

下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（1）求函数的导数；（2）令，求出在内的驻点和导数不存在的点；（3）计算函数值；（4）比较上述函数值的大小，最大者就是在区间上的最大值，最小者就是在闭区间上的最小值。

不等式约束条件解法不等式约束条件是指在某些情况下，被优化变量需要满足一定的不等式条件。

在一个经济模型中，某些变量的值必须大于等于零，或者小于等于某个固定值。

这些条件称为不等式约束条件。

在数学建模中，经常会出现这样的问题：求某种函数在给定限制条件下的最优解，通常在限制条件下加入不等式约束，以使问题更加真实和现实。

常见的不等式约束条件求解方法有多种，常用的包括线性规划、非线性规划、梯度投影法和拉格朗日乘数法等。

1. 线性规划线性规划是在一定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最优解的数学方法。

线性规划在经济学、工程学、管理学、运筹学等领域都有广泛的应用。

线性规划的约束条件通常是不等式约束，其数学表达形式为:$$\left\{\begin{aligned}&\quad Ax\le b \\&\quad x\ge 0\end{aligned}\right.$$A为系数矩阵，b为常数向量，x为变量向量，这些变量需要满足x>=0。

此处约束条件中的不等式为小于等于号。

线性规划的目标函数通常为：c为系数向量，表示要最大化的线性函数。

线性规划求解的基本思想是将问题转化为一个凸优化问题，然后采用各种求解算法进行求解。

f(x)为优化的目标函数，g(x)和h(x)分别为不等式约束和等式约束的约束函数。

非线性规划求解的基本思想是利用数值方法，对目标函数和约束函数进行求解，以获得最优解。

3. 梯度投影法梯度投影法是一种常用的处理带不等式约束的目标函数问题的方法，该方法通过将优化变量的取值范围限制在一定的合理区间内，以确保优化目标函数的最优解满足约束条件。

梯度投影法的基本思想是先对不带不等式约束的目标函数进行求导，在该点处求得函数的梯度，然后将该点的梯度向量投影到合理条件集合S上，得到一个新的点，然后再进行继续求导，并重复上述过程，最终求得目标函数的最小值。

这个过程类似于梯度下降法，在每个步骤中分别处理约束条件，以确保最后得到的解满足约束条件。

极大值极小值知识点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极值问题是数学分析中的一个重要内容，它在数学、物理、经济等领域都有着广泛的应用。

极大值和极小值是函数在一定区间内取得的最大值和最小值，它们是优化问题中的关键概念。

本文将从极值的基本概念出发，介绍如何求解极值，以及极值在实际问题中的应用。

让我们一起深入了解极值的知识，掌握求解极值的方法，从而更好地应用于实际问题中。

1.2 文章结构文章结构部分是对整篇文章的框架和内容进行概述和介绍。

在这一部分，我们将简要介绍本文的章节安排和各个部分的主要内容。

第一部分是引言部分，包括概述本文要讨论的内容、文章结构和目的。

在引言部分，我们将简要介绍极大值和极小值的概念，以及为什么学习这些知识点是重要的。

第二部分是正文部分，包括极大值的概念、求解极大值的方法和极小值的概念。

在这一部分，我们将详细讨论极大值和极小值的含义，以及如何通过不同的方法来求解极值的问题。

第三部分是结论部分，包括总结极值概念、应用实例和展望。

在结论部分，我们将对本文所讨论的内容进行总结，并展示极大值和极小值在实际问题中的应用和未来的发展方向。

通过这样的文章结构，读者可以清楚地了解到本文的主要内容和各个部分的重点，帮助他们更好地理解极值的知识点。

1.3 目的目的部分的内容:本文旨在系统地介绍极大值和极小值的概念，以及求解极值的方法，从而帮助读者更全面地理解这一数学知识点。

同时，通过应用实例的分析，读者能够更好地理解极值在实际问题中的应用，并对未来在相关领域的研究和实践提供一定的启发和参考。

最终，期望本文能够为读者提供一个清晰的极值概念框架，帮助他们更有效地应用这一知识，解决实际问题。

2.正文2.1 极大值的概念极大值是在函数曲线上某一点附近的最大函数值。

具体来说，对于函数f(x)，如果存在一个区间[a, b]，使得在该区间内，当x不等于a或b时，f(x)小于等于f(a)或f(b)，那么f(x)在该区间内的最大值就是极大值。

123第4章 非线性规划 的X ∗和λ∗。

例4.9 求解下列非线性规划问题。

2211221212min ()10460s.t.()80f X x x x x x x h X x x =−+−−+=+−=解 该问题为具有等式约束的非线性规划问题。

构造拉格朗日函数(,)()()L X f X h X λλ=+221122121210460(8)x x x x x x x x λ=−+−−+++−令 1212100L x x x λ∂=−+−=∂， 122240L x x x λ∂=−++−=∂，1280Lx x λ∂=+−=∂解得 15X ∗=，23X ∗=，3λ∗=。

对()f X 计算其海赛矩阵21()12H X −⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，且为正定矩阵。

故()f X 为严格凸函数，即原问题为凸规划。

因而有唯一的全局极小值。

所以(5,3)X ∗=为最优解，最小值()17f X ∗=。

4.3.3 不等式约束极值问题的最优性条件前面所讨论的无约束最优解问题和只具有等式约束条件的约束最优化问题均为经典最优化问题。

这些问题的研究可追溯到几个世纪以前。

下面介绍的具有不等式约束的极值问题的最优性条件则是近三十几年的研究成果。

下面考虑如下非线性规划问题的最优性条件。

()min ,()0,s.t.1,2,,if Xg X i m⎧⎨=⎩ ≤ （4.3.4）其中(),()i f X g X 具有一阶连续偏导数，()i g X 为凸函数，1,2,,i m = 。

记{}()0,1,2,,i D X g X i m == ≤，则称D 为式（4.3.4）表示的非线性规划问题的可行域，X D ∀∈称为其可行解。

1．可行下降方向定义4.3.1 设()0X D ∈是一个可行点，对某一方向P 而言，若存在实数0>0λ，使对于任意的0[0,]λλ∈，均有()0X P D λ+∈则称方向P 是点()0X 处的一个可行方向。

当得知可行点()0X 不是极小点时，则需要()0X 点搜寻可使目标函数减小的点，这样的点应该在能使目标函数减小的可行方向上，这个方向称为可行下降方向。