河南省郑州市高考数学一模试卷(理科)

2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的 1．（5分）若复数12()2aia R i+∈-的实部和虚部相等，则实数a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．16 D ．16-2．（5分）已知集合{|34}M x x =-<„，2{|280}N x x x =--„，则( ) A ．M N R =U B ．{|34}M N x x =-<U „ C ．{|24}M N x x =-I 剟D ．{|24}M N x x =-<I „3．（5分）已知矩形ABCD 中，24BC AB ==，现向矩形ABCD 内随机投掷质点M ，则满足0MB MC u u u r u u u u rg …的概率是( ) A ．4π B ．44π- C ．2π D ．24π-4．（5分）下列函数既是奇函数，又在[1-，1]上单调递增的是( ) A ．()|sin |f x x = B ．()e xf x lne x-=+ C ．1()()2x x f x e e -=-D ．2()(1)f x ln x x =+-5．（5分）在ABC ∆中，三边长分别为a ，2a +，4a +，最小角的余弦值为1314，则这个三角形的面积为( )A ．1534B ．154 C ．2134 D ．3534 6．（5分）如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u r u u u r ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数t 的值为( )A ．23B ．25C ．16D ．347．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为13y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆22:(6)1E x y ++=上一点，则2||||MN MF +的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．118．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωθω=+>，)22ππθ-剟的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π，若将函数()f x 的图象向左平移6π后得到偶函数()g x 的图象，则函数()f x 的一个单调递减区间为( ) A ．[,]36ππ-B ．7[,]412ππC ．[0，]3πD ．5[,]26ππ9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．2(32162165)π+B ．162(162165)π+C ．2(32322325)π+D ．162(163225)π+10．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -中的底面为等腰直角三角形，AB AC ⊥，点M ，N 分别是边1AB ，1A C 上动点，若直线//MN 平面11BCC B ，点Q 为线段MN 的中点，则Q 点的轨迹为( )A ．双曲线的一支（一部分）B ．圆弧（一部分）C ．线段（去掉一个端点）D ．抛物线的一部分11．（5分）抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB∠=︒，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则|| || AB CD u uu ru u u r的最小值为()A．3B．1C．23D．212．（5分）已知函数23236,0()34,0x x xf xx x x⎧-+=⎨--+<⎩…，设{|(())0A x Z x f x a=∈-…，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为()A．31B．32C．33D．34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的13．（5分）已知21()nxx+的展开式的各项系数和为64，则展开式中3x的系数为14．（5分）已知变量x，y满足240260x yxx y-+⎧⎪⎨⎪+-⎩„…„，则13yzx+=-的取值范围是15．（5分）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春g长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐g六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春g长沙》与《清平乐g六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有种．（用数字作答）．16．（5分）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点(,)P x y的轨迹方程是()y f x=，则对函数()y f x=有下列判断：①函数()y f x=是偶函数；②对任意的x R∈，都有(2)(2)f x f x+=-③函数()y f x=在区间[2，3]上单调递减；④函数()y f x=的值域是[0，1]；⑤21()2f x dxπ+=⎰．其中判断正确的序号是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分17．（12分）已知数列{}n a 为等比数列，首项14a =，数列{}n b 满足2log n n b a =，且12312b b b ++=．()I 求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）令14nn n n c a b b +=+g ，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（12分） 已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为15，点F 在PC 上移动．（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ． （Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值．19．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布 2.5PM 数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数()AQI ，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量．（Ⅰ）若某日播报的AQI 为118，已知轻度污染区AQI 的平均值为74，中度污染区AQ 的平均值为114，求重度污染区AQI 的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI 的分布，11月份仅有一天AQI 在[170，180)内．组数 分组 天数 第一组 [50，80) 3 第二组 [80，110) 4 第三组[110，140)4①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI 为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI 不小于180的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．20．（12分）设M 点为圆22:4C x y +=上的动点，点M 在x 轴上的投影为N ．动点P 满足2PN =u u u r u u u r，动点P 的轨迹为E ．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设E 的左顶点为D ，若直线:l y kx m =+与曲线E 交于两点A ，(B A ，B 不是左右顶点），且满足||||DA DB DA DB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标． 21．（12分）已知函数2()8()f x x x alnx a R =-+∈．()I 当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点；（Ⅱ）当函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，且11x ≠时，总有21111(43)1alnx t x x x >+--成立，求t 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线221:(3)9C x y +-=，A 是曲线1C 上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线2C ． （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线5(0)6πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于P ，Q 两点，定点(4,0)M -，求MPQ ∆的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|32||22|()f x x a x a R =-+-∈． （Ⅰ）当12a =时，解不等式()6f x >； （Ⅱ）若对任意0x R ∈，不等式000()34|22|f x x x +>+-都成立，求a 的取值范围．2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的 【解答】解：Q 复数12(12)(2)22142(2)(2)55ai ai i a ai i i i +++-+==+--+的实部和虚部相等， ∴221455a a-+=，解得16a =． 故选：C ．【解答】解：Q 集合{|34}M x x =-<„，2{|280}{|24}N x x x x x =--=-剟?， {|34}M N x x ∴=-U 剟， {|24}M N x x =-<I „．故选：D ．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则(0,0)B ，(4,0)C ，(0,2)A ，(4,2)D设(,)M x y ，则(,)MB x y =--u u u r ，(4,)MC x y =--u u u u r，由0MB MC u u u r u u u u rg …得：22(2)4x y -+…， 由几何概型可得：24184S p S ππ-==-=阴矩， 故选：B ．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()|sin |f x x =，为偶函数，不符合题意； 对于B ，()e x f x ln e x -=+，其定义域为(,)e e -，有()()e x e xf x ln ln f x e x e x+--==-=--+，为奇函数， 设21e x et e x x e-==-+++，在(,)e e -上为减函数，而y lnt =为增函数， 则()e xf x lne x-=+在(,)e e -上为减函数，不符合题意； 对于C ，1()()2x x f x e e -=-，有11()()()()22x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-，为奇函数，且1()()02x x f x e e -'=+>，在R 上为增函数，符合题意；对于D，())f x ln x =，其定义域为R ，()))()f x ln x ln x f x -==-=-，为奇函数，设t x ==，y lnt =，t 在R 上为减函数，而y lnt =为增函数，则())f x ln x =在R 上为减函数，不符合题意； 故选：C ．【解答】解：设最小角为α，故α对应的边长为a ，则22222(4)(2)122013cos 2(4)(2)2121614a a a a a a a a a α+++-++===++++，解得3a =．Q 最小角α的余弦值为1314，∴sin α==∴11(4)(2)sin 3522ABC S a a α∆=⨯++=⨯=． 故选：A ．【解答】解：由题意及图，()(1)AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴2(1)5AP mAC m AB =+-u u u r u u u r u u u r ，又13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得56m =，16t =，故选：C ．【解答】解：由题意可得26a =，即3a =，渐近线方程为13y x =±，即有13b a =，即1b =，可得双曲线方程为2219x y -=，焦点为1(10F -，0)，2F ，(10，0)，由双曲线的定义可得211||2||6||MF a MF MF =+=+， 由圆22:(6)1E x y ++=可得(0,6)E -，半径1r =， 21||||6||||MN MF MN MF +=++，连接1EF ，交双曲线于M ，圆于N ，可得1||||MN MF +取得最小值，且为1||6104EF =+=， 则则2||||MN MF +的最小值为6419+-=． 故选：B ．【解答】解：函数()sin()(0f x x ωθω=+>，)22ππθ-剟的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π， 则：T π=， 所以：2ω=将函数()f x 的图象向左平移6π后， 得到()sin(2)3g x x πθ=++是偶函数，故：()32k k Z ππθπ+=+∈，解得：()6k k Z πθπ=+∈，由于：22ππθ剟，所以：当0k =时6πθ=．则()sin(2)6f x x π=+，令：3222()262k x k k Z πππππ+++∈剟， 解得：2()63k x k k Z ππππ++∈剟， 当0k =时，单调递减区间为：2[,]63ππ，由于72[,][,]41263ππππ⊂，故选：B ．【解答】解：根据几何体的三视图得到：该几何体是由：上面是一个长方体，下面是由两个倒扣的圆锥构成，故：上面的正方体的表面积为：18S =， 设中间的圆锥展开面的圆心角为n ，16π=， 解得：n =，所以圆锥的展开面的面积为S ==，所以：中间的圆锥的表面积为2168S π=+-， 同理得：下面的圆锥的表面积为316S π=+，所以总面积为：123(32S S S S π=++=+， 故选：A ． 【解答】解：如图当N 与C 重合，M 与1B 重合时，MN ⊂平面11BCC B ， MN 的中点为O ；当N 与1A 重合，M 与A 重合时，//MN 平面11BCC B ， MN 的中点为H ；一般情况，如平面//PQRK 平面11BCC B ，可得点M ，N ， 取MN 的中点D ，作DE KR ⊥于E ， NF KR ⊥于F ，易知，E 为KR 中点，且D 在OH 上， 故选：C ．【解答】解：设||AF a =，||BF b =， 由抛物线定义，得||||AF AQ =，||||BF BP = 在梯形ABPQ 中，2||||||CD AQ BP a b ∴=+=+． 由余弦定理得，22222||2cos60AB a b ab a b ab =+-︒=+- 配方得，22||()3AB a b ab =+-， 又(ab Q „)2a b + 2， 222231()3()()()44a b ab a b a b a b ∴+-+-+=+…得到1||()||2AB a b CD +=…．∴||1||AB CD u u u r u u u r …，即||||AB CD u u u r u u u r 的最小值为1． 故选：B ．【解答】解：0x A =∈Q ，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可． 画出()f x 的图象如下图：当0x >时，()f x a …；当0x <时，()a f x …． 即y 轴左侧的图象在y a =下面，y 轴右侧的图象在y a =上面， f Q （3）39189=-⨯+=-，f （4）3162424=-⨯+=-，32(3)(3)3(3)44f -=---⨯-+=，32(4)(4)3(4)420f -=---⨯-+=， 平移y a =，由图可知：当249a -<-„时，{1A =，2，3}，符合题意； 0a =时，{1A =-，1，2}，符合题意；23a 剟时，{1A =，1-，2}-，符合题意； 420a <„时，{1A =-，2-，3}-，符合题意；∴整数a 的值为23-，22-，21-，20-，19-，18-，17-，16-，15-，14-，13-，12-，11-，10-，9-，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个． 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的 【解答】解：令1x =，可得21()n x x +的展开式的各项系数和为264n =，6n ∴=，故22611()()n x x x x+=+的展开式的通项公式为3616r r r T C x -+=g ，令363r -=，可得3r =，故展开式中3x 的系数为3620C =， 故答案为：20．【解答】解：由变量x ，y 满足240260x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩„…„作出可行域如图：(2,3)A ，24060x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得8(3B ，10)3， 13y z x +=-的几何意义为可行域内动点与定点(3,1)D -连线的斜率． 31423DA k +==--Q ，101313833DBk +==--． 13y z x +∴=-的取值范围是[13-，4]-． 故答案为：[13-，4]-．【解答】解：《沁园春g 长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐g 六盘山》，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，由已知有B 排在D 的前面，A 与F 不相邻且不排在最后．第一步：在B ，C ，D ，E 中选一个排在最后，共144C =（种)选法 第二步：将剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共52452472A A A -=g （种)排法， 第三步：在前两步中B 排在D 的前面与后面机会相等，则B 排在D 的前面，只需除以222A =即可，即六场的排法有4722144⨯÷=（种) 故答案为：144．【解答】解：当21x --剟，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆， 当11x -剟时，P 的轨迹是以B 214圆， 当12x 剟时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的14圆， 当34x 剟时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆， ∴函数的周期是4．因此最终构成图象如下：①，根据图象的对称性可知函数()y f x =是偶函数，故①正确；②，由图象即分析可知函数的周期是4．即(4)()f x f x +=，即(2)(2)f x f x +=-，故②正确； ③，函数()y f x =在区间[2，3]上单调递增， 故③错误；④，由图象可得()f x 的值域为[0，2]，故④错误；⑤，根据积分的几何意义可知22201111()(2)11182422f x dx πππ=+⨯⨯+⨯=+⎰g ，故⑤正确． 故答案为：①②⑤．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分 【解答】解：()I 数列{}n a 为等比数列，首项14a =，公比设为q ， 数列{}n b 满足2log n n b a =，且12312b b b ++=， 即有212223log log log 12a a a ++=，2123log ()12a a a =，即31222a =， 即有216a =，4q =， 则4n n a =；（Ⅱ）22log log 4n n b a ==2n n =， 1411144(1)1n n n n n n c a b b n n n n +=+=+=-+++g ， 前n 项和11111(1)(4164)2231n n S n n =-+-+⋯+-+++⋯++ 14(14)1114n n -=-++-14413n n n +-=++． 【解答】证明：（Ⅰ）Q 四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点， AE PA ∴⊥，AE AD ⊥，PA AD A =Q I ，AE ∴⊥平面PAD ，Q 点F 在PC 上移动，AE ∴⊂平面AEF ，∴无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ．解：（Ⅱ）直线EM 与平面PAD，点F 恰为PC 的中点时， 以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AB =，AP x =，则E 0，0)，(0M ，1，)2x，1,)2xME =--u u u r ，平面PAD 的法向量(1n =r ，0，0)，|||cos ,|||||ME n ME n ME n ∴<>===u u u r ru u u r g r u u u r r g解得2x AP ==，C 1，0)，(0A ，0，0)，(0P ，0，2)，E 0，0)，1,1)2F ，AC =u u u r，AE =u u u r，1,1)2AF =u u u r ，设平面ACF 的法向量(n x =r，y ，)z ，则0102n AC y n AF y z ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r，0)， 设平面AEF 的法向量(m x =r，y ，)z ，则0102m AE m AF y z ⎧==⎪⎨=++=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取2y =，得(0m =r ，2，1)-， 设二面角C AF E --的平面角为θ，则||cos ||||m n m n θ===r rg r r g ．∴二面角C AF E --．【解答】解：（Ⅰ）设重度污染区AQI 的平均值为x ，则 742114521189x ⨯+⨯+=⨯，解得172x =；（Ⅱ）①11月份仅有一天AQI 在[170，180)内，则AQI 小于180的天数为18天， 则该校周日去进行社会实践活动的概率为183305P ==； ②由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3；计算318330204(0)1015C P X C ===，211812330459(1)1015C C P X C ===g ， 121812330297(2)1015C C P X C ===g ， 31233055(3)1015C P X C ===，X ∴的分布列为：X 0123 P2041015 4591015 2971015551015数学期望为2044592975512186()0123101510151015101510155E X =⨯+⨯+⨯+⨯==． 【解答】解：（Ⅰ）设(,)P x y ，0(M x ，0)y ， 则0(N x ，0)，∴0(,)PN x x y =--u u u r ，0(0,)MN y =-u u u u r，Q 2PN =u u u r u u u r ，0x x ∴=，0y y =， 代入圆的方程得，22443x y +=，即22143x y +=， 故动点P 的轨迹为E 的方程为：22143x y +=； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，(2,0)D -， Q ||||DA DB DA DB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，DA DB ∴⊥，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：222(34)84120k x kmx m +++-=，∴122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+，⋯①1212()()y y kx m kx m ∴=++221212()k x x mk x x m =+++，⋯② 由DA DB ⊥得： 1212122y yx x ⨯=-++， 即1212122()4y y x x x x -=+++，⋯③由②③得：221212(1)(2)()40k x x mk x x m ++++++=，⋯④ 把①代入④并整理得：2271640m km k -+=， 得：(72)(2)0m k m k --=，即27m k =或2m k =， 故直线l 的方程为2()7y k x =+，或(2)y k x =+，当直线l 的方程为2()7y k x =+时，l 过定点2(,0)7-；当直线l 的方程为(2)y k x =+时，l 过定点(2,0)-，这与A ，B 不是左顶点矛盾． 故直线l 的方程为2()7y k x =+，过定点2(,0)7-．【解答】解：()()28aI f x x x'=-+，(0)x >，Q 当1x =时，()f x 取得极值，f ∴'（1）280a =-+=，解得6a =，此时，2()86f x x lnx =-+，62(1)(3)()28x x f x x x x--'=-+=， 令()0f x '>，解得：3x >或1x <，令()0f x '<，解得：13x <<， 故()f x 在(0,1)递增，在(1,3)递减，在(3,)+∞递增， 故1x =是极大值点；()II 当函数()f x 在(0,)+∞内有两个极值点1x ，212()x x x <且11x ≠时，则2()280u x x x a =-+=在(0,)+∞上有两个不等正根． ∴6480(0)020a u a x =->⎧⎪=>⎨⎪=>⎩V ，08a ∴<<． 124x x ∴+=，122ax x =，120x x <<， 214x x ∴=-，121122(4)a x x x x ==-，可得102x <<．∴21111(43)1alnx t x x x >+--成立，即1111112(4)(4)(1)1x x lnx t x x x ->-+-， 即11112(1)1x lnx t x x >+-，即11112(1)01x lnxt x x -+>-， 即211111(1)[2]01x t x lnx x x -+>-，且101x <<时，1101xx >-． 112x <<时，1101x x <-．即2(1)()2(02)t x h x lnx x x-=+<<． 222()tx x th x x ++'=(02)x <<，①0t =时，2()0h x x'=>．()h x ∴在(0,2)上为增函数，且h （1）0=，(1,2)x ∴∈时，()0h x >，不合题意舍去．②0t >时，()0h x '>．同①不合题意舍去． ③0t <时，()i △0„时，解得1t -„，()0h x '„，在(0,2)内函数()h x 为减函数，且h （1）0=，可得：01x <<时，()0h x >． 12x <<时，()0h x <，∴2(1)[2]01x t x lnx x x-+>-成立． ()ii △0>时，10t -<<，()h x '分子中的二次函数对称轴11x t =->，开口向下，且函数值2(1)0t =+>，即1{a min t=-，2}，则(1,)x a ∈时，()0h x '>，()h x 为增函数，h （1）0=，()0h x >，故舍去． 综上可得：t 的取值范围是1t -„． [选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】1解：（Ⅰ）知曲线221:(3)9C x y +-=， 整理得：22699x y y +-+=， 转换为极坐标方程为：6sin ρθ=，A 是曲线1C 上的动点，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线2C ． 所以得到的直角坐标方程为：22(3)9x y ++=， 转换为极坐标方程为：6cos ρθ=-． （Ⅱ）由于射线5(0)6πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于P ，Q 两点， 则：15||6sin 36OQ πρ===，25||6cos6OP πρ=== 所以：1511||||sin 4332622MOP S OM OP π∆===g g g g g ，1511||||sin 42622MOQ S OM OQ π∆===g g g g g所以：3MPQ MOQ MOP S S S ∆∆∆=-=． [选修4-5：不等式选讲]21 / 21【解答】解：（Ⅰ）12a =时，|31||22|6x x -+->， 故131226x x x ⎧⎨-+->⎩…或11331226x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+->⎩或1313226x x x ⎧⎪⎨⎪-+->⎩„， 解得：95x >或35x <-， 故不等式的解集是(-∞，39)(55-⋃，)+∞； （Ⅱ）若对任意0x R ∈，不等式000()34|22|f x x x +>+-都成立， 则00|32|34x a x -+>恒成立， 故023x a …时，0624x a >+恒成立， 故26243a a ⨯>+，解得：2a >， 023x a <时，24a >，解得：2a >， 综上，(2,)a ∈+∞．。

河南省郑州市2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( ) A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1]2．在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( ) A．1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2+i3．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于( )A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．24．p：“a=﹣2”是q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的( )A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=( ) A．100 B．200 C．360 D．4006．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为( )A．B．2 C．D．17．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为( )A．32 B．C．64 D．8．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），为线段QR的中点，则A的值为( )A．B．C．D．9．如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m 的最大值是( )A．4 B．3 C．1 D．010．设函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则( )A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜011．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为( )A．B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]12．设函数f1（x）=x，f2（x）=log2015x，a i=（i=1，2，3，…，2015），记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2015）﹣f k（a2014）|，k=1，2，则( )A．I1＜I2B．I1=I2C．I2＜I1D．无法确定二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．已知等比数列{a n}，前n项和为S n，，则S6=__________．14．已知，在二项式的展开式中，x的一次项系数的值为__________．15．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到…=__________．16．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确是__________．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，D为边AC的中点，（Ⅰ）若c=3，求sin∠ACB的值；（Ⅱ）若BD=3，求△ABC的面积．18．某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为，背诵错误的概率为，现记“该班级完成n首背诵后总得分为S n”．（Ⅰ）求S6=20且S i≥0（i=1，2，3）的概率；（Ⅱ）记ξ=|S5|，求ξ的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，，Q为AD的中点，M为棱PC上一点．（Ⅰ）试确定点M的位置，使得PA||平面BMQ，并证明你的结论；（Ⅱ）若PM=2MC，求二面角P﹣BQ﹣M的余弦值．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG 并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【不等式选讲】24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．河南省郑州市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( ) A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1]考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：由集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，M⊆N，由集合包含关系的定义比较两个集合的端点可直接得出结论解答：解：∵集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，M⊆N，∴a≥2，实数a的取值范围是[2，+∞）故选B．点评：本题考查集合关系中的参数取值问题解题的关键是根据题设中的条件作出判断，得到参数所满足的不等式，从而得到其取值范围，此类题的求解，可以借助数轴，避免出错．2．在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( ) A．1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出．解答：解：复数===2+i所对应的点（2，1）关于虚轴对称的点为A（﹣2，1），∴A对应的复数为﹣2+i．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义、对称性，属于基础题．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于( )A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题设条件，根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，由此能求出公差．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，∴，解得a1=4，d=﹣2．故选C．点评：本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．4．p：“a=﹣2”是q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的( )A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”，则6a+3×4=0，解得a=﹣2，故p是q成立的充要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．5．已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=( )A．100 B．200 C．360 D．400考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，从而求出b，进而求ab 的值．解答：解：根据抛物线是定义，准线方程为：y=﹣5，|PF|=b+5=25，∴b=20，又点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，∴a2=20×20，∴a=±20，∴|ab|=400，故选D．点评：本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．6．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为( )A．B．2 C．D．1考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P与A（1，0）重合时，P到直线3x﹣4y﹣13=0的距离最小为d=．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为( )A．32 B．C．64 D．考点：简单空间图形的三视图．专题：不等式的解法及应用；空间位置关系与距离．分析：由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，进而根据基本不等式可得xy的最大值．解答：解：由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，则x2+y2=128≥2xy，∴xy≤64，即xy的最大值为64，故选：C点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，基本不等式的应用，难度中档．8．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），为线段QR的中点，则A的值为( )A．B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得Q，R的坐标，利用距离公式求出周期，ω的值，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A．解答：解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），为线段QR的中点，∴可得Q（4，0），R（0，﹣4），|PQ|=3，T=6=，解得ω=，∴函数经过Q，R，有∵|∅|∴∅=﹣∴解得A=．故选：C．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，考查计算能力，属于基本知识的考查．9．如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m 的最大值是( )A．4 B．3 C．1 D．0考点：程序框图．专题：图表型；函数的性质及应用；算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）=的值，数形结合求出h（x）的最小值，可得答案．解答：解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：h（x）=的值，在同一坐标系，画出f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4的图象如下图所示：由图可知：当x=﹣1时，h（x）取最小值3，又∵h（x）≥m恒成立，∴m的最大值是3，故选：B．点评：本题主要考查了程序框图，分段函数的应用，函数恒成立，属于基本知识的考查．10．设函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则( )A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式判断单调性，运用f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，得出a ＜1，b＞1，再运用单调性得出g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，即可选择答案．解答：解：∵函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，∴f（x）与g（x）在各自的定义域上为增函数，∵f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，∴若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，∴a＜1，b＞1，∵g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，故选：A点评：本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可．11．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为( )A．B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b﹣1）2，0≤b≤1，求出范围．解答：解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为：y=3﹣x，设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）•（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9=2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，∴b=1时有最小值4；当b=0，或b=2时有最大值6，∴的取值范围为[4，6]故选：D点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．12．设函数f1（x）=x，f2（x）=log2015x，a i=（i=1，2，3，…，2015），记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2015）﹣f k（a2014）|，k=1，2，则( )A．I1＜I2B．I1=I2C．I2＜I1D．无法确定考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于f1（a i+1）﹣f1（a i）==．可得I1=×2014．由于f i+1（a i+1）﹣f i（a i）==．即可得出I2==log20152015．解答：解：∵f1（a i+1）﹣f1（a i）==．∴I1=|f1（a2）﹣f1（a1）|+|f1（a3）﹣f1（a2）|+…+|f1（a2015）﹣f1（a2014）|=×2014=．∵f2（a i+1）﹣f2（a i）==．∴I2=|f2（a2）﹣f2（a1）|+|f2（a3）﹣f2（a2）|+…+|f2（a2015）﹣f2（a2014）|==log20152015=1，∴I1＜I2．故选：A．点评：本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于基础题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．已知等比数列{a n}，前n项和为S n，，则S6=．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由于，即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，两式相除，可得，q=2，a1=．则S6==．故答案为：点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．14．已知，在二项式的展开式中，x的一次项系数的值为﹣10．考点：二项式系数的性质；定积分．专题：概率与统计．分析：利用微积分基本定理可得a==1，于是二项式=，再利用展开式的通项公式即可得出．解答：解：==1，∴二项式=，其通项公式T r+1==（﹣1）r，令10﹣3r=1，解得r=3．∴T4==﹣10x，∴一次项系数的值为﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查了微积分基本定理、二项式的通项公式，属于基础题．15．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 (82)考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，再利用倒序相加，即可得到结论解答：解：∵f（x）=x3+sinx+2，∴f'（x）=3x2+cosx，f''（x）=6x﹣sinx，∴f''（0）=0，而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，∴…=20×4+f（0）=82．故答案为：82．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，是解题的关键．16．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确是②③④．考点：的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．解答：解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，D为边AC的中点，（Ⅰ）若c=3，求sin∠ACB的值；（Ⅱ）若BD=3，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）运用余弦定理和正弦定理及同角的平方关系，即可计算得到；（Ⅱ）以BA，BC为邻边作平行四边形ABCE，再由诱导公式和余弦定理和面积公式，计算即可得到．解答：解：（Ⅰ），c=3，由余弦定理：b2=c2+a2﹣2cacos∠ABC=，∴．又∠ABC∈（0，π），所以，由正弦定理：，得．（Ⅱ）以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，则，BE=2BD=6，在△BCE中，由余弦定理：BE2=CB2+CE2﹣2CB•CE•cos∠BCE．即，解得：CE=3，即AB=3，所以．点评：本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，同时考查诱导公式和同角的平方关系的运用，属于基础题．18．某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为，背诵错误的概率为，现记“该班级完成n首背诵后总得分为S n”．（Ⅰ）求S6=20且S i≥0（i=1，2，3）的概率；（Ⅱ）记ξ=|S5|，求ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）当S6=20时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，分类求概率求和；（Ⅱ）∵ξ=|S5|的取值为10，30，50，又，从而分别求概率以列出分布列，再求数学期望．解答：解：（Ⅰ）当S6=20时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对2首，此时的概率为：；（Ⅱ）∵ξ=|S5|的取值为10，30，50，又，∴，，．∴ξ的分布列为：ξ10 30 50∴．点评：本题考查了概率的求法及分布列的列法及数学期望的求法，属于基础题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，，Q为AD的中点，M为棱PC上一点．（Ⅰ）试确定点M的位置，使得PA||平面BMQ，并证明你的结论；（Ⅱ）若PM=2MC，求二面角P﹣BQ﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．（Ⅰ）当M为PC中点时，PA∥平面BMQ，连结AC交BQ于N，连结MN，则MN∥PA，分析：由此能证明PA∥平面BMQ．（Ⅱ）以点D为原点DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BQ﹣M的余弦值．解答：解：（Ⅰ）当M为PC中点时，PA∥平面BMQ，…理由如下：连结AC交BQ于N，连结MN，因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，…故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，PA⊈平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（Ⅱ）由题意，以点D为原点DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，…则P（0，0，2），Q（1，0，0），B（1，2，0），…由PM=2MC可得点，所以，设平面PQB的法向量为，则令z=1，∴，…同理平面MBQ的法向量为，…设二面角大小为θ，．∴二面角P﹣BQ﹣M的余弦值为．…点评：本题考查使得直线与平面平行的点的位置确定，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求出g （x）max，即可求得m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞），∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=，∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=e﹣，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，e﹣）上单调递增，在（e﹣，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣，g（e）=2e2﹣3e，∵g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣＜2e﹣＜2e＜2e（e﹣）=g（e），∴g（e﹣）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG 并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．考点：与圆有关的比例线段；直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由已知PG=PD，得到∠PDG=∠PGD，由切割弦定理得到∠PDA=∠DBA，进一步得到∠EGA=∠DBA，从而∠PFA=∠BDA．最后可得∠BDA=90°，说明AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC．由AB是直径得到∠BDA=∠ACB=90°，然后由Rt△BDA≌Rt△ACB，得到∠DAB=∠CBA．再由∠DCB=∠DAB可推得DC∥AB．进一步得到ED为直径，则ED 长可求．解答：（Ⅰ）证明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA，又∵∠EGA=∠PGD，∴∠EGA=∠DBA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，从而∠PFA=∠BDA．又AF⊥EP，∴∠PFA=90°，则∠BDA=90°，故AB为圆的直径．（Ⅱ）解：连接BC，DC．由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°．在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB=∠CBA．又∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角，∴ED为直径，又由（1）知AB为圆的直径，∴DE=AB=5．点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的切割线定理的应用，是中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【不等式选讲】24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；二次函数的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f（x）在x=﹣1处取得最大值m﹣2，故有m﹣2≥2，由此求得m的范围．解答：解：（Ⅰ）当m=5时，，由f（x）＞2可得①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣1，解②求得﹣1≤x＜0，解③求得x∈∅，易得不等式即4﹣3x＞2 解集为．（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1取得最小值2，因为在x=﹣1处取得最大值m﹣2，所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，求得m≥4．．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解；还考查了函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。

2020年河南郑州高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合，，则的子集个数为（ ）．A. B. C. D.2.复数在复平面内对应的点位于（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了年月至年月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．月接待游客量（万人）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）．A.月接待游客逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在，月D.各年月至月的月接待游客量相对于月至月，波动性更小，变化比较平稳4.定义在上的函数为偶函数，，，，则（ ）．A.B.C.D.5.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷个点，已知恰有个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）．A.B.C.D.6.已知向量与夹角为，且，，则（ ）．A.B.C.D.7.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为，，则输出的等于（ ）．开始输入，是输出结束否A.B.C.D.8.函数的图象大致是( )A.xyOB.xyOC.xyOD.xyO9.第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排名志愿者完成项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种？（ ）．A.B.C.D.10.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（ ）．A.B.C.D.11.已知三棱锥内接于球，平面，为等边三角形，且边长为，球的表面积为，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ）．A.B.C.D.12.，，若有个零点，则的取值范围是（ ）．A.B.C.D.，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线在点处的切线方程为 ．14.记为等差数列的前项和，若，，则．15.已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径做圆，圆与双曲线的一条渐近线相交于，两点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为 ．16.已知数列满足：对任意均有（为常数，且），若，，，，则的所有可能取值的集合是 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知外接圆半径为，其内角，，的对边长分别为，，，设．求角．若，，求的值．（1）（2）18.已知三棱锥中，，，为的中点，点在棱上，且．证明：平面．求二面角的正弦值．（1）（2）19.已知椭圆的离心率为，且过点．求椭圆的方程．若过点的任意直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，求证：恒有．20.水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过系统处理，处理后的污水(级水)达到环保标准（简称达标）的概率为．经化验检测，若确认达标便可直接排放，若不达标则必须进行系统处理后直接排放．【答案】（1）（2）（3）某厂现有个标准水量的级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验：若混合样本达标，则原水池的污水直接排放．现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验．化验次数的期望值越小，则方案越“优”．若，求个级水样本混合化验结果不达标的概率．若，现有个级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优”?若“方案三”比“方案四”更“优”，求的取值范围．（1）（2）21.已知函数．求的最大值．若恒成立，求实数的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，已知曲线经过点，其参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线的极坐标方程．若直线交于点，，且，求证：为定值，并求出这个定值．（1）（2）23.已知函数．求不等式的解集．若恰好存在个不同的整数，使得，求的取值范围．B1.，，∴，子集个数为．故正确．解析:复数．复数在复平面内对应的点位于第四象限．故选．解析:由图易知月接待游客量有增加也有减少，选项错误．故选．解析:因为函数为偶函数，所以，，该函数在单调递减，又，，且，所以，即．故选．D 2.A 3.C 4.∵正方形边长为，则正方形面积为，向该正方形内随机投掷个点，已知恰有个点落在阴影部分，∴，则．故正确．解析:向量与夹角为，∵，∴，∵，则，∴．故选．解析:如图程序框图中，初始值为，，，第一次循环：，，；第二次循环：，，；第三次循环：，，；阴影正阴影C 6.B 7.第四次循环：，，此时成立，循环终止，输出．故正确．解析:易知函数定义域为，且，因此函数图象关于原点对称，又当自变量从原点右侧时，，故选C．解析:根据题意，分 步进行分析：①将项工作分成 组，若分成、、 的三组，有 种分组方法，若分成、 、 的三组，有 种分组方法，则将 项工作分成 组，有种分组方法，②将分好的三组全排列，对应 名志愿者，有 种情况，则有种不同的分组方法．解析:抛物线，准线方程为，焦点．∵为准线上的一点，如图所示：C 8.D 9.B 10.所在直线为，由，得坐标为，∵解方程组，则，所以点坐标为，又∵点在抛物线上，如图所示：∴，得：．，，．故正确．解析:D 11.平面，所以三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，因为球的表面积为，所以球半径为，三棱柱的外接球半径满足，其中为的外接圆半径，，解得，取，中点，，，所以平面，所以为与平面所成角，,，所以．故选．解析:作出函数的图象和的图象如图所示，令，则由得，结合图象可知，最多由个解，A 12.，若使有个零点，则每个都有个满足，∴ , ,∴，解得：，故选．13.解析:曲线，∵，则当时，，又∵曲线经过点，∴切线方程为，即．故答案为：．14.解析:为等差数列的前项和，且，，设公差为，则，∴，，，∴．故答案为：．15.解析:（1）由题意得，圆的方程为，圆直线的交点设为，，联立得：，化简得：，所以，，∵∴，即又因为，故，整理得：，两边同时除以可得：，即，得（舍去）或．故．解析:由，得，，当，即时，即，，，，符合题意，此时成立，当时，即数列为等比数列，则，，，，所以，，，只能为，，，或，，，，则为或，此时为或，故的所有可能值的集合是．解析:．∴，即：∴.16.（1）．（2）．17.（2）（1）（2）因为，所以．若，，由正弦定理，，，由，故为锐角，，．解析:如图所示：连接，在中：，，则，，．在中：，为的中点，则，且．在中：，，满足：根据勾股定理逆定理得到，，相交于，故平面．因为，，两两垂直，建立空间直角坐标系．如图所示：（1）证明见解析．（2）．18.（1）（2）因为，则，，，．由所以，，设平面的法向量为，则，令，得，因为平面，所以为平面的法向量，所以与所成角的余弦为，．所以二面角的正弦值为．解析:由题意知，，又因为解得，，所以椭圆方程为．设过点直线为，设，由得，且，则，又因为，，，（1）．（2）证明见解析．19.（1）（2）（3）所以，因为线段的中点为，所以．解析:该混合样本达标的概率是，所以根据对立事件原理，不达标的概率为．方案一：逐个检测，检测次数为；方案二：由知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为，概率为；若不达标则检测次数为，概率为．故方案二的检测次数记为，的可能取值为，，，其分布列如下，可求得方案二的期望为，方案四：混在一起检测，记检测次数为，可取，．其分布列如下，可求得方案四的期望为．比较可得，故选择方案四最“优”．方案三：设化验次数为，可取，．；方案四：设化验次数为，可取，．；由题意得．（1）．（2）方案四最“优”．（3）．20.（1）（2）（1）故当时，方案三比方案四更“优”．解析:定义域，，由，在增，在减，．，令，，令，在单调递增，，，，在存在零点，即，在存在零点，即，，由于在单调递增，故，即，在减，在增，，所以．解析:将点代入曲线的方程，得，解得，（1）．（2）．21.（1）．（2）．22.（2）（1）（2）所以曲线的普通方程为，极坐标方程为．不妨设点，的极坐标分别为，，，，则，即，，即．解析:由，得，不等式两边同时平方，得，即，解得．所以不等式的解集为．设，，因为，，，.又恰好存在个不同的整数，使得，所以．故的取值范围为．（1）．（2）．23.。

河南省高考数学一模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）(2017·顺义模拟) 设集合A={x|x2﹣3x+2＞0}，B={x|3x﹣4＞0}，则A∩B=（）A . （﹣2，﹣）B . （﹣2，）C . （1，）D . （2，+∞）2. （2分）设满足约束条件，则目标函数取最小值时的最优解是（）A .B .C .D .3. （2分）极坐标方程ρ2+2ρcosθ=3化为普通方程是（）A . （x﹣1）2+y2=4B . x2+（y﹣1）2=4C . （x+1）2+y2=4D . x2+（y+1）2=45. （2分）(2017·长沙模拟) 执行如图所示的程序框图，如果输入的m=15，n=12，则输出的n是（）A . 15B . 12C . 3D . 1806. （2分） (2018高一下·深圳期中) 已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·温州期末) 在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC= ， = ， = ，=（）A .B .C .D .8. （2分）在中，已知A=30°，a=8，b=8 ，则的面积为A .B . 16C . 或16D . 或二、填空题 (共6题；共7分)9. （1分） (2017高二下·天津期末) i是虚数单位，a，b∈R，若 =bi，则a﹣b=________．11. （1分） (2018高二下·中山月考) 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A ， B两点，|AB|＝4 ，则C的实轴长为________.12. （1分）把函数y=3sin（2x+ ）的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，则得到的函数的解析式是________．13. （1分）(2017·绍兴模拟) 将3个男同学和3个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为________．（用具体的数字作答）14. （2分）如果对于函数f（x）定义域内任意的两个自变量的值x1 ， x2 ，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），且存在两个不相等的自变量值y1 ， y2 ，使得f（y1）=f（y2），就称f（x）为定义域上的不严格的增函数．则①，②，③，④，四个函数中为不严格增函数的是________ ，若已知函数g（x）的定义域、值域分别为A、B，A={1，2，3}，B⊆A，且g（x）为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的g（x）有________ 个．三、解答题 (共6题；共55分)15. （10分） (2017高三下·鸡西开学考) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点（a，b）在4xcosB ﹣ycosC=ccosB上．（1） cosB的值；（2）若• =3，b=3 ，求a和c．20. （10分） (2016高一上·洛阳期中) 已知函数f（x）=1+a•（）x+（）x ．（1）当a=﹣2，x∈[1，2]时，求函数f（x）的最大值与最小值；（2）若函数f（x）在[1，+∞）上都有﹣2≤f（x）≤3，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共7分)9-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共55分)15-1、15-2、20-1、20-2、答案：略。

2022年河南省郑州市高考理科数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 2﹣9x ﹣22≤0}，B ＝{x |x ＝3n ，n ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{9}B ．{1，3}C ．{3，9}D ．{1，3，9}2．若（z ﹣1）i ＝i ﹣2，则z ＝（ ） A ．2+2iB ．2﹣2iC ．2iD ．﹣2i3．已知点A （﹣1，2），B （1，0），C （1，﹣2），D （4，2），则向量AB →与CD →夹角的余弦值为（ ） A ．−7√210B ．7√210C ．−√210D ．√2104．将函数f(x)=sin(2x +π3)+2sin 2(x +π6)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g （x ）的图象，其图象关于直线x =π12对称，则φ的最小值为（ ） A ．π4B ．π3C ．π8D ．π65．已知f （x +1）是定义在R 上且周期为2的函数，当x ∈[﹣1，1）时，f(x)={−2x 2+4，−1≤x ＜0sinπx ，0≤x ＜1，则f(3)⋅f(−103)=（ ）A ．√3B ．−√3C ．−√32D ．√326．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PB ＝CA ＝CB ＝5，AB ＝PC ＝2，点D ，E 分别为AB ，PC 的中点，则异面直线PD ，BE 所成角的余弦值为（ ）A ．2324B ．1112C ．34D ．567．2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有（ ） A ．144种B ．336种C ．672种D ．1008种8．下列说法正确的为（ ）A ．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本．已知该校高一、高二、高三年级学生数之比为5：4：3，则应从高三年级中抽取14名学生B ．10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为13C ．若随机变量X 服从正态分布N （2，σ2），P （X ＜5）＝0.86，则P （X ≤﹣1）＝0.14D ．设某校男生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，⋯，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y ˆ=0.85x −82，若该校某男生的身高为170cm ，则可断定其体重为62.5kg 9．已知3a =5b =√15，则下列选项错误的是（ ） A ．a +b ＝2ab B ．ab ＞1C ．log 2a +log 2b ＞0D ．(a −12)2+(b −12)2＜1210．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n =√1+1n2+1(n+1)2，则（）A ．a n =n 2+n+2n(n+1) B ．S n =n 2+n−1n+1C ．a n ≤32D ．满足S n ≤2021的n 的最大值为202111．已知定义在R 上的函数f （x ）满足12f(x)+f′(x)＞0，且有f(1)=12，则2f(x)＞e 1−x 2的解集为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（2，+∞）12．我国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余问题有了较深的研究．设a ，b ，m 为正整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b （modm ）．下列说法正确的是（ ）A ．若|a ﹣2b |＝km ，k ∈N *，则a ≡b （modm ）B ．227≡65（mod 7）C ．若a ≡（m +2）（modm ），b ≡（m +3）（modm ），m ＞6，则ab ≡（m +5）（modm ）D ．若a ≡b （modm ），n ∈N *，则a n ≡b n （modm ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．抛物线y ＝﹣6x 2的焦点坐标为 ．14．已知α为第四象限角，且cosα=√55，则√2sin(α−π4)cos 2α−sin 2α= ．15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），过左焦点F 且斜率为14的直线交C 的一条渐近线于点A ，且A 在第一象限，若|OA |＝|OF |（O 为坐标原点），则C 的渐近线方程为 ．16．如图所示的四边形ABCD 是边长为√2的正方形，对角线AC ，BD 相交于点O ，将△BDA 沿BD 折起到△BDA ′的位置，使平面A ′BD ⊥平面BCD ．给出以下5个结论： ①A ′C ⊥BD ；②△A ′BC 和△A ′CD 都是等边三角形； ③平面A ′BC ⊥平面A ′CD ； ④V A '﹣BCD =13；⑤三棱锥A ′﹣BCD 表面的四个三角形中，面积最大的是△A ′BC 和△A ′CD ．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知√3AB →⋅AC →=2S △ABC ，b +c ＝8．（1）求角A 的大小； （2）求a 的最小值．18．（12分）如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有N 1，N 2，N 3，N 4四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是13，南干道有S 1，S 2两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为12，23．某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响．（1）求北干道的N 1，N 2，N 3，N 4四个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率； （2）若南干道被堵塞路段的个数为X ，求X 的分布列及数学期望E （X ）；（3）若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由．19．（12分）如图所示的四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是一个等腰梯形，AD∥BC，且AD ＝2AB＝2BC＝4，PO是△P AD的中线，点E是棱PD的中点．（1）证明：CE∥平面P AB．（2）若平面P AD⊥平面ABCD，且P A＝PD，PO＝AO，求平面P AB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为12，且椭圆E 经过点（1，32），过左焦点F 作两条互相垂直的弦AB 和CD ． （1）求椭圆E 的方程；（2）当四边形ACBD 的面积取得最小值时，求弦AB 所在直线的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x+x．（1）判断f（x）的单调性；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≥（x+1）ln（x+1）﹣ax2﹣1恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =4t1+t 2y =1−t 21+t 2（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ﹣ρsin θ﹣4＝0．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若P 为曲线C 上任意一点，直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ，求△P AB 面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）当x∈（0，2）时，f（x）＞x，求实数a的取值范围．2022年河南省郑州市高考理科数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 2﹣9x ﹣22≤0}，B ＝{x |x ＝3n ，n ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{9}B ．{1，3}C ．{3，9}D ．{1，3，9}解：∵集合A ＝{x |x 2﹣9x ﹣22≤0}＝{x |﹣2≤x ≤11}， B ＝{x |x ＝3n ，n ∈N }＝{1，3，9，27，•}， ∴A ∩B ＝{1，3，9}． 故选：D ．2．若（z ﹣1）i ＝i ﹣2，则z ＝（ ） A ．2+2iB ．2﹣2iC ．2iD ．﹣2i解：∵（z ﹣1）i ＝i ﹣2， ∴z −1=i−2i =1+2i ， ∴z ＝1+2i +1＝2+2i ． 故选：A ．3．已知点A （﹣1，2），B （1，0），C （1，﹣2），D （4，2），则向量AB →与CD →夹角的余弦值为（ ） A ．−7√210B ．7√210C ．−√210D ．√210解：∵点A （﹣1，2）、B （1，0）、C （1，﹣2）、D （4，2）， ∴AB →=（2，﹣2），CD →=（3，4），则向量AB →与CD →夹角余弦值为AB →⋅CD→|AB →||CD →|=2√2×5=−√210， 故选：C ．4．将函数f(x)=sin(2x +π3)+2sin 2(x +π6)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g （x ）的图象，其图象关于直线x =π12对称，则φ的最小值为（ ） A ．π4B ．π3C ．π8D ．π6解：f(x)=sin(2x +π3)+2sin 2(x +π6)=sin （2x +π3）−cos(2x +π3)+1=√2sin(2x +π3−π4)+1=√2sin(2x +π12)+1， 函数f （x ）的图象向左平移φ个单位长度，得到g （x ）=√2sin(2x +2φ+π12)+1， 当x =π12时，f （π12）=√2sin(2×π12+2φ+π12)=±√2， 即2×π12+2φ+π12=kπ+π2， 整理得2φ=kπ+π4（k ∈Z ）， 所以当k ＝0时，φ的最小值为π8．故选：C ．5．已知f （x +1）是定义在R 上且周期为2的函数，当x ∈[﹣1，1）时，f(x)={−2x 2+4，−1≤x ＜0sinπx ，0≤x ＜1，则f(3)⋅f(−103)=（ ） A ．√3B ．−√3C ．−√32D ．√32解：∵f （x +1）是定义在R 上且周期为2的函数， 当x ∈[﹣1，1）时，f(x)={−2x 2+4，−1≤x ＜0sinπx ，0≤x ＜1，则f(3)⋅f(−103)=f （﹣1）•f （23）＝（﹣2+4）×sin 2π3=2×√32=√3， 故选：A ．6．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PB ＝CA ＝CB ＝5，AB ＝PC ＝2，点D ，E 分别为AB ，PC 的中点，则异面直线PD ，BE 所成角的余弦值为（ ）A ．2324B ．1112C ．34D ．56解：在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PB ＝CA ＝CB ＝5，AB ＝PC ＝2，点D ，E 分别为AB ，PC 的中点，取CD 中点F ，连接EF ，则EF ∥PD ，且EF =12PD =12√52−12=√6，∴∠EFC 是异面直线PD ，BE 所成角（或所成角的补角）， BE =√52−12=2√6，BF =√BD 2+(CD2)2=1+(√25−12)2=√7，∴cos ∠BEF =EF 2+BE 2−BF 22×EF×BE =2×√6×2√6=2324，则异面直线PD ，BE 所成角的余弦值为2324．故选：A ．7．2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有（ ） A ．144种B ．336种C ．672种D ．1008种解：其余2个从剩下的9个名称中随机选取，共有C 92=36种，则祝融不是第3个被分析的情况有36×C 21A 22=144种，故选：A ．8．下列说法正确的为（ ）A ．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本．已知该校高一、高二、高三年级学生数之比为5：4：3，则应从高三年级中抽取14名学生B ．10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为13C ．若随机变量X 服从正态分布N （2，σ2），P （X ＜5）＝0.86，则P （X ≤﹣1）＝0.14D ．设某校男生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，⋯，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y ˆ=0.85x −82，若该校某男生的身高为170cm ，则可断定其体重为62.5kg解：对于A ：已知该校高一、高二、高三年级学生之比为5：4：3，则设高一，高二，高三的人数为5x ，4x ，3x ， 所以5x +4x +3x ＝60，解得x ＝5， 高二中抽取的人数为20，故A 错误；对于B ：10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为P =C 21C 81C 102=1645，故B 错误；对于C ：随机变量X 服从正态分布N （2，σ2），P （X ＜5）＝0.86，P （X ≤﹣1）＝1﹣P （X ＜5）＝0.14，故P （X ≤﹣1）＝0.14．故C 正确；对于D ：回归方程为y =0.85x ﹣82，若该学校某姓身高为170cm ，则y ＝0.85×170﹣82＝62.5，但只能是估计其体重为62.5kg ，不能断定，故D 错误． 故选：C ．9．已知3a =5b =√15，则下列选项错误的是（ ） A ．a +b ＝2ab B ．ab ＞1C ．log 2a +log 2b ＞0D ．(a −12)2+(b −12)2＜12解：∵3a =5b =√15，∴a =log 3√15，b =log 5√15， ∴1a+1b=log 3√15+log 5√15=log √153+log √155=log √15(3×5)=log √1515=2， ∴a+b ab=2，∴a +b ＝2ab ，故选项A 正确，∵a +b ＝2ab ＞2√ab ，∴ab ＞1，故选项B 正确，∵ab ＞1，∴log 2a +log 2b ＝log 2（ab ）＞0，故选项C 正确，∵1a+1b =2，∴b =a2a−1， ∴(a −12)2+(b −12)2=(a −12)2+116(a−12)2≥2√(a −12)2⋅116(a−12)2=12，当且仅当(a −12)2=116(a−12)2即a ＝1时，等号成立，又∵a =log 3√15＞1，∴等号取不到， 即(a −12)2+(b −12)2＞12，故选项D 错误， 故选：D ．10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n =√1+1n 2+1(n+1)2，则（ ） A ．a n =n 2+n+2n(n+1) B ．S n =n 2+n−1n+1C ．a n ≤32D ．满足S n ≤2021的n 的最大值为2021解：a n =√1+1n 2+1(n+1)2=√n 2(n+1)2+n 2+(n+1)2n 2(n+1)2=√[n(n+1)+1]2n 2(n+1)2=n 2+n+1n(n+1)，A 错误；因为a n =n 2+n+1n(n+1)=1+1n(n+1)=1+1n −1n+1，所以S n ＝n +1−12+12−13+⋅⋅⋅+1n −1n+1=n +1−1n+1=n +nn+1=n 2+2nn+1，B 错误； a n ＝1+1n(n+1)＞1+1(n+1)(n+2)， 所以a n ＞a n +1，即数列{a n }单调递减， 所以a n ≤a 1=32，C 正确； 因为a n ＞0，所以数列{S n }单调递增，且S 2020＜2021，S 2021＞2021， 所以满足S n ≤2021的n 的最大值为2020，D 错误． 故选：C ．11．已知定义在R 上的函数f （x ）满足12f(x)+f′(x)＞0，且有f(1)=12，则2f(x)＞e 1−x 2的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（2，+∞）解：设F（x）＝f（x）⋅e x2，则F'（x）＝f'（x）⋅e x2+12f(x)⋅ex2=ex2[12f(x)+f′(x)]＞0，所以F（x）在R上单调递增，又因为f（1）=12，所以F（1）＝f（1）⋅e12=12e12．又因为2f(x)＞e 1−x2等价于f（x）⋅ex2＞12e12，即F（x）＞F（1），所以x＞1，即所求不等式的解集为（1，+∞）．故选：B．12．我国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余问题有了较深的研究．设a，b，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b（modm）．下列说法正确的是（）A．若|a﹣2b|＝km，k∈N*，则a≡b（modm）B．227≡65（mod 7）C．若a≡（m+2）（modm），b≡（m+3）（modm），m＞6，则ab≡（m+5）（modm）D．若a≡b（modm），n∈N*，则a n≡b n（modm）解：对于A，若|a﹣2b|＝km，则a＝km+2b或2b＝km+a，故a≡2b（modm），故选项A 错误；对于B，因为227＝89＝（7+1）9=C9979+C9878+...+C917+1，所以227被7除得的余数为1，65被7除得的余数为2，故选项B错误；对于C，由a≡（m+2）（modm），可得a＝km+2，由b≡（m+3）（modm），可得b＝tm+3，所以ab＝（km+2）（tm+3）＝ktm2+（3k+2t）m+6，ab被m除得的余数为6，而m+5被m除得的余数为5，故选项C错误；对于D，若a≡b（modm），则a＝km+r，b＝tm+r，a n＝（km+r）n＝（km）n+C n1(km)n−1r+C n2(km)n−2r2+...+r n，b n＝（tm+r）n＝（tm）n+C n1(tm)n−1r+C n2(tm)n−2r2+...+r n，所以a n≡b n（modm），n∈N*，故选项D正确．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．抛物线y＝﹣6x2的焦点坐标为（0，−1 24）．解：∵抛物线y＝﹣6x2，即x2=−16 y，∴p=112，p2=124，故焦点坐标为（0，−1 24）．故答案为：（0，−1 24）．14．已知α为第四象限角，且cosα=√55，则√2sin(α−π4)cos2α−sin2α=√5．解：因为α为第四象限角，且cosα=√5 5，所以sinα=−√1−cos2α=−2√5 5，又cos2α﹣sin2α＝（cosα﹣sinα）（cosα+sinα），可得√2sin（α−π4）＝sinα﹣cosα，所以√2sin(α−π4)cos2α−sin2α=−1sinα+cosα=√5．故答案为：√5．15．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），过左焦点F且斜率为14的直线交C的一条渐近线于点A，且A在第一象限，若|OA|＝|OF|（O为坐标原点），则C的渐近线方程为y＝±815x．解：由题意可得直线AF的方程为y=14（x+c），双曲线C过第一、三象限的渐近线的方程为y=ba x，联立两直线方程得，A（ac4b−a ，bc4b−a），∵|OA|＝|OF|＝c，(ac 4b−a )2+(bc4b−a)2=c2，整理可得15b＝8a，即ba=815，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±815x．故答案为：y＝±815x．16．如图所示的四边形ABCD是边长为√2的正方形，对角线AC，BD相交于点O，将△BDA 沿BD折起到△BDA′的位置，使平面A′BD⊥平面BCD．给出以下5个结论：①A′C⊥BD；②△A′BC和△A′CD都是等边三角形；③平面A′BC⊥平面A′CD；④V A'﹣BCD=1 3；⑤三棱锥A′﹣BCD表面的四个三角形中，面积最大的是△A′BC和△A′CD．其中所有正确结论的序号是①②④⑤．解：对于①，∵四边形ABCD是边长为√2的正方形，对角线AC，BD相交于点O，将△BDA沿BD折起到△BDA′的位置，使平面A′BD⊥平面BCD，∴A′O⊥BD，CO⊥BD，∵A′O∩CO＝O，∴BD⊥平面A′OC，∵A‘C⊂平面A′OC，∴A′C⊥BD，故①正确；对于②，∵OA′＝OC，平面A′BD⊥平面BCD，∴A′C=√2，∴A′B＝BC＝A′C＝CD＝A′D=√2，∴△A′BC和△A′CD都是等边三角形，故②正确；对于③，取A′C的中点E，连接BE、DE，则BE⊥A′C，DE⊥A′C，∴∠BED是平面A′BC和平面A′DC所成二面角的平面角，∵BE＝DE=(√2)2−(√22)2=√62，BD=√2+2=2，∴cos∠BED=64+64−42×√62×√62=−13，∴∠BED=π−arccos13，∴平面A′BC与平面A′CD不垂直，故③错误；对于④，V A'﹣BCD=13×A′O×S△BCD=13×1×12×√2×√2=13，故④正确；对于⑤，三棱锥A ′﹣BCD 表面的四个三角形中， S △A 'BD ＝S △BCD =12×√2×√2=1，S △A 'BC ＝S △A 'CD =12×√2×√2×sin60°=√32， ∴面积最大的是△A ′BC 和△A ′CD ，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知√3AB →⋅AC →=2S △ABC ，b +c ＝8．（1）求角A 的大小； （2）求a 的最小值．解：（1）因为√3AB →⋅AC →=2S △ABC ，所以√3bc cos A ＝2×12bc sin A ， 整理得sin A =√3cos A ，所以tan A =√3， 又A ∈（0，π），所以A =π3；（2）因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos π3，b +c ＝8，所以a 2＝（b +c ）2﹣2bc ﹣bc ＝64﹣3bc ， 故a 2≥64﹣3×（b+c 2）2＝16，即a ≥4，当且仅当b ＝c ＝4时，等号成立，所以a 的最小值为4．18．（12分）如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有N 1，N 2，N 3，N 4四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是13，南干道有S 1，S 2两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为12，23．某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响．（1）求北干道的N 1，N 2，N 3，N 4四个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率； （2）若南干道被堵塞路段的个数为X ，求X 的分布列及数学期望E （X ）；（3）若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由．解：（1）记北干道的N 1，N 2，N 3，N 1四个易堵塞路段至少有一个被堵塞为事件A ， 则P （A ）＝1﹣（1−13）4＝1−1681=6581． （2）由题意可知X 的可能取值为0，1，2， P （X ＝0）＝（1−12）×（1−23）=16， P （X ＝1）=12×（1−23）+（1−12）×23=12， P （X ＝2）=12×23=13，X 0 1 2 P161213随机变量X 的分布列为E （X ）＝0×16+1×12+2×13=76． （3）设北干道被塞路段的个数为Y ，则Y ～B （4，13），所以E （Y ）＝4×13=43， 因为E （X ）＜E （Y ），所以高峰期选择南干道路线较好．19．（12分）如图所示的四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是一个等腰梯形，AD ∥BC ，且AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PO 是△P AD 的中线，点E 是棱PD 的中点． （1）证明：CE ∥平面P AB ．（2）若平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A ＝PD ，PO ＝AO ，求平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．解：（1）证明：连接OC ，OE ， 因为O ，E 分别是棱AD ，PD 的中点， 又OE ⊄平面P AB ， 所以OE ∥P A ， 所以OE ∥平面P AB ，又AD ∥BC ，且AD ＝2AB ＝2BC ＝4， 所以AO ∥BC ，且AO ＝BC ， 所以ABCO 是平行四边形，所以CO ∥AB ，从而CO ∥平面P AB ， 又CO ∩OE ＝O ，所以平面OCE ∥平面P AB ， 又CE ⊂平面OCE ， 所以CE ∥平面P AB ．（2）因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 取BC 的中点为M ，连接OM ，以O 为坐标原点，OM →，OD →，OP →为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 易知PO ＝AO ＝2，OM =√3，所以A （0，﹣2，0），B （√3，﹣1，0），C （√3，1，0），D （0，2，0），P （0，0，2），AP →=（0，2，2），AB →=（√3，1，0），CD →=（−√3，1，0），DP →=（0，﹣2，2）， 设平面P AB 的法向量为m ＝（x ，y ，z ），则{m ⋅AP →=2y +2z =0，m ⋅AB →=√3x +y =0，令z =√3，得m ＝（1，−√3，√3）， 设平面PCD 的法向量为n ＝（x 1，y 1．z 1），则{n ⋅CD →=−√3x 1+y 1=0，n ⋅DP →=−2y 1+2z 1=0，令x 1＝1，得n ＝（1，√3，√3）， 设平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ，则cos θ＝|cos ＜m ，n ＞|=|m⋅n||m||n|=17，即平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为17．20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为12，且椭圆E 经过点（1，32），过左焦点F 作两条互相垂直的弦AB 和CD ． （1）求椭圆E 的方程；（2）当四边形ACBD 的面积取得最小值时，求弦AB 所在直线的方程． 解：（1）由已知得c a=12，a 2=b 2+c 2，1a 2+94b 2=1，解得a =2，b =√3，c =1， 所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．（2）当AB 或CD 中有一条直线垂直于x 轴时，不妨设AB ⊥x 轴， 因为左焦点F 的坐标为（﹣1，0），所以直线AB 的方程为x ＝﹣1，|AB |＝3，|CD |＝4，四边形ACBD 的面积 S =12×4×3=6． 当AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k （k ≠0）， 由（1）知F （﹣1，0），所以直线AB 的方程为y ＝k （x +1）， 与椭圆E 的方程x 24+y 23=1 联立并消去y 得（3+4k 2）x 2+8k 2x +4k 2−12＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8k23+4k2，x 1x 2=4k 2−123+4k2，|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√64k4(3+4k 2)2−16k 2−483+4k2=√1+k 23+4k2⋅√64k 4−(16k 2−48)(3+4k 2)=12(1+k 2)3+4k2=4−4k23+4k2，同理直线CD 的方程为y =−1k(x +1)， 与椭圆E 的方程x 24+y 23=1 联立并消去y 得 (3+4k2)x 2+8k2x +4k2−12=0，设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），同理可得 |CD|=4−43k 2+4，所以四边形ACBD 的面积 S =12|AB|×|CD|=12(4−4k 23+4k 2)(4−43k 2+4)=8(1−k23+4k2)(1−13k 2+4)=8×3(1+k 2)3+4k2⋅3(k 2+1)3k 2+4=72×k 4+2k 2+112k 4+25k 2+12，设k 2＝t （t ＞0），则S =72×t 2+2t+112t 2+25t+12=72×112+t t 2+2t+1=72×112+1t+1t +2， 因为t ＞0，所以t +1t ⩾2，t +1t+2⩾4， 所以12+1t+1t +2⩽494，故S ⩾72×449=28849，当且仅当 t =1t，即t ＝1，k ＝±1 时，四边形ACBD 的面积取得最小值，此时直线AB 的方程为y ＝±（x +1）． 21．（12分）已知函数f （x ）＝（x ﹣1）e x +x ． （1）判断f （x ）的单调性；（2）当x ∈[0，+∞）时，f （x ）≥（x +1）ln （x +1）﹣ax 2﹣1恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）因为f （x ）＝（x ﹣1）e x +x ， 所以f ′（x ）＝xe x +1，令g （x ）＝xe x +1，则g ′（x ）＝（1+x ）e x ，当x ∈（﹣∞，﹣1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减， 当x ∈（﹣1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增， 所以g （x ）≥g （﹣1）＝1−1e ＞0，即f ′（x ）＞0，则f （x ）在R 上单调递增，无单调递减区间．（2）f （x ）≥（x +1）ln （x +1）﹣ax 2﹣1等价于（x ﹣1）e x ﹣（x +1）ln （x +1）+ax 2+x +1≥0，令h （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣（x +1）ln （x +1）+ax 2+x +1， 则h ′（x ）＝xe x ﹣ln （x +1）+2ax ， 令φ（x ）＝xe x ﹣ln （x +1）+2ax ， 则φ′（x ）＝（x +1）e x −1x+1+2a ， 显然φ′（x ）在[0，+∞）上单调递增， 故φ′（x ）≥φ′（0）＝2a ，当a ≥0时，φ′（x ）≥0，φ（x ）在[0，+∞）上单调递增， φ（x ）≥φ（0）＝0，即h ′（x ）≥0，则h （x ）在[0，+∞）上单调递增，h （x ）≥h （0）＝0，符合条件， 当a ＜0时，φ′（0）＝2a ＜0，φ′（﹣2a ）＝（﹣2a +1）e ﹣2a−1−2a+1+2a ＞﹣2a +1﹣1+2a ＝0，所以∃x 0∈（0，﹣2a ），φ′（x 0）＝0，当x ∈[0，x 0）时，φ′（x ）＜0，φ（x ）单调递减，则φ（x ）＜φ（0）＝0， 即当x ∈[0，x 0）时，h ′（x ）≤0，则h （x ）在[0，x 0）上单调递减， 则当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＜h （0）＝0，不符合条件， 综上所述，实数a 的取值范围为[0，+∞）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =4t1+t 2y =1−t 21+t 2（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ﹣ρsin θ﹣4＝0．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若P 为曲线C 上任意一点，直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ，求△P AB 面积的最大值．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =4t1+t 2y =1−t 21+t2（t 为参数），转换为直角坐标方程为x 24+y 2=1(y ≠−1)；直线l 的极坐标方程为ρcos θ﹣ρsin θ﹣4＝0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x ﹣y ﹣4＝0．（2）由于直线x ﹣y ﹣4＝0与x 轴的交点坐标为A （4，0），与y 轴的交点坐标为B （0，﹣4）；所以|AB |＝4√2；设曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），所以C 上的点P 到直线l 的距离d =√2=√5cos(α+θ)−4|√2，当cos （α+θ）＝﹣1时，d max =√5+4√2，所以S △P AB 的最大值为12×4√2×√5√2=2√5+8． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +2|﹣|ax ﹣2|．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞2的解集；（2）当x ∈（0，2）时，f （x ）＞x ，求实数a 的取值范围． 解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x +2|﹣|x ﹣2|，即f （x ）={−4，x ≤−22x ，−2＜x ＜24，x ≥2，当x ≤﹣2时，f （x ）＝﹣4＞2不成立； 当﹣2＜x ＜2时，f （x ）＝2x ＞2，故1＜x ＜2； 当x ≥2时，f （x ）＝4＞2恒成立，故x ≥2． 综上所述，不等式f （x ）＞2的解集为{x |x ＞1}．（2）当x ∈（0，2）时，|x +2|﹣|ax ﹣2|＞x 等价于|ax ﹣2|＜2成立． 当a ≤0，且x ∈（0，2）时，|ax ﹣2|≥2，不合题意；当a＞0时，|ax﹣2|＜2的解集为0＜x＜4a，所以4a≥2，故0＜a≤2．综上所述，实数a的取值范围是（0，2]．。

2021届河南省郑州市高三高考数学（理）第一次（一模）质量预测试题一、单选题1．已知集合{}04P x x =<<，(){}lg 3Q x y x ==-，则P Q =（ ） A ．{}34x x ≤< B ．{}34x x <<C ．{}03x x <<D ．{}03x x <≤【答案】B【分析】由对数函数定义域的求解可求得集合Q ，由交集定义可得结果.【详解】{}{}303Q x x x x =->=>，{}04P x x =<<，{}34P Q x x ∴⋂=<<. 故选：B.2．已知命题p ：x R ∀∈，0x x +≥，则（ ） A ．p ⌝：x R ∀∈，0x x +≤ B ．p ⌝：x R ∃∈，0x x +≤ C ．p ⌝：x R ∃∈，0x x +< D ．p ⌝：x R ∀∈，0x x +<【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行否定即可得答案. 【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，所以命题p ：x R ∀∈，0x x +≥的否定为：p ⌝：x R ∃∈，0x x +<. 故选：C.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若952S =，422S =，则7a =（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】设出等差数列的首项和公差，直接由题意列式，由等差数列前n 项和公式作差后求得答案．【详解】解：已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝52，S 4＝22， 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 由S 9＝a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9＝52， S 4＝a 1+a 2+a 3+a 4＝22，由两式相减可得（S 9﹣S 4）＝a 5+a 6+a 7+a 8+a 9＝52﹣22， 即5a 1+30d ＝30，即a 7＝6， 故选：C ．4．水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为2cm 的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为（单位：cm 2）（ ）A ．123+B ．1643+C ．1233+D ．1633+【答案】A【分析】截去8个四面体后，还剩6个正方形，8个正三角形，只需求出对应面边长，即可求解【详解】设截去8个四面体后，该几何体棱长为a ，则有22112a +=， 此时，该几何体表面由8个正三角形和6个正方形构成，6个正方形的面积为：62212，8个正三角形面积为：23823=123+故选：A5．若3cos28sin 5αα=-，则tan α=（ ） A ．25B 25C ．5D ．25【答案】D【分析】利用二倍角余弦公式化简已知等式可求得sin α，由同角三角函数平方和商数关系可求得结果.【详解】由已知等式可得：()2312sin 8sin 5αα-=-，整理可得：23sin 4sin 40αα+-=，解得：2sin 3α=或sin 2α=-（舍），25cos 1sin αα∴=±-= sin 25tan cos ααα∴==6．如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O 为圆心，以452m 为半径，B 为公园入口，道路AB 为东西方向，道路AC 经过点O 且向正北方向延伸，10m OA =，100m AB =，现计划从B 处起修一条新路与道路AC 相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：m ）（ ）A ．1002B ．1003C ．1502D ．1503【答案】A【分析】根据题意可知新路和圆相切时距离最短，建系求得过点B 的直线方程，可得和OC 的交点，即可得解.【详解】以O 为原点建立如图直角坐标系，可得B 点坐标为(100,10)--， 如若要新路的长度最短，则新路和圆线切， 设过点B 的直线方程为(100)10y k x =+-，根据圆心到直线的距离等于半径可得：211940790k k --=， 根据图可得0k >，所以1k =，所以90y x =+，所以和OC 的交点为(0,90)D ，所以100AD =， 根据勾股定理可得：22100+100=1002BD =7．如图所示，平面向量OA ，OB 的夹角为60°，22OB OA==，点P 关于点A 的对称点Q ，点Q 关于点B 的对称点为点R ，则PR 为（ ）A 3B ．23C ．4D ．无法确定【答案】B【分析】首先根据条件转化向量()2PR OB OA =-，再利用向量数量积求模. 【详解】()()222PR QR QP QB QA AB OB OA =-=-==-，()2222222PR OB OA OB OAOB OA OB OA ∴=-=-=+-⋅241221cos60=+-⨯⨯⨯23=故选：B8．已知函数()cos ,0,0x x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，若方程()()0f x f x +-=有n 个不同的实根，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，…，n x ，则下列说法错误．．的是（ ） A ．1230n x x x x ++++=… B ．当1n =时，1k π<-C ．当3n =且0k <时，331tan x x =- D ．当12x π>时，3n = 【答案】D【分析】令()()()g x f x f x =+-，判断()g x 的奇偶性，即可判断选项A ；利用分段函数的解析式得到0x =是函数的一个零点，利用()g x 为偶函数，只需研究0x >的情况，作出函数y kx =和cos y x =的图像，数形结合判断选项B 、C 、D.【详解】令()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+=，所以()g x 为偶函数，所以零点关于0x =对称，则所有的零点之和为0，故A 正确；因为()cos ,0,0x x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，所以()00f =，所以0x =是函数的一个零点，由上述过程可知，()g x 为偶函数，故只需研究0x >的情况即可，当0x >时，令()()()cos 0g x f x f x x kx =+-=-=，即cos x kx =，作出函数y kx =和cos y x =的图像，观察可知，当0k ≥时，y kx =与cos y x =至少有一个交点，即()()0f x f x +-=至少有3个根，不符合n =1；当0k <时，图中直线1l 为临界值，设其斜率为1k ，此时1l 与cos y x =相切， 若1k k <，则n =1，若10k k ≤<，则n 至少为3； 再作出斜率21k π=-的直线2l ，观察1l 与2l 的位置关系可知，121k k π<=-，所以n =1时，11k k π<<-，故B 正确；当3n =且0k <时，即为B 选项中讨论的1l ，此时直线1l 与cos y x =相切， 设切点(),cos m m ，则有3个不同的实数根123,0,x m x x m =-==，cos y x =的导数为sin y x '=-，故有cos sin m km m k =⎧⎨-=⎩，消去k 得：1tan m m =-，所以331tan x x =-，故C 正确； 作出如图示的3l 和4l ，其中3l 和cos y x =相切，4l 的斜率为412k π=， 设3l 的斜率为3k ，则34k k >. 当43k k k <<时，即312k k π<<，y kx =与cos y x =有3个交点，此时n =7； 当3k k =时，y kx =与cos y x =有2个交点，此时n =5；当3k k >时，y kx =与cos y x =有1个交点，此时n =3； 故D 错误. 故选：D.【点睛】判断函数有零点(方程有根)的常用方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．二、多选题9．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度得到函数()f x 图象，则（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个解析式B ．直线712x π=是函数()f x 图象的一条对称轴 C ．函数()f x 是周期为π的奇函数D ．函数()f x 的递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】BD【分析】先求出()f x 的解析式，对四个选项一一验证： 对于A ：直接利用解析式验证； 对于B ：直接求出对称轴方程进行验证； 对于C ：利用奇函数的定义进行否定； 对于D ：直接求出函数()f x 的递减区间.【详解】由函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度得到函数()f x 图象，所以()5cos 2cos 2436f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 对于A ：()5cos 2cos 2=sin 24363f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ：()sin 23x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，要求()y f x =的对称轴，只需令()232x k k Z πππ+=+∈，当k =1时，解得：712x π=，所以直线712x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；对于C ：()5cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()()55cos 2cos 266f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 不是奇函数，故C 错误；对于D ：要求函数()f x 的递减区间，只需52226k x k ππππ≤+≤+，解得：51212k x k ππππ-+≤≤+，即函数()f x 的递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确. 故选：BD10．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为C 于A 、B 两点，其中A 在第一象限，若3AF =，则（ ）A ．1p =B ．32BF =C ．以AF 为直径的圆与y 轴相切D ．3OA OB ⋅=-【答案】BCD【分析】写出焦点F 的坐标，设出直线l 的方程，并与抛物线方程联立，根据点A 在第一象限即可求出点A ，B 的横坐标，进而可以求出p 的值，即可求出抛物线的方程，再对应各个选项逐个验证即可．【详解】设(2pF ，0)，则过F 的直线斜率为)2p y x =-，代入抛物线方程消去y 可得：22450x px p -+=， 解得124p x p x ==，，因为点A 在第一象限，所以A x p =，4B px =，则3||322A p pAF x =+==，所以2p =，A 错误， 33||4242B p p p BF x ==+==，B 正确，由2p =可得抛物线的方程为：24y x =，且(2A ，，1(,2B ，所以1(,1432OA OB ⋅=⋅=-=-，D 正确， AF 的中点横坐标为32，以AF 为直径的圆的半径为32， 所以圆心到y 轴的距离等于半径，则以AF 为直径的圆与y 轴相切，C 正确， 故选：BCD ．11．已知0a >，0b >，下列命题中正确的是（ ） A ．若2a b +=，则lg lg 0a b +≤ B ．若20ab a b --=，则29a b +≥C ．若2a b +=，则112a b ab +-≥D ．若111123a b +=++，则14ab a b ++≥+【答案】ACD【分析】利用已知的等式，将其进行变形，利用基本不等式对选项逐一分析判断即可． 【详解】因为0a >，0b >，所以22a b ab =+，故1ab ，当且仅a b =时取等号， 此时()lg lg lg lg10a b ab +==，故选项A 正确；因为20ab a b --=，所以222ab a b ab =+，当且仅当2a b =时取等号， 所以228a b ab ，解得8ab ，则28a b +，故选项B 错误； 因为2a b +=，所以2b a =-，则22111111212(2)2211a a ab ab a a a ++-=-=-+--+，令21a t +=，则221411151522a a t t t +-=-++-⋅- 因为0a >，0b >，2a b +=，所以2a <，则22a a <，所以221101a a +->+， 故22151011a a +-<-+，所以1152a b ab +-，故选项C 正确； 因为111123a b +=++，所以27ab a b =++，所以271b ab +=-， 因为0a >，0b >，所以1b >， 所以41418237373(1)14254141411bab a b a b b b b b +++=++=++=-+++=+--，当且仅当1b 时取等号， 故1466ab a b +++D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数()()e 1xf x x =+，()()1lng x x x =+，则（ ）A ．函数()f x 在R 上无极值点B ．函数()g x 在()0,∞+上存在唯一极值点C ．若对任意0x >，不等式()()2ln f ax f x ≥恒成立，则实数a 的最大值为2eD ．若()()()120f x g x t t ==>，则()12ln 1t x x +的最大值为1e【答案】AD【分析】利用导数可求得()()20f x f ''≥->，得到()f x 在R 上单调递增，知A 正确； 利用导数可求得()()10g x g ''≥>，得到()g x 在()0,∞+上单调递增，知B 错误； 由()f x 在R 上单调递增得到2ln ax x ≥，利用分离变量的方法可得()2ln xa h x x≥=，利用导数可求得()max 2h x e=，可求得a 的范围，知C 错误； 易得12x e x =，()()()111121ln 1ln ln 11x x x e t k x x k x e ⎡⎤+⎣⎦==++，令()ln k m k k =，利用导数可求得()()max m k m e =，可知D 正确.【详解】对于A ，()()11xf x x e '=++，()()2x f x x e ''=+，当2x <-时，()0f x ''<；当2x >-时，()0f x ''>；()f x '∴在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，()()2210f x f e -''∴≥-=-+>，()f x ∴在R 上单调递增，无极值点，A 正确；对于B ，()1ln 1g x x x '=++，()22111x g x x x x -''=-=，当01x <<时，()0g x ''<；当1x >时，()0g x ''>；()g x '∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()120g x g ''∴≥=>，()g x ∴在()0,∞+上单调递增，无极值点，B 错误；对于C ，由A 知：()f x 在R 上单调递增，则由()()2ln f ax f x ≥得：2ln ax x ≥，当0x >时，2ln 2ln x xa x x≥=， 令()2ln x h x x =，则()()2221ln 22ln x x h x x x --'==， ∴当0x e <<时，()0h x '>；当x e >时，()0h x '<；()h x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()()max 2h x h e e∴==，2a e ∴≥，则a 的最小值为2e，无最大值，C 错误；对于D ，()()112211ln x x e x x t +=+=，0t >，10x ∴>，21>x ，由A 知()()1xf x x e=+是增函数，所以12x e x =，()()()111121ln 1ln 11x x x e t x x x e ⎡⎤+⎣⎦∴=++ 设()111xk x e =+，则()12ln ln 1t kx x k=+，令()ln km k k=，则()21ln k m k k -'=，∴当0k e <<时，()0m k '>；当k e >时，()0m k '<；()m k ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， ()()max 1m k m e e∴==，此时()()112211ln x e x e x x =+=+，()12ln 1t x x ∴+的最大值为1e ，D 正确. 故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，选项D 中，对于多个变量的式子最值的求解关键是能够通过等价代换的方式，将所求式子化简为关于一个变量的函数的形式，从而利用导数求得函数最值得到结果.三、填空题13．已知1F ，2F 为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，若122AB F F =，则C 的离心率为___________．1【分析】可令x ＝﹣c ，求得|AB |，再由|AB |＝2|F 1F 2|，结合a ，b ，c 的关系和离心率公式，解方程可得所求值．【详解】解：可令x ＝﹣c ，代入双曲线的方程可得y ＝±2b a，可得|AB |22b a=，若|AB |＝2|F 1F 2|，可得22b a=4c ， 即c 2﹣a 2＝2ac ， 由e ca=，可得e 2﹣2e ﹣1＝0，e ＞1． 解得e ＝12， 故答案为：12．14．已知数列{}n a 满足12a =，()*,N m n m n a a a m n ++=∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则数列[]{}2log n a 的前10项和为__________． 【答案】29【分析】直接利用数列的递推关系式和数列的取整问题的应用求出结果．【详解】解：数列{a n }满足a 1＝2，a m +a n ＝a m +n （m ，n ∈N ），设b n ＝[log 2a n ]， 当n ＝m ＝1时，b 1＝[log 22]＝1， a 2＝a 1+a 1＝4，所以b 2＝[log 24]＝2， a 3＝a 1+a 2＝6，所以b 3＝[log 26]＝2， a 4＝a 2+a 2＝8，所以b 4＝[log 28]＝3， a 5＝a 2+a 3＝10，所以b 5＝[log 210]＝3， a 6＝a 2+a 4＝12，所以b 6＝[log 212]＝3， a 7＝a 3+a 4＝14，所以b 7＝[log 214]＝3， a 8＝a 3+a 5＝16，所以b 8＝[log 216]＝4， a 9＝a 4+a 5＝18，所以b 9＝[log 218]＝4， a 10＝a 4+a 6＝20，所以b 10＝[log 220]＝4，所以T 10＝b 1+b 2+…+b 10＝1+2+2+3+3+3+3+4+4+4＝29． 故答案为：29．15．测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度．该兴趣小组运用这一方法测量某建筑物高度，已知该建筑物CP 垂直于水平面，水平面上两点A ，B 的距离为200m ，60PAB ∠=︒，45PBA ∠=︒，30PAC ∠=︒，则该建筑物CP 的高度为__________（单位：m ）． 【答案】()10031-【分析】先在PAB △中，利用正弦定理求得PA ，再在Rt PAC △中求解. 【详解】如图所示：在PAB △中，由正弦定理得200sin 45sin 75PA =︒︒，解得2003200PA =，所以在Rt PAC △中sin 100CP PA PAC =⋅∠=．故答案为：)1001四、双空题16．一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式()233V R h h π=-，其中R 为球的半径，h为球缺的高.的正四面体的各棱均相切，则该球的半径为_________，该球被此正四面体的一个侧面所截得的球缺（小于半球）的体积为____________．【分析】作图可得正四面体两相对棱间的距离为球的直径长，解三角形可得球的半径，利用等体积法求出球心到一个侧面的距离得出球缺的高，结合题意的公式即可得出结果.【详解】如图，取BD 的中点E ，AC 的中点F ，连接EF ，则EF 是与正四面体ABCD 各棱相切的球O 的直径.，所以AE CE ===则EF ==O 的半径为R ；设底面BCD 的中心为G ，则2233CG CE ===A 到底面BCD 2=，12BCDS==，由等体积法可得112=433OG ⨯，得12OG =，所以球缺的体积为22(3)33V R h h ππ=-=⨯⨯=，五、解答题 173cossin 2A Ca b A +=，②cos 3sin a b C c B =，③()()22222cos a c a b c abc C --+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2b =， ，求ac 的最大值．【答案】答案不唯一，具体见解析．【分析】选择条件①、②、③中的一个，利用正弦定理，余弦定理进行边角转化，最后在余弦定理中利用基本不等式求得ac 的最大值. 【详解】解：若选①3sin sin sin ,0π,sin 02BA B A A A =<<≠， 32sin cos 222B B B =． 化简得3cos2B =()0,B π∈，所以26B π=，3B π=． 又2221cos 22a b c B ac +-==， 所以2242a c ac ac +=+≥，当且仅当a c =时取等号， 故4ac ≤，即ac 的最大值为4．若选②：由已知得sin sin cos 3sin A B C C B =，()sin sin cos 3sin sin B C B C C B +=，sin cos cos sin sin cos 3sin ,0π,0B C B C B C C B B sinB +=<<≠，化简得cos 3B B =，即3tan B =()0,B π∈，所以6B π=．由2223cos 2a b c B ac +-==可得22342a c ac ac -=+≥，当且仅当a c =时取等号，故8ac ≤+，即ac 的最大值为8+ 若选③：由已知()22cos 2cos a c ac B abc C -⋅=， 即()2cos cos a c B b C -=，又()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin ,0π,sin 0A B B C B C B C A A A =+=+=<<≠． 所以1cos 2B =，因为()0,B π∈，所以3B π=．由2221cos 22a cb B ac +-==，得2242a c ac ac +=+≥，当且仅当a c =时取等号， 故4ac ≤，即ac 的最大值为4．【点睛】方法点睛：条件中出现边和角时，利用正弦定理进行边角转化，结合三角恒等变换公式化简得到某一个角或边，结合余弦定理，基本不等式求得最值. 18．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，11a =，3139S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()21n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）113n n a -=；（2）1263nn n T -+=-． 【分析】（1）设公比为()0q q >，由3139S =可构造关于q 的方程求得q ，由等比数列通项公式可得结果；（2）由（1）可得n b ，利用错位相减法可求得n T . 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，()223113119S a q q q q ∴=++=++=，解得：13q =或43q =-（舍），113n n a -∴=． （2）由（1）可得：1213n n n b -+=， 22157212133333n n n n n T ---+∴=+++⋅⋅⋅++，21135212133333n n n n n T --+=++⋅⋅⋅++，两式相减可得：21222221333333n n n n T -+⎛⎫=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭22213331313nnn -+=+--1121433n n n -+=--， 1263n n n T -+∴=-． 【点睛】方法点睛：当数列通项公式满足等差⨯等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前n 项和，具体步骤如下：①列出1231n n n S a a a a a -=+++⋅⋅⋅++的形式；②左右两侧同乘通项中的等比部分的公比q ，得到n qS ；③上下两式作差得到()1n q S -，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分； ④整理所得式子求得n S .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，PD AD =，N 为线段BC 上的动点．（1）证明：平面MND ⊥平面PBC ；（2）当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位置，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）N 为线段BC 的中点；答案见解析．【分析】（1）要证平面MND ⊥平面PBC ，可证DM ⊥平面PBC ，设法证明DM BC ⊥，DM PC ⊥即可；（2）以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，设1PD =，(),1,0N λ，求出平面PAB 和平面MND 的法向量，结合向量夹角的余弦公式求解即可【详解】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以PD BC ⊥， 又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD ，又DM ⊂平面PCD ，所以DM BC ⊥，因为在PDC △中，PD AD =，M 为PC 的中点，所以DM PC ⊥， 又PC BC C ⋂=，所以DM ⊥平面PBC ，又DM ⊂平面DMN ，所以平面MND ⊥平面PBC ；（2）设1PD =，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，设(),1,0N λ，则()1,0,1AP =-，()0,1,0AB =，(),1,0DN λ=，110,,22DM ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设()111,,m x y z =为平面PAB 的一个法向量，则有00m AP m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，可得()1,0,1m =，设()222,,n x y z =为平面MND 的一个法向量，则有00n DN n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2222011022x y y z λ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，可得；()1,,n λλ=-， 因为平面MND 与平面PAB 夹角为30，所以3m n m n⋅=， 213212λλ+=+12λ=，故N 为线段BC 的中点．20．在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线．如图，一架水平飞行的飞机的着陆点为原点O ，飞机降落曲线大致为32y ax bx =+，其中x （单位：m ）表示飞机距离着陆点的水平距离，y （单位：m ）表示飞机距离着陆点的竖直高度．假设飞机开始降落时的竖直高度为4500m ，距离着陆点的水平距离为0x ，飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行，且飞机开始降落时的降落曲线与平方向的直线相切．（1）用0x 分别表示a 和b ：（2）若飞机开始降落时的水平速度150m/s ，且在整个降落过程中水平速度保持不变，另外，基于安全考虑，飞机在降落过程中的竖直加速度()y t ''（即y 关于降落时间t （单位：s ）的导函数()y t '的导数）的绝对值不超过1m/s 2，求飞机开始降落时距离着陆点的水平距离0x 的最小值． 【答案】（1）309000a x =-，213500b x =；（2）450030． 【分析】（1）设()32f x ax bx =+，求()'f x ，由()()0045000f x f x ⎧=='⎪⎨⎪⎩解得,a b .（2）求得()f x 的解析式，设飞机降落时间为t ，则0150x x t =-，代入函数解析式，求导，结合题意求出0x 的最小值即可.【详解】（1）设()32f x ax bx =+．则()232f x ax bx '=+，由题意可知，()()0045000f x f x ⎧=='⎪⎨⎪⎩，即3200204500320ax bx ax bx ⎧+=⎨+=⎩ 解得309000a x =-，2013500b x =． （2）由（1）可知，323200900013500()f x x x x x =-+，[]00,x x ∈， 设飞机降落时间为t ，则0150x x t =-， 则()()()32003200900013500150150y t x t x t x x =--+-，00,150x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()()203607500000150y t t x t x =-'， ()()()()030607500000300y t y t t x x ''==-''，00,150x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 当0t =或150x 时，()y t ''取最大值20607500000x ，故26075000001x ≤， 可得0450030x ≥所以飞机开始下降时距离着陆点水平距离的最小值为米．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，1F ，2F 为椭圆C 的左，右焦点，过1F 斜率不为零的直线1l 交椭圆于P ，Q 两点，2F PQ △的周长为8． （1）求椭圆C 的方程（2）设A 为椭圆C 的右顶点，直线AP ，AQ 分别交直线2:4l x =-于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，并说明理由． 【答案】（1）22143x y +=；（2）是；答案见解析．【分析】（1）依题意求出a ，根据离心率求出c ，再根据222a b c =+，即可求出b ，即可得到椭圆方程；（2）设1l 的方程为：1x ty =-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，表示出直线AP 的方程，即可求出M 、N 的坐标，设()(),022H m m -≤≤，依题意0MH NH ⋅=，即可求出m 的值，即可得解；【详解】解：（1）由题意48a =，2a =，因为12c a =，所以1c =， 而222a b c =+，所以b = 故椭圆的方程为：22143x y +=， （2）由（1）知()11,0F -，设1l 的方程为：1x ty =-，代入22143x y +=得： ()2234690ty ty +--=，设()11,P x y ，()22,x y ，则122634t y y t +=+，122934y y t -=+， 因为111x ty =-，所以111123AP y y k x ty ==--， 所以直线AP 的方程为：()1123y y x ty =--， 令4x =-，得1163M y y ty -=-， 所以1164,3y M ty ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，同理可得2264,3y N ty ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，若以MN 为直径的圆过长轴上定点H ，则0MH NH ⋅=，设()(),022H m m -≤≤，则1164,3y MH m ty ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，1264,3y NH m ty ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，于是()()()21212364033y y m ty ty ++=--对任意实数t 恒成立，所以()()21221212364039y y m t y y t y y ++=-++，而()21222121222936363499639393434y y t t t y y t y y t t t t -⨯+==---++⨯-⨯+++所以()249m +=， 解得1m =-或7m =-，因为22m -≤≤，所以1m =-，即存在定点()1,0-满足条件．22．已知函数()1xf x e ax =--（a R ∈，e 为自然对数的底数）（1）若()f x 在定义域内有唯一零点，求a 的取值范围；（2）若()2xf x x e ≤在[)0,+∞上恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）{|0a a ≤或1}a =；（2）[)1,+∞．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，结合()f x 在定义域内有唯一零点，求出a 的范围即可；（2）问题转化为2(1)1x x e ax -+对[0x ∈，)+∞恒成立，记2()(1)(1)(1)x x h x x e x x e =-=+-，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【详解】解：（1）()x f x e a '=-，当0a ≤，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增， 又()1110f a e-=-+<，()110f e a =-->，由零点存在定理知，函数()f x 在R 上有唯一零点，符合题意． 当0a >，令()0f x '=得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞，()0f x '<，()f x 单调递减，()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()()ln min ln ln 1ln 1af x f a e a a a a a ==--=--．设()()ln 10g a a a a a =-->，则()()1ln 1ln g a a a +'=-=-， 当01a <<时，()0g a '>，()g a 单调递增， 当1a >时，()0g a '<，()g a 单调递减， 所以()()max 10g a g ==，故1a =，综上，实数a 的取值范围为{|0a a ≤或1}a =．（2）()2e xf x x ≤对[)0,x ∈+∞恒成立，即()211x x e ax -≤+对[)0,x ∈+∞恒成立， 记()()()()21e 11e x xh x x x x =-=+-，当1a ≥时，设函数()()1x m x x e =-，则()0xm x xe '=-≤，因此()m x 在[)0,+∞单调递减，又()01m =，故()1m x ≤，所以()()()111h x x m x x ax =+≤+≤+；当01a <<时，设函数()1xn x e x =--，则()10x n x e ='-≥，所以()n x 在[)0,+∞单调递减，且()00n =，故1x e x ≥+．当01x <<时，()()()211h x x x >-+，()()()221111x x ax x a x x -+--=---，取0x ，则()00,1x ∈，()()20001110x x ax -+--=，故()001h x ax >+，当0a ≤，取0x =，则()00,1x ∈，()()()200001111h x x x ax >-+=≥+． 综上，a 的取值范围为[)1,+∞．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.。

. . 2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．（5分）若复数（a∈R）的实部和虚部相等，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2．（5分）已知集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，则（）A．M∪N＝R B．M∪N＝{x|﹣3≤x＜4} C．M∩N＝{x|﹣2≤x≤4} D．M∩N＝{x|﹣2≤x＜4} 3．（5分）已知矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足•≥0的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增的是（）A．f（x）＝|sin x| B．f（x）＝lnC．f（x）＝（e x﹣e﹣x）D．f（x）＝ln（﹣x）5．（5分）在△ABC中，三边长分别为a，a+2，a+4，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t+，则实数t的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2+（y+）2＝1上一点，则|MN|+|MF2|的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11 8．（5分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f （x ）的图象向左平移后得到偶函数g （x ）的图象，则函数f （x ）的一个单调递减区间为（ ） A ．[﹣] B ．[] C ．[0，] D ．[] 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．16+（32+16+16）πB ．16+（16+16+16）πC ．16+（32+32+32）πD ．16+（16+32+32）π10．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中的底面为等腰直角三角形，AB ⊥AC ，点M ，N 分别是边AB 1，A 1C 上动点，若直线MN ∥平面BCC 1B 1，点Q 为线段MN 的中点，则Q 点的轨迹为（ ） A ．双曲线的一支（一部分） B ．圆弧（一部分） C ．线段（去掉一个端点）D ．抛物线的一部分11．（5分）抛物线x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝60°，过弦AB 的中点C 作该抛物线准线的垂线CD ，垂足为D ，则的最小值为（ ）A ．B ．1 C ．D ．2 12．（5分）已知函数f （x ）＝，设A ＝{x ∈Z |x （f （x ）﹣a ）≥0，若A 中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a 的个数为（ ） A ．31 B ．32 C ．33 D ．34 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的 13．（5分）已知（）n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x 3的系数为14．（5分）已知变量x ，y 满足，则z ＝的取值范围是15．（5分）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，百人团齐声朗诵，别有韵味，别有韵味，若若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有 种．（用数字作答）． 16．（5分）如图放置的边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是y ＝f （x ），则对函数y ＝f （x ）有下列判断：①函数y ＝f （x ）是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f （x +2）＝（x ﹣2）③函数y ＝f （x ）在区间[2，3]上单调递减；④函数y ＝f （x ）的值域是[0，1]；⑤f （x ）dx ＝．其中判断正确的序号是 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分17．（12分）已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 1+b 2+b 3＝12． （I ）求数列{a n }的通项公式 （Ⅱ）令c n ＝+a n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．18．（12分）已知四棱锥中P ﹣ABCD ，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC、PD上的中点，直线EM与平面P AD所成角的正弦值为，点F在PC上移动．（Ⅰ）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面P AD．（Ⅱ）求点F恰为PC的中点时，二面角C﹣AF﹣E的余弦值．19．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI ），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量． （Ⅰ）若某日播报的AQI 为118，已知轻度污染区AQI 的平均值为74，中度污染区AQ 的平均值为114，求重度污染区AQI 的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI 的分布，11月份仅有一天AQI 在[170，180）内．组数 分组 天数 第一组 [50，80） 3 第二组 [80，110） 4 第三组 [110，140） 4 第四组 [140，170） 6 第五组 [170，200） 5 第六组 [200，230） 4 第七组 [230，260） 3 第八组[260，290）1①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI 为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI 不小于180的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．20．（12分）设M 点为圆C ：x 2+y 2＝4上的动点，点M 在x 轴上的投影为N ．动点P 满足2＝，动点P 的轨迹为E ． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx+m与曲线E交于两点A，B（A，B不是左右顶点），且满足| |＝||，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+alnx（a∈R）．（I）当x＝1时，f（x）取得极值，求a的值并判断x＝1是极大值点还是极小值点；（Ⅱ）当函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1≠1时，总有＞t（4+3x1﹣x）成立，求t的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（﹣4，0），求△MPQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）＞6；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，求a的取值范围．2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．（5分）若复数（a∈R）的实部和虚部相等，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【解答】解：∵复数＝的实部和虚部相等，∴，解得a＝．故选：C．2．（5分）已知集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，则（）A．M∪N＝R B．M∪N＝{x|﹣3≤x＜4} C．M∩N＝{x|﹣2≤x≤4} D．M∩N＝{x|﹣2≤x＜4} 【解答】解：∵集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x 2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，∴M∪N＝{x|﹣3≤x≤4}，M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}．故选：D．3．（5分）已知矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足•≥0的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（0，0），C（4，0），A（0，2），D（4，2）设M （x ，y ），则＝（﹣x ，﹣y ），＝（4﹣x ，﹣y ），由•≥0得：（x ﹣2）2+y 2≥4，由几何概型可得：p ＝＝1﹣＝，故选：B ．4．（5分）下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增的是（ ） A ．f （x ）＝|sin x | B ．f （x ）＝lnC ．f （x ）＝（e x﹣e ﹣x）D ．f （x ）＝ln （﹣x ）【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，f （x ）＝|sin x |，为偶函数，不符合题意； 对于B ，f （x ）＝ln ，其定义域为（﹣e ，e ），有f （﹣x ）＝ln＝﹣ln＝﹣f （x ），为奇函数，设t ＝＝﹣1+，在（﹣e ，e ）上为减函数，而y ＝lnt 为增函数， 则f （x ）＝ln在（﹣e ，e ）上为减函数，不符合题意；对于C ，f （x ）＝（e x﹣e ﹣x），有f （﹣x ）＝（e ﹣x﹣e x ）＝﹣（e x ﹣e ﹣x）＝﹣f （x ），为奇函数， 且f ′（x ）＝（e x+e ﹣x）＞0，在R 上为增函数，符合题意； 对于D ，f （x ）＝ln （﹣x ），其定义域为R ， f （﹣x ）＝ln （+x ）＝﹣ln （﹣x ）＝﹣f （x ），为奇函数，设t ＝﹣x ＝，y ＝lnt ，t 在R 上为减函数，而y ＝lnt 为增函数，则f （x ）＝ln （﹣x ）在R 上为减函数，不符合题意；故选：C ．5．（5分）在△ABC 中，三边长分别为a ，a +2，a +4，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设最小角为α，故α对应的边长为a ， 则cos α＝＝，解得a ＝3．∵最小角α的余弦值为，∴＝．∴＝．故选：A ．6．（5分）如图，在△ABC 中，＝，P 是BN 上一点，若＝t +，则实数t 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【解答】解：由题意及图，＝，又，＝，所以＝，∴＝+（1﹣m ），又＝t +，所以，解得m ＝，t ＝，故选：C ．7．（5分）已知双曲线C ：＝1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，实轴长为6，渐近线方程为y ＝±x ，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆E ：x 2+（y +）2＝1上一点，则|MN |+|MF 2|的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【解答】解：由题意可得2a ＝6，即a ＝3， 渐近线方程为y ＝±x ，即有＝，即b ＝1，可得双曲线方程为﹣y 2＝1，焦点为F 1（﹣，0），F 2，（，0），由双曲线的定义可得|MF 2|＝2a +|MF 1|＝6+|MF 1|， 由圆E ：x 2+（y +）2＝1可得E （0，﹣），半径r ＝1，|MN |+|MF 2|＝6+|MN |+|MF 1|，连接EF1，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|＝＝4，则则|MN|+|MF2|的最小值为6+4﹣1＝9．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）A．[﹣] B．[] C．[0，] D．[] 【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则：T＝π，所以：ω＝2 将函数f（x）的图象向左平移后，得到g（x）＝sin（2x++θ）是偶函数，故：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于：，所以：当k＝0时．则，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k＝0时，单调递减区间为：[]，由于[]⊂[]，故选：B．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．16+（32+16+16）πB．16+（16+16+16）πC．16+（32+32+32）πD．16+（16+32+32）π【解答】解：根据几何体的三视图得到：该几何体是由：上面是一个长方体，下面是由两个倒扣的圆锥构成，故：上面的正方体的表面积为：，设中间的圆锥展开面的圆心角为n，所以：，解得：n＝，所以圆锥的展开面的面积为S＝，所以：中间的圆锥的表面积为，同理得：下面的圆锥的表面积为，所以总面积为：S＝，故选：A．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中的底面为等腰直角三角形，AB⊥AC，点M，N分别是边AB1，A1C 上动点，若直线MN∥平面BCC1B1，点Q为线段MN的中点，则Q点的轨迹为（）A．双曲线的一支（一部分）B．圆弧（一部分）C．线段（去掉一个端点）D．抛物线的一部分【解答】解：如图当N与C重合，M与B1重合时，MN⊂平面BCC1B1，MN的中点为O；当N与A1重合，M与A重合时，MN∥平面BCC1B1，MN的中点为H；一般情况，如平面PQRK∥平面BCC1B1，可得点M，N，取MN的中点D，作DE⊥KR于E，NF⊥KR于F，易知，E为KR中点，且D在OH上，故选：C．11．（5分）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为（）A．B．1 C．D．2 【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP| 在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos60°＝a2+b2﹣ab配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2＝（a+b）2得到|AB|≥（a+b）＝|CD|．∴≥1，即的最小值为1．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝，设A＝{x∈Z|x（f（x）﹣a）≥0，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为（）A．31 B．32 C．33 D．34 【解答】解：∵x＝0∈A，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可．画出f（x）的图象如下图：当x＞0时，f（x）≥a；当x＜0时，a≥f（x）．即y轴左侧的图象在y＝a下面，y轴右侧的图象在y＝a上面，∵f（3）＝﹣3×9+18＝﹣9，f（4）＝﹣3×16+24＝﹣24，f （﹣3）＝﹣（﹣3）3﹣3×（﹣3）2+4＝4，f （﹣4）＝﹣（﹣4）3﹣3×（﹣4）2+4＝20， 平移y ＝a ，由图可知：当﹣24＜a ≤﹣9时，A ＝{1，2，3}，符合题意； a ＝0时，A ＝{﹣1，1，2}，符合题意； 2≤a ≤3时，A ＝{1，﹣1，﹣2}，符合题意； 4≤a ＜20时，A ＝{﹣1，﹣2，﹣3}，符合题意；∴整数a 的值为﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，﹣19，﹣18，﹣17，﹣16，﹣15，﹣14，﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个． 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的 13．（5分）已知（）n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x 3的系数为 20【解答】解：令x ＝1，可得（）n 的展开式的各项系数和为2n ＝64，∴n ＝6，故（）n＝（）6的展开式的通项公式为T r +1＝•x3r ﹣6，令3r ﹣6＝3，可得r ＝3，故展开式中x 3的系数为＝20，故答案为：20．14．（5分）已知变量x ，y 满足，则z ＝的取值范围是 [﹣13，﹣4]【解答】解：由变量x ，y 满足作出可行域如图：A （2，3），解得B （，），z ＝的几何意义为可行域内动点与定点D （3，﹣1）连线的斜率．∵k DA ＝＝﹣4，k DB ＝＝﹣13．∴z ＝的取值范围是[﹣13，﹣4]．故答案为：[﹣13，﹣4]．15．（5分）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，百人团齐声朗诵，别有韵味，别有韵味，若若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有 144 种．（用数字作答）． 【解答】解：《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》， 分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，由已知有B 排在D 的前面，A 与F 不相邻且不排在最后． 第一步：在B ，C ，D ，E 中选一个排在最后，共＝4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共＝72（种）排法，第三步：在前两步中B 排在D 的前面与后面机会相等，则B 排在D 的前面，只需除以＝2即可，即六场的排法有4×72÷2＝144（种） 故答案为：144．16．（5分）如图放置的边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是y ＝f （x ），则对函数y ＝f （x ）有下列判断：①函数y ＝f （x ）是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f （x +2）＝（x ﹣2）③函数y ＝f （x ）在区间[2，3]上单调递减；④函数y ＝f （x ）的值域是[0，1]；⑤f （x ）dx ＝．其中判断正确的序号是 ①②⑤ ．【解答】解：当﹣2≤x ≤﹣1，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的圆，当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，∴函数的周期是4．因此最终构成图象如下：①，根据图象的对称性可知函数y＝f（x）是偶函数，故①正确；②，由图象即分析可知函数的周期是4．即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正确；③，函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递增，故③错误；④，由图象可得f（x）的值域为[0，]，故④错误；⑤，根据积分的几何意义可知f（x）dx＝π•（）2+×1×1+π×12＝+，故⑤正确．故答案为：①②⑤．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分17．（12分）已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12．（I）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）令c n＝+a n，求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（I）数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，公比设为q，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12，即有log2a1+log2a2+log2a3＝12，log2（a1a2a3）＝12，即a23＝212，即有a2＝16，q＝4，则a n ＝4n；（Ⅱ）b n ＝log 2a n ＝log 24n＝2n ， c n ＝+a n ＝+4n＝﹣+4n，前n 项和S n ＝（1﹣+﹣+…+﹣）+（4+16+…+4n ）＝1﹣+＝+．18．（12分）已知四棱锥中P ﹣ABCD ，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面P AD 所成角的正弦值为，点F 在PC 上移动．（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面P AD ． （Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C ﹣AF ﹣E 的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥中P ﹣ABCD ，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，P A ⊥平面ABCD ， E 、M 分别是BC 、PD 上的中点， ∴AE ⊥P A ，AE ⊥AD ，∵P A ∩AD ＝A ，∴AE ⊥平面P AD ， ∵点F 在PC 上移动，∴AE ⊂平面AEF ，∴无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面P AD ． 解：（Ⅱ）直线EM 与平面P AD 所成角的正弦值为，点F 恰为PC 的中点时，以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB ＝2，AP ＝x ，则E （，0，0），M （0，1，），＝（），平面P AD 的法向量＝（1，0，0），∴|cos＜＞|＝＝＝，解得x＝AP＝2，C（，1，0），A（0，0，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），＝（），＝（），＝（），设平面ACF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，0），设平面AEF的法向量＝（x，y，z），则，取y＝2，得＝（0，2，﹣1），设二面角C﹣AF﹣E的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角C﹣AF﹣E的余弦值为．19．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．（Ⅰ）若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQ的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180）内．组数分组天数第一组[50，80）3第二组[80，110）4第三组[110，140）4第四组[140，170）6第五组[170，200）5第六组[200，230）4第七组[230，260）3第八组[260，290）1①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设重度污染区AQI的平均值为x，则74×2+114×5+2x＝118×9，解得x＝172；（Ⅱ）①11月份仅有一天AQI在[170，180）内，则AQI小于180的天数为18天，则该校周日去进行社会实践活动的概率为P＝＝；②由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．20．（12分）设M点为圆C：x2+y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N．动点P满足2＝，动点P的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx+m与曲线E交于两点A，B（A，B不是左右顶点），且满足| |＝||，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），M（x0，y0），则N（x0，0），∴，，∵，∴x0＝x，，代入圆的方程得，，即，故动点P的轨迹为E的方程为：；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，D（﹣2，0），∵，∴DA⊥DB，设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得：（3+4k 2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，∴，，…①∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝，…②由DA⊥DB得：，即﹣y1y2＝x1x2+2（x1+x2）+4，…③由②③得：＝0，…④把①代入④并整理得：7m2﹣16km+4k2＝0，得：（7m﹣2k）（m﹣2k）＝0，即m＝或m＝2k，故直线l的方程为y＝k（x+），或y＝k（x+2），当直线l的方程为y＝k（x+）时，l过定点（﹣）；当直线l的方程为y＝k（x+2）时，l过定点（﹣2，0），这与A，B不是左顶点矛盾．故直线l的方程为y＝k（x+），过定点（﹣）．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+alnx（a∈R）．（I）当x＝1时，f（x）取得极值，求a的值并判断x＝1是极大值点还是极小值点；（Ⅱ）当函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1≠1时，总有＞t（4+3x1﹣x）成立，求t的取值范围．【解答】解：（I）f′（x）＝2x﹣8+，（x＞0），∵当x＝1时，f（x）取得极值，∴f′（1）＝2﹣8+a＝0，解得a＝6，此时，f （x ）＝x 2﹣8+6lnx ，f ′（x ）＝2x ﹣8+＝，令f ′（x ）＞0，解得：x ＞3或x ＜1，令f ′（x ）＜0，解得：1＜x ＜3， 故f （x ）在（0，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增， 故x ＝1是极大值点；（II ）当函数f （x ）在（0，+∞）内有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）且x 1≠1时， 则u （x ）＝2x 2﹣8x +a ＝0在（0，+∞）上有两个不等正根．∴，∴0＜a ＜8．∴x 1+x 2＝4，x 1x 2＝，0＜x 1＜x 2，∴x 2＝4﹣x 1，a ＝2x 1x 2＝2x 1（4﹣x 1），可得0＜x 1＜2． ∴＞t （4+3x 1﹣x ）成立，即＞t （4﹣x 1）（x 1+1），即＞t （x 1+1），即﹣t （x 1+1）＞0，即[2lnx 1+]＞0，且0＜x 1＜1时，＞0．1＜x 1＜2时，＜0．即h （x ）＝2lnx +（0＜x ＜2）．h ′（x ）＝ （0＜x ＜2），①t ＝0时，h ′（x ）＝＞0．∴h （x ）在（0，2）上为增函数，且h （1）＝0， ∴x ∈（1，2）时，h （x ）＞0，不合题意舍去． ②t ＞0时，h ′（x ）＞0．同①不合题意舍去． ③t ＜0时，（i ）△≤0时，解得t ≤﹣1，h ′（x ）≤0，在（0，2）内函数h （x ）为减函数，且h （1）＝0，可得：0＜x ＜1时，h （x ）＞0． 1＜x ＜2时，h （x ）＜0， ∴[2lnx +]＞0成立．（ii ）△＞0时，﹣1＜t ＜0，h ′（x ）分子中的二次函数对称轴x ＝﹣＞1，开口向下，且函数值＝2（t +1）＞0，即a ＝min {﹣，2}，则x ∈（1，a ）时，h ′（x ）＞0，h （x ）为增函数，h （1）＝0，h （x ）＞0，故舍去． 综上可得：t 的取值范围是t ≤﹣1． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C 1：x 2+（y ﹣3）2＝9，A 是曲线C 1上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90°得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线C 2．（Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程； （Ⅱ）射线θ＝（ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点，定点M （﹣4，0），求△MPQ 的面积．【解答】1解：（Ⅰ）知曲线C 1：x 2+（y ﹣3）2＝9， 整理得：x 2+y 2﹣6y +9＝9， 转换为极坐标方程为：ρ＝6sin θ， A 是曲线C 1上的动点，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90°得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线C 2． 所以得到的直角坐标方程为：（x +3）2+y 2＝9， 转换为极坐标方程为：ρ＝﹣6cos θ． （Ⅱ）由于射线θ＝（ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点，则：|OQ |＝， |OP |＝，所以：， ，所以：S △MPQ ＝S △MOQ ﹣S △MOP ＝3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|3x ﹣2a |+|2x ﹣2|（a ∈R ）． （Ⅰ）当a ＝时，解不等式f （x ）＞6；（Ⅱ）若对任意x 0∈R ，不等式f （x 0）+3x 0＞4+|2x 0﹣2|都成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）a ＝时，|3x ﹣1|+|2x ﹣2|＞6，故或或，解得：x＞或x＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，则|3x0﹣2a|+3x0＞4恒成立，故x0≥a时，6x0＞2a+4恒成立，故6×a＞2a+4，解得：a＞2，x0＜a时，2a＞4，解得：a＞2，综上，a∈（2，+∞）．。

河南省郑州市新郑三中2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|lg（x﹣2）≥0}，B={x|x≥2}，全集U=R，则（∁U A）∩B=( )A．{x|﹣1＜x≤3} B．{x|2≤x＜3} C．{x|x=3} D．φ2．复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．在某校抽取样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6，14）内的频数为( )A．780 B．680 C．648 D．4604．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．112 B．80 C．72 D．645．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为( )A．t≥B．t≥C．t≤D．t≤6．已知f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值是n，则二项式（x﹣）n展开式中x4项的系数为( ) A．15 B．﹣15 C．6 D．﹣67．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|=r（r＞0），定义：sicosθ=，称“sicosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到以下性质：①该函数的值域为[﹣，]；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线x=对称；④该函数的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，则这些性质中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知椭圆的离心率为，双曲线x2﹣y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( ) A．B．C．D．9．点P是曲线x2﹣y﹣lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为( ) A．1 B．C．D．10．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为( )A．B．C．D．11．等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=( )A．212B．29C．28D．2612．已知函数f（x）=1+x﹣，设F（x）=f（x+3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，当b﹣a取得最小值时，a+b的值为( ) A．﹣1 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为__________．14．如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2=1于点A、B、C、D，则的值是__________．15．椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是__________．16．已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是__________．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=p（S n﹣a n）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n•b n=2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1﹣4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．每扇门对应的梦想基金：（单位：元）第一扇门第二扇门第三扇门第四扇门1000 2000 3000 5000（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式其中n=a+b+c+d）19．如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E﹣PF﹣C的大小．20．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，求O到直线l的距离．21．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ax在x=﹣处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；（Ⅲ）设g（x）=b（e x﹣x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修1-4：几何证明选讲22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|，（Ⅰ）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）当a=1时，函数f（x）的最小值为m，若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．河南省郑州市新郑三中2015届高考数学一模试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|lg（x﹣2）≥0}，B={x|x≥2}，全集U=R，则（∁U A）∩B=( ) A．{x|﹣1＜x≤3} B．{x|2≤x＜3} C．{x|x=3} D．φ考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R，求出A的补集，找出A补集与B 的交集即可．解答：解：由A中的不等式变形得：lg（x﹣2）≥0=lg1，得到x﹣2≥1，即x≥3，∴A={x|x≥3}，∵全集U=R，∴∁U A={x|x＜3}，∵B={x|x≥2}，∴（∁U A）∩B={x|2≤x＜3}．故选：B．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用除法的运算法则：复数=﹣a﹣3i，由于在复平面内对应的点在第三象限，可得﹣a＜0，即可判断出．解答：解：∵复数==﹣a﹣3i，在复平面内对应的点在第三象限，∴﹣a＜0，解得a＞0．∴复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则及其几何意义、充分不必要条件，属于基础题．3．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．在某校抽取样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6，14）内的频数为( )A．780 B．680 C．648 D．460考点：频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：根据频率分布直方图中各个小长方形的面积之和等于1，求出样本数据落在[6，14）内的频率，即可求出对应的频数．解答：解：根据题意，得样本数据落在[6，14）内的频率是1﹣（0.02+0.03+0.03）×4=0.68；∴样本数据落在[6，14）内的频数是1000×0.68=680．故选：B．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应灵活应用频率分布直方图中各个小长方形的面积之和等于1的条件，是基础题．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．112 B．80 C．72 D．64考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据，结合正方体的体积公式和棱锥的体积公式，即可得到答案．解答：解：根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据可知：正方体及四棱锥的底面棱长均为4，四棱锥高3则V正方体=4×4×4=64=16故V=64+16=80故选B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，根据三视图确定几何体的形状是解答此类问题的关键．5．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为( )A．t≥B．t≥C．t≤D．t≤考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行的结果是什么．解答：解：模拟程序框图的运行过程，可得：n=0，x=t，a=1，n=0+2=2，x=2t，a=2﹣1=1；2＞4，否，n=2+2=4，x=4t，a=4﹣1=3；4＞4，否，n=4+2=6，x=8t，a=6﹣3=3；6＞4，是，输出a x=38t；∵38t≥3，∴8t≥1，即t≥；∴t的取值范围为{t|t≥}．故选：B．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案来，属于基础题．6．已知f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值是n，则二项式（x﹣）n展开式中x4项的系数为( ) A．15 B．﹣15 C．6 D．﹣6考点：二项式系数的性质；绝对值不等式的解法．专题：二项式定理．分析：由条件利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的x4项的系数．解答：解：f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值是n，f（x）=|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，∴n=6，二项式（x﹣）n =（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r=4，求得r=1，可得二项式（x﹣）n展开式中x4项的系数为﹣6，故选：D．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．7．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|=r（r＞0），定义：sicosθ=，称“sicosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到以下性质：①该函数的值域为[﹣，]；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线x=对称；④该函数的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，则这些性质中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点：进行简单的合情推理．专题：三角函数的图像与性质；推理和证明．分析：首先根据题意，求出y=sicosθ=sin（x﹣），然后根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可．解答：解：①根据三角函数的定义可知x0=rcosx，y0=rsinx，所以sicosθ===sinx﹣cosx=sin（x﹣），因为，所以sin（x﹣），即该函数的值域为[﹣，]；②因为f（0）=sin（）=﹣1≠0，所以该函数图象不关于原点对称；③当x=时，f（）=sin=，所以该函数图象关于直线x=对称；④因为y=f（x）=sicosθ=sin（x﹣），所以由2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，即该函数的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z．综上，可得这些性质中正确的有3个：①③④．故选：C．点评：本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，解答此题的关键是首先求出函数y=sicosθ的表达式．8．已知椭圆的离心率为，双曲线x2﹣y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( ) A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆上，再结合椭圆的离心率，即可确定椭圆的方程．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，∴边长为4，∴（2，2）在椭圆上∴∵椭圆的离心率为，∴=（）2∴a2=2b2∴a2=12，b2=6∴椭圆方程为：故选B．点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用双曲线的性质是关键．9．点P是曲线x2﹣y﹣lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为( ) A．1 B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x ﹣2的距离即为所求．解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣=1，x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，故点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故选D．点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．10．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为( )A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：压轴题．分析：先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax ﹣b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|﹣π≤a≤π，﹣π≤b≤π}∴S=（2π）2=4π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s=4π2﹣π2=3π2，由几何概型公式得到P=，故选B．点评：高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．11．等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=( )A．212B．29C．28D．26考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：对函数进行求导发现f′（0）中，含有x的项的值均为0，而常数项为a1a2a3…a8，由此求得f′（0）的值．解答：解：∵f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）=x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）]，∴f′（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）]′，考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）=a1a2a3…a8=（a1a8）4=212．故选：A．点评：本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，属于基础题．12．已知函数f（x）=1+x﹣，设F（x）=f（x+3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，当b﹣a取得最小值时，a+b的值为( ) A．﹣1 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣3考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：求导数，确定f（x）是R上的增函数，函数f（x）在[﹣1，0]上有一个零点，即可得出结论．解答：解：∵f（x）=1+x﹣，∴f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+ (x2010)x＞﹣1时，f′（x）＞0，f′（﹣1）=1＞0，x＜﹣1时，f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函数，∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=（1﹣1）+（﹣﹣）+…+（﹣﹣）＜0∴函数f（x）在[﹣1，0]上有一个零点；∴函数f（x+3）在[﹣4，﹣3]上有一个零点，∴a=﹣4，b=﹣3∴a+b=﹣7．故选：C点评：此题是难题．考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问题以及函数图象的平移，学生灵活应用知识分析解决问题的能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为36π．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：正三棱锥S﹣ABC的三个侧面两两垂直，转化为三条侧棱两两互相垂直，该三棱锥的各个顶点均为棱长为2的正方体的顶点，通过正方体的对角线的长度，求出外接球半径，即可求解球的表面积．解答：解：在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，所以正三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且SA=2，正三棱锥S﹣ABC的外接球即为棱长为2的正方体的外接球．则外接球的直径2R=2•=6，所以外接球的半径为：3．故正三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积S=4•πR2=36π．．故答案为：36π．点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中根据已知结合正方体的几何特征，得到该正三棱锥是正方体的一部分，并将问题转化为求正方体外接球表面积，是解答本题的关键．14．如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2=1于点A、B、C、D，则的值是1．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：数形结合．分析：设A、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）及直线方程，联立直线和抛物线的方程求出y1•y2，y1+y2，并用y1，y2表示AF，FD，而所求==（AF﹣1）（FD﹣1），代入上述式子中即可．解答：解：设A、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意知焦点F（0，1），则设直线AD方程为：y=kx+1，联立消去x，得y2﹣（2+4k2）y+1=0，∴y1+y2=2+4k2，y1•y2=1又根据抛物线定义得AF=，FD=，∴AF=y1+1，FD=y2+1==（AF﹣1）（FD﹣1）=y1•y2=1．故答案为1点评：此题设计构思比较新颖，考查抛物线的定义及巧妙将向量数量积转化，同时在解答过程中处理直线和抛物线的关系时运用了设而不求的方法．15．椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．解答：解：设椭圆的右焦点E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3；∴e===．故答案：．点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．16．已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（21，24）．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4 d=6、cd=24．由此求得abcd的范围．解答：解：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24．故有21＜abcd＜24，故答案为（21，24）．点评：本题主要考查对数函数、二次函数的图象、性质应用，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=p（S n﹣a n）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n•b n=2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1即可得出a n，n=1时单独考虑，再利用等比数列的通项公式即可得出；（II）由（I）得，利用“错位相减法”即可得出其前n项和．解答：解：（I）当n=1时，，得．当n≥2时，，，两式相减得a n=pa n﹣1，即．故{a n}是首项为，公比为p的等比数列，∴．由题意可得：2a1=6a3+a2，，化为6p2+p﹣2=0．解得p=或（舍去）．∴=．（II）由（I）得，则，+（2n﹣1）×2n+（2n+1）×2n+1，两式相减得﹣T n=3×2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n+1）×2n+1==﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1，∴．点评：熟练掌握：当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1，a1=S1；等比数列的通项公式，“错位相减法”是解题的关键．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1﹣4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．每扇门对应的梦想基金：（单位：元）第一扇门第二扇门第三扇门第四扇门1000 2000 3000 5000（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式其中n=a+b+c+d）考点：独立性检验的应用；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，根据列联表中所给的数据，代入求观测值的公式，求出这组数据的观测值，把观测值同临界值表中的临界值进行比较，得到结论；（Ⅱ）确定ξ的所有能取值，求出相应的概率，即可求出ξ的分布列及数学期望．解答：解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，正确错误合计20～30（岁）10 30 4030～40（岁）10 70 80合计20 100 120…根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3∵3＞2.706…∴有1﹣0.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…（Ⅱ）ξ的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000则……………ξ的分布列为ξ 0 1000 3000 6000 11000P…ξ数学期望…点评：本题考查独立性检验的应用，考查分布列及数学期望．本题解题的关键是学会读图和画图，在所给的二维条形图中能够看出所需要的数据．19．如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E﹣PF﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（I）由题设条件推导出EF⊥BE，从而得到EF⊥平面PBE，由此能证明平面PBE⊥平面PEF．（II）设AD=3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣PF﹣C的大小．解答：（I）证明：在Rt△DEF中，∵ED=DF，∴∠DEF=45°，在Rt△ABE中，∵AE=AB，∴∠AEB=45°，∴∠BEF=90°，∴EF⊥BE，∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，∴EF⊥平面PBE，∵EF⊂平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF．（II）解：由题意，不妨设AD=3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系．∵在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=，∴，∴．设平面PEF和平面PCF的法向量分别为=（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2）．由及，得到，∴=．又由•及•，得到，∴=，，综上所述，二面角E﹣PF﹣C大小为150°．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．20．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，求O到直线l的距离．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线l与椭圆C交于A，B 两点，以AB为直径的圆过原点O，即可求出O到直线l的距离．解答：解：（Ⅰ）∵，∴，右焦点（c，0）到直线的距离，则，且b2+c2=1，∴a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程是：（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）那么：，则（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=又∵直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1﹣m）（kx2﹣m）=0，∴，化简得，即∴O到直线l的距离为点评：本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．21．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ax在x=﹣处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；（Ⅲ）设g（x）=b（e x﹣x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．求导数，利用函数f（x）=ln（1+x）﹣ax 在x=﹣处的切线的斜率为1，可求a的值，再确定函数的单调性，从而可求f（x）的最大值；（Ⅱ）法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）﹣x≤0，即ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时，等号成立．令x=（k∈N*），从而可得＞ln（k+1）﹣lnk（k=1，2，…，n），将上述n个不等式依次相加，即可证得结论；法（二）：先证明当n=1时，不等式成立；再假设当n=k时，不等式成立，结合x＞ln（1+x）（x＞﹣1，且x≠0）及x=，即可证得结论；（Ⅲ）先确定b≥0．由（Ⅰ），知f（x）max=f（0）=0，再求g（x）的最小值，从而可求实数b的取值范围．解答：（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．求导数，得f′（x）=﹣a．由已知，∵函数f（x）=ln（1+x）﹣ax在x=﹣处的切线的斜率为1∴f′（﹣）=1，即﹣a=1，∴a=1．此时f（x）=ln（1+x）﹣x，f′（x）=﹣1=，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴当x=0时，f（x）取得极大值，该极大值即为最大值，∴f（x）max=f（0）=0．…（Ⅱ）证明：法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）﹣x≤0，即ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时，等号成立．令x=（k∈N*），则＞ln（1+），即＞ln，∴＞ln（k+1）﹣lnk（k=1，2，…，n）．将上述n个不等式依次相加，得1+++…+＞（ln2﹣ln1）+（ln3﹣ln2）+…+[ln（n+1）﹣lnn]，∴1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．…法（二）：用数学归纳法证明．（1）当n=1时，左边=1=lne，右边=ln2，∴左边＞右边，不等式成立．（2）假设当n=k时，不等式成立，即1+++…+＞ln（k+1）．那么1+++…++＞ln（k+1）+，由（Ⅰ），知x＞ln（1+x）（x＞﹣1，且x≠0）．令x=，则＞ln（1+）=ln，∴ln（k+1）+＞ln（k+1）+ln=ln（k+2），∴1+++…++＞ln（k+2）．即当n=k+1时，不等式也成立．…根据（1）（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．（Ⅲ）解：∵f（0）=0，g（0）=b，若f（x）≤g（x）恒成立，则b≥0．由（Ⅰ），知f（x）max=f（0）=0．（1）当b=0时，g（x）=0，此时f（x）≤g（x）恒成立；（2）当b＞0时，g′（x）=b（e x﹣1），当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴g（x）在x=0处取得极小值，即为最小值，∴g（x）min=g（0）=b＞0≥f（x），即f（x）≤g（x）恒成立．综合（1）（2）可知，实数b的取值范围为[0，+∞）．…点评：本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法，考查恒成立问题，解题的关键是理解导数的几何意义，掌握数学归纳法的证题步骤，确定函数的最值，综合性强．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修1-4：几何证明选讲22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D 是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程．。

河南省高考数学一模试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019·江南模拟) 已知集合，（ 为整数集），则（）A.B.C.D.2. （2 分） (2016 高一下·信阳期末) 若三个单位向量 ， ， 满足 ⊥ ，则|3 +4 ﹣ |的最大值为（ ）A . 5+B . 3+2 C.8 D.63. （ 2 分 ） (2020 高 二 上 · 内 蒙 古 期 中 ) 已 知 平 面 内 两 个 不 共 线 向 量，，且，若向量 与 共线，则 k=（ ）A . 3 或-2 B . 1 或-6 C . -3 或 2D . -1 或 6第 1 页 共 12 页4. （2 分） (2019 高二上·海口月考) 已知 的夹角是（ ）是非零向量且满足A.B. C.，，则 与D. 5. （2 分） (2018 高二上·莆田月考) 若关于 的不等式 范围是（ ） A. B. C.在区间上有解,则 的取值D.6. （2 分） (2016 高三上·汕头模拟) 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 2，则正（主）视图 的面积等于（ ）A.2 B.第 2 页 共 12 页C. D.37. （2 分） (2019 高一下·南宁期中) 已知函数，有成立，则图象的一个对称中心坐标是（ ）A. B.C.的最小正周期为 ，且D. 8. （2 分） (2017 高一下·丰台期末) 执行如图所示的程序框图，如果输入的 x=2，则输出的 y 等于（ ）A.2 B.4 C.6 D.8第 3 页 共 12 页9. （2 分） (2018 高三上·杭州期中) 有甲、乙、丙 3 项任务，甲需要 2 人承担，乙、丙各需要 1 人承担， 从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法有（ ）A . 1260 B . 2520 C . 2025 D . 5040 10. （2 分） 已知定义在实数集 R 上的函数 f（x）满足下列三个条件 ①对任意的 x∈R，都有 f（x+4）=f（x）． ②对于任意的 x1 ， x2∈[0，2]，x1＜x2 ， 都有 f（x1）＜f（x2）． ③函数 f（x+2）的图象关于 y 轴对称．则下列结论中，正确的是（ ） A . f（4.5）＜f（6.5）＜f（7） B . f（4.5）＜f（7）＜f（6.5） C . f（7）＜f（6.5）＜f（4.5） D . f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）11. （2 分） (2018·张掖模拟) 已知抛物线的焦点为 ，抛物线的焦点为 ，点在 上，且，则直线的斜率为（ ）A.B.C.第 4 页 共 12 页D.12. （2 分） (2019 高三上·广东月考) 已知函数 上有两个零点，则 的范围是（ ）A. B.（ 为自然对数的底数）在C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 6 分)13.（2 分）(2020 高三上·台州期末) 已知复数 z 满足 z=（4–i）i，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部为________， |z|=________.14. （1 分） (2017·六安模拟) 已知两个非零向量 与 θ 为 与 的夹角，若 =（﹣3，4）， =（0，2），则|，定义| × |=| || × |的值为________．|sinθ，其中15. （2 分） (2016 高一上·金华期中) 已知 0≤x≤2，则 y=4 x=________．﹣3•2x+5 的最小值为________，此时16. （1 分） (2019 高一下·静安期末) 某船在 处看到灯塔 在北偏西 方向，它向正北方向航行 50 海里到达 处，看到灯塔 在北偏西 方向，则此时船到灯塔 的距离为________海里．三、 解答题 (共 7 题；共 65 分)17. （10 分） (2020·淄博模拟) 已知数列 为“二阶等差数列”，即当时为等差数列，，.，数列（1） 求数列 的通项公式；（2） 求数列 的最大值第 5 页 共 12 页18. （5 分） (2020 高三上·北京月考) 在△ABC 中，A= ， =.（Ⅰ）试求 tanC 的值；（Ⅱ）若 a=5，试求△ABC 的面积.19. （15 分） (2017 高一下·淮安期末) 某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了 50 名就餐的教师和 学生．根据这 50 名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40， 50），[50，60），…，[90，100]．（1） 求频率分布直方图中 a 的值；（2） 从评分在[40，60）的师生中，随机抽取 2 人，求此人中恰好有 1 人评分在[40，50）上的概率；（3） 学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于 75 分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校 师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．20. （10 分） (2019 高二上·吉林期中) 已知三棱柱底面，，为的中点， 为，底面三角形 中点.为正三角形，侧棱（1） 求证：直线平面；（2） 求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.第 6 页 共 12 页21.（5 分）(2018 高三上·昭通期末) 已知函数 f(x)=ex+bx+3a(e 为自然对数的底数，a∈R)，且 f(x)在 x=ln3 处取得极小值．(I)求 b 的值及 f(x)的单调区间；(II)求证：当 a>，且 x>0 时，不等式以成立．22. （10 分） (2017·西安模拟) 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ=2sinθ，它在点处的切线为直线 l．（1） 求直线 l 的直角坐标方程；（2） 已知点 P 为椭圆=1 上一点，求点 P 到直线 l 的距离的取值范围．23. （10 分） (2018 高三上·海南期中) 已知函数（1） 若，求函数的最小值；（2） 如果关于 x 的不等式的解集不是空集，求实数 a 的取值范围．第 7 页 共 12 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 6 分)参考答案13-1、 14-1、第 8 页 共 12 页15-1、 16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 65 分)17-1、17-2、18-1、第 9 页 共 12 页19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、第 10 页 共 12 页21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2021年河南省郑州市高考数学一模试卷答案分析2021年河南省郑州市高考数学一模试卷答案分析〔理科〕一．选择题〔共12题，每题5分〕1．〔2021?郑州一模〕设会合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{y|y＝1﹣x2}，那么A∩B的子集个数为〔〕A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{y|y≤1}，A∩B＝{0，1}，A∩B的子集个数为22＝4个．应选：B．2．〔2021?郑州一模〕假定复数z知足z＝〔此中i为虚数单位〕，那么z在复平面的对应点在〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵z＝＝，∴z在复平面的对应点的坐标为〔1，﹣1〕，在第四象限．应选：D．3．〔2021?新课标Ⅲ〕某城市为认识旅客人数的变化规律，提升旅行效力质量，采集并整理了2021年1月至2021年12月期间月招待旅客量〔单位：万人〕的数据，绘制了下边的折线图．1/212021年河南省郑州市高考数学一模试卷答案分析依据该折线图，以下结论错误的选项是〔〕．月招待旅客量逐月增添．年招待旅客量逐年增添C．各年的月招待旅客量巅峰期大概在7，8月D．各年1月至6月的月招待旅客量相对于7月至12月，颠簸性更小，变化比较安稳【解答】解：由已有中2021年1月至2021年12月期间月招待旅客量〔单位：万人〕的数据可得：月招待旅客量逐月有增有减，故A错误；年招待旅客量逐年增添，故B正确；各年的月招待旅客量巅峰期大概在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月招待旅客量相对于7月至12月，颠簸性更小，变化比较安稳，故 D正确；应选：A．4．〔2021?郑州一模〕定义在R上的函数为偶函数，，，c＝f〔m〕，那么〔〕A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【解答】解：定义在R上的函数为偶函数，那么f〔﹣x〕＝f〔x〕，即﹣2＝﹣2；因此m＝0，因此f〔x〕＝﹣2，且在[0，+∞〕上是单一减函数；2/212021年河南省郑州市高考数学一模试卷答案分析又log2＝﹣1，0＜＜，m＝0；因此f〔log2〕＜f〔〕＜f〔0〕，即a＜b＜c．应选：C．5．〔2021?咸阳二模〕“纹样〞是中国艺术宝库的珍宝，“火纹〞是常有的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样〔如图暗影局部所示〕的面积，作一个边长为3的正方形将其包括在内，并向该正方形内随机扔掷2000个点，恰有800个点落在暗影局部，据此可预计暗影局部的面积是〔〕A．B．C．10D．【解答】解：依据题意，设暗影局部的面积为S，那么正方形的面积为9，向正方形内随机扔掷2000个点，恰有800个点落在暗影局部内，那么向正方形内随机扔掷一点，其落到暗影局部的概率P＝＝；而P＝，那么＝，解可得，S＝；应选：B．3/216．〔2021?郑州一模〕向量，的夹角为，且||＝1，|2﹣|＝，那么||＝〔〕A．1B．C．D．2【解答】解：由|2﹣|＝，得，又向量，的夹角为60°，且||＝1，∴4×12﹣4×，整理得：，解得||＝1．应选：A．7．〔2021?郑州一模〕宋元期间数学名著?算学启发?中有对于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，假定输入的a，b分别为3，1，那么输出的n等于〔〕4/21A．5B．4C．3D．2【解答】解：模拟程序的运转，可得a＝3，b＝1n＝1a＝，b＝2不知足条件a≤b，履行循环体，n＝2，a＝，b＝4不知足条件a≤b，履行循环体，n＝3，a＝，b＝8不知足条件a≤b，履行循环体，n＝4，a＝，b＝16此时，知足条件a≤b，退出循环，输出n的值为4．应选：B．8．〔2021?郑州一模〕函数的图象大概是〔〕A．B．C．D．5/21【解答】解：由题意，f 〔﹣x 〕＝?cos 〔﹣x 〕＝﹣f 〔x 〕，函数是奇函数，清除 A ，B ；x →0+，f 〔x 〕→+∞，清除D ．应选：C ．9．〔2021?郑州一模〕第十一届全国少量民族传统体育运动会在河南郑州举行，某工程竞赛 期间需要安排 3名志愿者达成 5项工作，每人起码达成一项，每项工作由一人达成，那么不一样的安排方式共有多少种〔 〕A ．60B ．90C ．120D ．150【解答】解：依据题意，分2步进行剖析①、将5项工作分红3组假定分红1、1、3的三组，有 ＝10种分组方法，假定分红1、2、2的三组，有 ＝15种分组方法，那么将5项工作分红3组，有 10+15＝25种分组方法；②、将分好的三组全摆列，对应 3名志愿者，有A 33＝6种状况；因此不一样的安排方式那么有25×6＝150种，应选：D ．10．〔2021?郑州一模〕抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF与抛物线交于M ，N 两点，假定，那么|MN|＝〔〕A ．B ．C ．2D ．6/21【解答】解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为 F 〔 ，0〕，准线为l ：x ＝﹣，设M 〔x 1，y 1〕，N 〔x 2，y 2〕，M ，N 到准线的距离分别为 d M ，d N ，由抛物线的定义可知 |MF|＝d M ＝x 1+ ，|NF|＝d N ＝x 2+，于是|MN|＝|MF|+|NF|＝x 1+x 2+1．∵，∴直线MN 的斜率为±，∵F 〔，0〕，∴直线PF 的方程为 y ＝±〔x ﹣〕，将y ＝± 〔x ﹣〕，代入方程 y 2＝2x ，并化简得12x 2﹣20x+3＝0，∴x 1+x 2＝，于是|MN|＝|MF|+|NF|＝x 1+x 2+1＝+1＝．应选：B ．11．〔2021?郑州一模〕三棱锥 P ﹣ABC 内接于球 角形，且边长为 ，球O 的表面积为 16π，那么直线〔〕O ，PA ⊥平面ABC ，△ABC 为等边三 PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为A ．B ．C ．D ．【解答】解：设三棱锥外接球的球心为 O ，半径为 R ，那么S 球＝4πR 2＝16π，故R ＝2，7/21设M为△ABC的中心，N为AB的中点，那么OM⊥平面ABC，且OC＝2，由△ABC为等边三角形，且边长为，求得NC＝，MC＝1，∴OM＝，∵PA⊥平面ABC，故PA＝2OM＝2，且PA⊥CN，PN＝，又CN⊥AB，AB∩PA＝A，∴CN⊥平面PAB，那么PC＝，∴sin∠NPC＝＝．应选：D．12．〔2021?郑州一模〕＝f〔g〔x〕〕﹣m有A．〔0，1〕f〔x〕＝9个零点，那么B．〔0，3〕m的取值范围是〔C．，g〔x〕＝〕D．+m+2，假定y【解答】解：令t＝g〔x〕，〔gx〕＝+m+2，g'〔x〕＝＝〕＝，当x∈〔﹣∞，0〕，〔2，+∞〕时，函数g〔x〕递加，当x∈〔0，2〕时，函数g〔x〕递减，函数g〔x〕有极大值g〔0〕＝m+2，极小值g〔2〕＝m﹣3，8/21假定y＝f〔g〔x〕〕﹣m有9个零点，画出图象以下：察看函数y＝f〔t〕与y＝m的交点，当m＜0时，t＞1，此时函数y＝f〔t〕与y＝m最多有3个交点，故不可立，当m＝0时，t1＝，t2＝2，g〔0〕＝2，g〔2〕＝﹣3，g〔x〕＝t1，有三个解，g〔x〕＝2有2个解，共5个解不可立；当m＞3时，明显不可立；故要使函数有9个零点，0＜m＜3，依据图象，每个y＝t最多与y＝g〔x〕有三个交点，要有9个交点，只好每个t都要有3个交点，当0＜m＜3，y＝f〔t〕与y＝m的交点，，，2＜t3＜9，9/212021年河南省郑州市高考数学一模试卷答案分析g 〔0〕＝m+2∈〔2，5〕，g 〔2〕＝m ﹣3∈〔﹣3，0〕， 当2＜t 3＜m+2时，由，即2＜2m+1＜m+2时，得0＜m ＜1时，2＜t 3＜3时〔x 〕＝t 3，有三个解，g 〔x 〕＝t 2，要有三个解 m ﹣3＜﹣ ，即m ＜ ，g 〔x 〕＝t 1有三个解 m ﹣3＜﹣2，即m ＜1，综上，m ∈〔0，1〕，应选：A ．二．填空题〔共 4题，每题5分〕13．〔2021?郑州一模〕曲线y ＝xe x ﹣2x 2+1在点〔0，1〕处的切线方程为y ＝x+1 ．【解答】解：求导函数可得，y ′＝〔1+x 〕e x﹣4x当x ＝0时，y ′＝1 ∴曲线y ＝xe x ﹣2x 2+1在点〔0，1〕处的切线方程为 y ﹣1＝x ，即y ＝x+1．故答案为：y ＝x+1．14．〔2021?新课标Ⅲ〕记S 为等差数列{a}的前n 项和．假定a ≠0，a ＝3a ，那么＝4．nn121【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，那么由a 1≠0，a 2＝3a 1可得，d ＝2a 1，∴＝10/21＝，故答案为：4．15．〔2021?郑州一模〕双曲线C：＝1〔a＞0，b＞0〕的右极点为A，以A为圆心，b为半径做圆，圆A与双曲线C的一条渐近线订交于M，N两点，假定〔O 为坐标原点〕，那么双曲线C的离心率为．【解答】解：双曲线C：＝1〔a＞0，b＞0〕的右极点为A〔a，0〕，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．那么点A到渐近线bx﹣ay＝0的距离为|AB|＝，∵r＝b，∴|BN|＝＝，∵，∴|OB|＝5|BN|＝，|OA|＝a，∴a 2＝+，a 2c2＝25b4+a2b2，a 2〔c2﹣b2〕＝25b4，∴a2＝5b2＝5c2﹣5a2，11/21即6a 2＝5c 2，即a ＝c ，∴e ＝＝，故答案为：．16．〔2021?郑州一模〕数列 {a n }知足：对随意 n ∈N *均有an+1＝pa n +2p ﹣2〔p 为常数，p ≠0且p ≠1〕，假定a 23 4 5 1的全部可能取值，a ，a ，a ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，那么a 的会合是 {﹣2，0，﹣66} ．【解答】解：由题意，对随意n ∈N *，均有a n+1+2＝p 〔a n +2〕，当a n +2＝0，即a 1+2＝0，即a 1＝﹣2时，a 2＝a 3＝a 4＝a 5＝﹣2．当a n +2≠0时，结构数列{b n }：令b n ＝a n +2，那么b n+1＝pb n ．故数列{b n }是一个以p 为公比的等比数列．∵a 2，a 3，a 4，a 5∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，∴b 2，b 3，b 4，b 5∈{﹣16，﹣4，0，8，13，32}．①当b 2＝﹣4，b 3＝8，b 4＝﹣16，b 5＝32时，p ＝﹣2．此时，b 1＝＝＝2，a 1＝b 1﹣2＝2﹣2＝0；12/21②当b 2＝32，b 3＝﹣16，b 4＝8，b 5＝﹣4时，p ＝﹣ ． 此时，b 1＝＝＝﹣64，a 1＝b 1﹣2＝﹣64﹣2＝﹣66．a 1的全部可能取值的会合是{﹣2，0，﹣66}．故答案为：{﹣2，0，﹣66}．三．解答题〔17-21必考题，合计60分，22-23选考题，合计 10分〕17．〔2021?郑州一模〕△ABC 外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设2R 〔sin 2A ﹣sin 2B 〕＝〔a ﹣c 〕sinC ．〔Ⅰ〕求角B ；〔Ⅱ〕假定b ＝12，c ＝8，求sinA 的值．【解答】解：〔I 〕∵2R 〔sin 2A ﹣sin 2B 〕＝〔a ﹣c 〕sinC ， 2R?2R 〔sin 2A ﹣sin 2B 〕＝〔a ﹣c 〕sinC?2R ，即：a 2+c 2﹣b 2＝ac ，∴ ．因为0＜B ＜π，因此 ，II 〕假定b ＝12，c ＝8，由正弦定理，， ，由b ＞c ，故∠C 为锐角， ，∴ ．18．〔2021?郑州一模〕三棱锥M ﹣ABC 中，MA ＝MB ＝MC ＝AC ＝，AB ＝BC ＝2，13/21O 为AC 的中点，点 N 在线BC 上，且 ．1〕证明：BO ⊥平面AMC ；2〕求二面角N ﹣AM ﹣C 的正弦值．【解答】解：〔1〕以以下图：连结OM ，AC ，OM 订交于O ，在△ABC 中： ，那么 ，OB ⊥AC ．在△MAC 中： ，O 为AC 的中点，那么OM ⊥AC ，且 ．在△MOB 中：，知足：BO 2+OM 2＝MB 2依据勾股定理逆定理获得OB ⊥OM ，故OB ⊥平面AMC ；〔2〕因为OB ，OC ，OM 两两垂直，成立空间直角坐标系O ﹣xyz 以以下图．14/212021年河南省郑州市高考数学一模试卷答案分析因为，AB＝BC＝2那么，由设平因此，面MAN的法向量为，那么令，得，因为所BO⊥平面以AMC，因此与为平面AMC的法向量，所成角的余弦为．因此二面角的正弦值为19．〔2021?郑州一模〕椭圆E：＝1〔a＞b＞0〕的离心率为．，且过点C〔1，0〕．15/21〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕假定过点〔﹣，0〕的随意直线与椭圆E订交于A，B两点，线段 AB的中点为M，求证，恒有|AB|＝2|CM|．【解答】解：〔I〕由题意知b＝1，，又因为a 2＝b2+c2解得，，因此椭圆方程为．〔Ⅱ〕设过点直线为，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕由得〔9+18t 2〕y2﹣12ty﹣16＝0，且△＞0．那么又因为，，＝，因此．因为线段AB的中点为M，因此|AB|＝2|CM|．20．〔2021?郑州一模〕水污染现状与工业废水排放亲密有关，某工厂深人贯彻科学展开观，努力提升污水采集办理水平，其污水办理程序以下：原始污水必先经过A系统办理，处理后的污水〔A级水〕抵达环保标准〔简称达标〕的概率为p〔0＜p＜1〕．经化验检测，16/21假定确认达标即可直接排放；假定不达标那么一定进行B系统办理后直接排放．某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既能够逐一化验，也能够将假定干个样本混淆在一同化验，混淆样本中只需有样本不达标，那么混淆样本的化验结果必不达标，假定混淆样本不达标，那么该组中各个样本一定再逐一化验；假定混淆样本达标，那么原水池的污水直接排放．现有以下四种方案：方案一：逐一化验；方案二：均匀分红两组化验；方案三；三个样本混在一同化验，剩下的一个独自化验；方案四：四个样本混在一同化验．化验次数的希望值越小，那么方案越“优“．〔1〕假定，求2个A级水样本混淆化验结果不达标的概率；2〕①假定，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优“？②假定“方案三〞比“方案四“更“优〞，求p的取值范围．【解答】解：〔1〕该混淆样本达标的概率是，因此依据对峙事件原理，不达标的概率为．〔2〕①方案一：逐一检测，检测次数为4．方案二：由①知，每组两个样本检测时，假定达标那么检测次数为1，概率为；假定不达标那么检测次数为3，概率为．故方案二的检测次数记为ξ的可能取值为2，4，6．2，ξ2其散布列以下，17/21p可求得方案二的希望为方案四：混在一同检测，记检测次数为ξ，ξ可取1，5．44其散布列以下，ξ415p可求得方案四的希望为．比较可得E〔ξ4〕＜E〔ξ2〕＜4，应选择方案四最“优〞．②方案三：设化验次数为η3，η3可取2，5．η325p p 31﹣p3；方案四：设化验次数为η可取1，54，η4η415p p 41﹣p4；由题意得．18/2121．〔2021?郑州一模〕函数f 〔x 〕＝x ﹣lnx ﹣ ．〔1〕求f 〔x 〕的最大值；〔2〕假定 ﹣bx ≥1恒成立，务实数b 的取值范围．【解答】解：〔1〕 ，定义域〔0，+∞〕， ，由e x≥x+1＞x ，f 〔x 〕在〔0，1]增，在〔1，+∞〕减，f 〔x 〕max ＝f 〔1〕＝1﹣e ．〔2〕 ?﹣lnx+x+xe x﹣bx ﹣1≥0，令 ， ， 令h 〔x 〕＝x 2e x+lnx ，h 〔x 〕在〔0，+∞〕单一递加，x →0，h 〔x 〕→﹣∞，h 〔1〕＝e ＞0h 〔x 〕在〔0，1〕存在零点 x 0，即，，因为y ＝xe x在〔0，+∞〕单一递加，故，即 ，φ〔x 〕在〔0，x 0〕减，在〔x 0，+∞〕增，，19/212021年河南省郑州市高考数学一模试卷答案分析因此b≤2．22．〔2021?郑州一模〕在平面直角坐标系xOy中，曲线E经过点P，其参数方程〔α为参数〕，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系．〔1〕求曲线E的极坐标方程；〔2〕假定直线l交E于点A，B，且OA⊥OB，求证：为定值，并求出这个定值．【解答】解：〔I〕将点代入曲线E的方程，得解得a 2＝4，因此曲线E的一般方程为，极坐标方程为．〔Ⅱ〕不妨设点A，B的极坐标分别为，那么即．，即．20/212021年河南省郑州市高考数学一模试卷答案分析23．〔2021?郑州一模〕函数f 〔x 〕＝|x ﹣1|﹣|2x+1|+m ．1〕求不等式f 〔x 〕＞m 的解集；2〕假定恰巧存在4个不一样的整数n ，使得f 〔n 〕≥0，求m 的取值范围．【解答】解：〔1〕由f 〔x 〕＞m ，得|x ﹣1|﹣|2x+1|＞0，即|x ﹣1|＞|2x+1|，不等式两边同时平方，得〔x ﹣1〕2＞〔2x+1〕2，即x 2+2x ＜0，解得﹣2＜x ＜0，∴不等式 f 〔x 〕＞m 的解集为{x|﹣2＜x ＜0}；〔2〕设g 〔x 〕＝|x ﹣1|﹣|2x+1|，，g 〔﹣2〕＝g 〔0〕＝0，g 〔﹣3〕＝﹣1，g 〔﹣4〕＝﹣2，g 〔1〕＝﹣3，又恰巧存在4个不一样的整数n ，使得f 〔n 〕≥0， ∴，即 ，解得1≤m ＜2，故m 的取值范围为 [1，2〕．21/21。