数学问题与解答 2009年第12期问题解答

2-48故学故学2021年第2期O^O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O数学问题与解答(2020年第12期问题解答）00000000000000G000000000000•O1106•如图1，在平面直角坐标系xOy中，M为椭圆^l(a > 6 > 0)上异于长轴a〇端点的动点3、F分别为椭圆的右顶点和左焦 点，£为线段的中点，直线0E交椭圆的左准线h x(其中c = J a- b2)于点过点C0作的平行线交Z于点•求证：乙0即= ^OQF.(271400山东省泰安市宁阳第一中学刘才华供题）证明：易知 /!(a,0)•设A/(x Q,y。

）（y。

#〇)，由M在椭圆上得与+告=1,即+a b a^ = 〇,mx0 - a x0 + a a以下约定用记号表示直线的斜率.记一观，则•又£(¥，夸)，x〇- a\ 22!故 k0E =—.x0-r a于是由①得a •^\，进而直线〇芯的a方程为y =-•令* =-i，得y = ^-，故ka C kc个令，t) •由/^(-C，0)，得k p F =—2---a-----+ cc由z!M//0<?得k=A，所以‘.k=-l，艮(3Pf丄0(?.又训丄叩，故点F为△0P(?的垂心，则丄OR于是乙〇尸厂=90° -乙P0(?=乙0(?厂1107.如图2,在梯形仙〇}中，仙//C Z)，仙=2C Z)，对角线4C，S O交于点£，平面内一 点 F满足 /I B = BF，BC = Cf.过点 £作 // AB,交BC于点G,作EH// CF,交AF于点、H•求证：丄S Z)当且仅当C//丄BC.(033200 山西省临县一中李有贵供题）2^y故2021年第2期故学牧学2-49GH=AH-AG = —\F - [-A B + —Ac)3 \3 3 )2—►—►1—►2—►= —(AB +B F)—AB—AC3 3 31►2—►2—►= —AB—AC + —BF.3 3 3于是GH-CBI1 —►2——►—►2—►—►=yAB - j A C\ •(AB -AC)+ —BF -CB.由AB =Bf\ BC = CF得~~►►11KBF.CB =—BF2 =—AB~.22又由^'=2/^5,可知BD = BA+AC+CD=AC - —AB.2设a…的个位数为\的个位数为y…，则 由①知r^ +i=x n +2y…(modl0),lrn+i=+ 7…(m〇«l 10),其中 x…，y… e l〇, 1,…，9}.由a, = 1，6,=用递推关系②，得1，得X丨=1，T i=1.反复运x2=3，y2 :=2^3 =7, r3:=5；X4=7, h :=2^5 =7s ==9；X6=9, r6 ==0X1 二9, r7 ==9；xs=7, r8 ==8尤9二3, y9 ==5；x\o=3, n〇:=8^11 ==9, y (1)尤12 =：1.J l2 =0文13 =1，J l3=1.因②是一阶递推关系，=3^，故 U…1,jyj以12为周期•从而从而ab=X202〇y2020GH-CB =AC7-AB-^c l+—AC BD.所以获= 0当且仅当石/ •茂=0,即4C丄当且仅当C W丄f i C.1108.设正整数a，6满足（1 +及)2°2° = a + 6#.求a6的个位数字.(215500江苏省常熟市中学查正开供题）解：对任意正整数\设（1 + 7?)" + 6…7I(a…，e N)，熟知满足条件的正整数对 U…,6J存在且唯一•由于«n+i + bn+lj2 =( 1 + J2)n+'=(an + bn j2)(1 + /2)=(an + 26J+ (an + t>…)J2 ,从而an+i+ 2i…,bn+i =an + b….①-a:4y4= \4 = 4( mo d10),即a6的个位数字为4.1109•设正整数n多3, a,,a2，…，a…为正实数•记S = X a,，P = X4求证：P >i=l i=1y a,(p -a f)iT l S - a:(610031四川成都金牛西林巷18号晨 曦数学工作室宿晓阳供题）证明：通过作差即得p_y a^P-a])i=i S - a,ai(p ~ a])IS"a^a^S - a t)- (P - a')]X i=1nIS —a；X a/a; - a》"a.a/a, - a;)1 -X1<j^nS - a,a,a;(a, - a;)ajal{aJ - a,)'S —a-S —a-.I1 ^ / < j ^na ,a y ( a , - a 7) [ ( S - a y) - ( S - a ,)](S -a ,.)(S -f l j )ya ,a ；(«, ~ ^)：! S , <；Sn( S - «, ) ( S - Oj )^ 〇,(m + n )(k + 2).注意到-(H )_矣〇及④，可得移项即得原不等式成立.1110•已知实系数一元三次方程d +(2 — a )x 2 +心-a = 0(a > 0)有三个实根，其中至 少有一根在区间（〇, a )内.求2a - 6的最大值.(453«»河南省辉县一中贺基军供题） 解：设方程的三个实根为m ，n ，I 其中0 < k < a .由韦达定理得m +n -\-k =a -2,........①2a —2A : + 4(k + 2)(k - 2)2k 2+ 4^4.当A : = 2且m =汀=~= 2时，上式等号k成立.此时相应有a = 8, 6 = 12,符合0 < A <a 的题设.综上，2a -6的最大值为4.m n + m k + nk = b ,........②m nk = a .............③由（m + /I )2 彡 4m r i 及 A : > 0,得k(m + n )2 - Am nk ^ 0,又由③和①得麵A : = m + n + A : + 2.从而得k(m + n )2 - 4(m + n ) -(4A : + 8) ^0,即(m + n + 2)( m k + nk - 2k - 4) ^0.由 A <a 得m +n + 2= a - A : > 0,从而必有 m A : + a i A - 2A : - 4 > 0，因此当m = n 时等号成立.由②、③知6 = 7 + m A : + M ，结合①得k 2a - b=I 2 ——j (m +n +A : + 2) - (m + n)k2021年第2期问题1111.已知 a , 6，c 多 0且 a+6 + c = 3•求 3a5 + 563 + 5C 3的取值范围.(237005安徽省六安第二中学陶兴红 供题）1112. 在平面直角坐标系中，圆0,:(;« + 2)2 + y 2 = 1，圆 02: - 2): + / = 1，点P (4, y D ).若圆0,上存在一点4,圆02上存在 一点满足丨/M l =丨洲丨，求y 。

江苏省2009年中考数学试卷说明： 1．本试卷共6页，包含选择题（第1题~第8题，共8题）、非选择题（第9题~第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上，同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角填写好座位号． 3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答、非选择题在指定位置用0.5毫米黑色水笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效． 4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．2-的相反数是（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12- 2．计算23()a 的结果是（ ） A ．5a B ．6a C ．8a D ．23a3．如图，数轴上A B 、两点分别对应实数a b 、则下列结论正确的是（ ）10 a b （第3题）A ．0a b +>B ．0ab >C ．0a b ->D ．||||0a b ->4．下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在55⨯移方法中，正确的是（ ） A ．先向下平移3格，再向右平移1格 B ．先向下平移2格，再向右平移1格 C ．先向下平移2格，再向右平移2格 D ．先向下平移3格，再向右平移2格6．某商场试销一种新款衬衫，一周内销售情况如下表所示： 商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（ ）A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差 7．如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；圆柱 圆锥 球 正方（第5题）图图AC BDFE（第7题）④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 8．下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-⎛⎫-+⎪⎝⎭； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）A ．第10个数B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置．上） 9．计算2(3)-= ．10x 的取值范围是 ．11．江苏省的面积约为102 600km 2，这个数据用科学记数法可表示为 km 2．12．反比例函数1y x=-的图象在第 象限．13．某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程 ． 14．若2320a a --=，则2526a a +-= ． 15．如图，一个圆形转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4、5，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有偶数所在区域的概率为P （偶数），指针指向标有奇数所在区域的概率为P （奇数），则P （偶数） P （奇数）（填“>”“<”或“=”）．16．如图，AB 是O ⊙的直径，弦C D A B ∥．若65ABD ∠=°，则A D C ∠= ．17．已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm （结果保留π）．18是梯形ABCD 的中位线，DEF△的面积为24cm ，则梯形ABCD 的面积为 cm 2． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）计算： （1）0|2|(1--++（2）2121a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭．（第15AD E BCF （第16（第17（第1820．（本题满分8分）某市对九年级学生进行了一次学业水平测试，成绩评定分A、B、C、D四个等第．为了解这次数学测试成绩情况，相关部门从该市的农村、县镇、城市三类群体的学生中共抽取2 000名学生的数学成绩进行统计分析，相应数据的统计图表如下：21．（本题满分8的机会相同，那么这多少？22．（本题满分8分）一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公3路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组．．．．．．．解决的问题，并写出解答过程．23．（本题满分10分）如图，在梯形ABCD中，∥，∥，∥，、两点在边BC上，且四边形AEFD是A D B C A B D E A F D平行四边形．（1）AD与BC有何等量关系？请说明理由；A DCBFE（2）当AB DC =时，求证：ABCD 是矩形．24．（本题满分10分）如图，已知二次函数221y x x =--的图象的顶点为A ．二次函数2y ax bx =+的图象与x 轴交于原点O 及另一点C ，它的顶点B 在函数221y x x =--的图象的对称轴上． （1）求点A 与点C 的坐标；（2）当四边形AOBC 为菱形时，求函数2y ax bx =+25．（本题满分10分）如图，在航线l点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处． （1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h ）．（参考数据：1.73，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）26．（本题满分10分） （1）观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用AACDB图A CDB图F E将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．27．（本题满分12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润y （万元）与销售量x （万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x 为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O A 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）28．（本题满分DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ，和点(04)E ，．以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度ED C F B A图③ E D C AB F G ADEC B F G 图④ 图⑤1日：有库存6万升，成本价4元/升，售价5元/升． 13日：售价调整为5.5元/升．15日：进油4万升，成本价4.5元/升．31日：本月共销售10万升．五月份销售记录（万升）/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒． （1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；（2）以点C 为圆心、12t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接PA 、PB ．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）9．9 10．1x ≥ 11．51.02610⨯ 12．二、四 13．27800(1)9100x +=14．1 15．< 16．25 17．2π 18．16 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答必须写出必要的文字说明、推理步骤或证明过程）19．解：（1）原式2123=-+=． ··········· （4分）（2）原式2221(1)(1)(1)1(1)1a a a a a a a a a a a --+-+=÷=⨯=--． （8分） 20．解：（1）280，48，180． ············ （3分）（2）抽取的学生中，成绩不合格的人数共有(804848)176++=，所以成绩合格以上的人数为20001761824-=，估计该市成绩合格以上的人数为182460000547202000⨯=． 答：估计该市成绩合格以上的人数约为54720人． ··· （8分） 21．解：用树状图分析如下：P （1个男婴，2个女婴）38=．答：出现1个男婴，2个女婴的概率是38． ······· （8分） 22．解：本题答案不惟一，下列解法供参考．解法一??????问题：普通公路和高速公路各为多少千米？ （3分） 解：设普通公路长为x km ，高度公路长为y km ．根据题意，得2 2.2.60100x y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得60120x y =⎧⎨=⎩，． ········ （7分） 答：普通公路长为60km ，高速公路长为120km ． ···· （8分） 解法二 问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？ ························· （3分） 解：设汽车在普通公路上行驶了x h ，高速公路上行驶了y h ．根据题意，得 2.2602100.x y x y +=⎧⎨⨯=⎩，解得11.2.x y =⎧⎨=⎩，········ （7分）答：汽车在普通公路上行驶了1h ，高速公路上行驶了1.2h ．（8分）（男男男） （男男女） 女 男（男女男） （男女女）女 女（女男男） （女男女）女 男（女女男）（女女女） 女 女男女 开始第一个第二个 第三个 所有结果23．（1）解：13AD BC =． ·············· （1分） 理由如下：AD BC AB DE AF DC ∥，∥，∥，∴四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形.AD BE AD FC ==，．又四边形AEFD 是平行四边形，AD EF ∴=．AD BE EF FC ∴===．13AD BC ∴=． ··················· （5分）（2）证明：四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形，DE AB AF DC ∴==，． AB DC DE AF =∴=，．又四边形AEFD 是平行四边形，∴四边形AEFD 是矩形． （10分） 24．解：（1）2221(1)2y x x x =--=--，所以顶点A 的坐标为(12)-，． ······ （3分）因为二次函数2y ax bx =+的图象经过原点，且它的顶点在二次函数221y x x =--图象的对称轴l 上，所以点C 和点O 关于直线l 对称，所以点C 的坐标为(20)，． ······ （6分）（2）因为四边形AOBC 是菱形，所以点B 和点A 关于直线OC 对称，因此，点B 的坐标为(12)，．因为二次函数2y ax bx =+的图象经过点B (12)，，(20)C ，，所以2420.a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得24a b =-⎧⎨=⎩，．所以二次函数2y ax bx =+的关系式为224y x x =-+． ···· （10分）25．解：（1）设AB 与l 交于点O ．在Rt AOD △中，6024cos60AD OAD AD OA ∠====°，，°． 又106AB OB AB OA =∴=-=，．在Rt BOE △中，60cos603OBE OAD BE OB ∠=∠=∴==°，°（km ）． ∴观测点B 到航线l 的距离为3km ． ·········· （4分） （2）在Rt AOD △中，tan 60OD AD ==°．在Rt BOE △中，tan 60OE BE ==°DE OD OE ∴=+=．在Rt CBE △中，763tan 3tan76CBE BE CE BE CBE ∠==∴=∠=°，，°．3tan 76 3.38CD CE DE ∴=-=-°．15min h 12=，1212 3.3840.6112CD CD ∴==⨯≈（km/h ）． 答：该轮船航行的速度约为40.6km/h ． ······· （10分）26．解：（1）同意．如图，设AD 与EF 交于点G ．由折叠知，AD 平分BAC ∠，所以BAD CAD ∠=∠．又由折叠知，90AGE DGE ∠=∠=°，所以90AGE AGF ∠=∠=°，所以AEF AFE ∠=∠．所以AE AF =，即AEF △为等腰三角形． ······ （5分）（2）由折叠知，四边形ABFE 是正方形，45AEB ∠=°，所以A CD B FE G135BED ∠=°．又由折叠知，BEG DEG ∠=∠，所以67.5DEG ∠=°． 从而9067.522.5α∠=-=°°°． ············· （10分）27．解法一：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为4(54)4÷-=（万升）．答：销售量x 为4万升时销售利润为4万元． ····· （3分）（2）点A 的坐标为(44)，，从13日到15日利润为5.54 1.5-=（万元）， 所以销售量为1.5(5.54)1÷-=（万升），所以点B 的坐标为(55.5)，． 设线段AB 所对应的函数关系式为y kx b =+，则445.55.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得 1.52.k b =⎧⎨=-⎩， ∴线段AB 所对应的函数关系式为 1.52(45)y x x =-≤≤． ·· （6分） 从15日到31日销售5万升，利润为1 1.54(5.5 4.5) 5.5⨯+⨯-=（万元）． ∴本月销售该油品的利润为5.5 5.511+=（万元），所以点C 的坐标为(1011)，．设线段BC 所对应的函数关系式为y mx n =+，则 5.551110.m n m n =+⎧⎨=+⎩，解得1.10.m n =⎧⎨=⎩， 所以线段BC 所对应的函数关系式为 1.1(510)y x x =≤≤． · （9分）（3）线段AB ． ·················· （12分） 解法二：（1）根据题意，线段OA 所对应的函数关系式为(54)y x =-，即(04)y x x =≤≤．当4y =时，4x =．答：销售量为4万升时，销售利润为4万元． ····· （3分）（2）根据题意，线段AB 对应的函数关系式为14(5.54)(4)y x =⨯+-⨯-，即 1.52(45)y x x =-≤≤． ··············· （6分） 把 5.5y =代入 1.52y x =-，得5x =，所以点B 的坐标为(55.5)，． 截止到15日进油时的库存量为651-=（万升）． 当销售量大于5万升时，即线段BC 所对应的销售关系中， 每升油的成本价144 4.5 4.45⨯+⨯==（元）． 所以，线段BC 所对应的函数关系为y =(1.552)(5.5 4.4)(5) 1.1(510)x x x ⨯-+--=≤≤．······ （9分） （3）线段AB ． ·················· （12分）28．解：（1）(50)C t -，，34355P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ········· （2分） （2）①当C ⊙的圆心C 由点()50M ，向左运动，使点A 到点D 并随C ⊙继续向左运动时， 有3532t -≤，即43t ≥．当点C 在点D 左侧时，过点C 作CF ⊥射线DE ，垂足为F ，则由CDF EDO∠=∠， 得CDF EDO △∽△，则3(5)45CF t --=．解得485t CF -=． 由12CF ≤t ，即48152t t -≤，解得163t ≤． ∴当C ⊙与射线DE 有公共点时，t 的取值范围为41633t ≤≤． （5分） ②当PA AB =时，过P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，有222PA PQ AQ =+ 221633532525t t t ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭． 2229184205t t t ∴-+=，即2972800t t -+=． 解得1242033t t ==，． ······ （7分）当PA PB =时，有PC AB ⊥， 3535t t ∴-=-．解得35t =． ··· （9分） 当PB AB =时，有222221613532525PB PQ BQ t t t ⎛⎫=+=+--+ ⎪⎝⎭．221324205t t t ∴++=，即278800t t --=． 解得452047t t ==-，（不合题意，舍去）． ········ （11分） ∴当PAB △是等腰三角形时，43t =，或4t =，或5t =，或203t =．（12分）。

2009年中考试题专题之6-一元一次方程和二元一次方程组试题及答案一、选择1、(2009年某某省内江市)若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=-n my x m y x 2的解是⎩⎨⎧==12y x ，则n m -为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．22、（2009年某某市、某某市）已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b -的值为（ ）．A ．1B ．－1C ． 2D ．33、（2009年某某市）家电下乡是我国应对当前国际金融危机，惠农强农，带动工业生产，促进消费，拉动内需的一项重要举措．国家规定，农民购买家电下乡产品将得到销售价格13%的补贴资金．今年5月1日，甲商场向农民销售某种家电下乡手机20部．已知从甲商场售出的这20部手机国家共发放了2340元的补贴，若设该手机的销售价格为x 元，以下方程正确的是（ ）A ．2013%2340x ⋅=B ．20234013%x =⨯C ．20(113%)2340x -=D ．13%2340x ⋅=4、（2009年某某市）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（）A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种5、（2009年某某省）A 种饮料B 种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A 种饮料和3瓶B 种饮料，一共花了13元，如果设B 种饮料单价为x 元/瓶，那么下面所列方程正确的是（）A ．2(1)313x x -+=B ．2(1)313x x ++=C ．23(1)13x x ++=D ．23(1)13x x +-=6、（2009年某某市）班长去文具店买毕业留言卡50X ，每X 标价2元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付（）A ．45元B ．90元C ．10元D ．100元7、（2009某某某某）已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b -的值为（ ）．A ．1B ．－1C ． 2D ．38、（2009某某）方程组233x y x y -=⎧⎨+=⎩，的解是（ ）A ．12x y =⎧⎨=⎩，．B ．21x y =⎧⎨=⎩，．C ．11x y =⎧⎨=⎩，．D ．23x y =⎧⎨=⎩，．9、（2009年日照）若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为A.43-B.43C.34D.34-10、（2009年某某）二元一次方程组2,0x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（ ）A ．0,2.x y =⎧⎨=⎩B ．2,0.x y =⎧⎨=⎩C ．1,1.x y =⎧⎨=⎩D ．1,1.x y =-⎧⎨=-⎩11、（2009年某某）已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．13cm12、（2009年某某）已知有10包相同数量的饼干，若将其中1包饼干平分给23名学生，最少剩3片。

2009年河南省中考数学试卷一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分） 1．（3分）﹣5的相反数是（ ）A.51B.-51C.-5D.5【分析】根据相反数的定义直接求得结果． 【解答】解：﹣5的相反数是5. 故答案为：D ．【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．2．（3分）不等式﹣2x ＜4的解集是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ＞2D ．x ＜2【分析】利用不等式的基本性质，将两边同除以﹣2，得x ＞﹣2． 【解答】解：系数化为1得，x ＞﹣2．故选A ．【点评】本题考查了不等式的性质3：不等式两边同除以同一个负数，不等号的方向改变．在这一点上学生容易想不到改变不等号的方向误选B ，而导致错误的发生．3．（3分）下列调查适合普查的是（ ）A ．调查2009年6月份市场上某品牌饮料的质量B ．了解中央电视台直播北京奥运会开幕式的全国收视率情况C ．环保部门调查5月份黄河某段水域的水质量情况D ．了解全班同学本周末参加社区活动的时间【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．【解答】解：A ：调查2009年6月份市场上某品牌饮料的质量具有破坏性，适合用抽样调查； B 、C ：了解中央电视台直播北京奥运会开幕式的全国收视率情况以及环保部门调查5月份黄河某段水域的水质量情况，范围比较大，普查的意义或价值不大，应选择抽样调查； D ：了解全班同学本周末参加社区活动的时间适合普查．故选D ． 【点评】适合普查的方式一般有以下几种： ①范围较小；②容易掌控；③不具有破坏性；④可操作性较强．基于以上各点，“了解全班同学本周末参加社区活动的时间”适合普查，其它几项都不符合以上特点，不适合普查．4．（3分）方程x2=x的解是（）A．x=1 B．x=0 C．x1=1，x2=0 D．x1=﹣1，x2=0【分析】方程移项后提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程移项得：x2﹣x=0，分解因式得：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=1，x2=0．故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）．月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为（）A．（2，2）B．（2，4）C．（4，2）D．（1，2）【分析】根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状、大小及相对位置．【解答】解：连接A′B，由月牙①顺时针旋转90°得月牙②，可知A′B⊥AB，且A′B=AB，由A（﹣2，0）、B（2，0）得AB=4，于是可得A′的坐标为（2，4）．故选B．【点评】本题主要考查平面直角坐标系及图形的旋转变换的相关知识，学生往往因理解不透题意而出现问题．6．（3分）一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．【解答】解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，也可能两行都是两层．所以图中的小正方体最少4块，最多5块．故选B．【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽．二、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）7．（3分）16的平方根是±4．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4．故答案为：±4．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．8．（3分）如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1=25°，那么∠2的度数是50度．【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义，可得∠2=2∠1=50度．【解答】解：∵AB∥CD，CE平分∠ACD，∠1=25°，∴∠2=∠1+∠3，∵∠1=∠3=25°，∴∠2=25°+25°=50°．【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的定义．9．（3分）下图是一个简单的运算程序．若输入x的值为﹣2，则输出的数值为6．【分析】本题其实是代数式求值的问题，即当x=﹣2时，求x2+2的值，直接代入即可求得结果．【解答】解：由图示可得（﹣2）2+2=6．【点评】如果能理解了算式实际表达的意思，直接代入即可求得结果，学生的困难在于理解不了运算程序，从而造成失误．也有学生把（﹣2）2当成了﹣4，从而得到错误结果﹣2．10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB 的长是2．【分析】根据平行四边形的性质证明点O为AC的中点，而点E是BC边的中点，可证OE为△ABC的中位线，利用中位线定理解题．【解答】解：由平行四边形的性质可知AO=OC，而E为BC的中点，即BE=EC，∴OE为△ABC的中位线，OE=AB，由OE=1，得AB=2．故答案为2．【点评】本题结合平行四边形的性质考查了三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．11．（3分）如图，AB为半圆O的直径，延长AB到点P，使BP=AB，PC切半圆O于点C，点D是上和点C不重合的一点，则∠CDB的度数为30度．【分析】连接OC，由切线的性质得OC⊥PC，于是易得Rt△OCP中，OC=OB=PB；利用30°所对的边等于斜边的一半，可得∠P=30°，于是得∠COP=60°，再由“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得∠CDB=30度．【解答】解：连接OC，∵PC切半圆O于点C，∴OC⊥PC，∴OC=OB=PB，∴∠P=30°，即∠COP=60°，∴∠CDB=∠COP=30°．【点评】本题考查了直角三角形中30°角的确定及圆周角与圆心角的关系，属综合性稍强的题目，学生由于应用中的某一类知识欠缺导致出现错误．12．（3分）点A（2，3）在反比例函数的图象上，当1≤x≤3时，y的取值范围是2≤y≤6．【分析】首先根据点A（2，3）在反比例函数的图象上，求出系数k的值，可得y=，然后根据1≤x≤3，进而求出y的取值范围．【解答】解：∵点A（2，3）在反比例函数的图象上，∴3=，解得k=6，∴y=，∵1≤x≤3，∴2≤y≤6．故答案为2≤y≤6．【点评】本题主要考查反比例函数的性质，解答本题的关键是求出反比例函数的系数k的值，还要熟练掌握解不等式的知识点，此题基础题，比较简单．13．（3分）在一个不透明的袋子中有2个黑球、3个白球，它们除颜色外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么两个球都是黑球的概率为．【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】解：∴一共有20种情况，两个球都是黑球的有两种，∴两个球都是黑球的概率为=．【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14．（3分）动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC 边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q 分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为2．【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2．【解答】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，当点Q与D重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．则点A′在BC边上移动的最大距离为3﹣1=2．故答案为：2【点评】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．上，点D、E在OB上，点F在上，则阴影部分的面积为（结果保留π）．【分析】首先要明确S阴影=S扇形OAB﹣S△OCD﹣S正方形CDEF，然后依面积公式计算即可．【解答】解：连接OF，∵∠AOD=45°，四边形CDEF是正方形，∴OD=CD=DE=EF，于是Rt△OFE中，OE=2EF，∵OF=，EF2+OE2=OF2，∴EF2+（2EF）2=5，解得：EF=1，∴EF=OD=CD=1，∴S阴影=S扇形OAB﹣S△OCD﹣S正方形CDEF=﹣×1×1﹣1×1=．【点评】本题失分率较高，学生的主要失误在于找不到解题的切入点，不知道如何添加辅助线，也有学生对直角三角形三边关系不熟悉，误认为∠FOB=30°造成失误．三、解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）先化简，然后从中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．【分析】首先利用分式的运算方法进行化简，本题有两种方法：一是对括号里的式子先通分、合并，再将后式除法变为乘法，分解因式后约分；二是先把后式除法变乘法，再利用乘法分配律化简．在选值计算时，要保证在分式有意义的情况下选值．【解答】解：原式==，∵x﹣1≠0，x+1≠0，∴x≠±1，原式=．【点评】本题所考查的内容“分式的运算”是数与式的核心内容，全面考查了有理数、整式、分式运算等多个知识点，要合理寻求简单运算途径的能力及分式运算．这是个分式混合运算题，运算顺序是先乘除后加减，加减法时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．17．（9分）如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．【分析】首先进行判断：OE⊥AB，由已知条件不难证明△BAC≌△ABD，得∠OBA=∠OAB再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论．【解答】解：OE垂直且平分AB．证明：在△BAC和△ABD中，，∴△BAC≌△ABD（SAS）．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．又点E是AB的中点，∴OE垂直且平分AB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；解决此类问题，要熟练掌握三角形全等的判定、等腰三角形的性质等知识．18．（9分）2008年北京奥运会后，同学们参与体育锻炼的热情高涨．为了解他们平均每周的锻炼时间，小明同学在校内随机调查了50名同学，统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图．根据上述信息解答下列问题：（1）m=，n=；（2）在扇形统计图中，D组所占圆心角的度数为度；（3）全校共有3000名学生，估计该校平均每周体育锻炼时间不少于6小时的学生约有多少名？【分析】（1）利用总数和C所占的百分比即可求出m，进而求出n；（2）求出D组所占的百分比，再求D组所占圆心角的度数即可；（3）利用样本估计总体，先求出该校平均每周体育锻炼时间不少于6小时的学生所占的百分比，即可求出答案．【解答】解：（1）由统计表和扇形图可知：m=50×16%=8人；n=50﹣8﹣15﹣20﹣1﹣2=4人；（2）扇形统计图中，D组所占圆心角的度数=360×=144度；（3）该校平均每周体育锻炼时间不少于6小时的学生站的百分比==78%，则3000名学生，估计该校平均每周体育锻炼时间不少于6小时的学生约有3000×78%=2340人．【点评】解决这类问题的关键是要弄清楚频数的意义，理解频数分布表与扇形统计图的对应关系，还要掌握用样本估计总体的统计思想．19．（9分）暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游．出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升．（1）已知油箱内余油量y（升）是行驶路程x（千米）的一次函数，求y与x的函数关系式；（2）当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警．如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．【分析】先设函数式为：y=kx+b，然后利用两对数值可求出函数的解析式，把x=400代入函数解析式可得到y，有y的值就能确定是否能回到家．【解答】解：（1）设y=kx+b，当x=0时，y=45，当x=150时，y=30，∴，解得，∴y=x+45（0≤x≤450）；（2）当x=400时，y=×400+45=5＞3，∴他们能在汽车报警前回到家．【点评】解题思路：本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求一次函数的解析式，再通过其解析式计算说明问题．由一次函数的解析式的求法，找到两点列方程组即可解决．20．（9分）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯．已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78度．李师傅的身高为1.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便．他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便？（参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70．）【分析】本题中问题的解决要弄清楚电工李师傅所站的地方离地面的高度，通过解直角三角形来解决．首先可求得点A离地面的距离，再用相似三角形对应边成比例，或者同角三角函数的比例，求得第三级离地面的高度，即可求得他头顶离房顶的距离．【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．∵AB=AC，∴CE=BC=0.5．在Rt△AEC和Rt△DFC中，∵tan78°=，∴AE=EC×tan78°≈0.5×4.70=2.35．又∵sinα==，DF=•AE=×AE≈1.007．∴李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：1.007+1.78=2.787．头顶与天花板的距离约为：2.90﹣2.787≈0.11．∵0.05＜0.11＜0.20，∴他安装比较方便．【点评】命题立意：考查利用解直角三角形知识解决实际问题的能力．要求学生应用数学知识解决问题，在正确分析题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D，过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=30度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为1；②当α=60度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 1.5；（2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．【分析】（1）根据旋转的性质和等腰梯形的性质，①假设四边形EDBC是等腰梯形，根据题目已知条件及外角和定理可求α，AD；②假设四边形EDBC是直角梯形，根据题目已知条件及内角和定理可求α，AD．（2）根据∠α=∠ACB=90°先证明四边形EDBC是平行四边形．再利用Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2求得AB，AC，AO的长度；在Rt△AOD中，∠A=30°，AD=2，可求BD，比较得BD=BC，可证明四边形EDBC是菱形．【解答】解：（1）①当四边形EDBC是等腰梯形时，∵∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，∴α=∠EDB﹣∠A=30°，∴△ADO是等腰三角形，∴AD=OD，过点O作OF∥BC，∵BC⊥AC，∴OF⊥AC，∴OF是△ABC的中位线，∴OF=BC=1，∵α=∠EDB﹣∠A=30°，∴∠ODF=60°=∠DOF=60°，∴△ODF是等边三角形，∴OD=OF=DF=1，∵∠A=∠α=30°，∴AD=OD=1；②当四边形EDBC是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°，根据三角形的内角和定理，得α=90°﹣∠A=60°，此时，AD=AC×=1.5．（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．∵∠α=∠ACB=90°，∴BC∥ED，∵CE∥AB，∴四边形EDBC是平行四边形．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠A=30°，∴AB=4，AC=2，∴AO==．在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=AD，AD==，∴AD=2，∴BD=2，∴BD=BC．又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形．【点评】解决此问题，既要弄清等腰梯形、直角梯形及菱形的判定，又要掌握有关旋转的知识，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，也是解决问题的关键．22．（10分）某家电商场计划用32 400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台．三种家电的进价和售价如表所示：（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？（2）国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴．在（1）的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？进价（元/台）售价（元/台）价格种类电视机20002100冰箱24002500洗衣机16001700【分析】（1）由题意可知：电视机的数量和冰箱的数量相同，则洗衣机的数量等于总台数减去2倍的电视机或洗衣机的数量，又知洗衣机数量不大于电视机数量的一半，则15﹣2x ≤x；根据各个电器的单价以及数量，可列不等式2000x+2400x+1600（15﹣2x）≤32400；根据这两个不等式可以求得x 的取值，根据x的取值可以确定有几种方案；（2）分别计算出方案一和方案二的家电销售的总额，分别将总额乘以13%，即可求得补贴农民的钱数．【解答】解：（1）设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为（15﹣2x）台依题意得：解这个不等式组，得6≤x≤7∵x为正整数，∴x=6或7；方案1：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；方案2：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台；（2）方案1需补贴：（6×2100+6×2500+3×1700）×13%=4251（元）；方案2需补贴：（7×2100+7×2500+1×1700）×13%=4407（元）；答：国家的财政收入最多需补贴农民4407元．【点评】对于方案设计的问题，首先考虑的是如何根据已知条件列出不等式，在所求得的取值范围中找出符合题意的值，得出可能产生的几种方案．23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y=ax2+bx过A、C两点．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同；（2）①根据相似三角形的性质求出点E的横坐标表达式即为点G的横作标表达式．代入二次函数解析式，求出纵标表达式，将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答．②若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分EQ=QC，EC=CQ，EQ=EC三种情况讨论．若有两种情况时间相同，则三边长度相同，为等腰三角形．【解答】解：（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得，解得a=﹣，b=4．故抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x；（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==，即=．∴PE=AP=t．PB=8﹣t．∴点E的坐标为（4+t，8﹣t）．∴点G的纵坐标为：﹣（4+t）2+4（4+t）=﹣t2+8．∴EG=﹣t2+8﹣（8﹣t）=﹣t2+t．∵﹣＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2．②共有三个时刻．（①）当EQ=QC时，因为Q（8，t），E（4+t，8﹣t），QC=t，所以根据两点间距离公式，得：（t﹣4）2+（8﹣2t）2=t2．整理得13t2﹣144t+320=0，解得t=或t==8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）．（②）当EC=CQ时，因为E（4+t，8﹣t），C（8，0），QC=t，所以根据两点间距离公式，得：（4+t﹣8）2+（8﹣t）2=t2．整理得t2﹣80t+320=0，t=40﹣16，t=40+16＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）．（③）当EQ=EC时，因为Q（8，t），E（4+t，8﹣t），C（8，0），所以根据两点间距离公式，得：（t﹣4）2+（8﹣2t）2=（4+t﹣8）2+（8﹣t）2，解得t=0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t=．于是t1=，t2=，t3=40﹣16．【点评】抛物线的求法是函数解析式中的一种，通常情况下用待定系数法，即先列方程组，再求未知系数，这种方法本题比较适合．对于压轴题中的动点问题、极值问题，先根据条件“以静制动”，用未知系数表示各自的坐标，如果能构成二次函数，即可通过配方或顶点坐标公式求其极值．。

初一三线八角探究题V1一．解答题（共30小题）1．（2013春•海陵区期末）如图，已知平面内有两条直线AB 、CD ，且AB ∥CD ，P 为一动点．点．（1）当点P 移动到AB 、CD 之间时，如图（1），这时∠P 与∠A 、∠C 有怎样的关系？证明你的结论．明你的结论．（2）当点P 移动到AB 的外侧时，如图（2），是否仍有（1）的结论？如果不是的结论？如果不是 ，请写出你的猜想（不要求证明）．（3）当点P 移动到如图（3）的位置时，∠P 与∠A 、∠C 又有怎样的关系？能否利用（1）的结论来证明？还有其他的方法吗？请写出一种．的结论来证明？还有其他的方法吗？请写出一种．2．（2009•青岛）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=6cm ，CD=4cm ，BC=BD=10cm ，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）．解答下列问题：下列问题：（1）当t 为何值时，PE ∥AB ；（2）设△PEQ 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △PEQ =S △BCD ？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；明理由；（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．的面积是否发生变化？说明理由．3．（2005•陕西）已知：直线a ∥b ，P 、Q 是直线a 上的两点，M 、N 是直线b 上两点．上两点． （1）如图①，线段PM 、QN 夹在平行直线a 和b 之间，四边形PMNQ 为等腰梯形，其两腰PM=QN ．请你参照图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行直线a 和b 之间的两条线段相等；之间的两条线段相等；（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a 、b 去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”．把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）．请你在图③中画出一种图形，使夹在平行直线a 和b 之间的两条曲线段相等；曲线段相等；（3）如图④，若梯形PMNQ 是一块绿化地，梯形的上底PQ=m ，下底MN=n ，且m ＜n ．现计划把价格不同的两种花草种植在S 1、S 2、S 3、S 4四块地里，使得价格相同的花草不相邻．为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理由．4．（2016春•北流市校级期中）（1）如图甲，AB∥CD，试问∠2与∠1+∠3的关系是什么，为什么？为什么？一样大吗？为什么？（2）如图乙，AB∥CD，试问∠2+∠4与∠1+∠3+∠5一样大吗？为什么？哪个大？为什么？（3）如图丙，AB∥CD，试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7哪个大？为什么？你能将它们推广到一般情况吗？请写出你的结论．你能将它们推广到一般情况吗？请写出你的结论．5．（2015•凉山州一模）我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…对．（1）10条直线交于一点，对顶角有条直线交于一点，对顶角有 对．）条直线交于一点，对顶角有 对．对．（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有6．（2015•长春二模）探究：如图①，点A在直线MN上，点B在直线MN外，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥MN，交∠MAB的平分线AD于点C，连结BC，求证：BC⊥AD．应用：如图②，点B在∠MAN内部，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥AM，交∠MAB 的平分线AD于点C；作PE∥AN，交∠NAB的平分线AF于点E，连结BC、BE．若∠MAN=150°，则∠CBE的大小为的大小为度．7．（2015秋•东明县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM=90°．的度数；（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；（2）如图2，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．的度数．8．（2015秋•麒麟区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OM平分∠AOD，ON平分∠DOE．（1）若∠EON=18°，求∠AOC的度数．的度数．的数量关系，并说明理由．（2）试判断∠MON与∠AOE的数量关系，并说明理由．9．（2015春•苏州期末）如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON 的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．（1）填空：∠OBC+∠ODC=；（2）如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：（3）如图2：若BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．并说明理由．10．（2015秋•吴江区期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．上的一点．（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C，（2）过点P画OA的垂线，垂足为H，（3）线段PH 的长度是点P 到 的距离，线段的距离，线段 是点C 到直线OB 的距离．的距离．（4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段PC 、PH 、OC 这三条线段大小关系是这三条线段大小关系是 （用“＜”号连接）号连接）11．（2015秋•内江期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：（1）①若∠DCE=45°，则∠ACB 的度数为的度数为 ；②若∠ACB=140°，求∠DCE 的度数；的度数；（2）由（1）猜想∠ACB 与∠DCE 的数量关系，并说明理由．的数量关系，并说明理由．（3）当∠ACE ＜180°且点E 在直线AC 的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE 角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．13．（2015秋•南岗区期末）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD 的度数；的度数；12．（2015秋•江西期末）如图，△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，BD ，CE 交于点O ，F ，G 分别是AC ，BC 延长线上一点，且∠EOD+∠OBF=180°，∠DBC=∠G ，指出图中所有指出图中所有平行线平行线，并说明理由．（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．14．（2015秋•蓝田县期末）如图，已知∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC=∠F，求证：EC∥DF．15．（2015春•天河区期末）已知：如图，AD⊥BC，FG⊥BC．垂足分别为D，G．且∠ADE=∠CFG．求证：DE∥AC．16．（2015春•霸州市期末）如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠P AB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）17．（2015春•东莞校级期末）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠P AC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化．若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索之间的关系又是如何？∠P AC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？18．（2015春•荣昌县期末）如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF 于O，AE∥OF，且∠A=30°．的度数；（1）求∠DOF的度数；（2）试说明OD平分∠AOG．19．（2015春•澧县期末）已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：，试解决下列问题：（1）∠1+∠2=；（2）∠1+∠2+∠3=；（3）∠1+∠2+∠3+∠4=；（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=．20．（2015春•成都校级月考）如图：成都校级月考）如图：的度数；（1）已知AB∥CD，EF∥MN，∠1=115°，求∠2和∠4的度数；）的结果进行归纳，试着用文字表述出来； （2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，试着用文字表述出来；（3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一角是另一个角的两倍，求这两个角的大小．这两个角的大小．21．（2015春•晋安区期末）如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF 的度数；（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．度数；若不存在，说明理由．22．（2015春•微山县校级期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；之间的关系；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；之间的关系并给予证明；之间的关系．（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．23．（2015春•芦溪县期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合下图，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE．∠1与∠2的关系是：，理由：；（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE．∠1与∠2的关系是：，理由：．，那么 ．（3）由（1）（2）你得出的结论是：如果）你得出的结论是：如果 ，那么（4）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角度数的分别是别是24．（2015春•垦利县校级期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；之间的关系；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；之间的关系并给予证明．（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．25．（2015春•繁昌县期末）如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°的位置关系并说明理由；（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并说明理由；说明理由；（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．猜想结论并说明理由．26．（2015春•开江县期末）如图，已知直线m∥n，A、B是直线m上的任意两点，C、D 是直线n上的任意两点，连AD、BC，∠ABC与∠ADC的平分线相交于点E，若∠BAD=80°．（1）求∠EDC的度数；的度数；的度数．（2）若∠BCD=30°，试求∠BED的度数．27．（2015春•下城区期末）如图，已知AB∥DE∥MN，AD平分∠CAB，CD⊥DE．的度数；（1）∠DAB=15°，求∠ACD的度数；是否成立，并说明理由．（2）判断等式∠CDA=∠NCD+∠DAB是否成立，并说明理由．28．（2015秋•黄岛区期末）如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠D=∠BOD，又因为∠BOD是△POB的外角，故∠BOD=∠BPD+∠B，得∠BPD=∠D﹣∠B．探究一：将点P移到AB，CD内部，如图②，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？并证明你的结论；并证明你的结论；探究二：在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD延长线于点Q，之间又有何数量关系？并证明你的结论；如图③，则∠BPD，∠B，∠PDQ，∠BQD之间又有何数量关系？并证明你的结论；的度数． 探究三：在图④中，直接根据探究二的结论，写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．29．（2015春•盐都区期末）（1）AB∥CD，如图1，点P在AB、CD外面时，由AB∥CD，有∠B=∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．如图2，将点P移到AB、CD内部，以上结论是否成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．之间有何数量关系？请证明你的结论．（2）如图3，若AB、CD相交于点Q，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系（不需证明）？（不需证明）？（3）根据（2）的结论求图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．的度数．（4）若平面内有点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8，连结A1A3、A2A4、A3A5、A4A6、A5A7、A6A8、A7 A1、A8 A2，如图5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7+∠A8的度数是多少（直接写出结果）？的度数是多少（直接写出结果）？若平面内有n个点A1、A2、A3、A4、A5、…，A n，且这n个点能围成的多边形为凸多边形，连结A1A3、A2A4、A3A5、A4A6、A5A7，…，A n﹣1A1、A n A2，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+…+∠A n﹣1+∠A n的度数是多少（直接写出结果，用含n的代数式表示）？的代数式表示）？30．（2015春•高新区期末）已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E 为平面内一点．为平面内一点．（1）如图1，∠BME，∠E，∠END的数量关系为的数量关系为 ；（直接写出答案）（直接写出答案） （2）如图2，∠BME=m°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，EQ∥NP，求∠FEQ的度数．（用含m的式子表示）的式子表示）（3）如图3点G为CD上一点，∠BMN=n•∠EMN，∠GEK=n•∠GEM，EH∥MN交AB 于点H，探究∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含n的式子表示）的式子表示）初一三线八角探究题V1参考答案与试题解析一．解答题（共30小题） 1．（2013春•海陵区期末）如图，已知平面内有两条直线AB 、CD ，且AB ∥CD ，P 为一动点．点．（1）当点P 移动到AB 、CD 之间时，如图（1），这时∠P 与∠A 、∠C 有怎样的关系？证明你的结论．明你的结论．（2）当点P 移动到AB 的外侧时，如图（2），是否仍有（1）的结论？如果不是）的结论？如果不是 ∠P=∠C ﹣∠A 【解答】证明：（1）∠P=∠A+∠C ， 延长AP 交CD 与点E ．∵AB ∥CD ，∴∠A=∠AEC ． 又∵∠APC 是△PCE 的外角，的外角， ∴∠APC=∠C+∠AEC ． ∴∠APC=∠A+∠C ．（2）否；∠P=∠C ﹣∠A ． （3）∠P=360°﹣（∠A+∠C ）．①延长BA 到E ，延长DC 到F ， 由（1）得∠P=∠P AE+∠PCF ．∵∠PAE=180°﹣∠P AB ，∠PCF=180°﹣∠PCD ， ∴∠P=360°﹣（∠P AB+∠PCD ）． ②连接AC ．∵AB ∥CD ，∴∠CAB+∠ACD=180°． ∵∠P AC+∠PCA=180°﹣∠P ，∴∠CAB+∠ACD+∠P AC+∠PCA=360°﹣∠P ，，请写出你的猜想（不要求证明）． （3）当点P 移动到如图（3）的位置时，∠P 与∠A 、∠C 又有怎样的关系？能否利用（1）的结论来证明？还有其他的方法吗？请写出一种．的结论来证明？还有其他的方法吗？请写出一种． 【考点】平行线的性质；三角形的外角性质． 【专题】压轴题．压轴题． 【分析】（1）延长AP 后通过外角定理可得出结论．后通过外角定理可得出结论． （2）利用外角定理可直接得出答案．）利用外角定理可直接得出答案．（3）延长BA 到E ，延长DC 到F ，利用内角和定理解答．，利用内角和定理解答．=S △BCD ？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；明理由；（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．的面积是否发生变化？说明理由．【考点】平行线的判定；根据实际问题列二次函数关系式；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 【专题】压轴题．压轴题． 【分析】（1）若要PE ∥AB ，则应有，故用t 表示DE 和DP 后，代入上式求得t 的值；值； （2）过B 作BM ⊥CD ，交CD 于M ，过P 作PN ⊥EF ，交EF 于N ．由题意知，四边形CDEF 是平行四边形，可证得△DEQ ∽△BCD ，得到，求得EQ 的值，再由△PNQ ∽△BMD ，得到，求得PN 的值，利用S △PEQ =EQ •PN 得到y 与t 之间的函数关系式；之间的函数关系式；（3）利用S △PEQ =S △BCD 建立方程，求得t 的值；的值；（4）易得△PDE ≌△FBP ，故有S 五边形PFCDE =S △PDE +S 四边形PFCD=S △FBP +S 四边形PFCD =S △BCD ，即五边形的面积不变．即五边形的面积不变． 【解答】解：（1）当PE ∥AB 时，时， ∴．而DE=t ，DP=10﹣t ， ∴， ∴，∴当（s ），PE ∥AB ．即∠P=360°﹣（∠P AB+∠PCD ）． 【点评】本题考查本题考查平行线平行线的性质，难度不大，注意图形的变化带来的影响，不要有惯性思维． 2．（2009•青岛）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=6cm ，CD=4cm ，BC=BD=10cm ，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）．解答下列问题：下列问题：（1）当t 为何值时，PE ∥AB ；（2）设△PEQ 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使S △PEQ（2）∵线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，方向匀速运动，∴EF平行且等于CD，是平行四边形．∴四边形CDEF是平行四边形．∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．∵BC=BD=10，∴△DEQ∽△BCD．∴．．∴．过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N，∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，∴CM=CD=2cm，∴cm，∵EF∥CD，∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD，又∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∴∠BQF=∠BFG，∵ED∥BC，∴∠DEQ=∠QFB，又∵∠EQD=∠BQF，∴∠DEQ=∠DQE，∴DE=DQ，∴ED=DQ=BP=t，∴PQ=10﹣2t．又∵△PNQ∽△BMD，∴．∴．∴．∴S△PEQ=EQ•PN=××．（3）S△BCD=CD•BM=×4×4=8，若S△PEQ=S△BCD，则有﹣t 22+t=×8，解得t 1=1，t 2=4．（4）在△PDE 和△FBP 中，中，∵DE=BP=t ，PD=BF=10﹣t ，∠PDE=∠FBP ， ∴△PDE ≌△FBP （SAS ）．∴S 五边形PFCDE =S △PDE +S 四边形PFCD=S △FBP +S 四边形PFCD =S △BCD =8．∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．由．【考点】平行线的性质；梯形；相似三角形的应用． 【专题】压轴题．压轴题． 【分析】（1）根据夹在两条平行线间的线段相等，进行画图或构造等腰三角形等均可；）根据夹在两条平行线间的线段相等，进行画图或构造等腰三角形等均可； （2）只要画出一个轴对称图形和两条平行线相交形成一个轴对称图形即可；）只要画出一个轴对称图形和两条平行线相交形成一个轴对称图形即可；（3）根据题意，即是比较（S 1+S 2）和（S 3+S 4）的大小，根据平行得到相似三角形，进一步求得相似三角形的相似比，根据三角形的面积公式和相似三角形的面积比等于相似比的平方，运用其中一个三角形的面积表示出其它三个三角形的面积，再进一步运用求差法进行比较大小．较大小．【点评】本题利用了本题利用了平行线平行线的性质，的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，勾股定理，三相似三角形和全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式求解．综合性较强，难度较大．角形的面积公式求解．综合性较强，难度较大．3．（2005•陕西）已知：直线a ∥b ，P 、Q 是直线a 上的两点，M 、N 是直线b 上两点．上两点． （1）如图①，线段PM 、QN 夹在平行直线a 和b 之间，四边形PMNQ 为等腰梯形，其两腰PM=QN ．请你参照图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行直线a 和b 之间的两条线段相等；之间的两条线段相等；（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a 、b 去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”．把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）．请你在图③中画出一种图形，使夹在平行直线a 和b 之间的两条曲线段相等；曲线段相等；（3）如图④，若梯形PMNQ 是一块绿化地，梯形的上底PQ=m ，下底MN=n ，且m ＜n ．现计划把价格不同的两种花草种植在S 1、S 2、S 3、S 4四块地里，使得价格相同的花草不相邻．为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理【解答】解：（1）（3分）分）分）（2）（6分）同底等高，（3）∵△PMN和△QMN同底等高，∴S△PMN=S△QMN．∴S3+S2=S4+S2．分）∴S3=S4．（7分）∵△POQ∽△NOM，∴==，分）．（8分）∴S2=．∵，分）∴．（9分）分） ∴（S1+S2）﹣（S3+S4）=S1+S1﹣2•S1=S1（1+﹣2•）=S1（1﹣）2（10分）∵m＜n，∴（）2＞0．分）∴S1+S2＞S3+S4．（11分）故园艺师应选择S1和S2两块地种植价格较便宜的花草，因为这两块的面积之和大于另两块分）地的面积之和．（12分）【点评】此题中能够根据三角形的面积公式和相似三角形的面积比是相似比的平方找到三角形中的面积关系．形中的面积关系．4．（2016春•北流市校级期中）（1）如图甲，AB∥CD，试问∠2与∠1+∠3的关系是什么，为什么？为什么？一样大吗？为什么？（2）如图乙，AB∥CD，试问∠2+∠4与∠1+∠3+∠5一样大吗？为什么？哪个大？为什么？（3）如图丙，AB∥CD，试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7哪个大？为什么？你能将它们推广到一般情况吗？请写出你的结论．你能将它们推广到一般情况吗？请写出你的结论．【考点】平行线的性质．【分析】（1）首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF，根据平行线的性质，易得∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3；（2）首先分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN，由平行线的性质，可得∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．（3）首先分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，然后利用平行线的性质，即可证得∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．【解答】解：（1）∠2=∠1+∠3．过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF=∠1，∠CEF=∠3，∴∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3；（2）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；（3）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．归纳：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等．归纳：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等．对．对． （2）n （n ≥2）条直线交于一点，对顶角有）条直线交于一点，对顶角有 n （n ﹣1） 对．对． 【考点】对顶角、邻补角；规律型：图形的变化类． 【分析】（1）仔细观察计算对顶角的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，求出本题结论；题结论；（2）利用（1）中规律得出答案即可．）中规律得出答案即可． 【解答】解：（1）如图①两条直线交于一点，图中共有=2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有=6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有=12对对顶角；对对顶角；…；按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有：=90，故答案为：90；（2）由（1）得：n （n ≥2）条直线交于一点，对顶角有：=n （n ﹣1）． 故答案为：n （n ﹣1）．【点评】此题主要考查了对顶角以及图形变化规律，此题主要考查了对顶角以及图形变化规律，本题是一个探索规律型的题目，本题是一个探索规律型的题目，本题是一个探索规律型的题目，解决时解决时注意观察每对数之间的关系．这是中考中经常出现的问题．注意观察每对数之间的关系．这是中考中经常出现的问题．【点评】此题考查了此题考查了平行线平行线的性质．的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．结合思想的应用． 5．（2015•凉山州一模）我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，… （1）10条直线交于一点，对顶角有条直线交于一点，对顶角有 906．（2015•长春二模）探究：如图①，点A 在直线MN 上，点B 在直线MN 外，连结AB ，过线段AB 的中点P 作PC ∥MN ，交∠MAB 的平分线AD 于点C ，连结BC ，求证：BC ⊥AD ． 应用：如图②，点B 在∠MAN 内部，连结AB ，过线段AB 的中点P 作PC ∥AM ，交∠MAB的平分线AD 于点C ；作PE ∥AN ，交∠NAB 的平分线AF 于点E ，连结BC 、BE ．若∠MAN=150°，则∠CBE 的大小为的大小为 105度． 【考点】平行线的性质；垂线．【分析】探究：根据角平分线的定义和平行线的性质得出∠PCA=∠P AC ，根据等角对等边得出PC=P A ，再得出PC=PB ，利用三角形的内角和证明即可；，利用三角形的内角和证明即可； 应用：根据探究中的证明得出∠BAC+∠BAE+∠CBA+∠ABE=180°，再由角平分线得出∠BAC+∠BAE=75°，最后得出答案即可．，最后得出答案即可． 【解答】解：探究：∵PC ∥MN ， ∴∠PCA=∠MAC ．∵AD 为∠MAB 的平分线，的平分线， ∴∠MAC=∠P AC ． ∴∠PCA=∠P AC ，∴PC=P A ． ∵P A=PB ， ∴PC=PB ，∴∠B=∠BCP ．∵∠B+∠BCP+∠PCA+∠PAC=180°， ∴∠BCA=90°，∴BC ⊥AD ；应用：∵∠MAB 的平分线AD ，∠NAB 的平分线AF ，∠MAN=150°， ∴∠BAC+∠BAE=75°，∵∠BAC+∠BAE+∠CBA+∠ABE=180°， ∴∠CBE=∠CBA+∠ABE=180°﹣75°=105° 故答案为：105．【点评】本题考查了平行线的性质，本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，角平分线的定义，是基础题，角平分线的定义，是基础题，熟记性质与概念并准确识熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．图是解题的关键． 7．（2015秋•东明县期末）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，∠AOM=90°． （1）如图1，若OC 平分∠AOM ，求∠AOD 的度数；的度数；（2）如图2，若∠BOC=4∠NOB ，且OM 平分∠NOC ，求∠MON 的度数．的度数．【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．，然后根据邻补角的定义求解即可； 【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；（2）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=∠CON，，然后求解即可．再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可．【解答】解（1）∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，∴∠AOC=∠AOM=×90°=45°，∵∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOD=180°﹣∠AOC=180°﹣45°=135°，即∠AOD的度数为135°；（2）∵∠BOC=4∠NOB ∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，∴∠CON=∠COB﹣∠BON=4x°﹣x°=3x°，∵OM平分∠CON，∴∠COM=∠MON=∠CON=x°，∵∠BOM=x+x=90°，∴x=36°，∴∠MON=x°=×36°=54°，即∠MON的度数为54°．本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解此类题目熟记概念并准确识图是解【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，列出方程．题的关键，（2）难点在于根据∠BOM列出方程．8．（2015秋•麒麟区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OM平分∠AOD，ON平分∠DOE．（1）若∠EON=18°，求∠AOC的度数．的度数．的数量关系，并说明理由．（2）试判断∠MON与∠AOE的数量关系，并说明理由．【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义；垂线．【分析】（1）直接利用角平分线的性质得出∠DOE的度数，再求出∠DOB的度数，进而得出答案；出答案；进而求出答案．（2）直接利用未知数表示出∠AOD、∠MOD、∠MON进而求出答案．【解答】解：（1）∵ON平分∠DOE，∴∠DOE=2∠EON=36°，∵∠BOE=∠DOE+∠DOB=90°，∴∠DOB=∠BOE﹣∠DOE=54°，∴∠AOC=∠DOB=54°；（2）∠DON=∠AOE 理由：设∠DON=x°，∵ON平分∠DOE，∴∠DOE=2∠DON=2x°，∵∠AOE+∠BOE=180°，∠BOE=90°，∴∠AOE=180°﹣∠BOE=90°，∴∠AOD=∠AOE+∠DOE=（90+2x）°，∵OM平分∠AOD，∴∠MOD=（90+2x）°=（45+x）°，∴∠MON=∠MOD﹣∠DON=45°，∴∠MON=∠AOE=45°．【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及垂线定义和邻补角的定义，正确表示出∠AOD 的度数是解题关键．的度数是解题关键．9．（2015春•苏州期末）如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON 的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．（1）填空：∠OBC+∠ODC=180°；（2）如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：（3）如图2：若BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．并说明理由．平行线的判定．垂线；平行线【考点】垂线；，然后利用四边形内角和求解；【分析】（1）先利用垂直定义得到∠MON=90°，然后利用四边形内角和求解；（2）延长DE交BF于H，如图，由于∠OBC+∠ODC=180°，∠OBC+∠CBM=180°，根据等角的补角相等得到∠ODC=∠CBM，由于DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，则∠CDE=∠FBE，然后根据三角形内角和可得∠BHE=∠C=90°，于是DE⊥BF；（3）作CQ∥BF，如图2，由于∠OBC+∠ODC=180°，则∠CBM+∠NDC=180°，再利用BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，则∠GDC+∠FBC=90°，根据平行线的性质，由CQ∥BF 得∠FBC=∠BCQ，加上∠BCQ+∠DCQ=90°，则∠DCQ=∠GDC，于是可判断CQ∥GD，所以BF∥DG．【解答】（1）解：∵OM⊥ON，∴∠MON=90°，在四边形OBCD中，∠C=∠BOD=90°，∴∠OBC+∠ODC=360°﹣90°﹣90°=180°；故答案为180°；（2）证明：延长DE交BF于H，如图1，∵∠OBC+∠ODC=180°，而∠OBC+∠CBM=180°，∴∠ODC=∠CBM，∵DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，∴∠CDE=∠FBE，而∠DEC=∠BEH，∴∠BHE=∠C=90°，∴DE⊥BF；．理由如下：（3）解：DG∥BF．理由如下：作CQ∥BF，如图2，∵∠OBC+∠ODC=180°，∴∠CBM+∠NDC=180°，的外角，∵BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，∴∠GDC+∠FBC=90°，∵CQ ∥BF ，∴∠FBC=∠BCQ ，而∠BCQ+∠DCQ=90°， ∴∠DCQ=∠GDC ，∴CQ ∥GD ，∴BF ∥DG． 的距离，线段的距离，线段 PC 的长的长 是点C 到直线OB 的距离．距离．（4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段PC 、PH 、OC 这三条线段大小关系是这三条线段大小关系是 PH ＜PC ＜OC （用“＜”号连接）号连接）【考点】垂线段最短；点到直线的距离；作图—基本作图．【专题】作图题．作图题．【分析】（1）（2）利用方格线画垂线；）利用方格线画垂线；（3）根据点到直线的距离的定义得到线段PH 的长度是点P 到OA 的距离，线段OP 的长是点C 到直线OB 的距离；的距离；（4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到PC ＞PH ，CO ＞CP ，即可得到线段PC 、PH 、OC 的大小关系．的大小关系．【解答】解：（1）如图：）如图：（2）如图：）如图：（3）直线0A 、PC 的长．的长．【点评】本题考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．它们的交点叫做垂足．它们的交点叫做垂足．也考也考查了查了平行线平行线的判定与性质．的判定与性质．10．（2015秋•吴江区期末）如图，点P 是∠AOB 的边OB 上的一点．上的一点．（1）过点P 画OB 的垂线，交OA 于点C ，（2）过点P 画OA 的垂线，垂足为H ，（3）线段PH 的长度是点P 到 直线OA。

2009年天津市初中毕业生学业考试试卷第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2sin30°的值等于（）A．1BCD．22．在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（）A．B．3个C．4个D．5个3．若x y，为实数，且20x+=，则2009xy⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A．1 B．1-C．2 D．2-4．边长为a的正六边形的内切圆的半径为（）A．2a B．a C D．12a5．右上图是一根钢管的直观图，则它的三视图为（）A．B．C．D．6．为参加2009年“天津市初中毕业生升学体育考试”，小刚同学进行了刻苦的练习，在投掷实心球时，测得5次投掷的成绩（单位：m）为：8，8.5，9，8.5，9.2．这组数据的众数、中位数依次是（）A．8.5，8.5B．8.5，9C．8.5，8.75D．8.64，９7．在ABC△和DEF△中，22AB DE AC DF A D==∠=∠，，，如果ABC△的周长是16，面积是12，那么DEF△的周长、面积依次为（）A．8，3B．8，6C．4，3D．４，68．在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是()()41A B--，，1，1，将线段AB平移后得到线段A B''，若点A'的坐标为()22-，，则点B'的坐标为（）A．()43，B．()34，C．()12--，D．()21--，9．如图，ABC△内接于O⊙，若28OAB∠=°，则C∠的大小为（）A．28°B．56°C．60°D．62°10．在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x=+-关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．22y x x=--+B．22y x x=-+-H I N A第（9）题C ．22y x x =-++D ．22y x x =++2009年天津市初中毕业生学业考试试卷第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案直接填在题中横线上． 11= ．12．若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 ．13．我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形ABCD 的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD 可以是 ． 14．已知一次函数的图象过点()35，与()49--，，则该函数的图象与y 轴交点的坐标为__________ _． 15．某书每本定价8元，若购书不超过10本，按原价付款；若一次购书10本以上，超过10本部分打八折．设一次购书数量为x 本，付款金额为y 元，请填写下表：16．为了解某新品种黄瓜的生长情况，抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到下面的条形图，观察该图，可知共抽查了________株黄瓜，并可估计出这个新品种黄瓜平均每株结________根黄瓜．17．如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有_______个．18．如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD ，要将其剪拼成边长分别为a b ，的两个小正方形，使得2225a b +=．①a b ，的值可以是________（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性： __________________________________________ _________________________________________ _________________________________________三、解答题：本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19．（本小题6分）解不等式组5125431x x x x ->+⎧⎨-<+⎩，．黄瓜根数/株 第（16）题 第（18）题20．（本小题8分）已知图中的曲线是反比例函数5m y x-=（m 为常数）图象的一支． （Ⅰ） 这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m 的取值范围是什么？（Ⅱ）若该函数的图象与正比例函数2y x =的图象在第一象内限的交点为A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，当OAB △的面积为4时，求点A 的坐标及反比例函数的解析式．21．（本小题8分）有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，放在一个口袋中，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．（Ⅰ）采用树形图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果； （Ⅱ）求摸出的两个球号码之和等于5的概率． 22．（本小题8分）如图，已知AB 为O ⊙的直径，PA PC ，是O ⊙的切线，A C ，为切点，30BAC ∠=° （Ⅰ）求P ∠的大小；（Ⅱ）若2AB =，求PA 的长（结果保留根号）．23．（本小题8分）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A B ，两个凉亭之间的距离．现测得30AC =m，P C AO70BC =m ，120CAB ∠=°，请计算A B ，两个凉亭之间的距离．24．（本小题8分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为2x ，则每个竖彩条的宽为3x ．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD ． 结合以上分析完成填空：如图②，用含x 的代数式表示： AB =____________________________cm ； AD =____________________________cm ； 矩形ABCD 的面积为_____________cm 2；列出方程并完成本题解答． 25．（本小题10分）已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ． （Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；图② 图①（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．26．（本小题10分）已知函数212y x y x bx c αβ==++，，，为方程120y y -=的两个根，点()1M T ，在函数2y 的图象上．（Ⅰ）若1132αβ==，，求函数2y 的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数1y 与2y 的图象的两个交点为A B ，，当ABM △的面积为112时，求t 的值； （Ⅲ）若01αβ<<<，当01t <<时，试确定T αβ，，三者之间的大小关系，并说明理由．。

一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．7的相反数是()1 717A．B．7 C．－D．－72．改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300 670亿元．将300670用科学记数法表示应为()A．0.30067×106B．3.006 7×105C．3.006 7×104 D．30.067×1043．若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是()第3题图A．圆柱B．正方体C．球D．圆锥4．若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是() A．10 B．9 C．8 D．65．某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字．老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是()1 41241A．0 B．C．D．16．某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是(单位：千克)：67，59，61，59，63，57，70，59，65，这组数据的众数和中位数分别是()A．59，63 B．59，61 C．59，59 D．57，617．把x3－2x2y＋xy2分解因式，结果正确的是()A．x(x＋y)(x－y) B．x(x2－2xy＋y2)C．x(x＋y)2D．x(x－y)28．如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD＝45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G．当点C在AB上运动时，设AF＝x，DE＝y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()第8题图二、填空题(本题共16分，每小题4分)9．不等式3x＋2≥5的解集是________．10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD＝________°．第10题图第12题图11．若把代数式x2－2x－3化为(x－m )2＋k 的形式，其中m 、k 为常数，则m ＋k ＝________．12．如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使点A 落在MN 上，落点记为A′，折痕交AD 于点E ．若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A′N ＝________；若M 、N 分别是AD 、BC 边上距DC 最近的n 等分点(n ≥2，且n 为整数)，则A′N ＝________(用含有n 的式子表示)． 三、解答题(本题共30分，每小题5分) (16)−1−20090+|−2√5|−√2013．计算：．x x−2+6x+2=114．解分式方程．15．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ． 求证：AB ＝FC ．第15题图16．已知x 2－5x ＝14，求(x －1)(2x －1)－(x ＋1)2＋1的值．y =mx 17．如图，A 、B 两点在函数(x ＞0)的图象上．(1)求m 的值及直线AB 的解析式；(2)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数．第17题图18．列方程或方程组解应用题：北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加．据统计，2008年10月11日至2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次．在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次?四、解答题(本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分)19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝1，BC＝4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．第19题图20．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．(1)求证：AE与⊙O相切；(2)当BC＝4，时，求⊙O的半径．cos C=13第20题图21．在每年年初召开的市人代会上，北京市财政局都要报告上一年度市财政预算执行情况和当年预算情况．以下是根据2004—2008年报告中的有关数据制作的市财政教育预算与实际投入统计图表的一部分．第21题图表1 2004—2008年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表(单位：亿元)年份2004 2005 2006 2007 2008 教育实际投入与预算的差值 6.7 5.7 14.6 7.3请根据以上信息解答下列问题：(1)请在表1的空格内填入2004年市财政教育实际投入与预算的差值；(2)求2004—2008年北京市财政教育实际投入与预算差值的平均数；(3)已知2009年北京市财政教育预算是141.7亿元，在此基础上，如果2009年北京市财政教育实际投入按照(2)中求出的平均数增长，估计它的金额可能达到多少亿元?22．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图①所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图②所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．第22题图请你参考小明的做法解决下列问题：(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图③所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图③中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个．．符合条件的平行四边形即可)；(2)如图④，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图④中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图．．并直接写出结果)．五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)23．已知关于x的一元二次方程2x2＋4x＋k－1＝0有实数根，k为正整数．(1)求k的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝2x2＋4x＋k－1的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；y=12x+b(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线(b＜k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围．第23题图24．在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF(如图①)．(1)在图①中画图探究：①当P1为射线CD上任意一点(P1不与C点重合)时，连结EP1，将线段EP1绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1．判断直线FG1与直线CD的位置关系并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2．判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．tan B=43SΔP1FG1(2)若AD＝6，，AE＝1，在①的条件下，设CP1＝x，＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．第24题图√3CD=1AC25．如2图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－6，0)，B(6，0)，C(0，4)，延长AC到点D，使，过D点作DE∥AB交BC的延长线于点E．(1)求D点的坐标；(2)作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线y＝kx＋b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；(3)设G为y轴上一点，点P从直线y＝kx＋b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点．若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．(要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明)第25题图答 案1．2009年北京市中考数学试卷(课标卷)一、选择题1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．B 7．D 8．A 二、填空题√32√2n−1n 9．x ≥1 10．28 11．－3 12．(n ≥2，且n 为整数)三、解答题 (16)−1−20090+|−2√5|−√2013．解：√5√5＝6－1＋2－2＝5．14．解：去分母，得x (x ＋2)＋6(x －2)＝(x －2)(x ＋2)．解得x ＝1．经检验，x ＝1是原方程的解． ∴原方程的解是x ＝1．15．证明：∵FE ⊥AC 于点E ，∠ACB ＝90°，∴∠FEC ＝∠ACB ＝90°． ∴∠F ＋∠ECF ＝90°． 又∵CD ⊥AB 于点D ， ∴∠A ＋∠ECF ＝90°． ∴∠A ＝∠F ．在△ABC 和△FCE 中，{∠A =∠F,|{∠ACB=∠FEC ,|∴△ABC ≌△FCE ．∴AB ＝FC ．第15题答图16．解： (x －1)(2x －1)－(x ＋1)2＋1＝2x 2－x －2x ＋1－(x 2＋2x ＋1)＋1 ＝2x 2－x －2x ＋1－x 2－2x －1＋1 ＝x 2－5x ＋1． 当x 2－5x ＝14时，原式＝(x 2－5x )＋1＝14＋1＝15．y =mx 17．解：(1)由图象可知，函数(x ＞0)的图象经过点A (1，6)，可得m ＝6．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ．∵A (1，6)，B (6，1)两点在函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴{k +b =6,6k +b =1.{k =−1,b =7.解得 ∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋7．(2)图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是 3 ．第17题答图18．解法一：设轨道交通日均客运量为x 万人次，则地面公交日均客运量为(4x －69)万人次．依题意，得x ＋(4x －69)＝1696． 解得x ＝353．4x －69＝4×353－69＝1343．答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1343万人次． 解法二：设轨道交通日均客运量为x 万人次，地面公交日均客运量为y 万人次． {x +y =1696,y =4x −69.依题意，得 {x =353,y =1343.解得 答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1343万人次． 四、解答题19．解法一：如图①，过点D 作DG ⊥BC 于点G ．∵AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠A ＝90°． 可得四边形ABGD 为矩形． ∴BG ＝AD ＝1，AB ＝DG ． ∵BC ＝4，∴GC ＝3．∵∠DGC ＝90°，∠C ＝45°，∴∠CDG ＝45°． ∴DG ＝GC ＝3．∴AB ＝3．BE =12AB =32又∵E 为AB 中点，∴． ∵EF ∥DC ，∴∠EFB ＝45°．∴EF =.BEsin45∘=32√2在△BEF 中，∠B ＝90°，．第19题答图解法二：如图②，延长FE 交DA 的延长线于点G ．∵AD ∥BC ，EF ∥DC ，∴四边形GFCD 为平行四边形，∠G ＝∠1．∴GD ＝FC ．∵EA ＝EB ，∠2＝∠3，∴△GAE ≌△FBE ．∴AG ＝BF ．∵AD ＝1，BC ＝4，设AG ＝x ，则BF ＝x ，CF ＝4－x ，GD ＝x ＋1．x =32∴x ＋1＝4－x ．解得．∵∠C ＝45°，∴∠1＝45°．∴EF =BFcos45∘=32√2在△BEF 中，∠B ＝90°，． 20．(1)证明：连结OM ，则OM ＝OB ． ∴∠1＝∠2．∵BM 平分∠ABC ， ∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．∴OM∥BC．∴∠AMO＝∠AEB．在△ABC中AB＝AC，AE是角平分线，∴AE⊥BC．∴∠AEB＝90°．∴∠AMO＝90°．∴OM⊥AE．∴AE与⊙O相切．第20题答图(2)解：在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，∴BE=12BC，∠ABC＝∠C．cos C=13cos∠ABC=13∵BC＝4，，∴BE＝2，．AB=BEcos∠ABC=6在△ABE中，∠AEB＝90°，∴．设⊙O的半径为r，则AO＝6－r．∴OMBE =AOAB∴r2=6−r6r=32∵OM∥BC，∴△AOM∽△ABE．．．解得．32∴⊙O的半径为．21．解：(1)表1 2004—200 8年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表(单位：亿元)年份2004 2005 2006 2007 2008教育实际投入与预算的差值8 6.7 5.7 14.6 7.38+6.7+5.7+14.6+7.35=42.35=8.46(2)(亿元)．所以2004—2008年市财政教育实际投入与预算差值的平均数是8.46亿元．(3)141.7＋8.46＝150.16(亿元)．估计2009年市财政教育实际投入可能达到150.16亿元．22．解：第22题答图(1)拼接成的平行四边形是□ABCD(如图①)．(2)正确画出图形如图②．25平行四边形MNPQ的面积为．五、解答题23．解：(1)由题意得，Δ＝16－8(k－1)≥0．∴k≤3．∵k为正整数，∴k＝1，2，3．(2)当k＝1时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有一个根为零；当k＝2时，方程2x2＋4x＋k－1＝0无整数根；当k＝3时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有两个非零的整数根．综上所述，k＝1和k＝2不合题意，舍去；k＝3符合题意．当k＝3时，二次函数为y＝2x2＋4x＋2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y ＝2x2＋4x－6．(3)设二次函数y＝2x2＋4x－6的图象与x轴交于A、B两点，则A(－3，0)，B(1，0)．依题意翻折后的图象如图所示．第23题答图y=12x+bb=32当直线经过A点时，可得；y=12x+bb=−12当直线经过B点时，可得．−12<b<32由图象可知，符合题意的b(b＜3)的取值范围为．24．解：(1)①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直．证明：如图①，设直线FG1与直线CD的交点为H．∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG1，∴∠P1EG1＝∠CEF＝90°，EG1＝EP1，EF＝EC．∵∠G1EF＝90°－∠P1EF，∠P1EC＝90°－∠P1EF，∴∠G1EF＝∠P1EC．∴△G1EF≌△P1EC．∴∠G1FE＝∠P1CE．∵EC⊥CD，∴∠P1CE＝90°．∴∠G1FE＝90°．∴∠EFH＝90°．∴∠FHC＝90°．∴FG1⊥CD．①②按题目要求所画图形见图①，直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC．tan B=43∵AD＝6，AE＝1，，tan∠EDC=tan B=43∴DE＝5，．可得CE＝4．由(1)可得四边形FECH为正方形.∴CH＝CE＝4．②①如图②，当P1点在线段CH的延长线上时，∵FG1＝CP1＝x，P1H＝x－4，∴SΔP1FG1=12×FG1×P1H=x(x−4)2．∴y=12x2−2x(x>4)．②如图③，当P1点在线段CH上(不与C、H两点重合)时，∵FG1＝CP1＝x，P1H＝4－x，∴SΔP1FG1=12×FG1×P1H=x(4−x)2．∴y=−12x2+2x(0<x<4)．③当P1点与H点重合时，即x＝4时，△P1FG1不存在．y=12x2−2x(x>4)y=−12x2+2x(0<x<4)综上所述，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是或．③第24题答图√3√325．解：(1)∵A(－6，0)，C(0，4)，∴OA＝6，OC＝4．设DE与y轴交于点M．由DE∥AB可得△DMC∽△AOC．CD=12AC∴MDOA=CMCO=CDCA=12又，．√3∴CM＝2，MD＝3．√3同理可得EM＝3．∴OM＝6．√3∴D点的坐标为(3，6)．√3(2)由(1)可得点M的坐标为(0，6)．由DE∥AB，EM＝MD，可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线．∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上．∴ED与CF互相垂直平分．∴CD＝DF＝FE＝EC．∴四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心．作直线BM．设BM与CD、EF分别交于点S、点T．可证△FTM≌△CSM．∴FT＝CS．∵FE＝CD，∴TE＝SD．∵EC＝DF，∴TE＋EC＋CS＋ST＝SD＋DF＋FT＋TS．∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形．√3由点B(6，0)，点M(0，6)在直线y＝kx＋b上，√3√3可得直线BM的解析式为y＝－x＋6．第25题答图(3)确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H，则AH与y轴的交点为所求的G点．√3由OB＝6，OM＝6，可得∠OBM＝60°．∴∠BAH＝30°．√3在Rt△OAG中，OG＝AO·tan∠BAH＝2．√3∴G点的坐标为(0，2)．(或G点的位置为线段OC的中点)。

2009年成人高考高起点数学(文史)真题及答案解析2009年成人高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)1．答案必须答在答题卡上的指定的位置，答在试卷上无效。

2．在本试卷中，tan a表示角a的正切，cot a表示角a的余切．一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。

(1)设集合M={1，2，3}，N={1，3，5}，则M∩N=(A)φ(B) {1，3}(C) {5} (D) {1，2，3，5}【答案】B【解析】本题考查集合中交集的基本概念。

【点评】每年的高起点数学选择题都会涉及类似题，属于送分题。

(2)函数y=sin x+cos x的最大值为(A)1 (B)2 (C) (D)【答案】D【解析】本题考查三角函数最大值，只要记住三角函数值的话没有问题。

【点评】本题考查三角函数最大值，属于基本题型。

(3)a，b为实数，则a2>b2的充分必要条件为(A) > (B)a>b (C)a<b (D)a>-b【答案】A【解析】本题考查充分必要条件的概念。

【点评】本题考查的基本内容没有变化，表达形式变了，学生做起来可能有点困难。

(4)抛物线y2=4x的准线方程为(A)x=4 (B)x=2 (C)x=-1 (D)x=-4【答案】C【解析】求抛物线准线方程，只要记住公式了，这个题没问题。

【点评】本题考查抛物线准线方程，属于容易题。

(5)不等式x2-1>0的解集为(A) (B){x|x<-1}(C){x|x<-1或x>l} (D){x?-l<x<l}【答案】C【解析】考查二次不等式的解法。

【点评】属于基本题。

(6)点P(3，2)，Q(-3，2)，则P与Q(A)关于x轴对称(B)关于y轴对称(C)关于直线y=x对称(D)关于直线y=-x对称【答案】B【解析】属于解析几何内容，而且是最基本的概念。

2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第Ⅰ卷一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题是真命题的为()A ．若 1 1 则 x yB ．若 x 21 则 x 1x y ,,C ．若 x y ,则 x yD ．若 x y ,则 x2y2【测量目标】真假命题的判断 .【考查方式】简单的逻辑推理，若条件推导结论成立则命题正确 .【参考答案】 A【试题解析】由11 得 x y , 而由 x 21 得 x1 ,由 xy , x , y 不一定有意义,而xyx y 得不到 x2y 2故选 A.2．函数 yx23x 4 的定义域为（）xA ． [ 4,1]B ． [ 4, 0)C ． (0,1]D ． [ 4, 0)(0,1]【测量目标】复合函数的定义域.【考查方式】根据复合函数分母大于 0，根号内值大于等于 0 求出定义域 .【参考答案】 D【试题解析】由x得4≤ x0 或 0 x ≤1,故选 D.x 23x≥4 03． 50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有 30 名，参加乙项的学生有 25 名，则仅参加了一项活动的学生人数为 （ ）A ．50B ． 45C ． 40D ．35【测量目标】随机事件与概率 .【考查方式】根据（总体两项都参加的学生人数 =只参加一项学生人数）得到结果.【参考答案】 B【试题解析】 仅参加了一项活动的学生人数 =50 (30+25 50)=45, 故选 B.4．函数 f (x) (13 tan x)cos x 的最小正周期为（）A ． 2πB ．3πC ． πD ．π22【测量目标】三角函数的恒等变换与周期性 .【考查方式】利用三角恒等变换求出三角函数最简式，根据最简式求出最小正周期【参考答案】 A.【试题解析】由f ( x) (1 3 tan x)cos x cos x3 sin x 2sin( x π) 可得最小正周期为 2π,故选 A.65．已知函数f (x) 是 ( , ) 上的偶函数，若对于 x ≥0 ，都有 f ( x2） f (x) ，且当x [0, 2)时， f ( x) log 2 ( x1），则 f (2008) f (2009) 的值为（）A ． 2B ． 1C ． 1D ． 2【测量目标】函数奇偶性的综合运用.【考查方式】根据给出的函数关系，利用偶函数的性质进行求解..【参考答案】 C【试题解析】f ( 2008)f (2009)f (0)f (1) log 2 1 log 2 2 1 ,故选 C.6．若 C 1n x C 2n x 2C n nx n能被 7 整除，则 x, n 的值可能为（）A ． x 4, n 3B ． x 4, n 4C ． x 5, n 4D ． x 6, n 5【测量目标】二项式定理 .【考查方式】把二项式展开式化为二项式，然后把选项中的值代入逐个排除得到答案.【参考答案】 C【试题解析】 C 1n x C n2x2C n n xn(1 x)n1,当 x 5, n 4 时 , (1 x)n1 641 35 37 能被 7 整除 , 故选 C.x2y21 ( a 0, b0 )的两个焦点 , 若 F 1， F 2 ，P(0,2 b) 是正三角形7.设 F 1 和 F 2 为双曲线2b 2a的三个顶点 ,则双曲线的离心率为（）3 B ． 25D ．3A ．C ．22【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】根据上顶点、原点、 F 1 或 F 2 构成的三角形内角求出离心率 .【参考答案】 B【试题解析】由 πc3有 3c 2 4b 2 4(c 2 a 2) ,则 e c 2 ,故选 B.tan362b a 8．公差不为零的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n .若 a 4 是 a 3与a 7 的等比中项 , S 8 32 ,则 S 10 等于（）A. 18B. 24C.60D. 90【测量目标】等差数列的通项、等比数列的性质 .【考查方式】根据等差数列通项将等比数列转化求出{ a n } 通项公式，进而求出结果.【参考答案】 C【试题解析】由 a42a3a7得 (a13d )2( a12d )( a16d ) 得 2a1 3d 0（步骤1）再由 S85632 得2a17d8 则 d2, a1 3 （步骤2）8a1d2所以 S1010 a190 d60 .故选C（步骤 3）29．如图，在四面体ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（）．．A.AC BDB.AC ∥截面 PQMNC.AC BDD. 异面直线PM与BD所成的角为45【测量目标】直线与直线之间、直线与平面之间的位置关系.【考查方式】根据给出的空间几何体判断线线、线面之间的位置关系.【参考答案】 C【试题解析】由 PQ ∥ AC ，QM ∥ BD ， PQ ⊥ QM 可得 AC ⊥ BD ，故A正确（步骤1）由 PQ ∥ AC 可得 AC ∥截面 PQMN ，故B正确（步骤 2））异面直线 PM 与 BD 所成的角等于PM 与 PN 所成的角，故 D 正确（步骤3）综上 C 是错误的，故选 C.（步骤 4）10．甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（）1111A ．B．C．D．6432【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】利用排列组合计算出分组的总数、甲乙相遇的情况得到结果.【参考答案】 D【试题解析】所有可能的比赛分组情况共有4C42 C22612 种，甲乙相遇的分组情况恰好有2!种，故选 D.11．如图所示，一质点P( x, y) 在 xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点 Q ( x,0) 的运动速度 V V (t ) 的图象大致为（）ABCD 【测量目标】函数图象的应用 .【考查方式】结合函数图象理解，利用排除法排除不符合图象变化的选项得到结果.【参考答案】 B【试题解析】由图可知，当质点P( x, y) 在两个封闭曲线上运动时，投影点Q (x,0) 的速度先由正到 0、到负数，再到 0，到正，故 A 错误（步骤 1）质点 P( x, y) 在终点的速度是由大到小接近0，故 D 错误 （步骤 2）质点 P( x, y) 在开始时沿直线运动，故投影点 Q ( x,0) 的速度为常数，因此C 是错误的 （步骤 3） 故选 B（步骤 4）12．若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 yx 3 和 y ax215 x 9 都相切，则 a 等于4A ． 1或 -25B ． 1或21C ．7 或 - 25D ．7或 76444 644【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】先根据直线与曲线相切、已知点坐标求出切线方程，然后根据相切条件求出 a .【参考答案】 A 【试题解析】设过 (1,0) 的直线与 y x 3相切于点 (x 0 , x 03 )所以切线方程为 yx 033x 0 2( x x 0 ) .（步骤 1）即 y3x2 x2x 3 ，又 (1,0) 在切线上，则 x0 或 x 03（步骤 2）2当 x 00 时，由 y 0 与 y ax 215x 9 相切可得 a25 （步骤 3）464当 x03时，由 y27x27与 y ax215x 9 相切可得 a1，所以选 A.步骤4 2444二 .填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 .请把答案填在答题卡上13．已知向量a(3,1) ，b(1,3) ，c(k, 2) ，若 ( a c) b 则k=．【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】给出向量之间的垂直关系，利用向量垂直的性质求出k .【参考答案】0【试题解析】因为a c(3k,1) , (a c)b,∴(3 k) 1 (1) 30 .所以 k0 . 14．体积为 8 的一个正方体，其表面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于．【测量目标】正方体与球的面积、体积公式.【考查方式】先根据正方体体积求出正方体表面积，根据正方体、球表面积相等求出球的半径，然后求出球的体积 .【参考答案】86ππ【试题解析】设球的半径为R ，依题设有6(38) 24πR2，则R26，球的体积为π446386π32πRπππ3315．若不等式4 x≤k( x1)的解集为区间a, b，且 b a 1,k．2则【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】画出图形，然后根据不等式条件求出k 值.【参考答案】32【试题解析】由数形结合半圆 y 4 x2在直线y k( x 1) 之下必须x22, x1 1 ，则直线y k( x1) 过点(1, 3，) 则k3216．设直线系M : x cos( y 2)sin1(0 ≤≤2π),对于下列四个命题：A．存在一个圆与所有直线相交B．存在一个圆与所有直线不相交C．存在一个圆与所有直线相切D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．【测量目标】参数方程、直线与圆的位置关系.【考查方式】利用点到直线距离判断直线与圆的位置关系.【参考答案】 ABC【试题解析】因为x cos( y2)sin1 所以点 P(0, 2) 到 M 中每条直线的距离11（步骤 1）dsin 2cos2即 M 为圆 C :x2( y2)21的全体切线组成的集合（步骤 2）所以存在圆心在(0, 2),半径大于1 的圆与M中所有直线相交 ,也存在圆心在 (0, 2) ,半径小于1的圆与 M 中所有直线均不相交,也存在圆心在 (0, 2),半径等于 1 的圆与M中所有直线相切 ,故 ABC 正确（步骤3）又因为 M 中的边能组成两个大小不同的正三角形,故 D 错误 ,故命题中正确的序号是ABC（步骤 4）三 .解答题：本大题共 6 小题，共74 分 .解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤17．（本小题满分12 分）设函数 f ( x)x39 x26x a ．2（ 1）对于任意实数x ，f ( x)≥m恒成立，求 m 的最大值；（ 2）若方程f ( x)0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围.【测量目标】函数最值问题和零点问题.0 时可求得m值；【考查方式】先求出导函数，然后把不等式组转化为一边为0，当≤结合函数图象分类讨论求出a的范围 .【试题解析】解： (1) f ( x) 3x29x63( x1)(x2) .（步骤 1）因为 x (,) , f (x)≥ m ,即 3x29x(6m)≥0 恒成立.（步骤 2）所以8112(6m)≤0, 得m≤3，即 m 的最大值为3（步骤3）4.4(2) 因为当x1时, f(x) 0 ;当 1x2时, f(x)0 ;当 x2时, f ( x) 0步骤 4所以 当 x 1 时 , f (x) 取极大值5 a （步骤 5）f (1)2当 x 2 时 , f ( x) 取极小值 f (2) 2 a（步骤 6）故当 f (2)0 或 f (1) 0 时 , 方程 f ( x) 0 仅有一个实根 . 解得 a2 或 a5 .（步骤 7）218．（本小题满分 12 分）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为 “支持 ”或 “不支持 ”的概率都是 1 .若某人获得两个 “支持 ”，则给予 102万元的创业资助；若只获得一个 “支持 ”，则给予 5 万元的资助；若未获得 “支持 ”，则不予资助．求：(1) 该公司的资助总额为零的概率；（ 2）该公司的资助总额超过15 万元的概率．【测量目标】相互独立事件与概率.【考查方式】根据总额为 0， 6 次都是不支持求出概率 .【试题解析】解： （ 1）设 A 表示资助总额为零这个事件，则1 61P( A)642（2）设 B 表示资助总额超过15 万元这个事件，则661 6P( B) 15111162232219．（本小题满分 12 分）在 △ ABC 中， A, B, C 所对的边分别为a,b,c ， Aπ 3)c 2b ．， (1（1）求 C ；6（2）若 CB CA 13 ，求 a , b c ．【测量目标】利用正弦定理解决有关角度问题.【考查方式】利用正弦定理边之间比值等于正弦比值求出结果；给出关于向量的等式，根据数量积的公式将其转化为边与角的关系式然后求出a ,bc ．【试题解析】解： （ 1）由 (13) c2b 得b1 3 sin B （步骤1）c2 2 sin Csin(π πC)sin5πcosC cos 5πsin C1 3 1 3则有666=sin Csin Ccot C2222得 cot C 1即 C π（步骤 2）.4（ 2）由CB CA13推出 abcosC13；而 C π, 4即得2ab13（步骤3）22ab 13a2 2则有(13)c2b解得b13（步骤 4）a c c2sin A sin C20．（本小题满分12 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD ， PA AD 4 ，AB 2 ．以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交PD 于点 M ．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角；（3）求点O到平面ABM的距离．【测量目标】空间立体几何中线线、线面、面面之间的位置关系【考查方式】利用线线垂直得到线面垂直然后得到面面垂直；.利用 PC 射影求出所求角正切值，然后求出所求角；利用法向量和点到面距离公式求出距离.【试题解析】解：（ 1）证：依题设，M 在以 BD 为直径的球面上，则BM PD.（步骤1）因为PA ⊥平面ABCD ，则PA ⊥AB，又AB AD（步骤2）所以AB⊥平面PAD，则AB PD（步骤3）因此有PD⊥平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD（步骤4）（ 2 ）设平面ABM与 PC交于点N ，因为 A B C D，所以AB平面P C D ，则AB MN C D（步骤5）由（1）知，PD⊥平面ABM，则 MN是 PN在平面ABM上的射影，所以P N M就是PC 与平面ABM所成的角（步骤6）且PNM PCDtan PNM tan PCD PD2 2 DC所求角为 arctan2 2 .（步骤 7）（ 3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（ 1）知，PD⊥平面ABM于M，则DM就是D点到平面ABM距离 .（步骤8）因为在 Rt △ PAD 中， PA AD 4 ， PD AM ，所以 M 为 PD 中点，DM 2 2，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 2 .（步骤9）方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0) ， P(0,0,4) ， B(2,0,0) ， C (2,4,0) ，D (0,4,0) ， M (0,2,2) ，AB(2,0,0), AM (0,2,2), PC(2,4, 4) .（步骤 10）设平面 ABM 的一个法向量n(x, y, z) ，由n AB, n AM 可得：2x0(步骤 11) 2z2y0令 z1，则 y1，即n(0,1,1) .设所求角为，则 sin PC n2 2 ，PC n3所求角的大小为arcsin 22.(步骤 12) 3（ 3）设所求距离为h，由O(1,2,0), AO(1,2,0)，得： h AO n2( 步骤 13) n21．（本小题满分12 分）22nπsin2nπ数列 { a n } 的通项a n n (cos3) ，其前n项和为S n. 3(1)求 S n;(2)b n S3n n n4, 求数列｛b n｝的前n 项和T n.【测量目标】通项公式的基本运算、求和公式的推导、二倍角公式.【考查方式】把所给公式转化为最简项，然后逐个推导求出S n；利用错位相减法求出T n .【试题解析】 (1) 由于 cos 2 n πsin 2 n π2n π3cos3 ,故3S3k(a 1 a 2a 3 ) (a 4 a 5 a 6 )(a3k 2a3k 1a 3k )( 122232)( 425262)( (3k2)2(3k 1)2(3k)2)22213 3118k 5k(9k4)(步骤 1)2222S3k 1S 3 ka3k k (4 9k)2S3k 2S3 k 1a3k 1k(4 9k)(3k 1)21 k3k2 1 (步骤 2)22 236n 1 , n3k23 6故S n(n 1)(1 3n) , n 3k 1 ( k N *) (步骤 3)6n(3n 4) n 3k6,(2) b nS 3 n9n 4n 4n2 4nT n1 13 229n4 [ 42 4n ]2 44T n1[13 22 9n n 1 4] (步骤 4)2 44两式相减得1[139 99n 4 ] 1[13 9 99n 4]19n3T4 4n8 n 2 44n 14n2 1 1 4n22 n 322 n 14故 T n 813n. (步骤 5)3 3 2 2 n 32 n 1222．（本小题满分 14 分）如图，已知圆 G : (x2)2y2r2 是椭圆x2y21的内接 △ ABC 的内切圆 , 其中 A 为椭16圆的左顶点 .（ 1）求圆 G 的半径 r;（ 2）过点 M (0,1) 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E ， F 两点 .证明：直线 EF 与圆 G 相切．【测量目标】圆的切线方程、椭圆与三角形内切圆的标准方程 .【考查方式】利用条件列出方程然后求出半径；根据相切列出方程组然后求解 .【试题解析】解 : （ 1）设（2 r , y 0）G作 GD AB 于 D , BC交B，过圆心长轴于 H由 GDHB 得 rr 2y 0 ADAH36 6 rr 6r(1)（步骤 1）即y 0r6（2 r, y 0）2 (2 r )212 4r r2( r 2)( r 6)2, y 01(2)（步骤 ）而点 B在椭圆上161616由 (1)、 (2)式得 15r28r12 0 ,解得 r2 或 r 6 （舍去）3 5(2) 设过点 M (0,1) 与圆 (x 2)2y 249则22k 1236k 5 01 ,即 32k3k2相切的直线方程为 : y 1 kx(3)（步骤 3）(4)解得 k 1941,k 2941（步骤 4）1616将 (3)代入x 2y21得 (16k21)x232kx 0 ,则异于零的解为 x32k （步骤 5）1616k 21设 F ( x 1 , k 1x 11), E(x 2 , k 2 x 2 32k 1 32k 2 1)，则 x 11 , x 2116k 1216 k 22则直线 FE 的斜率为：k2 x2k1 x1k1 k23kEFx1 1 16k1k2（步骤 6）x24于是直线 FE 的方程为:y32k1213(x32k1)16k121416k121即 y 3 x7（步骤 7）4337则圆心 (2,0)到直线 FE 的距离 d 2328）9（步骤1316故结论成立 .（步骤9）。