北师大版高中数学选修2-2第1章推理与证明全部讲学案

第1章推理与证明【例1】 (１)观察式子：1+错误!〈,1＋错误!+错误!〈错误!,1+错误!＋＼f(1,3２)＋＼f(1,４2)〈错误!未定义书签。

，……，由此可归纳出的式子为()A.1＋＼f(1,22)+错误!未定义书签。

＋…＋错误!未定义书签。

＜＼f(1，２n－1)B.１+错误!+错误!＋…＋错误!未定义书签。

<错误!Ｃ.１+错误!+错误!+…＋错误!未定义书签。

〈错误!D.1+错误!未定义书签。

＋＼f（1，32）+…＋＼ｆ(１,n２）〈错误!（２)两点等分单位圆时，有相应正确关系为siｎα+sin（π＋α）=０；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sｉn α＋ｓin错误!+ｓin错误!＝０,由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为_＿_____＿＿_．思路探究:(1)观察各式特点,找准相关点，归纳即得.（２)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．(1)Ｃ (2)sｉn α+ｓｉｎ错误!未定义书签。

+sin(α+π)+sin错误!未定义书签。

=0 [（1)由各式特点,可得1＋错误!未定义书签。

+错误!+…＋错误!〈错误!未定义书签。

故选C。

(2）用两点等分单位圆时,关系为ｓinα+sin(π+α)＝0，两个角的正弦值之和为0,且第一个角为α,第二个角与第一个角的差为(π＋α）-α＝π，用三点等分单位圆时,关系为siｎα＋siｎ错误!未定义书签。

＋siｎ错误!未定义书签。

＝0,此时三个角的正弦值之和为０,且第一个角为α,第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等,即有错误!－错误!=错误!－α=错误!。

依此类推,可得当四点等分单位圆时,为四个角正弦值之和为０,且第一个角为α,第二个角为＼f（2π,４)＋α=＼f(π,２）+α,第三个角为π2＋α+错误!未定义书签。

＝π＋α，第四个角为π＋α＋错误!=错误!+α,即其关系为sin α＋ｓiｎ错误!＋ｓｉｎ（α＋π)+sin错误!＝0。

1.2 类比推理1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理． 2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比推出“(a ＋b )n＝a n＋b n” C [由实数运算的知识易得C 项正确．] 2．下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；(3)a ≥b ，b ≥c ，则a ≥c ；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)×180°.A．(1)(2) B．(1)(3)(4)C．(1)(2)(4) D．(2)(4)C[(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．①②③[正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]【例1】在公比为4的等比数列{b n}中，若T n是数列{b n}的前n项积，则有20T10，30T20，40T30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n}中，若S n是{a n}的前n项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解]数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n}的公差d＝3，∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r ∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r ∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p ＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1qp －1，b r ＝b 1qr －1，于是b m b n b p ＝b 1qm －1·b 1qn －1·b 1qp －1＝b 31qm ＋n ＋p －3＝b 31q3r －3＝(b 1qr －1)3＝b 3r ，故结论成立．a b c 任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解] p a h a ＝12BC ·p a12BC ·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △PAC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC.∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PABS △ABC＝1．类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1．证明：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V P ­BCDV A ­BCD，同理，p b h b ＝V P ­ACD V A ­BCD ，p c h c ＝V P ­ABD V A ­BCD ，p d h d ＝V P ­ABCV A ­BCD.∵V P ­BCD ＋V P ­ACD ＋V P ­ABD ＋V P ­ABC ＝V A ­BCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d＝V P ­BCD ＋V P ­ACD ＋V P ­ABD ＋V P ­ABCV A ­BCD＝1．1．平面图形与空间图形类比2(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．[探究问题]1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示] 类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n 的和．因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1，……22－12＝2×1＋1，有(n ＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n )＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n 2的和． [提示] 因为(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1，……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 所以12＋22＋…＋n 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋3n 2＋3n －3n 2＋5n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【例3】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)具有类似特征的性质，并加以证明．思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论 →双曲线中的相应结论→理论证明[解] 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )是双曲线上的点，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a2x 2－b 2，则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道： 12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解] 已知： 13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ，整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误B [根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )A.r 22 B.l 22 C.lr2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.] 3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，有如下方法：先改写第k 项：k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k ·(k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n (n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n (n ＋2)＝16[n (n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n (2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝16n (n ＋1)(2n ＋7)．。

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第一章推理与证明一、教学目标1、了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程与特点。

３、了解间接证明的一种基本方法—-反证法;了解反证法的思考过程与特点。

４、了解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

二、教学重点:１、能利用归纳和类比等进行简单的推理2、能用综合法、分析法、反证法、数学归纳法证明一些简单的数学命题。

教学难点:数学归纳法三、教学方法：探析归纳,讲练结合四、教学过程（一)知识结构推理与证明A 本章在回顾已有知识的基础上逐一介绍了合情推理的两种基本思维方式：归纳推理、类比推理，以及数学证明的主要方法：分析法、综合法、反证法、数学归纳法，上述推理方式和证明方法都是数学的基本思维过程,它们贯穿于整个高中数学的学习中，数学知识的学习过程也是这些思维方法的领悟、训练和应用的过程,要通过学习感受逻辑思维在数学以及日常生活中的作用。

(二）、例题探析例1、将下面平面几何中的概念类比到立体几何中的相应结果是什么？请将下表填充完整。

例2、分别用分析法和综合法证明:在△AＢC中,如果AB=ＡＣ，ＢE,CF分别是三角形的高线,BE 与CＦ相交于点M,那么，MB=MC。

1.2.2 分析法1.了解分析法的思维过程、特点.(重点)2.会用分析法证明数学问题.(难点)[基础·初探]教材整理分析法阅读教材P9～P11，完成下列问题.1.分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法.2.分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件3.综合法和分析法的综合应用在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，即可证明结论成立.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法就是从结论推向已知.( )(2)分析法的推理过程要比综合法优越.( )(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明.( )【解析】(1)错误.分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程.(2)错误.分析法和综合法各有优缺点.(3)正确.一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明.【答案】 (1)× (2)× (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]已知a >b >0，求证：8a <2－ab <8b.【精彩点拨】 本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件.【自主解答】 要证（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b ，只需证（a －b ）28a <（a －b ）22<（a －b ）28b .∵a >b >0，∴同时除以（a －b ）22，得（a ＋b ）24a <1<（a ＋b ）24b ，同时开方，得a ＋b 2a <1<a ＋b2b， 只需证a ＋b <2a ，且a ＋b >2b ， 即证b <a ，即证b <a . ∵a >b >0，∴原不等式成立， 即（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b.1.分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式.2.分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误.[再练一题]1.(2016·合肥高二检测)已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【证明】 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2，即证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a2＋4 a 2＋1a 2＋4≥a 2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋4，只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a . 只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2.上述不等式显然成立，故原不等式成立.与直线x ＝－p2相切.【精彩点拨】【自主解答】 如图所示，过点A ，B 分别作AA ′，BB ′垂直准线于点A ′，B ′，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线于点M ′.要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |.由抛物线的定义有|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |，所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|).根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y 2＝2px 焦点的弦为直径的圆必与直线x ＝－p2相切.1.分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法.2.分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等.[再练一题]2.已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α).【证明】 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12.∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证.[探究共研型]探究【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，则能使x ，a ，y 成等差数列；若插入两个数b ，c ，则能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1).【精彩点拨】 可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来.【自主解答】 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，消去x ，y 得2a ＝b 2c ＋c 2b，且a >0，b >0，c >0.要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥（b ＋1）（c ＋1），因（b ＋1）（c ＋1）≤（b ＋1）＋（c ＋1）2，只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，即证2a ≥b ＋c .由于2a ＝b 2c ＋c 2b ，故只需证b 2c ＋c 2b≥b ＋c ，只需证b 3＋c 3＝(b ＋c )(b 2＋c 2－bc )≥(b ＋c )bc ， 即证b 2＋c 2－bc ≥bc ，即证(b －c )2≥0.因为上式显然成立，所以(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1).综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证.[再练一题]3.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 【证明】 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3， 即证c a ＋b ＋ab ＋c＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.∵A ，B ，C 成等差数列， ∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°. ∵c 2＋a 2－b 2＝2ac cos B ， ∴c 2＋a 2－b 2＝ac ， ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2， ∴1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c成立. [构建·体系]1.要证明2＋7>23，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( ) A.综合法 B.分析法 C.比较法D.归纳法【解析】 由分析法和综合法定义可知选B. 【答案】 B2.已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A.a ≤12B.ab ≥12C.a 2＋b 2≥2D.a 2＋b 2≤3【解析】 ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2. 【答案】 C3.3a －3b <3a －b 成立的充要条件是( ) A.ab (b －a )>0 B.ab >0且a >b C.ab <0且a <b D.ab (b －a )<0【解析】3a －3b <3a －b ⇔(3a －3b )3<(3a －b )3⇔a －b －33a 2b ＋33ab 2<a －b ⇔3ab 2<3a 2b⇔ab 2<a 2b ⇔ab (b －a )<0.【答案】 D4.设a >0，b >0，c >0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________.【解析】 因为a ＋b ＋c ＝1，且a >0，b >0，c >0， 所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c ＋2c b ·b c＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立. 【答案】 95.已知a ，b ，c ∈R 且不全相等，求证：a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca . 【证明】 法一：(分析法) 要证a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca ， 只需证2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ca )，只需证(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(c 2＋a 2－2ca )>0， 只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0， 因为a ，b ，c ∈R ，所以(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(c －a )2≥0. 又因为a ，b ，c 不全相等，所以(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0成立. 所以原不等式a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca 成立. 法二：(综合法) 因为a ，b ，c ∈R ，所以(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(c －a )2≥0. 又因为a ，b ，c 不全相等， 所以(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0，所以(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(c 2＋a 2－2ca )>0， 所以2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ca )， 所以a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca .我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

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第一章推理与证明［自我校对]①由部分到整体，由个别到一般②类比推理③演绎推理④由一般到特殊⑤综合法⑥执果索因⑦反证法⑧数学归纳法合情推理12.类比推理的特点及一般步骤(1)观察式子：1＋错误!<错误!,1＋错误!＋错误!<错误!，1＋错误!＋错误!＋错误!<错误!,……,由此可归纳出的式子为( )A。

1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!B。

1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!C.1＋错误!＋错误!＋…＋错误!〈错误!D.1＋错误!＋错误!＋…＋错误!〈错误!(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α）＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin错误!＋sin错误!＝0，由此可以推知,四点等分单位圆时的相应正确关系为__________.【精彩点拨】（1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得.(2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论.【规范解答】（1）由各式特点,可得1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!.故选C。

（2）用两点等分单位圆时,关系为sin α＋sin(π＋α)＝0,两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α）－α＝π，用三点等分单位圆时,关系为sin α＋sin错误!＋sin错误!＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有错误!－错误!＝错误!－α＝错误!.依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为错误!＋α＝错误!＋α,第三个角为错误!＋α＋错误!＝π＋α,第四个角为π＋α＋错误!＝错误!＋α,即其关系为sin α＋sin错误!＋sin(α＋π）＋sin错误!＝0.【答案】(1）C (2）sin α＋sin错误!＋sin(α＋π）＋sin错误!＝0[再练一题］1。