广西202x版高考数学一轮复习 高考大题增分专项一 高考中的函数与导数 文

考点规范练6 函数的单调性与最值一、基础巩固1.下列函数中,定义域是R且为增函数的是()A.y=2-xB.y=xC.y=log2xD.y=-1x,只有y=2-x与y=x的定义域为R,且只有y=x在R上是增函数.2.若函数y=ax与y=-x在区间(0,+∞)内都是减函数,则y=ax2+bx在区间(0,+∞)内()xA.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增y=ax与y=-x在区间(0,+∞)内都是减函数,所以a<0,b<0.x<0.所以y=ax2+bx的图象的对称轴方程x=-x2x故y=ax2+bx在区间(0,+∞)内为减函数,选B.3.已知函数f(x)=√x2-2x-3,则该函数的单调递增区间为()A.(-∞,1]B.[3,+∞)C.(-∞,-1]D.[1,+∞)t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.故函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).4.已知函数f (x )={x x ,x >1,(4-x 2)x +2,x ≤1是R 上的增函数,则实数a 的取值范围是( ) A.(1,+∞)B.[4,8)C.(4,8)D.(1,8)f (x )在R 上是增函数,则有{x >1,4-x 2>0,(4-x 2)+2≤x ,解得4≤a<8. 5.函数f (x )=x 1-x 在( )A.(-∞,1)∪(1,+∞)内是增函数B.(-∞,1)∪(1,+∞)内是减函数C.(-∞,1)和(1,+∞)内是增函数D.(-∞,1)和(1,+∞)内是减函数f (x )的定义域为{x|x ≠1},f (x )=x 1-x =11-x -1.又根据函数y=-1x 的单调性及有关性质,可知f (x )在(-∞,1)和(1,+∞)内是增函数. 6.已知函数f (x )满足f (x )=f (π-x ),且当x ∈(-π2,π2)时,f (x )=e x +sin x ,则( ) A.f (1)<f (2)<f (3) B.f (2)<f (3)<f (1)C.f (3)<f (2)<f (1)D.f (3)<f (1)<f (2)f (x )=f (π-x ),得f (2)=f (π-2),f (3)=f (π-3).由f (x )=e x +sin x ,得函数f (x )在(-π2,π2)内单调递增. 又-π2<π-3<1<π-2<π2, ∴f (π-2)>f (1)>f (π-3).∴f (2)>f (1)>f (3).7.已知函数f (x )=log 2x+11-x ,若x 1∈(1,2),x 2∈(2,+∞),则( )A.f (x 1)<0,f (x 2)<0B.f (x 1)<0,f (x 2)>0C.f (x 1)>0,f (x 2)<0D.f (x 1)>0,f (x 2)>0x ∈(1,+∞)时,y=log 2x 与y=11-x 均为增函数,故f (x )=log 2x+11-x 在(1,+∞)上为增函数,且f (2)=0,∴当x 1∈(1,2)时,f (x 1)<f (2)=0;当x 2∈(2,+∞)时,f (x 2)>f (2)=0.8.已知函数f (x )=lo g 13(x 2-ax+3a )在区间[1,+∞)内单调递减,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-12,2]D.(-12,2]y=f (x ),令x 2-ax+3a=t. ∵y=f (x )在区间[1,+∞)内单调递减,∴t=x 2-ax+3a 在区间[1,+∞)内单调递增,且满足t>0.∴{x2≤1,12-x ·1+3x >0,解得-12<a ≤2. ∴实数a 的取值范围是(-12,2].故选D .9.已知函数f (x )={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g (x )=x 2f (x-1),则函数g (x )的递减区间是 .g (x )={x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1,其函数图象如图所示,由图知g (x )的递减区间为[0,1).10.函数f(x)=(13)x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为.y=(13)x在R上单调递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减.所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.11.已知函数y=2x+xx-2与y=log3(x-2)在区间(3,+∞)内有相同的单调性,则实数k的取值范围是.-∞,-4)y=log3(x-2)的定义域为(2,+∞),且为增函数,所以它在区间(3,+∞)内是增函数.又y=2x+xx-2=2(x-2)+4+xx-2=2+4+xx-2,因为它在区间(3,+∞)内是增函数,所以4+k<0,解得k<-4.二、能力提升12.已知函数f(x)=(12)-x2+2xx-x2-1的单调递增区间与值域相同,则实数m的值为()A.-2B.2C.-1D.1-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1≤-1,∴(12)-x2+2xx-x2-1≥2.∴f(x)的值域为[2,+∞).∵y1=(12)x在R上单调递减,y2=-(x-m)2-1的单调递减区间为[m,+∞), ∴f(x)的单调递增区间为[m,+∞).由条件知m=2.13.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)a>x-(12)x(x>0).令f(x)=x-(12)x,函数f(x)在(0,+∞)内为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故存在正数x 使原不等式成立时,a>-1.14.已知函数f(x)是奇函数,且在R上为增函数,当0≤θ<π2时,f(m sin θ)+f(1-m)>0恒成立,则实数m的取值范围是.-∞,1)f(x)是奇函数,∴f(m sinθ)+f(1-m)>0可化为f(m sinθ)>-f(1-m)=f(m-1).又f(x)在R上是增函数,∴m sinθ>m-1,即m(1-sinθ)<1,“当0≤θ<π2时,f(m sinθ)+f(1-m)>0恒成立”等价于“当0≤θ<π2时,m(1-sinθ)<1恒成立,即m<11-sin x恒成立”.∵0<1-sinθ≤1,∴11-sin x≥1.∴m<1.15.已知f(x)=xx-x(x≠a).(1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a>0,且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.a=-2时,f(x)=xx+2(x≠-2).设任意的x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,f(x1)-f(x2)=x1x1+2−x2x2+2=2(x1-x2)(x1+2)(x2+2).∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1x1-x −x2x2-x=x(x2-x1)(x1-x)(x2-x).∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)内恒成立,∴a≤1.综上所述,a的取值范围是(0,1].三、高考预测16.已知函数f(x)=x+4x ,g(x)=2x+a,若∀x1∈[12,3],∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a≥1C.a≤0D.a≥0x∈[12,3]时,f(x)≥2√x·4x=4,当且仅当x=2时,f(x)min=4,当x∈[2,3]时,g(x)为增函数,故g(x)min=22+a=4+a.依题意可得f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.。

高考大题专项一突破1利用导数求极值、最值、参数1.已知函数f(x)=(x-k)e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.2.(2018某某潍坊一模,21)已知函数f(x)=a ln x+x2.(1)若a=-2,判断f(x)在(1,+∞)上的单调性;(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值.3.(2018某某师大附中一模,21)已知函数f(x)=(x-a)e x(a∈R).(1)当a=2时,求函数f(x)在x=0处的切线方程;(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值.4.(2018某某某某3月模拟,21改编)已知函数f(x)=ax-2ln x(a∈R).若f(x)+x3>0对任意x∈(1,+∞)恒成立,求a的取值X围.5.设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值X围.6.(2018某某某某一模,21改编)已知函数f(x)=e x-a ln x-e(a∈R),其中e为自然对数的底数.若当x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,求a的取值X围.突破2利用导数证明问题及讨论零点个数1.(2018全国3,文21)已知函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.2.(2018某某某某一模,21改编)已知函数f(x)=x+.设函数g(x)=ln x+1.证明:当x∈(0,+∞)且a>0时,f(x)>g(x).3.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,求a的取值X围.4.(2018某某某某期末,21改编)已知函数f(x)=x3-a ln x(a∈R).若函数y=f(x)在区间(1,e]上存在两个不同零点,某某数a的取值X围.5.设函数f(x)=e2x-a ln x.(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数;(2)证明:当a>0时,f(x)≥2a+a ln.6.(2018某某中学押题三,21)已知函数f(x)=e x-x2+a,x∈R,曲线y=f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)当x∈R时,求证:f(x)≥-x2+x;(3)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,某某数k的取值X围.高考大题专项一函数与导数的综合压轴大题突破1利用导数求极值、最值、参数X围1.解 (1)由题意知f'(x)=(x-k+1)e x.令f'(x)=0,得x=k-1.当x∈(-∞,k-1)时,f'(x)<0,当x∈(k-1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)的递减区间是(-∞,k-1),递增区间是(k-1,+∞).(2)当k-1≤0,即k≤1时,f(x)在[0,1]上递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当0<k-1<1,即1<k<2时,f(x)在[0,k-1]上递减,在[k-1,1]上递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e k-1;当k-1≥1,即k≥2时,f(x)在[0,1]上递减,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.综上,当k≤1时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当1<k<2时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e k-1;当k≥2时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.2.解 (1)当a=-2时,f'(x)=2x-,由于x∈(1,+∞),故f'(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)递增.(2)f'(x)=2x+,当a≥0时f'(x)≥0,f(x)在[1,e]上递增,∴f min(x)=f(1)=1.当a<0时,由f'(x)=0解得x=±(负值舍去),设x0=.若≤1,即a≥-2,也就是-2≤a<0时,x∈[1,e],f'(x)>0,f(x)递增,∴f min(x)=f(1)=1.若1<<e,即-2e2<a<-2时,x∈[1,x0],f'(x)≤0,f(x)递减,x∈[x0,e],f'(x)≥0,f(x)递增.故f min(x)=f(x0)=-+a ln .若≥e,即a≤-2e2时,x∈[1,e],f'(x)<0,f(x)递减.∴f min(x)=f(e)=e2+a.综上所述:当a≥-2时,f(x)的最小值为1;当-2e2<a<-2时,f(x)的最小值为;当a≤-2e2时,f(x)的最小值为e2+a.3.解 (1)设切线的斜率为k.因为a=2,所以f(x)=(x-2)e x,f'(x)=e x(x-1).所以f(0)=-2,k=f'(0)=e0(0-1)=-1.所以所求的切线方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)由题意得f'(x)=e x(x-a+1),令f'(x)=0,可得x=a-1.①若a-1≤1,则a≤2,当x∈[1,2]时,f'(x)≥0,则f(x)在[1,2]上递增.所以f(x)min=f(1)=(1-a)e.②若a-1≥2,则a≥3,当x∈[1,2]时,f'(x)≤0,则f(x)在[1,2]上递减.所以f(x)min=f(2)=(2-a)e2.③若1<a-1<2,则2<a<3,所以f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(1,a-1) a-1 (a-1,2)f'(x) -0 +f(x) 递减极小值递增所以f(x)的递减区间为[1,a-1],递增区间为[a-1,2].所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(a-1)=-e a-1.综上所述:当a≤2时,f(x)min=f(1)=(1-a)e;当a≥3时,f(x)min=f(2)=(2-a)e2;当2<a<3时,f(x)min=f(a-1)=-e a-1.4.解由题意f(x)+x3>0,即a>-x2+对任意x∈(1,+∞)恒成立,记p(x)=-x2+,定义域为(1,+∞),则p'(x)=-2x+,设q(x)=-2x3+2-2ln x,q'(x)=-6x2-,则当x>1时,q(x)递减,所以当x>1时,q(x)<q(1)=0,故p'(x)<0在(1,+∞)上恒成立,所以函数p(x)=-x2+在(1,+∞)上递减,所以当x>1时,p(x)<p(1)=-1,得a≥-1,所以a的取值X围是[-1,+∞).5.解 (1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4.而f'(x)=2x+a,g'(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2k e x(x+1)-x2-4x-2,则F'(x)=2k e x(x+2)-2x-4=2(x+2)(k e x-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F'(x)=0得x1=-ln k,x2=-2.①若1≤k<e2,则-2<x1≤0.从而当x∈(-2,x1)时,F'(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,F'(x)>0.即F(x)在(-2,x1)递减,在(x1,+∞)递增.故F(x)在[-2,+∞)的最小值为F(x1).而F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②若k=e2,则F'(x)=2e2(x+2)(e x-e-2).从而当x>-2时,F'(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)递增.而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③若k>e2,则F(-2)=-2k e-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值X围是[1,e2].6.解由f(x)=e x-a ln x-e(a∈R),得f'(x)=e x-,当a<0时,f'(x)=e x->0,f(x)在x∈[1,+∞)上递增,f(x)min=f(1)=0(合题意).当a>0时,f'(x)=e x-,当x∈[1,+∞)时,y=e x≥e.①当a∈(0,e]时,因为x∈[1,+∞),所以y=≤e,f'(x)=e x-≥0,f(x)在[1,+∞)上递增,f(x)min=f(1)=0(合题意).②当a∈(e,+∞)时,存在x0∈[1,+∞),满足f'(x)=e x-=0,f(x)在x0∈[1,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,故f(x0)<f(1)=0.不满足x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,综上所述,a的取值X围是(-∞,e].突破2利用导数证明问题及讨论零点个数1.(1)解f'(x)=,f'(0)=2.因此曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.(2)证明当a≥1时,f(x)+e≥(x2+x-1+e x+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+e x+1,则g'(x)=2x+1+e x+1.当x<-1时,g'(x)<0,g(x)递减;当x>-1时,g'(x)>0,g(x)递增;所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0.2.证明令h(x)=f(x)-g(x)=x+-ln x-1(x>0),h'(x)=1-,设p(x)=x2-x-a=0,函数p(x)的图像的对称轴为x=.∵p(1)=1-1-a=-a<0,设p(x)=0的正根为x0,∴x0>1,由对称性知,p(x)=0的另一根小于0,且-x0-a=0,h(x)在(0,x0)上是减少的,在(x0,+∞)上是增加的,h(x)min=h(x0)=x0+-ln x0-1=x0+-ln x0-1=2x0-ln x0-2.令F(x)=2x-ln x-2(x>1),F'(x)=2->0恒成立,所以F(x)在(1,+∞)上是增加的.∵F(1)=2-0-2=0,∴F(x)>0,即h(x)min>0,所以,当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x).3.解法1 函数f(x)的定义域为R,当a=0时,f(x)=-3x2+1,有两个零点±,原函数草图∴a=0不合题意;当a>0时,当x→-∞时,f(x)→-∞,f(0)=1,f(x)存在小于0的零点x0,不合题意;当a<0时,f'(x)=3ax2-6x,由f'(x)=3ax2-6x=0,得x1=0,x2=<0,∴在区间内f'(x)<0;在区间内f'(x)>0;在区间(0,+∞)内f'(x)<0.∴f(x)在区间内是减少的,在区间内是增加的,在区间(0,+∞)内是减少的.∴若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0⇔f(x)min=f>0⇔+1>0⇔<1⇔a2>4.∵a<0,∴a<-2.解法2 曲线y=ax3与曲线y=3x2-1仅在y轴右侧有一个公共点,当a≥0时,由图像知不符合题意;当a<0时,设曲线y=ax3与曲线y=3x2-1相切于点(x0,y0),则得a=-2,由图像知a<-2时符合题意.解法3 分离成a=-+3=-t3+3t,令y=a,g(t)=-t3+3t,g'(t)=-3t2+3=3(1-t2),当t∈(-1,1)时,g'(t)>0,当t>1或t<-1时,g'(x)<0.所以g(t)在(-∞,-1)递减,在区间(-1,1)递增,在(1,+∞)递减,所以当t=-1时,g(t)min=-2,由g(t)=-t3+3t的图像可知,t=1时,g(t)max=2.x→+∞时,g(t)→+∞,当a<-2时,直线y=a与g(t)=-t3+3t的图像只有一个交点,交点在第四象限,所以满足题意.4.解由f(x)=0,得a=在区间(1,e]上有两个不同实数解,即函数y=a的图像与函数g(x)=的图像有两个不同的交点.因为g'(x)=,令g'(x)=0得x=,所以当x∈(1,)时,g'(x)<0,函数在(1,)上递减,当x∈(,e]时,g'(x)>0,函数在(,e]上递增;则g(x)min=g()=3e,而g()==27>27,且g(e)=e3<27,要使函数y=a的图像与函数g(x)=的图像有两个不同的交点,∴a的取值X围为(3e,e3].5.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2e2x-(x>0).当a≤0时,f'(x)>0,f'(x)没有零点,当a>0时,因为e2x递增,-递增,所以f'(x)在(0,+∞)递增.又f'(a)>0,当b满足0<b<且b<时,f'(b)<0,故当a>0时,f'(x)存在唯一零点.(2)证明由(1),可设f'(x)在(0,+∞)的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在(0,x0)递减,在(x0,+∞)递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于2=0,所以f(x0)=+2ax0+a ln≥2a+a ln.故当a>0时,f(x)≥2a+a ln.6.(1)解根据题意,得f'(x)=e x-2x,则f'(0)=1=b.由切线方程可得切点坐标为(0,0),将其代入y=f(x),得a=-1,故f(x)=e x-x2-1.(2)证明令g(x)=f(x)+x2-x=e x-x-1.由g'(x)=e x-1=0,得x=0,当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,y=g(x)递减;当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,y=g(x)递增.所以g(x)min=g(0)=0,所以f(x)≥-x2+x.(3)解f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立等价于>k对任意的x∈(0,+∞)恒成立.令φ(x)=,x>0,得φ'(x)=.由(2)可知,当x∈(0,+∞)时,e x-x-1>0恒成立,令φ'(x)>0,得x>1;令φ'(x)<0,得0<x<1.所以y=φ(x)的递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1),故φ(x)min=φ(1)=e-2,所以k<φ(x)min=e-2.所以实数k的取值X围为(-∞,e-2).。

专题14 导数的概念与运算【考点预测】知识点一：导数的概念和几何性质1.概念 函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0x x y ='．知识点诠释：① 增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有 多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；② 当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近； ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 2.几何意义 函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．3.物理意义 函数)(t s s =在点0t 处的导数)(0t s '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即)(0t s v '=；)(t v v =在点0t 的导数)(0t v '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ，即)(0t v a '=．知识点二：导数的运算 1.求导的基本公式x（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=． 3.复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为 x u x y y u '''=： 【方法技巧与总结】 1.在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩．2.过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．【题型归纳目录】 题型一：导数的定义 题型二：求函数的导数 题型三：导数的几何意义 1.在点P 处切线 2.过点P 的切线 3.公切线4.已知切线求参数问题5.切线的条数问题6.切线平行、垂直、重合问题7.最值问题 【典例例题】题型一：导数的定义例1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(2)(3)(2)(3)f f f f ''<<-<C ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<例2．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））设函数()f x 满足000(2)()lim 2x f x x f x x∆→-∆-=∆，则()0f x '=（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2例3．（2022·新疆昌吉·二模（理））若存在()()00000,,limx f x x y x y f x ∆→+-∆∆，则称()()00000,,limx f x x y xy f x ∆→+-∆∆为二元函数(),=z f x y 在点()00,x y 处对x 的偏导数，记为()00,x f x y '；若存在()()00000,,limy f x y yy f x y ∆→+-∆∆，则称()()00000,,lim y f x y yy f x y ∆→+-∆∆为二元函数(),=z f x y 在点()00,x y 处对y 的偏导数，记为()00,y f x y '，已知二元函数()()23,20,0f x y x xy y x y =-+>>，则下列选项中错误的是（ ）A ．()1,34x f '=-B ．()1,310y f '=C ．()(),,x y f m n f m n ''+的最小值为13-D ．(),f x y 的最小值为427-例4．（2022·贵州黔东南·一模（文））一个质点作直线运动，其位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）满足关系式，()2524s t t =+--，则当1t =时，该质点的瞬时速度为（ ） A ．2-米/秒B ．3米/秒C ．4米/秒D ．5米/秒例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ）A ．20-B ．10-C ．10D ．20例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()()2223ln 9f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（ ） A ．209-B ．119-C ．79D ．169例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()32121f x x x f x '=++-，则()2f '=（ ） A ．1B ．9-C ．6-D ．4【方法技巧与总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出. 题型二：求函数的导数例8．（2022·天津·耀华中学高二期中）求下列各函数的导数： (1)ln(32)y x =-； (2)e xxy =； (3)()2cos f x x x =+例9．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（理））求下列函数的导数： (1)22ln cos y x x x =++； (2)3e x y x = (3)()ln 31y x =-例10．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高二期中）求下列函数的导数： (1)5y x =； (2)22sin y x x =+； (3)ln xy x=； (4)()211ln 22x y e x -=+．【方法技巧与总结】对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题. 题型三：导数的几何意义1.在点P 处切线例11．（2022·河北·模拟预测）曲线e sin x y x =在0x =处的切线斜率为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．2-例12．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（ ） A ．1-B ．23-C ．12D ．1例13．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）曲线e 2x y x =-在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．1D ．-1例14．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知()()2cos 0cos 2f x x f x π⎛⎫=-+ '⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在点33,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（ ）A B ．C ．D ．-例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且32()23(1)f x x ax f x '=-+-，则函数()f x 的图象在点(2,(2))f --处的切线的斜率为（ ） A ．21-B ．27-C ．24-D ．25-例16．（2022·广西广西·模拟预测（理））曲线31y x =+在点()1,a -处的切线方程为（ ） A ．33y x =+B ．31yxC ．31y x =--D ．33y x =--例17．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线ln(25)y x x =+在2x =-处的切线方程为（ ） A ．4x －y +8＝0 B ．4x +y +8＝0 C ．3x －y +6＝0D ．3x +y +6＝02.过点P 的切线例18．（2022·四川·广安二中二模（文））函数()2e xf x x =过点()0,0的切线方程为（ ）A ．0y =B ．e 0x y +=C ．0y =或e 0x y +=D ．0y =或e 0x y +=例19．（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点1(,0)2的直线与函数()e x f x x =的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ） A ．e 1+B ．12-C ．1D ．12例20．（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线2ln 3y x x =+过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线方程是（ ）A ．210x y ++=B ．210x y -+=C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=例21．（2022·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线ln y x =的切线，则切点的纵坐标为（ ） A ．eB ．1CD ．1e例22．（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（ ） A ．25e em -<< B ．250e m -<< C ．10em -<<D ．e m <3.公切线例23．（2022·全国·高三专题练习）若函数()ln f x x =与函数2()(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1ln ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．()2,ln +∞例24．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线()1:=e x C f x a +和曲线()()22:ln(),C g x x b a a b =++∈R ，若存在斜率为1的直线与1C ，2C 同时相切，则b 的取值范围是（ ） A ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦例25．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(]0,2eB ．(]0,eC ．[)2,e +∞D ．(],2e e例26．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为（ ） A ．12B ．1C ．eD ．2e例27．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数()ln f x a x =，()e xg x b =，若直线()0y kx k =>与函数()f x ，()g x 的图象都相切，则1a b+的最小值为（ ）A ．2B ．2eC ．2eD 例28．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线:l y kx b =+（1k >）为曲线()1x f x e -=与曲线()ln g x e x =的公切线，则l 的纵截距b =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．e -例29．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,2eB ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞例30．（2022·全国·高三专题练习）若仅存在一条直线与函数()ln f x a x =（0a >）和2()g x x =的图象均相切，则实数=a （ ）A ．eB C ．2eD ．4.已知切线求参数问题例31．（2022·湖南·模拟预测）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)⎡⎣B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(,-∞例32．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知曲线e ln x y ax x =+在点()1,e a 处的切线方程为3y x b =+，则（ ） A ．e a =，2b =- B ．e a =，2b = C ．1e a -=，2b =-D ．1e a -=，2b =例33．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a 处的切线方程为()y f a =，则b =（ ）A ．1-或1B ．C ．2-或2D ．例34．（2022·云南昆明·模拟预测（文））若函数()ln f x x =的图象在4x =处的切线方程为y x b =+，则（ ）A ．3a =，2ln 4b =+B ．3a =，2ln 4b =-+C ．32a =，1ln 4b =-+ D ．32a =，1ln 4b =+ 例35．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l 的斜率为2，l 与曲线1C ：()1ln y x x =+和圆2C ：2260x y x n +-+=均相切，则n =（ ） A ．－4B ．－1C ．1D ．45.切线的条数问题例36．（2022·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ） A ．ln a b <B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <例37．（2022·河南洛阳·三模（理））若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．{}0,1例38．（2022·河南洛阳·三模（文））若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（ ） A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条例39．（2022·河北·高三阶段练习）若过点(1,)P m 可以作三条直线与曲线:e xxC y =相切，则m 的取值范围为（ ）A ．23,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．213,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例40．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点()1,P m -可以作三条直线与曲线C ：e x y x =相切，则m 的取值范围是（ ） A ．23,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．211,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭例41．（2022·广东深圳·二模）已知0a >，若过点(,)a b 可以作曲线3y x =的三条切线，则（ ） A ．0b <B ．30b a <<C ．3b a >D ．()30b b a -=6.切线平行、垂直、重合问题例42．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））对于三次函数()f x ，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处点的切线重合，则(2)f '=（ ）A ．34-B ．14-C ．4-D ．14例43．（2022·山西太原·二模（理））已知函数()sin cos f x a x b x cx =++图象上存在两条互相垂直的切线，且221a b +=，则a b c ++的最大值为（ ）A ．B ．C D 例44．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2例45．（2022·全国·高三专题练习）若直线x a =与两曲线e ,ln x y y x ==分别交于,A B 两点，且曲线e x y =在点A 处的切线为m ，曲线ln y x =在点B 处的切线为n ，则下列结论： ①()0,a ∞∃∈+，使得//m n ；②当//m n 时，AB 取得最小值； ③AB 的最小值为2；④AB 最小值小于52． 其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例46．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22(0)()1(0)x x a x f x x x ⎧++<⎪=⎨->⎪⎩的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,)8-∞-B ．1(1,)8-C ．(1,)+∞D ．1(,1)(,)8-∞⋃+∞例47．（2022·全国·高三专题练习（文））若曲线x y e x =+的一条切线l 与直线220210x y +-=垂直，则切线l 的方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y --=D ．210x y ++=7.最值问题例48．（2022·全国·高三专题练习）若点P 是曲线232ln 2y x x =-上任意一点，则点P 到直线3y x =-的距离的最小值为（ ） A．4BCD例49．（2022·山东省淄博第一中学高三开学考试）动直线l 分别与直线21y x =-，曲线23ln 2y x x =-相交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）ABC ．1 D例50．（2022·江苏·高三专题练习）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b-的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．1(0,)2D ．[1，)+∞例51.（2022·全国·高三专题练习）曲线2x y e =上的点到直线240x y --=的最短距离是（ ） ABCD ．1例52．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数2ln ()2xf x x x=-在1x =处的切线为l ，第一象限内的点(,)P a b 在切线l 上，则1111a b +++的最小值为（ ） ABCD．34+ 例53．（2022·山东聊城·二模）实数1x ，2x ，1y ，2y 满足：2111ln 0x x y --=，2240x y --=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ） A ．0B．C．D ．8例54．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（理））已知函数21e x y +=的图象与函数()ln 112x y ++=的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）A ．22B 24C ．)4ln 22+D )4ln 2+例55．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知直线y kx b =+是曲线1y =的切线，则222k b b +-的最小值为（ ）A ．12-B ．0C ．54D ．3【方法技巧与总结】函数()y f x =在点0x 处的导数，就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-.（2）若求曲线()y f x =过点(,)a b 的切线方程，应先设切点坐标为00(,())x f x ，由000()()y y f x x x '-=-过点(,)a b ，求得0x 的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南·高三阶段练习（理））若曲线()ln a xf x x=在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，则a ＝（ ） A ．1B ．e2C ．2D ．e2．（2022·云南曲靖·二模（文））设()'f x 是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()'f x 的导函数，若对任意R ()0,()0x f x f x '''∈><，恒成立，则下列选项正确的是（ ）A ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<B ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-3．（2022·全国·高三专题练习）设()f x 为可导函数，且()()112lim1x f f x x→--=-△△△，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为（ ）A ．2B ．-1C ．1D ．12-4．（2022·河南·模拟预测（文））已知3()ln(2)3xf x x x =++，则曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程为( )A ．21010ln510x y -+-=B ．21010ln510x y ++-=C ．1212ln5150x y -+-=D ．1212ln5150x y ++-=5．（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）满足关系式23(43)=-s t t ，则当1t =时，该质点的瞬时速度为（ ） A ．5米/秒 B ．8米/秒 C ．14米/秒D ．16米/秒6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =，()()2g x x ax a =+∈R ，若经过点1,0A 存在一条直线l 与()f x 图象和()g x 图象都相切，则=a （ ） A ．0B ．1-C ．3D ．1-或37．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）m 对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2⎛-∞ ⎝⎦C ．(-∞D ．(],2-∞8．（2022·辽宁沈阳·二模）若直线11y k x b =+与直线()2212y k x b k k =+≠是曲线ln y x =的两条切线，也是曲线e x y =的两条切线，则1212k k b b ++的值为（ ） A ．e 1- B ．0 C ．-1D ．11e-二、多选题9．（2022·辽宁丹东·模拟预测）若过点()1,a 可以作出曲线()1e xy x =-的切线l ，且l 最多有n 条，*n ∈N ，则（ ） A ．0a ≤B ．当2n =时，a 值唯一C ．当1n =时，4ea <-D ．na 的值可以取到﹣410．（2022·浙江·高三专题练习）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（ ）A ．在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强B ．在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强C ．在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D ．甲企业在[]10,t ，[]12,t t ，[]23,t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()xf x e =，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线()y f x =的切线斜率可以是1B ．曲线()y f x =的切线斜率可以是1-C ．过点()0,1且与曲线()y f x =相切的直线有且只有1条D ．过点()0,0且与曲线()y f x =相切的直线有且只有2条12．（2022·全国·高三专题练习）过平面内一点P 作曲线ln y x =两条互相垂直的切线1l ､2l ，切点为1P ､2P （1P ､2P 不重合），设直线1l ､2l 分别与y 轴交于点A ､B ，则下列结论正确的是（ ） A ．1P ､2P 两点的横坐标之积为定值 B ．直线12PP 的斜率为定值；C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(]0,1三、填空题13．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()3ln f x x x x =-，则曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线方程为_______.14．（2022·全国·模拟预测（文））若直线l 与曲线2yx 和2249x y +=都相切，则l 的斜率为______． 15．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数2()(0)e e x x f x f -'=-，则(0)f =__________.16．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++，且0x >，52f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么()f π=___________. 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习（文））下列函数的导函数 （1）42356y x x x --=+； （2）2sin cos 22xx x y =+；（3）2log y x x =-； （4）cos x y x=.18．（2022·辽宁·沈阳二中二模）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x xx =+与()g x =()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小； (2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值.19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()()2ln f x ax x a R =--∈. (1)若()f x 在点()()e,e f 处的切线为e 0x y b -+=，求a ，b 的值； (2)求()f x 的单调区间.20．（2022·浙江·高三专题练习）函数()321f x x x x =+-+， 直线l 是()y f x =在()()0,0f 处的切线.(1)确定()f x 的单调性；(2)求直线l 的方程及直线l 与()y f x =的图象的交点.21．（2022·北京东城·三模）已知函数()e x f x =，曲线()y f x =在点(1(1))f --，处的切线方程为y kx b =+.(1)求k ，b 的值；(2)设函数()1ln 1.kx b x g x x x +<⎧=⎨≥⎩，，，，若()g x t =有两个实数根12,x x （12x x <），将21x x -表示为t 的函数，并求21xx -的最小值.22．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知a ∈R ，函数()()ln 1f x x a x =+-，()e xg x =．(1)讨论()f x 的单调性；(2)过原点分别作曲线()y f x =和()y g x =的切线1l 和2l ，求证：存在0a >，使得切线1l 和2l 的斜率互为倒数．。

2������ + π
6
+ 12,
∴函数 f(x)的最小正周期为2π=π.
2
题型一 题型二 题型三 题型四
(2)若-π<α<0,则 2α+π ∈ - 5π , π ,
2
6
66
∴f(α)=sin 2������ + π + 1 = 5,
-4-
题型一 题型二 题型三 题型四
例1(2018江西南昌复习检测)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sin
Bsin C.
(1)求角A的大小;
(2)求 sin B+sin
2������-
π 6
的最大值.
解:(1)因为sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C,
由正弦定理,得a2=b2+c2+bc,
所以
cos
A=������
2
+������ 2 -������ 2������������
2
=-12.
又因为 A∈(0,π),所以 A=23π.
-5-
题型一 题型二 题型三 题型四
(2)由(1)知,B+C=π-A=π,所以 C=π-B.
3
3
所以 sin B+sin 2������- π
6
=sin B+sin 2
-8-
策略一 策略二
题型二 三角函数性质与三角变换的综合
突破策略一 多式归一法 对于已知的函数解析式是由多项三角函数式通过四则运算组合 而成的,求其函数的性质,一般的思路是通过三角变换,把多项三角 函数式的代数和(或积、商)化成只有一种名称的三角函数式,化简