2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列六函数与导数函数与导数作为高中阶段数学的核心内容，是历年高考考查力度最大的主线之一，是高考考查主要思想方法和能力、考查核心素养的主要载体．对函数和导数主要考查函数的概念与表示，函数的奇偶性、单调性、周期性、极大（小）值、最大（小）值；考察幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质、函数的应用，以及函数研究方法的迁移（研究其它函数（组合、复合）的图象与性质）；考查导数的概念、导数的几何意义、导数的运算以及导数的应用，考查利用导数方法研究函数的单调性、极大（小）值、最大（小）值、函数的零点，研究方程和不等式的解的情况等．高考对函数与导数的考查难度、题量都相对稳定，一般是两道选择题和一道解答题，或者一道选择题一道填空题和一道解答题，共3道题，分值为22分．其中一选择题为容易题或中等难度题，一选择题或填空题为难题，一解答题为难题．选择题一般位于中间四道题和后三道题的位置，填空题一般在后两题的位置，解答题稳定在第21题的位置．对函数和导数的考查侧重于理解和应用，试题有一定的综合性，重“基础性、综合性、应用性、创新性”，突出“四基、四能、三会、六素养”，与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等都进行深入的考查．随着高中课程与高考的综合改革，2018年高考发生微小变化，2018年，理科全国Ⅰ卷（理科）依旧是2小1大，但全国Ⅱ卷Ⅲ卷（理科）以及全国Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷（文科）都是3小1大．近五年本部分考查情况如下表：表一：全国Ⅰ卷（理科）函数与导数考查情况一、存在的问题及原因分析（一）缺乏运用特殊值法、排除法解题意识选择题的考查是由选择题的特殊性决定的，从已知研究未知的角度来看，部分问题只能从较少的信息来判断，无法完全严格地推理，所以选择题考查选择能力，而不是完全推理论证的能力，因此特值法看似投机取巧，实则应当是解决选择题必要的手段，区别于大题完整演绎推理的过程，从命题角度来看，一道题既可以作为选择题，又可以作为大题，则没有体现选择题的考查功效，让不同层次学生作答是高考想要得到的目的，算理比较熟的同学应当快速得出结果，而不能完整推理出来的学生也可以凭借任意与存在的关系加以排除和选择．【例1-1】（2018年全国卷Ⅱ理3、文3）函数2()x xe ef x x --= 的图象大致为【解析】法一：计算(1)0f -<，排除A ，D ，又(3)2f >，排除C ，故选择B ． 法二：容易发现()()f x f x -=-，函数为奇函数，再由特殊值选择B ．法三：x x y e e -=-是奇函数，2y x =是偶函数，两式相除，在公共定义域上为奇函数，再由特殊值选择B ． 法四：奇函数判断同上，又221(0)x x x e e e x x x--->>，分子增长速度远快于分母． 【例1-2】（2018年全国卷Ⅲ理7、文9）函数的图像大致为法一：(1)20f =>，1()2(0)2f f >=，故选择D ．法二：函数为偶函数，y ＇22(21)x x =--，所以函数在(0,1)上有极值点，结合(0)2f =，选D ．【评析】第一题，同学代特值可以选出结果，对函数性质熟悉的同学也需要代值判断，本题不适合求导判断单调性．422y x x =-++第二题相对靠后，代特值可以选出结果，本题也适合用求导方法得出函数基本的单调性．两个题目都是在基本初等函数函数的基础上重新组合出新的函数，略高于课本，又可以研究，考查学生识图能力．决定函数的走势，性质为首、特殊点为关键．对于基础较好的同学可以适当记忆课后习题出现的函数性质，双曲正余弦函数、多项式函数都源自课后习题．另外，对于基本函数加减乘除后产生的新函数的性质适当归纳，达到分解函数的目的，而非研究单调性一定是求导，第一题就说明了这一点，考查用求导方法研究函数性质的重点在第21题．本题易错的主要原因：看到函数单调性立即求导，研究函数性质通常是先研究奇偶性（周期性）从而减少讨论范围，同时题目设置的e 的值要能够准确计算出来后，再估值．（二）对含参问题基本策略选择不当含参问题是研究新的函数模型经常遇到的问题，也是考查学生分类讨论与分清参变量关系的重要手段，含参问题的破解基本点应该是对任意的成立，即恒成立，所以可以采取特值先求出符合的参数值或范围，在严格论证其充分性，而对于小题考查函数的零点问题，则需要考虑数形结合的思想，严格地零点定理应当是大题考查的重点，需要论证明确．【例2-1】（2018年全国卷Ⅰ理5）设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A ．B ．C ．D ．法一：由()()f x f x -=-得到1a =，由(0)1f '=，得到选项为D ．法二：多项式函数为奇函数，则偶数次项为零，得到1a =，同法一．法三：由(1)(1)f f -=-得到1a =，下同法一．【例2-2】（2018年全国卷Ⅰ理9）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）法一：()0g x =由两个解，则()y f x =与32()(1)f x x a x ax =+-+()f x ()y f x =(0,0)2y x =-y x =-2y x =y x =e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++y x a =--的图像有两个交点，如图，当截距1a -≤时，即1a ≥-时符合，故选择C ． 法二：特值法，1a =-时，(0)0g =，(1)0g =，又()y g x =在(,0]-∞和(0,)+∞均为增函数，从而排除B ，D ，0a =时，(0)0g >，(1)0g >，当x →-∞，0x →时，()y g x =→-∞，由零点定理知存在两个零点，符合，故选择C ．法三：直接法，只需(0)0g ≥即可，注意到()y g x =在(,0]-∞和(0,)+∞均为增函数，当x →-∞时，()y g x =→-∞，对于任意的a ，()y g x =在(0,)+∞上的值域为R ．【评析】已知函数奇偶性求参数，在定义域确定的情况下，特值法是比较行之有效的方法，在研究带有参数的新函数，从必要条件转化为充分条件是重要的方法，对于基本初等函数的加减乘除运算的单调性需要熟知，小题目考查函数零点定理，可以采取数形结合的思想，转化为两个函数图象的交点个数问题，而当发现特值法没有简便运算步骤的话，则本题出题者希望的是整体推理的过程．（三）未能深入领会函数性质的应用高中阶段函数的性质围绕着单调性，奇偶性（对称性），周期性展开，周期性的背景是三角函数，当涉及到求函数值或函数不等式问题，都可以抽象为函数性质的考查，基本顺序是先讨论对称性，再讨论单调性，最终利用性质求解是关键．【例3-1】（2018年全国卷Ⅲ理11、文12）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A ．B ．0C ．2D ．50【解析】由(1)(1)f x f x +=-得到()y f x =关于直线1x =对称，又()y f x =关于(0,0)中心对称，所以函数的周期为4，计算得到(4)(0)0,(3)(1)(1)2,f f f f f ===-=-=-(2)(0)f f =，则(1)f f f f +++=，原式120(1)(2)2f f =⨯++=，选C ．【例3-2】（2018年全国卷Ⅲ文16）已知函数())1f x x =+，()4f a =，则()______f a -=【解析】由()())1)12ln12f a f a a a +-=+++=+=，得到()2f a -=-()f x (,)-∞+∞(1)(1)f x f x -=+(1)2f =(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…50-【评析】本题易错的主要原因：第一小题学生无法关联出两个对称性可以得到周期性的结论，从求多个函数值的问题中发现函数的周期性来简化求和，同时抽象函数赋值法求值的基本思想和意识不够，抽象函数以具体函数呈现能挖掘更多的性质，具有多个对称性质的函数应该要求学生联想到三角函数模型，由此自然会想到周期性，以及一个周期内的函数值，本题可以在程度较好的学生中提出如何发现新的对称中心，以及如何证明．第二小题构造奇函数的意识，注意到()()1g x f x =-是函数，利用()()0g a g a +-=得到结果，学生遇到对数型函数应该联想到加减运算可以转化为真数的乘除，所以两式相加发现结果，或者学生熟悉分子有理化的运算，则可以发现二者之间关系．总之看到自变量互为相反数应该可以考虑到函数的奇偶性．（四）导数的综合运用能力较弱导数是研究函数单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，历届高考，对导数的应用的考查都非常突出，主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与图象、曲线相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断函数的单调性；已知函数的单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）数形结合思想的应用．【例4】（2018年全国卷Ⅰ理21）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：． 【解析】（1）的定义域为，. （i ）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii ）若，令得，或. 当时，； 1()ln f x x a x x=-+()f x ()f x 12,x x ()()12122f x f x a x x -<--()f x (0,)+∞22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-2a ≤()0f x '≤2a =1x =()0f x '=()f x (0,)+∞2a >()0f x '=x=x=)x ∈+∞U ()0f x '<当时，. 所以在单调递减， 在单调递增. （2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于， 所以等价于. 设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，所以，即. 【评析】第（Ⅰ）问分类讨论思想是函数导数重点考察对象，实际问题中的函数通常含有参数有待确定，所以研究未知函数问题，通常在不同情况相应结论也要改变，二次含参讨论是重点内容，要综合考虑到定义域，首相系数，判别式，根的大小比较等，估算能力是重要的一环，这是体现选拔性的一步，在求完导数未同分之前，先判断0a ≤时，导函数为负，减少讨论步骤是关键；第（Ⅱ）问极值点可求，但是注意到根与系数的关系121x x ⋅=，进而将双变量问题转化为单变量，同时要考虑到自变量的范围，再由不等式的等价转化得到第一问函数的特殊类型，题目迎刃而解．二、解决问题的思考与对策（一）培养利用“特殊值法”解题的能力对“特殊值法”还要掌握选值的技巧，当一次取值不能达到目标时，可以考虑多次取值、x ∈()0f x '>()fx )+∞()22a a -+()f x 2a >()f x 12,x x 210x ax -+=121x x =12x x <21x >12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----1212()()2f x f x a x x -<--22212ln 0x x x -+<1()2ln g x x x x=-+()g x (0,)+∞(1)0g =(1,)x ∈+∞()0g x <22212ln 0x x x -+<1212()()2f x f x a x x -<--混合选取，看能否达到目标．特殊值法可以让一般问题特殊化，抽象问题具体化，从而大大减少计算量．在复习过程中，可以精选不同类型，有意识地强化“特殊值法”的解题能力.【例5】（2018年全国卷Ⅲ文7）下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于1x =对称的是（ ）A .ln(1)y x =-B .ln(2)y x =-C .ln(1)y x =+D .ln(2)y x =+（二）函数与方程的思想重在转化，提高转化与化归的意识如2016年全国卷Ⅰ(理8、文8)与全国卷Ⅲ（理6）和2017年全国卷都考查了指数、对数、幂的运算及性质.对函数基础知识的教学要回归课本，深化函数基本概念、公式及基本图像性质的理解．【例6】（2018年天津卷理14）已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 .（三）提高利用函数性质解题的意识，具体函数抽象化，抽象函数具体化．数形结合思想将抽象逻辑思维与直观形象思维有效地结合起来，使得复杂问题简单化，抽象问题形象化，利于发现解题策略，优化解题过程．给出具体函数，我们要抽象出解题需要的函数的性质，给出抽象函数，我们能够找到具体模型与之对应，或者作示意图．【例7】(2016年全国卷Ⅱ文12) 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mii x =∑（ ） (A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m（四）重视函数导数的工具作用以三角函数为背景考查导数、不等式，注重知识的交汇，体现函数导数的工具作用．【例8】(2018年全国卷Ⅰ卷理16)已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值为 ．【解析一】()()1cos 1cos 222cos 2cos 2)('+-=+=x x x x x f ，令0)('=x f ，则21cos =x ，或1cos -=x ，所以当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈21,1cos x ，()x f 为减函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21cos x 增函数，所以()min 12f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭【解析二】()()()()()223222sin sin 24sin 1cos 41cos 1cos f x x x x x x x =+=+=-+ ()()()()1111081cos 1cos 1cos 1cos 333x x x x =-+++()()()()41111cos 1cos 1cos 1cos 33310864x x x x ⎛⎫-++++++ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭≤,所以()f x ,当3x π=-时, ()f x =. 所以()f x的最小值是. 【解析三】()()()()()223222sin sin 24sin 1cos 41cos 1cos f x x x x x x x =+=+=-+，令[]1,1,cos -∈=t t x ，则函数化为()()()311t t t g +-=，再利用导数进行求解． 【评析】本题以三角函数为背景，看似与三角函数问题，但用三角函数的知识求解就遇到困难，要求学生灵活运用其他知识解决，求函数最值常见的求解方法：（1）利用基本不等式；（2）利用导数方法；（3）数形结合；（4）换元法等等进行转化，考查了学生转化与化归、数形结合等数学思想．类似的问题还有：（2013年全国1卷理15）设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.（2016年全国III 卷文21）设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．（五）加强函数导数解答题的答题策略教学2018年全国卷Ⅰ21题函数为()ln ()h x g x +的比较容易研究的对数型函数问题，在导函数极值点问题上，涉及到“设而不求”，转化为根与系数的关系，考查问题以函数导数为载体，考查转化与化归思想；2018年全国Ⅱ卷21题与2018年全国Ⅲ卷21题都出现了()x e g x +和()ln h x x 等相对不容易研究的指对数函数型问题，对于第二问都作了一步关键的等价变形，原因是ln x 通常与多项式函数或者分式函数相加减比较容易研究， x e 通常与多项式函数或者分式函数相乘除比较好处理，这给我们的复习迎考提供了指导方向．【例9-1】已知函数2()()()xf x ax x a e a R -=++∈. （1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为3e，求实数a 的值； （2）若对任意的0a ≤，()ln(1)f x b x ≤+在[0,)x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围.【分析】函数是x e 与多项式乘除的形式，函数求导研究起来不困难，第一问基础题，第二问双参数问题，先把较容易分析的参数a 看成主元，第一步求关于a 的函数的最大值，转化为单参数问题，构造函数分类讨论，函数相对复杂，直接求导，研究导函数分子，再讨论，得出结果．【例9-2】设函数2()ln (1)f x x x ax b x =-+-，()x g x e ex =-.（1）当0b =时，函数()f x 由两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，且函数()()()h x f x g x =+在(1,)+∞时，其图像上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围.【分析】第一问，已知导函数由两个零点，可以考虑零点存在性定理，也可以选择参变量分离转化为两个函数图像的交点；导函数大于零恒成立问题，考虑到有两个超越，由二阶导数研究一阶导数，再推得函数的性质．（六）开展函数部分的微专题教学复习过程中，应对函数部分高考的高频考点问题——单调性、最值、切线、零点问题、恒成立问题、不等式证明、含量词的命题等，尤其是三角函数型函数，开展微专题教学，以提升学生对利用导数研究函数的图象与性质的认识．【例10】（2018年4月省质检理21）已知函数2()(21)2xf x ax ax e =++-.（1）讨论()f x 的单调区间；（2）若17a <-，求证：当0x ≥时，()0f x <. 第一问，含参二次讨论，第二问双变量转化为单变量，利用转化回归思想求得．三、典型问题剖析导数是研究函数的工具，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间，从最近几年全国（省市）高考数学试题来看，对函数与导数的考查可以说是全方位的. 从考查要求来讲，它不仅有对基础知识、基本技能的考查，更有对数学思想、数学本质的考查. 具体而言，试题往往融函数、导数、不等式、方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性、极值、最值、切线、方程的根、函数零点、参数的范围等问题，这类题难度大，综合性强．解题中需要用到函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、转化与化归思想，利用“设而不求”、“先猜后证”、“放缩法(如1x e x ≥+，ln 1x x ≤-，x e ex ≥，1ln x ex-≥等)”、“构造法”等手段，解决恒成立求参、函数零点、不等式证明、带量词的命题等热点问题．典型问题一：函数导数的几何意义考点1 ：求切线方程【例11】(2016年全国卷Ⅱ)已知f (x )为偶函数，当0x <时，()()ln 3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()1,3-处的切线方程是______. 解析：法一：因为11'()33f x x x -=+=+-，()'12f ∴-=，()'12f ∴=-，故切线方程为210x y ++=法二：当0x >时，()()ln 3f x f x x x =-=-，()()1'3,'12f x f x∴=-∴=-，故切线方程为210x y ++= 【评析】本题主要考查导数的概念，导数的几何意义，函数的奇偶性等基础知识，解题的关键是熟知偶函数的导数为奇函数或者求解分段函数的解析式．考点2 ：求参数的值【例12】(2015年全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝_____.法一：由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.又该切线与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0，所以a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程y ＝2x －1，设直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0,y 0)．因为y ′＝2ax ＋(a ＋2)x ，由⎩⎨⎧-=++==++12)2(22)2(2002000x x a ax y a ax ，解得0128x a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩【点评】本题主要考查函数导数的定义及几何意义，解题的关键在于熟知求二次函数切线的多种方法．考点3：切线的应用【例13】(2017合肥模拟)点P 是曲线x 2-y -ln x ＝0上的任意一点，则点P 到直线y ＝x -2的最小距离为_______．解析：点P 是曲线y ＝x 2-ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x -2平行时，点P到直线y ＝x -2的距离最小．直线y ＝x -2的斜率为1，令y ＝x 2-ln x ，得y ′＝2x-1x＝1，解得x ＝1或12x =-(舍去)，故曲线y ＝x 2-ln x 上和直线y ＝x -2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)． 因为点(1,1)到直线y ＝x -2的距离等于2，所以点P 到直线y ＝x -2的最小距离为 2.【点评】本题主要考查函数的导数几何意义，点线距离公式，解题的关键在于对数形结合的深刻领会及应用以及学生的几何直观思维．典型问题二：利用导数研究函数单调性考点1：利用导数求函数单调性【例14-1】(2017年江苏卷)已知函数x x e e x x x f 12)(3-+-=，其中e 是自然对数的底数．若0)()1(2≤+-a f a f ，则实数a 的取值范围是________.【解析】依题意可知()()0f x f x -+=，所以()f x 为奇函数，则2(1)()0f a f a -+≤可化为2()(1)f a f a ≤-，且2221()3232230x x f x x e x x e '=-++≥-+=≥，则函数()f x 在R 上单调递增，则21a a ≤-，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围是1[1,]2-【点评】本题主要考查函数的单调性、奇偶性、函数导数以及一元二次不等式的求解等基础知识，解题的关键在于能灵活运用基本不等式，进而通过导数的正负确定函数的单调性．【例14-2】（2015年全国卷Ⅱ）设函数)('x f 是奇函数))((R x x f ∈的导函数,0)1(=-f ,当0>x 时, 0)(-)('<x f x xf ,则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是( )A.(－∞,－1)∪(0,1)B.(－1,0)∪(1,＋∞)C.(－∞,－1)∪(－1,0)D.(0,1)∪(1,＋∞)解析 构造函数)0()()(≠=x x x f x F ，则0)()(')('2<-=xx f x xf x F ，所以则当0>x 时，)(x F 在),0(+∞上单调递减，又因为)(x f 为奇函数且x y =也为奇函数，所以)(x F 为偶函数，则)(x F 在)0,(-∞上单调递增．由0)1()1(0)1(==-⇒=-F F f ，当0>x 时，100)(0)(<<⇒>⇒>x x F x f ，当0<x 时， 10)(0)(-<⇒<⇒>x x F x f ，故使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是(－∞,－1)∪(0,1)，故选A ．【点评】本题主要考查导数公式、导数的几何意义、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证以及构造能力．解题关键在于熟知函数导数的求导法则，用转化与化归的思想来解抽象不等式．考点2： 讨论含参函数的单调性【例15】(节选自2018年全国卷I)已知函数x a x xx f ln 1)(+-=.讨论)(x f 的单调性. 【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-. (ⅰ)若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.(ⅱ)若2a >，令()0f x '=得，x =或x =当)x ∈+∞U 时，()0f x '<；当x ∈时，()0f x '>.所以()f x 在，)+∞单调递减，在单调递增.【点评】本题主要考查函数的导数、函数的单调性等基础知识，解题的关键在于能对含参问题进行灵活讨论，本质是对含参二次方程根的分布情况，可借助数形结合的方法确定分类讨论的标准．考点3：根据单调性逆向求参数【例16】(2017成都诊断)已知函数x ax x g x x f 221)(,ln )(2+==． （1）若函数)()()(x g x f x h -=存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（2）若函数)()()(x g x f x h -=在]4,1[上单调递减区间，求实数a 的取值范围．【解析】(1)由0,221ln )(2>--=x x ax x x h ，则21)('--=ax xx h 因为函数)(x h 在),0(+∞存在单调递减区间，所以不等式021<--ax x 在),0(+∞有解，即x x a 212->有解，设xx x G 21)(2-=，则需min )(x G a >． 又1)11(21)(22--=-=x x x x G ，所以1-)(min =x G ， 所以1->a ，故实数a 的取值范围是),1(+∞-．(2)由)(x h 在]4,1[上单调递减，即021)('≤--=ax x x h 在]4,1[恒成立，即x x a 212->恒成立，设xx x G 21)(2-=，则需max )(x G a >．又]4,1[,1)11(21)(22∈--=-=x x x x x G ，显然]1,41[1∈x ， 所以167)4()(max -==G x G ，故167-≥a ． 当167-=a 时，x x x x x x x x x h 16)4)(47(161632721671)('2--=+-=-+= 因为]4,1[∈x ，所以016)4)(47()('≤--=xx x x h 恒成立，当且仅当4=x 时等号成立 所以)(x h 在]4,1[上单调递减，故实数a 的取值范围为),167[+∞-． 【点评】本题主要是以函数导数与单调性的关系为背景，考查对含参问题的逆向探究，解题的关键是转化与化归以及参数分离解题方法的灵活运用．典型问题三：利用导数研究函数的极值考点1：已知函数求极值【例17-1】(2017年山东卷)已知函数x x x f cos 2)(2+=，)22sin (cos )(-+-=x x x e x g x ，其中e 是自然对数的底数．(Ⅰ)求曲线)(x f y =在点))(,(ππf 处的切线方程；(Ⅱ)令)()()(x af x g x h -=，讨论)(x h 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解析】(I)略(II))cos 2()22sin (cos )()()(2x x a x x x e x af x g x h x ++-+-=-=))(sin (2)sin 22()2cos sin ()22sin (cos )('a e x x x x a x x e x x x e x h x x x --=--+--+-+-=令x x x u sin )(-=，则0cos 1)('≥-=x x u ，所以函数)(x u 在R 上单调递增因为0)0(=u ，所以0>x 时，0)(>x u ；0<x 时，0)(<x u①0≤a 时，0>-a e x ，所以0>x 时，0)('>x h ，函数)(x h 在),0(+∞单调递增；0<x 时，0)('<x h ，函数)(x h 在)0,(-∞单调递增；所以0=x 时，函数)(x h 取得极小值，a h 21)0(--=．②0>a 时，令0))(sin (2)('=--=a e x x x h x ．解得0,ln 21==x a x ．(i)10<<a 时，)ln ,(a x -∞∈时，0)(',0ln ><-x h e e a x ，函数)(x h 单调递增；)ln 0(,a x ∈时，0)(',0ln <>-x h e e a x ，函数)(x h 单调递减；),0(+∞∈x 时，0)(',0ln ><-x h e e a x ，函数)(x h 单调递增；所以0=x 时，函数)(x h 取得极小值，a h 21)0(--=．a x ln =时，函数)(x h 取得极大值，]2)cos(ln )sin(ln ln 2[ln )(ln 2+++--=a a a a a a h ．(ii)1=a 时，0ln =a 时，0)(',>∈x h R x ，函数)(x h 单调递增；(iii)1>a 时，0ln >a 时，0)(',0),0,(ln ><--∞∈x h e e x a x ，函数)(x h 单调递增；)ln ,0(a x ∈时，0)(',0ln <<-x h e e a x ，函数)(x h 单调递减；),(ln +∞∈a x 时，0)(',0ln >>-x h e e a x ，函数)(x h 单调递增；所以0=x 时，函数)(x h 取得极小值，a h 21)0(--=．a x ln =时，函数)(x h 取得极大值，]2)cos(ln )sin(ln ln 2[ln )(ln 2+++--=a a a a a a h ．所以0=x 时，函数)(x h 取得极大值，a h 21)0(--=．a x ln =时，函数)(x h 取得极小值，]2)cos(ln )sin(ln ln 2[ln )(ln 2+++--=a a a a a a h ．综上所述（略）【点评】本题主要考查对函数导数、函数单调性、函数极值等基础知识．考查了函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归思想，解题的关键在于能灵活对含参问题进行分类讨论以及数形结合解题方法的灵活运用．【例17-2】(2018泉州模拟)已知函数()1xa f x x e =-+(e 为自然对数的底数) (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值；(2)求函数()f x 的极值.【解析】(1)函数()1x a f x x e =-+的导数()1x a f x e '=-,因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，得(1)10a f e'=-=，解得a e =． (2)由导数()1xa f x e '=-， ①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，即()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，所以()f x 没有极值； ②当0a >时，令()0f x '=得ln x a =，当'()0f x <，则ln x a <；当()0f x '>，则ln x a >，即()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln )a +∞，上单调递增，故()f x 在ln x a =处取得极小值(ln )ln f a a =，无极大值．综上，当0a ≤时，()f x 没有极值；当0a >时，()f x 有极小值(ln )ln f a a =，无极大值．【点评】本题主要考查对函数导数、函数单调性、函数极值等基础知识，解题的关键在于灵活掌握对含参问题的分类讨论技巧．考点2：根据函数极值(点)逆向求参数【例18-1】(2018年全国卷III)已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a ． 【解析】(1)当时，，． 设函数，则． 当时，；当时，．故当时，，当且仅当时，，从而，且仅当时，．所以在单调递增．又，故当时，；当时，．0a =()(2)ln(1)2f x x x x =++-()ln(1)1x f x x x '=+-+()()ln(1)1x g x f x x x'==+-+2()(1)x g x x '=+10x -<<()0g x '<0x >()0g x '>1x >-()(0)0g x g ≥=0x =()0g x =()0f x '≥0x =()0f x '=()f x (1,)-+∞(0)0f =10x -<<()0f x <0x >()0f x >(2)(i)若，由(1)知，当时，，这与是的极大值点矛盾．(ii)若，设函数． 由于当时，，故与符号相同． 又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点．． 如果，则当，且时，，故不是的极大值点． 如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点． 如果，则．则当时，；当时，．所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，． 【点评】本题第一问不等式证明问题考查了考生转化与化归的思想方法，能够体现考生的数学能力和思维水平．第二问起点低，问题看似常规，但落点高，实际解答过程对考生的逻辑思维与运算求解能力提出了很高的要求．【例18-2. (1)当0>a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若)(x f 在),0(+∞上存在极值点，且极值大于24ln +，求a 的取值范围.0a ≥0x >()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=0x =()f x 0a <22()2()ln(1)22f x x h x x x ax x ax==+-++++||min{x <220x ax ++>()h x ()f x (0)(0)0h f ==0x =()f x 0x =()h x 2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++610a +>6104a x a +<<-||min{x <()0h x '>0x =()h x 610a +<224610a x ax a +++=10x <1(,0)x x∈||min{x <()0h x '<0x =()h x 610a +=322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--(1,0)x ∈-()0h x '>(0,1)x ∈()0h x '<0x =()h x 0x =()f x 16a =-【解析】的定义域为),0()0,(+∞-∞ ,因为0>a ，所以0)('>x f 恒成立，即)(x f 在),0(),0,(+∞-∞单调递增．(2)由(1)可知,当0≥a 时,即)(x f 在),0(),0,(+∞-∞单调递增,函数无极值点．当0<a 时，因为)(x f 在),0(+∞上存在极值点 设a e x x g x +=2)(，则0)2()('>+=x xe x g x在),0(+∞上恒成立,即)(x g 在),0(+∞上单调递增,所以0)0()(<=>a g x g ． 设极值点为0x ，则极值为 由0)(0=x g 得020x e x a -=，所以令,x e x x h )1()(+=，则0)2()('>+=xe x x h ，所以)(x h 在),0(+∞上单调递增．而所以2ln 0>x ．令x e x x 2)(-=φ，则x e x x x )2()('2+-=φ，显然2ln 0>x 时，0)2()('2<+-=x e x x x φ，即x e x x 2)(-=φ单调递减，所以2ln 2)2(ln 22ln 2-=-<e a ，故a 的取值范围为)2ln 2,(2--∞．【点评】本题主要以指数函数为背景，考查导数在研究函数极值方面的应用，根据函数极值的性质逆向求参数的范围．考查分类与整合思想、转化与化归思想、函数与方程思想等．解题的关键是对参数的取值进行分类讨论．解题的关键在设而不求的思想的方法，找到0x 与a 的关系式，进而将)(0x f 完全表示成关于0x 的函数．考点3：函数的极值(点)的性质考查【例19-1】(2018年全国卷I 理21)已知函数x a x xx f ln 1)(+-=.(1)讨论)(x f 的单调性；(2)若)(x f 存在两个极值点21,x x ，证明：2)()(2121-<--a x x x f x f【解析】(2)证明：由(1)知，)(x f 存在两个极值点当且仅当2>a .由于f (x )的两个极值点21,x x 满足012=+-ax x ，所以121=x x ，不妨设21x x <，则12>x .由于21ln 2ln ln 11)()(2222121212121---=--+--=--x x x a x x x x a x x x x x f x f所以2)()(2121-<--a x x x f x f 等价于02ln 2122<+-x x .设函数2ln 21)(+-=x xx g ，由(1)知，)(x g 在),0(+∞上单调递减． 又0)1(=g ，从而当),1(+∞∈x 时，0)(<x g .所以02ln 2122<+-x x ，即2)()(2121-<--a x x x f x f . 【点评】本题考查的题型比较常见，第一问考查含参函数单调性的分类讨论问题，第二问结合第一问的结果，考查对双变量问题的处理以及韦达定理的应用，是比较常见的多变量转化为单变量的处理方式，最后构造函数证明不等式成立．【例19-2】(2017湖北四地七校联考)已知函数x ax xx f +-=221ln)(， (I)讨论函数)(x f 的极值点的个数；(II)若f(x)有两个极值点21,x x ，证明：2ln 43)()(21->+x f x f ． 【解析】(I)由x ax x x ax xx f +--=+-=222ln 21ln)(， 得)0(12121)('22>-+-=+--=x xx ax ax x x f ，。
