高考数学二轮复习(高考22题)12+4分项练4 函数与导数 文
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12＋4分项练4 函数与导数1．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如下图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下列四个图象中y ＝f (x )的图象大致是( )答案 C解析 由函数y ＝xf ′(x )的图象可知，当x <－1时，xf ′(x )<0，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增； 当－1<x <0时，xf ′(x )>0，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当0<x <1时，xf ′(x )<0，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当x >1时，xf ′(x )>0，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增． 故符合f (x )的图象大致为C.2．(2017届河北省衡水中学押题卷)若函数f (x )＝m ln x ＋x 2－mx 在区间(0，＋∞)内单调递增，则实数m 的取值范围为( ) A ．[0,8] B ．(0,8]C ．(－∞，0]∪[8，＋∞)D ．(－∞，0)∪(8，＋∞) 答案 A解析 很明显m ≥0，且f ′(x )＝mx ＋2x －m ≥0恒成立，即m ≤m x＋2x ，所以m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m x＋2x min ，由基本不等式的结论得m x＋2x ≥22m ，据此有m 2≤8m ，解得0≤m ≤8.故选A.3．(2017届山西省太原市模拟)已知函数f (x )＝f ′(1)ee x＋f (0)2x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.(]－∞，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，＋∞) 答案 A解析 对函数求导可得，f ′(x )＝f ′(1)e·e x ＋f (0)2×2x －1，∴f ′(1)＝f ′(1)＋f (0)－1，得f (0)＝1， 且f (0)＝f ′(1)e＝1，∴f ′(1)＝e ，f (x )＝e x＋12x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋x －1，[f ′(x )]′＝e x ＋1>0，则函数f ′(x )单调递增，而f ′(0)＝0， 故f (x )min ＝f (0)＝1，由存在性的条件可得关于实数n 的不等式2n 2－n ≥1， 解得n ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)．故选A. 4．(2017·山西省实验中学模拟)若点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，则点P 到直线y＝x －52的距离的最小值为( )A. 2B.332C.322D. 5 答案 C解析 点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，所以当曲线在点P 的切线与直线y ＝x －52平行时，点P 到直线y ＝x －52的距离最小，直线y ＝x－52的斜率为1，由y ′＝3x －2x ＝1，解得x ＝1或x ＝－23(舍)． 所以曲线与直线的切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.点P 到直线y ＝x －52的距离最小值是⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－32－5212＋12＝322.故选C.5．(2017届辽宁省锦州市质检)设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，∀x ∈R ，有f (－x )＋f (x )＝x 2，在(0，＋∞)上f ′(x )<x ，若f (2－m )＋f (－m )－m 2＋2m －2≥0，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,1]B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 答案 B解析 令g (x )＝f (x )－x 22，则g (－x )＋g (x )＝0，g (x )是R 上的奇函数． 又g ′(x )＝f ′(x )－x <0，g (x )是R 上的单调减函数，g (2－m )＋g (－m )≥0.所以2－m ≤m ，m ≥1，故选B.6．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现判断函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 答案 A解析 依题意，得f ′(x )＝x 2－x ＋3，∴f ″(x )＝2x －1， 由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，得x ＝12，又f (12)＝1，∴函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)．7．(2017届陕西省西安市铁一中学模拟)已知奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，且当x ∈(0，＋∞)时，xf ′(x )－f (x )＝x ，若f (e)＝e ，则f (x )>0的解集为( ) A ．(－∞，－e)∪(0，e)B ．(－e,0)∪(e，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0,1)D ．(－1,0)∪(1，＋∞) 答案 D解析 因为当x >0时，xf ′(x )－f (x )＝x ， 所以xf ′(x )－f (x )x 2＝1x ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′＝1x ，所以f (x )＝x (ln x ＋c )，由f (e)＝e ，解得c ＝0， 所以f (x )＝x ln x (x >0)．因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝x ln|x |， 由于f (x )>0，即x ln|x |>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，ln x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，ln (－x )<0，解得x >1或－1<x <0，故选D.8．已知函数f (x )＝e xln x (x >0)，若对∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，∃k ∈[－a ，a ](a >0)，使得方程f (x )＝k 有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，e e] B ．[e e，＋∞) C ．[e ，＋∞) D.1ee[e ,e ] 答案 B解析 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1时， f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x >e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1e ＋1＝0，当x ∈[1，e]时，f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x >0，所以f (x )∈1ee[e ,e ]-，因此1ee[e ,e ]-⊆[－a ，a ]⇒a ≥e e，故选B.9．(2017·福建省厦门第一中学模拟)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 28B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 24 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 28，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ 答案 D解析 设公共切线在曲线C 1，C 2上的切点分别为(m ，am 2)，(t ，e t )，则2am ＝e t＝am 2－e t m －t，所以m ＝2t －2，a ＝e t 4(t －1)(t >1)，令f (t )＝e t 4(t －1)(t >1)，则f ′(t )＝e t(t －2)4(t －1)2，则当t >2时，f ′(t )>0；当1<t <2时，f ′(t )<0，因此f (t )≥f (2)＝e 24，所以a ≥e24，故选D.10．(2017届辽宁省沈阳市大东区质检)已知函数f (x )＝e x |x |，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0 (a ∈R )有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－12e －1，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e 2－12e －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2－12e －1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫e 2－12e －1 答案 D解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧exx ，x >0，－exx ，x <0，当x >0时，f ′(x )＝e x(x －1)x2， 当0<x <1时，f ′(x )<0，函数单调递减， 当x >1时，f ′(x )>0，函数单调递增， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，当x <0时，f ′(x )＝－e x(x －1)x2>0，函数单调递增，如图，画出函数的图象，设t ＝f (x )，当t ＝e 时，t ＝f (x )有2个实根，当0<t <e 时，t ＝f (x )有1个实根，考虑到原方程的判别式大于零恒成立，所以原方程等价于t 2－2at ＋a －1＝0有2个相异实根，其中t 1＝e ，t 2∈(0，e)，当t ＝e 时，e 2－2a e ＋a －1＝0，解得a ＝e 2－12e －1，检验满足条件，故选D.11．(2017届陕西省渭南市高三二模)若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则对称点(A ，B )为y ＝f (x )的“孪生点对”，点对(A ，B )与(B ，A )可看作同一个“孪生点对”，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋2－a ，x ≥0恰好有两个“孪生点对”，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 答案 D解析 当x >0时，f (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋2－a ，f ′(x )＝－3x 2＋12x －9＝－3(x －1)(x －3)，可知f (x )在(0,1)，(3，＋∞)上单调递减，在(1,3)上单调递增．要使得函数y ＝f (x )有两个“孪生点对”，只需y ＝f (x ) (x >0)的图象与y ＝－2的图象有两个交点．当y ＝f (x )(x >0)的极小值为－2时，f (1)＝－1＋6－9＋2－a ＝－2，解得a ＝0，符合； 当y ＝f (x )(x >0)的极大值为－2时，f (3)＝－27＋54－27＋2－a ＝－2, 解得a ＝4，但此时f (0)＝2－a ＝－2，只有一个交点，不符合．综上，a ＝0，故选D.12．若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1eB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，1eC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0 答案 D解析 函数的定义域为(0，＋∞)． 由f (x )＝x ln x －a ＝0，得x ln x ＝a . 设g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x ＋1.由g ′(x )＝ln x ＋1>0，得x >1e ，此时函数g (x )单调递增；由g ′(x )＝ln x ＋1<0，得0<x <1e ，此时函数g (x )单调递减．故当x ＝1e时，函数g (x )取得极小值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e＝1eln 1e ＝－1e，当x 接近于0时，g (x )也接近于0， 函数g (x )的图象如图所示．∴要使函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，即方程x ln x ＝a 有两个不同的根， 即函数g (x )和y ＝a 有两个不同的交点，则－1e <a <0.故选D.13．(2017·辽宁省葫芦岛模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx ＋2中a ，b 为参数，已知曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y ＝6x －1，则f (－1)＝________. 答案 1解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，∴6＝3a ＋2＋b . 又∵5＝a ＋1＋b ＋2，∴a ＝1，b ＝1， ∴f (－1)＝－a ＋1－b ＋2＝1.14．已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是____________． 答案 2x ＋y ＋1＝0解析 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝ln x －3x . 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ， 所以f ′(x )＝1x－3，切线斜率为f ′(1)＝－2，所以切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即2x ＋y ＋1＝0.15．已知函数f (x )＝－x 2－6x －3，g (x )＝e x＋e xe x，实数m ，n 满足m <n <0，若∀x 1∈[m ，n ]，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则n －m 的最大值为________． 答案 4解析 因为g (x )＝e x＋e x e x ，所以g ′(x )＝e x(x －1)e x 2，分母恒大于0，且e x>0，由题意讨论x >0即可，则当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝2.f (x )＝－(x ＋3)2＋6≤6，作函数y ＝f (x )的图象如图所示，当f (x )＝2时，方程－(x ＋3)2＋6＝2的两根分别为－5和－1，则n －m 的最大值为－1－(－5)＝4.16．(2017·福建省三明市质检)对于定义域为R 的函数f (x )，若满足①f (0)＝0；②当x ∈R ，且x ≠0时，都有xf ′(x )>0；③当x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)时，x 1＋x 2<0，则称f (x )为“偏对称函数”．现给出四个函数： g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x 2 (x ≠0)，0 (x ＝0)；h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x ＋1) (x ≤0)，2x (x >0)；k (x )＝－x 3＋32x 2；φ(x )＝e x－x －1.则其中“偏对称函数”的函数个数为________． 答案 2解析 由题意可得，“偏对称函数”满足①函数的定义域为R ，且过坐标原点； ②函数在区间(0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0)上单调递减； ③若x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|，则f (x 1)<f (x 2)，由函数的解析式可知，则函数φ(x )，h (x )是“偏对称函数”．k (1)＝－1＋32＝12，k (2)＝－8＋32×4<k (1)，不满足②，则函数k (x )不是“偏对称函数”． g (－1)＝－32，g (－2)＝－103<g (－1)，不满足②，则函数g (x )不是“偏对称函数”． 综上可得，“偏对称函数”的个数为2.。
