2020届全国名师联盟高三上学期入学测试考试卷（一）理 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20}M x x x =+-≤，{1,0,1,2}N =-，则M N I 的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．162．已知复数2z i =+，则1zi+在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在等差数列{}n a 中，若35a =，424S =，则9a =（ ） A ．5-B ．7-C ．9-D ．11-4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ） A ．3()f x x x =+ B ．()31x f x =- C ．1()f x x=-D ．3()log f x x =5．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”．从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．126．设,αβ是两平面，,a b 是两直线．下列说法正确的是（ ）②若,a b αα⊥⊥，则a b ∥ ③若,a a αβ⊥⊥，则αβ∥④若αβ⊥，b αβ=I ，a α⊂，a b ⊥，则a β⊥ A ．①③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④7．下图是一程序框图，若输入的12A =，则输出的值为（ ）A ．25B ．512C ．1229D ．29608．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0ω>>A ，||2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象，只需把13()sin cos 22ωω=-g x x x 的图象上所有点（ ）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度9．8(12)2y x +-的展开式中22x y 项的系数是（ ）A ．420B ．420-C ．1680D ．1680-10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为2222224(,)|(1)1(1)10x y A x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪=++≥+-≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎩⎩⎭或，设点(,)x y A ∈，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[25,25]-B ．[5,25]-C ．[25,25]-D ．[4,25]-+11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，,A B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=uu u r uu u r且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D 512．已知函数()()=--+x f x e a e ma x ，（,m a 为实数），若存在实数a ，使得()0≤f x 对任意x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,e-+∞ B ．[,)-+∞e C ．[1,]e eD ．[1,]--e e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足||1OA =u u u r ，||2OB =u u u r ，点C 为线段AB 的中点，若3||2OC =u u u r ，则∠=AOB ．14．已知数列{}n a 中，11a =，且1230n n a a +++=，n ∈*N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则6S = ．15．已知直线l 经过抛物线2:4=x C y 的焦点F ，与抛物线交于,A B ，且8+=A B x x ，点D 是弧AOB （O为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为 ． 16．已知正三棱柱111-ABC A B C 的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值等于 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan 2=B ，tan()2-=C A ． （1）求A ；（2）当22=a 时，求ABC △的面积．18．（12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，,D E 分别是1,AC CC 的中点． （1）求证：平面AEB ⊥平面1A BD ； （2）求二面角1D BE A --的余弦值．19．（12分）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，圆222:O x y c +=（122F F c =）与椭圆有且仅有两个交点，点)33在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程；（2）过y 正半轴上一点P 的直线l 与圆O 相切，与椭圆C 交于点A ，B ， 若PA AB =u u u r u u u r，求直线l 的方程．20．（12分）随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：某税务部门在某公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：（1）若某员工2月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请计算一下调整后该员工的实际收入比调整前增加了多少?（2）现从收入在[3000,5000)及[5000,7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用x表示抽到作为宣讲员的收入在[3000,5000)元的人数，y表=-，求X的分布列与数学期望．示抽到作为宣讲员的收入在[5000,7000)元的人数，设随机变量X x y21．（12分）已知函数2()ln 1f x x a x =--，()a ∈R ．（1）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）若函数2()()10xg x e x ex f x =+---≥对[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．（e 是自然对数的底数， 2.71828e =L ）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是222813(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()212f x x x a =-+-，x ∈R ． （1）当4a =时，求不等式()9f x >的解集；（2）对任意x ∈R ，恒有()5f x a ≥-，求实数a 的取值范围．2020届高三入学调研考试卷理 科 数 学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】120︒或23π14．【答案】48-15．【答案】22(4)(4)5-+-=x y 16．【答案】514三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）45A =︒；（2）125． 【解析】∵1tan tan()B C A =-，∴sin cos()cos()cos sin()sin cos sin()B C A C A B C A B B C A -=⇒-=--即cos(1802)0A ︒-=．∴cos20A =，0180A ︒<<︒，290A =︒，则45A =︒． （2）∵1tan 2=B，∴sin B = ∵tan )1tan(4521tan C C C --︒==+，∴tan 3sin C C =-⇒=，由正弦定理4sin ==a A，可得=b=c所以1112csin 2252===S b A ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）14．【解析】（1）∵AB BC CA ==，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥， ∵1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AAC C ⊥平面ABC ， ∴BD ⊥平面11AAC C ，∴BD AE ⊥．又∵在正方形11AAC C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点， 易证得：1A AD ACE ≅△△，∴1A DA AEC ∠=∠，∵90AEC CAE ∠+∠=︒，∴190A DA CAE ∠+∠=︒，即1A D AE ⊥． 又1A D BD D =I ，∴AE ⊥平面1A BD ，AE ⊂平面AEB ， 所以平面AEB ⊥平面1A BD ．（2）取11AC 中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，(1,1,0)E -，3)B ，1(2,1,0)A ， 3)DB =u u u r ，(1,1,0)DE =-u u u r，1(2,1,3)BA =-u u u r ，1(1,2,0)EA =u u u r，设平面DBE 的一个法向量为(,,)x y z m ，则03000DB z x y DE ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u r u u u r m m ，令1x =，则(1,1,0)=m ，设平面1BA E 的一个法向量为(,,)a b c =n ，则110230200BA a b c a b EA ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩u u u ru u u r n n ，令1b =，则(2,1,3)=-n ，设二面角1D BE A --的平面角为θ，观察可知θ为锐角，,1cos ,||||4<>==m n m n m n ，故二面角1D BE A --的余弦值为14． 19．【答案】（1）2212x y +=；（2）143222y x =±+ 【解析】（1）依题意，得c b =，所以222a b c b +=，所以椭圆C 为222212x y b b +=，将点66(33代入，解得1b =，则2a =所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）由题意知直线l 的斜率存在，设l 斜率为k ，(0,)P m （1m >），则直线l 方程为y kx m =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 与圆O 相切，则211k =+，即221m k =+，联立直线与椭圆方程，消元得222(12)4220k x kmx m +++-=，00Δk >⇒≠，122412kmx x k +=-+，2212222221212m k x x k k -==++， 因为PA AB =u u u r u u u r，所以212x x =，即1243(12)km x k =-+，221212k x k =+，所以221619(12)m k =+，解得272k =，即1432,22k m =±=， 所求直线方程为143222y x =±+． 20．【答案】（1）220；（2）见解析．【解析】（1）按调整前起征点应缴纳个税为：15003%250010%295⨯+⨯=元， 调整后应纳税：25003%75⨯=元，比较两纳税情况，可知调整后少交个税220元， 即个人的实际收入增加了220元．（2）由题意，知[3000,5000)组抽取3人，[5000,7000)组抽取4人， 当2x y ==时，0X =，当1,3x y ==或3,1x y ==时，2X =， 当0,4x y ==时，4X =，所以X 的所有取值为：0,2,4，22344718(0)35C C P X C ===，133134344716(2)35C C C C P X C +===， 0434471(4)35C C P X C ===， 所求分布列为1816136()024********E X =⨯+⨯+⨯=． 21．【答案】（1）(,0]{2}-∞U ；（2）[0,)+∞．【解析】（1）2()ln 1f x x a x =--，22()2a x af x x x x-'=-=．①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增， 因为(1)0f =，所以()f x 有唯一零点，即0a ≤符合题意； ②当0a >时，令()0f x '=，解得2ax =，列表如下：由表可知，min ())2af x f =，函数()f x 在)2a 上递减，在(,)2a +∞上递增． （i 12a=，即2a =时，min ()(1)0f x f ==，所以2a =符合题意； （ii 12a <，即02a <<时，)(1)02af f <=， 因为122()110aaaf eee---=+-=>，11ae-<，故存在11()2ax e a-∈，使得1()(1)0f x f ==，所以02a <<不符题意； （iii 12a >，即2a >时，()(1)02af f <=， 因为2(1)(1)ln(1)1(2ln(1))f a a a a a a a -=----=---，设11a t -=>，2ln(1)1ln ()a a t t h t ---=--=，则1()10h t t'=->， 所以()h t 单调递增，即()(1)0h t h >=，所以(1)0f a ->，所以12a a ->故存在2,1)2ax a ∈-，使得2()(1)0f x f ==，所以2a >不符题意；综上，a 的取值范围为(,0]{2}-∞U ． （2）()ln xg x a x e ex =+-，则()x a g x e e x '=+-，2()x ag x e x''=-，[1,)x ∈+∞． ①当0a ≥时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以()(1)0g x g ≥=， 即0a ≥符合题意；②当0a <时，()0g x ''>恒成立，所以()g x '单调递增， 又因为(1)0g a '=<，(1ln())(ln())0ln()ln()a a e a g e a a e a e a --'-=-=>--，所以存在0(1,ln())x e a ∈-，使得0()0g x '=，且当0(1,)x x ∈时，()0g x '<， 即()g x 在0(1,)x 上单调递减，所以0()(1)0g x g <=，即0a <不符题意． 综上，a 的取值范围为[0,)+∞．22．【答案】（1）221(3)169x y y +=≠-，:6l x y -=；（2d ≤≤【解析】（1）222241:131xk k C y kk ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，平方后得221169x y +=， 又263(3,3]1y k =-+∈-+，C 的普通方程为221(3)169x y y +=≠-．cos()4πρθ+=，即cos sin 6ρθρθ-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到:6l x y -=．（2）将曲线C 化成参数方程形式为4cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），则d ==3tan 4ϕ=，所以22d ≤≤． 23．【答案】（1）712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）[3,)+∞．【答案】（1）当4a =时，145,21()3,2245,2x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 所以()9f x >的解集为712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或． （2）()21221(2)1f x x x a x x a a =-+-≥---=-，由()5f x a ≥-恒成立， 有15a a -≥-，当5a ≥时不等式恒成立， 当5a <时，由221(5)a a -≥-得35a ≤<， 综上，a 的取值范围是[3,)+∞．。
