数学抽象概括方法概论

第五章抽象与概括一、抽象与概括内容概述我们现在来进行第五章的学习指导。

在这一章我们主要介绍了两种数学思想方法，抽象方法和概括方法。

抽象和概括是两种非常重要的数学方法，任何数学概念、数学命题、数学理论的形成都离不开抽象和概括。

首先我们来回顾这一章所讲的主要内容。

我们把这一章内容分成三部分来进行小结，即● 抽象方法；● 概括方法；● 抽象和概括之间的关系。

1．抽象方法● 抽象的含义抽象是在头脑中把同类事物的共同的、本质的特征抽取出来，并舍弃个别的、非本质特征的思维过程。

这里的关键词有两个，抽取和舍弃，抽取的是事物的本质特征，是我们要给予单独考察的。

而舍弃的是事物的非本质特征。

比如在几何中学习“角”的概念时，就要分析组成“角”的各种特征，将非本质特征——形状、位置、角度等与本质特征——端点、射线区别开，并把本质特征抽取出来，这就是抽象过程。

再通过概括，形成了角的概念。

“角是由一个端点引出的两条射线所组成的平面”。

再如，建立数学模型。

数学模型通常是为解决实际问题而建立的。

实际问题又叫原型。

通常原型包含了很多复杂因素，很多关系。

而在建立数学模型过程中，我们就要把原型中很多次要的、非本质的因素去掉，而提取出问题的最本质的因素和联系，这就是一个抽象过程。

抽象的意义就在于，通过抽象能透过事物的表面现象抓住事物的本质。

我们知道，任何事物都有它的现象和本质。

现象是表面的形态和外部的联系；本质指事物内在的性质和内在联系。

事物的现象往往不能正确地反映事物的必然规律，事物的本质则能反映事物的必然规律，但不易为人们直接感知。

因此我们要用科学抽象方法来透过事物的现象获得它的本质，并用概念、原理、规律的形式描述和固定下来。

● 抽象过程抽象过程是非常复杂的。

但大多数的抽象过程基本都涉及到这四个环节，即比较和区分、舍弃和收括。

其中，比较和区分是抽象过程的基础。

我们知道，抽象是要抽取同类事物的共同的本质属性，因此抽象首先就要找到同类事物的本质属性，这是通过比较和区分环节完成的。

初中数学学习的抽象表达技巧抽象表达技巧是初中数学学习中至关重要的能力。

它不仅可以帮助学生更好地理解和解决问题，还能够提高他们的数学思维水平。

在这篇文章中，我们将深入探讨初中数学学习中的一些抽象表达技巧，并探讨如何有效地应用它们。

一、理解数学概念的本质在初中数学学习中，理解数学概念的本质是掌握抽象表达技巧的第一步。

学生需要通过观察、思考和归纳，深入了解数学概念的内涵和外延。

例如，在学习了“平行线”这一概念后，学生应该明白平行线的本质特征是两条直线在同一平面内，且不相交。

这一概念的理解不仅可以帮助学生解决与平行线相关的问题，还能够为后续学习更复杂的几何知识打下坚实的基础。

二、运用符号语言在初中数学学习中，运用符号语言是表达数学概念和关系的重要手段。

学生需要熟练掌握各种数学符号的含义和用法，例如加减乘除符号、等于号、不等号等。

通过运用符号语言，学生可以更准确、简洁地表达数学概念和运算规律。

例如，学生应该知道“a+b”表示两个数a和b的和，"a*b“表示两个数a和b的乘积。

此外，学生还应该掌握代数表达式和方程的写法，例如”ax+b=0"表示一个一次方程。

三、运用图形语言在初中数学学习中，运用图形语言可以帮助学生更直观地理解和表达数学概念。

学生需要熟练掌握各种几何图形的特征和性质，并能够运用图形语言来解决问题。

例如，学生应该知道矩形的对角线相等，三角形的内角和为180度等。

通过运用图形语言，学生可以更直观地理解和证明数学定理和公式。

例如，学生可以通过绘制图形来证明“勾股定理”。

四、运用逻辑推理在初中数学学习中，运用逻辑推理是解决数学问题的关键。

学生需要熟练掌握各种逻辑推理方法，例如归纳推理、演绎推理和类比推理等。

通过运用逻辑推理，学生可以从已知事实出发，得出新的结论和解决方案。

例如，学生可以通过归纳推理来证明“等差数列的求和公式”。

五、培养数学思维习惯在初中数学学习中，培养数学思维习惯是提高抽象表达技巧的重要途径。

国开期末考试《数学思想与方法》简述抽象和概括的
区别
抽象与概括是数学思想方法的最基本内容之一。

抽象指在认识事物的过程中，舍弃那些个别的、偶然的非本质属性，抽取普通的、必然的本质属性，形成科学概念，从而掌握事物的本质和规律.概括指的是在认识事物的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念。

一般的，人在思维过程中把客观事物某一些放马的特征与其它特征分开来给予单独考虑的。

抽象是与具体相对应的概念，具体指的是事物的多种规定性的总和，因而抽象可以理解为在具体事物的多种性质中舍弃一些性质，而“固定”另一些性质的思维活动。

此处的“固定方法”指的是概念、范畴、判断和理论等思维形式，也就是抽象方法。

抽象对于帮助认识现实世界有重要的意义，对数学知识的学习也很重要。

我们说的数学深深地影响现实世界时，所指的就是抽象的思维过程和抽象的思维方法对我们描述现实世界的改善。

在数学学习的过程中，“抽象的过程”、“抽象的方法”对我们理解和应用数学知识方面有很大的促进。

论数学教学中的概括和抽象作者：陈千金来源：《西江文艺·下半月》2015年第05期【摘要】：在数学教学中，概括与特殊化、抽象与具体化、分析与综合是非常重要的研究方法，在此过程中融合成一个整体，在思维过程中互相作用，互相渗透。

在向学生进行解答习题的教学过程中，对于内容相当丰富的习题仔细地进行分析，指导学生经过分析进行概括，通过抽象认识具体，使学生很快掌握同类问题的一般处理方法。

【关键词】：数学教学 ;概括 ;特殊化 ;抽象 ;具体化在向学生进行解答习题的教学过程中，经过分析进行概括，通过抽象认识具体问题具有很大的意义。

对于内容相当丰富的习题仔细地进行分析，有可能使学生很快掌握一类问题的一般解法。

在传统的教学法中，通常是利用对许多特殊的问题进行分析和比较的办法来掌握一般的解题方法的，也就是在经验的基础上进行概括。

一、概括在数学中的应用在数学学习进行概括时，在思维中会显现属于对象集合而且将这些对象结合任一起的某一种性质。

例如，在学习等差数列通项（即第n项）公式时，先讨论几个具体的例子;根据等差数列的首项和公差计算它的一些项。

在进行这些计算时，学生用到下列等式：a2=a1+d;a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d;a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，等等。

自然，由这些式子概括为一个公式an=a1+（n-1）d是有用的，因为利用它可以得到计算等差数列任意项的比较简单的方法。

以后，当我们把任一等差数列看作是自变量为自然数的线性函数时，这个公式还会得到新的概括：y=kx+b。

概括是由给定的对象集合进到讨论“容量”更大且包含前者的集合的中间过程。

例如，当我们由讨论自然数集过渡到讨论正分数集时。

我们就是在进行概括。

下面两种情况可以导致概括：1）将某一固定的对象换成可变的对象;2）取消对被研究的对象所加的限制。

二、数学概括与特殊化过程与概括的过程紧密相连的特殊化过程，是在思维中从被研究的对象的各种性质中分离某一种性质。

抽象代数如何归纳总结抽象代数（Abstract Algebra）是数学中重要的一个分支，研究代数结构和其上的运算。

它将代数学中的不同概念和方法进行抽象化，从而形成一种统一的理论框架。

本文将介绍抽象代数的基本概念和主要内容，并分享如何归纳总结这门学科。

一、抽象代数的基本概念抽象代数的基本概念主要包括集合、运算、代数结构和运算性质等。

其中，集合是抽象代数的基石，运算是集合上的一种二元操作，代数结构是指包含了一组集合和定义在集合上的运算的数学对象。

在抽象代数中，常见的代数结构有群、环、域等。

1.1 集合在抽象代数中，集合是由一些元素组成的，可以是有限个或无限个。

代数学中的集合通常用大写字母表示，如A、B、C等。

集合之间可以进行加、减、交、并等操作。

1.2 运算运算是指将集合中的元素进行操作得到新的元素的过程。

常见的运算包括加法、乘法、减法、除法等。

在抽象代数中，运算符号一般用"+"、"×"表示。

1.3 代数结构代数结构是指一个集合及其上的一组运算所构成的数学对象。

常见的代数结构有群、环、域等。

群是指一个集合以及在该集合上定义的一个满足一定性质的二元运算所组成的代数结构。

环是指一个集合及其上的两个运算（加法和乘法）所构成的代数结构。

域是指一个集合及其上的两个运算（加法和乘法），并满足一定性质的代数结构。

1.4 运算性质在抽象代数中，运算有一些特殊的性质，如交换律、结合律、单位元素、逆元素等。

交换律指运算顺序不影响结果，结合律指运算可以按任意顺序进行结合，单位元素是指某种运算下存在一个特定元素使得与其他元素进行运算后结果不变，逆元素是指对于某种运算下的元素，存在一个元素与之相乘（或相加）后得到单位元素。

二、抽象代数的主要内容抽象代数的主要内容包括群论、环论和域论。

这三个学科分别研究了代数结构中的群、环和域。

2.1 群论群论是抽象代数中最基础的一个分支，研究了代数结构中的群及其性质。

高中数学教学中学生抽象概括能力的培养探讨抽象概括能力是指学生通过观察事物的共性，从具体到抽象，从特殊到一般的认识过程，将所学知识和技能应用到新问题中的能力。

在高中数学教学中，培养学生的抽象概括能力具有重要的意义。

抽象概括能力对于学生的创新思维和解决问题的能力有着积极的影响。

抽象概括能力使学生能够将所学知识应用到实际问题中，通过寻找问题的共性和规律，构建解决问题的思路和方法。

在几何证明中，学生需要通过观察、发现和推理，抽象出问题的一般性质，从而解决特殊的几何问题。

这种能力的培养有助于提高学生的问题解决能力和创新思维。

抽象概括能力对于学生的学习兴趣和数学素养的培养也具有重要的作用。

在数学教学中，过多的拘泥于具体的计算和问题解决方法，容易使学生产生枯燥和乏味的感觉。

而通过培养学生的抽象概括能力，将数学知识与实际问题联系起来，有助于培养学生对数学的兴趣和理解。

这种能力的培养也可以提高学生运用数学知识解决问题的能力，提高数学素养。

在高中数学教学中，应注重培养学生的抽象概括能力。

可以通过以下几个方面来实施：注重培养学生的观察力和思维能力。

通过鼓励学生多观察、多思考，引导学生发现问题的共性和规律。

在数列问题中，让学生通过观察数列的前几项，找出规律，并通过抽象概括出数列的通项公式。

注重培养学生的实际应用能力。

在数学教学中，引入实际问题，让学生将所学知识和技能应用到实际问题解决中。

在函数问题中，可以引导学生通过抽象概括出函数的特性和变化规律，并运用函数概念解决实际问题。

抽象概括能力的培养对于学生的综合素质和发展有着重要的作用。

高中数学教学应注重培养学生的抽象概括能力，通过观察、实践和思考，培养学生的逻辑思维、创新思维和问题解决能力，提高学生的数学素养和兴趣。

教师也应注意设计合适的教学方法和任务，引导学生积极参与学习，主动探索和思考，提高抽象概括能力的培养效果。

高中数学教学中学生抽象概括能力的培养探讨高中数学作为学生必须学习的一门课程，不仅仅是为了掌握一些具体的数学知识和技能，更重要的是培养学生的抽象概括能力。

高中数学教学中如何有效地培养学生的抽象概括能力成为一个备受关注的话题。

本文将围绕这一话题展开讨论，并提出一些教学策略和方法，以便更好地帮助学生培养抽象概括能力。

我们需要明确什么是抽象概括能力。

抽象概括能力是指学生在处理具体问题时，能够运用一般化、概括化的思维方式，抽象出问题的本质，并将问题归纳为一般性的结论或规律。

这种能力不仅要求学生有良好的逻辑思维能力，更重要的是要求学生具备较强的观察、归纳和总结能力，能够在具体问题中发现普遍规律，进而举一反三，灵活运用所学知识解决新问题。

那么，在高中数学教学中，如何培养学生的抽象概括能力呢？教师在教学中应该注重培养学生的观察和总结能力。

传统的数学教学往往强调运用公式和方法，忽视了培养学生的观察和归纳能力。

而观察和归纳正是培养抽象概括能力的重要手段。

教师可以通过举一反三的例子，引导学生从具体问题中发现普遍规律，使学生明白抽象概括不是脱离具体而空泛地提出一般性规律，而是在具体问题中深入思考，总结出普适的结论。

教师还可以通过启发式教学方法培养学生的抽象概括能力。

启发式教学是一种让学生在解决问题中自主发现规律的教学方法，它可以激发学生的求知欲和探索欲，培养学生的自主学习能力和创新能力。

在高中数学教学中，教师可以设计一些启发性的问题和案例，引导学生主动探索，并通过自己的思考和总结，发现数学问题背后的规律和本质，从而逐渐培养学生的抽象概括能力。

高中数学教学中培养学生的抽象概括能力是至关重要的。

只有通过引导学生进行观察、归纳、总结，启发学生主动探索，设计实际问题解决活动，推动学生进行探究式学习，才能有效地培养学生的抽象概括能力。

希望本文提出的教学策略和方法能够为高中数学教学中培养学生的抽象概括能力提供一些参考。

高中数学教学中培养学生的抽象概括能力是一项长期而艰巨的任务。