淮安市协作体高二数学期中考试参考答案

1 淮安市高中教学协作体2013－2014学年度第二学期期中考试

高二（理科）数学试卷

考试时间：120分钟 总分：160分 命题人：刘唐育

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1. 已知34zi（i是虚数单位），则||z=5

2. 命题2,20xRxx否定命题是2,20xRxx

3. 数列1,1,2,3,5,8,的第八项为21

4. 已知,10zCzii,则z 1i

5. “直线(2)30mxmy与直线230xy互相平行”的充要条件是 4m ；

6. 一元二次方程210xx的根为 i2321 ；

7. “0x”是“20xx”成立的 充分不必要条件 条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择）；

8.

三棱锥、四棱锥、五棱锥的面数（F）、顶点数（V）、棱数（E）如下表所示：

面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）

三棱锥 4 4 6

四棱锥 5 5

8

五棱锥 6 6

10

由上表猜想n棱锥的面数F、顶点数V、棱数E关系的一个等式为2FVE

9. 已知集合22{(,)|()1}Axyxay，集合22{(,)|(3)(1)4}Bxyxy，

若集合AB，则实数a的取值范围是322,322aa或

10. 己知空间两条直线,mn两个平面,，给出下面四个命题：

①//,mnmna ； ②//,,//mnmn ；

③//,////mnmna； ④//,//,mnmn ．

其中正确命题的序号是①④

11. 若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择）；

12. 在矩形ABCD中，对角线AC与边AB、AD所成的角分别为、，则

2 22coscos1．在成长方体1111ABCDABCD中，对角线1AC与棱AB、AD、1AA所成的角分别为、、，相应于矩形的正确命题是222coscoscos1．

13. 等差数列na的公差为d，前n项和为nS，则数列232,,,mmmmmSSSSS是公差为2md的等差数列．在等比数列nb的公差为q，前n项积为nT，相应于等差数列的正确结论是232,,,mmmmmTTTTT是公比为2mq的等比数列．

14. 正整数排成如下三角阵：

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

ija表示该数阵的第i行第j个数，若ija=2015，则i+j=63

二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分14分)（1）计算：3223ii；（2）已知(1)0zziz，求z．

解:（1）i； „„„„„„„„„6分

（2）由(1)0zziz得：((1))0zzi，所以01zzi或

所以，0,1zzi或． „„„„„„„„„14分

16．（（本题满分14分）已知圆222xyR与x轴交于,AB，点P是圆O上异于,AB的任意一点，PDAB，垂足为D,则2PDADDB为定值．

证明如下：)0,(),0,(RBRA，设(,)Pxy，则)0,(xD,||PDy，,PARxPBRx，

222222222()()PDyyRxADDBRxRxRxRx=1，即2PDADDB为定值．

椭圆2222:1(0)xyCabab与x轴交于(,0),(,0)AaBa，点是椭圆C上异于,AB的任意一点，PDAB，垂足为D．请由圆的上述性质类比出椭圆的一个结论，并给出证明．

3 解：类比圆得到椭圆的一个结论为：2PDADDB＝22ab „„„„„„„„„5分

证明如下：(,0),(,0)AaBa设(,)Pxy，则)0,(xD||PDy，,ADaxBDax，

2222222222222()()()baxPDyybaADDBaxaxaxaxa=定值． „„„„„„„„„14分

17.（本题满分14分)在三棱锥ABCP中，PCPBPA、、两两垂直，OABCPO,平面为垂足，延长CO交AB于D，连结PDOBOA、、.

(1) 求证：PDPC;PDAB;

(2) 由（1），PDC为直角三角形，DCPO于O，由初中平面几何知识我们有：2PDDODC．那么在三棱锥ABCP中，请给出ABCABOPAB,,面积的一个类似的关系，并给出证明．

证明：(1),PCPAPCPBPCPDPCPABPAPBPPCABPDPABABPAB平面平面平面

„„„„„„„„„4分

,POPOABABPCOABABCPCABABPDPDPCOCDPCOPOPCPABCD平面ABC平面平面平面平面

„„„„„„„„„8分 B C A P

D O

4 B E

A F

D C

(2)ABCABOPAB,,面积的一个关系2PABAOBABCSSS„„„„„„„10分

证明如下：

由2PDDODC，得:

22111422ABPDABDOABCD„„„„„„„„„13分

即2PABAOBABCSSS． „„„„„„„14分

18.（本题满分16分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,2,1ABAF.

(1) 求二面角BDFA的大小；

(2) 在线段AC上找一点P,使PF与CB所成的角为600,试确定点P的位置.

解:(1)以,,CDCBCE为正交基底,建立空间直角坐标系,则

(0,0,1),(2,0,0),0,2,0,2,2,0EDBA,

平(1,0,0),ADFt面的法向量„„„„„2分

(2,2,0),(2,0,1)BDBF

设平面DFB法向量(,,),0,0nabcnBDnBF则, B E

A F

D C

x z

y O

5 所以220(1,1,2)20abac令a=1,得n,„„„„„4分

1cos,,2nt故二面角A-DF-B的大小600„„„„„„„„„8分

（2）设(,,0)02(2,2,1),(0,2,0)PaaaPFaaCB,则,

因为02221,6022221aPFCBa0所以cos60,„„„„„14分

解得22a故存在满足条件的点P为AC的中点. „„„„„16分

19．（本题满分16分)已知函数ln()xfxx．

（1）求函数()fx的单调区间；

（2）利用（1）的结论证明Nn0,对Nn且0nn，都有1)1(nnnn成立，并求0n的最小值．

解：(1)'21ln()xfxx„„„„„2分

.,0)('exxf则令„„„„„3分

),),0)(0)(0)(0''eexfxfexxfex单调减区间是（，的单调增区间是（所以，时，，当时，当;

„„„„„6分

（2）

,ln1)1ln(3),()(1nnnnnexf时，上是减函数，所以当在）得，由（„„„„„8分

1ln)1ln(,ln)1()1ln(nnnnnnnn即

6 „„„„„10分

1)1nnnn所以，（„„„„„12分

Nn0所以,对Nn且0nn，都有1)1(nnnn成立，

又因为1222122）时，（当n，

所以0n的最小值是3 „„„„„16分

20．（本题满分16分)在各项都是正数的数列na中，已知11a，对任意的*mN，21ma、2ma、21ma成等比数列，公比为mq；2ma、21ma、22ma成等差数列，公差为md，且12d．

（1）写出数列na的前7项；

（2）归纳出数列{}mq的通项公式并用数学归纳法证明．

解：（1）由题意得

2213322aaaaa，2222aa，22a或21a(舍去 ) „„„2分

故数列na的前六项为1,2,4,6,9,12,16 „„„„4分

(2)由(1)得, 1mmqm; „„„„6分

下面用数学归纳法证明：

1当1m时,由(1)得111q结论成立;

2假设()mkkN时,结论成立,即

的公比、、12212kkkaaa1kkqk„„„„8分

则当1()mkkN时,1322212kkkkqaaa的公比为、、