长方形、正方形的周长——谁围的面积大

谁围出的面积大
教学目标：
1. 知识目标：
通过动手操作围出的图形，探究“长方形周长相等时，长、宽与面积之间的关系”。

2. 能力目标：
经历探究过程，发展分析、比较、归纳等数学思维能力。

3. 情感目标：
培养学生良好的计算习惯。

教学过程：
一、提出问题：
用20根火柴围出长方形，看谁围出的图形面积最大？
思考：怎样解决这个问题？
小结：
1. 先用20根火柴围出各种形状的长方形。

2. 再分别算算它们的面积，比一比谁的面积最大。

二、第一层次的研究：
明确任务：用20根火柴围出长方形。

1. 动手尝试
2. 反馈：说说是怎么想的？
如：长摆了6根，宽摆了4根，四条边相加共20根。

长摆了8根，宽摆了2根，四条边相加共20根。

每一条边都是5根，四条边相加共20根。

……
3. 可能出现两种情况：有规律地摆的；无规律地摆的。

究竟可以摆出多少种不同形状的长方形？你能有规律地摆吗？
三、第二层次的研究：
1. 动手尝试，或者用笔写写，画画。

寻找摆的规律。

2. 反馈交流：
3. 小结：长方形的周长是20，一条长加一条宽的和是10。

可以先选择长是9，宽是1。

然后，长逐次减1，宽逐次加1。

四、第三层次的研究：
1. 计算每种形状的长方形的面积
2.
3. 观察：哪个图形的面积最大？
小结：长方形的周长相等时，长与宽相等时面积最大。

4. 你还有什么发现？
小组讨论。

反馈交流：长方形的周长相等时，长和宽的长度越接近，面积越大。

小学数学单元作业设计一、单元信息二、单元分析本单元的教学内容是公顷和平方千米，属于土地面积的常用单位。

这两个面积单位比较大，不容易建立表象，学生在之前的学习中已经有了面积及常用面积单位“平方米、平方分米、平方厘米”等的认识基础，在图形面积的认识方法和直观表象建立上己积累了丰富的基本活动经验。

本单元内容在进一步巩固面积认识的基础上完善面积单位体系。

建立土地面积单位“公顷”和“平方千米”的概念，解决生活中关于土地面积的实际问题。

三、单元学习与作业目标了解测量土地时常用的面积单位公顷和平方千米，知道并理解公顷、平方千米与平方米之间的进率，会进行简单的单位换算。

经历从实例到表象建立的过程，丰富直观经验，初步形成1公顷、1平方千米的表象。

四、单元作业设计思路分层设计作业。

每课时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标，题量2-5大题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，探究性、实践性，题量为2-6大题，要求学生有选择的完成）。

具体设计体系如下：五、课时作业公顷和平方千米基础性作业一个标准体育场的占地面积约是1（）。

操场的面积约是9000（）。

一张饭桌的面积约是71（）。

一块橡皮的面积约是8（）。

平方千米、公顷（可理解为平方百米）、公亩（可理解为平方十米）、平方米、平方分米、平方厘米、平方毫米，这些面积单位中，每相邻两个面积之间的进率是100。

边长为（）的正方形面积是1公顷，边长为（）的正方形面积为1平方千米。

0.32平方千米=( )公顷，24000平方米=（）公顷。

发展性作业某停车场占地约0.5公顷，每个停车位约占地12.5平方米，问这个停车场最多可同时停放多少辆汽车？有一个占地4公顷的正方形农场。

现在准备每条边都增加100米，农场的面积会增加多少公顷？有一块平行四边形的水果园，底是700米，高是300米，共收水果9000吨，平均每公顷收水果多少吨？练习六基础性作业用合适的单位填空：小红家的楼房面积大约是123（）一张课桌高6（）一台电视机的屏幕是20（）一枚5角硬币面积大约15（）操场的面积约是3600（）一扇门的面积约是2（）天安门广场的面积约是40（）上海市的面积大约是6340（）填上合适的面积单位：一间教室的面积是48（）一块手帕的面积是4（）数学书封面大小大约是3（）一块橡皮的表面的大小大约是7（）一个纽扣的面积大约是1（）铅笔盒宽10（）一支钢笔长13（）学校操场的面积大约是720（）用同样多的大小相同的小正方形摆一摆，摆成什么形状时周长最大？摆成什么形状时周长最小？发展性作业一天放学回家后，小马哈一家三口坐在 1 平方分米的方桌旁吃饭，一不小心一粒石子把小马哈那颗约 1 平方米的大门牙磕掉了。

《探索长方形的周长与面积的关系》学情分析：三年级的学生抽象、概括能力，独立探究规律的能力有待增强。

前面已有长方形和正方形周长、面积计算的知识基础，但知识运用不够灵活。

教学目标：1、学生在探究活动中，发现当周长一定时，长方形的长和宽越接近面积越大，正方形的面积最大。

2、在主动探索、交流、合作中，学生尝试枚举法、列表的方法，渗透有序思考及数形结合的思想。

3、引导学生善于观察思考，从数学现象中发现数学规律，能够体会到数学在生活中的应用价值，更加的喜欢探索数学知识。

教学重点：经历探究过程，发现长方形周长和面积之间的关系。

教学难点：学生学会有序全面的思考问题。

教学过程：一、情境激趣，引发猜想1、猜想周长不相等的长方形，面积的大小关系：师：老师这有两根铁丝，一根长20厘米，一根长24厘米，用这两根铁丝分别围成一个长方形，哪根铁丝围成的长方形面积大？预设：用24厘米围出的长方形面积大。

不一定谁围出的大。

师：说说你的想法。

追问：你们都同意吗？为什么？预设：都同意：你们的意思是周长长的，面积就大。

既然是这样，我们怎么能知道这个结论是对的呢？【启发学生寻求解决问题的方法，引导学生探究】对，不好验证，必须在所有情况下都成立才是对的，如果不对，那就好验证了，只要一种情况不成立，那这个结论就不成立了。

引导：如果用20厘米的铁丝围成一个长6厘米，宽4厘米的长方形，面积是？用24厘米的铁丝围成一个长11厘米，宽1厘米的长方形，面积是？（也有可能学生就举出类似的例子了）那刚才我们那个结论还成立吗？有不同意的：说说你的想法。

（举例说明）看来，只要有一种情况不成立，我们的结论就不正确了。

师：在接下来的研究中我们会有更深入的体会。

2、猜想周长相等的长方形，面积的大小关系：提问：如果现在老师用两根长24厘米的铁丝，分别围出一个长方形和正方形，请你来猜一猜它们谁的周长长谁的周长短呢？师：猜一猜谁的面积大？这两根铁丝的长度一样，说明长方形和正方形的什么一样？师：也就是说，在周长一定的情况下，你们有了这样的猜想。

巧求周长例题精讲基本概念①周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长．②面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积． 基本公式：①长方形的周长2=⨯(长+宽)，面积=长⨯宽．②正方形的周长4=⨯边长，正方形的面积=边长⨯边长． 常用方法：对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解． ?转化是一种重要的数学思想方法，在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分．转化后的图形虽然形状变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积．转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形．寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径．因此，我们在解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题．也就是说，在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题．这种解决问题的思想在数学中叫“化归”，它是数学思维中重要的思想和方法．~在几何中，有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的．这样的图形我们称为不规则图形．不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算．那么，不规则图形的面积怎样去计算呢对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段． 平移：在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．其中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的．利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意．割补：割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理．这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形，它的面积不变． ）旋转：在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题．对称：平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助．代换：在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧．本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力． 【例 1】 求图中所有线段的总长(单位：厘米)34ED C【解析】 要注意到，题目所求的是图中所有线段的总长，而图中的线段，并不仅仅是A 、BC 、CD 、DE 四段，还包括AC 、BE 等等，因此不能简单地将图中标示的线段长度进行求和．同时应该注意到，A ；BE，等等．因此，为了计算图中所有线段的总长，需要先计算AB 、BC 、CD 、DE 这四条线段分别被累加了几次． 这里，可以按照每条线段分别是由几部分组成的加以讨论：由1段组成的线段共有4条，即AB 、BC 、CD 、DE ，而求和过程中AB 、BC 、CD 、DE 这四条线段各被累加了1次． ，类似地考虑到，由2段组成的线段共有3条，求和过程中AB 、DE 各被累加了1次，BC 、CD 各被累加了2次．由3段组成的线段共有2条，求和过程中AB 、DE 各被累加了1次，BC 、CD 各被累加了2次．由4段组成的线段只有AE ，其中AB 、BC 、CD 、DE 各被计算了1次． 综上所述，AB 、DE 各被计算了4次，BC 、CD 各被计算了6次． 因而图中所有线段的总长度为：【例 2】 如图所示，一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形，各条线段长度见图(单位：厘米)．求：图中所有长方形的周长之和．21342【解析】 类似于上题，题目中所说的长方形，并不只包括最小的几个长方形，因此需要先求出每条线段在求和过程中被累加了多少次． %因为没从大长方形的长上找到一条线段，就能对应地找到大长方形内的一个长方形，所以可以利用上一个问题的结论来解决这个问题．当然，要考虑到，每个长方形都有两条长和两条宽，因此计算过程中应该注意不要漏算．先考虑大长方形的长上各边：应用上一道题目的结论，每条边上长为4、3、1、2的线段分别被计算了4、6、6、4次． 然后再考虑大长方形的宽：因为共有4+个长方形，所以长度为2的宽被计算了10⨯次． 故总周长可以用下式计算得到：2．【例 3】 如图，正方形的边长为4，被分割成如下12个小长方形，求这12个小长方形的所有周长之和．【解析】 4445256⨯+⨯⨯=．【巩固】（“希望杯”第一试）如右图，正方形ABCD 的边长是6厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成9个小长方形。