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x O 第五章 二次函数
一、要点透析
1． 二次函数2()yaxhk的图像和性质
a＞0 a＜0
图 象
开 口
对 称 轴
顶点坐标
最 值 当x＝ 时，y有最
值 当x＝ 时，y有最
值
增减性 在对称轴左侧 y随x的增大而 y 随x的增大而
在对称轴右侧 y随x的增大而 y随x的增大而
2． 二次函数cbxaxy2用配方法可化成khxay2的形式，其中
h＝ ， k＝ ．
3． 二次函数2()yaxhk的图像和2axy图像的关系．
4． 二次函数cbxaxy2中cba,,的符号的确定．
5． 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ；
（3）交点式： ．
6． 顶点式的几种特殊形式．
（1） ； （2） ；（3） ；（4）
7．二次函数cbxaxy2通过配方可得224()24bacbyaxaa，其抛物线关于直线x
对称，顶点坐标为（ ，
）．
（1） 当0a时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当
x 时，y有最 （“大”或“小”）值是 ；
（2）当0a时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当
x 时，y有最 （“大”或“小”）值是 ．
二、题型分类
（一）二次函数
二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）
中考二次函数含参问题总结课件和讲解
中考二次函数自2019年开始，难度逐年增大，主要考查题型有填空题压轴题和解答题二次函数压轴题。
与以往的安徽省中考二次函数不同的是，以往的二次函数一般以应用题形式出现，第二问多以最值问题为主要考查方式，然而近3年增加了二次函数含参的问题重点考查，这无异于增加了安徽省中考数学的考试难度，但本质上也是为了对接高中数学知识点，起到了知识点衔接的作用，虽然对于中考难度有所加大，但是对于后面高中数学的学习有很大的帮助。
因此，我们在初中时期，就需要对于这类问题做好总结和训练，在考试中多练习多总结，做到对这类含参二次函数问题的出题方式、解题步骤、解题方法，以及解题技巧的重点把握，才能在中考中取得很好的成绩，希望此视频对学习这类问题有所帮助。
随后附上视频讲义，觉得有帮助的可以保存使用：
优品课件
初中数学《二次函数》知识点
初中数学《二次函数》知识点
I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a
k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数 Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
中考初中数学一轮复习专题导引40讲
第15讲 二次函数的应用
☞考点解读：
知 识 点 名师点晴
二次函数的应用 1.实际背景下二次函数的关系 会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题。
2.将实际问题转化为数学中二次函数问题 会根据具体情景，建立适当的平面直角坐标系。
3.利用二次函数来解决实际问题的基本思路 （1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展。
☞考点解析：
考点1：二次函数与几何的综合运用。
基础知识归纳： 求点的坐标，求抛物线解析式，求线段长或图形面积的最值，点的存在性。
基本方法归纳：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。
注意问题归纳：合理使用割补法表达面积，分类讨论要全面。
【例1】（湖北十堰·12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；
（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP和BC的解析式，k相等则两直线平行； （3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△ABE有可能相似，即△ABC和△BCE，
①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；
