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二次函数专题一，二次函数实际应用问题（经济类）1．某商家投资销售一种进价为每盏30元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y （盏）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10700y x =-+，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）要使每月获得的利润为3000元，那么每月的销售单价定为多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？2．某水果批发商场经销一种水果，如果每干克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元．日销售量将减少20千克．（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多．3．东莞某镇斥资打造夜市网红街，王阿姨在这夜市做起了地摊生意，他以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y （件）与每件的销售单价x （元）满足一次函数关系：y ＝﹣2x +140（x ＞40）．（1）若设每天的利润为w 元，请求出w 与x 的函数关系式；（2）若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 4．某经销商经销一种封面为建党100周年的笔记本，每本进价为3元，按每本5元出售，每天可售出30本．调查发现这种笔记本销售单价每提高1元，每天的销售量就会减少3本． （1）当销售单价定为多少元时，该经销商每天销售这笔记本的销售利润为105元？（2）当销售单价定为多少元时，才能使该经销商每天销售这种笔记本所得的利润最大？最大利润是多少元？5．524红薯富含膳食纤维，维生素（A ，B ，C ，D ，E ）以及钾，铁等10余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱.某土特产批发店以30元/箱的价格进货.根据市场调查发现，批发价定位48元/箱时，每天可销售500箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量50箱． （1）写出每天的利润w 与降价x 元的函数关系式； （2）当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？ （3）要使每天的利润为9750元，并让利于民，应降价多少元？6．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．（1）若降价x元，则平均每天销售数量为件（用含x的代数式表示）；（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？（3）若每件盈利不少于24元，不多于36元，求该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为多少？二，二次函数几何综合（线段类）7．如图，已知直线y＝﹣23x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣23x2+bx+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．①当DECD＝AEOE时，求t的值；①当CD平分①ACB 时，求ABC的面积．8．已知抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，交x轴于点B(﹣3，0)和点C(1，0)，顶点为点M．（1）请求出抛物线的解析式和顶点M的坐标；（2）如图1，点E为x 轴上一动点，若AME的周长最小，请求出点E的坐标；（3）点F为直线AB上一个动点，点P 为抛物线上一个动点，若BFP为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，过点A的直线l交抛物线于点C(2，m)．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P 的坐标．10．综合与探究如图，已知点B （3，0），C （0，-3），经过B ．C 两点的抛物线y =x 2-bx +c 与x 轴的另一个交点为A ．（1）求抛物线的解析式;（2）点D 在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，求点D 的坐标．（3）若点E （2，-3），在坐标平面内是否存在点P ，使以点A ，B ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 11．综合与探究如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP PC +的值最小，此时点P 的坐标是 （3）点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出①BCQ 面积的最大值．（4）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，B ，C 两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）． （1）直线BC 的解析式为________． （2）求抛物线所对应的函数解析式．（3）①顶点D 的坐标为________；①当0≤x ≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________．（4）若点M 是第一象限的抛物线上的点，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N ，求线段MN 的最大值．13．如图，已知抛物线2134y x bx =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若已知B 点的坐标为B （6，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）M 为线段BC 上方抛物线上一点，N 为线段BC 上的一点，若MN ①y 轴，求MN 的最大值；答案第1页，共2页参考答案1．（1）40元；（2）48元时， 3960元 2．（1）涨价5元（2）当涨价为152元时，利润最大，最大利润为6125元 3．（1）w ＝﹣2x 2+220x ﹣5600（x ＞40）（2）销售单价定为48元时，利润最大，最大利润是352元4．（1）10元或8元；（2）每本售价定为9元时，利润最大，最大利润是108元 5．（1）()2504009000018w x x x =-++≤≤，（2）当降价4元时，每天可获得最大利润，最大利润为9800（3）应降价5元 6．（1）（30+3x ）（2）每件商品应降价20元（3）该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为1875元，1512元7．（1）224233y x x =-++（2）①2；①548．（1）y =-x 2-2x +3；顶点M 的坐标为（-1，4）；（2）点E （-37，0）；（3）点P 的坐标为（2，-5）或（1，0）．9．（1）223y x x =--；（2）P 13(,)22-10．（1）223y x x =--；（2）点D 的坐标为()1,2-；（3）存在，1(2,3)P --，2(6,3)P -，3(0,3)P ．答案第2页，共2页11．（1）234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；（2）35,22P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）8；（4）存在，()3,4或4⎫-⎪⎪⎝⎭或4⎫-⎪⎪⎝⎭．12．（1）3y x =-+ ；（2）2y x 2x 3=-++ ；（3）①()1,4D；①4，-5；（4）9413．（1）抛物线解析式为2134y x x =-++，抛物线对称轴为直线2x =；（2）当P 点坐标为（2，2）时，使得①P AC 的长最小；（3）94。
中考数学总复习《二次函数的实际应用与几何问题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝12x2的图象，C2是函数y＝－12x2的图象，则图中阴影部分的面积为()A．πB．2πC．3πD．4π2．如图，已知抛物线y=mx2﹣6mx+5m与x轴交于A、B两点，以AB为直径的⊙P经过该抛物线的顶点C，直线l⊙x轴，交该抛物线于M、N两点，交⊙P与E、F两点，若EF=2√3，则MN的长为（）A．2√6B．4√2C．5D．63．如图，已知⊙ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（）A．b≤﹣2B．b＜﹣2C．b≥﹣2D．b＞﹣24．如图，在⊙ABC中，⊙C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以√2cm/s的速度沿AB方向运动到点B．动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC →CB方向运动到点B．设⊙APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．5．长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）A．y=x2B．y=（12﹣x2）C．y=（12﹣x）•x D．y=2（12﹣x）6．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m宽的门。
已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m。
设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m²)，则y关于x的函数表达式是()A．y=-x²+50x B．y= −12x²+24xC．y= −12x2+25x D．y= −12x2+26x7．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊙BD，CE= 12BD．若⊙ABD的周长为20cm，则⊙BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（）2−10x+100B．S=2x2−40x+200A．S=14xC．S=x2−20x+100D．S=x2+20x+1008．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（）A．12B．18C．24D．369．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若⊙ABC与⊙ABD的面积比为1：4，则k值为（）A．1B．12C．43D．4510．半径是3的圆，如果半径增加2x，那么面积S和x之间的函数关系式是（）A．S＝2π（x＋3）2B．S＝9π＋xC．S＝4πx2＋12x＋9D．S＝4πx2＋12πx＋9π11．设抛物线y=ax2+bx+c(ab≠0)的顶点为M ,与y轴交于N点，连接直线MN，直线MN与坐标轴所围三角形的面积记为S.下面哪个选项的抛物线满足S=1 () A．y=−3(x−1)2+1B．y=2(x−0.5)(x+1.5)C．y=13x 2−43x+1D．y=(a2+1)x2−4x+2(a为任意常数)12．已知坐标平面上有两个二次函数y=a(x+1)(x−7)，y=b(x+1)(x−15)的图形，其中a、b为整数．判断将二次函数y=b(x+1)(x−15)的图形依下列哪一种方式平移后，会使得此两图形的对称轴重叠（）．A．向左平移4单位B．向右平移4单位C．向左平移8单位D．向右平移8单位二、填空题13．如图，点A（0，1），平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2(x≥0)与y2=14x2（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE⊙AC，交y2于点E，则DE ＝．14．用一根长为24cm的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是cm2．15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，⊙AOC=60°，点D为AB边上的一点，经过O，A，D三点的抛物线与x轴的正半轴交于点E，连结AE交BC于点F，当DF⊙AB时，CE的长为。
中考数学总复习《二次函数的实际应用》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】1.如图1,质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧(已知自然状态下,弹簧的初始长度为12cm).从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中(不计空气阻力,弹簧在整个过程中始终发生弹性形变),得到小球的速度v( cm/s)和弹簧被压缩的长度Δl(cm)之间的关系图象如图2所示.根据图象,下列说法正确的是( )A.小球从刚接触弹簧就开始减速B.当弹簧被压缩至最短时,小球的速度最大C.当小球的速度最大时,弹簧的长度为2 cmD.当小球下落至最低点时,弹簧的长度为6 cm2.在如图所示的平面直角坐标系中,有一斜坡OA,从点O处抛出一个小球,落到点)处.小球在空中所经过的路线是抛物线y=-x2+bx的一部分.则抛物线最高点A(3,32的坐标是.3.(2024·自贡中考)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是m2.4.距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h=-5t2+mt+n,其图象如图所示,物体运动的最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到t 秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差),则当0≤t≤1时,w 的取值范围是;当2≤t≤3时,w的取值范围是.5.(2024·广东中考)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝,销往国外,若按每吨5万元出售,平均每天可售出100吨.市场调查反映:如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大?并求出其最大值.6.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗,市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元,一盒猪肉粽加两盒豆沙粽的进价为100元.(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价;(2)在销售中,某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时,每天可售出100盒,若每盒售价提高1元,则每天少售出2盒.设每盒猪肉粽售价为a元,销售猪肉粽的利润为w元,求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润.【B层·能力提升】7.(2024·黔南一模)如图1是某公园喷水头喷出的水柱.如图2是其示意图,点O处有一个喷水头,距离喷水头8 m的M处有一棵高度是2.3 m的树,距离这棵树10 m 的N处有一面高2.2 m的围墙(点O,M,N在同一直线上).建立如图2所示的平面直角坐标系.已知浇灌时,喷水头喷出的水柱的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a<0).某次喷水浇灌时,测得x与y的几组数据如表:x02610121416y00.882.162.802.882.802.56(1)根据上述数据,求这些数据满足的函数关系式.(2)判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树,并请说明理由.(3)在另一次喷水浇灌时,已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04x2+bx.假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树,且不会浇到墙外,求出b的取值范围.8.(2024·无锡模拟)某服饰有限公司生产了一款夏季服装,通过实体商店和网上商店两种途径进行销售,销售一段时间后,该公司对这种商品的销售情况,进行了为期30天的跟踪调查,其中实体商店的日销售量y (百件)与时间(t 为整数,单位:天)的函数关系为:y 1=-15t 2+6t ,网上商店的日销售量(百件)与时间(t 为整数,单位:天)的部分对应值如图所示.(1)求y 2与t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围;(2)在跟踪调查的30天中,设实体商店和网上商店的日销售总量为y (百件),求y 与t 的函数关系式;当t 为何值时,日销售总量y 达到最大?并求出此时的最大值.9.(2024·扬州模拟)如图,某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练,水面边缘点E 的坐标为(-1,-10),运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O 的抛物线.在跳某个规定动作时,运动员在空中最高处A 点的坐标为(34,916),正常情况下,运动员在距水面高度5米之前,必须完成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否则就会失误,运动员入水后,运动路线为另一条抛物线.(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式,并求出入水处点B的坐标.(2)若运动员在空中调整好入水姿势时,恰好距点E的水平距离为4米,问该运动员此次跳水会不会失误?通过计算说明理由.10.(2024·泰州一模)制作简易水流装置设计方案如图,CD是进水通道,AB是出水通道,OE是圆柱形容器的底面直径,从CD将圆柱形容器注满水,内部安装调节器,水流从B处流出且呈抛物线形.以点O为坐标原点,EO所在直线为x轴,OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy,水流最终落到x轴上的点M处.示意图已知AB∥x轴,AB=5 cm,OM=15 cm,点B为水流抛物线的顶点,点A,B,O,E,M在同一平面内,水流所在抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+15(a≠0)任务一求水流抛物线的函数表达式;任务二现有一个底面半径为3 cm,高为11 cm的圆柱形水杯,将该水杯底面圆的圆心恰好在M处,水流是否能流到圆柱形水杯内?请通过计算说明理由.(圆柱形水杯的厚度忽略不计)任务三还是任务二的水杯,水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动,为了使水流能流到圆柱形水杯内,直接写出OP长的取值范围.请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三.【C层·素养挑战】11.(2024·吉林中考)小明利用一次函数和二次函数知识,设计了一个计算程序,其程序框图如图(1)所示,输入x的值为-2时,输出y的值为1;输入x的值为2时,输出y的值为3;输入x的值为3时,输出y的值为6.(1)直接写出k,a,b的值.(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象,如图(2).Ⅰ.当y随x的增大而增大时,求x的取值范围.Ⅱ.若关于x的方程ax2+bx+3-t=0(t为实数),在0<x<4时无解,求t的取值范围.Ⅲ.若在函数图象上有点P,Q(P与Q不重合).P的横坐标为m,Q的横坐标为-m+1.小明对P,Q之间(含P,Q两点)的图象进行研究,当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化时,直接写出m的取值范围.参考答案【A层·基础过关】1.(2024·遵义红花岗一模)如图1,质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧(已知自然状态下,弹簧的初始长度为12cm).从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中(不计空气阻力,弹簧在整个过程中始终发生弹性形变),得到小球的速度v( cm/s)和弹簧被压缩的长度Δl(cm)之间的关系图象如图2所示.根据图象,下列说法正确的是(D)A.小球从刚接触弹簧就开始减速B.当弹簧被压缩至最短时,小球的速度最大C.当小球的速度最大时,弹簧的长度为2 cmD.当小球下落至最低点时,弹簧的长度为6 cm2.(2024·青海中考改编)在如图所示的平面直角坐标系中,有一斜坡OA,从点O处抛出一个小球,落到点A(3,32)处.小球在空中所经过的路线是抛物线y=-x2+bx的一部分.则抛物线最高点的坐标是(74,4916).3.(2024·自贡中考)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE= 6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是46.4m2.4.距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h=-5t2+mt+n,其图象如图所示,物体运动的最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到t 秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差),则当0≤t≤1时,w 的取值范围是0≤w≤5;当2≤t≤3时,w的取值范围是5≤w≤20.5.(2024·广东中考)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝,销往国外,若按每吨5万元出售,平均每天可售出100吨.市场调查反映:如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大?并求出其最大值.【解析】设该果商定价x万元时每天的“利润”为w万元w=(x-2)[100+50(5-x)]=-50(x-4.5)2+312.5∵-50<0∴w随x的增大而减小∴当x=4.5时,w有最大值,最大值为312.5万元.答:该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大,其最大值为312.5万元.6.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗,市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元,一盒猪肉粽加两盒豆沙粽的进价为100元.(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价;(2)在销售中,某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时,每天可售出100盒,若每盒售价提高1元,则每天少售出2盒.设每盒猪肉粽售价为a元,销售猪肉粽的利润为w元,求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润.【解析】(1)设每盒猪肉粽的进价为x元,每盒豆沙粽的进价为y元由题意得{x-y=10x+2y=100,解得{x=40 y=30∴每盒猪肉粽的进价为40元,每盒豆沙粽的进价为30元;(2)w=(a-40)[100-2(a-50)]=-2(a-70)2+1 800,∵-2<0,∴当a=70时,w有最大值,最大值为1 800元.∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1 800元.【B层·能力提升】7.(2024·黔南一模)如图1是某公园喷水头喷出的水柱.如图2是其示意图,点O处有一个喷水头,距离喷水头8 m的M处有一棵高度是2.3 m的树,距离这棵树10 m 的N处有一面高2.2 m的围墙(点O,M,N在同一直线上).建立如图2所示的平面直角坐标系.已知浇灌时,喷水头喷出的水柱的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a<0).某次喷水浇灌时,测得x与y的几组数据如表:x02610121416y00.882.162.802.882.802.56(1)根据上述数据,求这些数据满足的函数关系式.(2)判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树,并请说明理由.(3)在另一次喷水浇灌时,已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04x2+bx.假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树,且不会浇到墙外,求出b的取值范围.【解析】(1)由题意,根据抛物线过原点,设抛物线解析式为y =ax 2+bx 把x =2,y =0.88和x =6,y =2.16代入y =ax 2+bx 得:{4a +2b =0.8836a +6b =2.16解得{a =-0.02b =0.48∴抛物线解析式为y =-0.02x 2+0.48x. (2)由题意,当x =8时,y =-0.02×82+0.48×8=2.56. ∵2.56>2.3∴喷水头喷出的水柱能越过这棵树. (3)∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树 ∴当x =8时,y >2.3 即-0.04×82+8b >2.3 ∴b >243400∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外 ∴当x =18时,y <2.2 即-0.04×182+18b <2.2,∴b <379450抛物线对称轴为x =-b2×(-0.04)=b2×0.04∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树,且不会浇到墙外 ∴对称轴所在直线在围墙与喷水头中点的左侧. ∴b 2×0.04<182=9,∴b <1825.∴243400<b <1825.8.(2024·无锡模拟)某服饰有限公司生产了一款夏季服装,通过实体商店和网上商店两种途径进行销售,销售一段时间后,该公司对这种商品的销售情况,进行了为期30天的跟踪调查,其中实体商店的日销售量y (百件)与时间(t 为整数,单位:天)的函数关系为:y 1=-15t 2+6t ,网上商店的日销售量(百件)与时间(t 为整数,单位:天)的部分对应值如图所示.(1)求y 2与t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围;(2)在跟踪调查的30天中,设实体商店和网上商店的日销售总量为y (百件),求y 与t 的函数关系式;当t 为何值时,日销售总量y 达到最大?并求出此时的最大值. 【解析】(1)当0≤t ≤10时,设y 2=kt ∵(10,40)在其图像上,∴10k =40,∴k =4 ∴y 2与t 的函数关系式为y 2=4t ; 当10≤t ≤30时,设y 2=mt +n 将(10,40),(30,60)代入得{10m +n =4030m +n =60,解得{m =1n =30∴y 2与t 的函数关系式为y 2=t +30综上所述,y 2与t 的函数关系式为y 2={4t (0≤t ≤10且为整数)t +30(10<t ≤30且为整数);(2)依题意得y =y 1+y 2,当0≤t ≤10时,y =-15t 2+6t +4t =-15t 2+10t =-15(t -25)2+125,∴t =10时,y最大=80;当10<t ≤30时,y =-15t 2+6t +t +30=-15t 2+7t +30=-15(t -352)2+3654∵t 为整数,∴t =17或18时,y 最大=91.2∵91.2>80,∴当t =17或18时,日销售总量y 达到最大,最大值为91.2百件.9.(2024·扬州模拟)如图,某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练,水面边缘点E 的坐标为(-1,-10),运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O 的抛物线.在跳某个规定动作时,运动员在空中最高处A 点的坐标为(34,916),正常情况下,运动员在距水面高度5米之前,必须完成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否则就会失误,运动员入水后,运动路线为另一条抛物线.(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式,并求出入水处点B 的坐标. (2)若运动员在空中调整好入水姿势时,恰好距点E 的水平距离为4米,问该运动员此次跳水会不会失误?通过计算说明理由. 【解析】∵运动员在空中最高处A 点的坐标为(34,916),∴A 点为抛物线的顶点,∴设该抛物线的解析式为y =a (x -34)2+916∵该抛物线经过点(0,0),∴916a =-916∴a =-1∴抛物线的解析式为y =-(x -34)2+916=-x 2+32x. ∵跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练 ∴令y =-10,则-x 2+32x =-10∴x =4或x =-52,∴B (4,-10);(2)该运动员此次跳水不会失误,理由:∵运动员在空中调整好入水姿势时,恰好距点E 的水平距离为4米,点E 的坐标为(-1,-10),∴运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为3当x=3时,y=-32+3×32=-92∴运动员距水面高度为10-92=5.5(米)∵5.5>5,∴该运动员此次跳水不会失误.10.(2024·泰州一模)制作简易水流装置设计方案如图,CD是进水通道,AB是出水通道,OE是圆柱形容器的底面直径,从CD将圆柱形容器注满水,内部安装调节器,水流从B处流出且呈抛物线形.以点O为坐标原点,EO所在直线为x轴,OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy,水流最终落到x轴上的点M处.示意图已知AB∥x轴,AB=5 cm,OM=15 cm,点B为水流抛物线的顶点,点A,B,O,E,M在同一平面内,水流所在抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+15(a≠0)任务一求水流抛物线的函数表达式;任务二现有一个底面半径为3 cm,高为11 cm的圆柱形水杯,将该水杯底面圆的圆心恰好在M处,水流是否能流到圆柱形水杯内?请通过计算说明理由.(圆柱形水杯的厚度忽略不计)任务还是任务二的水杯,水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动,为了使水流能流到圆柱形水杯内,直接写出OP长的取值范围.三请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三.【解析】任务一:∵AB∥x轴,AB=5 cm,点B为水流抛物线的顶点,∴抛物线的对称轴为x=5.∴-b=5.∴b=-10a.2a把点M(15,0)代入抛物线y=ax2+bx+15得:15a+b+1=0把b=-10a代入15a+b+1=0 得:15a-10a+1=0,解得a=-1,∴b=25x2+2x+15.∴水流抛物线的函数表达式为y=-15任务二:圆柱形水杯最左端到点O的距离是15-3=12,当x=12时×122+2×12+15=10.2,∵11>10.2y=-15∴水流不能流到圆柱形水杯内.任务三:2+3√5<OP<8+3√5.【C层·素养挑战】11.(2024·吉林中考)小明利用一次函数和二次函数知识,设计了一个计算程序,其程序框图如图(1)所示,输入x的值为-2时,输出y的值为1;输入x的值为2时,输出y的值为3;输入x的值为3时,输出y的值为6.(1)直接写出k,a,b的值.(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象,如图(2).Ⅰ.当y 随x 的增大而增大时,求x 的取值范围.Ⅱ.若关于x 的方程ax 2+bx +3-t =0(t 为实数),在0<x <4时无解,求t 的取值范围. Ⅲ.若在函数图象上有点P ,Q (P 与Q 不重合).P 的横坐标为m ,Q 的横坐标为-m +1.小明对P ,Q 之间(含P ,Q 两点)的图象进行研究,当图象对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化时,直接写出m 的取值范围. 【解析】(1)∵x =-2<0 ∴将x =-2,y =1代入y =kx +3 得-2k +3=1,解得k =1. ∵x =2>0,x =3>0∴将x =2,y =3,x =3,y =6代入 y =ax 2+bx +3得{4a +2b +3=39a +3b +3=6,解得{a =1b =-2. (2)Ⅰ.∵k =1,a =1,b =-2∴一次函数解析式为y =x +3,二次函数解析式为y =x 2-2x +3. 当x >0时,y =x 2-2x +3,对称轴为直线x =1,开口向上 ∴当x ≥1时,y 随x 的增大而增大; 当x ≤0时,y =x +3,k =1>0∴当x ≤0时,y 随x 的增大而增大. 综上,x 的取值范围为x ≤0或x ≥1.Ⅱ.∵ax 2+bx +3-t =0∴ax 2+bx +3=t 在0<x <4时无解∴问题转化为抛物线y =x 2-2x +3与直线y =t 在0<x <4时无交点.∵对于y=x2-2x+3,当x=1时,y=2∴顶点为(1,2),如图:∴当t=2时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时正好有一个交点;当t<2时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点.当x=4时,y=16-8+3=11∴当t≥11时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点∴当t<2或t≥11时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点即当t<2或t≥11时,关于x的方程ax2+bx+3-t=0(t为实数),在0<x<4时无解.Ⅲ.∵x P=m,x Q=-m+1∴m+(-m+1)2=1 2∴点P,Q关于直线x=12对称.当x=1时,y最小值=1-2+3=2,当x=0时,y最大值=3.∵图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化,而当x=2时,y=3,当x=-1时,y=2∴①当m>12时,如图:由题意得{-1≤-m+1≤01≤m≤2∴1≤m≤2;时,如图:②当m<12由题意得{-1≤m≤01≤-m+1≤2∴-1≤m≤0.综上,-1≤m≤0或1≤m≤2.。
