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统计物理学中的非简并性条件和经典极限条件

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用 的量子统计方 法 ， 但在一 定 的条 件下 ， 量 子统计 的 结果可 以等于经 典统计 的结果 。因此 ， 经典统计在一 定条件下仍 然具 有实际意义。另一方面 ， 对于组成费 米 系统 的粒 子 ， 要遵从 费米分 布 ； 对 于组成玻 色系统 的粒子 ， 要遵从玻色分布 。 费米分布和玻色分布 ， 在非 简并 性条件下 ， 可 以过渡到玻耳兹曼分布 。以下 的讨 论 均指在 热平衡条 件下 的近 独立粒 子系统最 概然分 布。
作者简介 ： 潘瑞琨 ， 男， 湖北大学材料科学与工程学院 ， 主要研究方 向： 材料物理 。
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１ ８ ８ －
２ ０ １５年 １ ２月 第 ４ ９期
教育教学论坛 Ｅ Ｄ Ｕ Ｃ Ａ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ Ｔ Ｅ Ａ Ｃ Ｈ Ｉ Ｎ Ｇ Ｆ Ｏ Ｒ Ｕ Ｍ
Ｄ ｅ ｃ ． ２ ０ 中 ， 对非简并性
条件是这样引入 的 ： 定域 的粒子 系统遵从玻耳兹曼 分 布， 即处在能级ｌ 上 的粒子数 为 ： ａ ｔ ＝ ｃ ｏ ， ｅ一 ； 非定 域的 费米系统遵从费米分布 ： ∞ｆ （ ｅ ＋ １ ） ～ ； 非定域的玻 色 系统遵从 玻 色分布 ： ａ ｆ ＝ ｍ （ ｅ 一 １ ） ～ ， 式中ｓ 是能
摘要： 本 文从教 学的 角度 ， 对 不同统计物理 学的教材 中， 非 简并性条件和经典极 限条件 的概念和物理 意义
作 了比较 分析 。 许 多教材把 经典极 限条件等同于非 简并性条件 。 实际上经典极 限条件 包含非简并性条件。 对定
域 系统 ， 经典极限条件退化为非 简并性条件。 在教 学中， 有必要 强调非简并性条件的重要性 ， 以帮助学生理解三
种分布的适用对象。 关键词 ： 统计物理学； 非简并性条件 ； 经典极限条件 ； 教学 中图分类号 ： Ｏ４ １ ４ ． ２ 文献标 志码 ｉ Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ４ － ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ５ ） ４ ９ — ０ １ ８ ８ 一 Ｏ ２
统计 物理学 根据物质 的微观 结构及微 观粒子 相 互作 用的事 实和规律 ， 用 概率统计 的方法 ， 对 由大量 粒子组成 的宏观系统的性质作出解 释。 统计物理学是 由微观到宏 观的桥梁 ， 它为宏 观理论提供 依据 ， 已经 成 为气体 、 液体 、 固体和等离子体理论 的理论基础 。
级ｆ 的能 量 ， 和 ｐ是拉格 朗 日乘子 ， ｄ和 ｐ由约束条
件确定 ， Ｂ ＝ ｌ ／ ｋ Ｔ ， ｋ 为玻耳兹曼常数 ， Ｔ 为温度 。 如果ｅ
＞ ＞ １ ， 则费米分布与玻色分布都过渡到玻耳兹曼分布 。
基金项目： 本项 目由湖北大学教学改革与研究项 目２ ０ １ ３ ０ ２ 资助
引入平均热 波长 ＝ １ １ ／ 、 ， 则非 简并 性条件可
写为 ＜ ＜ ｒ ，其 中ｒ 为粒子 的间距 。微观粒子具有波粒 二 象性 ， ＝ ｈ ／ ｐ 是 粒子 的德 布罗 意 波 长 ，则 入和
具有相同的数量级 。
子统计与经典统计 的根本 区别 ， 在 于它们描述粒子 的 力学基础 不 同 ， 经 典统计是 以经典 力学为基 础 ， 量 子 统计则是 以量子 力学 为基础 。 这 导致两种统计对微观
粒子运动的描述 不同。 虽然微 观粒子本应该采用更适
平均热波长 的大小与粒子 间距ｒ 是否为 同一数 量级 ， 决定 了粒子是否可 以看作量子全 同粒子 或经典
全 同粒子 ， 因此平 均热波长反 映粒子 的量子性 显著与 否。在量 子理论 中 ， 全 同性原理 是全 同粒子体 系具有 量子性的基本要求 。如果采用波包描 写粒子的状态 ， 则波包 的线度与粒子的德布罗意波长有关 。 当粒子 的 波包线 度 比粒 子 的间距小很 多 时（ ＜ ＜ ｒ ） ， 那 么粒子 的波包在空间互不重叠 ， 即当粒子系统满足非简并性 条件 ＜ ＜ ｒ 时 ，描写粒子 的波包是定域 在空间不 同区 域的， 粒子可 以加 以区分 ， 此 时全 同性 的要求 不起作 用， 全 同粒子系统可作经典粒子 系统处理 。因此非简 并性条件 ， 实质上指 明了在分析全 同粒子 系统 的热力 学性质时 ， 是否需要考虑全 同性原理。
对 经典系统或量子系统而言 ， 在统计原理上并没 有 本质的差别 ， 二者都 以等概率原理为基本假设 。量
条 件ｅ ＞ ＞ ｌ 就称为非简并性条件 。 很 多教材＿ ｌ １ 中， 在讲到非简并性条件ｅ ＞ ＞ １ 时， 会
将此式变 换到另 一个式子 ： （ ２ 竹ｍ ｋ Ｔ ） ～ ／ ｎ ｈ ＞ ＞ １ ， 或者
在经典极 限条件下 ， 量子力学可 以过渡到经典力 学 。许多量子力学教科书都证明了这一点 。也有人指 出， 采用ｈ 一０ 或用大量子数 作为经典 极 限条 件 ， 量 子 力学 的经典极 限不是经典力学而是经典统计力学『 ４ Ｉ 。 有统计物理学教材指出 ： 当系统温度远 大于简并温度 时， 量子统计 分布过 渡到经典 的玻耳兹曼 分布 ， 这 时 气体 的性质和经典气体的性质相差不大 ， 这种气体称 为不简并气体 。 当系统温度远小于简并温度量子气体
２０１５年 １ ２ 月 第 ４９ 期
教 育 教 学 论 坛
ＥＤ Ｕ ＣＡ ＴＩ ＯＮ ＴＥ ＡＣＨ Ｉ Ｎ Ｇ Ｆ ＯＲ ＵＭ
Ｄｅ ｃ ． ２ ０１ ５
Ｎ Ｏ． ４９
统计物理学 中的非筒并性条件和经典极限条件
（ 湖北大学 潘瑞琨 ， 曹万强 ， 张柏顺 ， 郑克玉 材料科学与工程学 院， 湖北 武汉 ４ ３ ０ ０ ６ ２ ）
的性 质与经 典气体 的性 质有显 著 区别 ，量 子效 应显 著， 必须考虑量子效应， 不能用经典分布处理。 要满足 系统温度远大 于简并 温度这一要求 ， ｈ 一０ 就是可选 条 件 之一 。从这个 意义上说 ， 量子力学 可以过渡 到经典 力 学的经典极 限条 件 ， 与量子统计分 布过渡到经典 的 玻耳兹曼 分布的经典极限条件 ， 有相同之处 。 有热 力学统计物理教 材 ， 对经典极 限条 件是这样 引入 的 ： 如果 在玻色 系统或 费米系 统 中 ， 任 一能级 ８． 上 的粒子数远小 于该能级 的量 子态数 ， 即 ／ ∞ ＜ ＜ １ ， 该

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热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布

热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布


al ln N E ln l al 0 l l al ln l 0 l 1,2,
l
al l e
l
或者
al
e
l
l
玻耳兹曼系统的最概然分布：麦克斯韦-玻耳兹曼分布（M.B) 拉氏乘子由下式确定：
不是独立变量
al 0
需满足条件：
N al 0
l
E l al 0
l
引入拉格朗日乘子 和
，建立辅助函数：
W (a1 , a2 , , al , ) ln N E
其全微分：
al ln N E ln l al 0 l l 26
l l
N ln N al ln al al ln l
当 al 有 al 的变化时，应有 ln 0
l l
ln ln al 1al ln lal
l l
25
的结论，因为
al ln ln l l

l
l
1
（经典极限条件或 所有的l 非简并性条件）
la
F . D.
l ! l l 1 l al 1 al ! ! l l a l ! l a l

l
M . B. al ! N!
l
l a
M . B. al ! N!
确定第 i 个粒子的力 学运动状态。
确定系统的微观运动状态需要
2 Nr
个变量。
qi1 ,, qir ; pi1 ,, pir i 1,2,, N
统计物理第三章

统计物理第三章


l
l exp 1 kT
l
22
由于处在任意能级上的粒子数目不能为负 数。所以： l
l
从而
l 0 0
exp l 1 kT
0
理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能 级的能量。如果假设粒子的最低能级（基态） 能量＝0，则有：<0，可以由下式求出：
上式中第一项为基态的贡献；第二项为激发 态的贡献。计算中取0。
为什么在T<Tc的计算中取化学势为零？
27
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
首先计算在T<Tc时激发态对粒子数密度的贡献 n。 3/ 2 1/ 2
n 0 T 2 d 2m 3 / 2 n h3 Tc 0 exp / kT 1
统计物理
第三章 玻色统计和费米统计
南京工业大学理学院 吴高建
1
量子统计、半经典统计、经典统计的联系和区别
量子统计 半经典统计： （经典极限条件下的量子统计）
全同性，统计特性 非轨道运动，量子数描述运动状态 能量分立（能级、简并度） 玻尔兹曼、玻色、费米分布 满足准经典条件时：能量可以看作 准连续。此时，能级的简并度可以 用态密度代替，而且对能级的求和 变为积分。
ln ln S k ln
S k ln
11
对于遵从玻色、费米分布的系统，只要求 出了系统的巨配分函数的对数ln，就可 以求出系统的平均粒子数、内能、物态方 程、熵等，从而确定系统的所有的平衡性 质。 ln是以，，y（对应简单系统， 即： T，V， ）为自然变量的特征函数。 热力学中知道，这种系统的特征函数是巨 热力势J＝U－TS－ N。这样，得到巨热 力势用ln表示的形式： kT ln J
热力学统计物理知识点复习大全

热力学统计物理知识点复习大全

概 念 部 分 汇 总 复 习热力学部分第一章 热力学的基本规律1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。

2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。

3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。

4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此也处在热平衡.5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。

6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）,对理想气体状态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。

7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。

8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个过程量。

9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。

绝热过程中内能U 是一个态函数：A B U U W −=10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造，只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式：Q W U U A B +=−；微分形式：W Q U d d d += 11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ∆+∆=∆，与热力学第一定律的公式一比较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量。

12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。

13．定压热容比：p p T H C ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=；定容热容比：VV T U C ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂= 迈耶公式：nR C C V p =−14、绝热过程的状态方程：const =γpV ；const =γTV ；const 1=−γγTp 。

云南师范大学热力学统计物理期末复习讲解

云南师范大学热力学统计物理期末复习讲解

各章知识点整理和复习第一章 热力学的基本定律知识点1、热力学第一定律dU dQ dW =+2、热力学第二定律3、热力学基本方程dU TdS pdV =-4、热力学第二定律的数学表述dU TdS pdV ≤-5、克劳修斯熵BRB A Ad Q S S T-=⎰，玻尔兹曼熵ln S k =Ω 6、熵增加原理。

复习题1、简述热力学第二定律及其统计解释。

参考：热力学第二定律的开尔文表述：热不可能全部转变为功而不引起其他变化。

热力学第二定律的克劳修斯表述：热量不能自动地从低温物体传向高温物体。

或第二类永动机不可能。

热力学第二定律的微观意义是，一切自然过程总是沿着分子热运动的无序性（或混乱度）增大的方向进行,系统对应的微观状态数增大，根据玻尔兹曼熵ln S k =Ω，因此系统的熵值增加，即熵增加原理。

2、简述熵增加原理及其统计解释。

参考：孤立系统中所进行的自然过程总是沿着熵增大的方向进行。

根据玻尔兹曼熵公式ln S k =Ω，可知孤立系统中所进行的自然过程总是向着微观状态数（或混乱度）增大的方向进行。

第二章 均匀物质的热力学性质知识点1、基本热力学函数的全微分和麦氏关系的得出。

dU TdS pdV dH TdS Vdp dF SdT pdV dG SdT Vdp=-=+=--=-+ ()()()()()()()()S V S pT V T p T p V ST Vp SS pV T S V p T∂∂=-∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=-∂∂2、麦氏关系的应用。

2、气体的节流过程。

3、特性函数的应用。

4、热辐射（平衡辐射）的热力学结果，斯特方玻尔兹曼定律。

复习题1、写出焦汤系数的数学表达式，简述节流过程的特点；利用焦汤系数分析通过节流产生致冷效应、致温效应和零效应的原理。

（P57）2、证明能态方程T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。

参考：选T 、V 作为状态参量时，有V TU U dU dT dV TdS pdV T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭V TS S dS dT dV T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 得： V T S S dU T dT T p dV T V ⎡⎤∂∂⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦比较得： T TU S T p V V ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 将麦氏关系T V S p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭代入，即得T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭3、证明焓态方程p TH V V T p T ⎛⎫∂∂⎛⎫=-⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。