2017年东城区高三二模数学理科试卷
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1 北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）
数学 （理科）
学校_________班级___________姓名___________考号_________
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{|40}Axx=-<，则A=Rð
（A）{|2xx?或2}x³ （B）{|2xx<-或2}x>
（C）{|22}xx-<< （D）{|22}xx-＃
（2）下列函数中为奇函数的是
（A）cosyxx （B）sinyxx
（C）yx= （D）||exy
（3）若,xy满足10,00,xyxyyì-+?ïï+?íï³ïî，则2xy+的最大值为
（A）1- （B）0 （C）12 （D）2
（4）设,ab是非零向量，则“,ab共线”是“||||||+=+abab”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（5）已知等比数列{}na为递增数列，nS是其前n项和.若15172aa+=，244aa=，则6=S
（A）2716 （B）278 （C）634 （D） 632
2 APAPPAxyl2O否 是 1vvx=? 1ii=-
结束输出v 1in=-
0i³ 开始
输入 ,,nvxAP（6）我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261-）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n=，1v=，2x=，则程序框图计算的是
（A）5432222221+++++
（B）5432222225+++++
（C）654322222221++++++
（D）43222221++++
（7）动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周，,AP两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是
（A） （B） （C） （D）
3 CABD（8）据统计某超市两种蔬菜,AB连续n天价格分别为123,,,,naaaaL和123,,,,nbbbbL，
令{|,1,2,,}mmMmabmnL，若M中元素个数大于34n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：ABp，现有三种蔬菜,,ABC，下列说法正确的是
（A）若ABp，BCp，则ACp
（B）若ABp，BCp同时不成立，则ACp不成立
（C）ABp，BAp可同时不成立
（D）ABp，BAp可同时成立
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）复数i(2i)-在复平面内所对应的点的坐标为 ．
（10）在极坐标系中，直线cos3sin10rqrq++=与圆2cos(0)aa=>rq相切，
则a=_______．
（11）某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门．若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有____种.（用数字作答）
（12）如图，在四边形ABCD中，45ABD，30ADB，1BC，2DC，
1cos4BCD，则BD= ；三角形ABD的面积为___________.
（13）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线24yx=的焦点F，且与该抛物线相交于,AB两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60，则||OA= ．
（14）已知函数|1|,(0,2],()min{|1|,|3|},(2,4],min{|3|,|5|},(4,).xxfxxxxxxx
① 若()fxa有且只有一个根，则实数a的取值范围是_______．
4 ② 若关于x的方程()()fxTfx有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是_______．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数()3sin2cos2fxxax(aÎR)．
（Ⅰ）若π()26f=，求a的值；
（Ⅱ）若()fx在7[,]1212上单调递减，求()fx的最大值．
（16）（本小题共13分）
小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%—60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天.
（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；
（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）
5 MFCDEBA（17）（本小题共14分）
如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE^平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且60DAB，2EAEDABEF===，EF∥AB，M为BC中点．
（Ⅰ）求证：FM∥平面BDE；
（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱CF上是否存在点G，使BG^DE？ 若存在，求CGCF的值；若不存在，说明理由．
（18）（本小题共13分）
设函数2()()e()xfxxaxaaR．
（Ⅰ）当0a时，求曲线()yfx=在点(1,(1))f--处的切线方程；
（Ⅱ）设2()1gxxx=--，若对任意的[0,2]tÎ，存在[0,2]sÎ使得()()fsgt³成立，求a的取值范围．
6 （19）（本小题共13分）
已知椭圆2222:1(0)xyCabab的短轴长为23，右焦点为(1,0)F，点M是椭圆C上异于左、右顶点,AB的一点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线AM与直线2x=交于点N，线段BN的中点为E．证明：点B关于直线EF
的对称点在直线MF上．
（20）（本小题共13分）
对于n维向量12(,,,)nAaaa=，若对任意{1,2,,}inÎ均有0ia=或1ia=，则称A为n维T向量.对于两个n维T向量,AB，定义1(,)||niiidABab==-å.
（Ⅰ）若(1,0,1,0,1)A=，(0,1,1,1,0)B=，求(,)dAB的值.
（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：123,,,AAAL，若1(1,1,1,1,1)A= 且满足：1(,)2iidAA+=，*iÎN.求证：该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0).
（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：123,,,AAAL，若112(1,1,,1)A个= 且满足：1(,)iidAAm+=，*mÎN，1,2,3,i=，若存在正整数j使得12(0,0,,0)jA个=，jA为12维T向量序列中的项，求出所有的m.
