广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 三角函数试题精选03
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三角函数03
45.已知函数2
2
()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求:
(I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间.
【解析】(I) 解法一:
1cos 23(1cos 2)
()sin 21sin 2cos 22)224
x x f x x x x x π
-+=
++=++=+
∴当224
2
x k π
π
π+
=+
,即()8
x k k Z π
π=+
∈时, ()f x 取得最大值2函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8
x x R x k k Z π
π∈=+∈.
解法二:
2222()(sin cos )2sin cos 2cos 2sin cos 12cos sin 2cos 22
f x x x x x x x x x x x =+++=++=++
2)4
x π
=+
∴当224
2
x k π
π
π+
=+
,即()8
x k k Z π
π=+
∈时, ()f x 取得最大值2函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8
x x R x k k Z π
π∈=+∈.
(II)解: ()2)4
f x x π
=+由题意得: 222()2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈
即: 3()88
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈因此函数()f x 的单调增区间为
3[,]()88
k k k Z ππ
ππ-
+∈. 【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角有关知识的能力.
46.已知函数f (x )=A 2
sin ()x ωϕ+(A >0,ω>0,0<ϕ<2
π
函数，且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.
（1）求ϕ;
（2）计算f (1)+f (2)+… +f (2 008).
（II ）解法一：4
π
ϕ=
Q ，1cos(
)1sin .222
y x x π
ππ
∴=-+=+ (1)(2)(3)(4)21014f f f f ∴+++=+++=.
又()y f x =Q 的周期为4，20084502=⨯，
(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯=
解法二：2
()2sin (
)4f x x π
ϕ=+Q 223(1)(3)2sin ()2sin ()2,44
f f ππ
ϕϕ∴+=+++= 22(2)(4)2sin ()2sin ()2,2
f f π
ϕπϕ+=+++=(1)(2)(3)(4) 4.f f f f ∴+++= 又
()
y f x =的周期为4，
20084502
=⨯，
(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯=
47.已知函数f(x)=3sin(2x －
π6)+2sin 2
(x －π12
) (x∈R) (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合.
(Ⅱ)当f (x )取最大值时， sin(2x －π3)=1，有 2x －π3 =2k π+π
2
即x =k π+ 5π12 (k ∈Z ) ∴所求x 的集合为{x ∈R |x = k π+ 5π
12 ， (k ∈Z )}．
48.求函数y ＝2)4
cos()4cos(π
π
-
+
x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期．
解
] 2cos()cos()44
y x x x ππ=+-
22112(cos sin )22
cos22sin(2)
6
x x x x x x π=-==+
∴ 函数2cos()cos()44
y x x x ππ=+-的值域是[2,2]-,最小正周期是π；
49.已知α是第一象限的角，且5cos 13α=，求()
sin 4cos 24πααπ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭+的值。
解：)42cos()
4sin(παπ
α++
=ααα
ααααααsin cos 122sin cos )
sin (cos 22
2cos )sin (cos 2222-⋅
=-+=+ 由已知可得sin 13
12=
α, ∴原式=
1421313
12135122-=-⨯.
50. 已知5tan cot 2αα+=
，ππ42α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，．求cos2α和πsin(2)4α+的值． 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。
解法一：由5tan cot ,2αα+=得sin cos 5,cos sin 2αααα+=则254
,sin 2.sin 25
αα==
因为(,),42ππα∈所以2(,),2παπ∈ 23
cos 21sin 2,5
αα=--=
sin(2)sin 2.cos cos 2.sin 444
πππ
ααα+=+ 4232255==
51.如图，函数y=2sin(πx φ),x∈R,(其中0≤φ≤
2
π) 的图象与y 轴交于点（0，1）. (Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求.的夹角与PN PM 本题主要考查三角函数的图像，已知三角函数求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。
解：（I ）因为函数图像过点(0,1)，所以2sin 1,ϕ=即1sin .2ϕ=
因为02
π
ϕ≤≤，所以6
π
ϕ=
.
（II ）由函数2sin()6y x π
π=+
及其图像，得115
(,0),(,2),(,0),636
M P N --
所以11(,2),(,2),22PM PN =-=-u u u u r u u u r 从而cos ,||||PM PN
PM PN PM PN ⋅<>=⋅u u u u r u u u r
u u u u r u u u r u u u
u r u u u r 1517=， 故,PM PN <>=u u u u r u u u r 15
arccos 17
.
52.设函数f (x )=3cos 2
cos+sin ωrcos ωx+a(其中ω＞0,a ∈R),且f (x )的图象在y 轴右侧的
第一个高点的横坐标为
6
x . （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f (x )在区间⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-65,3ππ上的最小值为3，求a 的值.
1
()cos 2sin 22
sin 23 2,
6
3
2
1
.2
f x x x x ωωαπωαπ
π
π
ωω=
+++⎛
⎫=++
+ ⎪⎝⎭⋅+
=
=
解：（I ）依题意得解之得
)57 ,0,,36361 sin()1,
23
51 (),3621
2
x x x f x π
α
πππππ
ππαα+
+⎡⎤⎡
⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
-≤+≤⎡⎤
--++⎢⎥⎣⎦-
++=（II)由（I ）知,f(x)=sin(x+
3又当时，故从而在上取得最小值因此，由题设知
α=。
