高等数学第一章1.1 函数ppt课件

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第一部分 极限初论
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极限初论三个内容的关系 函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
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第一章 函 数
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第一章 函 数
§1.1 函数的概念 §1.2 函数的基本性质 §1.3 复合函数与反函数 §1.4 初等函数及其应用 §1.5 常用经济函数
t s
s/km 200
100
0
0
1
2
0
100
200
1
2
t/h
思考：
(1) 在描点时，是怎样确定一个点的位 置的？ 哪个变量作为点的横坐标？哪 个变量作为点的纵坐标？ (2) 函数的定义域是什么？ (3) s 的值能大于 200 吗？能是负值吗？ 为什么？函数的值域是什么？ (4) 随行驶时间 t 的增大，距离 s有怎样 的变化？
函数的定义
设x和y是两个变量，D 是一个给定的非空数集. 如果对于每个数x∈D，按照一定对应法则总有唯一 确定的数值y和它对应，则称y是x的函数。
D
B
f：对应法则
x.
y.
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记作
因变量
自变量
定义域
其中, x 称为自变量，y 称为因变量，数集 D 称
为这个函数的定义域。
在某一自然现象或社会现象中，往往 同时存在多个不断变化的量（变量），这 些变量并不是孤立变化的，而是相互联系 并遵循一定的规律。函数就是描述这种联 系的一个法则。
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例如，在自由落体运动中，设物体下落的 时间为t，落下的距离为s。假定开始下落 的时刻为t=0，则变量s与t之间的相依关系 由数学模型

医学高等数学
高等数学教研室
尹玲
课程介绍




33学时，考查课 授课内容：前三章 考试内容：前三章 成绩计算：30%平时成绩（作业、 出勤）70%卷面成绩
参考资料


医用高等数学学习指导与习题全解 （第二版） 马建忠主编 科学出版 社出版 高等数学（第五版）上册 同济大学 应用数学系主编 高等教育出版社出 版
1. y u , u sin( x 2)
3 2
3 2
2. u sin v , v x 2
y u , u sin v , v x 2
解二：
3 2
y u , u v , v sin s , s x 2
3
1 2
1 x 例12 解： y tan u , u 1 x
反三角函数 y=arcsinx，y=arccosx，
y=arctanx，y=arccotx
常数函数
y=C (C为常数)
幂函数
(1,1)
(1,1)
指数函数
a >1 0< a <1
(0,1)
(0,1)
y
对数函数
a >1
y ln x y lg x
(1,0)
O
0< a <1
x
y log0.2 x y log0.4 x
函数 y=tan x , x n ± /2 是一个 T = 的周期函数。
三、 初等函数

基本初等函数 复合函数

初等函数
1.六类基本初等函数
幂函数
指数函数
y= x
(为常数)
y= ax (a > 0 , a 1 )

22 22 2222 a b 2 a b c d c d
2 2 22 22 (| x | | y |) | x y | 2 a b c d 2 ac 2 b
为证三角不等式只须证明
2 22 2 ac bd a b c d
为证上式，又只须证明


点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
U ( a ) { x a x a } .

a
a
0
a
x
U a ). 点 a 的去心的 邻域 , 记作 (
U ( a ) { x 0 x a } .

a a ; ab a b ; 运算性质: b b a x a ; x a ( a 0 ) x a 或 x a ; x a ( a 0 )
a , b R , 且 a b .
{ x a x b } 称为开区间,
o a b { x a x b } 称为闭区间, o
记作 ( a ,b )
x 记作 [ a ,b ] x
a
b
{ x a x b } 称为半开区间, { x a x b } 称为半开区间,
(3) 狄利克雷函数
1 当 x 是有理数时 yD (x ) 0 当 x 是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(4) 取最值函数 y max{ f ( x ), g ( x )} y min{ f ( x ), g ( x )}
y
f (x)
y
f (x)
g(x)
o
x
g(x)
x y x y . 绝对值不等式: 绝对值不等式的两个变形公式：

若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处右
0
连续.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
例2
讨论函数
f
(x)
x 2,

x

2,
x 0, x 0,
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
★
f
(
x)

1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
例8 当a取何值时,
函数
f
(x)

cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f (0) a,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点.
o
x
这种情况称为无穷间 断点.
例7 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x