高等数学函数

《高等数学》函数考点精讲与例题解析 第一部分 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。

它们是每年必考的内容之一。

第一节 函 数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。

【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。

二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。

例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。

（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。

（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。

【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。

如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。

三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。

【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。

特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。

大学高等数学第一章函数函数是数学中的基础概念之一，广泛应用于各个学科领域。

本文将从函数的定义、分类和性质等方面进行论述，并探讨函数在现实生活和学术研究中的应用。

一、函数的定义函数是一种映射关系，将一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素。

简单来说，函数就是一种输入和输出之间的关系。

数学上常用 f(x) 表示函数，其中 x 是自变量，f(x) 是函数的值。

二、函数的分类函数可以按照不同的变量类型进行分类，常见的分类包括：1. 数字函数：自变量和函数值都是实数的函数，如 f(x) = 2x + 1。

2. 向量函数：自变量是实数，函数值是向量的函数，如 f(t) = (cos t, sin t)。

3. 多元函数：自变量是多个实数，函数值是实数的函数，如 f(x, y) = x^2 + y^2。

4. 参数方程：自变量是参数，函数值是一组参数对应的点的坐标，如 x = 2t, y = 3t。

三、函数的性质函数具有以下一些重要性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。

2. 奇偶性：如果对于定义域内的任意 x，满足 f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数；如果满足 f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。

3. 单调性：如果对于任意的 x1 和 x2，当 x1 < x2 时有 f(x1) < f(x2)，则函数是递增函数；如果满足 f(x1) > f(x2)，则函数是递减函数。

4. 对称轴和顶点：对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的对称轴是 x = -b/2a，顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。

四、函数的应用函数在现实生活和学术研究中有着广泛的应用。

以下是一些例子：1. 物理学：函数用于描述运动过程中的位移、速度和加速度等物理量的关系。

2. 经济学：函数被用于模拟经济行为和预测市场走势，如供求函数、收益函数等。

函数1.1知识回顾1.1.1重要概念1.区间在数轴、上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。

1)有限区间:设a<b,称数集{a<x<b}为开区间，记为(a,b),即(a,b)={x|a<x<b}.类似地有[a,b]={x|a≤x≤b}称为闭区间，[a,b)= {x|a≤x<b}、(a,b]= {x|a<x≤b}称为半开区间，其中a和b称为区间(a,b)、[a,b]、[a,b)、(a,b]的端点，b-a称为区间的长度.2)无限区间:[a,+∞)={x|a≤x},(a,+∞)={x|a<x},(-∞o,b]={x|x≤b},(-∞,b)={x|x<b},(-∞,+∞)={x||x|<+∞}.注-∞和+∞，分别读作“负无穷大”和“正无穷大”,它们不是数，仅仅是记号，通常分别表示全体实数的上界与下界.2．邻域定义1设a，δER，且δ＞0，称满足不等式｜x—a｜＜δ的实数x的全体称为点a的δ邻域，记作U（a，δ），即U（a，δ）＝（a-δ，a＋δ）={x｜a-δ＜a＋δ｝其中点a称为邻域的中心，δ称为邻域的半径.点a称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径.当不需要指明半径时，有时可以用U（a）表示点a 的一个泛指的邻域.定义2 设a，δER，且δ＞0，称满足不等式0＜｜x—a｜＜δ的实数x的全体称为点a的去心δ邻域，记作U°（a，δ），即U°（a，δ）＝｛x｜0＜｜x-a｜＜δ｝＝｛x｜a-＆＜x＜a＋δ，且x≠a｝．显然U（a，δ）仅比U°（a，δ）多出一点a.1.1.2函数的定义定义3 设非空数集DcR，若存在一个对应法则f，使得对任一xED，都有唯一确定的一个实数y，则称为f定义在D上的函数，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域.x所对应的y称为f在x的函数值，通常简记为 y＝f（x），xeD，全体函数值的集合f（D）＝｛y｜y＝f（x），xεD｝称为函数的值域.注（1）记号f和f（x）的含义是有区别的，前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则，而后者表示与自变量x对应的函数值.为了叙述方便，习惯上常用记号“f（x），xED”或“y＝f（x），xED”理解为D上的函数；（2）由定义容易看出构成函数的要素是定义域D及对应法则f．若两个函数的定义域相同，对应法则也相同，则这两个函数就是相同的，否则就是不同的.例如，函数f(x)=1-x2/1-x与g（x）＝1＋x是不同的，因为它们的定义域不同；（3）在中学数学中已经介绍过函数的定义域通常取使函数y＝f（x）有意义的实数x的全体，这种定义域也可以称为函数的自然定义域，在这种情况下，我们有时将定义域D省略．例如，函数f（x）＝V1—x2虽然没有指出定义域，但是我们容易求出它的定义域是D＝｛x｜-1≤x≤1｝或者D＝［-1,1］．确定函数的定义域时，往往把使函数y＝f（x）无意义的点去掉即可得到该函数的定义域.如偶次方根下被开方数不能为负数，分式的分母不能为零，对数的真数必须为正数等.另外，对于有实际背景的函数，函数的定义域应由实际背景中变量的实际意义来确定.（4）在函数的定义中，对每个xED，对应的函数值y总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则，按这个法则，对每个xeD，总有确定的y值与之对应，但这个y不总是唯一的，我们称这种法则确定了一个多值函数.对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.本教材一般讨论单值函数情形.（5）函数的表示方法主要有三种：图形法、表格法、公式法（解析法）．图形法表示函数非常直观，一目了然；表格法使用方便便于求函数值；而公式法表达清晰、紧凑，在理论研究、推到论证中容易表达，是应用最广泛的一种方法（6）在实际应用中经常遇到这样的函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同表达式来表示的一个函数，我们称这类函数为分段函数，分段函数在经济问题中应用非常广泛，如出租车价格的计算、所得税的计算、邮件的资费计算方法等都可用分段函数表示1.1.3反函数函数y＝f（x）的自变量x与因变量y的关系往往是相对的，有时我们不仅要研y随x而变化的状况，有时也需要研究x随y而变化的状况.为此，我们引入反函数的概念.定义4设有函数y＝f（x），xεD，若在函数的值域内任取一个y值时，在函数的定义域内有且仅有一个x值与之对应，则变量x是变量y的函数.我们称此函数为y＝f（x），xεD的反函数．一般记为x＝f-1（y），yef（D）．注（1）由定义可知，函数x＝f—1（y），yεf（D）也是函数y＝f（x），xED 的反函数，进一步地，y＝f（x），xεD与x＝f（y），yεf（D）互为反函数.此外，相对于反函数x ＝f—（y），yεf（D）来说，我们往往称原来的函数y＝f（x），xεD为直接函数.（2）在中学数学教材已经指出，习惯上，我们可以把x＝f—1（y），yεf（D）中的变量x与变量y对调，这样，函数y＝f（x），xeD的反函数就可以写为y ＝f—1（x），xεf（D），所以反函数的定义域就是其直接函数的值域，反函数的值域就是其直接函数的定义域.（3）把函数y＝f（x）和它的反函数y＝f—1（x）的图形画在同一坐标平面上，这两个图形关于直线y＝x是对称的.这是因为如果P（a，b）是y＝f（x）图形上的点，则有b＝f（a）.按反函数的定义，有a＝f｝（b），故Q（b，a）是y ＝f—（x）图形上的点；反之，若Q（b，a）是y＝f（x）图形上的点，则P（a，b）是y＝f（x）图形上的点.显然P（a，b）与Q（b，a）是关于直线y＝x对称的，所以反函数y＝f—1（x），xεf（D）的图像与直接函数y＝f（x），xεD 的图像关于直线y＝x对称．（4）可以证明，若f（x）是定义在D上的严格单调函数，则f（x）的反函数f-1（x）必定存在，且f—1（x）也是f（D）上的严格单调函数．1.1.4复合函数设函数y＝f（u）的定义域为E，函数u＝g（x）在D上有定义且g（D）NE≠Ø，记E＊＝g（D）NE，则对于VxεE，可通过函数g（x）对应D内唯一的一个值u，而u又通过函数f（u）对应E内唯一的一个值y.这样就确定了一个定义在E上的函数，它以x为自变量，y为因变量，记作y＝f[g（x）］，xεE.我们称此函数为由函数u＝g（x）和函数y＝f（u）构成的复合函数，u称为中间变量，也可称f（u）为外函数，g（x）为内函数.注（1）u＝g（x）和函数y＝f（u）构成的复合函数f（g（x））的条件是：函数g（x）在D上的值域g（D）必须与f（u）的定义域E的交非空.否则，不能构成复合函数.即不是任意两个函数都能复合成复合函数的.如y＝f（u）＝arcsinu与u＝g（x）＝1-x2可以构成复合函数y＝arcsin 21-x2 xe［—1，1］（因为f（u）的定义域是［—1，1］，g（x）的值域是［0，＋00），显然［—1，1］(ø≠(x+0)U但函数y＝f（u）＝arcsinu和函数u＝g（x）＝2＋x2不能构成复合函数，这是因为f（u）的定义域是［—1，1］，g（x）的值域是［2，＋∞），显然［—1，1］n［2，＋∞）＝Ø（2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成．如由三个函数u＝cotv，v ＝√u,u=cotv,v=x/2可以构成复合函数y√cot x/2。

高等数学学问点之函数高等数学学问点之函数函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。

这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。

以下是整理的高等数学学问点之函数，欢迎参考阅读!⑴、函数的定义假如当变量x在其改变范围内随意取定一个数值时，量y依据肯定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y 是x的'函数。

变量x的改变范围叫做这个函数的定义域。

通常x叫做自变量，y叫做函数值(或因变量)，变量y的改变范围叫做这个函数的值域。

注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。

这里的字母f、F表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以随意接受不同的字母来表示的。

假如自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。

这里我们只探讨单值函数。

⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。

由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，假如两个函数的定义域和对应关系完全全都，我们就称两个函数相等。

⑶、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。

例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。

例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。

c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。

一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。

（4）、函数的简洁性态⑴、函数的有界性：假如对属于某一区间I的全部x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。

注：一个函数，假如在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.。