15第15讲 不定积分第二换元法和分部积分法

高教五版高数经济类不定积分 换元积分法及分部积分法随堂
讲解
第四章
第三节 换元积分法与分部积分法
一、换元积分法 二、分部积分法 三、小结与思考题
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基本思路
设 F(u) f (u), u (x) 可导, 则有
dF[(x)] f [(x)](x)dx
f [ (x)](x)dx F[(x)] C F (u) C u(x) f (u)du u (x)
1 x2 arctan x 1
2
2
(1
1
1 x
2
)
dx
1 x2 arctan x 1 (x arctan x) C
2
2
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例25 求 ex sin x dx.
解: 令 u sin x , v ex , 则 u cos x , v ex
∴ 原式
ex sin x ex cos x dx
则
F(x) d d t f [ (t)] (t) 1 f (x)
d t dx
(t)
f (x) dx F (x) C [ 1(x)] C
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[ft][ (Ct)]t (t) d1t(xt) 1(x) 13
例14求 a2 x2 dx (a 0) .
解: 令
4
例 1 求 sin(2x 5) d x .
解 设 u 2x 5，则
sin(2x5)dx1 2sin(2x5)(2x5)dx
12sin(2x5)d(2x5)
1 sin u d u 1 cosu C
2
2
1cos(2x5)C 2
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第14节 积的不定积分-换元法与分部积分法 一、计划学时：2节 二、内容三、要求 四、重点 五、难点六、教学过程：第五章可微性与微分第二节 微分的逆运算-不定积分（二）不定积分的计算二、和差积商函数的不定积分（法则、公式）1.和的不定积分（法则）=不定积分线性运算性质2.积的不定积分（公式）显然，只利用不定积分的线性运算性质求积分是远远不够的，必须继续寻找不定积分的求解方法。

下面就给出由复合函数求导公式得到的不定积分的换元法, 和由乘积求导公式得到的分布积分法：（1）、换元法1）第一换元积分法定理1 设被积函数形如)()]([x x f ϕϕ', 其中)(u f 有原函数)(u F ，)(x u ϕ=具有连续的导数，则C x F du u f dx x x f x u +=='=⎰⎰)]([])([)()]([)(ϕϕϕϕ.(1)证 由复合函数的求导法则，得， 所以)]([x F ϕ是)()]([x x f ϕϕ'的一个原函数，因而C x F dx x x f +='⎰)]([)()]([ϕϕϕ. ▌ 注❶ 称公式(1)为第一换元公式. 常简记第一换元法为 .❷ 其应用步骤为：C x F C u F u d u f x d x f dx x x f dx x h x u +===+============'===⎰⎰⎰⎰=)]([)()()()]([)()]([)()(ϕϕϕϕϕϕ代回积分换元凑微分变形关键是变形到凑微分这一步，它实现了从未知向已知的转化，故第一换元法又简称“凑微法”.例1 求dx x ⎰cos 2.解 原式C x C u du u x d x +=+===⎰⎰2sin sin cos )2(2cos .例2 求⎰+xdx 23. 解 原式⎰⎰++=+==++=C x C u u du x x d 23ln 21ln 212123)23(21.注❶ 一般地, C b x a ab x a dx ++=+⎰ln 1. ❷ 凑微运算熟练后，可不写出中间变量u .)()]([)()]([)]([x x f x x F x F dxd ϕϕϕϕϕ'=''=du u f dx x x f x u )()()]([)(⎰⎰======'ϕϕϕ例3 求 dx xx ⎰+21.解 原式)1(ln 211)1(21222x dx x x d +=++=⎰.例4 求 dx x x ⎰-3234.解 原式C x C x x d x +--=+-⋅-=---=⎰2323)34(272)34(3291)34(34913333例5 求⎰dx x tan .解 原式C x x x d dx x x+-=-==⎰⎰cos ln cos )(cos cos sin .类似可得 C x dx x +=⎰sin ln cot .例6 求 )0(22≠+⎰a a x dx.解 原式 . 例7 求⎰>-)0(22a xa dx . 解 原式 .例8 求⎰-22a x dx)0(≠a .解 原式Cax a x a a x a x a dx a x a x a ++-=+--=+--=⎰ln 21]ln [ln 21)11(21.注 可推广到C bx a x b a b x a x dx +---=+-⎰ln 1)()(.例9(P .164) 求 ⎰dx x sec . 解 原式C x x xx x x d x x dx x x x ++=++=++=⎰⎰sec tan ln sec tan )sec tan (tan sec )tan (sec sec .类似可得 C x dx x +-=⎰cot csc ln csc注 例5—例9实际上时常用的积分，故应补充到基本积分公式表中，(16) C x dx x +-=⎰cos ln tan ； (17) C x dx x +=⎰sin ln cot ； (18) C x x dx x ++=⎰sec tan ln sec ； (19)C x dx x +-=⎰cot csc ln csc ；(20) ；(21) ；(22) C ax a x a a x dx ++-=-⎰ln 2122. 注 凑微法是计算不定积分时使用频率最高的一种技巧，使用它的关键是熟练掌握函数的微分形式，常用的可参见P.137，也可只记微分形式：)(1b ax d a dx +=， 111++=a a dx a dx x ， x x de dx e =， x d dx x ln 1=， x d dx x sin cos =， x d dx x cos sin -=, x d dx x tan sec 2=，x d dx x cot csc 2-=，⎰⎰+=+=+=Ca x a a x a xd a a x a dx arctan 11)()(1)1(2222Ca x a x a x d +=-=⎰arcsin )(1)(2⎰+=+C a x a x a dx arctan 122C a x x a x d +=-⎰arcsin 22x d dx x21=, x d x dx arcsin 12=- x d dx x arctan 112=+,还有一些常用，但难度较大的，如)c o ss i n ()s i n (c o s x x d dx x x +-=±， )ln ()ln 1(x x d dx x =+， )()1(x x xe d dx x e =+， 2211x d x dx x ±=±±，例10 求⎰+x ex d 1.解 原式 .例11 求⎰+)ln 21(x x dx . 解 原式C x x xd ++=+⎰ln 21ln 21ln 21ln .例12 求dx x x x ⎰+)1(arctan .解 原式C x x d x x dx x +==+=⎰⎰22)arctan (arctan arctan 2)(1arctan 2. 例13 求dx x ⎰3sin .解 原式 C x x x d x ++-=--=⎰32s co 31cos )s co ()sin 1(.例14 求dx x ⎰2s co .解 原式C x x x d x x dx x ++=+=+⎰⎰2sin 4121)2(2cos 412122cos 1.例15 求dx x ⎰4cos . 解 原式C x x x dx x x dx x +++=+++=+⎰⎰4sin 3212sin 4183)24cos 12cos 21(41)22cos 1(2.例16 求⎰dx x x 2cos 3cos .解 原式Cx x dx x x ++=+=⎰5cos 101sin 21)5cos cos (21.例17 求dx x ⎰6sec .解 原式C x x x x d x +++=+=⎰5322tan 51tan 32tan tan )tan 1(.例18 求dx x x ⎰35sec tan . 解 原式C x x x dx x x x x d x x ++==+-=-=⎰⎰3sec 5sec 7sec )sec sec 2(sec sec sec )1(sec 357246222.2）第二换元法第一换元法虽然应用相当广泛，但对于某些积分就不适用，，如⎰-dx x a 22， ，⎰++dx x 111等，为此介绍第二换元法。

应尽量避免。 对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成
A(a cos x b sin x) B(a cos' x b sin' x) 来做。 a cos x b sin x
sin x cos x 或 cos x sin x
。再用待定系数
简单无理函数的积分

一般用第二类换元法中的那些变换形式。
1 5 2 3 t t t c 5 3 1 (8 4 x 2 3 x 4 ) 1 x 2 c 15

例4
求

1 dx x ( x 7 2)
解：令 x 1 dx 1 dt 2
t t
1 t 1 x( x7 2) dx 1 7 ( t 2 )dt ( ) 2 t
1 arctan( x 2 ) c 2

例5
求
1 1 e x dx
1 ex ex ex 1 e x dx (1 1 e x )dx 1 dx d (1 e x ) x ln(1 e x ) c x 1 e
解法一：
1 1 e x dx
2 a （ 1 sin 2 t） a costdt
a
2
cos2 tdt
1 cos 2t a2 a dt 2 2
a2 1dt 2
cos 2tdt
a2 a2 1 t ( sin 2t ) c 2 2 2
sin t cost
x a a2 x2 a x a2 x2 a2
f ( x)dx [ f [ g (t )]g ' (t )dt]
t g 1 ( x )
例1

第一节 不定积分(之三)
一、第二类换元积分法 二、分部积分法
一、第二类换元积分法
第一类换元法解决的问题
f [(x)](x)dx f (u)d u u (x)
难求
易求
若若所所求求积积分分 ff(u(x)d)dux难难求求，，作变量替换 x (t)
代入原式中有f [(x)](x)dx 易求,
∴ 原式= sin x d e x
ex sin x ex cos x dx
再令 u cos x , v ex , 则
ex sin x ex cos x ex sin x dx
故
原式 =
1 2
e
x
(sin
x
cos
x)
C
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
解题技巧:
x
x
1 x
dx
x ln x x C
例6.求
解: 令 u arcsin x , dv dx , 则
原式 = x arcsin x
x dx
1 x2
x arcsin x
1 2
1 d(1x2 ) 1 x2
x arcsin x 1 x2 C
2、当被积函数由三个及以上函数的乘积组成时， 则首先要通过适当的恒等变换，将其化成两个函 数乘积的形式，再用分部积分公式求解
a2
1
cos 2
2t
d
t
a2
t sin 2t C
24
sin 2t 2sin t cost 2 x a2 x2 aa
a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
2
a2
公式1： a2 x2 dx a2 arcsin x x a2 x2 C (a 0)