数学人教b版必修4教案：2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 含答案

2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算明目标、知重点 1.理解平行向量定理，能熟练运用该定理处理向量共线和三点共线问题.2.理解轴上向量坐标的含义及运算.3.能运用轴上向量的坐标及长度公式进行相关的计算.1.平行向量基本定理(1)平行向量基本定理：如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .(2)a 的单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量.记作a 0，由数乘向量的定义可知a ＝|a|a 0或a 0＝a |a |.2.轴上向量的坐标(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.当在轴上选一定点O 作为原点时，轴就成了数轴. (2)轴上向量的坐标：已知轴l ，取单位向量e ，使e 的方向与轴l 的方向相同，对轴上任意向量a ，一定存在唯一实数x ，使a ＝x e ，单位向量e 叫做轴l 的基向量，x 叫做a 在l 上的坐标(或数量).①给定单位向量e ，能生成与它平行的所有向量的集合{x e |x ∈R }；②x 的绝对值等于a 的长；当a 与e 同方向时，x 是正数，当a 与e 反方向时，x 是负数. 于是在一条轴上，实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系，我们就可用数值来表示向量. 3.轴上向量的坐标运算(1)轴上两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等，即设a ＝x 1e ，b ＝x 2e ，则a ＝b ⇔x 1＝x 2.(2)轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量的和的坐标等于两个向量的坐标的和，即设a ＝x 1e ，b ＝x 2e ，则a ＋b ＝(x 1＋x 2)e .(3)轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，即在数轴x 上，OA →＝x 1e ，OB →＝x 2e ，则AB ＝x 2－x 1.(4)数轴上两点的距离公式：|AB |＝|x 2－x 1|.探究点一 平行向量基本定理思考1 请观察a ＝m －n ，b ＝－2m ＋2n ，回答a 、b 有何关系？答 因为b ＝－2a ，所以a 、b 是平行向量.思考2 若a 、b 是平行向量，能否得出b ＝λa ？为什么？ 答 可以.因为a 、b 平行，它们的方向相同或相反.小结 (1)由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平行向量基本定理：如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .例1 已知e 1，e 2是不共线的向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？ 解 若a 与b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 即3e 1＋4e 2＝λ(6e 1－8e 2)， 所以(3－6λ)e 1＋(4＋8λ)e 2＝0，因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－6λ＝0，4＋8λ＝0，所以λ不存在，所以a 与b 不共线.反思与感悟 判断两个向量是否共线可转化为存在性问题.解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组)求解.若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在.跟踪训练1 已知e 1，e 2是共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？ 解 因为e 1，e 2共线，所以存在λ∈R ，使e 1＝λe 2， 所以a ＝3e 1＋4e 2＝(3λ＋4)e 2， b ＝6e 1－8e 2＝(6λ－8)e 2， 所以a ＝3λ＋46λ－8b ⎝⎛⎭⎫λ≠43， 所以a ，b 共线，当λ＝43时，b ＝0，a ，b 也共线.综上，a 与b 共线. 探究点二 三点共线的判定思考1 若存在实数λ，使AB →＝λBC →，则A 、B 、C 三点的位置关系如何？答 由共线向量定理可得，A ，B ，C 三点共线⇔存在λ∈R ，使AB →＝λBC →.思考2 已知O 为平面ABC 内任一点，若A 、B 、C 三点共线，是否存在α、β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，其中α＋β＝1?答 存在，因A 、B 、C 三点共线，则存在λ∈R ，使AC →＝λAB →. ∴OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)， ∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →.令1－λ＝α，λ＝β，则OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1.思考3 已知O 为平面ABC 内任一点，若存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1，那么A 、B 、C 三点是否共线？答 共线，因为存在α、β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1. ∴β＝1－α，∴OC →＝αOA →＋(1－α)OB →， ∴OC →＝αOA →＋OB →－αOB → ∴OC →－OB →＝α(OA →－OB →)∴BC →＝αBA →，∴A 、B 、C 三点共线.例2 已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A 、B 、D 三点共线.证明 ∵BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2， ∴BD →＝BC →＋CD →＝(6e 1＋23e 2)＋(4e 1－8e 2) ＝10e 1＋15e 2.又∵AB →＝2e 1＋3e 2，∴BD →＝5AB →， ∴AB →、BD →共线，且有公共点B . ∴A 、B 、D 三点共线.反思与感悟 本题给出了证明三点共线的方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a ＝λb ，先证向量共线，再证三点共线.跟踪训练2 已知任意两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由.解 因为AB →＝OB →－OA →＝(a ＋2b )－(a ＋b )＝b ， AC →＝OC →－OA →＝(a ＋3b )－(a ＋b )＝2b ， 故有AC →＝2AB →.因为AC →∥AB →，且有公共点A ，所以A 、B 、C 三点共线. 探究点三 数轴上的分点坐标公式思考1 已知A ，B 为数轴上的两点，A 、B 的坐标依次为x 1，x 2，若AP →＝λPB →(λ≠－1)，则P 点的坐标是什么？ 答 设P 点坐标为x ，则∵AP ＝x －x 1，PB ＝x 2－x ，∴x －x 1＝λ(x 2－x ) ∴(1＋λ)x ＝x 1＋λx 2，∵λ≠－1，∴x ＝x 1＋λx 21＋λ.思考2 已知A ，B 为数轴上的两点，若AP →＝λPB →(λ≠－1)，则有：①若P 位于线段AB 内部，则λ的取值范围是________，特别地，若P 为线段AB 的中点，则λ＝________；②若P 位于线段AB 的延长线上，则λ的取值范围是______； ③若P 位于线段AB 的反向延长线上，则λ的取值范围是________. 答案 ①λ>0 12；②λ<－1；③－1<λ<0例3 已知A 、B 、C 为数轴上三点，且x A ＝－2，x B ＝6，试求符合下列条件的点C 的坐标. (1)AC ＝10；(2)|AC →|＝10；(3)|AC →|＝3|BC →|.解 (1)∵AC ＝10，∴x C －x A ＝10，∴x C ＝x A ＋10＝8. (2)∵|AC →|＝10，∴AC ＝10或AC ＝－10， 当AC ＝10时，x C －x A ＝10，x C ＝x A ＋10＝8； 当AC ＝－10时，x C －x A ＝－10，x C ＝x A －10＝－12. (3)∵|AC →|＝3|BC →|，∴AC →＝3BC →或AC →＝－3BC →. 当AC →＝3BC →时，x C －x A ＝3(x C －x B )， ∴x C ＝12(3x B －x A )＝10.当AC →＝－3BC →时，x C －x A ＝－3(x C －x B )，∴x C ＝14(3x B ＋x A )＝4.反思与感悟 注意题目中AC ＝10与|AC →|＝10，|AC →|＝3|BC →|与AC →＝3BC →，它们的含义不一样，解题时要注意区分，避免出错.跟踪训练3 已知数轴上A 、B 两点的坐标x 1、x 2，根据下列各题中的已知条件，求点A 的坐标x 1：①x 2＝3，AB ＝5；②x 2＝－5，|AB |＝2. 解 ①AB ＝x 2－x 1＝5，∴x 1＝x 2－5＝－2. ②|AB |＝|x 2－x 1|＝2，∴x 2－x 1＝－2或2. ∴x 1＝x 2－(－2)＝－3或x 1＝x 2－2＝－7.1.点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，设BC →＝λAB →，则λ的值为( )A.25B.－25C.52D.－52 答案 B2.已知M 、P 、N 三点在数轴上，且点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，则点N 的坐标为________. 答案 113.若非零向量a 与b 不共线，k a ＋b 与a ＋k b 共线，则实数k ＝________. 答案 ±1解析 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，∴(k －λ)a ＋(1－λk )b ＝0，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0λk －1＝0，∴k ＝±1.4.如图，ABCD 为一个四边形，E 、F 、G 、H 分别为BD 、AB 、AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形. 证明 ∵F 、G 分别是AB 、AC 的中点. ∴FG →＝12BC →.同理，EH →＝12BC →.∴FG →＝EH →.同理EF →＝HG →. ∴四边形EFGH 为平行四边形. [呈重点、现规律]1.共线向量定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.2.轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.一、基础过关1.设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A.k ＝0 B.k ＝1 C.k ＝2 D.k ＝12答案 D解析 当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时，m ，n 共线.2.已知点B 的坐标为(m ，n )，AB →的坐标为(x ，y )，则点A 的坐标为( ) A.(m －x ，n －y ) B.(x －m ，y －n ) C.(m ＋x ，n ＋y ) D.(m ＋n ，x ＋y ) 答案 A解析 AB →＝OB →－OA →，∴OA →＝OB →＋BA →＝(m ，n )＋(－x ，－y )＝(m －x ，n －y ).3.已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点，且OA →、OB →、OC →、OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.等腰梯形 答案 A解析 ∵OA →－OB →＝BA →，OD →－OC →＝CD →， 而OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →.又∵BA →与CD →不重合，∴AB ∥CD 且AB ＝CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形.4.已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A.B 、C 、D B.A 、B 、C C.A 、B 、D D.A 、C 、D答案 C解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →， ∴A 、B 、D 三点共线.5.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析 由于四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.6.设e 1，e 2是两个不共线的向量，关于向量a ，b 有 ①a ＝2e 1，b ＝－2e 1；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中a ，b 共线的有________.(填序号) 答案 ①②③7.两个非零向量a 、b 不共线.(1)若A B →＝a ＋b ，B C →＝2a ＋8b ，C D →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线.(1)证明 ∵A D →＝A B →＋B C →＋C D →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3a －3b ＝6a ＋6b ＝6A B →，∴A 、B 、D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴k a ＋b ＝λ(2a ＋k b ). ∴(k －2λ)a ＋(1－λk )b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2λ＝0，1－λk ＝0⇒k ＝±2.二、能力提升8.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心. ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.9.如图所示，平行四边形ABCD ，E 在边AB 上，且BE ＝14BA ，F 为对角线BD 上的点，且BF ＝15BD ，则( )A.E 、F 、C 三点共线，且EF →＝13FC →B.E 、F 、C 三点共线，且EF →＝14FC →C.E 、F 、C 三点共线，且EF →＝15FC →D.E 、F 、C 三点不共线 答案 B解析 不妨设BA →＝a ，BC →＝b ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BD →＝a ＋b . ∵BE ＝14BA ，BF ＝15BD ，∴BE →＝14a ，BF →＝15(a ＋b )，∴EF →＝BF →－BE →＝15(a ＋b )－14a ＝－120a ＋15b ，EC →＝BC →－BE →＝b －14a ＝5⎝⎛⎭⎫－120a ＋15b ， 即EC →＝5EF →，∴EC →与EF →共线，∴E 、F 、C 三点共线，且EF →＝14FC →.10.如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示) 答案 14(b －a )解析 MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a ).11.如图所示，已知D 、E 为△ABC 的边AB 、AC 的中点，延长CD 至M 使DM ＝CD ，延长BE 至N 使BE ＝EN . 求证：M 、A 、N 三点共线.证明 在△AMC 中，D 为MC 的中点， 易得2A D →＝AM →＋A C →.又∵D 为AB 中点，∴A B →＝2A D →，∴AB →＝AM →＋AC →，∴AM →＝AB →－AC →＝CB →.同理得AN →＝BC →. ∴AM →＝－AN →.∴A 、M 、N 三点共线.12.如图，已知▱ABCD 中，M 为AB 的中点，N 在BD 上，3BN ＝BD . 求证：M 、N 、C 三点共线. 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ， 则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ，BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b ＝13⎝⎛⎭⎫12a ＋b ， ∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点.∴M 、N 、C 三点共线.三、探究与拓展13.如图，设G 为△ABC 的重心，过G 的直线l 分别交AB ，AC 于P ，Q ，若AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，求证： 1m ＋1n＝3. 证明 设AB →＝a ，AC →＝b ， ∵AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →， ∴AP →＝m a ，AQ →＝n b .∵G 为△ABC 的重心，连接AG 并延长交BC 于D ， 则AD 为△ABC 一边BC 边上的中线， ∴AD →＝12(a ＋b )，∴AG →＝23AD →＝13(a ＋b )，∴PG →＝AG →－AP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， GQ →＝AQ →－AG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b . 又PG →与GQ →共线，∴PG →＝λGQ →， ∴⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝－13λa ＋λ⎝⎛⎭⎫n －13b ， ∴⎩⎨⎧13－m ＝－13λ13＝λ⎝⎛⎭⎫n －13，消去λ得：m ＋n ＝3mn ，即1m ＋1n ＝3.。

2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算1．平行向量基本定理 (1)平行向量基本定理：如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .(2)单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量，如果a 的单位向量记作a 0，由数乘向量的定义可知：a ＝|a |a 0或a 0＝a|a |.2．轴上向量的坐标及其运算(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴．已知轴l ，取单位向量e ，使e 的方向与l 同方向．根据向量平行的条件，对轴上任意向量a ，一定存在唯一实数x ，使a ＝x e .反过来，任意给定一个实数x ，我们总能作一个向量a ＝x e ，使它的长度等于这个实数x 的绝对值，方向与实数的符号一致．单位向量e 叫做轴l 的基向量，x 叫做a 在l 上的坐标(或数量)．(2)x 的绝对值等于a 的长，当a 与e 同方向时，x 是正数，当a 与e 反方向时，x 是负数．实数与轴上的向量建立起一一对应关系．(3)向量相等与两个向量的和：设a ＝x 1e ，b ＝x 2e ，于是：如果a ＝b ，则x 1＝x 2；反之，如果x 1＝x 2，则a ＝b ；另外，a ＋b ＝(x 1＋x 2)e ，这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．(4)向量AB →的坐标常用AB 表示，则AB →＝AB e .AB →表示向量，而AB 表示数量，且有AB ＋BA ＝0.(5)轴上向量的坐标：在数轴x 上，已知点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB ＝x 2－x 1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(6)数轴上两点的距离公式：在数轴x 上，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则|AB |＝|x 2－x 1|.思考：在平行向量基本定理中，为什么要求b ≠0?[提示] 若b ＝0，则0∥a ，但是λ0＝0，从而a ＝λb 中的实数λ具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .1．数轴上点A ，B ，C 的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是( ) A.AB →的坐标是2 B.CA →＝－3AB → C.CB →的坐标是4D.BC →＝2AB →C [CB →的坐标为1－5＝－4，故C 项不正确．故选C.] 2．以下选项中，a 与b 不一定共线的是( ) A ．a ＝5e 1－e 2，b ＝2e 2－10e 1 B ．a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2C ．a ＝e 1－2e 2，b ＝e 2－2e 1D ．a ＝3e 1－3e 2，b ＝－2e 1＋2e 2C [选项A ，b ＝－2a ；选项B ，b ＝14a ；选项D ，b ＝－23a .只有选项C 中a 与b 不共线．]3．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则λ＝________. －12[由题意可得存在实数k ，使得b ＝k a ，则 e 1＋λe 2＝2k e 1－k e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝1λ＝－k ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，λ＝－12.](1)若AC ＝5，求c 的值； (2)若|BD |＝6，求d 的值；(3)若AC →＝－3AD →，求证：3CD →＝－4AC →.[思路探究] 据条件表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解． [解] (1)∵AC ＝5， ∴c －(－4)＝5，∴c ＝1.(2)∵|BD |＝6，∴|d －(－2)|＝6， 即d ＋2＝6或d ＋2＝－6， ∴d ＝4或d ＝－8.(3)证明：因为CD →＝CA →＋AD →＝－AC →＋AD →， 而AC →＝－3AD →，所以CD →＝－(－3AD →)＋AD →＝4AD →， 所以3CD →＝12AD →，又－4AC →＝－4×(－3AD →)＝12AD →， 故3CD →＝－4AC →.正确理解和运用轴上向量的坐标及长度计算公式是学习其他向量计算的基础；解答本题首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形.1．已知数轴上A ，B 两点的坐标为x 1，x 2，求AB →，BA →的坐标和长度． (1)x 1＝2，x 2＝－5.3；(2)x 1＝10，x 2＝20.5. [解] (1)∵x 1＝2，x 2＝－5.3，∴AB ＝－5.3－2＝－7.3，BA ＝2－(－5.3)＝7.3. ∴|AB →|＝7.3，|BA →|＝7.3. (2)同理AB ＝10.5，BA ＝－10.5. |AB →|＝10.5，|BA →|＝10.5.[思路探究] 解题时首先结合图形与所证问题，把几何条件转化为向量条件，然后利用向量的线性运算与平行向量基本定理求证．[证明] 延长EF 到M ，使EF ＝FM ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得ECMB ， 由平形四边形法则得 EF →＝12EM →＝12(EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →，DC →共线且同向，根据平行向量基本定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0， ∴EF →＝12(EB →＋EC →)＝12(EA →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2DC →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥DC ∥AB .1．用平行向量基本定理证明直线平行或三点共线时，关键是把一个向量用有关向量线性表示，同时有机地结合向量的线性运算及图形完成证明．2．用向量法证明几何问题的一般步骤是：首先用向量表示几何关系，然后进行向量运算，得到新的适合题目要求的向量关系，最后将向量关系还原为几何关系．2．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)将AD →用e ，f 表示； (2)证明四边形ABCD 为梯形．[解] (1)根据向量求和的多边形法则，有AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →，即AD →＝2BC →.所以AD →∥BC →，且AD →的长度为BC →的长度的2倍，所以在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 为梯形.1.在平行向量基本定理中，为什么要求“b ≠0”？[提示] 若b ＝0，则λ不唯一，另外b 相对于a 而言是一个度量标准，度量标准不能为0.2．如何证明A 、B 、C 三点共线？[提示] 只需构造两个向量AB →，AC →，并证明AB →＝λAC →即可．【例3】 如图所示，已知在ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .求证：M ，N ，C 三点共线．[思路探究] 利用向量的运算法则将MC →，MN →两向量分别用AB →，AD →表示出来，再利用平行向量基本定理判定MC →，MN →共线，从而证明M ，N ，C 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ， 则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ， BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ， MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ，∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点， ∴M 、N 、C 三点共线．平行向量基本定理的两个方面的应用：(1)一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判断图形的形状等．(2)若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数，它是轴上向量坐标化的依据．3．设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．[解] 设存在k ∈R ，使得A ，B ，D 三点共线，∵DB →＝CB →－CD →＝(e 1＋3e 2)－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2. 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λDB →， ∴2e 1＋k e 2＝λ(－e 1＋4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λ，k ＝4λ，∴k ＝－8，所以存在k ＝－8，使得A ，B ，D 三点共线．(教师用书独具)1．向量共线定理的两个作用(1)证明线段平行，但要注意向量共线时，两向量所在的线段可能平行，也可能共线． (2)证明点共线，当两向量共线，且有公共点时，则表示向量的线段必在同一条直线上，从而向量的起点、终点必共线．2．证明三点共线的等价命题向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．如图A 、B 、C 三点共线，则AB →＝λAC →，任取直线AC 外一点P ，则PB →－PA →＝λ(PC →－PA →)，所以PB →＝λPC →＋(1－λ)PA →，由此可推出三点共线的等价命题：A 、B 、C 三点共线等价于PB →＝λPC →＋μPA →(λ、μ∈R 且λ＋μ＝1).1．设e 1，e 2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．e 1＝e 2 B ．e 1∥e 2 C ．|e 1|＝|e 2|D ．以上都不对C [单位向量的模都等于1个单位，故C 项正确．]2.如图所示，已知OA →′＝3OA →，A ′B ′→＝3AB →，则向量OB →与OB ′→的关系为( ) A ．共线 B ．同向 C ．共线且同向D ．共线、同向，且OB ′→的长度是OB →的3倍 D [由题意，知OA OA ′＝AB A ′B ′，∴AB ∥A ′B ′，∴OB OB ′＝OA OA ′＝13，∴OB ′→＝3OB →，故选D.] 3．设a ，b 是两个不共线的向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值是________．－1 [∵A 、B 、D 三点共线， ∴存在实数λ使AB →＝λBD →，又BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，AB →＝2a ＋p b ， ∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.]4.如图，ABCD 为一个四边形，E ，F ，G ，H 分别为BD ，AB ，AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．[证明] ∵F ，G 分别是AB ，AC 的中点， ∴FG →＝12BC →.同理，EH →＝12BC →.∴FG →＝EH →. 同理EF →＝HG →.∴四边形EFGH 为平行四边形．。

向量的线性运算2．1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算预习课本P90～93，思考并完成以下问题(1)平行向量基本定理是怎样表述的？(2)轴上向量的坐标是怎样表示的？(3)轴上向量的坐标运算法则是什么？[新知初探]1．平行向量基本定理(1)平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb.(2)单位向量．给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝a |a|.[点睛]对定理两个方面的说明(1)第一个方面“若a＝λb，则a∥b”中没有b≠0的要求，当b＝0时a＝0对任意的实数λ都能使a∥b.(2)第二方面“若a∥b且b≠0，则存在唯一一个实数λ使a＝λb”中必须有b≠0，否则a ＝0时λ不唯一，a≠0时，λ不存在．2．轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标(2)轴上向量的坐标运算|AB [点睛]AB是一个向量，既有大小，也有方向．而AB表示AB的坐标，它是一个实数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行向量基本定理，条件b≠0可以去掉．()(2)若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量．()(3)若a与b共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa成立．答案：(1)×(2)√(3)×2．数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1,2,5，则()A．AB＝－3B．BC＝3C．AC＝6 D．AB＝3 答案：B3．在四边形ABCD中，若AB＝－12CD，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形答案：C4．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标x B＝3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________．答案：0轴上向量的坐标运算[典例]已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.(1)x2＝－5，BA＝－3；(2)x2＝－1，|AB|＝2.[解](1)因为BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.(2)因为|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.轴上向量的坐标及长度计算的方法(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标．(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．[活学活用]已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是－8，－3,7，求AB，BC，CA的坐标和长度．解：AB＝(－3)－(－8)＝5，|AB|＝|5|＝5；BC＝7－(－3)＝10，|BC|＝|10|＝10；CA＝(－8)－7＝－15，|CA|＝|－15|＝15.共线向量定理的应用题点一：判断或证明点共线1．已知两个非零向量a 与b 不共线，AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． 题点二：利用向量共线确定参数2．设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？解：d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2， 要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2.由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题点三：几何图形形状的判定3．如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC . 求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB＝λAC ，则AB ，AC 共线，又AB 与AC 有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．层级一 学业水平达标1．已知数轴上两点M ，N ，且|MN |＝4.若x M ＝－3，则x N 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－7D ．1或－7解析：选D |MN |＝|x N －(－3)|＝4， ∴x N －(－3)＝±4，即x N ＝1或－7.2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，则( )A ．AO ＝ODB ．AO ＝2ODC ．AO ＝3ODD ．2AO ＝OD解析：选A ∵在△ABC 中，D 为边BC 的中点，∴OB ＋OC ＝2OD ，∴2(OA ＋OD )＝0，即OA ＋OD ＝0，从而AO ＝OD .3．点P 满足向量OP ＝2OA －OB ，则点P 与AB 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上 C ．点P 在线段AB 的反向延长线上 D ．点P 在直线AB 外解析：选C ∵OP ＝2OA －OB ，∴OP －OA ＝OA －OB ， ∴AP ＝BA ，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选C.4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )A.13 B.23 C.12D.53解析：选A 由题意可得AP ＝CP －CA ＝23CA ＋13CB －CA ＝13(CB －CA )＝13AB ，又AP ＝t AB ，∴t ＝13.5．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则实数λ的值为( ) A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选B 设a ＝kb (k ∈R)， 则2e 1－e 2＝ke 1＋kλe 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，kλ＝－1，∴λ＝－12.6．在数轴x 上，已知OA ＝－3e (e 为x 轴上的单位向量)，且点B 的坐标为3，则向量AB ―→的坐标为________．解析：由OA ＝－3e ，得点A 的坐标为－3， 则AB ＝3－(－3)＝6，即AB 的坐标为6. 答案：67．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.解析：①中，a ＝－b ；②中，b ＝－2e 1＋2e 2＝－2(e 1－e 2)＝－2a ；③中，a ＝4e 1－25e 2＝4⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2＝4b ；④中，当e 1，e 2不共线时，a ≠λb .故填①②③. 答案：①②③8．已知M ，P ，N 三点在数轴上，且点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，则点N 的坐标为________．解析：设点M ，N 的坐标分别为x 1，x 2，∵点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x 1＝2，x 2－x 1＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，x 2＝11.故点N 的坐标为11. 答案：119．已知数轴上A ，B ，C 三点．(1)若AB ＝2，BC ＝3，求向量AC ―→的坐标； (2)若AB ＝BC ，求证：B 是AC 的中点．解：(1)AC ＝AB ＋BC ＝5，即向量AC ―→的坐标为5. (2)∵AB ＝BC ，∴b －a ＝c －b ， ∴b ＝a ＋c 2，故B 是AC 的中点．10．已知：在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD ＝2BC .∴AD 与BC 共线，且|AD |＝2|BC |. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．层级二 应试能力达标1．已知向量AB ＝a ＋3b ，BC ＝5a ＋3b ，CD ＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB ，由于BD 与AB 有公共点B ，因此A ，B ，D 三点共线．2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝( )A.13a ＋b B.12a ＋bC ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：选A 由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13AB ＝13a ＋b .3．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝1解析：选C ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝k AC (k ≠0)． ∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b . 又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1. 4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝0，若实数λ满足AB ＋AC ＝λAP ，则λ的值为( )A ．2 B.32C ．3D ．6解析：选C 如图，取BC 的中点为D ，则PB ＋PC ＝2PD . 又PA ＋PB ＋PC ＝0，∴2PD ＝－PA ，∴A 、P 、D 三点共线且|PA |＝2|PD |， ∴AP ＝23AD .又∵AB ＋AP ＝2AD ，∴AB ＋AP ＝3AP ，即λ＝3.5．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3. 答案：－1或36．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2方向相反，则k ＝______. 解析：∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2共线， ∴ke 1＋2e 2＝λ(8e 1＋ke 2)＝8λe 1＋λke 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，2＝λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4.∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2反向， ∴λ＝－12，k ＝－4.答案：－47．已知数轴上四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是－4，－2，c ，d . (1)若AC ＝5，求c 的值； (2)若|BD |＝6，求d 的值；(3)若AC ＝－3AD ，求证：3CD ＝－4AC . 解：(1)∵AC ＝5，∴c －(－4)＝5，∴c ＝1. (2)∵|BD |＝6，∴|d －(－2)|＝6， 即d ＋2＝6或d ＋2＝－6， ∴d ＝4或d ＝－8.(3)证明：∵AC ＝c ＋4，AD ＝d ＋4，又AC ＝－3AD ，∴c ＋4＝－3(d ＋4)，即c ＝－3d －16. 3CD ＝3(d －c )＝3d －3c ＝3d －3(－3d －16)＝12d ＋48， －4AC ＝－4c －16＝－4(－3d －16)－16＝12d ＋48， ∴3CD ＝－4AC .8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，则有OA ＝12(OB ＋OC )，从而OC ＝2OA －OB ＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ＝23OB ，从而DC ＝OC －OD ＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ＝μDC ， 又EC ＝OC －OE ＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC ＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ， 又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。

A B
O
uuur r OA = a uuur r OB = b uuur r OC = c
C
说明： （1）平行向量可以在同一直线上，要区别于 两平行线的位置关系； （2）共线向量可以相互平行，要区别于在同 一直线上的线段的位置关系.
（3）两平行的非零向量在其方向与模两个要素上可
能出现哪几种情况？
⑴两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
⑵顶若点；uAuuBr
=
uuur DC
，则A、B、C、D四点是平行四边形的四各
⑶若 r r r r ，则 r r ；
⑷若
a r
=
b r
,b r
=c r
，则
a=c rr
其中所a有// b正,b确// c命题的序a号/ 为/ c_.____⑶________.
（
2
）
若
︱
→ AB
︱
=3
，
则
向
量
︱
→ EC
︱
的
模
等
于
6.
A
B
E
D
C
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情 钱的时候不磨叽， 生活不会因为你哭泣而对你温柔， 连孩子都知道，想要的东西，要踮起脚尖，自己伸手去拿，所以不要什么都不做，还什么都想要。但你可以通过努