《三角形》单元复习

一、选择题1．已知实数x 、y 满足|x －4|+ 8y -＝0，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形周长是（ ）A ．20或16B ．20C ．16D ．18 2．将一副三角板的直角顶点重合按如图所示方式放置，得到下列结论，其中正确的结论有（ ）①13∠=∠；②180BAE CAD ∠+∠=︒；③若//BC AD ，则230∠=︒；④若150CAD ∠=︒，则4C ∠=∠．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列说法正确的是（ ）A ．射线AB 和射线BA 是同一条射线B ．连接两点的线段叫两点间的距离C ．两点之间，直线最短D ．七边形的对角线一共有14条 4．如图，ABC 中，BC 边上的高是（ ）A ．AEB ．ADC ．CD D ．CF 5．内角和为720°的多边形是（ ）．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 7．将一个多边形纸片剪去一个内角后得到一个内角和是外角和4倍的新多边形，则原多边形的边数为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．以上均有可能 8．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A ．1，2，3B ．1，3，5C ．2，3，4D ．2，6，10 9．下列长度的线段能组成三角形的是（ ） A ．2，3，5 B ．4，6，11 C ．5，8，10 D ．4，8，4 10．已知，D 是ABC ∠的边BC 上一点，//DE BA ，CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点F ，若F α∠=，则ABE ∠的大小为（ ）A ．αB ．52αC ．2αD ．32α11．如图，线段BE 是ABC 的高的是( )A ．B ．C ．D ．12．如图，在ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，已知2BAC B ∠=∠，2B DAE ∠=∠，那么C ∠的度数为（ ）A ．72°B ．75°C ．70°D ．60°13．若多边形的边数由3增加到n （n 为大于3的正整数），则其外角和的度数（ ）A ．不变B ．减少C ．增加D ．不能确定 14．如图，△ABC 中AC 边上的高是哪条垂线段．（ ）A ．AEB ．CDC ．BFD ．AF15．具备下列条件的三角形中，不是．．直角三角形的是（ ） A ．A B C ∠+∠=∠B ．12A BC ∠=∠=∠ C ．3A B C ∠=∠=∠D ．1123A B C ∠=∠=∠ 二、填空题16．如图，五边形ABCDE 中，//AE BC ，则C D E ∠+∠+∠的度数为__________．17．如图，已知ABC 中，90,50ACB B D ︒︒∠=∠=，为AB 上一点，将BCD △沿CD 折叠后，点B 落在点E 处，且//CE AB ，则ACD ∠的度数是___________．18．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L 的取值范围是________19．如图所示，在ABC 中，80A ∠=︒，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠的平分线相交于1A 点，1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于A 点，依此类推，4A BC ∠与4A CD ∠的平分线相交于5A 点，则5A ∠的度数是_________．20．已知ABC 的高为AD ，65BAD ∠=︒，25CAD ∠=︒，则BAC ∠的度数是_______．21．如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DC ，∠1、∠2、∠3、∠4分别是∠BAF 、∠AFE 、∠FED 、∠EDC 的外角，则∠1+∠2+∠3+∠4＝_____．22．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是___________，最小值是___________．23．鹿鸣社区里有一个五边形的小公园，如图所示，王老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图中的∠1=95︒，王老师沿公园边由A 点经B→C→D→E ，一直到F 时，他在行程中共转过了_____度．24．如图，把ABC 折叠，点B 落在P 点位置，若12120∠+∠=︒，则B ∠=______．25．一块含45°角的直角三角板如图放置，其中，直线//a b ，185∠=︒，则2∠=______度．26．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中90C =∠，90F ∠=，30D ∠=，45A ∠=，则12∠+∠等于___________度．三、解答题27．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．（1）在图①中边AB 上找到格点D ，并连接CD ，使CD 将△ABC 面积两等分； （2）在图②中△ABC 的内部找到格点E ，并连接BE 、CE ，使△BCE 是△ABC 面积的14． （3）在图③中△外部画一条直线l ，使直线l 上任意一点与B 、C 构成的三角形的面积是△ABC 的18．28．已知，a ，b ，c 为ABC 的三边，化简|a ﹣b ﹣c|﹣2|b ﹣c ﹣a|+|a+b ﹣c|． 29．如图，//AE DF ，BE DF ⊥于点G ，190B ∠+∠=︒．（1）判断CD 与AB 的位置关系，并说明理由．（2）若50A ∠=︒，求出DEG ∠的度数．30．如图，在ABC 中，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，62A ∠=︒，35ACD ∠=︒，20ABE ∠=︒．求：（1）BDC ∠的度数；（2）BFD ∠的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学公式）解：（1）∵BDC A ACD ∠=∠+∠（ ）∴623597BDC ∠=︒+︒=︒（等量代换）（2）∵BFD BDC ABE ∠+∠+∠=______（ ）∴180BFD BDC ABE ∠=︒-∠-∠（等式的性质）1809720=︒-︒-︒（等量代换）63=︒。

T ——三角形一、知识梳理：专题一：三角形有关的线段；专题二：三角形有关的角；专题三：多边形及其内角和.二、考点分类专题一：三角形有关的线段考点一：三角形的边1．三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．2.三角形分类：（1）按角的关系分类 （2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形 3．三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【例1】【类型一】 判定三条线段能否组成三角形以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cm ；B ．5cm ，6cm ，10cm ；C ．1cm ，1cm ，3cm ；D ．3cm ，4cm ，9cm 解析：选项A 中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B 中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C 中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D 中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B.方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【类型二】 判断三角形边的取值范围一个三角形的三边长分别为4，7，x ，那么x 的取值范围是( )A ．3＜x ＜11 ；B ．4＜x ＜7 ；C ．－3＜x ＜11 ；D ．x ＞3解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x ，∴7－4＜x ＜7＋4，即3＜x ＜11.故选A.方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．有时还要结合不等式的知识进行解决．【类型三】等腰三角形的三边关系已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长．解析：先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解．解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9，∵4＋4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去；4＋9＞9，故4，9，9能构成三角形，∴它的周长是4＋9＋9＝22.方法总结：在求三角形的边长时，要注意利用三角形的三边关系验证所求出的边长能否组成三角形．【类型四】三角形三边关系与绝对值的综合若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．考点二：三角形的高、中线与角平分线1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．3．三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线．【例2】探究点一：三角形的高【类型一】三角形高的画法画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是( )解：过点C 作边AB 的垂线段，即画AB 边上的高CD ，所以画法正确的是D.故选D. 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．【类型二】 根据三角形的面积求高如图所示①，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC 于点D ，且AD ＝4，若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值为________．解析：根据垂线段最短，可知当BP ⊥AC 时，BP 有最小值．由△ABC 的面积公式可知12AD ·BC ＝12BP ·AC ，解得BP ＝245方法总结：解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方法通常称为“面积法”．① ② ③ ④ 探究点二：三角形的中线【类型一】 应用三角形的中线求线段的长如图②在△ABC 中，AC ＝5cm ，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大2cm ，则BA ＝________.解析：如图，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∴△ABD 的周长－△ADC 的周长＝(BA ＋BD ＋AD )－(AC ＋AD ＋CD )＝BA －AC ，∴BA －5＝2，∴BA ＝7cm.方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差．【类型二】 利用中线解决三角形的面积问题如图③，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF 和△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF 和S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF ＝________．解析：∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝12AC .∵S △ABC ＝12，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝12×12＝6.∵EC ＝2BE ，S △ABC ＝12，∴S △ABE ＝13S △ABC ＝13×12＝4.∵S △ABD －S △ABE ＝(S △ADF ＋S △ABF )－(S △ABF ＋S △BEF )＝S △ADF －S △BEF ，即S △ADF －S △BEF ＝S △ABD －S △ABE ＝6－4＝2.故答案为2.方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．探究点三：三角形的角平分线如图④，已知：AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC ＝60°，∠BCE ＝40°，求∠ADB 的度数．解析：根据AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝60°，得出∠BAD ＝30°，再利用CE 是△ABC 的高，∠BCE ＝40°，得出∠B 的度数，进而得出∠ADB 的度数．解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝60°，∴∠DAC ＝∠BAD ＝30°.∵CE 是△ABC 的高，∠BCE ＝40°，∴∠B ＝50°，∴∠ADB ＝180°－∠B －∠BAD ＝180°－50°－30°＝100°.方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查．考点三：三角形的稳定性【例3】要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n 边形木架不变形，至少需要几根木条固定？解析：由于多边形(三边以上的)不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律．解：过n 边形的一个顶点可以作(n －3)条对角线，把多边形分成(n －2)个三角形，所以，要使一个n 边形木架不变形，至少需要(n －3)根木条固定．方法总结：将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．专题二：三角形有关的角考点四：三角形的内角1．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°2．直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余【例4】探究点一：三角形的内角和【类型一】 求三角形内角的度数已知，如图①，D 是△ABC 中BC 边延长线上一点，DF ⊥AB 交AB 于F ，交AC 于E ，若∠A ＝46°，∠D ＝50°.求∠ACB 的度数．① ② 解析：在Rt △DFB 中，根据三角形内角和定理，求得∠B 的度数，再在△ABC 中求∠ACB 的度数即可．解：在△DFB 中，∵DF ⊥AB ，∴∠DFB ＝90°.∵∠D ＝50°，∠DFB ＋∠D ＋∠B ＝180°，∴∠B ＝40°.在△ABC 中，∵∠A ＝46°，∠B ＝40°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝94°. 方法总结：求三角形的内角，必然和三角形内角和定理有关，解决问题时要根据图形特点，在不同的三角形中，灵活运用三角形内角和定理求解．【类型二】 判断三角形的形状一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是x ，2x ，3x ，根据三角形的内角和为180°，得x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．故选A.方法总结：在解决有关比例问题时，通常先设比例系数，然后列方程求解．【类型三】 三角形的内角与角平分线、高的综合运用如图②，在△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13∠ACB ，CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的角平分线，求∠DCE 的度数．解析：根据已知条件用∠A 表示出∠B 和∠ACB ，利用三角形的内角和求出∠A ，再求出∠ACB ，∠ACD ，最后根据角平分线的定义求出∠ACE 即可求得∠DCE 的度数．解：∵∠A ＝12∠B ＝13∠ACB ，设∠A ＝x ，∴∠B ＝2x ，∠ACB ＝3x .∵∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴∠A ＝30°，∠ACB ＝90°.∵CD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝180°－90°－30°＝60°.∵CE 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACE ＝12×90°＝45°，∴∠DCE ＝∠ACD －∠ACE ＝60°－45°＝15°.方法总结：本题是常见的几何计算题，解题的关键是利用三角形的内角和定理和角平分线的性质，找出角与角之间的关系并结合图形解答．探究点二：直角三角形的性质【类型一】 直角三角形性质的运用如图，CE ⊥AF ，垂足为E ，CE 与BF 相交于点D ，∠F ＝40°，∠C ＝30°，求∠EDF 、∠DBC 的度数．解析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠EDF ，再根据三角形的内角和定理求出∠C ＋∠DBC ＝∠F ＋∠DEF ，然后求解即可．解：∵CE ⊥AF ，∴∠DEF ＝90°，∴∠EDF ＝90°－∠F ＝90°－40°＝50°.由三角形的内角和定理得∠C ＋∠DBC ＋∠CDB ＝∠F ＋∠DEF ＋∠EDF ，∴30°＋∠DBC ＝40°＋90°，∴∠DBC ＝100°.方法总结：本题主要利用了直角三角形两锐角互余的性质和三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．考点五：三角形的外角1．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角．2．三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．【例5】探究点：三角形的外角【类型一】 应用三角形的外角求角的度数如图所示，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝150°，∠ABP ＝20°，∠ACP ＝30°，求∠A 的度数．解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC ＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法总结：利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．【类型二】用三角形外角的性质把几个角的和分别转化为一个三角形的内角和已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.解析：根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证．证明：∵∠EFG、∠EGF分别是△BDF、△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A ＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.方法总结：解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．【类型三】三角形外角的性质和角平分线的综合应用如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；(2)猜想：∠E与∠A有什么数量关系(写出结论即可)；(3)如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．解析：先计算特殊角的情况，再综合运用三角形的内角和定理及其推论结合三角形的角平分线概念解决．解：(1)根据外角的性质得∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ＝60°＋50°＝110°，∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠1＝12∠ACD ＝55°，∠2＝12∠ABC ＝25°.∵∠E ＋∠2＝∠1，∴∠E ＝∠1－∠2＝30°；(2)猜想：∠E ＝12∠A ； (3)∵BE 、CE 是两外角的平分线，∴∠2＝12∠CBD ，∠4＝12∠BCF ，而∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ，∠BCF ＝∠A ＋∠ABC ，∴∠2＝12(∠A ＋∠ACB )，∠4＝12(∠A ＋∠ABC )．∵∠E ＋∠2＋∠4＝180°，∴∠E ＋12(∠A ＋∠ACB )＋12(∠A ＋∠ABC )＝180°，即∠E ＋12∠A ＋12(∠A ＋∠ACB ＋∠ABC )＝180°.∵∠A ＋∠ACB ＋∠ABC ＝180°，∴∠E ＋12∠A ＝90°. 方法总结：对于本题发现的结论要予以重视：图①中，∠E ＝12∠A ；图②中，∠E ＝90°－12∠A .考点六：多边形及其内角和多边形1．定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形．2．相关概念：顶点、边、内角、对角线．3．多边形的对角线：n 边形从一个顶点出发的对角线条数为(n －3)条；n 边形共有对角线n （n －3）2条(n ≥3)．4．正多边形：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称为正多边形． 多边形的内角和与外角和1．性质：多边形的内角和等于(n －2)·180°；多边形的外角和等于360°.2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：(1)n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n ≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.(3).正n 边形：正n 边形的内角的度数为（n －2）·180°n ，外角的度数为360°n. 【例6】探究点一：多边形的概念【类型一】 多边形及其概念下列图形不是凸多边形的是( )解析：根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形，否则即是凹多边形．由此可得选项D 的图形不是凸多边形．故选D. 方法总结：多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：(1)画多边形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；(2)每个内角的度数均小于180°.通常所说的多边形指凸多边形．【类型二】 确定多边形的边数若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为( )A ．14或15或16B ．15或16C ．14或16D ．15或16或17解析：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16.故选A. 方法总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下．探究点二：多边形的对角线【类型一】 确定多边形的对角线的条数从四边形的一个顶点出发可画________条对角线，从五边形的一个顶点出发可画________条对角线，从六边形的一个顶点出发可画________条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有________条对角线，从n 边形的一个顶点出发有________条对角线，从而推导出n 边形共有________条对角线．解析：根据n 边形从一个顶点出发可引出(n －3)条对角线．从n 个顶点出发引出n (n －3)条对角线，而每条重复一次，可得答案．解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n 边形的一个顶点出发有(n －3)条对角线，从而推导出n 边形共有n （n －3）2条对角线． 方法总结：(1)多边形有n 条边，则经过多边形的一个顶点的对角线有(n －3)条；(2)多边形有n 条边，对角线的条数为n （n －3）2.【类型二】 根据对角线条数确定多边形的边数从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设这个多边形是n 边形．依题意，得n －3＝5，解得n ＝8.故这个多边形的边数是8.故选C.【类型三】 根据分成三角形的个数，确定多边形的边数连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是( )A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形解析：设原多边形是n 边形，则n －2＝6，解得n ＝8.故选D.方法总结：从n 边形的一个顶点出发可引出(n －3)条对角线，这(n －3)条对角线把n 边形分成(n －2)个三角形．探究点三：正多边形的有关概念下列图形中，是正多边形的是( )A ．等腰三角形B ．长方形C ．正方形D ．五边都相等的五边形解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形进行解答．正方形四个角相等，四条边都相等，故选C. 方法总结：解答此类问题的关键是要搞清楚正多边形的定义，各个角相等、各条边相等的多边形是正多边形，这两个条件缺一不可．探究点一：多边形的内角和【类型一】利用内角和求边数一个多边形的内角和为540°，则它是( )A．四边形 B．五边形C．六边形 D．七边形解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B.【类型二】求多边形的内角和一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为( )A．1620° B．1800°C．1980° D．以上答案都有可能解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D.方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．【类型三】复杂图形中的角度计算如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )A．450° B．540°C．630° D．720°解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选B.方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数．探究点二：多边形的外角和【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A．八边形 B．九边形C．十边形 D．十一边形解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C.方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A．五边形 B．四边形C．三角形 D．不能确定解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n ＝3，∴这个多边形是三角形．故选C.方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．。

三角形单元复习与巩固知识点一：三角形的有关的概念（一）三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的，相邻两边上的公共点叫做三角形的，相邻两边所组成的角叫做三角形的，简称三角形的 .注意：通过三角形的定义可知，三角形的特征有：（1）三条线段；（2）不在直线上；（3）首尾顺次连接. 这是判定是否是三角形的标准.（二）三角形的表示方法：“三角形”用符号“”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作“”，读作“三角形ABC”.（三）三角形的分类不等边三角形（1）按边分类：底边和腰不相等的等腰三角形（2）按角分类：三角形三角形三角形三角形等腰三角形（四）三角形的三边关系（1）三边关系：三角形的任意两边之和第三边，任意两边之差第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围.注意：（1）这里的“两边”指的是任意的两边. 对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；（2）三角形的三边关系是“”的具体应用.知识点二：三角形的高、中线、角平分线（一）三角形的高：从三角形的一个向它的对边所在的直线作，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. 注意：（1）三角形的高线是一条；（2）锐角三角形的三条高都在三角形，三条高的交点也在三角形部；钝角三角形有两条高落在三角形的部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形的内部，它们的交点是直角的 .（3）三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的 .（二）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的的线段叫做三角形的中线.注意：（1）三角形的中线是一条；（2）三角形的每一条中线将三角形分成两个面积的三角形；（3）三角形三条中线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的 .（三）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：（1）三角形的角平分线是一条；（2）三角形的三条角平分线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的.知识点三：三角形的内角与外角（一）三角形的内角：（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的角.（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于.（3）三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系.（二）三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 . 三角形的外角和为°.（2）特点：①外角的顶点在三角形的一个顶点上；②外角的一条边是三角形的一边；③外角的另一条边是三角形某条边的 .（3）性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个的和.②三角形的一个外角（大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.知识点四：多边形（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做 .注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.（二）多边形的对角线：连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.从n边形的一个顶点出发，可以画条对角线，n边形一共有条对角线.（三）多边形的内角和公式：n边形的内角和为 .内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数.（四）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于 .外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点五：镶嵌（一）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）. （二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就能拼成一个平面图形.类型一：数学思想方法的应用（一）分类思想例1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）．A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°举一反三：☆【变式1】已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC的度数为 .【变式2】有四条线段，它们的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，从中选出三条组成三角形，正确的选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种（二）转化思想例2．（1）如图1是一个五角星ABCDE，请算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.（2）如图2，3，4，5的变式图形中，上面的结论成立吗？为什么思路点拨：本题是一题多变题，先求出图1中各角之和，其他图形是否有相同的结论同理可证.21EDCBA21EDCBA21EDCBA图1图2图321ECBAC21EDBA图4图5解析：举一反三：【变式1】如下图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝。

《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）知识梳理【要点】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．求证：△ABC是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BD CD=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋•江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，∴∠MBO=∠OBC ，∠NCO=∠OCB ，∴∠MBO=∠BOM ，∠NCO=∠CON ，∴BM=OM ，CN=ON ，∵△AMN 的周长为18，∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．【变式2】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 上，且AD=AE ，求证：BD=CE ．【答案】证明：∵AB=AC ，AD=AE ，∴∠B=∠C ，∠ADE=∠AED ，∵∠ADE=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴ BD=CE ．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合．（1）当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE ≌△BDE ，BC=BD ，当点D 恰为AB 的重点时，AB=2BD=2BC ，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED ⊥AB ，可证D 为AB 的中点；（2）在Rt △ADE 中，根据∠A 及ED 的值，可将AE 、AD 的值求出，又D 为AB 的中点，可得AB 的长度，在Rt △ABC 中，根据AB 、∠A 的值，可将AC 和BC 的值求出，代入S △ABC =AC ×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵C 点折叠后与AB 边上的一点D 重合，∴BE 平分∠CBD ，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB ，所以EB=EA ；∵ED 为△EAB 的高线，所以ED 也是等腰△EBA 的中线，∴D 为AB 中点．（2）∵DE=1，ED ⊥AB ，∠A=30°，∴AE=2．在Rt △ADE 中，根据勾股定理，得22213-=∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3． 在Rt △ABC 中，AC=22AB BC -=3，∴S △ABC =12×AC ×BC=332． 【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ，再过点M 作OB 的垂线，过点N 作OA 的垂线，垂足分别为C 、D ，两垂线交于点P ，那么射线OP 就是∠AOB 的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP 就是∠AOB 的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB 的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt △OCM 与Rt △ODN 中，依据ASA 得出OC=OD;在Rt △OCP 与Rt △ODP 中，因为OP=OP ，OC=OD 得出Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），所以∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ． ②可作出两个直角三角形，利用HL 定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt △OCM 和Rt △ODN 中，COM DON OCM ODN OM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCM ≌△ODN （AAS ），∴OC=OD ，在△OCP 与△ODP 中，∵,OC OD OP OP=⎧⎨=⎩∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt△OCE与Rt△ODE中，∵OC OD OE OE=⎧⎨=⎩，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴∠EOC=∠EOD，∴OE为∠AOB的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋•麻城市校级期中）如图所示：在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC的度数；（2）若△ABC的周长为41cm，边长为15cm，△BCE的周长．【思路点拨】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而求得∠A的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，则可求得答案；（2）由△BCE的周长=AC+BC，然后分别从腰等于15cm与底边等于15cm去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC；∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，延长BC到D，使AC=CD，且∠ADB=20°，DE平分∠ADB交AC于F，交AB于E，连接CE，求∠CED的度数．【思路点拨】作EG⊥DA，EH⊥BD，EP⊥AC，根据角平分线的性质得到EG=EH，根据△EGA≌△EPA，得出∠ECB，就可以得到∠CED的度数．【答案与解析】证明：作EG⊥DA交DA的延长线于G，再作EH⊥BD，EP⊥AC，垂足分别为H，P，则EG=EH ∵∠ADC=20°，AC=CD，∴∠CAD=20°，而∠BAC=80°，∴∠GAE=180°﹣20°﹣80°=80°，∴Rt△EGA≌Rt△EPA，∴EG=EP∴EP=EH，∴∠ECB=∠ECA=12∠BCA=12×40°=20°∴∠CED=∠BCE﹣∠BDE=20°﹣10°=10°【总结升华】主要考查了角平分线的性质定理及逆定理、三角形全等的性质和判定；做题中两次用到角平分线的知识是正确解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

专题11.16 《三角形》全章复习与巩固（专项练习）一、单选题知识点一、三角形的三边关系1．现有两根木棒，它们的长分别是30cm和70cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（）A．40cm B．70cm C．100cm D．130cm2．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A．3，7，5B．4，8，5C．5，12，7D．7，13，83．如图，∠ABC＝90°，BD∠AC，下列关系式中不一定成立的是（）A．AB＞AD B．AC＞BC C．BD+CD＞BC D．CD＞BD知识点二、三角形中重要线段4．下列尺规作图，能判断AD是ABC的BC边上的高是（）A．B．C．D．5．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则∠ABC的重心是（）．A ．点DB ．点EC ．点FD ．点G6．下列说法正确的个数有（ ）∠三角形的高、中线、角平分线都是线段；∠三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；∠三角形的三条高都在三角形内部；∠三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个知识点三、与三角形有关的角7．将一副三角板按如图所示的位置摆放，90C EDF ∠=∠=︒ ，45E ∠=︒， 60B ∠=︒ ，点D 在边BC 上，边DE ，AB 交于点G ．若 //EF AB ，则CDE ∠的度数为（ ）A ．105︒B ．100︒C ．95︒D ．75C ︒8．一副直角三角板如图摆放，点F 在CB 的延长线上，∠C =∠DFE =90°，若DE ∠CF ，则∠BEF 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°∠的度数是（）9．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中αA．15°B．30°C．65°D．75°知识点四、三角形的稳定性10．如图所示，具有稳定性的有（）A．只有（1），（2）B．只有（3），（4）C．只有（2），（3）D．（1），（2），（3）11．如图，木工师傅做窗框时，常常像图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．长方形的轴对称性D．两直线平行，同位角相等12．要使如图所示的五边形木架不变形，至少要再钉上几根木条（）A．1根B．2根C．3根D．4根知识点五、多边形内角和及外角和公式13．若一个多边形的内角和与外角和之差是720︒，则此多边形是（）边形．A．6B．7C．8D．914．如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（）A．30°B．45°C．60°D．72°15．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形知识点六、多边形对角线公式的运用16．下列说法正确的是（）A．射线AB和射线BA是同一条射线B．连接两点的线段叫两点间的距离C．两点之间，直线最短D．七边形的对角线一共有14条17．为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（）场比赛．A．30B．45C．105D．21018．八边形从一个顶点引出的对角线的条数为（）A．4条B．5条C．6条D．7条知识点七、镶嵌问题19．下列四组多边形∠正三角形与正方形∠正三角形与正十二边形∠正方形与正六边形∠正八边形与正方形，其中能铺满地面的是（）A．∠∠∠B．∠∠∠C．∠∠D．∠∠∠20．小飞家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖，建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种形状的地砖混合使用，你认为要使地面铺满，小飞应选择另一种形状的地砖是（）A．B．C．D．21．下列正多边形不能实施平面镶嵌的是（）．A．正方形B．正五边形C．正六边形D．等边三角形二、填空题知识点一、三角形的三边关系22．已知三角形ABC，且AB=3厘米，BC=2厘米，A、C两点间的距离为x厘米，那么x的取值范围是________．23．小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是：_____，_____，_____（单位：cm ）．24．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则a b c b c a c a b --+--+-+=______． 知识点二、三角形中重要线段25．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，CD 是AB 边的中线，则AC 边上的高为__cm ，BCD ∆的面积=__2cm ．26．（1）线段AD 是ABC ∆的角平分线，那么BAD ∠=∠__12=∠__． （2）线段AE 是ABC ∆的中线，那么BE =__=__BC ．27．如图，在∠ABC 中，点D ，点E 分别是BC ，AB 的中点，若∠AED 的面积为1，则∠ABC 的面积为_____．知识点三、与三角形有关的角28．如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F ＝30°，∠C ＝45°，AB 与DE 相交于点G ，当EF //BC 时，∠EGB 的度数是___．29．如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝68°，则∠1=_____°．30．如图，将纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BE 边上的点A '处，若18A ∠=︒，则1∠=__________．知识点四、三角形的稳定性31．下图是跪姿射击的情形．我们可以看到，跪姿射击的动作构成了三个三角形∠一是由右脚尖、右膝、左脚构成的三角形支撑面；二是由左手、左肘、左肩构成的托枪三角形；三是由左手、左肩、右肩所构成的近乎水平的三角形．这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定．其中，蕴含的数学道理是___．32．如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，这时木架的形状不会改变，这是因为三角形具有____．33．要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉_____根木条．知识点五、多边形内角和及外角和公式34．若一个多边形的内角和是其外角的和1.5倍，则这个多边形的边数是________． 35．五边形的内角和是_______度，外角和是________度．36．如图所示，在五边形ABCDE中，∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，∠DEF为五边形ABCDE 的一个外角，且∠DEF＝60°，则∠D＝_____．知识点六、多边形对角线公式的运用37．一个n边形共有n条对角线，将这个n边形截去一个角后它的边数为__．38．八边形中过其中一个顶点有__条对角线．39．若一个多边形的内角和为900︒，则从该多边形一个顶点出发引的对角线条数是______．知识点七、镶嵌问题40．用边长相等的三角形、四边形、五边形、六边形、七边形中的一种；能进行平面镶嵌的几何图形有_________种．41．使用下列同一种正多边形不能铺满地面的是________（填序号）∠正三角形；∠正方形；∠正六边形；∠正八边形42．下列正多边形中能单独镶嵌平面的是________．（填写序号）∠正三角形；∠正方形；∠正五边形；∠正六边形．三、解答题知识点一、三角形的三边关系43．如图所示，（1）图中有几个三角形？∆的边和角．（2）说出CDE∠是哪些三角形的角？（3）AD是哪些三角形的边？C知识点二、三角形中重要线段44．已知a b c ，，满足()2240a c -+-=．（1）求a b c ，，的值．（2）以a b c ，，为边能否构成三角形，如果能，求出三角形的周长；如果不能，请说明理由．知识点三、与三角形有关的角45．如图，已知BD //AC ，CE //BA ，且D 、A 、E 在同一条直线上，设∠BAC ＝x ，∠D +∠E ＝y ．（1）试用x 的一次式表示y ；（2）当x ＝90°，且∠D ＝2∠E 时，DB 与EC 具有怎样的位置关系？知识点四、三角形的稳定性46．凸六边形钢架ABCDEF 由6条钢管连接而成，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接，使之不能活动，方法很多，请列举三个．知识点五、多边形内角和及外角和公式47．（1）一个多边形的内角和比它的外角和多720︒，求该多边形的边数；（2）如图，已知AD 是ABC 的角平分线，CE 是ABC 的高，AD 与CE 相交于点F ，30CAD ∠=︒，50B ∠=︒，求ADC ∠和AFC ∠的度数．知识点六、多边形对角线公式的运用48．观察下面图形，并回答问题．()1四边形有条对角线；五边形有条对角线；六边形有条对角线．()2根据()1中得到的规律，试猜测十边形的对角线条数．参考答案1．B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形三边关系，∠三角形的第三边x 满足：70303070x -<<+，即40100x <<，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．2．C【分析】根据两边之和等于第三边的原则去判断即可【详解】∠3+5＞7，∠能构成三角形，不符合题意；∠4+5＞8，∠能构成三角形，不符合题意；∠7+5=12，∠不能构成三角形，符合题意；∠8+7＞13，∠能构成三角形，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了三角形的存在性，熟练掌握两边之和大于第三边是判断的根本标准． 3．D【分析】根据直角三角形斜边大于直角边判断A 、B 、D 选项，根据三角形的三边关系判断C 选项．【详解】解：∠BD ∠AC ，∠∠ADB＝90°，∠AB＞AD，∠∠ABC＝90°，∠AC＞BC，∠BD+CD＞BC，∠选项A，B，C正确；∠∠BDC＝90°，∠CD不一定大于BD，∠选项D不一定成立，故选：D．【点睛】此题考查直角三角形斜边大于直角边的性质，三角形的两边和大于第三边的性质，熟记性质并熟练运用是解题的关键．4．B【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，能满足此条件的AD即为所求，依次判断即可．【详解】解：A. 所作图BC的垂线未过点A，故此项错误；B.所作图过点A作BC的垂线，垂足为D，故此项正确；C.所作过点A作的线AD不垂直BC，故此项错误；D.所作图仅为过点A的AB边上的垂线，不符合题意，故此项错误；故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的高的作法，解题的关键是掌握几何图形的性质和基本作图方法．5．A【分析】结合题意，根据三角形重心的定义分析，即可得到答案．【详解】根据题意可知，直线CD经过∠ABC的AB边上的中线，直线AD经过∠ABC的BC边上的中线∠点D是∠ABC重心．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形重心、中线的性质，从而完成求解．6．C【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上即可作答．【详解】解：∠三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；∠三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，故正确；∠钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；∠三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故正确．所以正确的有3个．故选：C ．【点睛】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的概念是解决本题的关键．7．A【分析】根据EF AB ∥，可得45BGD E ，再根据外角的性质，利用 CDE B BGD 可求得结果．【详解】解：EF AB ∥，45BGD E ∠=∠=︒．又CDE ∠是BDG ∆的外角，60B ∠=︒=6045105CDE B BGD ，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 8．B【分析】根据一副直角三角锐角大小一定，根据平行线的性质内错角相等，可得∠DEF = ∠EFB = 45°，再由三角形外角的性质，即可求出∠BEF = ∠ABC - ∠EFB = 15°．【详解】解：∠DE ∠CF ，∠DEF = 45°，∠∠DEF = ∠EFB = 45°，∠∠ABC = 60°，∠∠BEF = ∠ABC - ∠EFB = 60°-45°= 15°故选B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形一个外角与其不相邻两个内角的性质． 9．D【分析】根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：如图，∠ABC ∆和DEF ∆都是直角三角形，且30,45B E ∠=︒∠=︒∠45,60EFD ACB ∠=︒∠=︒∠++180EFD ACB FAC ∠∠∠=︒∠180456075FAC ∠=︒-︒-︒=︒，即75α=︒故选：D ．【点睛】此题主要考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形内角和定理是解答此题的关键．10．C【分析】根据三角形具有稳定性而四边形不具有稳定性判断即可．由于四边形不具有稳定性，故（1）不具有稳定性；根据三角形的稳定性，图中具有稳定性的有（2），（3），而（4）虽然含有三角形，但右侧的四边形不具稳定性，所以整体也就不具稳定性．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的稳定性性质，四边形的不稳定性，无论是三角形的稳定性还是四边形的不稳定性，它们在生产生活中都有着广泛的应用．11．A【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【详解】解：这样做的数学原理是三角形的稳定性．故选：A．【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．12．B【分析】三角形具有稳定性，钉上木条后，使五边形变为三角形的组合即可解题．【详解】AC CE，使五边形变为三个三角形，解：如图，钉上木条,根据三角形具有稳定性，可知这样的五边形不变形，故选：B．【点睛】本题考查三角形的稳定性，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．【详解】解：∠一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°，∠这个多边形的内角和为720°+360°=1080°，设多边形的边数为n，则（n-2）×180°=1080°，解得：n=8，即多边形的边数为8，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能列出关于n的方程是即此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°，多边形的外角和等于360°．14．B【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：（n-2）•180°=1080°，即可求得n=8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180°×（n-2）=1080°，解得：n=8，∠这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°．故选：B．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．15．D【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．【详解】解：设多边形的边数为n，由题意得，（n-2）•180°=2×360°，所以，这个多边形是六边形．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．16．D【分析】根据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线的定义，多边形的对角线对各小题分析判断即可得解．【详解】解：A、射线AB和射线BA是不同的射线，故本选项不符合题意；B、连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故本选项不符合题意；C、两点之间，线段最短，故本选项不符合题意；D、七边形的对角线一共有7(73)142条，正确故选：D【点睛】本题考查了两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线的定义，多边形的对角线，熟练掌握概念是解题的关键．17．C【分析】根据多边形对角线的计算方式可得出，m支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛（m-1）场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛12m（m-1）．【详解】解：15支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为：12×15×（15-1）=105．故选：C．【点睛】本题考查多边形的对角线的知识，解题的关键是读懂题意，明确单循环赛制的含义，利用多边形的对角线条数的知识进行解答．18．B【分析】由八边形八个顶点即可知从一个定点能引出的对角线条数．∠八边形八个顶点，每个顶点除了本身和相邻点不能作对角线，∠可引出8-3=5条对角线，故选：B．【点睛】此题考查多边形的对角线，可由对角线定义：由某一顶点向其他顶点引出的线段，得出结论．19．B【分析】根据围绕一点的各个角的和为360°进行一一判断即可．【详解】解:∠正三角形与正方形,正三角形每个内角60°,正方形每个内角90°,3×60°+2×90°=360°, 能铺满地面；∠正三角形与正十二边形, 正三角形每个内角60°,正十二边形每个内角150°,1×60°+2×150°=360°, 能铺满地面；∠正方形与正六边形, 正方形每个内角90°,正六边形每个内角120°,k×90°+n×120°=360°，k，n不是整数，不能铺满地面；∠正八边形与正方形，正八边角形每个内角135°,正方形每个内角90°,2×135°+1×90°=360°, 能铺满地面，其中能铺满地面的是∠∠∠．故选择：B．【点睛】本题考查能铺满地面的图形组合，掌握正多边形的内角和公式，会求正多边形的每个内角，抓住围绕一点的各个角的和为360°是解题关键．20．B【分析】正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．【详解】正八边形的每个内角为()821808-⨯︒=135°，A、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；B、正方形、八边形内角分别为90°、135°，由于135×2+90=360，故能铺满；C、正六边形、正八边形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；D、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．故选：B．【点睛】本题主要考查了平面镶嵌（密铺），解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．21．B【分析】先求出各个正多边形每个内角的度数，再结合平面图形镶嵌的条件即可得．【详解】A、正方形的每个内角的度数为90︒，且490360⨯︒=︒，∴正方形能实施平面镶嵌，则此项不符题意；B、正五边形的每个内角的度数为()180521085︒⨯-=︒，且360101083︒=︒不是整数，∴正五边形不能实施平面镶嵌，则此项符合题意；C、正六边形的每个内角的度数为()180621206︒⨯-=︒，且3120360⨯︒=︒，∴正六边形能实施平面镶嵌，则此项不符题意；D、等边三角形的每个内角的度数为60︒，且660360⨯︒=︒，∴等边三角形能实施平面镶嵌，则此项不符题意；故选：B．【点睛】本题考查了平面镶嵌、正多边形的内角和，熟练掌握平面镶嵌的条件是解题关键．22．1＜x＜5【分析】直接根据三角形三边的关系进行求解即可；【详解】根据三角形三边关系可得：AB-BC＜AC＜AB+BC，∠AB=3，BC=2∠1＜x＜5，故答案为：1＜x ＜5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，正确理解题意是解题的关键．23．6 11 6【分析】先分析出共有四种情况，再根据三角形三边关系即可求解【详解】解：每三根组合，有5cm ，6cm ，11cm ；5cm ，6cm ，16cm ；11cm ，16cm ，5cm ；11cm ，6cm ，16cm 四种情况．根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，得其中只有11，6，16能组成三角形．故答案为：6,11,6【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系并根据题意分出四种情况是解题关键．24．3c b a +-【分析】三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．【详解】解：∠∠ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，∠必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，∠0,0,0a b c b c a c a b --<--<-+>， ∠a b c b c a c a b --+--+-+=()()()a b c b c a c a b ------+-+=++++a b c b c a c a b --+-+=3c b a +-故答案为：3c b a +-．【点睛】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．25．4 3【分析】根据三角形的高线的定义知BC 是边AC 上的高线．由三角形中线的定义知AD ＝BD ，则∠ACD 与∠BCD 的等底同高的两个三角形，它们的面积相等．【详解】如图，90ACB ∠=︒，4BC cm =，BC ∴是AC 边上的高，即AC 边上的高为4cm ，又CD 是AB 边的中线，BD AD ∴=，21111343()2224BCD ABC S S AC BC cm ∆∆∴==⨯⨯=⨯⨯=． 故答案是：4；3．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高．此题利用了“等底同高”的两个三角形的面积相等来求∠BCD 的面积的．26．CAD BAC CE12 【分析】（1）根据角平分线定义即可求解；（2）根据中点定义即可求解．【详解】解：（1）线段AD 是ABC ∆的角平分线，那么12BAD CAD BAC ∠=∠=∠． 故答案为：CAD ，BAC ；（2）线段AE 是ABC ∆的中线，那么12BE CE BC ==． 故答案为：CE ，12． 【点睛】本题考查角平分线定义与中线定义，掌握角平分线定义与中线定义是解题关键． 27．4【分析】根据线段中点的概念、三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∠点E 是AB 的中点，∠AED 的面积为1，∠∠ABD 的面积=∠AED 的面积×2=2，∠点D是BC的中点，∠∠ABC的面积=∠ABD的面积×2=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．28．105°【分析】过点G作HG∠BC，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因为∠DEF和∠ABC都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．【详解】解：过点G作HG∠BC，∠EF∠BC，∠GH∠BC∠EF，∠∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，在Rt∠DEF和Rt∠ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°，∠∠E＝60°，∠B＝45°，∠∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°，∠∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°，故∠EGB的度数是105°，故答案为：105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中正确作出辅助线是解本题的关键．29．22【分析】如图，延长HE，交BC于点G，求出∠2=∠HGF=68°，根据直角三角形两锐角互余即可求解．解：如图，延长HE ，交BC 于点G ，∠AD ∠BC ，∠∠2=∠HGF =68°，由题意得∠FEH =∠FEG =90°，∠∠1=90°-∠EGF =90°-68°=22°．故答案为：22【点睛】本题考查了平行线的性质与直角三角形的两锐角互余，根据题意添加辅助线是解题关键．30．36︒【分析】利用折叠性质得到18DA A A ∠'=∠=︒，然后根据三角形外角性质求解．【详解】 解：纸片ABC ∆沿DE 折叠，使点A 落在BE 边上的点A '处，18DA A A ∴∠'=∠=︒，136DA A A ∴∠=∠'+∠=︒．故答案为36︒．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180︒．也考查了折叠的性质． 31．三角形的稳定性【分析】直接根据题意进行解答即可．【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性；故答案为三角形的稳定性．【点睛】本题主要考查三角形稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．【分析】根据三角形的性质进行解答即可．【详解】解：斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变，能解释这一实际应用的数学知识是三角形具有稳定性，故答案为：稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．33．2．【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【详解】如图，再钉上两根木条，就可以使五边形分成三个三角形．故至少要再钉两根木条，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟知要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形．34．5【分析】根据多边形的内角和与外角和即可求出答案．【详解】解：设该多边形的边数为n，由题意可知：（n-2）•180°=1.5×360°，解得：n=5，故答案为：5．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是熟练运用多边形的性质，本题属于基础题型．35．540 360【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°和多边形的外角和定理进行解答．【详解】解：（5-2）•180°=540°，所以五边形的内角和为540度，外角和为360度．故答案为：540，360．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．36．120°【分析】利用内角与外角的关系可得∠AED＝120°，然后再利用多边形内角和定理进行计算即可．【详解】解：∠∠DEF＝60°，∠∠AED＝120°，∠∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，∠∠D＝180°×（5﹣2）﹣80°﹣80°﹣140°﹣120°＝120°，故答案为：120°．【点睛】此题主要考查了多边形内角与外角，关键是掌握多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n为整数）．37．6、5、4【分析】根据一个n边形对角线条数公式()32n n-共有n条对角线，列等式，求出边数，再利用分类将五边形截去一个角的情形求解即可．【详解】解：由这个n边形共有n条对角线，可得()32n nn-=，解得n＝5或0（不合题意，舍去），所以这个多边形是五边形，将一个五边形截去一个角，根据截法不同可以有三种情况如图，其结果分别是6、5、4条边，故答案为：6、5、4．【点睛】本题考查由对角线条数与边关，分类思想，数形结合思想截取一个角实质看边是否减少是解题关键．38．5【分析】根据对角线的意义求解．【详解】解：根据对角线的意义可知：一个八边形过一个顶点有8-2-1=5条对角线，故答案为：5．【点睛】本题考查多边形的对角线，熟练掌握多边形对角线的意义是解题关键．39．4【分析】根据题意和多边形内角和公式求出多边形的边数，根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可．【详解】设这个多边形的边数为n，则（n-2）×180°=900°，解得，n=7，从七边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数：7-3=4，故答案为：4．【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角、多边形的对角线，掌握n边形的内角和等于（n-2）×180°、从n边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数是n-3是解题的关键．40．2【解析】试题分析：一个多边形能不能进行平面镶嵌，关键看同一个顶点处无缝且能组成一个周角，因为任意三角形的内角和是180°，所以放在同一顶点处6个即可；因为任意四边形的内角和是360°，所以放在同一顶点处4个即可；因为任意五边形的内角和是540°，不能整除360°，所以不能密铺；因为边长相等的六边形的内角和是720°，虽然能整除360°，但不一定能密铺；因为任意七边形的内角和是900°，不能整除360°，所以不能密铺．因此能进行平面镶嵌的几何图形有三角形和四边形2种．考点：平面镶嵌.41．∠【分析】分别求出正三角形，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．【详解】解：∠正三角形的每个内角是60°，放在同一顶点处6个即能密铺；∠正方形的每个内角是90°，4个能密铺；∠正六边形每个内角是120°，能整除360°，故能密铺；∠正八边形每个内角是135°，不能整除360°，不能密铺．故答案为：∠【点睛】本题考查一种多边形的镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°.镶嵌定义是解答此题的重要依据.42．∠∠∠【分析】根据正多边形的内角特点即可依次判断．【详解】解：∠正三角形的每个内角是60，能整除360，能镶嵌平面；∠正方形的每个内角是90，4个能镶嵌平面；-÷=，不能整除360，不能镶嵌平面；∠正五边形每个内角是：1803605108。

一、三角形1.认识三角形:(1)生活中的三角形:生活中的三角形无处不在,如大桥的桥柱、斜拉索与桥面可以组成三角形。

生活中一些物体的包装盒的面,一些积木的面等都是三角形。

(2)画三角形:(步骤)①先画一条线段。

②再以第一条线段的一个端点为端点画第二条线段。

③最后连接另两个端点,围成封闭图形。

(3)三角形的特点:①三角形有3条边、3个角和3个顶点。

②三角形的3条边都是线段。

③三角形的三条线段要首尾相接地围起来。

(4)三角形的定义:三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。

(5)三角形各部分的名称:①围成三角形的三条线段就是三角形的边,每两条边所组成的角就是三角形的角,每个角的顶点就是三角形的顶点。

②三角形有3个顶点、3条边和3个角。

要点提示:三角形具有稳定性。

三角形是由三条线段首尾相接围成的图形。

易错点:过同一条直线上的3个点不能画出三角形;围成三角形的3个顶点不能在同一条直线上。

要点提示:如果有三条线段,而没有说是首尾相接围成的图形,就不是三角形。

(6)认识三角形的底和高:①从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高,这条对边是三角形的底。

(7)三角形高的画法:通常用三角尺画三角形的高。

①把三角尺的一条直角边与指定的底边重合。

②沿底边平移三角尺,直到另一条直角边与该底边相对的顶点重合。

③再从该顶点沿三角尺的另一条直角边向底边画一条虚线段,这条虚线段就是三角形的高。

④最后标上直角符号。

(8)解决问题:①运用类推法解决数三角形的问题:从三角形的一个顶点向对边引若干条线段,将三角形分成了若干个小三角形,所分成的三角形的个数与对边上的线段的条数相等。

如果对边被分成n段,则三角形有【n+(n-1)+(n-2)+…+1】个。

②运用分析法解决求用时最短的路线问题:要想使每次走的路线最短,就应从每个顶点向与对面路垂直的方向走,即点到对边的垂直线段最短。

2.三角形的三边关系:(1)在拼成的三角形中,任意两根小棒的长度一定大于第三根小棒的长度。

《三角形》复习教案一、复习内容教材P59—P70的学习内容。

二、复习目标1.在老师的引导下，经历知识整理的过程,建立知识结构，进一步理解本单元的知识及相互联系。

2.通过复习，加深对三角形特性、三角形分类以及多边形内角和的理解，进一步体会分类思想和转化思想，感受数学与生活的联系。

三、复习重、难点重点：三角形的特性、三角形的分类以及多边形的内角和难点：画出三角形的高、三角形的三边关系四、复习设计（一）课前设计复习任务：阅读教材，研读例题同学们，本单元一共设置了7道例题，请你认真研读，看一看每个例题的内容以及例题之间的联系，完成下面的梳理表格。

三角形的特征三角形的分类三角形的内角和例1：例5：例6：例2：例3：例7：例4：（二）课堂设计1.回顾学习内容，明确复习任务课前同学们已经对本单元知识进行了梳理，谁来说一说本单元我们主要学习了哪些内容？随着学生的交流板书知识点：三角形的特征三角形的分类三角形的内角和2.分类进行复习，巩固基础知识（1）复习三角形的特征关于这部分知识，你都了解了些什么？你想给大家提醒些什么呢？典型题目1：画出每个三角形中底边上的高。

学生独立画出高，集体评讲，重点评讲两点：第一：直角三角形的两条直角边互为底和高；第二：检查画出的高和底是不是相对应的。

（2）复习三角形的分类三角形怎样分类？分类时要注意什么？先确定分类标准，然后按照标准把所有三角形进行分类，注意不能重复，不能遗漏。

为了直观地呈现这些三角形之间的关系，我们可以用集合圈表示。

直角三角形（3）复习三角形的内角和三角形的内角和是多少度？我们是怎么得出这个结论的？（回忆研究的过程）知道了三角形的内角和，我们在研究多边形的内角和时，是怎样研究的？强调：用转化的思想把多边形转化成若干个三角形，借助已有的结论得出新的结论。

这是非常重要的学习方法。

典型题目：求出多边形未知角的度数。

学生独立解决，同桌交流思路。

3．呈现思维导图，再次回顾内容4.完成评价试题，检测复习效果（1）选择题①一个三角形的两条边分别是3厘米和5厘米，这个三角形一定不是（）三角形。

人教版2021年八年级上册第11章《三角形》单元复习试题一．选择题1．下列图形中，具有稳定性的是（）A．B．C．D．2．三角形的角平分线、中线、高都是（）A．直线B．线段C．射线D．以上都不对3．在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（）A．①B．②C．③D．④4．四组木条（每组3根）的长度分别如图，其中能组成三角形的一组是（）A．B．C．D．5．如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，C为AO上一点，且不与A，O重合，则x可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°6．将一个四边形用刀截去一个角后，它不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形7．如图，图中直角三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B＝230°，则∠1+∠2+∠3＝（）A．140°B．180°C．230°D．320°9．如图，已知△ABC中，AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是（）A．AD⊥BC B．BF＝CF C．BE＝EC D．∠BAE＝∠CAE 10．如图，已知四边形ABCD中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90°B．135°C．270°D．315°11．如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是（）A．2∠DAE＝∠B﹣∠C B．2∠DAE＝∠B+∠CC．∠DAE＝∠B﹣∠C D．3∠DAE＝∠B+∠C12．已知三角形的三边长分别为a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|得（）A．4a﹣2c B．2a﹣2b﹣c C．4b+2c D．2a﹣2b+c二．填空题13．木工师傅做完房门后，为防止门变形，会沿着门的对角线方向钉上一根斜拉的木条，这做的根据是．14．在△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝100°，则△ABC的形状是．15．如果一个正多边形的一个内角是162°，则这个正多边形是正边形．16．如图，∠ADB是△和△的外角；以AC为一边长的三角形有个．17．如图，线段AD和BC相交于点O，若∠A＝70°，∠C＝85°，则∠B﹣∠D＝．18．如图，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．19．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝15°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．三．解答题20．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝69°，求∠DAC的度数．21．如图，在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC 的周长为15，求BC的长．22．如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝∠BAC，BE平分∠ABC，过点E作EF ∥AD，交BC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠C；（2）若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数．23．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．24．阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．（Ⅰ）问题引入：如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝70°，则∠BOC ＝度；若∠A＝α，则∠BOC＝（用含α的代数式表示）；（Ⅱ）类比探究：如图②，在△ABC中，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α．试探究：∠BOC与∠A的数量关系（用含α的代数式表示），并说明理由．（Ⅲ）知识拓展：如图③，BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，求∠BOC的度数（用含α、n的代数式表示）．参考答案一．选择题1．解：A、具有稳定性，故此选项符合题意；B、不具有稳定性，故此选项不符合题意；C、不具有稳定性，故此选项不符合题意；D、不具有稳定性，故此选项不符合题意；故选：A．2．解：三角形的角平分线、中线、高都是线段．故选：B．3．解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，纵观各图形，①、②、③都不符合高线的定义，④符合高线的定义．故选：D．4．解：A、2+2＜5，不能构成三角形；B、2+2＝4，不能构成三角形；C、2+3＝5，不能组成三角形；D、3+2＞4，能够组成三角形．故选：D．5．解：∵∠BCA＝∠O+∠OBC，∠O＝90°，∴90°＜6x＜180°，∴15°＜x＜30°，故选：B．6．解：一个四边形沿对角线截一刀后得到的多边形是三角形，一个四边形沿平行于边的直线截一刀后得到的多边形是四边形，一个四边形沿除上述两种情况的位置截一刀后得到的多边形是五边形，故选：A．7．解：如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，故选：C．8．解：∵五边形ABCDE，∠A+∠B＝230°，∴∠AED+∠EDC+∠BCD＝540°﹣230°＝310°，又∵∠AED+∠EDC+∠BCD+∠1+∠2+∠3＝540°，∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣310°＝230°．故选：C．9．解：∵AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，∴AD⊥BC，∠BAE＝∠CAE，BF＝CF，而BE＝CE不一定成立，故选：C．10．解：∵三角形的内角和等于180°，∴可得∠1和∠2的邻补角等于90°，∴∠1+∠2＝2×180°﹣90°＝270°．故选：C．11．解：∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C），∵AE是高，∴∠CAE＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝（90°﹣∠C）﹣（180°﹣∠B﹣∠C）＝（∠B﹣∠C），故选：A．12．解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a+b+c ＞0∴|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|＝a+b﹣c+2a﹣2b﹣2c+a+b+c＝4a﹣2c．故选：A．二．填空题13．解：木工师傅做完房门后，为防止门变形，会沿着门的对角线方向钉上一根斜拉的木条，这做的根据是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．14．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝40°，∠B＝100°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣100°＝40°，∵∠A＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；又∠B＝100°∴△ABC是钝角三角形．故△ABC的形状是等腰三角形或钝角三角形．15．解：∵正多边形的一个内角是162°，∴它的外角是：180°﹣162°＝18°，边数n＝360°÷18°＝20．故答案为：二十．16．解：根据图形可得：∠ADB是△ADC和△DFC的外角；以AC为一边长的三角形有：△ACF，△ADC，△ACB，△ACE，共4个；故答案为：ADC，DFC，4．17．解：∵∠C+∠D+∠COD＝180°，∠A+∠B+∠AOB＝180°，∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠COD，∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB．∵∠AOB＝∠COD，∴∠B﹣∠D＝（180°﹣∠A﹣∠AOB）﹣（180°﹣∠C﹣∠COD）＝∠C﹣∠A＝85°﹣70°＝15°．故答案为：15°．18．解：∵∠1＝∠A+∠F，∠2＝∠D+∠E，∠3＝∠B+∠C，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠3，∠1、∠2、∠3是△MNP的三个不同外角，∵∠1+∠2+∠3＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360．19．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，∠ABP＝15°，∴∠CBP＝∠ABP＝15°，∵CP是∠ACB的外角的平分线，∠ACP＝50°，∴∠PCM＝∠ACP＝50°，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣15°＝35°，故答案为：35．三．解答题20．解：设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝∠4＝2x°，∵∠2+∠4+∠BAC＝180°，∴x+2x+69＝180，解得x＝37，即∠1＝37°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝69°﹣37°＝32°．21．解：∵CF、BE分别是AB、AC边上的中线，AE＝2，AF＝3，∴AB＝2AF＝2×3＝6，AC＝2AE＝2×2＝4，∵△ABC的周长为15，∴BC＝15﹣6﹣4＝5．22．（1）证明：∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，∠ABC+∠BDA+∠BAD＝180°，∠BDA＝∠BAC，∴∠BAD＝∠C．（2）解：∵∠C＝20°，∠BAC＝110°，∴∠ABC＝180°﹣20°﹣110°＝50°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBF＝∠ABC＝25°，∵∠BDA＝∠BAC＝110°，∴∠BHD＝180°﹣∠HBD﹣∠BDA＝180°﹣25°﹣110°＝45°，∵AD∥EF，∴∠BEF＝∠BHD＝45°．23．（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．24．解：（Ⅰ）∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°，∴∠BOC＝125°；∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣α，∴∠BOC＝90°+α；（Ⅱ）∠BOC＝120°+α．理由如下：∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝120°+α．（3）∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（180°+∠A）＝•180°﹣．故答案为：125°；90°+α．。