三角形概念

第16讲 三角形的概念知识方法扫描由三条不在同一直线上的首尾相连的三条线段组成的图形叫做三角形。

1．三角形三边之间的关系三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

2．三角形三角之间的关系三角形的内角和为180º；三角形的一个外角等于它的两个不相邻的内角之和；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角。

3．三角形中的主要线段三角形中的主要线段有中线，角平分线和高。

经典例题解析例1 （1996年 湖北省荆沙市初二数学竞赛试题）等腰三角形腰上的中线把的周长分为12厘米和21厘米两部分，那么底边的长 为 厘米。

解 设△ABC 中AB=AC ，BM 是AC 边上的中线。

设BC=x ，AM=MC=y ，则AB=2y 。

依题意有如下两种情况：（1）1221AM AB BC CM +=⎧⎨+=⎩，即21221y y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得 194x y =⎧⎨=⎩，这时有AB=AC=6，BC=19，因AB+AC=12<19=BC, 此时AB ，AC ，BC 三边不能构成三角形，故舍去这组解。

（2） 2112AM AB BC CM +=⎧⎨+=⎩，即22112y y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得 57x y =⎧⎨=⎩，这时有AB=AC=14，BC=5，此时AB ，AC ，BC 三边能够构成三 角形。

所以那么底边的长为5厘米。

例2（2003年河南省初二数学竞赛试题）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？解 设三角形三边长为a ，b ，c 且a<b<c, 则有30a b c a b c b a++=⎧⎨+>>-⎩, 故 2c<a+b+c=30, c<15；又3c>a+b+c=30, c>10即 10<c<15.当c=14时，有5解：b=13,c=3; b=12,c=4; b=11,c=5; b=10,c=6, b=9,c=7.当c=13时，有4解：b=12,c=5; b=11,c=6; b=10,c=7; b=9,c=8.当c=12时，有2解：b=11, c=7; b=10, c=8.当c=11时，有1解：b=10, c=9.故周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个例3 （1983年云南省初二数学竞赛试题）如图，在△ABC 中取一点P ，使CP=CB ，求证：AB ＞AP 。

三角形的基本概念与性质三角形是几何学中最基本的图形之一，具有广泛的应用和重要的性质。

在本文中，我们将探讨三角形的基本概念和一些常见的性质，以加深我们对三角形的理解。

一、基本概念三角形是由三条边和三个角组成的图形。

根据边的长度，我们可以将三角形分为三类：等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

1.等边三角形：假设三条边的长度都相等，那么这个三角形就是等边三角形。

等边三角形的三个角都是60度。

2.等腰三角形：假设三角形的两条边的长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

等腰三角形的两个角也是相等的。

3.一般三角形：如果三角形的三条边的长度都不相等，那么这个三角形就是一般三角形。

除了边的长度外，三角形还可以根据角的大小来进行分类。

根据角的大小，我们可以将三角形分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

1.锐角三角形：三个角都是锐角的三角形称为锐角三角形。

2.直角三角形：拥有一个90度角的三角形称为直角三角形。

直角三角形的两边相互垂直。

3.钝角三角形：拥有一个大于90度角的三角形称为钝角三角形。

二、性质除了基本的分类外，三角形还具有一些重要的性质。

1.三角形的内角和性质：三角形的三个内角的和总是等于180度。

这个性质被称为三角形的内角和定理。

2.直角三角形的性质：直角三角形是三角形中最特殊的一种。

如果一个三角形有一个90度角，那么它的另外两个角的和总是等于90度。

此外，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这个性质被称为毕达哥拉斯定理。

3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两边相等，并且其底边的中线也是高和中线。

此外，等腰三角形的顶角的平分线也是高和中线。

4.等边三角形的性质：等边三角形的三边都相等，三个角也都是60度。

此外，等边三角形的高、中线、中位线、角平分线和垂直平分线都是同一条线。

5.海伦公式：对于一般的三角形，我们可以使用海伦公式来计算其面积。

海伦公式如下：设三角形的三边长度分别为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积S可以计算如下：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))。

第一讲三角形及相关概念一知识链接1．三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形是最简单的多边形，也是最简单的封闭图形。

有两边相等的三角形叫等腰三角形。

三角形的简单分类：（1）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形（2）按边分类：不等边三角形、等腰三角形（只有两边相等的三角形、等边三角形）2．三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边．三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；3．判断三条已知线段a、b、c是否能组成三角形，其判断方法：如果a是最大边，且有b＋c＞a,则此三边能组成三角形．4.三角形中的重要线段：（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高).（2）三角形的中线：连接三角形的顶点和它所对边的中点,所得线段叫做三角形的中线.三角形的中线平分相应的边且平分三角形的面积。

（3）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.5.三角形的角：相邻两边组成的角．叫三角形的内角，简称三角形的角．三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°6.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．（1）三角形的外角和等于360°（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．7.三角形的稳定性：三角形的形状不会改变,而四边形的形状会改变,这就是说,三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性.二典例解析例1.（1）锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，则∠B的范围是（）A. 1020︒<<︒∠B D.∠B C. 3045︒<<︒︒<<︒∠B B. 2030∠B4560︒<<︒（2）下列命题正确的是( )A、长为5、12、17的三条线段可以构成三角形.B、已知等腰三角形的一边等于5cm,另一边等于6cm,则此三角形的周长为16cm.C、以2、3、x为三角形三边,则x的取值范围为1＜x＜5.D 、已知线段a 、b 、c 且b －c ＜a ＜b ＋c(b ＞c),则以a 、b 、c 为边可以组成三角形.（3）若三角形三个外角的比是２：３：４，则它的三个内角之比是________（4）如图，已知∠B ＝60°, ∠C ＝20°, ∠1＝3∠A .∠A= 度．（5）如图，在ABC ∆中，已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且S ABC ∆＝4cm 2,则S 阴影的值为例2、已知Ｐ为ABC ∆内任意一点，求证：PB ＋PC ＜AB ＋AC ．例3、已知：如图，AD 是∆ABC 的BC 边上高，AE 平分∠BAC 。

第四章三角形一、认识三角形●三角形的有关概念1、三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。

2、三角形的边：组成三角形的线段叫作三角形的边，可以用两个大写英文字母表示，也可以用一个小写英文字母表示。

3、三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点。

4、三角形的角：相邻两边组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角。

5、角与边的对应关系：大边对大角。

6、三角形的表示：用符号“△”表示，以A,B,C为顶点的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

●三角形的分类1、按内角的大小分类锐角三角形（三个角都是锐角）直角三角形（最大内角为直角），互相垂直的两条边叫作直角边，最长的边叫作斜边，直角三角形ABC可以用符号“Rt△ABC”表示钝角三角形（最大内角为钝角）注：在一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个直角，最多有一个钝角。

2、按边的相等关系分类等腰三角形：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两条边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。

等边三角形：三条边都相等的三角形叫作等边三角形，即腰和底边相等的等腰三角形叫作等边三角形，也叫正三角形。

不等边三角形：三边都不相等的三角形。

注：●三角形的三边关系1、三角形的两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。

（证明可以依据两点之间线段最短，大角对大边，不等式性质）2、三边关系的运用（1）判断以已知的三条线段为边能否构成三角形（2）确定三角形的第三边长（或周长）的取值范围（3）解决线段的不等关系问题（如证明几何不等式）●三角形的高1、三角形的高的概念：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足所连线段叫做三角形的高。

2、三角形高的几何语言表达形式AD是△ABC的边BC上的高，或AD是△ABC的高，或AD垂直BC与点D，或∠BDA=∠CDA=90°3、三角形三条高的位置锐角三角形三条高都在三角形的内部。

三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形的边:组成三角形的线段顶点:相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．三角形的主要线段：角平分线、中线、高．三角形具有的特性:稳定性．三角形的高:从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段．三角形的角平分线:三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形的中线:三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．线段:三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．三角形的面积：（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1/2×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．三角形三边关系1.三角形两边之和大于第三边．2。

在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3。

三角形的两边差小于第三边．4.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．三角形全等的符号:“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．对应顶点、对应边、对应角:把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．全等三角形的性质和注意：1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等关于全等三角形的性质应注意以下两点：①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．全等三角形的5种判定方法:（1）判定定理1：SSS-三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS-两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA-两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS-\\两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL-斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．全等三形的判定是结合全等三角形的证明线段相的重要工具．在判定三角形全等，关键是选择恰当的判定条．在应用全等三角形的判定时要注意三的共边和公角，必要时添适当辅助构造三角．。

三角形的相关概念及习题知识点1：【知识精读】1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）3. 三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）三角形的内角之和等于180°（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；（5）三角形具有稳定性。

知识点2：（1）1平角= °；三角形的内角和等于°；n边形内角和（n－2）×180°三角形的一个外角等于两个内角的；三角形的一个外角大于任何一个内角。

（2）特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线n(n3)2-条。

例如：十边形有________条对角线。

在这里n=10，就可套用对角线条数公式n(n3)10(103)3522-⨯-==（条）。

题型一：与三角形有关的线段CB A第1题图2140°80°第8题图CBA ED 1若三条线段中a ＝3，b ＝5，c 为奇数，那么由a ，b ，c 为边组成的三角形共有（ ）A. 1个B. 3个C. 无数多个D. 无法确定2能把一个三角形分成两个面积相等的三角形是三角形的（ ）A. 中线B. 高线C. 角平分线D. 以上都不对3三角形的三边分别为3，1+2a ，8，则a 的取值范围是（ ） A 、﹣6＜a ＜﹣3 B 、﹣5＜a ＜﹣2 C 、2＜a ＜5 D 、a ＜﹣5或a ＞﹣24若a ，b ，c 分别为三角形的三边，化简 ： 错误!未找到引用源。

.题型二：与三角形有关的角1锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B2已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定3． 如图1，△ABC 中，∠C ＝75°，若沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2＝（ ） A. 360° B. 180° C. 255° D. 145°第三题第四题22题1()OD C BA O 22题2()ED C B A22题3()C ED B A 22题4()65432122题5()765432125题图E D C B A第26题图EDCBA4 如图8，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝40°.D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，则∠AED 的度数是（ ）A.40°B.60°C.80°D.120°5（本小题8分）如图22（1）所示，称“对顶三角形”，其中，∠A ＋∠B ＝∠C ＋∠D ， 利用这个结论，完成下列填空.① 如图22题(2)，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ .② 如图22题（3），∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E＝ .③ 如图22题（4），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ . ④ 如图22题（5），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ .6（本小题6分）如图所示，∠ACD 是△ABC 的外角，∠A ＝40°,BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且BE 、CE 交于点E.求∠E 的度数.题型三：多边形及其内角和1如果多边形的内角和是外角和的k 倍，那么这个多边形的边数是（ ）．A ．kB ．2k+1C ．2k+2D ．2k-2 2（n+1）边形的内角和比n 边形的内角和大（ ）。

第一讲三角形的基本概念三角形是几何学中最基本也是最重要的图形之一。

它由三条线段组成，每个线段连接两个不同的顶点。

在这篇文章中，我们将学习三角形的基本概念，包括三角形的定义、分类、性质以及一些相关定理。

一、三角形的定义三角形是由三个非共线点和它们之间的线段所组成的图形。

这些线段被称为三角形的边，而由这些边所围成的区域被称为三角形的内部。

在三角形中，我们通常用大写字母A、B、C来表示三个顶点，而用小写字母a、b、c来表示对应的边长。

例如，我们可以将三角形ABC表示为∆ABC，而边长可以表示为a=BC，b=AC，c=AB。

二、三角形的分类根据三角形的边长和角度，我们可以将三角形分为不同的类型。

以下是一些常见的三角形分类：1. 根据边长分类：- 等边三角形：三条边长相等的三角形，记作∆ABC，其中a = b = c。

- 等腰三角形：两条边长相等的三角形，记作∆ABC，其中a = b或 b = c 或 c = a。

- 普通三角形：三条边长都不相等的三角形，记作∆ABC，其中a≠ b ≠ c。

2. 根据角度分类：- 直角三角形：其中一个角为直角（90度），记作∆ABC，其中∠A = 90度，或∠B = 90度，或∠C = 90度。

- 钝角三角形：其中一个角大于90度的三角形，记作∆ABC，其中∠A > 90度，或∠B > 90度，或∠C > 90度。

- 锐角三角形：三个角都小于90度的三角形，记作∆ABC，其中∠A < 90度，且∠B < 90度，且∠C < 90度。

三、三角形的性质1. 角度性质- 三角形的三个内角的和为180度：∠A + ∠B + ∠C = 180度。

- 直角三角形的两个锐角的和为90度。

- 锐角三角形的三个内角都是锐角。

- 钝角三角形至少有一个角是钝角。

2. 边长性质- 任意两边之和大于第三边：a + b > c，b + c > a，c + a > b。

三角形的基本概念和分类三角形是几何学中的一种基本形状，由三条线段组成，每两条线段相交于一个顶点。

本文将介绍三角形的基本概念和分类。

一、三角形的基本概念三角形由三个顶点和三条边组成。

顶点之间的连线称为边，而边相交的点称为顶点。

三角形的三个内角通过顶点相对应，求和为180度。

1. 三角形的边三角形的边可以用来判断其类型。

边的长度可以确定三角形的大小，而边的关系则有助于确定其形状。

2. 三角形的角三角形的角也是判断其类型的重要依据。

根据三角形的角的大小，可以将其分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。

二、三角形的分类根据边的长度和角的大小，三角形可以被分类为以下几种类型：1. 等边三角形等边三角形的三条边长度相等，且三个角均为60度。

等边三角形是一种特殊的等腰三角形，其三个角都是锐角。

2. 等腰三角形等腰三角形的两条边长度相等，且两个顶角也相等。

等腰三角形可以是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。

3. 直角三角形直角三角形是其中一边为90度的三角形。

直角三角形的另外两个角可以是锐角或钝角。

著名的勾股定理就是基于直角三角形的性质。

4. 钝角三角形钝角三角形至少有一个角大于90度。

钝角三角形的三个内角之和大于180度。

5. 锐角三角形锐角三角形的三个角均小于90度。

锐角三角形的内角之和等于180度。

三、结论三角形作为几何学中的基本形状，具有丰富的分类和性质。

其中等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形和锐角三角形都是常见的类型。

了解三角形的基本概念和分类对于几何学的学习和实际应用具有重要意义。

通过本文的介绍，我们可以深入了解三角形的基本概念和分类，并学习到如何根据边的长度和角的大小来判断三角形的类型。

掌握了这些知识，我们可以更好地理解和应用三角形在几何学中的重要性。

总之，三角形作为几何学中最基本的形状之一，其基本概念和分类对于几何学的学习和理解非常重要。

希望本文的介绍能够帮助读者更好地掌握三角形的知识。

三角形的基本概念和性质三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条线段组成，这三条线段称为三角形的边。

在本文中，我们将探讨三角形的基本概念和性质。

一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的多边形，其中任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度。

二、三角形的分类三角形根据边长和角度可以分为不同的类型，下面介绍几种常见的三角形。

1. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。

在等边三角形中，三个内角也是相等的，每个角都是60度。

2. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角是相等的，而顶角通常不等于底角。

3. 直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

直角三角形的边可以按照长短关系分为斜边、直角边和另外一条边。

4. 钝角三角形钝角三角形是指其中一个角大于90度的三角形。

在钝角三角形中，两个较短的边的平方之和小于最长边的平方。

5. 锐角三角形锐角三角形是指所有角都小于90度的三角形。

在锐角三角形中，三个角都是锐角。

三、三角形的性质三角形有许多有趣的性质，下面我们来介绍一些常见的性质。

1. 内角和三角形的三个内角的和始终为180度。

这意味着，无论是怎样的三角形，三个内角的度数之和都是相等的。

2. 外角和三角形的三个外角的和始终为360度。

外角是指与某一内角形成的补角。

3. 中线中线是连接三角形的两个顶点和中点的线段。

对于任意三角形而言，三条中线会相交于同一个点，该点被称为三角形的重心。

4. 高线高线是从三角形的一个顶点到相对边的垂直距离。

三角形的三条高线可以相交于同一个点，该点被称为三角形的垂心。

5. 角平分线角平分线是从一个角的顶点到对边上某一点的线段。

三角形的三条角平分线可以相交于同一个点，该点被称为三角形的内心。

6. 边平分线边平分线是从一个顶点到对边上某一点的线段。

对于等边三角形而言，三条边平分线可以相交于同一个点，该点被称为三角形的外心。

以上介绍了三角形的基本概念和性质，三角形作为几何学中最基本的形状之一，有许多有趣的特点和定理。

三角形的概念三角形是几何学中的基本概念之一，它是由三条线段组成的图形。

本文将介绍三角形的定义、性质以及一些常见的特殊三角形。

1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，这三条线段称为三角形的边。

边的起点和终点称为边的顶点。

三角形的三个顶点连接起来的线段称为三角形的边。

三角形的内部区域称为三角形的内部。

2. 三角形的分类根据三边的长度和角的大小，三角形可以分为以下三种分类：- 等边三角形：三条边的长度相等，三个角的大小也相等。

- 等腰三角形：至少有两条边的长度相等，至少有两个角的大小相等。

- 普通三角形：三条边的长度都不相等，三个角的大小也不相等。

3. 三角形的性质三角形具有很多独特的性质，下面介绍几个常见的性质：- 三角形的内角和为180度：三角形的三个内角之和等于180度。

- 三角形的外角和为360度：三角形的三个外角之和等于360度。

- 三角形两边之和大于第三边：三角形的任意两边之和大于第三边。

- 等边三角形的内角都是60度：等边三角形的三个内角都是60度。

- 等腰三角形的底角相等：等腰三角形的两个底角（底边上的角）大小相等。

- 等腰三角形的高线对称：等腰三角形的高线对称，即等腰三角形的高线经过底边中点。

4. 特殊三角形除了等边三角形和等腰三角形之外，还有一些特殊的三角形，下面简要介绍一下：- 直角三角形：有一个角是90度的三角形，直角三角形的特点是有一个角是直角（90度）。

- 钝角三角形：三角形中最大的角大于90度的三角形。

- 锐角三角形：三角形中所有的角都小于90度的三角形。

- 等腰直角三角形：既是直角三角形又是等腰三角形的三角形，即有一个角是90度且有两条边的长度相等。

5. 三角形的应用三角形在日常生活中有许多实际应用，下面列举几个例子：- 三角形的形状可以用于设计建筑物、桥梁和通信塔等工程项目。

- 在地理学中，通过三角法可以测算地球上不同地点之间的距离和角度。

- 在导航和航海中，三角形被广泛用于测量和计算位置、速度和方向。

三角形的基本概念和性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个内角构成。

本文将介绍三角形的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和运用三角形的知识。

1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每条线段称为边，而线段所相交的点称为顶点。

2. 三角形的分类根据边长和角度的不同，三角形可分为以下几种类型：a) 等边三角形：三条边的长度都相等。

b) 等腰三角形：至少有两条边的长度相等。

c) 直角三角形：其中一个角度为90度。

d) 钝角三角形：其中一个角度大于90度。

e) 锐角三角形：所有角度均小于90度。

3. 三角形的性质三角形具有许多重要的性质，包括以下几个方面：a) 内角和：三角形的三个内角的和总是等于180度。

b) 外角和：以三角形的一个内角为顶点时，相邻的两个外角与该内角的和总是等于360度。

c) 三边关系：在三角形中，任意两边之和大于第三边。

d) 直角三角形性质：在直角三角形中，两条边的平方和等于斜边的平方，可以用勾股定理来表示。

e) 角平分线：三角形的内角平分线相交于三角形的内心，且内心到三条边的距离相等。

f) 外心和内心：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。

g) 重心：三角形三条中线的交点称为重心，重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的两倍。

4. 一些重要的定理三角形的基本概念和性质还包括了一些重要的定理：a) 角平分线定理：三角形内角平分线两边所夹的角相等。

b) 外角定理：三角形的外角等于其两个不相邻内角的和。

c) 边角关系：三角形的对边和对角之间存在一定的关系，如正弦定理、余弦定理和正切定理等。

总结：三角形是几何学中最基本的图形之一，其概念和性质对于解决各种几何问题至关重要。

通过了解三角形的分类以及它们的基本性质和定理，读者可以更好地应用这些知识，解决各种与三角形相关的问题。

掌握三角形的基本概念和性质不仅对学习数学有益，同时也有助于理解和应用几何学在实际生活中的应用。

21D CB AD CBA三角形有关概念及性质⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接； （2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． ⒉ 三角形的分类：(1)按边分类： (2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线．三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 三角形直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 _C _B _AD CB A（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外； ③三角形三条高所在直线交于一点．⒋ 三角形的主要线段的表示法： 三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：① AD 是∆ABC 的角平分线； ② AD 平分∠BAC ，交BC 于D ；③ 如果AD 是∆ABC 的角平分线，那么∠BAD=∠DAC=21∠BAC.(2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示： ①AE 是∆ABC 的中线；②AE 是∆ABC 中BC 边上的中线；③如果AE 是∆ABC 的中线，那么BE=EC=21BC. (3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示： ① AM 是∆ABC 的高；② AM 是∆ABC 中BC 边上的高；③ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上高，那么AM ⊥BC ，垂足是E ； ④ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上的高，那么∠AMB=∠AMC=90︒.⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.图3图4ABCD E 图1图2如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形直角顶上.图5图6图7⒍三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．⒎三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。

三角形基本概念与性质三角形是几何学中的基本图形之一，它是由三条线段组成的闭合图形。

在本文中，将介绍三角形的基本概念与性质。

无论是在数学课堂上还是日常生活中，对于三角形的认识都是非常重要的。

一、三角形的基本概念三角形是由三条线段所构成的，它有以下几个基本概念：1. 三边：三角形的基本构成元素是三条线段，我们把它们称为三角形的三边。

分别记作AB、BC和AC。

2. 三角形的顶点：三角形的三个顶点分别是三条边的交点，我们分别用大写字母A、B和C来表示。

3. 三角形的内角：三角形内部的角被称为内角。

根据三角形的性质，三角形的内角之和恒等于180度。

即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

二、三角形的性质除了基本概念之外，三角形还具有一些特殊的性质，下面将逐一介绍。

1. 三角形的内角和：根据之前提到的三角形内角和的性质，我们可以得出三角形的内角和恒等于180度（也可以说是π弧度）。

这个性质在解决三角形相关问题时非常重要，可以作为问题的起点或依据。

2. 三角形的外角和：与内角和相对应的概念是三角形的外角和。

三角形的外角和等于360度（也可以说是2π弧度）。

这个性质可以通过一些简单的证明得到，对于某些特殊问题的解决也非常有用。

3. 三角形的边长关系：三角形的边长也有一些特殊的关系。

例如，对于任意一个三角形ABC，有以下的性质：AC < AB + BCAB < AC + BCBC < AC + AB这些不等式关系对于判断三条线段是否能够构成一个三角形非常重要。

4. 三角形的分类：根据三角形的边长和角度的大小关系，我们可以将三角形分为以下几种类型：- 等边三角形：三条边的长度完全相等，每个内角为60度。

- 等腰三角形：两条边的长度相等，两个内角也相等。

- 直角三角形：一个内角为直角（90度）。

- 钝角三角形：一个内角大于直角（大于90度）。

- 锐角三角形：三个内角都小于直角（小于90度）。

三角形的有关概念一、三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

1、三角形的基本元素（1）三角形的边：即组成三角形的线段。

（2）三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

（3）三角形的顶点：即相邻两边的公共端点。

2、三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”。

二、三角形的三边关系：1、三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边的之差小于第三边。

2、三边平方关系：两边平方和>第三边平方，则这两边的夹角< 90°两边平方和 = 第三边平方，则这两边的夹角 = 90°两边平方和<第三边平方，则这两边的夹角 > 90°三角形的分类：1、按角分类：直角三角形、斜三角形（锐角三角形、钝角三角形）2、按边分类：不等边三角形、等腰三角形和等边三角形。

四、三角形的三条重要线段：1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。

（三条高线的交点叫垂心）2、三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。

（三条中线的交点叫重心）3、三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。

（三条角平分线的交点叫做内心）五、三角形的主要性质：1、三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；2、三角形的内角之和等于180°，三角形的外角之和等于360°3、三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；4、三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；5、三角形具有稳定性。

三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.。

小学数学中的三角形概念和性质三角形是小学数学中的一个重要概念，在数学学科中占据着重要的地位。

学习三角形的概念和性质有助于培养学生的观察能力、逻辑思维能力和问题解决能力。

下面将对小学数学中的三角形概念和性质进行详细介绍。

一、三角形的定义和基本概念三角形是由三条线段组成的闭合图形，其特点是三条线段两两相连，形成了一个三角形的封闭区域。

通常用大写字母ABC表示三角形的三个顶点，用小写字母a、b、c表示三个边的长度。

在三角形中，任意两边的和大于第三边。

即对于三角形ABC，有AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。

这是三角形存在的一个必要条件，也是判断一个图形是否为三角形的基本条件。

二、三角形的分类根据三角形的边长和角度的关系，三角形可以分为以下几种类型：等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。

1.等边三角形：三条边的长度相等。

等边三角形的三个内角也相等，都是60度。

2.等腰三角形：两条边的长度相等。

等腰三角形的两个底角也相等。

3.直角三角形：有一个角是90度的三角形。

直角三角形的两条边又称为直角边，而与直角不相邻的那条边称为斜边。

4.钝角三角形：三个内角中最大的角大于90度。

钝角三角形的两条边之和小于第三边。

5.锐角三角形：三个内角都小于90度。

锐角三角形的三个内角之和等于180度。

三、三角形的性质1.三角形内角和等于180度：对于任意一个三角形ABC，有∠A + ∠B + ∠C = 180度。

这意味着三角形的三个内角之和总是等于一个固定值。

2.三角形的两边之和大于第三边：对于任意一个三角形ABC，有AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。

这个性质也是判断一个图形是否为三角形的基本条件。

3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，而顶角则小于底角。

另外，等腰三角形的高线（从顶点到底边中点的垂线）是对称轴。

三角形的全部概念
三角形是几何学中的基本概念之一，它由三条线段组成，这些线段相互连接而形成三个角。

本文将介绍三角形的全部概念，以帮助读者更好地理解和掌握这个几何形状。

首先，三角形的定义非常简单明了：它是由三条线段组成的闭合图形。

这三条线段称为三角形的边，而它们的连接点称为顶点。

三角形的边可以是不等长的，也可以是等长的，这将决定三角形的类型。

根据边长的不同，我们可以将三角形分为三种类型：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

等边三角形是边长都相等的三角形，它的三个角也都相等；等腰三角形则是只有两条边相等的三角形，而普通三角形则是三条边都不相等的三角形。

除了根据边长分，我们还可以根据角度来分类三角形。

根据角度的不同，三角形可以分为三种类型：锐角三角形、直角三角形和钝角
三角形。

锐角三角形的三个角都小于90度；直角三角形有一个角等于90度；而钝角三角形则有一个角大于90度。

此外，三角形还可以根据角度和边长的关系进行分类。

根据角度和边长的组合，我们可以得到如下分类：等腰直角三角形、等腰钝角三角形、等腰锐角三角形等。

这些分类让我们可以更好地理解和描述三角形的特征。

除了以上基本概念外，三角形还有一些重要的性质和定理，如勾股定理、正弦定理和余弦定理等。

这些定理和性质在解决三角形相关问题时非常有用，可以帮助我们求解三角形的边长、角度等。

总之，三角形是几何学中的基本概念之一，它由三条线段组成，并且具有多种分类方式。

了解和掌握三角形的概念和性质对于学习几何学和解决相关问题非常重要。

希望本文能够帮助读者更好地理解三角形的全部概念。

三角形有关概念定义
三角形是由三条线段组成的图形，在数学中是一种基本的几何图形。

对于三角形，有以下几个概念和定义：
1. 边：三角形的组成部分，是三条线段。

2. 顶点：三角形的三个角所在的点。

3. 内角：三角形内部的角，其度数之和为180度。

4. 外角：三角形外部的角，其度数等于其相邻内角的度数之和。

5. 直角三角形：其中一个内角为90度的三角形。

6. 等边三角形：三条边的长度相等的三角形。

7. 等腰三角形：两条边的长度相等的三角形。

8. 锐角三角形：三个内角都小于90度的三角形。

9. 钝角三角形：其中一个内角大于90度的三角形。

10. 直角：一个内角等于90度的角。

11. 锐角：一个内角小于90度的角。

12. 钝角：一个内角大于90度的角。

以上是三角形的一些基本概念和定义，它们是研究三角形性质和解决三角形相关问题的基础。

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第一讲 三角形基本概念知识点一： 三角形1、定义：由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形。

2、分类：（1）按角分：锐角三角形；直角三角形；钝角三角形；（2）按边分：不等边三角形；等腰三角形；等边三角形；3、角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

4、中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。

5、高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。

注意：三角形的角平分线、中线和高都有三条。

6、三角形的三边关系：三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

7、三角形的内角：三角形的内角和等于180。

如图：180321=∠+∠+∠ 8、三角形的外角（1）三角形的一个外角与相邻的内角互补。

18041=∠+∠（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

324∠+∠=∠ （3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

4∠＞2∠或4∠＞3∠ 6、三角形的周长、面积求法和三角形稳定性。

（1）如图1：C △A BC =AB ＋BC ＋AC 或C △A BC = a ＋b ＋c 。

四个量中已知其中三个能求第四个。

（2）如图2：AD 为高，S △ABC =·BC ·AD三个量中已知其中两个能求第三个。

（3）如图3：△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，则有：S △ABC =·AB ·CD=·AC ·BC 即：AB ·CD=AC ·BC四条线段中已知其中三条能求第四条。

知识点二：多边形及其内角和1、n 边形的内角和=()2180-⨯n；2、n 边形的外角和=360。

3、一个n 边形的对角线有()23-n n 条，过n 边形一个顶点能作出()3-n 条对角线，把n 边形分成了()2-n 个三角形。