三角形的概念和性质

三角形的性质关键信息项1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。

2、三角形的内角和：三角形的内角和为 180 度。

3、三角形的边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

4、三角形的分类（按角分）：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

5、三角形的分类（按边分）：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。

11 三角形的定义及相关概念三角形是由三条线段围成的图形，这三条线段叫做三角形的边。

相邻两条边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C 的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

111 三角形的稳定性三角形具有稳定性，这是三角形的一个重要特性。

例如，在生活中，自行车的车架、塔吊的塔身、三角形的屋顶支架等都利用了三角形的稳定性。

112 三角形的构成条件三条线段要构成一个三角形，需要满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

如果不满足这个条件，则无法构成三角形。

12 三角形的内角和三角形的内角和是 180 度。

这一性质可以通过多种方法进行证明，例如将三角形的三个角剪下来拼在一起，可以拼成一个平角，从而证明三角形内角和为 180 度。

121 三角形内角和的应用在求解三角形的内角大小、判断三角形的类型等问题中，经常会用到三角形内角和为 180 度这一性质。

13 三角形的外角三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

131 三角形外角的性质三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。

14 三角形的分类（按角分）141 锐角三角形三个内角都小于 90 度的三角形叫做锐角三角形。

142 直角三角形有一个内角等于 90 度的三角形叫做直角三角形。

143 钝角三角形有一个内角大于 90 度小于 180 度的三角形叫做钝角三角形。

1 三角形的基本概念和性质一、每个三角形都有三条边和三个角，它们是互相联系、互相制约的，这体现在以下方面： （l ）边与边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． （2）角与角之间的关系：三个内角的和等于180．，即在△ABC 中有，∠A 十∠B ＋∠C ＝180°，由此即知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做：三角形的中线．三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．中位线平行于第三边且等于第三边的一半．三角形的外角平分线：三角形一个内角的邻补角的平分线与这个角的，对边的延长线相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的外角平分线．三角形的内角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．同一个三角形中，大角的角平分线短于小角的角平分线．三角形中任何一边上的中线都把三角形分成面积相等的两部分．同一个三角形中，大边上的中线短于小边上的中线．三角形的任何一边上的高都垂直于该边，三角形的三条高未必都在三角形的内部．三角形的内角平分线、中线和高又有相同之处：在同一个三角形中，无论是三条中线，还是三条高，或者三条内角平分线，它们分别相交于一点．三角形顶角的平分线与底边上的高所夹的角等于两底角差的一半． 事实上，如图1－1，AT 为∠BAC 的平分线，AH 为BC 边上的高，令∠TAH 为θ，则2()BAH BAT θ=∠-∠ ()(90)(90)CAT CAH BAH CAH B C C B +∠-∠=∠-∠=︒-∠-︒-∠=∠=∠．图1-1在不混淆的情况下，有时，三角形的角平分线、中线和高也指它们所在的直线．例1：点1C 、1A 、1B 分别在△ABC 的边AB 、BC 和CA 上，且满足111111:::1:3AC CB BA AC CB B A ===．求证：△ABC 的周长p 与111A B C 的周长'p 之间有不等式：13'24p p p <<． （第15届全俄奥林匹克题）证明：如图1－2，图1-221注意到三角形两边之差小于第三边，故有1111AC CB A B -<，1111B A AC B C -<，1111C B BA C A -<， 设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，111B C a =，111C A b =，111A B c =，则13144a b c -<，13144b c a -<，13144c a b -<， 三式相加，得1111()2a b c a b c ++<++，即1'2p p <再在△ABC 各边上截取1212A A a =，1212B B b =，1212C C c =，易证明2114A B c =，2114B C a =，2114C A b =．又注意到三角形两边之和大于第三边，有12144a b c +>，121+44b a a >，12144c b b +>，三式相加，得1113()4a b c a b c ++>++，即3'4p p <，故13'24p p p <<． 例2：如图1－3，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数为（ ）A ．450°B ．540°C ．630°D ．720° 524671图1-3（1997年安徽部分地市联赛题）解：选B ．理由：记∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7的顶点分别为A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，设AE 交BG 于M ，AD 交BG 于N ．记∠EMN ＝∠8，∠DNM ＝a ，图1-3则1801808+1a MNA =︒-∠=︒-∠∠，即81180a +∠-∠=︒． 连结BD 、EG ，则234360α∠+∠+∠+=︒．1234567123456713603608720(81)720180540a α∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+︒-+︒-∠=︒-+∠-∠=︒-︒=︒从而（）（）（）（） 例3：在△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线相交于点D ．如果∠A ＝27°，那么∠BDC ＝ ．（2002年“我爱数学”夏令营竞赛题）解：填13．5°．理由：如图1－4，图1-4因为∠A＝27°，∠BCE＝1()2A ABC∠+∠，则111()13.5222BDC BCE CBD A ABC ABC A∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=︒例4：如图1－5，AA'、BB'分别是∠EAB、∠DBC的平分线．若AA'＝BB'＝AB，则∠BAC的度数为．（2003年全国联赛题）B'B'解：填12°，理由：设∠BAC的度数为x．因AB＝BB'，故∠B'BD＝2x，∠CBD4x．又AB＝AA'，则∠AA'B＝∠ABA'＝∠CBD＝4x．因为∠A'AB＝1(180)2x︒-，故1(180)441802x x x︒-++=︒．解得12x=︒．例5：△ABC的边AB和BC上的高线（分别）不短于边长，试求该三角形的各个角度数．（第27届莫斯科奥林匹克题）解：如图1－6，设AD、CE分别是BC和AB上的高线，则AD≤AB，CE≤BC．但由题设，知AD≥BC，CE≥AB，所以AD＝AB＝CE＝CB．从而D、B、E重合．如图1－7．图1-6图1-7B(D E)所以△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形，因此∠B＝90°，∠A＝∠C＝45°．例6：如图1－8，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE＝13AD，CE交AB于点F．若AF ＝1．2cm，则AB＝cm．（2000年山东省竞赛题）图1-8解：填6．理由：过点D 作DG ∥CF 交AB 于G ，图1-8则1BG BDGF DC==，即BG ＝GF ．① 又由GD ∥FE ，有12AF AE GF ED ==②． 由此，即可求得FG ＝2．4cm ，故AB ＝6cm ． 注：此例可以推广，设D 为BC 边上一点，且BD ：DC =λ，E 是AD 上一点，且1AE AD n=，按此例求解方法，式①②分别变为BG GF λ=，(1)FG n AF =-，所以[(1)(1)1]AB n AF λ=-++．例7：在△ABC 中，P 、Q 分别是边AB 和AC 上的点，中线AM 与PQ 交于N ．若AB ：AP ＝5：2，AC ：AQ ＝4：3，则AM ：AN ．（1995年四川省竞赛题）解：填2312．理由：如图1－9，过C 作CD ∥PQ 交AB 于D ，过M 作MK ∥PQ 交AB 于K ，则MK ∥CD ．因BM ＝MC ，则BK ＝KD ．从而1()2AK AD AB =+，于是1()2AK AD ABAP AP AP=+．而AK AM AD AC AB AN AP AQ==，，故115423=)()222312AM AB AC AN AP AQ +=+=(． 习题11．有长度为下列数值的几组线段：（i ）3，4，5；（ii ）32，42，52；（iii ）111345，，；（iv ）222111345，，． 其中能组成三角形的有（ ）．A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组2．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的值等于（ ）A ．360°B ．450°C ．540°D ．720°（2003年“TRULY 信利杯”联赛题）第2题BF3．如图，∠CGE ＝a ，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝（ ） A ．360°－a B ．270°－a C ．180°＋a D ．2a（1999年山东省竞赛题）第3题4．如图，DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，若∠DAE ＝a ，∠DBE ＝β，则∠DCE ＝ （用a 、β表示）． （1998年山东省竞赛题）第4题5．△ABC 中，∠CAB －∠B ＝90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交D 于N ．已知CL ＝3，则CN ＝ ．（第1届“希望杯”邀请赛题）6．在△ABC 中，∠B ＝100°，∠C 的平分线交边AB 于E ，在边AC 上取点D ，使得∠CBD ＝20°，连结DE ．则∠CED 的度数是 ．（1993年北京市竞赛题）7．如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，∠A 的平分线AE 交CD 于H ，交∠BCD 的平分线CF 于G ．求证：HF ∥BC ．（1995年天津市竞赛题）第7题D参考答案1．选B ．理由：因只要看每组线段中较短的两条之和是否大于最长的线段即可．（i ）3＋4>5；（ii ）32＋42＝52；（iii ）111545+>；（iv ）222111453+<，故其中只有(i )、(iii )两组符合“两边之和大于第三边”．2．选C ．理由：连BE 、CF ．设BD 与CE 交于M ，CE 与DF 交于N ．由∠B ＋∠BMN ＋∠E ＋∠G ＝360°，∠FNM ＋∠F ＋∠A ＋∠C ＝360°，而∠BMN ＋∠FNM ＝∠D ＋180°，所以∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝(∠A ＋∠C ＋∠F )＋( ∠B ＋∠E ＋∠G )＋ ∠D ＝360°－∠FNM ＋360°－∠BMN ＋∠D ＝720°－180°＝540°．3．选D ．理由：连AG 、DG ，则∠A ＋∠B ＋∠F ＋∠BGE ＋a ＋∠CGF ＝∠A ＋∠B ＋∠F ＋2(180°－a )＋a ＝360°，∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠CGF ＋a ＋∠BGE ＝∠C ＋∠D ＋∠E ＋2（180°－a ）＋a ＝360°，从而∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝（∠A ＋∠B ＋∠F )＋( ∠C ＋∠D ＋∠E )＝a ＋a ＝2a ．4．填1()2αβ+．理由：连AC 、BC ，由三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和，则∠DCE ＝∠CDA ＋a ＋∠CEA ＝12（∠ADB ＋∠AEB ）＋a ，β=∠BDC ＋∠DCE ＋∠BEC ＝12(∠ADB ＋∠AEB )＋∠DCE ，故∠DCE ＝12（∠ADB ＋∠AEB ）＋a ＝()DCE βα-∠+，即∠DCE ＝1()2αβ+． 5．填3．理由：如图，有∠NLC ＝∠B ＋∠LCB ＝(∠CAB －90°)＋ ∠LCB ＝∠CAB －∠LCN ＋12∠ACB ＝∠CAB －(∠LCN 一∠ACL )一∠CAB －∠CAN ＝∠N ．从而NC ＝LC ＝3．第5题6．填10°．理由：设BC 的反向延长线为BF ，则∠ABF ＝80°，∠ABD ＝80°，从而BA 为∠DBF 的平分线．而E 在BA 上，则E 到BF 与BD 的距离相等．又E 在∠ACB 的平分线上，则E 到CF 与CA 的距离相等，从而可知，E 到∠ADB 的两边距离相等，所以E 在∠ADB 的平分线上，则∠ADE ＝12∠ADB ．故∠CED ＝∠ADE －∠ACE ＝10°．7．由∠DCB ＝90°－∠B ＝∠BAC ，知∠HCG ＝12∠DCB ＝12∠BAC ＝∠HAD ．而∠CHG ＝∠AHD ，从而∠CGH ＝180°－(∠HCG ＋∠CHG )＝180°－(∠HAD ＋∠AHD )＝90°，知AG ⊥CG ，即AG ⊥CF ．此时，∠FCA ＝90°－∠GAC ＝90°－∠GAF ＝∠CF A ，故AC ＝AF ，即点A 在CF 的垂直平分线AG 上．又H在AG上，则HC＝HF，即知∠HFC＝∠FCH＝∠FCB，故HF∥BC．。

三角形的概念在数学几何学中，三角形是一种基本的几何形状，也是研究面积、角度和边长等性质的重要对象。

它由三条线段组成，其中每条线段都连接另外两条线段的端点。

下面将介绍三角形的定义、分类和性质。

一、三角形的定义三角形是一个由三个线段组成的闭合图形。

这三个线段称为三角形的边，而它们所连接的点称为顶点。

三角形的边可以是任意长度，但是它们必须满足一定的几何关系，即两边之和大于第三边。

根据这个定义，我们可以将所有的三条线段连接成一个围成三角形的形状。

二、三角形的分类根据三条边的长度、角度的大小以及其他特定的几何关系，三角形可以被分类为不同的类型。

主要的分类包括以下几种：1. 等边三角形：三条边的长度都相等。

等边三角形的三个内角均为60度。

2. 等腰三角形：两条边的长度相等。

等腰三角形的两个底角（底边上的两个内角）相等。

3. 直角三角形：其中一个内角为90度。

直角三角形的另外两个内角之和为90度。

4. 锐角三角形：三个内角都小于90度。

5. 钝角三角形：其中一个内角大于90度。

6. 不规则三角形：所有边的长度和内角的大小都不相等。

三、三角形的性质三角形作为一个基本的几何形状，具有许多独特的性质。

下面将介绍一些主要的性质：1. 内角和：三角形的三个内角之和等于180度。

2. 外角和：三角形每个顶点的外角之和等于360度。

3. 边长关系：在一个三角形中，任意两条边之和大于第三条边。

例如，如果三条边的长度分别为a、b、c，那么a + b > c，a + c > b，b +c > a。

4. 角度关系：在一个三角形中，任意两个内角的和大于第三个内角。

例如，如果三个内角的大小分别为A、B、C，那么A + B > C，A + C > B，B + C > A。

5. 面积公式：三角形的面积可以通过海伦公式或基本的高度和底边长度公式计算得出。

总结：三角形是数学几何学中重要的几何形状，具有丰富的性质和分类。

三角形的性质与判断三角形是几何学中最基本的图形之一，具有多种性质与判断方法。

本文将介绍三角形的基本概念，常见的性质及其判断方法。

一、三角形的基本概念三角形是由三条线段组成的图形，它具有以下基本要素：1. 三边：三角形有三条边，分别连接两个顶点。

2. 三角：三角形有三个内角，分别位于三个顶点之间。

根据三角形的边长可以分类为以下几种情况：1. 等边三角形：三条边的长度相等，内角也相等。

2. 等腰三角形：两条边的长度相等，另外一条边的长度不等。

3. 直角三角形：其中一个内角为90度。

4. 钝角三角形：其中一个内角大于90度。

5. 锐角三角形：三个内角都小于90度。

二、三角形的性质1. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度。

即，三角形的三个内角之和等于180度。

2. 外角定理：三角形的一个内角的补角等于其他两个内角的外角之和。

即，一个三角形的外角等于另外两个内角之和。

3. 底角定理：等腰三角形的底角相等。

即，在一个等腰三角形中，两条底边的直角相等。

4. 边长关系：在一个三角形中，两边之和大于第三边。

即，三角形的任意两边之和大于第三边。

5. 中线定理：三角形的三条中线相交于同一点，在这一点上三个小三角形的面积相等。

三、三角形的判断方法1. 通过边长判断：根据边长关系，可以通过已知的三条边长来判断是否能组成三角形。

2. 通过角度判断：如果已知三个内角的度数，可以通过判断内角和是否等于180度来确定是否是三角形。

若三个内角之和等于180度，则可以组成一个三角形。

3. 通过角边关系判断：根据已知的角度和边长关系，可以借助三角函数等方法判断是否为三角形。

4. 通过勾股定理判断：如果已知三个边长，可以通过勾股定理判断是否是直角三角形。

勾股定理指出，在一个直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。

结语三角形作为几何学的基础图形，具有丰富的性质和判断方法。

通过本文的介绍，我们了解了三角形的基本概念、常见性质以及判断方法。

α第六讲 三角形的概念与性质【知识梳理】一、三角形的基本概念及性质：1．三角形的定义 ① 边 ② 顶点 ③ 角 ④ 外角2. 三角形中的几条主要线段： ① 三角形的角平分线 ② 三角形的中线 ③ 三角形的高线注意：三角形的角平分线、中线和高线不是直线，也不是射线，它们都是线段。

3．三角形的主要性质：① 三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边． ② 三角形的三个内角之和等于︒180③ 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角和． ④ 三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角． ⑤ 三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变． 二、三角形的分类：不等边三角形(1)按边分：三角形等腰三角形--等边三角形直角三角形----等腰直角三角形(2)按角分：三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎨⎩⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩【直击考点】考点一：三角形的边与角的计算例1： 1）△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则△ABC 是______2）将一副常规的三角尺按如图所示方式放置，则图中AOB ∠的度数为 （ ）A. 75B.95C.105D.120◆变式拓展训练◆1.(2012济宁) 若一个三角形三个内角度数的比是2：7：6，那这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形2.(2010浙江)一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中α∠的度数为（ ）A. 75B.60C.65D. 50oBA例2：(1)(2012)ABC ∆优选中，1123A B C ABC ∠=∠=∠∆，试判断的形状。

（2）在23ABC A B C ∆∠=∠=∠∆中，，试判断ABC 的形状。

例3：在ABC ∆中，12AB AC cm ==，6BC cm =，D 是BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B A C →→的方向。

核心考点03 三角形有关概念与性质目录考点一：三角形考点二：三角形的角平分线、中线和高考点三：三角形的面积考点四：三角形的稳定性考点五：三角形三边关系考点六：三角形内角和定理考点七：三角形的外角性质一．三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．（4）三角形具有稳定性．二．三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．三．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S＝×底×高．△（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．四．三角形的稳定性当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．五．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．六．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．七．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．一．三角形（共1小题）1．（2018春•浦东新区期末）设M 表示直角三角形，N 表示等腰三角形，P 表示等边三角形，Q 表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二．三角形的角平分线、中线和高（共5小题）2．（2021春•浦东新区期中）三角形的角平分线、中线、高都是（ ）A ．直线B ．线段C ．射线D ．以上都不对3．（2022春•静安区期中）下列判断错误的是（ ）A ．三角形的三条高的交点在三角形内B ．三角形的三条中线交于三角形内一点C ．直角三角形的三条高的交点在直角顶点D ．三角形的三条角平分线交于三角形内一点4．（2021春•徐汇区校级期中）下列说法中正确的是（ ）A ．三角形的三条高交于一点B ．有公共顶点且相等的两个角是对顶角C ．两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等D ．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直5．（2021春•青浦区期中）直角三角形的三条高的交点在 ．6．（2021春•上海期中）在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是 条．三．三角形的面积（共10小题）7．（2021春•崇明区期末）如图，已知a ∥b ，点A 、E 在直线a 上，点B 、C 在直线b 上，且BD ＝2BC，则考点精讲下列说法中正确的是（ ）A ．S △BDE ＞2S △ABCB ．S △BDE ＜2S △ABC C ．S △BDE ＝2S △ABCD ．无法确定8．（2022春•杨浦区校级期末）如图，直线AB ∥CD ，点E 、N 位于直线AB 上，点F 、M 、G 位于直线CD 上，且EN ：FG ＝1：2，若△EMN 的面积为5，则△EFG 的面积为 ．9．（2022春•杨浦区校级期中）如图，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点E ，BF ＝FC ，其中面积相等的三角形有 对．10．（2022春•闵行区校级期中）如图：已知a ∥b ，AD ＝3，BC ＝5，S △AOD ＝2.25，S △AOB ＝3.75，则S △BOC ＝ ．11．（2022春•宝山区校级月考）如图，已知直线a ∥b ，点A 、B 在直线a 上，点C 、D 在直线b 上，如果△ABC 的面积和△BCD 的面积之比为2：3，那么AB ：CD 的值为 ．12．（2021春•徐汇区校级期中）如图，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点E ，三角形ABE 的面积等于4，三角形CBE 的面积等于5，那么三角形DBC 的面积等于 ．13．（2021春•杨浦区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AD ＝DC ，AE ⊥BD ，如果△ABC 的面积是12，那么△ABE 的面积是 ．14．（2021春•松江区期中）如图，已知点B 在线段CF 上，AB ∥CD ，AD ∥BC ，DF 交AB 于点E ，联结AF 、CE ，S △BCE ：S △AEF 的比值为 ．15．（2021春•浦东新区期中）如图，在四边形BCEF 中，BF ∥AD ∥CE ，S △ABC ＝3，则△DEF 的面积是 ．16．（2021春•静安区校级期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8cm ，AC ＝6cm ，点E 是BC 的中点，动点P 从A 点出发，先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动，然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动．若设点P运动的时间是t 秒，那么当t ＝ ，△APE 的面积等于6．四．三角形的稳定性（共1小题）17．（2017秋•兴隆台区校级月考）木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即图中AB、CD两个木条），这样做根据的数学道理是 ．五．三角形三边关系（共5小题）18．（2021春•浦东新区月考）已知三角形的两边长分别为4和9，则下列数据中，能作为第三边长的是（ ）A．2B．3C．4D．919．（2022春•杨浦区校级期末）下列长度的三根木棒，不能构成三角形框架的是（ ）A．7cm，5cm，10cm B．8cm，6cm，4cmC．10cm，10cm，5cm D．5cm，5cm，10cm20．（2022春•普陀区校级期末）已知三角形中两条边的长分别为2和7，则第三边a的取值范围是 ．21．（2022春•徐汇区校级期末）三角形的三边分别为5，1﹣a，9，则a的取值范围为 ．22．（2022春•徐汇区校级期末）周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有 个．六．三角形内角和定理（共8小题）23．（2022春•杨浦区校级期中）在△ABC中，如果∠A+∠B＝135°，且∠B＝2∠C，那么△ABC是 三角形．24．（2022春•上海期末）直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（ ）A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对25．（2020春•虹口区期末）如果一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么这个三角形中最大的一个内角等于 度．26．（2021春•徐汇区校级期末）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC 沿直线AD折叠后，点C落到点E处，∠BAE＝30°，则∠DAC的度数为 ．27．（2022春•嘉定区校级期末）在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，∠BAD＝50°（如图1）．（1）若E在△ABC的AC边上，且∠ADE＝∠B，求∠EDC的度数；（2）若∠B＝30°，E在△ABC的AC边上，△ADE是等腰三角形，求∠EDC的度数；（简写主要解答过程即可）；（3）若AD将△ABC分割成的两个三角形中有一个是等腰三角形，求∠B的度数．（直接写出答案）．28．（2022春•上海期末）在△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？若∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？若∠1＝∠ABC ，∠2＝∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？29．（2022春•杨浦区校级期中）如图1，已知等腰△ABC 中，∠A ＝∠C ＝30°，动点D 在AB 的平行线l 上，联结AD ．（1）如图2，若∠B ＝∠ADC ，说明AD ∥BC 的理由；（2）如图3，当∠CDA ＝∠DAB 时，△ACD 是什么三角形？为什么？（3）过点A 作l 的垂线，垂足为H ，若∠ADH ＝60°，求∠DAC 的度数．30．（2022春•宝山区校级月考）已知：如图，△ABC ．求证：∠A +∠B +∠ACB ＝180°．证明：如图，作BC 延长线CD ，过点C 作CE ∥AB ．因为CE ∥AB （已知），所以∠1＝ （ ）∠2＝ （ ）因为∠1+∠2+∠ACB＝180°（ ）所以∠A+∠B+∠C＝180°（ ）七．三角形的外角性质（共8小题）31．（2021春•浦东新区期末）将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则∠BFE ＝ ．32．（2021春•浦东新区期中）如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝ ．33．（2021春•宝山区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求：（1）∠ACD的度数；（2）∠AEC的度数．34．（2022春•杨浦区校级期末）如图，已知在△ABC中，∠A＝（3x+10）°，∠B＝（2x）°，∠ACD是△ABC的一个外角，且∠ACD＝（6x−10）°，求∠A的度数．35．（2021春•浦东新区期末）如图，已知∠BAC＝70°，D为△ABC的边BC上的一点，且∠CAD＝∠C，∠ADB＝60°．求∠B的度数．36．（2021春•静安区校级期末）△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角的度数之比是2：3：4，求∠A的度数．37．（2020春•杨浦区期末）如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．解：因为DF⊥AB（已知），所以∠DFB ＝90°（垂直的意义）．因为∠DFB +∠B +∠D ＝180°（ ），又∠D ＝42°，所以∠B ＝ °（等式性质）．因为∠ACD ＝∠A +∠B （ ），又∠A ＝35°，∠B ＝ °，所以∠ACD ＝ °（等式性质）．38．（2018春•浦东新区期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且∠AED ＝∠B ，延长DE 与BC 的延长线交于点F ，∠BAC 和∠BFD 的角平分线交于点G ．那么AG 与FG 的位置关系如何？为什么？解：AG ⊥FG ．将AG 、DF 的交点记为点P ，延长AG 交BC 于点Q ．因为AG 、FG 分别平分∠BAC 和∠BFD （已知）所以∠BAG ＝ ， （角平分线定义）又因为∠FPQ ＝ +∠AED ， ＝ +∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∠AED ＝∠B （已知）所以∠FPQ ＝ （等式性质）（请完成以下说理过程）一、单选题1．（2022春·上海静安·七年级统考期中）下列判断错误的是（）巩固提升A．三角形的三条高的交点在三角形内B．三角形的三条中线交于三角形内一点C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点2．（2022春·上海·七年级专题练习）已知三条线段长分别为2cm、4cm、a cm，若这三条线段首尾顺次相接能围成一个三角形，那么a的取值可以是()A．7B．4C．2D．13．（2019春·七年级课时练习）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（）A．两点之间线段最短B．垂线段最短．C．两定确定一条直线D．三角形具有稳定性4．（2019春·七年级课时练习）如图，三角形的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个5．（2022春·上海·七年级专题练习）三角形的角平分线、中线和高都是()A．直线B．线段C．射线D．以上答案都不对6．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE 交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（ ）A ．45°+n °B ．90°﹣n °C ．90°+n °D ．180°﹣n °7．（2021春·上海·七年级上海市第二初级中学校考期中）下列说法中正确的是（ ）A ．三角形的三条高交于一点B ．有公共顶点且相等的两个角是对顶角C ．两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等D ．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直二、填空题8．（2022春·上海闵行·七年级上海市实验学校西校校考阶段练习）在ABC V 中，已知A B C =+∠∠∠，那么ABC V 的形状________．9．（2022春·上海·七年级专题练习）已知△ABC ，a ＝6，b ＝10，则第三边c 的取值范围是_____．10．（2022春·上海·七年级专题练习）在ABC V 中，20A Ð=°，=60B а，100C Ð=°，那么ABC V 是______三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角” ）11．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 是斜边AC 上的高．如果∠1＝54°，那么∠C ＝_____度．12．（2022春·上海杨浦·七年级校考期末）如图，BA CE ^于A 点，过A 点作DF //BC ，若135EAF Ð=°，则B Ð=______．13．（2022春·上海·七年级专题练习）一个四边形纸片ABCD ，∠B ＝∠D ，把纸片按如图所示折叠，使点B 落在AD 边上的B ′点，AE 是折痕，若∠C ＝86°，那么∠AEB ＝__°．14．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）如图所示，在Rt ABC △中，=90°C Ð，=30A а，BD 是角平分线，则=BDC Ð________°．15．（2022春·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图，在ABC V 中，AH 是边BC 上的高，且:2:1BH CH =，如果2ACH S =△，那么ABC S =V _____．16．（2022春·七年级单元测试）现有四根木棒，长度分别为4cm 、6cm 、8cm 、10cm ，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为_____个．17．（2022春·上海·七年级专题练习）已知AB CD ∥，60ACD Ð=°，:2:3BAE CAE ÐÐ=，4FCD FCE Ð=Ð，若78AEC Ð=°，则AFC Ð=____________．18．（2022春·上海闵行·七年级上海市七宝中学校考期中）如图，1:2:31:3:6ÐÐÐ=，则4Ð=___________．19．（2022春·上海·七年级校考期中）如图，AD BC ∥，AC 、BD 交于点E ，BF FC =，其中面积相等的三角形有______对．三、解答题20．（2022秋·上海闵行·七年级校考期末）已知三角形纸片ABC （如图），将纸片折叠，使点A 与点C 重合，折痕分别与边AC 、BC 交于点D 、E ，点B 关于直线DE 的对称点为点F ．(1)画出直线DE 和点F ；(2)连接EF 、FC ，如果48FEC Ð=°，求DEC Ð的度数；(3)连接AE 、BD 、DF ，如果25BE EC =，且DEF V 的面积为4，求ABC V 的面积．21．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知AB //CD ，∠1＋3＝90°，BC 、CF 分别平分∠ABF 和∠BFE ，试说明AB //EF 的理由．解：∵AB //CD （已知），∴∠1＝∠2（ ）．∵∠1＋∠3＝90°（已知），∴∠2＋∠3＝90°（ ）．即∠BCF ＝90°．∵　＝180°（三角形内角和等于180°），∴ ＝90°（等式性质）．∵BC 、CF 分别平分∠ABF 和∠BFE （已知），∴ （ ）．∴∠ABF ＋∠BFE ＝180°（ ）．∴AB //FE （ ）．22．（2022春·上海·七年级校考期末）根据要求作图并写好结论：(1)画三角形ABC ，使得AB 的长度等于5厘米，40A Ð=°，50C Ð=°；(2)在三角形ABC 中，作出B Ð的角平分线BN ；(3)在三角形ABC 中，作出BC 边上中线AM ．23．（2021春·上海·七年级校考期中）如图，按下列要求画图并解答（不要求写画法，只写出结论）．(1)过点A 画BC 的平行线AD ；(2)画出△ABC 的边BC 上的高AH ；(3)在直线AD 上能否找一个点E （点E 不与点A 重合）使得△EBC 的面积与△ABC 的面积相等，如果能找到，请画出△EBC （画出一个三角形即可）．24．（2022春·上海·七年级期中）如图，直线AC BD ∥，连接AB ，直线,AC BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P 落在某个部分时，连接,PA PB ，构成,,PAC APB PBD ÐÐÐ三个角．（提示：有公共端点的两条重合射线所组成的角是0°角）(1)当动点P 落在第①部分时，求证：APB PAC PBD Ð=Ð+Ð；(2)当动点P 落在第②部分时，APB PAC PBD Ð=Ð+Ð是否成立？请说明理由．(3)当动点P 在第③部分时，全面探究,,PAC APB PBD ÐÐÐ之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．25．（2021春·上海·七年级校考期中）如图1，1A BC Ð、1A CM Ð的角平分线2BA 、2CA 相交于点2A ，(1)如果164A Ð=°，那么2A Ð的度数是多少，试说明理由并完成填空；(2)如图2，164A Ð=°，如果2A BC Ð、2A CM Ð的角平分线3BA 、3CA 相交于点3A ，请直接写出3A Ð度数；(3)如图2，重复上述过程，1n A BC -Ð、1n A CM -Ð的角平分线n BA 、n CA 相交于点n A 得到n A Ð，设1A q Ð=°，请用q 表示n A Ð的度数（直接写出答案）解：（1）结论：2Ð=A ______度．说理如下：因为2BA 、2CA 平分1A BC Ð和1A CM Ð（已知），所以121A BC Ð=Ð，122A CM Ð=Ð（角平分线的意义）．因为111A CM A BC A Ð=Ð+Ð，221A Ð=Ð+Ð（ ）（完成以下说理过程）26．（2022春·上海·七年级专题练习）如图1，∠A 1BC 、∠A 1CM 的角平分线BA 2、CA 2相交于点A 2，(1)如果∠A1＝68°，那么∠A2的度数是多少，试说明理由；解：（1）结论：∠A2＝ 度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（ ）．因为∠A1CM＝∠A1BC+∠ ，∠2＝∠1+∠ （ ），（完成以下说理过程）(2)如图2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分线BA3、CA3相交于点A3，请直接写出∠A3的度数；(3)如图2，重复上述过程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分线BAn、CAn相交于点An得到∠An，设∠A1＝θ，请用θ表示∠An（直接写出答案）27．（2022春·上海·七年级校考期中）如图1，有一块三角形菜地，若从顶点A修一条小路交BC于点D，小路正好将菜地分成面积相等的两部分．(1)画出D点的位置并说明理由．(2)假设在菜地中有一点E（如图2所示），BC上是否存在点F，使折线AEF将三角形ABC的面积分为面积相等的两部分．若存在，请画出F点的位置．28．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，由16个相同的小正方形组成的一个大正方形ABCD，其中点A 、点E 、点F 均在图中的格点上（即图中小正方形的顶点）．(1)三角形AEF 的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD 面积的；（填“几分之几”）(2)如果三角形AEF 的面积是28平方厘米，那么图中每个小正方形的面积是 平方厘米；(3)如备用图，若点G 也在图中的格点上，且三角形AFG 的面积是大正方形ABCD 面积的18，那么符合要求的点G 有 个．29．（2022春·上海·七年级专题练习）已知：如图所示，ABC V 中，D 、E 分别在边AC 、AB 上，CD =3AD ，BE ：AE =3：2，求DF ：FB 的值．。

三角形的基本认识认识不同三角形的类型与性质三角形的基本认识：认识不同三角形的类型与性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，并且相邻两个线段的端点形成三个角度。

在三角形中，我们可以根据边长和角度的不同来分类和研究其性质。

本文将介绍三角形的基本概念、不同类型的三角形及其性质。

一、三角形的基本概念三角形是由三条线段组成的封闭图形，在三角形中，我们可以定义以下几个重要的概念：1. 边：三角形的每条线段都被称为边，三角形共有三条边。

2. 顶点：三角形的每个角的端点被称为顶点，三角形共有三个顶点。

3. 顶角：由两条边围成的角被称为顶角，三角形共有三个顶角。

4. 底边：三角形的底边是指一个角的两条边之间的边。

5. 高：三角形的高是指从一个角顶点到底边上垂直的线段。

二、根据边长分类根据三角形的边长可以将其分为以下几种类型：1. 等边三角形：三边长度相等的三角形被称为等边三角形。

在等边三角形中，三个角度也是相等的，每个角为60度。

2. 等腰三角形：两边长度相等的三角形被称为等腰三角形。

在等腰三角形中，两个顶角也是相等的，而底角则为其他两个角的一半。

3. 普通三角形：所有边长都不相等的三角形。

三、根据角度分类根据三角形的角度可以将其分为以下几种类型：1. 钝角三角形：三个角中最大的一个角大于90度的三角形被称为钝角三角形。

2. 直角三角形：一个角度等于90度的三角形被称为直角三角形。

3. 锐角三角形：三个角度均小于90度的三角形被称为锐角三角形。

四、根据边长和角度组合分类在三角形中，根据边长和角度的组合，还可以将其分为以下几种类型：1. 等腰直角三角形：两边长度相等且一个角度等于90度的三角形被称为等腰直角三角形。

在等腰直角三角形中，底角为45度。

2. 等腰钝角三角形：两边长度相等且一个角度大于90度的三角形被称为等腰钝角三角形。

3. 等腰锐角三角形：两边长度相等且三个角度均小于90度的三角形被称为等腰锐角三角形。

三角形概念大全三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条边和三个顶点组成。

在这篇文章中，我们将详细介绍三角形的概念、性质、分类以及一些与三角形相关的重要定理和公式。

1. 三角形的基本概念三角形是由三条线段（边）和三个点（顶点）组成的多边形。

其中，边是连接两个顶点的线段，而顶点是多边形的拐角处。

三角形中的三个顶点用大写字母A、B、C表示，对应的边用小写字母a、b、c表示。

2. 三角形的性质（1）内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。

即∠A +∠B + ∠C = 180°。

（2）外角和定理：三角形的一个内角和其相邻的两个外角之和等于360度。

即∠A + ∠D + ∠E = 360°。

（3）角平分线定理：三角形的内角平分线相交于三角形的内心，且内心到三角形的各边的距离相等。

（4）中线定理：三角形的三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心，重心到三角形的各顶点的距离相等。

3. 三角形的分类根据边长和角度的不同，三角形可以分为以下几种类型：（1）按边长分类：a. 等边三角形：三条边的长度都相等。

b. 等腰三角形：至少有两条边的长度相等。

c. 普通三角形：三条边的长度都不相等。

（2）按角度分类：a. 锐角三角形：三个内角都小于90度。

b. 直角三角形：一个内角为90度。

c. 钝角三角形：其中一个内角大于90度。

（3）综合分类：a. 等腰直角三角形：一条等边与一个直角。

b. 等边锐角三角形：三个等边均为锐角。

c. 正三角形：既是等边三角形又是等腰三角形同时也是锐角三角形。

4. 三角形的重要定理和公式（1）勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

a² + b² = c²（c为斜边）（2）正弦定理：三角形中，边与其对应的正弦值成比例。

a/sinA = b/sinB = c/sinC（3）余弦定理：三角形中，边与其余弦值成反比。

a² = b² + c² - 2bc*cosA （a为边A对应的边长，A为角A对应的内角，b和c同理）（4）海伦公式：已知三角形的三边长度，可以求出三角形的面积。

直角三角形的概念与性质直角三角形是几何学中一个重要的概念，它具有独特的性质。

本文将介绍直角三角形的定义、性质以及应用领域。

让我们一探究竟。

一、直角三角形的概念直角三角形是指一个三角形内的一个角度为90度（即直角）。

根据勾股定理，直角三角形的两边边长关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。

在直角三角形中，我们可以用边的关系来表示：设直角边为a和b，斜边为c，那么有a² + b² = c²。

二、直角三角形的性质直角三角形有一些独特的性质，下面我们一一描述：1. 定理1：勾股定理勾股定理是直角三角形最经典的性质，它表示直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理被广泛应用于解决与直角三角形相关的各种问题。

2. 定理2：直角三角形的三个角度之和等于180度无论是直角三角形还是其他三角形，其三个角度之和均为180度。

在直角三角形中，由于其中一个角度已经确定为90度，因此另外两个角度之和为90度。

3. 定理3：直角三角形中的角度关系直角三角形的两个锐角（除直角外的两个角）是互余角，互余角的和等于90度。

例如，如果一个角为30度，则另外一个角为60度。

4. 定理4：直角三角形的特殊比例关系直角三角形的两个acute angles（除直角外的两个锐角）的正弦、余弦、正切等三角函数之间存在特殊的比例关系。

这一关系在解三角函数的问题中非常有用。

三、直角三角形的应用领域直角三角形的应用极为广泛，下面列举了其中几个常见的应用领域：1. 测量与导航在测量和导航中，直角三角形被广泛应用。

例如，通过仪器测量一个目标的高度时，可以利用投影的原理，用直角三角形的性质计算出目标的实际高度。

2. 建筑和工程在建筑和工程领域，直角三角形也是必不可少的。

例如，在设计和建造一座高楼大厦时，工程师需要考虑到地面与楼顶之间的高度差，这就涉及到直角三角形的计算。

3. 航空和航天在航空和航天领域，直角三角形的应用也很广泛。

三角形及全等三角形知识点总结
三角形是我们初中数学学习中的重要内容之一。

在数学中，三
角形是由三条边以及夹角组成的图形。

本文将对三角形以及全等三
角形的相关知识进行总结。

一、三角形的定义和性质
1. 定义：三角形是由三条线段组成的图形，每个线段都称为三
角形的边，而它的端点则称为三角形的顶点。

2. 性质：
a. 三角形的内角和等于180度：一个三角形的三个内角之和等于180度。

b. 外角性质：三角形的一个内角的补角为另外两个角的外角。

c. 内角和外角之间的关系：一个三角形的三个内角和三个外角之和都是360度。

二、三角形的分类
根据三角形的边长以及角度的不同，三角形可以分为以下几种类型。

1. 根据边长分类：
a. 等边三角形：三条边都相等的三角形。

b. 等腰三角形：两条边相等的三角形。

c. 普通三角形：三条边都不相等的三角形。

2. 根据角度分类：
a. 直角三角形：一个内角为90度的三角形。

b. 钝角三角形：一个内角大于90度的三角形。

c. 锐角三角形：三个内角都小于90度的三角形。

三、全等三角形的概念和判定条件
全等三角形是指有相同大小和形状的三角形。

两个三角形全等的条件是：
1. SSS判定条件：两个三角形的三条边分别对应相等。

2. SAS判定条件：两个三角形的两条边和夹角分别对应相等。

专题01 三角形的基本概念和性质知识对接考点一、三角形的概念及其性质1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类：3．三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4．三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5．三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.6．三角形具有稳定性.专项训练一、单选题1．（2021·福建九年级其他模拟）如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（）A．GD，EI，MH B．GF，EF，MF C．DE，GH，MI D．AD，AG，GD 【答案】A【分析】根据各选项画出相应图形，再数三角形的个数即可得．【详解】A、拿掉GD，EI，MH后，剩下的图形如下：图形中恰好有7个三角形，此项符合题意；B、拿掉GF，EF，MF后，剩下的图形如下：图形中有4个三角形，此项不符题意；C、拿掉DE，GH，MI后，剩下的图形如下：图形中有6个三角形，此项不符题意； D 、拿掉AD ，AG ，GD 后，剩下的图形如下：图形中有9个三角形，此项不符题意； 故选：A ． 【点睛】本题考查了三角形的概念，正确画出剩下的图形是解题关键．2．（2021·黑龙江九年级三模）有长度分别为1,2,3cm cm cm 的小木棒若干，从中任取三根首尾顺次相接组成三角形，则能组成形状不同的三角形（ ） A ．4种 B ．5种C ．6种D ．7种【答案】B 【分析】根据三角形三边的关系任意两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边进行分类讨论即可． 【详解】 解：∵1+2=3，∵三边长只能组成等边三角形或者等腰三角形，∵长度分别为1,1,1cm cm cm ，2,2,2cm cm cm ，3,3,3m cm cm 组成等边三角形，边长不等，但形状相同，则为一种；∵当两边长相等时有：2,2,1cm cm cm ，3,3,1cm cm cm ，2,2,3cm cm cm ，3,3,2cm cm cm ，4种形状不同的三角形； 因此共有5种，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键在于根据任意两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边进行分析．3．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级其他模拟）锐角∵ABC中，∵B＝45°，BC则AC的长可以是（）A．1B C D【答案】D【分析】作CD∵AB于D，先利用等腰直角三角形的性质和三角函数求出BD=CD=1，然后利用勾股定理进行逐一判断四个选项是否满足题意即可.【详解】解：作CD∵AB于D，如图所示：∵∵B＝45°，∵∵BCD是等腰直角三角形，∵BD＝CD＝sin=1BC B，∵BCD＝45°，当AC＝1时，点D与A重合，∵ABC是直角三角形，选项A不符合题意；当AC1AD CD==，则∵ACD是等腰直角三角形，∵ACD＝45°，∵∵ACB＝90°，∵ABC是直角三角形，选项B不符合题意；当AC AC＜CD，∵∵ACD＞∵A，则∵ABC是钝角三角形，选项C不符合题意；当AC时，12AD CD ==<∵∵ACD＜∵A，则∵ABC是锐角三角形；选项D符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形角与边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.4．（2021·连云港市新海实验中学九年级二模）如图，在Rt ABC 中，∵ACB =90°，BC =2，∵BAC =30°，将ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到∵A 'B 'C '， M 是BC 的中点，P 是A 'B '的中点， 连接PM ，则线段PM 的最大值是（ ）A ．4B ．2C ．3D．【答案】C 【分析】连接PC ，分别求出PC ，CM 的长，然后根据PM MC PC ≤+即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接PC ， ∵∵ACB =90°，BC =2，∵BAC =30°， ∵AB =2BC =4，由旋转的性质可知：=90A CB ACB ''=∠∠，4A B AB ''==， ∵P 、M 分别是A B ''、BC 的中点， ∵122PC A B ''==，112CM BC ==，∵3PM MC PC ≤+=，∵PM 的最大值为3，且此时P 、C 、M 三点共线， 故选C ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5．（2021·福建省同安第一中学）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．3，4，8 B ．5，6，11C ．4，4，8D ．8，8，8【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A 、3+4＜8，不能构成三角形； B 、5+6=11，不能构成三角形； C 、4+4=8，不能构成三角形； D 、8+8＞8，能构成三角形． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．6．（2021·福建九年级其他模拟）若某三角形的两边长分别为5和9，则该三角形第三边的长可能是（ ） A ．4 B ．5C ．14D ．15【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系即可得． 【详解】设该三角形第三边的长为a ，由三角形的三边关系得：9559a -<<+，即414a <<， 观察四个选项可知，只有选项B 符合， 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． 本号资料皆来源于微信公众号：数学第六*感7．（2021·辽宁）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则S ∵ABC 的面积为（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】C 【分析】利用割补法求∵ABC 面积等于大正方形面积-三个三角形面积即可． 【详解】解：在网格中添加字母如图， S ∵AEB =1112122AE BE ⋅=⨯⨯=， S ∵AFC =1123322AF FC ⋅=⨯⨯=， S ∵BGC =11313222BG GC ⋅=⨯⨯=，S 正方形=9EF FC ⋅=，∵S ∵ABC = S 正方形- S ∵AEB - S ∵AFC - S ∵BGC =9-1-3-3722=． 故选择C ．【点睛】本题考查网格三角形面积，掌握用割补法求网格三角形面积的方法是解题关键． 8．（2021·福建宁德市·）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．2，3，5C ．2，2，4D ．2，2，5【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A 中，3+2＞4，能够组成三角形； 符合题意 B 中，2+3＝5，不能组成三角形；不符合题意 C 中，2+2＝4，不能组成三角形；不符合题意 D 中，2+2＜5，不能组成三角形．不符合题意 故选：A ． 【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．9．（2021·陕西咸阳市·九年级一模）如图，CM 是ABC ∆的中线，BCM 的周长比ACM ∆的周长大3cm ，8cm BC =，则 AC 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm【答案】C 【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可． 【详解】解：∵CM 为∵ABC 的AB 边上的中线， ∵AM =BM ，∵∵BCM 的周长比∵ACM 的周长大3cm ， ∵（BC +BM +CM ）-（AC +AM +CM ）=3cm ， ∵BC -AC =3cm ， ∵BC =8cm ， ∵AC =5cm ， 故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是此题的关键．10．（2021·福建省厦门第六中学九年级三模）如图，在ABC 中，BC 边上的高是（ ）A ．CDB ．AEC ．AFD ．AH【答案】C 【分析】根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可得出结论． 【详解】由图可知，过点A 作BC 的垂线段AF ， 则ABC 中，BC 边上的高是AF ， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 二、填空题11．（2021·内蒙古包头市·）在ABC 中，,A B ∠∠都是锐角，且满足2sin cos 0A B ⎫+=⎪⎪⎝⎭，则三角形的形状是__． 【答案】钝角三角形 【分析】根据题意非负数之和为零，只有一种情况，即零加零等于零；利用特殊角锐角三角函数值分别求出,A B ∠∠,再根据三角形内角和定理求得C ∠,判断三角形的形状即可． 【详解】2sin 0cos 0A B ⎫≥≥⎪⎪⎝⎭∴sin0A=cos0B=45,30A B∴∠=︒∠=︒1804530105C∴∠=︒-︒-︒=︒∴ABC是钝角三角形．故答案为：钝角三角形．【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的分类，绝对值的非负性，实数平方的非负性，熟练特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．12．（2021·浙江九年级专题练习）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为________．【答案】2 5【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可.【详解】五根木棒，任意取三根共有10种情况：3、5、83、5、103、5、133、8、103、8、133、10、135、10、135、8、105、8、138、10、13其中能组成三角形的有：∵3、8、10，由于8-3<10<8+3,所以能构成三角形；∵5、10、13，由于10-5<13<10+5，所以能构成三角形；∵5、8、10，由于8-5<10<8+5，所以能构成三角形；∵8、10、13，由于10-8<13<10+8，所以能构成三角形；所以有4种方案符合要求，故能构成三角形的概率是P=410=25，故答案为：2 5 .【点睛】此题考查三角形的三边关系，列举法求事件的概率，列举法求概率的关键是在列举所有情况时考虑要全面，不能重复也不能遗漏.13．（2021·扬州市梅岭中学）判断命题“若ABC的边a、b、c满足22a b ac bc-=-，则ABC 是等腰三角形”的真假，答：_________．（选填“真命题”或“假命题”或“无法判断”）【答案】真命题【分析】根据22a b ac bc-=-变形即可求得,,a b c的关系，再进行判断即可【详解】22a b ac bc-=-()()()a b a b c a b∴+-=-a b c+≠a b∴-=a b∴=∴ABC是等腰三角形故答案为：真命题【点睛】本题考查了命题，因式分解，三角形三边关系，等腰三角形的定义，因式分解后根据三角形三边关系判断是解题的关键．14．（2021·内蒙古包头市·）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F 在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G ，则AGF的面积是________．【答案】5611．【分析】延长AG交DC延长线于M，过G作GH∵CD，交AB于N，先证明∵ABE∵∵MCE，由CF=3DF，可求DF =1，CF =3，再证∵ABG ∵∵MFG ，则利用相似比可计算出GN ，再利用两三角形面积差计算S ∵DEG 即可． 【详解】解：延长AG 交DC 延长线于M ，过G 作GH ∵CD ，交AB 于N ，如图， ∵点E 为BC 中点， ∵BE =CE ，在∵ABE 和∵MCE 中， ABE MCE BE CEAEB MEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵∵ABE ∵∵MCE （ASA ）， ∵AB =MC =4，∵CF =3DF ，CF +DF =4，∵DF =1，CF =3，FM =FC +CM =3+4=7， ∵AB∥MF ，∵∵ABG =∵MFG ，∵AGB =∵MGF ， ∵∵ABG ∵∵MFG ， ∵47AB GN MF GH ==， ∵4GN GH +=， ∵1628,1111GN GH ==， S ∵AFG =S ∵AFB -S ∵AGB =1111165644422221111AB HN AB GN ⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=， 故答案为5611．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，熟练运用相似比计算线段的长是解题关键．15．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级三模）如图，在Rt∵ABC中，AB＝AC，D、E 是斜边BC上两点，且∵DAE＝45°，将∵ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到∵AFB，连接EF，下列结论：∵∵AED∵∵AEF；∵AE ADBE CD=；∵∵ABC的面积等于四边形AFBD的面积；∵BE2+DC2＝DE2；∵BE＝EF﹣DC；其中正确的选项是_____________（填序号）【答案】∵∵∵【分析】∵根据旋转的性质知∵CAD=∵BAF，AD=AF，因为∵BAC=90°，∵DAE=45°，所以∵CAD+∵BAE=45°，可得∵EAF=45°=∵DAE，由此即可证明∵AEF∵∵AED；∵当∵ABE∵∵ACD时，该比例式成立；∵根据旋转的性质，∵ADC∵∵ABF，进而得出∵ABC的面积等于四边形AFBD的面积；∵据∵知BF=CD，EF=DE，∵FBE=90°，根据勾股定理判断．∵根据∵知道∵AEF∵∵AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定该说法是否正确．【详解】解：∵根据旋转的性质知∵CAD=∵BAF，AD=AF．∵∵BAC=90°，∵DAE=45°，∵∵CAD+∵BAE=45°，∵∵EAF=45°，∵∵AED∵∵AEF；故本选项正确；∵∵AB=AC，∵∵ABE=∵ACD；∵当∵BAE=∵CAD时，∵ABE∵∵ACD，∵AE AD BE CD=；当∵BAE≠∵CAD时，∵ABE与∵ACD不相似，即AE AD BE CD≠；∵此比例式不一定成立，故本选项错误；∵根据旋转的性质知∵ADC ∵∵AFB ，∵S ∵ABC =S ∵ABD +S ∵ABF =S 四边形AFBD ，即三角形ABC 的面积等于四边形AFBD 的面积，故本选项正确；∵∵∵FBE =45°+45°=90°， ∵BE 2+BF 2=EF 2．∵∵ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到∵AFB ， ∵∵AFB ∵∵ADC ， ∵BF =CD ． 又∵EF =DE ，∵BE 2+DC 2=DE 2，故本选项正确；∵根据∵知道∵AEF ∵∵AED ，得CD =BF ，DE =EF ，∵BE +DC =BE +BF ＞DE =EF ，即BE +DC ＞FE ，故本选项错误． 综上所述：正确的说法是∵∵∵． 故答案为：∵∵∵．【点睛】本题考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识，三角形三边的关系，相似三角形的性质与判定，解题时注意旋转前后对应的相等关系． 三、解答题16．（2021·浙江）如图，在84⨯的正方形网格中，按ABC 的形状要求，分别找出格点C ，且使5BC =，并且直接写出对应三角形的面积．【答案】见解析；10S =；252S = ；12S = 【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可 【详解】解：钝角三角形时，如图， ∵BC ∵BD ，BC =5， ∵∵ABC 是钝角三角形，根据平行线间的距离处处相等，得BC 边上高为BD =4, ∵11=45=1022S BC BD =⨯⨯⨯；直角三角形时，如图， 取格点F 使得BF =4，FC =3， 根据勾股定理，得BC， ∵AE =BF =4，EB =FC =3，∵AEB =∵BFC =90°， ∵∵AEB ∵∵BFC ， ∵∵EAB =∵FBC ， ∵∵EAB +∵EBA =90°， ∵∵FBC +∵EBA =90°， ∵∵ABC =90°，∵∵ABC 是直角三角形，根据勾股定理，得AB， ∵11=5522S BA BC =⨯⨯⨯252=；锐角三角形时，如图，取格点M 使得BM =3，CM =4， 根据勾股定理，得BC， 根据直角三角形时的作图，知道∵ABN =90°，∵∵ABC＜∵ABN，∵∵ABC＜90°∵AB=BC，∵∵ABC是等腰三角形，∵∵A=∵C＜90°，∵∵ABC是锐角三角形，∵1462S=⨯⨯=12；【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键．17．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，分别过点C、B作ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：BF CE=；（2）若ACE的面积为4，CED的面积为3，求∵ABF的面积．【答案】（1）见解析；（2）10【分析】（1）根据垂直，中线的性质，证明∵CDE∵∵BDF即可；（2）根据三角形全等，确定∵BDF和∵CDE的面积相等，根据中线的性质，得∵ABD和∵ACD 的面积相等，计算即可．【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∵BD =CD ，∵CE ∵AF ，BF ∵AF ， ∵∵CED =∵F =90°， ∵∵CDE =∵BDF , ∵CED F CDE BDF DC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵CDE ∵∵BDF , ∵CE =BF ；（2）解：∵AD 是BC 边上的中线， ∵BD =CD ，∴ΔΔABD ACD S S =，Δ4ACE S =，3CEDS=∴ΔΔACD ACE CEDS S S =+43=+7=∴7ABDS=由（1）已证：∵CDE ∵∵BDF ,∴ΔΔ3BDF CDE S S == ∴ΔΔΔABF ABD BDF S S S =+73=+10=． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，三角形的全等的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定方法，灵活运用三角形中线与三角形面积的关系是解题的关键．18．（2021·吉林九年级其他模拟）图∵、图∵、图∵均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC．要求：（1）在图∵中画一个钝角三角形，在图∵中画一个直角三角形，在图∵中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【答案】见详解（答案不唯一）【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过33正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．【详解】经计算可得下图中：图∵面积为12；图∵面积为1；图∵面积为32，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．故本题答案如下：【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可．19．（2021·江苏九年级月考）如图，在Rt∵ABC中，∵C=90°，点D是AB的中点，AC＜BC．(1)试用无刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．，在BC 上作一点E ，使得直线ED 平分ABC 的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)．(2)在(1)的条件下，若DE 分Rt ∵ABC 面积为1﹕2两部分，请探究AC 与BC 的数量关系．【答案】(1)作图见解析；(2)BC=3AC 【分析】（1）在BC 上用圆规截取BF=AC ，然后再作FC 的垂直平分线，其与BC 的交点即为E 点，最后连接DE 即可．（2）连接DC ，由点D 是AB 的中点，则S ∵ADC =S ∵BCD ;设S ∵ADC =S ∵BCD =x ，S ∵DEC =y ，则有（x+y ）：（x -y ）=2:1，解得x=3y ，即E 为BC 的三等分点，即可说明BC=3EC;有EC=EF=BF=AC,即BC=3AC ． 【详解】解：（１）如图：DE 即为所求；（2）连接DC ∵点D 是AB 的中点 ∵S ∵ADC =S ∵BCD设S ∵ADC =S ∵BCD =x ，S ∵DEC =y ， ∵S ∵BDC :S 四边形CADE =1:2∵(S ∵BDC -S ∵DCE ):( S ∵ADC +S ∵DCE )=1:2, ∵2（x -y ）=x+y ，即x=3y∵点E 为BC 的三等分点, 即BC=3EC ∵EC=EF=BF=AC ∵BC=3AC ．【点睛】本题考查了尺规作图、三角形中线的性质、三角形n 等分点的性质等知识点，其中根据题意完成（1）是解答本题的关键．20．（2021·广东）若a,b,c 为∵ABC 的三边长 （1）化简：-+2+-||a b c a b c b a c -+---（2）若a,b ()220b -=，且c 是整数，求c 的值. 【答案】（1）2a ；（2）1<c<5． 【分析】（1）由a ，b ，c 为三角形ABC 的三边，利用三角形的两边之和大于第三边列出关系式，判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． （2）根据非负数的性质列式求出a 、b ，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可． 【详解】（1）∵a ，b ，c 为∵ABC 的三边， ∵a+b>c ，即−a−b+c<0，a+c>b ，即a−b+c>0，b−a−c<0，则|−a−b+c|+2|a−b+c|−|b−a−c|=a+b−c+2(a−b+c)+b−a−c=a+b−c+2a−2b+2c+b−a−c=2a ； （2）由题意得，a−3=0，b−2=0， 解得a=3，b=2， ∵3−2=1，3+2=5， ∵1<c<5． 【点睛】此题考查二次根式的性质，绝对值，三角形三边关系的应用，解题关键在于利用两边之和大于第三边.21．（2021·河南省淮滨县第一中学九年级一模）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值． 解：∵2222690m mn n n ++-+=∵2222690m mn n n n +++-+=∵22()(3)0m n n ++-= ∵0,30,m n n +=-=∵3, 3.m n =-=问题（1）若∵ABC 的三边长a b c 、、都是正整数，且满足22661830a b a b c +--++-=，请问∵ABC 是什么形状?说明理由.（2）若224212120x y xy y +-++=，求y x 的值．（3）已知24,6130a b ab c c -=+-+=，则a b c ++= ．【答案】（1）∵ABC 是等边三角形，理由见解析；（2）14；（3）3 【分析】（1）先把a 2+b 2-6a -6b +18+|3-c |=0，配方得到（a -3）2+|3-c |=0，根据非负数的性质得到a =b =c =3，得出三角形的形状即可；（2）首先把x 2+4x 2-2xy +12y +12=0，配方得到（x -y ）2+3(y +2)2=0，再根据非负数的性质得到x =-2，代入求得值即可；（3）首先根据a -b =8，ab +c 2-16c +80=0，应用因式分解的方法，判断出（a -4）2+（c -8）2=0，求出A 、B 、C 的值各是多少；然后把a 、b 、c 的值求和，求出a +b +c 的值是多少即可.【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，理由如下：由题意得()()223330a b c -+-+-=∵3a b c ===∵∵ABC 是等边三角形．（2）由题意得()()22320x y y -++=∵2x y ==-． ∵14y x =． （3）∵24,6130a b ab c c -=+-+=，即a =b +4，（b +4)b +c 2 –6c +13=0，∵（b 2+4b +4 ）+（c 2 –6c +9）=0，∵b +2=0，c –3=0，∵b = –2，c =3，a =2，∵a +b +c =3．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于弟三边；任意两边之差小于第三边.22．（2021·江西九年级其他模拟）如图，在正方形网格中，ABC的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，作ABC的高AM；（2）在图2中，作ABC的高AN．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）格点ABC中AB=AC且垂直，以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即可得到BC的高AM；（2）在正方形网格中，m×n格的对角线与n×m格的对角线互相垂直，AB是1×4格的对角线，那么4×1格的对角线与之垂直，又需过点C，所以如图所示的CF∵AB交AB与点H，同理AC是4×3格的对角线，那么3×4格的对角线与之垂直，又需过点B，所以如图所示的BE∵AC交AC与点D，又三角形的三条高所在的直线交于一点，所以连接AG并延长交BC 与点N，即AN为所求．【详解】（1）如图1，∵格点ABC中AB=AC且垂直，∵以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即AM∵BC（2）如图2，∵AB是1×4格的对角线∵过点C 且是4×1格的对角线即为如图所示的CF ，∵CF ∵AB同理AC 是4×3格的对角线，∵过点B 且是3×4格的对角线即为如图所示的BE∵BE ∵AC∵三角形的三条高所在的直线交于一点∵连接AG 并延长交BC 与点N ，即AN 为所求．【点睛】本题主要考查了求作格点三角形的高线问题，主要方法有：构造特殊形状，如：正方形，菱形，利用对角线垂直的性质作高；正方形网格中，m ×n 格的对角线与n ×m 格的对角线互相垂直；三角形的三条高所在的直线交于一点，掌握以上的作图方法是解题的关键． 23．（2021·福建省福州咨询有限公司九年级其他模拟）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：∵以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB ，BC 于点D ，E ；∵分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的相同长度为半径作弧，两弧交于点F ； ∵作射线BF 交AC 于点G ．（1）根据上述步骤补全作图过程（要求：规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）如果8AB =，12BC =，那么ABG 的面积与CBG 的面积的比值是________．【答案】（1）见解析；（2）23【分析】 （1）根据尺规作图要求,按给定的步骤与作法画图即可；（2）根据角分线性质，两三角形的AB 与BC 边上的高相等，可得面积比为底的比即可．【详解】解：（1）根据步骤（1）得弧线交AB ，BC 于点D ，E ，根据步骤（2）得两弧交点F ，根据步骤（3）得射线BG ，根据作图的步骤与图形结合得BG 平分∵ABC ；如图所示，即为所求．（2）过点G 作GH ∵BC 于H ，GM ∵射线AB 于M ，∵BG 平分∵ABC ，∵GM =GH ，S ∵ABG =118422AB GM GM GM ⋅=⨯⨯=， S ∵BCG =1112622BC GH GH GH ⋅=⨯⨯=， S ∵ABG : S ∵BCG =4:64:62:3GM GH GH GH ==，故答案为：23． 【点睛】本题考查尺规作图，角平分线性质，三角形面积，掌握尺规作图步骤与要求，角平分线性质，三角形面积，利用角平分线性质得出两三角。

三角形的基本概念三角形是几何学中的基本图形之一，具有边数为三的多边形。

它由三条线段组成，这些线段被称为三角形的边，而三角形的顶点是边的交点。

三角形的基本概念包括三边、三角形的内角、外角、周长、面积等。

在本文中，将详细介绍三角形的基本概念及相关性质。

一、边与顶点三角形由三条线段组成，这些线段被称为三角形的边。

三角形的每条边都与其他两条边相交，形成三个顶点。

这些顶点是三角形的角的顶点，它们按照顺序命名为A、B、C。

例如，三角形ABC表示以点A、B、C为角的三角形。

二、内角和外角三角形的内角是指三角形内部的角度。

对于三角形ABC而言，内角可以用∠A、∠B、∠C表示。

三角形的内角和为180度，即∠A +∠B + ∠C = 180°。

同时，三角形的每个内角都具有一对对边，如∠A对应着边BC，∠B对应着边AC，∠C对应着边AB。

除了内角，三角形还有外角。

三角形的外角是指从一个内角延伸而成的角，它与与之相邻的内角之和为180度。

例如，以顶点A为内角的外角与∠B和∠C之和为180度，即∠BAC + ∠B + ∠C = 180°。

三、周长和面积三角形的周长是指三条边的长度之和。

对于三角形ABC而言，周长可以表示为P = AB + BC + CA。

周长是三角形的一个重要属性，它可以用来计算三角形的边长或作为其他几何形状的参考。

除了周长，三角形还有面积。

三角形的面积是指三角形内部所围成区域的大小。

计算三角形的面积可以使用海伦公式或正弦定理等方法。

海伦公式适用于已知三角形三边长度的情况，它可以表示为：S = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]其中，S表示三角形的面积，a、b、c表示三角形的边长，s表示三角形的半周长，即s = (a + b + c) / 2。

四、三角形的分类根据三角形的边长和角度的大小关系，可以将三角形分为不同的类型。

根据边长，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

三角形的概念三角形是几何学中的基本概念之一，它是由三条线段组成的图形。

本文将介绍三角形的定义、性质以及一些常见的特殊三角形。

1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，这三条线段称为三角形的边。

边的起点和终点称为边的顶点。

三角形的三个顶点连接起来的线段称为三角形的边。

三角形的内部区域称为三角形的内部。

2. 三角形的分类根据三边的长度和角的大小，三角形可以分为以下三种分类：- 等边三角形：三条边的长度相等，三个角的大小也相等。

- 等腰三角形：至少有两条边的长度相等，至少有两个角的大小相等。

- 普通三角形：三条边的长度都不相等，三个角的大小也不相等。

3. 三角形的性质三角形具有很多独特的性质，下面介绍几个常见的性质：- 三角形的内角和为180度：三角形的三个内角之和等于180度。

- 三角形的外角和为360度：三角形的三个外角之和等于360度。

- 三角形两边之和大于第三边：三角形的任意两边之和大于第三边。

- 等边三角形的内角都是60度：等边三角形的三个内角都是60度。

- 等腰三角形的底角相等：等腰三角形的两个底角（底边上的角）大小相等。

- 等腰三角形的高线对称：等腰三角形的高线对称，即等腰三角形的高线经过底边中点。

4. 特殊三角形除了等边三角形和等腰三角形之外，还有一些特殊的三角形，下面简要介绍一下：- 直角三角形：有一个角是90度的三角形，直角三角形的特点是有一个角是直角（90度）。

- 钝角三角形：三角形中最大的角大于90度的三角形。

- 锐角三角形：三角形中所有的角都小于90度的三角形。

- 等腰直角三角形：既是直角三角形又是等腰三角形的三角形，即有一个角是90度且有两条边的长度相等。

5. 三角形的应用三角形在日常生活中有许多实际应用，下面列举几个例子：- 三角形的形状可以用于设计建筑物、桥梁和通信塔等工程项目。

- 在地理学中，通过三角法可以测算地球上不同地点之间的距离和角度。

- 在导航和航海中，三角形被广泛用于测量和计算位置、速度和方向。

三角形的性质与判定三角形是初中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和判定方法。

本文将介绍三角形的性质以及如何判定一个给定的图形为三角形。

一、三角形的性质1. 三角形的定义：三角形是由三条线段连接在一起而形成的图形。

它的三个顶点、三条边和三个角都是三角形不可或缺的组成部分。

2. 三角形的分类：(1) 根据边的长度：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

(2) 根据角的大小：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

3. 三角形的内角和：三角形的内角和总是等于180°。

即三个角的度数之和为180°。

这个性质被称为三角形内角和定理。

4. 三角形的两边之和大于第三边：对于任意三角形ABC，其中AB、AC、BC为三角形的三边长度，必须满足AB + AC > BC，AB + BC > AC，AC + BC > AB。

如果不满足这个条件，则无法构成一个三角形。

二、三角形的判定1. 三边长度判定法：(1) 如果给定的三条边符合两边之和大于第三边的条件，则可以构成一个三角形。

(2) 如果给定的三条边中有两条边的和等于第三边的长度，则构成一个等腰三角形。

(3) 如果给定的三条边长度都相等，则构成一个等边三角形。

(4) 如果给定的三条边中有一条边的长度大于其他两条边之和，则无法构成一个三角形。

2. 两边夹角判定法：(1) 如果知道三角形的两边长度和它们的夹角，可以利用余弦定理判断是否能够构成一个三角形。

(2) 余弦定理：设一个三角形的三边长度分别为a、b、c，而对应的三个角度为A、B、C，则有a² = b² + c² - 2bc cosA，b² = a² + c² - 2ac cosB，c² = a² + b² - 2ab cosC。

3. 高度判定法：(1) 如果给定三角形的底边和与底边垂直的高，则可以用勾股定理判断是否构成一个三角形。

三角形的概念三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，每两条线段的两个端点相连形成三个角。

在本文中，将介绍三角形的定义、性质以及一些相关的概念。

一、三角形的定义在几何学中，三角形定义为由三条线段组成，并且每两条线段的两个端点相连形成三个角。

这意味着三角形可以用三个点或者三个直线段来描述，并且它是一个闭合的图形。

二、三角形的性质1. 三角形的角度和为180度：三角形的内角和等于180度。

这是因为对于任意一个三角形，三个角的和等于一个平角，而平角的度数是180度。

2. 三角形的边长关系：在一个三角形中，两边之和大于第三边。

这被称为三角形的三边不等式。

例如，如果一个三角形的两边长分别为a 和b，那么它们之和大于第三边c，即a + b > c。

3. 三角形的分类：三角形可以根据其边长和角度分类。

根据边长可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形；根据角度可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

4. 三角形的面积：三角形的面积可以通过海伦公式或者高度乘底边长的一半来计算。

海伦公式是一种计算任意三角形面积的公式，它用到了三角形的三边长。

5. 相似三角形：如果两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。

相似三角形有相似比例和面积比关系，可以用于解决一些几何问题。

三、相关概念1. 直角三角形：直角三角形是其中一个角为90度的三角形。

直角三角形的两条边相互垂直，并且满足勾股定理的关系，即a^2 + b^2 =c^2。

2. 锐角三角形：锐角三角形是其中所有角度都小于90度的三角形。

它的三个角都是锐角。

3. 钝角三角形：钝角三角形是其中有一个角大于90度的三角形。

它的一个角是钝角。

4. 等边三角形：等边三角形是所有边长相等的三角形。

它的三个角度也相等，每个角度都是60度。

5. 等腰三角形：等腰三角形是其中两边的边长相等的三角形。

一个等腰三角形至少有两个角度相等。

总结：三角形是几何学中最基本的图形之一，由三条线段组成，并且每两条线段的两个端点相连形成三个角。

什么是三角形三角形是由三条线段组成的几何图形。

它是平面几何学中的一种基本形状，广泛应用于各个领域。

三角形的研究对于数学、物理、建筑和工程等学科都具有重要的意义。

本文将全面介绍什么是三角形，以及与三角形相关的概念、性质和应用。

一、三角形的定义三角形是指由三条线段连接而成的图形，其中每两条线段之间形成了一个内角。

三角形的三个顶点可以连成一个闭合的图形，也可以是非闭合的。

三角形是一个基本的平面图形，它由三个顶点和三条边组成。

根据三条边的长度关系，三角形可以进一步分类。

二、三角形的分类根据三边的长度关系，三角形可以被分类为以下三种类型：等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

1. 等边三角形：三条边的长度相等，内角也相等，为60°。

等边三角形具有很高的对称性和稳定性，常用于建筑和工程设计中。

2. 等腰三角形：两条边的长度相等，两个对应的内角也相等。

等腰三角形的特点是具有对称性，并且顶角和底角的和等于180°。

3. 一般三角形：三条边的长度和内角都各不相等。

一般三角形是最常见的三角形类型，根据边长和角度的不同组合，还可以进一步分类。

三、三角形的性质三角形具有一些独特的性质，这些性质对于解决与三角形相关的问题非常有帮助。

1. 内角和性质：三角形的内角和等于180°。

即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

这个性质被称为三角形的内角和定理。

2. 外角和性质：三角形的外角和等于360°。

即∠D + ∠E + ∠F = 360°。

任意一条边的外角等于其他两个内角的和。

3. 三边关系：三角形的任意两条边之和大于第三条边。

即AB + BC > AC，BC + AC > AB，AC + AB > BC。

这个性质被称为三角形的三边不等式定理。

4. 高度和中线：三角形的高度是从顶点到对边的垂直距离。

三角形的中线是连接两边中点和对边顶点的线段。

四、三角形的应用由于三角形具有稳定性和对称性，它在实际应用中有着广泛的用途。

三角形的性质与特点三角形是几何学中的重要概念，具有独特的性质和特点。

本文将系统地介绍三角形的性质和特点，包括角度关系、边长关系、面积等。

通过深入了解三角形的相关知识，有助于提高对几何学的理解和运用能力。

一、三角形的基本定义三角形由三条线段组成，每条线段称为该三角形的边。

三角形有三个顶点，两个顶点之间的线段称为边，三个顶点之间的夹角称为角。

三角形的性质与特点与其边长和角度有着密切的关系。

二、三角形的角度关系1. 三角形内角和定理三角形的内角和等于180度。

即三角形的三个内角的度数之和始终为180度。

这是三角形的基本性质之一，对于任意三角形都成立。

2. 三角形的角分类三角形根据其内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

锐角三角形的三个内角都小于90度，直角三角形的一个内角为90度，钝角三角形的一个内角大于90度。

这种分类方式是根据三角形内角的度数来划分的。

3. 三角形的相等角关系如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是相等的。

也就是说，若两个三角形的三个内角对应相等，则这两个三角形是相等的。

这是判断三角形相等的重要条件之一。

三、三角形的边长关系1. 三角形三边关系三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

即对于三角形的边长a、b、c，有以下关系：a +b > c|a - b| < cb +c > a|b - c| < aa + c > b|a - c| < b这些关系可以用于判断给定三边是否能够构成三角形。

2. 等边三角形如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形。

等边三角形的三个内角也都相等，每个角都是60度。

等边三角形是一种特殊的三角形，具有对称性和稳定性。

3. 等腰三角形如果一个三角形的两条边（即两边两边之间）相等，那么这个三角形是等腰三角形。

等腰三角形的两个底角（底边两边之间的角）也相等。

等腰三角形具有对称性，其标志性特点是顶角在顶点上。