2019版高中数学人教A版必修5：第一章检测A 含解析
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第一章检测(A)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1已知在△ABC中,c=6,a=4,B=120°,则b等于( ).
A.76
B.219
𝐶.27
𝐷.27
解析:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=42+62-2×4×6cos 120°=76,
所以b=219.
答案:B
2在△ABC中,sin A△ABC的外接圆的半径R=2,则a等于( ).=1
3,且
A.2
3𝐵.4
3𝐶.3
2𝐷.6
解析:A=2×2sin A∵𝑎
𝑠𝑖𝑛𝐴=2𝑅,∴𝑎=2𝑅𝑠𝑖𝑛 =4
3.
答案:B
3在△ABC中,已知b=2,𝑐=1,𝐵=45°,则𝑎等于( ).
A.6-2
2 𝐵.6+2
2
C.2+1 𝐷.3‒2
解析:由b2=a2+c2-2accos B,得2=a2+1-2acos 45°,
解得aa).=2+6
2或=2-6
2(舍去
答案:B
4△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B△ABC的面积为( ).=𝜋
6,𝐶=𝜋
4,则
A.23+2𝐵.3+1
C.23‒2𝐷.3‒1
解析:A=π-(B+C)=π‒(𝜋
6+𝜋
4)
=7𝜋
12,
由正弦定理得𝑎
𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏
𝑠𝑖𝑛𝐵,
则a=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑠𝑖𝑛𝐵=2𝑠𝑖𝑛7𝜋
12
𝑠𝑖𝑛𝜋
6=6+2,
故S
△ABCC=1
2𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛 =1
2×(6+2)×2×2
2=3+1.
答案:B
5若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC( ).
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
解析:由sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13及正弦定理,
得a∶b∶c=5∶11∶13.
设a=5t,b=11t,c=13t,由余弦定理,
得cos CC为钝角.=(5𝑡)2+(11𝑡)2-(13𝑡)2
2×5𝑡×11𝑡<0,所以角
答案:C
6在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=3𝑏𝑐,𝑠𝑖𝑛 𝐶=23𝑠𝑖𝑛 𝐵,则𝐴等于( ).
A.30°B.60°C.120°D.150°
解析:利用正弦定理,sin C=B可化为c=23𝑠𝑖𝑛 23𝑏,
所以cos A=𝑏2+𝑐2-𝑎2
2𝑏𝑐=-3𝑏𝑐+𝑐2
2𝑏𝑐
=-3𝑏𝑐+23𝑏𝑐
2𝑏𝑐=3
2,
所以A=30°.
答案:A
7△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=3,则𝑐=( ).
A.23𝐵.2𝐶.2𝐷.1
解析:由正弦定理𝑎
𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏
𝑠𝑖𝑛𝐵,得1
𝑠𝑖𝑛𝐴=3
𝑠𝑖𝑛𝐵,
又∵B=2A,∴1
𝑠𝑖𝑛𝐴=3
𝑠𝑖𝑛2𝐴=3
2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐴,
∴cos A=3
2,∴𝐴=30°,
∴B=60°,C=90°,∴c=12+(3)2=2.
答案:B
8△ABC的三边分别为a,b,c且a=1,B=45°,S
△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为( ).
A.43𝐵.5𝐶.52𝐷.62
解析:∵S
△ABCB,∴c==1
2𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛
42.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B
=12+2-2×1×45°=25,(42)42𝑐𝑜𝑠
∴b=5.
由正弦定理得2RR为△ABC外接圆的半径).=𝑏
𝑠𝑖𝑛𝐵=52(
答案:C
9在锐角三角形ABC中,BC=1,B=2A,则AC的取值范围是( ).
A.[-2,2]B.[0,2]
C.(0,2]D.(2,3)
解析:∵△ABC是锐角三角形,
∴B=2A<90°,C=180°-3A<90°,
即30°
AC·BC=2cos A.又𝐴𝐶
𝑠𝑖𝑛𝐵=𝐵𝐶
𝑠𝑖𝑛𝐴,即=𝑠𝑖𝑛𝐵
𝑠𝑖𝑛𝐴
又30°
答案:D
10如图,一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处,下
午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这艘船航行的速度为 ( ).
A.176
2海里/时
B.346海里/时
C.172
2海里/时
D.342海里/时
解析:由题意知PM=68海里,∠MPN=120°,∠N=45°.由正弦定理,知𝑃𝑀
𝑠𝑖𝑛45°=𝑁𝑀
𝑠𝑖𝑛120°.
∴MN=68).×3
2×2=346(海里
∴速度/时).为346
4=176
2(海里
答案:A
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11在△ABC中,A=45°,C=105°,BC=2,则𝐴𝐶的长度为____________________.
解析:B=180°-A-C=30°,由正弦定理,AC·BC得𝐴𝐶
𝑠𝑖𝑛𝐵=𝐵𝐶
𝑠𝑖𝑛𝐴,故=𝑠𝑖𝑛𝐵
𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖𝑛30°
𝑠𝑖𝑛45°×2=1.
答案:1
12在△ABC中,BC=3,AB=2,且𝑠𝑖𝑛𝐶
𝑠𝑖𝑛𝐵=2
5(6+1),则𝐴=____________________.
解析:由a=3,c=2,且𝑠𝑖𝑛𝐶
𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐
𝑏,
知b=2
2
5(6+1)=6‒1.
故cos A=𝑏2+𝑐2-𝑎2
2𝑏𝑐=‒1
2,𝐴=120°.
答案:120°
13在△ABC中,若B=60°,a=1,S
△ABC=3
2,则𝑐
𝑠𝑖𝑛𝐶=____________________.
解析:把已知条件代入面积公式
S
△ABCB得c=2.=1
2𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=3,故b=3.
由正弦定理,得𝑐
𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑏
𝑠𝑖𝑛𝐵=2.
答案:2
14如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从点A测得点M的仰角
∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则
山高MN= .
解析:在Rt△ABC中,由于∠CAB=45°,BC=100 m,
所以AC=10m.02
在△MAC中,∠AMC=180°-75°-60°=45°,
由正弦定理可得𝐴𝐶
𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝑀𝐶=𝑀𝐴
𝑠𝑖𝑛∠𝑀𝐶𝐴,
于是MAm).=1002×3
2
2
2=1003(
在Rt△MNA中,∠MAN=60°,
于是MN=MA·sin∠MAN=10m),03×3
2=150(
即山高MN=150 m.
答案:150 m
15如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB
=3𝐵𝐷,𝐵𝐶=2𝐵𝐷,则𝑠𝑖𝑛 𝐶=____________________.
解析:设BD=a,则BC=2a,AB=AD=3
2𝑎.
在△ABD中,由余弦定理,得
cos A=𝐴𝐵2+𝐴𝐷2-𝐵𝐷2
2𝐴𝐵·𝐴𝐷
=(3
2𝑎)
2+(3
2𝑎)
2
-𝑎2
2×3
2𝑎×3
2𝑎=1
3.
又A为△ABC的内角,∴sin A=22
3.
在△ABC中,由正弦定理得,𝐵𝐶
𝑠𝑖𝑛𝐴=𝐴𝐵
𝑠𝑖𝑛𝐶.
∴sin C·sin A=𝐴𝐵
𝐵𝐶=3
2𝑎
2𝑎×22
3=6
6.
答案:6
6
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin B=3𝑏.
(1)求角A的大小;
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
解(1)由2asin B=3𝑏及正弦定理𝑎
𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏
𝑠𝑖𝑛𝐵,
得sin A=3
2.
因为A是锐角,所以A=𝜋
3.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.
又b+c=8,所以bc=28
3.
由三角形面积公式SA,得△ABC的面积=1
2𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛 为73
3.
17(8分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos C=4
5,𝑐=2𝑏𝑐𝑜𝑠 𝐴.
(1)求证:A=B;
(2)若△ABC的面积S=15
2,求𝑐的值.
(1)证明由余弦定理,得cos A=𝑏2+𝑐2-𝑎2
2𝑏𝑐,
所以c=2b·c2=b2+c2-a2,𝑏2+𝑐2-𝑎2
2𝑏𝑐,整理得
所以a2=b2.所以a=b,所以A=B.
(2)解由(1)知a=b.
因为cos C=4
5,0°<𝐶<180°,
