2019版高中数学人教A版必修5：第一章检测B 含解析
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第一章检测(B)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan BB的值为( )=3𝑎𝑐,则角
A.𝜋
6
𝐵.𝜋
3
C.𝜋
6或5𝜋
6
𝐷.𝜋
3或2𝜋
3
解析:∵(a2+c2-b2)tan B=3𝑎𝑐,
·tan B∴𝑎2+𝑐2-𝑏2
2𝑎𝑐=3
2,
即cos B·tan B=sin B=3
2.
∵0
3或2𝜋
3.
答案:D
2在△ABC中,b=3,𝑐=3,𝐵=30°,则𝑎的值为( ).
A.3 𝐵.23
C.3或23 𝐷.2
解析:∵sin C·c=𝑠𝑖𝑛𝐵
𝑏=3
2,
∴C=60°或C=120°.∴A=90°或A=30°.
当A=30°时,a=b=3;
当A=90°时,a=𝑏2+𝑐2=23.
答案:C
3在△ABC中,∠ABC∠BAC=( ).=𝜋
4,𝐴𝐵=2,𝐵𝐶=3,则𝑠𝑖𝑛
A.10
10𝐵.10
5
C.310
10𝐷.5
5
解析:在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=2+9-2AC×2×3×2
2=5,即得
=5.
由正弦定理𝐴𝐶
𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶
𝑠𝑖𝑛∠𝐵𝐴𝐶,得5
2
2=3
𝑠𝑖𝑛∠𝐵𝐴𝐶,
所以sin∠BAC=310
10.
答案:C
4在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>b>c,a2
A.(𝜋
2,𝜋)
𝐵.(𝜋
4,𝜋
2)
C.(𝜋
3,𝜋
2)
𝐷.(
0,𝜋
2)
解析:cos A=𝑏2+𝑐2-𝑎2
2𝑏𝑐>0,∴𝐴<𝜋
2.
又a>b>c,∴A>B>C.
∴AC.>𝜋
3,故选
答案:C
5在△ABC中,AB=3,BCAC=4,则边AC上的高为( )=13,
A.32
2 𝐵.33
2 𝐶.3
2 𝐷.33
解析:在△ABC中,∵AB=3,BCAC=4,=13,
∴由余弦定理,得cos A=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2-𝐵𝐶2
2𝐴𝐵·𝐴𝐶=1
2,
∴∠A=60°.
而AC边上的高h=AB·sin A=3×sin 60°=33
2.
故选B.
答案:B
6在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则𝑏
𝑎的取值范围是( )
A.(1B.,2)(2,3)
C.(1D.,3)(3,22)
解析:在△ABC中,由正弦定理可得𝑏
𝑎=𝑠𝑖𝑛𝐵
𝑠𝑖𝑛𝐴.
∵B=2A,A.∴𝑏
𝑎=𝑠𝑖𝑛2𝐴
𝑠𝑖𝑛𝐵=2𝑠𝑖𝑛𝐴·𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑠𝑖𝑛𝐴=2𝑐𝑜𝑠
∵在锐角三角形ABC中,0°
即0°<2A<90°,∴0°
由三角形内角和定理A+B+C=180°,
得0°
∴30°
2<𝑐𝑜𝑠 <3
2.
AB.∴2<2𝑐𝑜𝑠 <3.故选
答案:B
7在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=( ).
A.3𝜋
4 𝐵.𝜋
3
C.𝜋
4 𝐷.𝜋
6
解析:由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,
因为b=c,
所以a2=b2+b2-2b×bcos A=2b2(1-cos A).
由已知a2=2b2(1-sin A),
所以sin A=cos A,
因为A∈(0,π),所以A=𝜋
4.
答案:C
8在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若tan A=7tan B,𝑎2-𝑏2
𝑐=3,则𝑐等于( ).
A.4B.3C.7D.6
解析:由tan A=7tan B,得𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴=7𝑠𝑖𝑛𝐵
𝑐𝑜𝑠𝐵,
即sin Acos B=7sin Bcos A,
所以sin Acos B+sin Bcos A=8sin Bcos A,
即sin(A+B)=sin C=8sin Bcos A.
由正、余弦定理可得c=8b·𝑏2+𝑐2-𝑎2
2𝑏𝑐,
即c2=4b2+4c2-4a2,
c2=4c,即c=4.又𝑎2-𝑏2
𝑐=3,所以
答案:A
9在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C等于 ( ).
A.3
4 𝐵.4
3
C.‒3
4 𝐷.‒4
3
解析:由2S=(a+b)2-c2,得2S=a2+b2+2ab-c2,
即2C=a2+b2+2ab-c2,×1
2𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛
所以absin C-2ab=a2+b2-c2.
由余弦定理可知
cos C=𝑎2+𝑏2-𝑐2
2𝑎𝑏=𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶-2𝑎𝑏
2𝑎𝑏=𝑠𝑖𝑛𝐶
2‒1,
所以cos C+1=𝑠𝑖𝑛𝐶
2,
即2cos2𝐶
2=𝑠𝑖𝑛𝐶
2𝑐𝑜𝑠𝐶
2,
所以ta𝑛𝐶
2=2.
所以tan C=2𝑡𝑎𝑛𝐶
2
1-𝑡𝑎𝑛2𝐶
2=2×2
1-22=‒4
3.
答案:D
10甲船在B岛的正南方10 km处,且甲船以4 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船自B岛出发以
6 km/h的速度向北偏东60°的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是( ).
A.150
7min 𝐵.15
7 ℎ
C.21.5 minD.2.15 h
解析:如图,设经过x h后甲船处于点P处,乙船处于点Q处,两船的距离为s,
则在△BPQ中,BP=10-4x,BQ=6x,∠PBQ=120°,
由余弦定理可知s2=PQ2=BP2+BQ2-2BP·BQ·cos∠PBQ,
即s2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)·6x·cos 120°=28x2-20x+100.
当x=s最小,‒-20
2×28=5
14时
此时x=5
14(ℎ)=150
7(𝑚𝑖𝑛).
答案:A
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C= .
解析:∵3sin A=5sin B,∴3a=5b.①
又b+c=2a,②
∴由①②可得,a=5
3𝑏,𝑐=7
3𝑏,
∴cos C=𝑏2+𝑎2-𝑐2
2𝑎𝑏=𝑏2+(5
3𝑏)2-(7
3𝑏)2
2×5
3𝑏×𝑏=‒1
2,
∴C=2𝜋
3.
答案:2𝜋
3
12如图所示,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,
∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为 .
解析:在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,
∴∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC.
∴AC=AB=120 m.
∴宽h=AC·sin 30°=60(m).
答案:60 m
13在△ABC中,BC=1,B△ABC的面积等=𝜋
3,当
于3时,𝑠𝑖𝑛 𝐶=____________________.
解析:设AB=c,AC=b,BC=a,
则△ABC的面积SBc=4,=1
2𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛
=3,解得
所以b=𝑎2+𝑐2-2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵=13.
所以cos C=𝑎2+𝑏2-𝑐2
2𝑎𝑏=‒13
13.
所以sin C=239
13.
答案:239
13
14在△ABC中,已知b=1,sin C=3
5,𝑏𝑐𝑜𝑠 𝐶+𝑐𝑐𝑜𝑠 𝐵=2,则𝐴𝐶·𝐵𝐶=_________________.
解析:由余弦定理的推论知
cos CB=𝑎2+𝑏2-𝑐2
2𝑎𝑏,𝑐𝑜𝑠 =𝑎2+𝑐2-𝑏2
2𝑎𝑐.
∵bcos C+ccos B=2,
∴𝑎2+𝑏2
-𝑐2
2𝑎+𝑎2+𝑐2
-𝑏2
2𝑎=2.
∴a=2,即|𝐵𝐶|=2.
又b=1,∴|𝐴𝐶|=1.
∵sin C=3
5,0°<𝐶<180°,
∴cos Ccos C==4
5或‒4
5.
∴𝐴𝐶·𝐵𝐶=8
5或𝐴𝐶·𝐵𝐶=‒8
5.
答案:8
5或‒8
5
15在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若1+𝑡𝑎𝑛𝐴
𝑡𝑎𝑛𝐵=2𝑐
𝑏,则𝐴=_________________.
解析:由正弦定理,得2𝑐
𝑏=2𝑠𝑖𝑛𝐶
𝑠𝑖𝑛𝐵.
又因为1+𝑡𝑎𝑛𝐴
𝑡𝑎𝑛𝐵=𝑡𝑎𝑛𝐵+𝑡𝑎𝑛𝐴
𝑡𝑎𝑛𝐵
