2019版高中数学人教A版必修1：第二章检测(A) 含解析
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第二章检测(A)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的)
1.计算log33+4-1
2的值为( )
A.1B.5
2
𝐶.7
2
𝐷.4
解析:原式=log331
2+(22)-1
2=1
2+1
2=1.
答案:A
2.函数y=log
2(3+x)的定义域为( )
A.RB.(0,+∞)
C.(-3,+∞)D.[-3,+∞)
解析:当函数有意义时,3+x>0,解得x>-3.
答案:C
3.下列计算正确的是( )
A.x3+x3=x6B.(3a2b3)2=9a4b9
C.lg(a+b)=lg alg bD.ln e=1
解析:x3+x3=2x3,故A不正确;(3a2b3)2=9a4b6,故B不正确;由对数运算性质易知C不正确.故选D.
答案:D
4.下列函数中,在定义域内是减函数的是( )
A.f(x)=x
B.f(x)=𝑥
C.f(x)=1
2𝑥
𝐷.𝑓(𝑥)=𝑙𝑛 𝑥
解析:一次函数f(x)=x、幂函数f(x)f(x)=ln x在各自的定义域内均是增函数,而f(x)=𝑥、对数函数
,在定义域内是减函数.=1
2𝑥=(1
2)𝑥
是指数函数
答案:C
5.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则f(x)的增区间为( )
A.(-∞,+∞)B.(-∞,0]
C.[0,+∞)D.(1,+∞)
解析:根据题意,幂函数f(x)=xα过点(4,2),故2=4α,
∴2=22α,即αf(x),故f(x)的增区间为[0,+∞).=1
2,则
=𝑥1
2在第一象限内为增函数
答案:C
6.设a=40.1,b=log
30.1,c=0.50.1,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a>b>cB.b>a>c
C.a>c>bD.b>c>a
解析:∵函数y=x0.1在(0,+∞)上为增函数,
∴40.1>0.50.1>0.
由函数y=log
3x的性质得log
30.1<0.
∴a>c>b.答案:C
7.若函数f(x)=3(2a-1)x+3在R上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.(
-∞,1
2)
𝐵.(1
2,+∞)
C.(1
2,1)
∪(1,+∞)
𝐷.(1
2,1)
解析:由于底数3∈(1,+∞),所以函数f(x)=3(2a-1)x+3的单调性与y=(2a-1)x+3的单调性相同.因为函数f(x)
=3(2a-1)x+3在R上是减函数,所以y=(2a-1)x+3在R上是减函数,所以2a-1<0,即aa的取值<1
2,从而实数
范围A.是(
-∞,1
2)
,选
答案:A
8.函数y=l𝑔(2
1-𝑥-1)
的图象关于( )对称.
A.原点B.x轴C.y轴D.y=x
解析:因y=l(-1,1),f(-x)=l,故其图象关𝑔(2
1-𝑥-1)
=𝑙𝑔1+𝑥
1-𝑥,定义域为𝑔1-𝑥
1+𝑥=‒𝑙𝑔1+𝑥
1-𝑥=‒𝑓(𝑥),函数为奇函数
于原点对称.
答案:A
9.若log
a2<0(a>0,且a≠1),则函数f(x)=log
a(x+1)的图象大致是( )
解析:∵log
a2<0,∴0
a(1+1)=log
a2<0,∴点(1,f(1))在函数f(x)的图象上,且在第四象限,排除
选项A,C,D.故选B.
答案:B
10.已知函数f(x)满足:当x≥4时,f(x)=(1
2)𝑥;当𝑥<4时,𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+1),则𝑓(2+𝑙𝑜𝑔
23)等于( )
A.1
24 𝐵.1
12 𝐶.1
8 𝐷.3
8
解析:2+log
23=log
24+log
23=log
212
216=4,log
224>log
216=4.由于当x<4时,f(x)=f(x+1),则f(2+log
23)
=f(log
212)=f(1+log
212)=f(log
224).又当x≥4时,f(x)f(log
224)=(1
2)𝑥,所以
f(2+log
23)=(1
2)𝑙𝑜𝑔
224
=2𝑙𝑜𝑔
21
24=1
24,故=1
24.
答案:A
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.已知函数f(x)={𝑙𝑜𝑔
2𝑥,𝑥>0,
3𝑥,𝑥≤0,则𝑓(
𝑓(1
4))
的值是____________________________.
解析:𝑓(1
4)
=𝑙𝑜𝑔
21
4=‒2,
则𝑓(
𝑓(1
4))
=𝑓(‒2)=3‒2=1
9.
答案:1
9
12.已知函数y=a2x-1+1(a>0,且a≠1),若无论a取何值,函数图象恒过一点,则该点坐标为 .
解析:当x,恒有a2x-1=a0=1,此时y=1+1=2,所以该定点坐标=1
2时为(1
2,2)
.
答案:(1
2,2)
13.已知幂函数f(x)的图象过点(1
2,2
2)
,则𝑙𝑜𝑔4𝑓(2)的值为_________________________.
解析:设f(x)=xα,则由已知得(1
2)𝛼=2
2,
∴α=1
2,∴𝑓(𝑥)=𝑥1
2.
∴log
4f(2)=log421
2=1
2𝑙𝑜𝑔42=1
4.
答案:1
4
14.已知函数f(x)=a-log
2x的图象经过点A(1,1),则不等式f(x)>1的解集为 .
解析:由已知得a=1,不等式f(x)>1,
即1-log
2x>1,即log
2x<0,解得0
答案:(0,1)
15.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)内单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(
‒2),则𝑎的取值范围是_________________________.
解析:由题意知函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)>f(f(2|a-1|)>‒2)可化为
f2|a-1|(2),则<2,|𝑎‒1|<1
2,解得1
2<𝑎<3
2.故答案为(1
2,3
2)
.
答案:(1
2,3
2)
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)计算:
(1)(
21
4)1
2‒(‒9.6)0‒(
33
8)-2
3+1.5‒2;
(2)lg 500+l𝑔8
5‒1
2𝑙𝑔 64+(𝑙𝑔 2+𝑙𝑔 5)2.
解:(1)原式=(9
4)1
2‒1‒(27
8)-2
3+(3
2)-2
=3
2‒1‒(3
2)
-2
+(3
2)
-2
=1
2.
(2)原式=lg 5+lg 102+lg 23-lg 526+(lg 10)2=lg 5+2+3lg 2-lg 5-3lg 2+1=3.‒1
2𝑙𝑔
17.(8分)已知函数f(x)=2x+2ax+b,且f(1)=5
2,𝑓(2)=17
4.
(1)求a,b;
(2)判断f(x)的奇偶性.
解:(1)因为f(1)=5
2,𝑓(2)=17
4,
所以{
2+2𝑎+𝑏=5
2,
22+22𝑎+𝑏=17
4,即{𝑎+𝑏=-1,
2𝑎+𝑏=-2.
解得{𝑎=-1,
𝑏=0.
(2)由(1)知f(x)=2x+2-x,其定义域是R.
又因为f(-x)=2-x+2x=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
18.(9分)已知函数f(x)=4x-2·2x+1-6,其中x∈[0,3].
(1)求函数f(x)的最大值和最小值;
(2)若实数a满足f(x)-a≥0恒成立,求a的取值范围.
解:(1)f(x)=(2x)2-4·2x-6(0≤x≤3).
令t=2x,∵0≤x≤3,∴1≤t≤8.
令h(t)=t2-4t-6=(t-2)2-10(1≤t≤8).
当t∈[1,2]时,h(t)是减函数;当t∈(2,8]时,h(t)是增函数.
∴f(x)
min=h(2)=-10,f(x)
max=h(8)=26.
(2)∵f(x)-a≥0恒成立,即a≤f(x)恒成立,
∴a≤f(x)
min恒成立.
由(1)知f(x)
min=-10,∴a≤-10.
故a的取值范围为(-∞,-10].
19.(10分)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数,g(x)=log
a[f(x)-ax](a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)在区间(2,3)内为增函数,求实数a的取值范围.
解:(1)由m2-3m+3=1,得m=1或m=2.
当m=1时,f(x)=x2,为偶函数,符合题意;
当m=2时,f(x)=x3,为奇函数,不符合题意,舍去,
故f(x)=x2.
(2)由(1)知f(x)=x2,g(x)=log
a(x2-ax).
①当a>11
2≤2,
4-2𝑎>0,解得
