组合数学卢开澄答案

证明组合恒等式的方法与技巧摘要本文是以高中二项式定理和排列组合知识为理论基础，对几个常见重要的例题作分析，总结组合恒等式常见的证明方法与技巧。

对组合恒等式的证明方法本文主要讲了组合公式法，组合数性质法，二项式定理法，比较系数法，数列求和法，数学归纳法，组合分析法。

关键字组合，组合数，组合恒等式，二项式定理Proof Methods and Skills of Combinatorial Identity ABSTRACT This thesis primarily analyses some common but significant examples on the basis of binomial theorem and permutation and combination knowledge of senior middle school to summarize the common demonstrating methods and technique of combinatorial identity. For combinatorial identity, here it mainly introduces the methods of combination formula, unitized construction, mathematical induction ，and so on . KEY WORDS combination，combinatorial identity，binomial theorem前言组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排列组合、二项式定理为基础。

组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性很强，要求学生掌握这部分知识，不但要学好有关的基础知识，基本概念和基本技能，而且还要适当诱导学生拓宽思路、发挥才智，培养解决问题方法多样化的思想。

武汉数字工程研究所（七○九所）2007年硕士、博士研究生招生简章武汉数字工程研究所（709所）隶属中国船舶重工集团公司。

成立于1956年，是我国最点研究所。

全所1千余名职工中，科技人员所占比例为60%，硕、博士学位人员占科研人员总数的25%。

1979年开始招收“计算机软件与理论”硕士研究生，1985年后相继获得“计算机系统结构”和“计算机应用技术”专业的硕士学位研究生招生与培养授权点，近期在“计算机应用技术”专业中增设“通信与信息系统”研究方向。

1997年经国务院学位委员会审批，我所与哈尔滨工程大学联合建立了“计算机应用技术”博士学位专业授权点，其研究方向为：指控系统技术、软件开发环境与应用系统集成，分别由计算机领域的知名专家、教授担任指导教专业的博士后科研流动站七○九所分站。

论主要研究软件开发（生产）、维护以及使用过程中所涉及的理论、方法和技术，探讨计算机科学与技术学科发展的理论基础。

其主要方向为：软件工程技术及应用、指控系统数据融合技术、软件仿真与测试技术、软件系统集成。

计算机系统结构主要研究软件与硬件的功能匹配，确定软件与硬件间的界面；研究计算机系统的物理或硬件结构，各组织部分的属性及这些部分的相互联系。

其主要研究方向为：容错技术、计算机体系结构技术、并行处理技术。

计算机应用技术着重研究计算机用于各个领域所涉及的原理、方法与技术。

其主要研究方向为：指控系统技术、计算机图形图像显示与信息处理、微电子设计、计算机网络与信息工程、计算机信息化管理、无线射频识别（RFID）技术及应用。

新增的“通信与信息系统”研究方向主要是以信息传输、交换以及信息网络为主体的各类通信与信息系统，与电子科学、控制科学、计算机科学等领域有交叉。

2007年硕士研究生招生专业目录2007年博士生招生专业目录博士生入学考试参考书目计算机网络：计算机网络谢希仁、达蓝伯姆清华大学出版社计算机系统结构：计算机系统结构李学干、苏东庄西安电子二版人工智能：人工智能及其应用石纯一、蔡自兴清华大学出版社软件工程：软件工程齐治昌高等教育出版社数据库原理：数据库原理及应用系统开发张健沛中国水利水电出版社数据结构与程序设计：数据结构严蔚敏清华大学出版社数理逻辑：数理逻辑引论马胜光哈尔滨工程大学组合数学：组合数学卢开澄清华大学出版社（第二、三版）概率论与数理统计：概率论与数理统计王林书鲍兰平赵瑞清科学出版社“计算机应用技术博士后流动站”进站公告我所“计算机应用技术博士后流动站”已正式启动欢迎相关专业博士毕业生到我站工作。

用对偶单纯形法求对偶问题的最优解摘要：在线性规划的应用中，人们发现一个线性规划问题往往伴随着与之配对的另一个线性规划问题.将其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题.对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的在联系.由对偶问题引申出来的对偶解有着重要的经济意义.本文主要介绍了对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求解对偶问题的最优解.关键词：线性规划；对偶问题；对偶单纯形Using Dual Simplex Method To Get The Optimal Solution OfTheDual ProblemAbstract：In the application of the linear programming，people find that a linear programming problem is often acpanied by another paired linear programming problem.One is called original problem. Another is called the dual problem.Duality theory reveals the internal relationsbetween the dual problem and the original problem.The solution of the dual problem is of a great economic significance.In this paper，we mainly discuss the basic form of the dual problem and how to use dual simplex method to get the optimal solution of the dual problem.Keywords: linear programming；dual problem；dual simplex method1 引言首先我们先引出什么是线性规划中的对偶问题.任何一个求极大化的线性规划问题都有一个求极小化的线性规划问题与之对应，反之亦然，如果我们把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，并称这一对互相联系的两个问题为一对对偶问题.每个线性规划都有另一个线性规划(对偶问题)与它密切相关，对偶理论揭示了原问题与对偶问题的在联系.下面将讨论线性规划的对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求最优解.在一定条件下，对偶单纯形法与原始单纯形法相比有着显著的优点.2 对偶问题的形式对偶问题的形式主要包括对称形对偶问题[]3和非对称性对偶问题.2.1对称形对偶问题设原线性规划问题为Max1122...n nZ c x c x c x =+++()11112211211222221122...............0.1,2,...,n n n n m m mn n nj a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x bx j n +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪⎨⎪+++≤⎪≥=⎪⎩（2.1） 则称下列线性规划问题Max 1122...m m W b y b y b y =+++()11112211211222221122...............0.1,2,...,n n n n m m mn n nj a y a y a y c a y a y a y c a y a y a y cy j m +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪⎨⎪+++≤⎪≥=⎪⎩（2.2） 为其对偶问题，其中(1,2,...,)i y i m =称其为对偶变量，并称（2.1）和（2.2）式为一对对称型对偶问题.原始对偶问题（2.1）和对偶问题（2.2）之间的对应关系可以用表2-1表示.这个表从横向看是原始问题，从纵向看使对偶问题.用矩阵符号表示原始问题（2.1）和对偶问题（2.2）为CX Z =max原问题⎩⎨⎧≥≤0X b AX （2.3）Yb W =min对偶问题⎩⎨⎧≥≤0Y C YA （2.4）其中()12,,...,m Y y y y =是一个行向量.2.2 非对称对偶问题线性规划有时以非对称形式出现，那么如何从原始问题写出它的对偶问题，我们从一个具体的例子来说明这种非对称形式的线性规划问题的对偶问题的建立方法. 例1写出下列原始问题的对偶问题43214765m ax x x x x Z ++-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥-≥++--≤-+--=--+)4,3,2,1(032417281473672432143214321j x x x x x x x x x x x x x j解： 第一约束不等式等价与下面两个不等式约束724321-≤--+x x x x 724321≤++--x x x x第二个约束不等式照写147364321≤-+-x x x x第三个不等式变成32417284321≤--+x x x x以121123,,,y y y y 分别表示这四个不等式约束对应的对偶变量，则对偶问题为32211131477min y y y y W +++-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--+-≥-++--≥+--≥++-0,,,427746173225286322111322111322111322111322111y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y令12111y y y =-，则上式的对偶问题变为：3213147m in y y y W ++-=12312312312323162852317647724,0,y y y y y y y y y y y y y y y ++≥⎧⎪-+≥-⎪⎪-+-≥⎨⎪---≥⎪≥⎪⎩无符号限制一般可以证明，若原问题中的某个变量无非负限制，则对偶问题中的相应约束为等式.3 对偶单纯形法对偶问题求解具有重要的意义，有多种方法解决对偶问题.下面介绍用对偶单纯形法来解决线性规划的对偶问题.先介绍以下几个线性规划的基本概念[]6：基： 已知A 是约束条件的m n ⨯系数矩阵，其秩为m .若B 是A 中m m ⨯阶非奇异子矩阵（即可逆矩阵），则称B 是线性规划问题中的一个基.基向量：基B 中的一列即称为一个基向量.基B 中共有m 个基向量. 非基向量：在A 中除了基B 之外的一列则称之为基B 的非基向量. 基变量：与基向量相应的变量叫基变量，基变量有m 个.非基变量：与非基向量相应的变量叫非基变量，非基变量有n m -个. 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m 元线性方程组就可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解.首先重新回顾一下单纯形法的基本思想，其迭代的基本思路是：先找出一个基可行解，判断其是否为最优解，如果不是，则转换到另一更优的基可行解，并使目标函数值不断优化，直到找到最优解为止.我们可以用另一种思路，使在单纯形法每次迭代的基本解都满足最优检验，但不一定满足非负约束，迭代时使不满足非负约束的变量个数逐步减少.当全部基变量都满足非负约束条件时，就得到了最优解，这种算法就是对偶单纯形法. 因此，单纯形法是从一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优条件为止.对偶单纯形法是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索出最优解.在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失.现把对偶单纯形法的基本步骤总结如下[3]:第一，把所给的线性规划问题转化为标准型；第二，找出一个初始正则基0B ，要求对应的单纯形表中的全部检验数0j σ≤，但“右边”列中允许有负数；第三，若“右边”列中各数均非负，则0B 已是最优基，于是，已求得最优解，计算终止.否则转为第四步；第四，换基：“右边”列中取值最小（即负的最多）的数所对应的变量为出基变量.计算最小比值θ.最小比值出现在末列，则该列所对应的变量即为进基变量，换基后得新基1B ，以出基变量的行和进基变量列交点处的元素为主元进行单纯形迭代，再转入第三步. 下面用一个例子具体说明用对偶单纯形法求线性规划问题最优解的步骤： 例1 求解线性规划问题 min 12315511W y y y =++;1231231233225524,,0y y y y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩添加松弛变量以后的标准型 min 12315511W y y y =++12341235123453225524,,,,0y y y y y y y y y y y y y ++-=⎧⎪++-=⎨⎪≥⎩ 将每个等式两边乘以-1，则上述问题转化为 min 12315511W y y y =++;12341235123453225524,,,,0y y y y y y y y y y y y y ---+=-⎧⎪---+=-⎨⎪≥⎩如果取()045,B Y y y =作为初试基变量，有如下初试单纯形表（表）由此可见，两个基变量45,y y 均取负值，所以，0B 所确定的基本解不是基可行解，从而也就不能用单纯形法求解.下面我们用一种新的方法对偶单纯形法求解此题，并通过例题来说明方法步骤.对偶单纯形法的基本思想：是保证检验数行全部非正的条件下，逐步使得“右边”一列各数变成非负.一旦“右边”一列各数均满足了非负条件（即可行性条件），则就获得最优解.现在，0B 不是可行基（称为正则基），为保证上述方法的实现，可按下面的方法确定出基变量和进基变量.出基变量的确定可以取任意一个具有负值的基变量（一般可取最小的）为出基变量.在上例中，两个基变量()45,y y 都取负值，且45y =-最小，故4y 为出基变量.现在考虑出基变量所对应的负所有元素0ij a <，对每个这样的元素作比值jija σ'，令30min 0j ijj n ij ij a a a σσθ≤≤⎧⎫⎪⎪'=≤=⎨⎬''⎪⎪⎩⎭（3.1）则3x 为进基变量.在表2-4中，基变量4y 所在的行有三个ija '取负值，其值分别为-3，-2，-2.它们对应的检验数分别为-15，-5，-11.于是212155115min ,,3222a σθ---⎧⎫===⎨⎬---⎩⎭ 由此可知，2y 为进基变量.主元素为2ija '=-，对表2-1进行一次迭代便得表2-2，在表2-2的（1）中，基变量3y 所取之值2302b '=-<，故3y 为出基变量.又 21215561522min ,,711722a σθ⎧⎫--⎪⎪-===⎨⎬'-⎪⎪--⎩⎭故3y 是进基变量；，主元为2172a '=-.对（1）再作单纯形变换，得表3-1之（2）.由于它的“右边”已列出全部非负，故它就是最优表.最优解为：137y '=，2137y '=，3450y y y '''===；最优值1107w '=.然而在有些问题中，我们很容易找到初始基本解，因此使用对偶单纯形法求解线性规划问题是有一定条件的，其条件是： (1)单纯形表的b 列中至少有一个负数. (2)单纯形表中的基本解都满足最优性检验.对偶单纯形法与原始单纯形法相比有两个显著的优点：(1)初始解可以是不可行解，当检验数都非正时，即可进行基的变换，这时不需要引入人工变量，因此简化了计算.(2)对于变量个数多于约束方程个数的线性规划问题，采用对偶单纯形法计算量较少.因此对于变量较少、约束较多的线性规划问题，可以先将其转化为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解.对变量多于约束条件的线性规划问题，用对偶单纯形法进行计算可以减少计算的工作量.因此对变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可先将此问题转化为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解.用对偶单纯形法求解线性规划问题的标准型，要求初始单纯形表检验数行的检验数必须全部非正，若不能满足这一条件，则不能运用对偶单纯形法求解.对偶单纯形法的局限性主要是，对大多数线性规划问题来说，很难找到一个初始可行基，因此这种方法在求解线性规划问题时，很少单独应用.参考文献：[1] 吴祈宗．运筹学学习指导及习题集[M] ．：机械工业，2006．[2] 君曼，巧玲，慧君，等．线性规划中原问题与对偶问题转化方法探讨[J]．:工业学院学报（自然科学版），2001，16(2):44~46．[3] 何坚勇．运筹学基础．：清华大学，2000．[4] 周汉良，玉妹. 数学规划及其应用．：冶金工业．[5] 宝林．最优化理论与算法(第二版) ．：清华大学，2005．[6] 建中，许绍吉. 线性规划. ：科学，1999.[7] 恩瑜，何勇，仕平．数学规划与组合优化．：大学，2001．[8] 卢开澄．组合数学算法与分析．清华大学，1982．[9] Even．Shimon．Algzithmic binatorial．The Macmillan pany，New York，1973．[10] J．P．Tremblay，R．Manohar．Discrete Mathematical Structures with Applications to puter Science，1980．[11] 修睦．图论．华中工学院，1982．[12] Pranava R G．Essays on optimization and incentive contracts [C]．Massachusetts Institute of Technology，Sloan School of Management: Operations Research Center，2007: 57- 65．[13] Schechter，M．A Subgradient Duality Theorem，J．Math Anal Appl．，61(1977)，850-855．[14] Maxims S A．Note on maximizing a submodular set function subject to knap sack constraint[J]．Operations Research Letters，2004，32 (5) : 41 - 43．[15] Schechter，M．More on Subgradient Duality，J．Math.Anal.Appl．，71(1979)，251-262．[16] Nemhauser GL，Wolsey L A，Fisher M L．An analysis of approximations formaximizing submodular set functions II[J]．Math．Prog．Study，1978，8: 73 - 87．[17] SviridenkoM．A note on maximizing a submodular set function subject to knap sack contraint[J]．Operations Research Letters，2004，32: 41 - 43．[18] 卢开澄．图论及其应用．：清华大学，1981．[19] 干宗．线性规划（第二版）．：大学，2007．[20] 周维，鹏飞．运筹学．：科学，2008．[21] 宁宣熙．运筹学实用教程（第二版）．：科学发行处，2009．。

上海交大部分考试科目参考书目010船舶海洋与建筑工程学院2201流体力学《水动力学基础》，刘岳元等，上海交大出版社2202声学理论《声学基础理论》，何祚庸，国防工业出版社2203高等工程力学（理力、材力、流力、数学物理方法）（四部分任选二部分做）《理论力学》，刘延柱等，高等教育出版社；《材料力学》，单祖辉，北京航空航天大学出版社；《流体力学》，吴望一，北京大学出版社；《数学物理方法》，梁昆淼，高等教育出版社2204结构力学《结构力学教程》，龙驭球，高等教育出版社3301船舶原理《船舶静力学》，盛振邦，上海交大出版社；《船舶推进》，王国强等，上海交大出版社；《船舶耐波性》，陶尧森，上海交大出版社；《船舶阻力》，邵世明，上海交大出版社3302振动理论（I）《机械振动与噪声学》，赵玫等，科技出版社20043303海洋、河口、海岸动力学《河口海岸动力学》，赵公声等，人民交通出版社20003304高等流体力学《流体力学》，吴望一，北京大学出版社3305弹性力学《弹性力学》上、下册（第二版），徐芝纶，高等教育出版社3306振动理论（Ⅱ）《振动理论》，刘延柱等，高等教育出版社20023307钢筋混凝土结构《高等钢筋混凝土结构学》，赵国藩编，中国电力出版社3308地基基础《土工原理与计算》（第二版），钱家欢、殷宗泽，水利电力出版社020机械与动力工程学院2205计算方法《计算方法》，李信真，西北工业大学出版社2206核反应堆工程《核反应堆工程设计》，邬国伟3309工程热力学《工程热力学》（第三版），沈维道；《工程热力学学习辅导及习题解答》，童钧耕3310传热学《传热学》（第三版），杨世铭3311机械控制工程《现代控制理论》，刘豹；《现代控制理论》，于长官3312机械振动《机械振动》，季文美3313生产计划与控制《生产计划与控制》，潘尔顺，上海交通大学出版社3314机械制造技术基础《机械制造技术基础》，翁世修等，上海交通大学出版社1999；《现代制造技术导论》，蔡建国等，上海交通大学出版社20003315现代机械设计《高等机械原理》，高等教育出版社1990030电子信息与电气工程学院2207信号与系统《信号与系统》，胡光锐，上海交大出版社2208电子科学与技术概论《电子科学与技术导论》，李哲英，20062209信息处理与控制系统设计《线性系统理论》，郑大钟，清华大学出版社2002；或《数字图像处理》(第二版)《Digital Image Processing》Second Edition(英文版)，R. C.Gonzalez, R.E.Woods，电子工业出版社2002（从“线性系统理论”或“图像处理”中选考其一）2210计算机科学与技术方法论《数理逻辑与集合论》，石纯一，清华大学出版社2000；《图论与代数结构》，戴一奇，清华大学出版社1995；《组合数学》，Richard A.Brualdi著，卢开澄等译，机械工业出版社20012211数字信号处理（I）《数字信号处理（上）》，邹理和；《数字信号处理（下）》，吴兆熊，国防工业出版社2212电力系统分析与电力电子技术《电力电子技术基础》，金如麟，机械工业出版社，或《电力系统分析（上册）》，诸骏伟，中国电力出版社1995；《电力系统分析（下册）》，夏道止，中国电力出版社19953316网络与通信《数字通信》（第四版），Proakis，电子出版社（必考，占30％）：另按照专业加考70％：无线通信方向、信息安全方向，《数字通信》（第四版），Proakis，电子出版社；或光通信方向，《光纤通信系统》（第3版）,Govind P.Agrawal，国外大学优秀教材-通信系列（影印版）；或数据通信网络方向，《Computer Networks》（Fourth Edition），Pearson Education Andrew S.Tanenbaum，Vrije Universiteit，Amsterdam，The Netherlands，翻译版：潘爱民译，书号7302089779，清华大学出版社20043317信号与信息处理信号处理方向：《Discrete-Time Signal Processing》(Second Edition)，Alan V.Oppenheim,Prentice-Hall，1998；《现代信号处理》（第二版），张贤达，清华大学出版社2002；或图像处理方向：《数字图像处理》，余松煜等，上海交通大学出版社20073318微波与光波技术光波方向：《光电子学导论》（第1版），A.雅里夫，1983；或微波方向：《电磁场理论与微波技术基础》（下册），周希朗，东南大学出版社；《工程电动力学》，王一平，西电出版社3319电路与系统《大规模集成电路设计》，陈贵灿，高等教育出版社3320最优控制《最优控制的理论与方法》（第二版），吴沧浦，国防工业出版社20003321模式识别《模式识别》（第二版），边肇祺等，清华大学出版社20003322微机控制与接口技术《微型计算机控制技术》（第三版），谢剑英，国防工业出版社2001 3354运筹学《运筹学》（修订版），运筹学编写组，清华大学出版社20033323计算机软件《程序语言语言编译原理(第3版)》，陈火旺等，国防工业出版社2000；《Distributed Systems:Principles and Paradigm》，Tanenbaum and Steen，Prentice Hall2003(清华大学出版社影印出版）3324数据库系统原理《数据库系统概念》（第四版，中译本），Silberschatz等著，杨冬青等译，机械工业出版社3325机器学习《机器学习》，曾华军、张银奎译，机械工业出版社20033326计算机网络与系统结构《Computer Network》（第四版），A.S.Taneubaum,清华大学出版社；《Computer Architecture:A Quantitative Approach》（3rd edition），Patterson,D.and Hennessy,J.，San Mateo,California:Morgan Kaufman Publishers2002，机械工业出版社影印出版3327现代控制理论《现代控制理论》，刘豹，机械工业出版社3328现代传感器技术《传感器技术》，贾伯平，东南大学出版社3329电力传动控制系统《电力拖动自动控制系统》，陈伯时，机械工业出版社3330电力网络规划与电压稳定《电力网络规划的方法与应用》，程浩忠、张焰，上海科学技术出版社；或《电力系统无功与电压稳定性》，程浩忠、吴浩，中国电力出版社3331电气绝缘在线监测技术《电力设备在线监测与故障诊断》，肖登明，上海交通大学出版社20043332电机理论《交流电机数学模型及调速系统》，陈坚，国防工业出版社；《交流电机及其系统的分析》（第二版），高景德等，清华大学出版社2005036信息安全学院2213信息安全数学基础《信息安全数学基础》，陈恭亮，清华大学出版社20043333密码学基础《密码学理论与实践》（第二版），D.R.Stinson，电子工业出版社2003；《应用密码学》（第二版），Bruce Schneier，机械工业出版社2000050材料科学与工程学院2214材料科学基础及加工原理《材料科学基础》，胡赓祥等，上海交大出版社2006；《材料科学基础辅导与习题》，蔡珣、戎咏华，上海交大出版社2004；或《材料加工原理》，徐洲等，科学出版社2003；或《材料加工原理》，李言祥等，清华大学出版社2005（材料科学基础、材料加工原理各100分考题，考生任选其一）3334材料热力学与动力学《材料热力学》（第三版），徐祖耀、李麟，科学出版社2005；或《材料热力学与动力学》，徐瑞、荆天辅，哈尔滨工业大学出版社20033335材料微结构分析《分析电子显微学导论》第一、三章，第五章中5.1和5.2节，戎咏华，高等教育出版社2006；或《金属X射线学》，范雄，机械工业出版社19963336凝固或焊接《凝固过程》（中译本），M. C.Flemings，冶金工业出版社1981；或《焊接过程现代控制技术》，陈善本等，哈尔滨工业大学出版社2001071数学系2215泛函分析《实变函数论与泛函分析》(第二版)，夏道行等，高等教育出版社3337近世代数《代数学基础》(群.环.域.模等部分)，孟道骥，南开大学出版社3338微分几何《微分流形初步》(第二版)，陈维桓，高等教育出版社；《微分几何讲义》(第二版)，陈省身、陈维桓，北京大学出版社072物理系2216量子力学《量子力学》卷I、卷II(第三版)，曾谨言2217物理光学《物理光学》，梁铨廷，机械工业出版社；或《物理光学与应用光学》，石顺祥等，西安电子科学技术大学出版社2000；或《物理光学》，范少卿等，1990；或《应用物理光学》，严瑛白，清华大学出版社19903339高等光学《光学原理》，M.Born，世界图书出版公司3340固体物理学《固体物理学》（上、下册），方俊鑫、陆栋，上海科学技术出版社3341电动力学《电动力学》（第二版），郭硕鸿等，高等教育出版社3342半导体物理《半导体物理》，刘恩科等，国防工业出版社；或《半导体物理学》，刘恩科等，电子工业出版社3343工程光学《工程光学》，郁道银、谈恒英，机械工业出版社080生命科学技术学院2218生物化学（I）《生物化学》，沈同，高等教育出版社2219病理学《病理学》（七年制规划教材，临床医学专业用），李甘地，人卫版2240微机原理与微机接口《微型计算机原理与接口技术》，吴秀清，中国科技大学出版社3304高等流体力学《流体力学》，吴望一，北京大学出版社3375细胞生物学《细胞生物学》，翟中和，高等教育出版社3344分子生物学《现代遗传原理》，徐晋麟等，科学出版社3345微生物学（I）《微生物学》，沈萍，高等教育出版社20003346生理学《生理学》（七年制规划教材，临床医学专业用），姚泰，人卫版3347数字信号处理（Ⅱ）《数字信号处理》（上、下），吴兆雄，国防工业出版社090人文学院2220科学史导论《科学史》，W.C.丹皮尔，商务印书馆1979或广西师范大学出版社2001；《科学的历程》（第二版），吴国盛，北京大学出版社2002；《中国科学技术史稿》（上下册），杜石然等，科学出版社19823348科学哲学导论《科学究竟是什么》，A.F.查尔莫斯，商务印书馆1982或河北科学技术出版社2002；《科学哲学：当代进阶教程》，亚历克斯·罗森堡，上海科技教育出版社2004110化学化工学院2221聚合物材料结构与性能《高聚物的结构与性能》，马德柱等，科学出版社；《高分子物理》，何曼君，复旦大学出版社2222物理化学（含结构与波谱化学）《物理化学》（第四版），傅献彩等，高等教育出版社1990；《结构化学基础》（第三版），周公度，北京大学出版社2002；《有机化合物结构鉴定与有机波谱学》（第二版），宁永成，科学出版社20003349高分子合成化学《高分子化学》，潘祖仁，化学工业出版社；《高分子化学》，自然科学基金委，化学工业出版社3350高等无机化学《普通无机化学》，严宣生，王长富，北京大学出版社1999；《催化原理》，吴越，高等教育出版社20013351化学反应工程与催化《化学反应工程与催化》，李绍芬，化学工业出版社；《催化原理》，吴越，高等教育出版社20013352高等有机化学《高等有机化学》，F.A凯里、R.J森德伯格，人民教育出版社3376仪器分析《仪器分析教程》，北京大学化学系仪器分析组，北京大学出版社；《仪器分析》（第三版），朱明华，高教出版社2000120安泰经济与管理学院2223经济学《微观经济学》（第四版），平狄克，鲁宾费尔德，中国人民大学出版社2000；《微观经济学：现代观点》（第六版），H·范里安，上海三联书店；《宏观经济学》（第五版），曼昆，中国人民大学出版社；《宏观经济学》（第二版），奥利维尔·布兰查德，清华大学出版社2224管理学《管理学》（第七版），（美国）斯蒂芬·P·罗宾斯，中国人大出版社2004；《管理学》（第十版），Koontz，经济科学出版社19983353统计学《概率论与数理统计教程》，魏宗舒，高等教育出版社1983；《概率论与数理统计》（第三版），盛骤等，高等教育出版社20013354运筹学《运筹学》（修订版），运筹学编写组，清华大学出版社20033355计量经济学《Introductory Econometrics：A Modern Approach》，Jeffrey M.Wooldridge，South-Western College Publishing，清华大学出版社(影印本)；《计量经济学导论：现代观点》，J.M.伍德里奇，中国人民大学出版社3356农业经济学《资源、农业与食品经济学》（第2版），韦斯利·D·塞茨等，田志宏等译，中国人民大学出版社3374战略管理《战略管理》，王方华、吕巍，机械工业出版社2004130国际与公共事务学院2225中国特色社会主义理论与实践《邓小平文选》（第二、三卷），人民出版社1993/1994；《“三个代表”重要思想概论》，中华人民共和国教育部，中国人民大学出版社20033357当代中国政治与政策《政府过程》，胡伟，浙江人民出版社1998/上海人民出版社2007；《理解公共政策》，托马斯•戴伊，华夏出版社2005140外国语学院1102日语（二外）《日语中级阅读》、《日语高级阅读》，日本语教育教师协会（Jaltta），上海外语教育出版社1103法语（二外）《法语》（1—4册），马晓宏，外语教学与研究出版社1104德语（二外）《基础德语》，王志强等；《中级德语》，樊迪生，同济大学出版社2226语言学Linguistics:An Introduction，Andrew Radford，外语教学与研究出版社；Course in General Linguistics，F.de Saussure，外语教学与研究出版社；Linguistic Theory:The Discourse of Fundamental Works，Robert de Beaugrande，外语教学与研究出版社3358英语写作不指定参考书目150农业与生物学院2227分子生物学原理《现代分子生物学》（第二版），朱玉贤、李毅，高等教育出版社2002；《基因工程原理》（第二版），吴乃虎，科学出版社20012228植物生物化学与分子生物学《植物生物化学与分子生物学》，B.B.布坎南等主编；瞿礼嘉等主译，科学出版社20042210计算机科学与技术方法论《数理逻辑与集合论》，石纯一，清华大学出版社2000；《图论与代数结构》，戴一奇，清华大学出版社1995；《组合数学》，Richard A.Brualdi著，卢开澄等译，机械工业出版社20013359生物化学（Ⅱ）《生物化学》（第三版），王镜岩等，高等教育出版社20023360植物生理学《植物生理学》，武维华，科学出版社20033323计算机软件《程序语言语言编译原理(第3版)》，陈火旺等，国防工业出版社2000；《Distributed Systems:Principles and Paradigm》，Tanenbaum and Steen，Prentice Hall2003(清华大学出版社影印出版）160环境科学与工程学院2229环境科学基础《环境学导论》（第3版），何强等，清华大学出版社20043361环境污染控制工程《排水工程》（下册），张自杰，中国建筑工业出版社170药学院2230生物化学（Ⅲ）《生物化学》（第五版，药学专业用），吴梧桐，人民卫生出版社2003；或《天然药物化学》（第四版），吴立军，人民卫生出版社20032231药剂学基础《药剂学》（第4版），毕殿州，人民卫生出版社2003；或《生物药剂学与药物动力学》，梁文权，人民卫生出版社2000(卷面总分为150分，考生选做满100分)2232药物化学《药物化学总论》（第二版），郭宋儒，中国医药科技出版社2003；《药物化学》，尤启东，化学工业出版社20043362药学分子生物学《药学分子生物学》，史济平，人民卫生出版社2000；或《药用植物与生药学》，郑汉臣，人民卫生出版社20043363药物分析学《药物分析》（第5版），刘文英，人民卫生出版社20043364有机化学《有机化学》（第4版），倪沛州，人民卫生出版社；《高等有机化学》，F.A凯里、R.J森德伯格，人民教育出版社3365化学基础《生物化学》（第五版，药学类专业用），吴梧桐，人民卫生出版社2003；或《有机化学》（第四版），倪沛州，人民卫生出版社；或《物理化学》，王正烈、周亚萍，天津大学出版社2001(卷面总分为300分，考生选做满100分)3366微生物学（Ⅱ）《微生物学》，沈萍，高等教育出版社2000；或《药物分析》（第5版），刘文英，人民卫生出版社2004190法学院考试科目均不指定参考书目，考试内容涵盖相关教材、法律法规、司法解释和文献资料。

n个小球放进r个盒子的不同方案的计数问题（519015）广东省珠海市第四中学陈湘平摘要：本文主要对n个小球放进r个盒子这一问题，按n个小球是否相同，r个盒子又是否相同以及是否允许出现空盒共分成八种不同的情形作了较为全面的探讨，并给出了每一种情形方案数的计算公式.关键词：小球，盒子，空盒，相同，相异.从n个不同的元素中，取r个按次序排列的典型模型是把n个相异的小球，取出r个放进r个相异的盒子里，每盒一个.也就是说，把n个相异的小球取出r个放进r个相异的盒子里，每盒一个，其不同的放法数为排列数P .如果把上面模型中的“相异”换成“相同”，把“每盒一个”换成“允许出现空盒”或“不允许出现空盒”，那么它们不同的方案数又怎么样来计算呢？笔者对这个问题产生了浓厚的兴趣，并按n个小球是否相同，r个盒子又是否相同和是否允许出现空盒共分成八种情形作了粗浅的探讨，现逐一介绍如下：一把n个相异的小球放进r个相异的盒子里，允许出现空盒.我们不妨设这n个小球为a1，a2，…，a n.首先把a1放进盒子里，因为r个盒子是相异的，所以有r种放法.同理，a2，…，a n 放进盒子里都有r种放法，依乘法原则知不同的方案数N 1 = r·r·…·r = r n例1将4封不同的信投入4个不同的信箱，不同投法有多少？分析：这个问题等价于求把4个相异的小球放进4个相异的盒子，允许出现空盒的方案数.由上面的讨论可知这一方案数为44 =256.二把n个相异的小球放进r个相同的盒子里，不允许出现空盒.为了讨论这种情形，我们很有必要先来了解一下第二类Stirling 数.定义1把n个相异的小球放进r个相同的盒子里，不允许出现空盒，其不同的方案数用S2（n ，r）表示，称为第二类Stirling数.所以这种情形的不同方案数N2 = S2（n ，r）下面再来讨论一下具体怎么样求Stirling数.引理1(1) S2（n ，r）= 0 （r >n ）(2)S2（n ，r）= 0(3)S2（n ，1）=1(4)S2（n ，n）=1(5)S2（n ，2）=2n-1-1(6)S2（n ，n-1）= C证明：依定义1，结论（1），（2），（3），（4）显然成立，下面只证（5）和（6）.（5）证：从n个相异的小球中取出一个设为a1，剩下的n-1个相异的小球，每个都有与a1同盒或不同盒两种选择，共有2n-1种方案，但必须排除全体都与a1同盒这种情形，这时另一盒是空盒！故实际上只有2n-1-1种方案.所以S2（n ，2）=2n-1-1.（6）证：n个相异的小球放进r-1个相同的盒子里，不允许有一空盒，故必有一盒有两个小球，从n个相异的小球中取出2个，共有C 种方案，故S2（n ，n-1）= C .引理2S2（n ，r）= S2（n-1 ，r-1）+ r·S2（n-1 ，r）证明：从n个相异的小球中取出一个设为a1，把n个相异的小球放进r个相同的盒子里，使得无一空盒的方案的全体可分为两类：（1）a1独占一盒，其方案数为S2（n-1 ，r-1）；（2）a1不独占一盒，这相当于先将剩下的n-1个小球放进r个盒子里，不允许出现空盒，共有S2（n-1 ，r）种方案，然后将a1放进其中一盒，有r种方案，由乘法原则得a1不独占一盒的方案数r·S2（n-1 ，r）.依加法原则有S2（n ，r）= S2（n-1 ，r-1）+ r·S2（n-1 ，r）.有了引理1和引理2，我们总是可以计算出S2（n ，r）的值来.下面给出一张S2（n ，r）数值表，以便大家查阅（注：表中空格值为0）rk=1三 把n 个相异的小球放进r 个相异的盒子里，不允许出现空盒. 这种情形相当于先把n 个相异的小球放进r 个相同的盒子里，要求无一空盒，然后将r 个盒子进行全排列，故这种情形的方案数N 3 = r! • S 2 (n ，r)例2 现从某校5名学生干部中选出4人分别参加北京市“资源”，“生态”和“环保”三个夏令营，要求每个夏令营至少有一人参加，且每人只参加一个夏令营活动，则不同的参加方案数是多少？分析：我们把参加活动过程分成以下两个步骤：第一，从5名学生干部中选出4名，共有C =5种不同方案；第二，再把选出的4名学生干部安排到3个夏令营活动中去，每个夏令营至少一人，这相当于把4个相异小球放进3个相异小球的盒子，不允许空盒，所以共有3！•S 2(4,3)=3!×6=36种不同方案.依乘法原则得不同的参加方案数为5×36=180.四 把n 个相异的小球放进r 个相同的盒子里，允许出现空盒. 易知，这n 个相异的小球可能只放在r 个相同盒子中的某k(k=1,2,…，r)个中，其余r-k 个盒子都是空的，依定义1以及加法 原则可得该情形的方案数N 4 =∑ S 2(n,k)五 把n 个相同的小球放进r 个相异的盒子里，允许出现空盒. 易证这种情形的方案数N 5等于不定方程x 1+x 2+…x r =n 的非负整数解的个数.引理3，不定方程x 1+x 2+…+x r =n 的非负整数解的个数为C .证明：设元集A=｛a1，a2，…，a r｝则A的任一个n-可重复组合可表示成｛x1•a1，x2•a2，…，x r•a r｝,其中x i（i=1,2,…,r）是非负整数且x1+x2+…+x r=n，所以r 元集A的n-可重复组合的个数等于方程x1+x2+…+x r=n的非负整数解的个数，而r元集A的n-可重复组合的个数为C ，故引理3成立.所以 N5 = C .例3将10个相同的小球装入3个编号为1，2，3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里的球的个数不少于盒子的编号数，这样的方案有多少种？分析：符合题目条件的方法可分为以下两个步骤来完成：首先我们从10个相同的小球中取出6个，在i号盒放入i个（i=1,2,3），因为小球是相同的，所以不同的方案数只有1种；然后把余下的4个相同的小球放进1，2，3号盒中，允许空盒，共有C =15种不同方案，由乘法原则，方案有1×15=15种.六把n个相同的小球放进r个相异的盒子里，不允许出现空盒.我们先从这n个小球中取出r个放进r个相异的盒子里，每盒一个（从而保证了不会出现空盒）.然后将余下的n-r个相同小球放进r个相异的盒子里，从第五种情形的讨论中可知有C =C =C种不同方案.所以该情形的不同方案数N6=C .例4某校准备参加2001年全国高中数学联赛，把10个选手名额分配到高三年级的8个班，每班至少一个名额，则不同的分配方案共有多少种？分析：我们知道，这10个选手名额是没有区别的，而高三年级的8个班是有区别的.所以这个问题等价于求把10个相同小球放进8个相异的盒子，不允许空盒的不同方案数.从第六种情形讨论中知不同的方案数共有C =C =C =36种.七把n个相同的小球放进r个相同的盒子里，不允许出现空盒.在讨论这种情形之前，我们有必要先来了解一下关于正整数的分拆问题，定义2，设n1，n2，…，n r是r个正整数，n1≥n2≥…≥n r，如果n=n1+n2+…+n r，则分解式n=n1+n2+…+n r称为一个部分数为r的n-分拆，n i（i=1，2，…，r）称为该分拆的一个部分，以P r（n）表示部分数为r的n-分拆的个数.把n个相同的小球放进r个相同的盒子，不允许出现空盒，求不同方案数，这一问题等价于如下的整数分拆问题：选取r个下整数n1，n2，…，n r，（n1≥n2≥…≥n r），使得n=n1+n2+…+n r,求不同的选取方案数，即P r（n）.所以第七种情形的方案数N7 = P r（n）.下面将给出具体的公式来求上面的P r（n）.引理4P1（n）=1 ，P n（n）=1rk=1 rk=1 5k=1 3k=1k=14r证明：由定义2即知. 引理5 P 2（n ）=[n/2]证明：设n= n 1+n 2是一个部分数为2的n-分拆，因为n 1≥n 2≥1，所以1≤n 2≤[n/2].又对任一个不大于[n/2]正整数n 2，令n 1=n -n 2，则n= n 1+ n 2是一个部分数为2的n -分拆，所以P 2（n ）=[n/2].引理6 P r （n ）=∑ P k (n-r)证明：以A 表示由全体部分数为r 的n -分拆所成之集，则∣A ∣= P r （n ）.设a ∈A,若在分拆a 中，大于1的部分有k(1≤k ≤r ，下同)个，则称a 是A 的第k 类元，去掉a 中等于1的部分，其余各部分均减小1，就得到一个部分数为k 的(n-r)-分拆，因此A 的第k 类元共有P k （n -r ）个，由加法原则有P r （n ）=∑ P k (n-r)有了引理4，5，6，我们就可以算出P r （n ）的值来，如： P 5(10) =∑ P k (10-5)=P 1（5）+P 2（5）+P 3（5）+P 4（5）+P 5（5） =1+1+[ 5/2 ] +∑P k (5-3)+∑ P k (5-4)=4+P 1(2) +P 2 (2)+P 1 (1) =4+1+1+1 =7这表明把10个相同的小球放进5个相同的盒子，使得无一空盒，共有7种不同的方案.有兴趣的读者不妨自行验证一下.rk=1八 把n 个相同的小球放进r 个相同的盒子里，允许出现空盒. 允许出现空盒，也就是说这n 个小球可能只放在r 个相同盒子当中的k(1≤k ≤r)个盒子里，其余的r-k 个盒子都是空的，由定义2及加法原则可得此情形的方案数N 8 = ∑ P k (n)再由引理6，不难得到 N 8= P r （n+r ）. 其具体的计算方法请参照第七种情形.参考文献：[1]曹汝成，组合数学，广州：华南理工大学出版社，2000[2]R.A.Brualdi.李盘林，王天明译.组合学导引，武汉：华中工学院出版,1982 [3]徐治利，蒋茂森，朱自强，计算组合数学.上海科学出版社，1987 [4]李宇寰，组合数学.北京：北京师范学院出版社，1988[5]卢开澄，组合数学算法与分析.北京：清华大学出版社，1983 [6]Tomesu.栾汝书等译.组合学引论.北京：高等教育出版社，1985作者e-mail:***************。

基于四皇后问题的回溯法求解及算法实现聂华【摘要】本文将利用四皇后问题作为实例,首先给出了回溯法的基本思想及N皇后问题描述；在此基础上,分析了回溯法求解四皇后问题的基本过程并给出了详细的算法实现.利用该算法能够求解出四皇后问题的一个合理解.【期刊名称】《电子测试》【年(卷),期】2013(000)018【总页数】2页(P47-48)【关键词】回溯法;四皇后问题;算法实现;解空间【作者】聂华【作者单位】陕西职业技术学院,陕西西安,710100【正文语种】中文0 引言回溯法是一种非常有效，适用范围相当广泛的算法设计思想。

许多复杂的问题，规模较大的问题都可以使用回溯法求解，因此回溯法又有“通用解题方法”的美称。

本文将利用四皇后问题作为实例，讨论回溯法的求解过程。

1 基本思想回溯法解决皇后问题的基本思想是：在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根节点出发深度探索解空间树。

当探索到某一节点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去；如果该结点不包含问题的解，那就说明以该结点为根结点的子树一定不包含问题的最终解，因此要跳过对以该结点为根的子树的系统探索，逐层向其祖先结点回溯。

这个过程叫做解空间树的“剪枝”操作。

如果应用回溯法求解问题的所有解，要回溯到解空间树的树根，这样根结点的所有子树被探索到才结束。

如果只要求解问题的一个解，那么在探索解空间树时，只要搜索到问题的一个解就可以结束了。

2 四皇后问题的求解过程许多复杂的问题都可以用回溯法的思想来求解，例如经典的N皇后问题。

N皇后问题的描述为：求解如何在一个N×N的棋盘上无冲突的摆放N个皇后棋子。

在国际象棋里，皇后的移动方式为横竖交叉的，因此在任意一个皇后所在位置的水平、竖直，以及45°斜线上都不能出现皇后棋子N皇后问题的解法很多，可以用回溯法解决N皇后问题。

以四皇后问题为例，可以构建出一棵解空间树，通过探索这棵解空间树，可以得到四皇后问题的一种解。

基础理论课考试大纲（2020）《高等电磁理论》考试大纲考试内容：Maxwell方程组，平面电磁波，复杂媒质中的电磁波，各项异性媒质，导波理论，金属波导理论，介质波导理论，谐振腔，谐振腔的微扰，电磁波的辐射与反射，口面天线理论。

参考书目：1.Fields & Waves in Communication Electronics S.Ramo & J.Whinnery John Wiley & Sons；2.导波场论 R.E.柯林著上海科学技术出版社。

3.正弦场电磁场哈林顿著上海科学技术出版社（2021）《信号检测与估计》考试大纲考试内容：1.随机信号分析平稳随机信号与非平稳随机信号，随机信号的数字特征，平稳随机过程，复随机过程，随机信号通过线性系统。

2.信号检测信号检测的基本概念，确知信号的检测（包括匹配滤波原理、高斯白噪声中已知信号检测、简单二元检测）3.信号估计信号参数（包括贝叶斯估计、最大似然估计、线性均方估计和最小二乘估计），信号波形估计（主要指卡尔曼滤波）。

参考书目：1.景占荣，羊彦，信号检测与估计，化学工业出版社 20042.赵树杰，信号检测与估计理论，西安电子科技大学出版社 2001（2022）《现代网络分析》考试大纲考试内容：1.网络元件和网络特性：二端元件的参数与性质、二端口元件、性质及六组参数、受控电源、网络特性。

2.网络图论：图的概念与定义、节点关联矩阵、回路关联矩阵、割集关联矩阵、独立变量组、非基本关联矩阵、图形的树数、求全部树、由矩阵求图。

3.网络方程：支路电流方程和支路电压方程、回路电流方程和网孔电流方程、割集电压方程和节点电位方程、混合方程、含受控源网络和理想运放器网络的节点方程。

4.网络的拓扑分析：割集方程和回路方程的拓扑解、驱动点函数的拓扑公式、传输函数的拓扑公式、含受控源网络的传输导纳、节点方程的拓扑解。

5.信号流图：信号流图基本概念、信号流图的构成方法、梅森公式、状态变换图解、线图到流图、Shannon-Happ公式、Coates公式。

关于常系数非齐次线性递推关系特解的注记唐善刚【摘要】By using algebraic properties of one-variable polynomial multiple root and block matrix method of solving non-homogeneous linear equations,it is proved that a class of constant coefficient non-homogeneous linear recurrence relation only depends on the computational formula of constant coefficient's particular solution and its proof.These results expand the corresponding ones in the existing literatures.Two examples for the application of particular solution of constant coefficient non-homogeneous linear recurrence relation are given in the final part for the purpose of proving the validity of particular solution of constant coefficient non-homogeneous linear recurrence relation.%利用一元多项式重根的代数性质与求解非齐次线性方程组的分块矩阵方法给出常系数非齐次线性递推关系的一类只依赖于常系数的特解计算公式及其证明,所得结果拓宽了已有文献的相应结果,最后,给出两个实例作为常系数非齐次线性递推关系的特解计算公式的应用,验证了特解计算公式的有效性.【期刊名称】《西华师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)001【总页数】6页(P75-79,105)【关键词】导数;一元多项式;重根;常系数非齐次线性递推关系;特解【作者】唐善刚【作者单位】西华师范大学数学与信息学院,四川南充 637009【正文语种】中文【中图分类】O157.1求递推关系的显式解是组合学的一个重要研究课题，关于常系数线性齐次递推关系的显式解可以应用生成函数［1-5］给出统一的求解，但用生成函数试图求得常系数非齐次线性递推关系的显式解往往需要很高的技巧，而应用代数方法［6-7］及赋权有向图路径的权和［8］得到的常系数线性齐次及非齐次递推关系的显式解是一个多重求和公式，由于该多重求和公式中的求和变量依赖于某个线性不定方程的所有非负整数解，进而导致显式解的多重求和公式在应用中的诸多不便。

衢州学院学年论文题目：抽屉原理与高中数学竞赛姓名：钟思校学号：4111012231院别：教师教育学院系：数理系所在专业：数学与应用数学（师范类）指导教师：盛志荣职称：教授2013 年09 月 07 日抽屉原理与高中数学竞赛【内容摘要】本论文首先讨论了抽屉原理的一般含义和它的两种推广形式；其次给出了抽屉原理在整除问题、染色问题、集会问题等高中数学竞赛问题中的应用。

【关键词】：抽屉原理；整除问题；染色问题；集会问题目录第一章前言 (1)第二章抽屉原理的概念与基本形式 (2)2.1 抽屉原理的基本定义 (2)2.2 抽屉原理的基本形式 (2)第三章抽屉原理在高中数学竞赛中的应用 (3)3.1 整除问题 (4)3.2 染色问题 (5)3.3 集会问题 (6)3.4 抽屉原理应用总结 (7)3.4.1 解题基本思想 (7)3.4.2 解题基本步骤 (7)第四章结论 (8)参考文献 (9)致谢辞 (10)前言数学竞赛，它无疑是一种智力的比赛。

求解或求证一道数学竞赛题，往往不需要冗长的推理论证，也不需要繁琐的演绎计算，但需要“题感”，才能快速解决。

对于数学竞赛的重要组成部分“抽屉原理”而言，则尤其需要“题感”。

当然数学的题感是要有扎实的数学基础知识和海量的数学题目为首要前提，数学思想极为重要。

所谓的数学思想，是指现实世界的空间形式化和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

数学思想是对事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。

通过数学思想的培养，数学的能力就会有一个大幅度的提高。

抽屉原理又称鸽巢原理、鞋箱原理或重叠原理，是一个十分简单又十分重要的原理.它是由德国著名数学家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet1805-1855) [1]首先发现的，因此也叫作狄利克雷原理.抽屉原理简单易懂，主要用于证明某些存在性或必然性的问题，不仅在数论、组合论以及集合论等领域中有着广泛应用，在高等数学的其它几门学科领域中也是解决问题的有效方法.第二章 抽屉原理的基本概念“抽屉原理”是离散数学[2]中的一个重要原理，其又叫“鸽笼原理”。

拉丁方与正交拉丁方的应用和构造刘秀梅【摘要】引入拉丁方的概念,介绍了拉丁方和正交拉丁方在实际中的应用,并给出它们的构造方法.【期刊名称】宁德师范学院学报（自然科学版）【年(卷),期】2010(022)004【总页数】3【关键词】拉丁方;正交拉丁方;构造;应用组合数学是一门很古老的学科,人们对它的兴趣和研究颇早,它起始于数学游戏,例如中国古代的游戏九连环,起初只是研究娱乐或审美要求所涉及的组合问题.近代随着计算机的出现,组合数学这门学科得到了迅猛的发展,成为了一个重要的数学分支.拉丁方和正交拉丁方是组合数学中的一个重要课题,在实际应用中有着重要的作用.1 拉丁方和正交拉丁方定义1 由1，2，…，n 构成的n×n 方阵(aij）n×n,要求每行及每列1，2，…,n 各出现一次,这样的方阵称为拉丁方.定义 2 设 A1=（aij（1））n×n，A2=（aij（2））n×n 是两个n×n 的拉丁方.若矩阵（aij（1），aij（2））n×n 中的n2 个数偶（aij（1），aij（2））互不相同，i，j=1，2，…，n，则称 A1和 A2正交,或称 A1和 A2是互相正交的拉丁方.任意的正整数n都存在n阶拉丁方，但不是存在任意阶数的正交拉丁方.1782年,欧拉提出了一个著名的欧拉猜想——不存在n=4k+2阶的正交拉丁方,直到1900年法国的塔利证明了欧拉猜想n=6对是正确的,到1960年印度数学家玻色等证明了对于2和6以外的其他4k+2型数欧拉猜想都不正确.2 拉丁方和正交拉丁方的应用拉丁方的应用起始于20世纪早期,它首先被人们作为平衡非完整块设计应用在统计分析中,拉丁方在实际应用中非常广泛.其中一个很重要的应用是合理安排实验.例如,1,2,3,4这4种品牌的汽车轮胎磨损测试,若动用编号为A,B,C,D的4辆小汽车参加试验,由于同一牌子的轮胎在不同部位,不同车的磨损程度有差别,为了使试验次数少且均衡,可以安排如下：如果同时要考虑4种不同牌子的刹车车闸对车胎的磨损,则还要求4种车闸在4辆车及4个不同位置各出现一次.当然还要求不同牌子的轮胎和车闸恰好配合一次.车闸的实验安排如右：上述两个矩阵为正交的拉丁方，则车轮与车闸的配合试验可安排如下：拉丁方在无线通信仿真设计中也有着很重要的作用.在无线通信系统设计中,仿真链路可变的参数种类繁多,而每种参数又可以取多个水平值,因此一个完备的遍历考察有巨大数目的状态空间,仿真评估往往成为不可能完成的任务.利用正交拉丁方均匀搭配不同参数和各种取值,组成特定的考核状态空间,使得工作量呈几何级数下降,仅用较少的实验次数就能够达到近似于全遍历状态空间的效果.[1]此外,拉丁方还可用于工作分配、信息处理、安排循环赛程，甚至应用于大型并行系统的处理器调度.3 拉丁方与正交拉丁方的构造拉丁方的构造很容易，只要调换任意两个数字的位置或把每一行由前一行循环置换即可得到.下面主要讨论正交拉丁方的构造.3.1 求给定n阶拉丁方的正交侣定义3 由1，2，…，n构成的n阶拉丁方A中，若n个两两不同行也不同列的位置上出现了所有的数字，则称这n个位置是一个截态.若A有n个两两无公共位置的截态,则称A有个截态分解.[2]对于一个拉丁方，“有截态分解”和“有正交侣”是等价的.设n阶拉丁方A的n个两两无公共位置的截态分别是T1，T2，…，Tn把截态Ti的元改为i.i=1，2，…，n.得到的矩阵B即为A的正交侣.在上述矩阵A即有截态分解,T1用*表示,T2用d表示,T3用w表示,T4用Δ表示,则可得Α的正交侣Β为：3.2 对给定阶数n求一组正交拉丁方若n=Pa,且n≥3，其中P是一个素数，a是正整数,则存在n-1个互相正交的n 阶拉丁方.例如,4,5,7,8,9等阶数的拉丁方,此类拉丁方可以用以下方法构造正交拉丁方:设F=｛a1 ，a2，…，an ｝是有限域，其中an=0,则n-1 个相互正交的拉丁方如下,设Ak=，k=1，2，…，n-1.a ij(k)=ak▯ai+aj，i，j=1，2，…，n，k=1，2，…，n-1.其中,“+”和“g”分别是域的“加”和“乘”法运算.下面以构造4阶的正交拉丁方为例：设 F=｛1，a，1+a=a2，0 ｝,则可得：阶数较高的正交拉丁方可用以下方法由阶数低的正交拉丁方得到：定理1 设A1，A2是一对m阶的正交拉丁方,B1，B2是另一对n阶的正交拉丁方，则是一对mn阶的正交拉丁方.例如,15阶正交拉丁方可用3阶和5阶正交拉丁方构成.对于正交拉丁方的构造,人们想出了各种各样的方法，其他方法可见文献[1][5][7].参考文献：[1]刘栋,周卢涛.正交拉丁方在无线通信仿真中的应用[J].计算机仿真,2002（5）：143-146.[2]康庆德.拉丁方和正交拉丁方 [J].自然杂志,1987（9）：605-610.[3]卢开澄,卢华明.组合数学 [M].北京：清华大学出版社,2006.[4]屈寅春,毛珍玲等.优美的均衡组合结构—从均衡组合问题谈正交拉丁方[J].无锡职业学院学报,2010（9）:56-58.[5]林淑飞.一种双偶数阶正交拉丁方的构造方法[J].云南民族大学学报,2010(9):265-268.[6]丁颂康.对称拉丁方的正交性和一类赛程安排问题[J].上海海运学报,2002（3）：82-85.[7]陶照民.偶阶幻方和奇阶正交拉丁方的构造方法[J].应用数学学报,1983（3）:276-281.E-mail：meililiumei@【文献来源】https:///academic-journal-cn_journal-ningde-normal-university-natural-science_thesis/0201250218994.html。

材料力学教程单祖辉答案材料力学教程单祖辉答案【篇一：寒旱所考试科目参考书】s=txt>2006年招收硕士学位研究生考试科目参考书中国科学院寒区旱区环境与工程研究所2006年招收硕士学位研究生考试科目参考书【篇二：上海交大考博参考书目】txt>010船舶海洋与建筑工程学院2201流体力学《水动力学基础》，刘岳元等，上海交大出版社2202声学理论《声学基础理论》，何祚庸，国防工业出版社2203高等工程力学（理力、材力、流力、数学物理方法）（四部分任选二部分做）《理论力学》，刘延柱等，高等教育出版社；《材料力学》，单祖辉，北京航空航天大学出版社；《流体力学》，吴望一，北京大学出版社；《数学物理方法》，梁昆淼，高等教育出版社2204结构力学《结构力学教程》，龙驭球，高等教育出版社3301船舶原理《船舶静力学》，盛振邦，上海交大出版社；《船舶推进》，王国强等，上海交大出版社；《船舶耐波性》，陶尧森，上海交大出版社；《船舶阻力》，邵世明，上海交大出版社3302振动理论（i）《机械振动与噪声学》，赵玫等，科技出版社20043303海洋、河口、海岸动力学《河口海岸动力学》，赵公声等，人民交通出版社2000 3304高等流体力学《流体力学》，吴望一，北京大学出版社3305弹性力学《弹性力学》上、下册（第二版），徐芝纶，高等教育出版社3306振动理论（Ⅱ）《振动理论》，刘延柱等，高等教育出版社20023307钢筋混凝土结构《高等钢筋混凝土结构学》，赵国藩编，中国电力出版社3308地基基础《土工原理与计算》（第二版），钱家欢、殷宗泽，水利电力出版社020机械与动力工程学院2205计算方法《计算方法》，李信真，西北工业大学出版社2206核反应堆工程《核反应堆工程设计》，邬国伟3309工程热力学《工程热力学》（第三版），沈维道；《工程热力学学习辅导及习题解答》，童钧耕3310传热学《传热学》（第三版），杨世铭3311机械控制工程《现代控制理论》，刘豹；《现代控制理论》，于长官3312机械振动《机械振动》，季文美3313生产计划与控制《生产计划与控制》，潘尔顺，上海交通大学出版社3314机械制造技术基础《机械制造技术基础》，翁世修等，上海交通大学出版社1999；《现代制造技术导论》，蔡建国等，上海交通大学出版社20003315现代机械设计《高等机械原理》，高等教育出版社1990030电子信息与电气工程学院2207信号与系统《信号与系统》，胡光锐，上海交大出版社2208电子科学与技术概论《电子科学与技术导论》，李哲英，20062209信息处理与控制系统设计《线性系统理论》，郑大钟，清华大学出版社2002；或《数字图像处理》(第二版)《digital image processing》second edition (英文版)，r. c. gonzalez, r. e. woods，电子工业出版社2002（从“线性系统理论”或“图像处理”中选考其一）2210计算机科学与技术方法论《数理逻辑与集合论》，石纯一，清华大学出版社2000；《图论与代数结构》，戴一奇，清华大学出版社1995；《组合数学》，richard a. brualdi著，卢开澄等译，机械工业出版社20012211数字信号处理（i）《数字信号处理（上）》，邹理和；《数字信号处理（下）》，吴兆熊，国防工业出版社2212电力系统分析与电力电子技术《电力电子技术基础》，金如麟，机械工业出版社，或《电力系统分析（上册）》，诸骏伟，中国电力出版社1995；《电力系统分析（下册）》，夏道止，中国电力出版社19953316网络与通信《数字通信》（第四版），proakis，电子出版社（必考，占30％）：另按照专业加考70％：无线通信方向、信息安全方向，《数字通信》（第四版），proakis，电子出版社；或光通信方向，《光纤通信系统》（第3版）, govind p.agrawal，国外大学优秀教材-通信系列（影印版）；或数据通信网络方向，《computer networks》（fourth edition），pearson education andrews.tanenbaum，vrije universiteit，amsterdam，the netherlands，翻译版：潘爱民译，书号7302089779，清华大学出版社20043317信号与信息处理信号处理方向：《discrete-time signal processing》(second edition)，alan v. oppenheim,prentice-hall，1998；《现代信号处理》（第二版），张贤达，清华大学出版社2002；或图像处理方向：《数字图像处理》，余松煜等，上海交通大学出版社20073319电路与系统《大规模集成电路设计》，陈贵灿，高等教育出版社3320最优控制《最优控制的理论与方法》（第二版），吴沧浦，国防工业出版社20003321模式识别《模式识别》（第二版），边肇祺等，清华大学出版社20003322微机控制与接口技术《微型计算机控制技术》（第三版），谢剑英，国防工业出版社2001 3354运筹学《运筹学》（修订版），运筹学编写组，清华大学出版社20033323计算机软件《程序语言语言编译原理(第3版)》，陈火旺等，国防工业出版社2000；《distributed systems: principles and paradigm》，tanenbaum and steen，prentice hall 2003(清华大学出版社影印出版）3324数据库系统原理《数据库系统概念》（第四版，中译本），silberschatz等著，杨冬青等译，机械工业出版社3325机器学习《机器学习》，曾华军、张银奎译，机械工业出版社20033326计算机网络与系统结构《computer network》（第四版），a. s. taneubaum, 清华大学出版社；《computer architecture: a quantitative approach》（3rd edition），patterson,d.and hennessy,j.，san mateo, california: morgan kaufman publishers2002，机械工业出版社影印出版3327现代控制理论《现代控制理论》，刘豹，机械工业出版社3328现代传感器技术《传感器技术》，贾伯平，东南大学出版社3329电力传动控制系统《电力拖动自动控制系统》，陈伯时，机械工业出版社3330电力网络规划与电压稳定《电力网络规划的方法与应用》，程浩忠、张焰，上海科学技术出版社；或《电力系统无功与电压稳定性》，程浩忠、吴浩，中国电力出版社3331电气绝缘在线监测技术《电力设备在线监测与故障诊断》，肖登明，上海交通大学出版社20043332电机理论《交流电机数学模型及调速系统》，陈坚，国防工业出版社；《交流电机及其系统的分析》（第二版），高景德等，清华大学出版社2005036信息安全学院2213信息安全数学基础《信息安全数学基础》，陈恭亮，清华大学出版社20043333密码学基础《密码学理论与实践》（第二版），d.r. stinson，电子工业出版社2003；《应用密码学》（第二版），bruce schneier，机械工业出版社2000050材料科学与工程学院2214材料科学基础及加工原理《材料科学基础》，胡赓祥等，上海交大出版社2006；《材料科学基础辅导与习题》，蔡珣、戎咏华，上海交大出版社2004；或《材料加工原理》，徐洲等，科学出版社2003；或《材料加工原理》，李言祥等，清华大学出版社2005（材料科学基础、材料加工原理各100分考题，考生任选其一）3334材料热力学与动力学《材料热力学》（第三版），徐祖耀、李麟，科学出版社2005；或《材料热力学与动力学》，徐瑞、荆天辅，哈尔滨工业大学出版社20033335材料微结构分析《分析电子显微学导论》第一、三章，第五章中5.1和5.2节，戎咏华，高等教育出版社2006；或《金属x射线学》，范雄，机械工业出版社19963336凝固或焊接《凝固过程》（中译本），m. c. flemings，冶金工业出版社1981；或《焊接过程现代控制技术》，陈善本等，哈尔滨工业大学出版社2001071数学系2215泛函分析《实变函数论与泛函分析》(第二版)，夏道行等，高等教育出版社3337近世代数《代数学基础》(群.环.域.模等部分)，孟道骥，南开大学出版社3338微分几何《微分流形初步》(第二版)，陈维桓，高等教育出版社；《微分几何讲义》(第二版)，陈省身、陈维桓，北京大学出版社072物理系2216量子力学《量子力学》卷i、卷ii (第三版)，曾谨言2217物理光学《物理光学》，梁铨廷，机械工业出版社；或《物理光学与应用光学》，石顺祥等，西安电子科学技术大学出版社2000；或《物理光学》，范少卿等，1990；或《应用物理光学》，严瑛白，清华大学出版社19903339高等光学《光学原理》，m. born，世界图书出版公司3340固体物理学《固体物理学》（上、下册），方俊鑫、陆栋，上海科学技术出版社3341电动力学《电动力学》（第二版），郭硕鸿等，高等教育出版社3342半导体物理《半导体物理》，刘恩科等，国防工业出版社；或《半导体物理学》，刘恩科等，电子工业出版社3343工程光学《工程光学》，郁道银、谈恒英，机械工业出版社080生命科学技术学院2218生物化学（i）《生物化学》，沈同，高等教育出版社2219病理学《病理学》（七年制规划教材，临床医学专业用），李甘地，人卫版2240微机原理与微机接口《微型计算机原理与接口技术》，吴秀清，中国科技大学出版社3304高等流体力学《流体力学》，吴望一，北京大学出版社3375细胞生物学《细胞生物学》，翟中和，高等教育出版社3344分子生物学《现代遗传原理》，徐晋麟等，科学出版社3345微生物学（i）《微生物学》，沈萍，高等教育出版社20003346生理学《生理学》（七年制规划教材，临床医学专业用），姚泰，人卫版3347数字信号处理（Ⅱ）《数字信号处理》（上、下），吴兆雄，国防工业出版社090人文学院2220科学史导论《科学史》，w.c.丹皮尔，商务印书馆1979或广西师范大学出版社2001；《科学的历程》（第二版），吴国盛，北京大学出版社2002；《中国科学技术史稿》（上下册），杜石然等，科学出版社1982110化学化工学院2221聚合物材料结构与性能《高聚物的结构与性能》，马德柱等，科学出版社；《高分子物理》，何曼君，复旦大学出版社2222物理化学（含结构与波谱化学）《物理化学》（第四版），傅献彩等，高等教育出版社1990；《结构化学基础》（第三版），周公度，北京大学出版社2002；《有机化合物结构鉴定与有机波谱学》（第二版），宁永成，科学出版社20003349高分子合成化学《高分子化学》，潘祖仁，化学工业出版社；《高分子化学》，自然科学基金委，化学工业出版社3350高等无机化学《普通无机化学》，严宣生，王长富，北京大学出版社1999；《催化原理》，吴越，高等教育出版社20013351化学反应工程与催化《化学反应工程与催化》，李绍芬，化学工业出版社；《催化原理》，吴越，高等教育出版社20013352高等有机化学《高等有机化学》，f. a凯里、r. j 森德伯格，人民教育出版社3376仪器分析《仪器分析教程》，北京大学化学系仪器分析组，北京大学出版社；《仪器分析》（第三版），朱明华，高教出版社2000120安泰经济与管理学院3353统计学《概率论与数理统计教程》，魏宗舒，高等教育出版社1983；《概率论与数理统计》（第三版），盛骤等，高等教育出版社20013354运筹学《运筹学》（修订版），运筹学编写组，清华大学出版社20033355计量经济学《introductory econometrics：a modern approach 》，jeffrey m. wooldridge，south-western college publishing，清华大学出版社(影印本)；《计量经济学3374战略管理《战略管理》，王方华、吕巍，机械工业出版社2004130国际与公共事务学院2225中国特色社会主义理论与实践《邓小平文选》（第二、三卷），人民出版社1993/1994；《“三个代表”重要思想概论》，中华人民共和国教育部，中国人民大学出版社20033357当代中国政治与政策《政府过程》，胡伟，浙江人民出版社1998/上海人民出版社2007；《理解公共政策》，托马斯?戴伊，华夏出版社2005140外国语学院1102日语（二外）《日语中级阅读》、《日语高级阅读》，日本语教育教师协会（jaltta），上海外语教育出版社1103法语（二外）《法语》（1—4册），马晓宏，外语教学与研究出版社1104德语（二外）《基础德语》，王志强等；《中级德语》，樊迪生，同济大学出版社2226语言学linguistics: an introduction，andrew radford，外语教学与研究出版社；course in general linguistics，f.de saussure ，外语教学与研究出版社；linguistic theory:the discourse of fundamental works，robert de beaugrande，外语教学与研究出版社3358英语写作不指定参考书目150农业与生物学院2227分子生物学原理《现代分子生物学》（第二版），朱玉贤、李毅，高等教育出版社2002；《基因工程原理》（第二版），吴乃虎，科学出版社20012228植物生物化学与分子生物学《植物生物化学与分子生物学》，b.b.布坎南等主编；瞿礼嘉等主译，科学出版社20042210计算机科学与技术方法论《数理逻辑与集合论》，石纯一，清华大学出版社2000；《图论与。

2009年上海交大考博部分考试科目参考书目部分考试科目参考书目010船舶海洋与建筑工程学院2201流体力学《水动力学基础》，刘岳元等，上海交大出版社2202声学理论《声学基础理论》，何祚庸，国防工业出版社2203高等工程力学（理力、材力、流力、数学物理方法）（四部分任选二部分做）《理论力学》，刘延柱等，高等教育出版社；《材料力学》，单祖辉，北京航空航天大学出版社；《流体力学》，吴望一，北京大学出版社；《数学物理方法》，梁昆淼，高等教育出版社2204结构力学《结构力学教程》，龙驭球，高等教育出版社3301船舶原理《船舶静力学》，盛振邦，上海交大出版社；《船舶推进》，王国强等，上海交大出版社；《船舶耐波性》，陶尧森，上海交大出版社；《船舶阻力》，邵世明，上海交大出版社3302振动理论（I）《机械振动与噪声学》，赵玫等，科技出版社20043303海洋、河口、海岸动力学《河口海岸动力学》，赵公声等，人民交通出版社20003304高等流体力学《流体力学》，吴望一，北京大学出版社3305弹性力学《弹性力学》上、下册（第二版），徐芝纶，高等教育出版社3306振动理论（Ⅱ）《振动理论》，刘延柱等，高等教育出版社20023307钢筋混凝土结构《高等钢筋混凝土结构学》，赵国藩编，中国电力出版社3308地基基础《土工原理与计算》（第二版），钱家欢、殷宗泽，水利电力出版社3378船舶结构力学《船舶结构力学》，陈铁云、陈伯真，上海交大出版社020机械与动力工程学院2205计算方法《计算方法》，李信真，西北工业大学出版社2206核反应堆工程《核反应堆工程设计》，邬国伟3309工程热力学《工程热力学》（第三版），沈维道；《工程热力学学习辅导及习题解答》，童钧耕3310传热学《传热学》（第三版），杨世铭3311机械控制工程《现代控制理论》，刘豹；《现代控制理论》，于长官3312机械振动《机械振动》，季文美3313生产计划与控制《生产计划与控制》，潘尔顺，上海交通大学出版社3314机械制造技术基础《机械制造技术基础》，翁世修等，上海交通大学出版社1999；《现代制造技术导论》，蔡建国等，上海交通大学出版社20003315现代机械设计《高等机械原理》，高等教育出版社1990030电子信息与电气工程学院2207信号与系统《信号与系统》，胡光锐，上海交大出版社2208电子科学与技术概论《电子科学与技术导论》，李哲英，20062209信息处理与控制系统设计《线性系统理论》，郑大钟，清华大学出版社2002；或《数字图像处理》(第二版)《Digital Image Processing》Second Edition (英文版)，R. C. Gonzalez, R. E. Woods，电子工业出版社2002（从“线性系统理论”或“图像处理”中选考其一）2210计算机科学与技术方法论《数理逻辑与集合论》，石纯一，清华大学出版社2000；《图论与代数结构》，戴一奇，清华大学出版社1995；《组合数学》，Richard A. Brualdi著，卢开澄等译，机械工业出版社2001 2211数字信号处理（I）《数字信号处理（上）》，邹理和；《数字信号处理（下）》，吴兆熊，国防工业出版社2212电力系统分析与电力电子技术《电力电子技术基础》，金如麟，机械工业出版社，或《电力系统分析（上册）》，诸骏伟，中国电力出版社1995；《电力系统分析（下册）》，夏道止，中国电力出版社1995 3316网络与通信《数字通信》（第四版），Proakis，电子出版社（必考，占30％）：另按照专业加考70％：无线通信方向、信息安全方向，《数字通信》（第四版），Proakis，电子出版社；或光通信方向，《光纤通信系统》（第3版）, Govind P.Agrawal，国外大学优秀教材-通信系列（影印版）；或数据通信网络方向，《Computer Networks》（Fourth Edition），Pearson Education Andrew S.Tanenbaum，Vrije Universiteit，Amsterdam，The Netherlands，翻译版：潘爱民译，书号7302089779，清华大学出版社20043317信号与信息处理信号处理方向：《Discrete-Time Signal Processing》(Second Edition)，Alan V. Oppenheim, Prentice-Hall，1998；《现代信号处理》（第二版），张贤达，清华大学出版社2002；或图像处理方向：《数字图像处理》，余松煜等，上海交通大学出版社20073318微波与光波技术光波方向：《光电子学导论》（第1版），A.雅里夫，1983；或微波方向：《电磁场理论与微波技术基础》（下册），周希朗，东南大学出版社；《工程电动力学》，王一平，西电出版社3319电路与系统集成电路设计方向选择：《大规模集成电路设计》，陈贵灿，高等教育出版社；或信号处理方向选择：《模拟电子技术基础》(第四版), 童诗白，高等教育出版社3320最优控制《最优控制的理论与方法》（第二版），吴沧浦，国防工业出版社20003321模式识别《模式识别》（第二版），边肇祺等，清华大学出版社20003322微机控制与接口技术《微型计算机控制技术》（第三版），谢剑英，国防工业出版社20013354运筹学《运筹学》（修订版），运筹学编写组，清华大学出版社20033323计算机软件《程序语言语言编译原理(第3版)》，陈火旺等，国防工业出版社2000；《Distributed Systems: Principles and Paradigm》，Tanenbaum and Steen，Prentice Hall 2003(清华大学出版社影印出版）3324数据库系统原理《数据库系统概念》（第四版，中译本），Silberschatz等著，杨冬青等译，机械工业出版社3325机器学习《机器学习》，曾华军、张银奎译，机械工业出版社20033326计算机网络与系统结构《Computer Network》（第四版），A. S. Taneubaum, 清华大学出版社；《Computer Architecture: A Quantitative Approach》（3rd edition），Patterson,D.and Hennessy,J.，San Mateo, California: Morgan KaufmanPublishers2002，机械工业出版社影印出版3327现代控制理论《现代控制理论》，刘豹，机械工业出版社3328现代传感器技术《传感器技术》，贾伯平，东南大学出版社3329电力传动控制系统《电力拖动自动控制系统》，陈伯时，机械工业出版社3330电力网络规划与电压稳定《电力网络规划的方法与应用》，程浩忠、张焰，上海科学技术出版社；或《电力系统无功与电压稳定性》，程浩忠、吴浩，中国电力出版社3331电气绝缘在线监测技术《电力设备在线监测与故障诊断》，肖登明，上海交通大学出版社20043332电机理论《交流电机数学模型及调速系统》，陈坚，国防工业出版社；《交流电机及其系统的分析》（第二版），高景德等，清华大学出版社2005036信息安全学院2213信息安全数学基础《信息安全数学基础》，陈恭亮，清华大学出版社20043333密码学基础《密码学理论与实践》（第二版），D.R. Stinson，电子工业出版社2003；《应用密码学》（第二版），Bruce Schneier，机械工业出版社2000050材料科学与工程学院2214材料科学基础及加工原理《材料科学基础》，胡赓祥等，上海交大出版社2006；《材料科学基础辅导与习题》，蔡珣、戎咏华，上海交大出版社2004；或《材料加工原理》，徐洲等，科学出版社2003；或《材料加工原理》，李言祥等，清华大学出版社2005（材料科学基础、材料加工原理各100分考题，考生任选其一）3334材料热力学与动力学《材料热力学》（第三版），徐祖耀、李麟，科学出版社2005；或《材料热力学与动力学》，徐瑞、荆天辅，哈尔滨工业大学出版社20033335材料微结构分析《分析电子显微学导论》第一、三章，第五章中5.1和5.2节，戎咏华，高等教育出版社2006；或《金属X射线学》，范雄，机械工业出版社19963336凝固或焊接《凝固过程》（中译本），M. C. Flemings，冶金工业出版社1981；或《焊接方法与机电一体化》，赵熹华，机械工业出版社2001071数学系2215泛函分析《实变函数论与泛函分析》(第二版)，夏道行等，高等教育出版社3337近世代数《代数学基础》(群.环.域.模等部分)，孟道骥，南开大学出版社3338微分几何《微分流形初步》(第二版)，陈维桓，高等教育出版社；《微分几何讲义》(第二版)，陈省身、陈维桓，北京大学出版社072物理系2216量子力学《量子力学》卷I、卷II (第三版)，曾谨言2217物理光学《物理光学》，梁铨廷，机械工业出版社；或《物理光学与应用光学》，石顺祥等，西安电子科学技术大学出版社2000；或《物理光学》，范少卿等，1990；或《应用物理光学》，严瑛白，清华大学出版社19903339高等光学《光学原理》，M. Born，世界图书出版公司3340固体物理学《固体物理学》（上、下册），方俊鑫、陆栋，上海科学技术出版社3341电动力学《电动力学》（第二版），郭硕鸿等，高等教育出版社3342半导体物理《半导体物理》，刘恩科等，国防工业出版社；或《半导体物理学》，刘恩科等，电子工业出版社3343工程光学《工程光学》，郁道银、谈恒英，机械工业出版社080生命科学技术学院2218生物化学（I）《生物化学》，沈同，高等教育出版社2219病理学《病理学》（七年制规划教材，临床医学专业用），李甘地，人卫版2240微机原理与微机接口《微型计算机原理与接口技术》，吴秀清，中国科技大学出版社3304高等流体力学《流体力学》，吴望一，北京大学出版社3375细胞生物学《细胞生物学》，翟中和，高等教育出版社3344分子生物学《现代遗传原理》，徐晋麟等，科学出版社3345微生物学（I）《微生物学》，沈萍，高等教育出版社20003346生理学《生理学》（七年制规划教材，临床医学专业用），姚泰，人卫版3347数字信号处理（Ⅱ）《数字信号处理》（上、下），吴兆雄，国防工业出版社090人文学院2220科学史导论《科学史》，W.C.丹皮尔，商务印书馆1979或广西师范大学出版社2001或电子版（网址：[url=/book/kxsml.HTM]/book/kxsml.HTM[/url]）；《科学的历程》（第二版），吴国盛，北京大学出版社2002；《科学史十五讲》，江晓原主编，北京大学出版社2006；《中国科学技术史稿》（上下册），杜石然等，科学出版社19823348科学哲学导论《科学究竟是什么》，A.F.查尔莫斯，商务印书馆1982或河北科学技术出版社2002或电子版（网址：[url=/kxjj/mulu.htm]/kxjj/mulu.htm[/url]）；《科学哲学：当代进阶教程》，亚历克斯·罗森堡，上海科技教育出版社2004110化学化工学院2221聚合物材料结构与性能《高聚物的结构与性能》，马德柱等，科学出版社；《高分子物理》，何曼君，复旦大学出版社2222物理化学（含结构与波谱化学）《物理化学》（第四版），傅献彩等，高等教育出版社1990；《结构化学基础》（第三版），周公度，北京大学出版社2002；《有机化合物结构鉴定与有机波谱学》（第二版），宁永成，科学出版社20003349高分子合成化学《高分子化学》，潘祖仁，化学工业出版社；《高分子化学》，自然科学基金委，化学工业出版社3350高等无机化学《普通无机化学》，严宣生，王长富，北京大学出版社1999；《催化原理》，吴越，高等教育出版社20013351化学反应工程与催化《化学反应工程与催化》，李绍芬，化学工业出版社；《催化原理》，吴越，高等教育出版社20013352高等有机化学《高等有机化学》，F. A凯里、R. J 森德伯格，人民教育出版社3376仪器分析《仪器分析教程》，北京大学化学系仪器分析组，北京大学出版社；《仪器分析》（第三版），朱明华，高教出版社2000120安泰经济与管理学院2223经济学《微观经济学》（第四版），平狄克，鲁宾费尔德，中国人民大学出版社2000；《微观经济学：现代观点》（第六版），H·范里安，上海三联书店；《宏观经济学》（第五版），曼昆，中国人民大学出版社；《宏观经济学》（第二版），奥利维尔·布兰查德，清华大学出版社2224管理学《管理学》（第七版），（美国）斯蒂芬·P·罗宾斯，中国人大出版社2004；《管理学》（第十版），Koontz，经济科学出版社19983353统计学《概率论与数理统计教程》，魏宗舒，高等教育出版社1983；《概率论与数理统计》（第三版），盛骤等，高等教育出版社20013354运筹学《运筹学》（修订版），运筹学编写组，清华大学出版社20033355计量经济学《Introductory Econometrics：A Modern Approach 》，Jeffrey M. Wooldridge，South-Western College Publishing，清华大学出版社(影印本)；《计量经济学导论：现代观点》，J.M.伍德里奇，中国人民大学出版社3356农业经济学《资源、农业与食品经济学》（第2版），韦斯利·D·塞茨等，田志宏等译，中国人民大学出版社3374战略管理《战略管理》，王方华、吕巍，机械工业出版社2004130国际与公共事务学院2225中国特色社会主义理论与实践《邓小平文选》（第二、三卷），人民出版社1993/1994；《十七大报告学习辅导百问》，学习出版社/党建读物出版社2007年3357当代中国政治与政策《政府过程》，胡伟，浙江人民出版社1998/上海人民出版社2007；《理解公共政策》，托马斯•戴伊，华夏出版社2005140外国语学院1102日语（二外）《日语中级阅读》、《日语高级阅读》，日本语教育教师协会（Jaltta），上海外语教育出版社1103法语（二外）《法语》（1—4册），马晓宏，外语教学与研究出版社1104德语（二外）《基础德语》，王志强等；《中级德语》，樊迪生，同济大学出版社2226语言学Linguistics: An Introduction，Andrew Radford，外语教学与研究出版社；Course in General Linguistics，F.de Saussure ，外语教学与研究出版社；Linguistic Theory:The Discourse of Fundamental Works，Robert de Beaugrande，外语教学与研究出版社3358英语写作不指定参考书目150农业与生物学院2227分子生物学原理《现代分子生物学》（第3版），朱玉贤、李毅、郑晓峰，高等教育出版社2007；《基因工程原理》（第二版），吴乃虎，科学出版社20012228植物生物化学与分子生物学《植物生物化学与分子生物学》，B.B.布坎南等主编；瞿礼嘉等主译，科学出版社20042210计算机科学与技术方法论《数理逻辑与集合论》，石纯一，清华大学出版社2000；《图论与代数结构》，戴一奇，清华大学出版社1995；《组合数学》，Richard A. Brualdi著，卢开澄等译，机械工业出版社20013359生物化学（Ⅱ）《生物化学》（第三版），王镜岩等，高等教育出版社20023360植物生理学报考生态学方向参考书为：《现代生态学》（第一版），戈锋主编，科学出版社；其他方向参考书为：《植物生理学》，武维华，科学出版社20033377遗传学《遗传学》（第三版），朱军，中国农业出版社20023323计算机软件《程序语言语言编译原理(第3版)》，陈火旺等，国防工业出版社2000；《Distributed Systems: Principles and Paradigm》，Tanenbaum and Steen，Prentice Hall 2003(清华大学出版社影印出版）160环境科学与工程学院2229环境科学基础《环境学导论》（第3版），何强等，清华大学出版社20043361环境污染控制工程《排水工程》（下册），张自杰，中国建筑工业出版社170药学院2230化学基础《生物化学》（第六版，药学专业用），吴梧桐，人民卫生出版社2007；或《天然药物化学》（第五版），吴立军，人民卫生出版社2008；或《有机化学》（第四版），倪沛州，人民卫生出版社；或《物理化学》，王正烈、周亚萍，天津大学出版社20012232药物化学《药物化学总论》（第二版），郭宋儒，中国医药科技出版社2003；《药物化学》，尤启东，化学工业出版社20043362药学基础《药学分子生物学》（第三版），史济平，人民卫生出版社2007；或《药用植物与生药学》，郑汉臣，人民卫生出版社2004；或《药剂学》（第4版），毕殿州，人民卫生出版社2003，《生物药剂学与药物动力学》，梁文权，人民卫生出版社2000；或《药物分析》（第5版），刘文英，人民卫生出版社2004 3364有机化学《有机化学》（第4版），倪沛州，人民卫生出版社；《高等有机化学》，F. A凯里、R. J 森德伯格，人民教育出版社190法学院考试科目均不指定参考书目，考试内容涵盖相关教材、法律法规、司法解释和文献资料。

计算机软件与理论081202（一级学科：计算机科学与技术）本学科点的科学研究与研究生培养工作涵盖理论计算机科学、软件工程、软件开发等多个领域，2003年获得博士学位授予权，经过全体教学与科研人员的共同努力，已经形成了结构合理、实力雄厚的学科梯队，在EDA及ASIC设计方法学、C3I和军用共性软件、异构数据库、算法理论、人工智能理论与软件、基于Internet的新型软件方法与技术、支持软件全工程期的CASE环境与工具等方面的多项研究工作处于国内先进行列，多项科研成果和教学成果获国家级或部级奖励，主要研究方向有：1．系统软件与软件工程：主要从事嵌入式实时操作系统、数字系统自动设计理论与专用集成电路设计方法学、大型软件工程化方法、软件开发技术、软件工具与环境、软件体系结构等方面的基本理论与技术的研究工作。

2．数据库：主要从事异构信息源的集成、多媒体数据库、海量信息处理、数字图书馆、Web数据库、数据仓库、数据挖掘、Web挖掘、嵌入式数据库等方面的研究工作。

3．智能软件技术：主要研究多Agent技术、移动Agent技术、人工智能技术在软件开发中的应用，研究因特网上的数据集成、数据挖掘及知识发现的有效算法与软件系统。

4．软件理论：主要针对软件领域内的共性问题，从形式化、自动化和方法学等基本层面来研究软件的理论与方法。

一、培养目标掌握坚实的计算机科学与技术的基础理论和系统的计算机软件与理论和有关计算机系统结构、计算机应用技术方面的专门知识，具有从事科学研究工作和独立承担专门技术工作的能力，能够胜任计算机软件与理论的教学、科研、软件系统开发等工作。

二、课程设置·246·三、必修环节1．文献综述报告（1学分）：本学科硕士学位研究生的文献阅读要结合课题研究方向和具体的研究领域进行，文献参考不少于20篇。

2．学术活动（1学分）：在学期间至少应参加6次以上学术活动，其中本人进行正规性的学术报告1次以上。

武汉数字工程研究所（七○九所）2007年硕士、博士研究生招生简章武汉数字工程研究所（709所）隶属中国船舶重工集团公司。

成立于1956年，是我国最早融数学、信息技术、计算技术、自动控制于一身，以计算机技术为基础，开发应用为目标的国家重点研究所。

全所1千余名职工中，科技人员所占比例为60%，硕、博士学位人员占科研人员总数的25%。

1979年开始招收“计算机软件与理论”硕士研究生，1985年后相继获得“计算机系统结构”和“计算机应用技术”专业的硕士学位研究生招生与培养授权点，近期在“计算机应用技术”专业中增设“通信与信息系统”研究方向。

1997年经国务院学位委员会审批，我所与哈尔滨工程大学联合建立了“计算机应用技术”博士学位专业授权点，其研究方向为：指控系统技术、软件开发环境与应用系统集成，分别由计算机领域的知名专家、教授担任指导教师。

2001年后科研流动站七○九所分站。

论主要研究软件开发（生产）、维护以及使用过程中所涉及的理论、方法和技术，探讨计算机科学与技术学科发展的理论基础。

其主要方向为：软件工程技术及应用、指控系统数据融合技术、软件仿真与测试技术、软件系统集成。

计算机系统结构主要研究软件与硬件的功能匹配，确定软件与硬件间的界面；研究计算机系统的物理或硬件结构，各组织部分的属性及这些部分的相互联系。

其主要研究方向为：容错技术、计算机体系结构技术、并行处理技术。

计算机应用技术着重研究计算机用于各个领域所涉及的原理、方法与技术。

其主要研究方向为：指控系统技术、计算机图形图像显示与信息处理、微电子设计、计算机网络与信息工程、计算机信息化管理、无线射频识别（RFID）技术及应用。

新增的“通信与信息系统”研究方向主要是以信息传输、交换以及信息网络为主体的各类通信与信息系统，与电子科学、控制科学、计算机科学等领域有交叉。

2007年硕士研究生招生专业目录2007年博士生招生专业目录博士生入学考试参考书目计算机网络：计算机网络谢希仁、达蓝伯姆清华大学出版社计算机系统结构：计算机系统结构李学干、苏东庄西安电子二版人工智能：人工智能及其应用石纯一、蔡自兴清华大学出版社软件工程：软件工程齐治昌高等教育出版社数据库原理：数据库原理及应用系统开发张健沛中国水利水电出版社数据结构与程序设计：数据结构严蔚敏清华大学出版社数理逻辑：数理逻辑引论马胜光哈尔滨工程大学组合数学：组合数学卢开澄清华大学出版社（第二、三版）概率论与数理统计：概率论与数理统计王林书鲍兰平赵瑞清科学出版社“计算机应用技术博士后流动站”进站公告我所“计算机应用技术博士后流动站”已正式启动欢迎相关专业博士毕业生到我站工作。

第29卷第5期 唐山师范学院学报 2007年9月 Vol. 29 No.5 Journal of Tangshan Teachers College Sep. 2007──────────收稿日期：2007-04-06作者简介：张永强（1972-），男，河北丰南人，一级教师。

- 140 -差分的应用及正整数的k 次方幂求和张永强（唐山丰南一中，河北 唐山 063300）摘 要：提出了利用差分表和二项式定理推导并求解前n 个正整数的k 次方幂之和()k n S ,=k k k n ++2+1Λ的方法。

关键词：差分；二项式定理；方幂；求和中图分类号：O157 文献标识码：A 文章编号：1009-9115（2007）05-0140-021 预备知识定义1 给定函数()x P ，称()x P ∆=()()x P x P -1+为函数()x P 的一阶差分，并称∆为差分算子；对于1>k ，称()x P k ∆=()()x P x P k k 1-1--1+∆∆为函数()x P 的k 阶差分。

定义2 给定函数()x P ，依次求出函数()x P 的各阶差分()x P k ∆，分别将Λ,3,2,1,0=x 代入每一()x P k ∆中，再将所得数列依Λ,3,2,1,0=k 的次序排成各行，这里要求下面每一行的数字都恰排在上面一行两个数字的中间，即 ()0P ()1P ()2P ()3P ()4P ()5P ()6P …()0P ∆ ()1P ∆ ()2P ∆ ()3P ∆ ()4P ∆ ()5P ∆ … ()02P ∆ ()12P ∆ ()22P ∆ ()32P ∆ ()42P ∆ … ()03P ∆ ()13P ∆ ()23P ∆ ()33P ∆ …………………………………… 称上面的表为函数()x P 的差分表。

定理1 若多项式()x P 的次数为n ，则对于任何的1+≥n k ，多项式()x P 的k 阶差分恒等于0.定理2 若多项式()x P 的差分表左斜列中各元素依次为0d ，1d ，2d ，…，m d ，0，0，0，…，则对任何正整数n 都有()∑0=nk k P =1+1+21+111+0+++m N m n n C d C d C d Λ2 利用差分表计算前n 个正整数的k 次方幂之和例1 前n 个正整数的求和公式 解 令()x P =x ，可得差分表0 1 2 3 4 5 6 7 … 1 1 1 1 1 1 1 … 0 0 0 0 0 0 … 于是 )1,(n S =n ++2+1Λ=21+11+•1+•0n n C C =()21+nn例2 前n 个正整数的平方和公式 解 令()x P =2x ，则得差分表0 1 4 9 16 25 36 49 … 1 3 5 7 9 11 13 … 2 2 2 2 2 2 … 0 0 0 0 0 … 于是 )2,(n S =222++2+1n Λ=31+21+11+2+·1+·0n n n C C C =()()61+21+n n n例3 前n 个正整数的立方和公式 解 令()x P =x 3，则得差分表0 1 8 27 64 125 216 343… 1 7 19 37 61 91 127 … 6 12 18 24 30 36 … 6 6 6 6 6 … 0 0 0 0 … 于是 )3,(n S =333++2+1n Λ=41+31+21+11+6+6+·1+·0n n n n C C C C=()41+22n n =()2++3+2+1n Λ例4 前n 个正整数的四次方和公式 解 令()x P =x 4，则得差分表0 1 16 81 256 625 1296 … 1 15 65 175 369 671 … 14 50 110 194 302 … 36 60 84 108 … 24 24 24 … 0 0 … 于是张永强：差分的应用及正整数的k 次方幂求和- 141 -)4,(n S =444++2+1n Λ=51+41+31+21+11+24+36+14+·1+·0n n n n n C C C C C=()()()1-3+31+21+3012n n n n n 可得Λ7,6,5=k 时，前n 个正整数的k 次方的求和公式。

用对偶单纯形法求对偶问题的最优解(共7页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-用对偶单纯形法求对偶问题的最优解摘要：在线性规划的应用中，人们发现一个线性规划问题往往伴随着与之配对的另一个线性规划问题.将其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题.对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系.由对偶问题引申出来的对偶解有着重要的经济意义.本文主要介绍了对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求解对偶问题的最优解.关键词：线性规划；对偶问题；对偶单纯形Using Dual Simplex Method To Get The Optimal Solution Of TheDual ProblemAbstract：In the application of the linear programming， people find that a linear programming problem is often accompanied by another paired linear programming problem. One is called original problem. Another is called the dual problem. Duality theory reveals the internal relationsbetween the dual problem and the original problem. The solution of the dual problem is of a great economic significance. In this paper，we mainly discuss the basic form of the dual problem and how to use dual simplex method to get the optimal solution of the dual problem. Key words: linear programming；dual problem；dual simplex method1 引言首先我们先引出什么是线性规划中的对偶问题.任何一个求极大化的线性规划问题都有一个求极小化的线性规划问题与之对应，反之亦然，如果我们把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，并称这一对互相联系的两个问题为一对对偶问题.每个线性规划都有另一个线性规划(对偶问题)与它密切相关，对偶理论揭示了原问题与对偶问题的内在联系.下面将讨论线性规划的对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求最优解.在一定条件下，对偶单纯形法与原始单纯形法相比有着显著的优点.2 对偶问题的形式对偶问题的形式主要包括对称形对偶问题[]3和非对称性对偶问题.对称形对偶问题设原线性规划问题为Max1122...n nZ c x c x c x =+++()11112211211222221122...............0.1,2,...,n n n n m m mn n nj a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x bx j n +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪⎨⎪+++≤⎪≥=⎪⎩（）则称下列线性规划问题 Max 1122...m m W b y b y b y =+++()11112211211222221122...............0.1,2,...,n n n n m m mn n nj a y a y a y c a y a y a y c a y a y a y cy j m +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪⎨⎪+++≤⎪≥=⎪⎩（）为其对偶问题，其中(1,2,...,)i y i m =称其为对偶变量，并称（）和（）式为一对对称型对偶问题.原始对偶问题（）和对偶问题（）之间的对应关系可以用表2-1表示.这个表从横向看是原始问题，从纵向看使对偶问题.用矩阵符号表示原始问题（）和对偶问题（）为 CX Z =max原问题 ⎩⎨⎧≥≤0X b AX （）Yb W =min对偶问题 ⎩⎨⎧≥≤0Y C YA （） 其中()12,,...,m Y y y y =是一个行向量. 非对称对偶问题线性规划有时以非对称形式出现，那么如何从原始问题写出它的对偶问题，我们从一个具体的例子来说明这种非对称形式的线性规划问题的对偶问题的建立方法.例1 写出下列原始问题的对偶问题43214765max x x x x Z ++-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥-≥++--≤-+--=--+)4,3,2,1(032417281473672432143214321j x x x x x x x x x x x x x j解： 第一约束不等式等价与下面两个不等式约束724321-≤--+x x x x 724321≤++--x x x x 第二个约束不等式照写147364321≤-+-x x x x 第三个不等式变成32417284321≤--+x x x x以 121123,,,y y y y 分别表示这四个不等式约束对应的对偶变量，则对偶问题为 32211131477min y y y y W +++-= ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--+-≥-++--≥+--≥++-0,,,427746173225286322111322111322111322111322111y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y令 12111y y y =-，则上式的对偶问题变为：3213147min y y y W ++-=12312312312323162852317647724,0,y y y y y y y y y y y y y y y ++≥⎧⎪-+≥-⎪⎪-+-≥⎨⎪---≥⎪≥⎪⎩无符号限制一般可以证明，若原问题中的某个变量无非负限制，则对偶问题中的相应约束为等式. 3 对偶单纯形法对偶问题求解具有重要的意义，有多种方法解决对偶问题.下面介绍用对偶单纯形法来解决线性规划的对偶问题.先介绍以下几个线性规划的基本概念[]6：基： 已知A 是约束条件的m n ⨯系数矩阵，其秩为m .若B 是A 中m m ⨯阶非奇异子矩阵（即可逆矩阵），则称B 是线性规划问题中的一个基.基向量：基B 中的一列即称为一个基向量.基B 中共有m 个基向量. 非基向量：在A 中除了基B 之外的一列则称之为基B 的非基向量. 基变量：与基向量相应的变量叫基变量，基变量有m 个.非基变量：与非基向量相应的变量叫非基变量，非基变量有n m -个. 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m 元线性方程组就可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解.首先重新回顾一下单纯形法的基本思想，其迭代的基本思路是：先找出一个基可行解，判断其是否为最优解，如果不是，则转换到另一更优的基可行解，并使目标函数值不断优化，直到找到最优解为止.我们可以用另一种思路，使在单纯形法每次迭代的基本解都满足最优检验，但不一定满足非负约束，迭代时使不满足非负约束的变量个数逐步减少.当全部基变量都满足非负约束条件时，就得到了最优解，这种算法就是对偶单纯形法.因此，单纯形法是从一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优条件为止.对偶单纯形法是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索出最优解.在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失.现把对偶单纯形法的基本步骤总结如下[3]:第一，把所给的线性规划问题转化为标准型；第二，找出一个初始正则基0B ，要求对应的单纯形表中的全部检验数0j σ≤，但“右边”列中允许有负数；第三，若“右边”列中各数均非负，则0B 已是最优基，于是，已求得最优解，计算终止.否则转为第四步；第四，换基：“右边”列中取值最小（即负的最多）的数所对应的变量为出基变量.计算最小比值θ.最小比值出现在末列，则该列所对应的变量即为进基变量，换基后得新基1B ，以出基变量的行和进基变量列交点处的元素为主元进行单纯形迭代，再转入第三步.下面用一个例子具体说明用对偶单纯形法求线性规划问题最优解的步骤： 例1 求解线性规划问题 min 12315511W y y y =++;1231231233225524,,0y y y y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩添加松弛变量以后的标准型 min 12315511W y y y =++12341235123453225524,,,,0y y y y y y y y y y y y y ++-=⎧⎪++-=⎨⎪≥⎩ 将每个等式两边乘以-1，则上述问题转化为 min 12315511W y y y =++;12341235123453225524,,,,0y y y y y y y y y y y y y ---+=-⎧⎪---+=-⎨⎪≥⎩如果取()045,B Y y y =作为初试基变量，有如下初试单纯形表（表）由此可见，两个基变量45,y y 均取负值，所以，0B 所确定的基本解不是基可行解，从而也就不能用单纯形法求解.下面我们用一种新的方法对偶单纯形法求解此题，并通过例题来说明方法步骤.对偶单纯形法的基本思想：是保证检验数行全部非正的条件下，逐步使得“右边”一列各数变成非负.一旦“右边”一列各数均满足了非负条件（即可行性条件），则就获得最优解.现在，0B 不是可行基（称为正则基），为保证上述方法的实现，可按下面的方法确定出基变量和进基变量.出基变量的确定 可以取任意一个具有负值的基变量（一般可取最小的）为出基变量.在上例中，两个基变量()45,y y 都取负值，且45y =-最小，故 4y 为出基变量.现在考虑出基变量所对应的负所有元素 0ij a <，对每个这样的元素作比值jija σ'，令 30min 0j ij j n ij ija a a σσθ≤≤⎧⎫⎪⎪'=≤=⎨⎬''⎪⎪⎩⎭ （） 则 3x 为进基变量.在表2-4中，基变量 4y 所在的行有三个ij a '取负值，其值分别为-3，-2，-2.它们对应的检验数分别为-15，-5，-11. 于是212155115min ,,3222a σθ---⎧⎫===⎨⎬---⎩⎭ 由此可知， 2y 为进基变量.主元素为 2ija '=-，对表2-1进行一次迭代便得表2-2，在表2-2的（1）中，基变量 3y 所取之值 2302b '=-<，故 3y 为出基变量.又21215561522min ,,711722a σθ⎧⎫--⎪⎪-===⎨⎬'-⎪⎪--⎩⎭故 3y 是进基变量；，主元为 2172a '=-.对（1）再作单纯形变换，得表3-1之（2）.由于它的“右边”已列出全部非负，故它就是最优表.最优解为：137y '=，2137y '=， 3450y y y '''===；最优值 1107w '=.然而在有些问题中，我们很容易找到初始基本解，因此使用对偶单纯形法求解线性规划问题是有一定条件的，其条件是：(1) 单纯形表的b列中至少有一个负数.(2) 单纯形表中的基本解都满足最优性检验.对偶单纯形法与原始单纯形法相比有两个显著的优点：(1) 初始解可以是不可行解，当检验数都非正时，即可进行基的变换，这时不需要引入人工变量，因此简化了计算.(2) 对于变量个数多于约束方程个数的线性规划问题，采用对偶单纯形法计算量较少.因此对于变量较少、约束较多的线性规划问题，可以先将其转化为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解.对变量多于约束条件的线性规划问题，用对偶单纯形法进行计算可以减少计算的工作量.因此对变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可先将此问题转化为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解.用对偶单纯形法求解线性规划问题的标准型，要求初始单纯形表检验数行的检验数必须全部非正，若不能满足这一条件，则不能运用对偶单纯形法求解.对偶单纯形法的局限性主要是，对大多数线性规划问题来说，很难找到一个初始可行基，因此这种方法在求解线性规划问题时，很少单独应用.参考文献：[1] 吴祈宗．运筹学学习指导及习题集[M] ．北京：机械工业出版社，2006．[2] 孙君曼，冯巧玲，孙慧君，等．线性规划中原问题与对偶问题转化方法探讨[J]．郑州:工业学院学报（自然科学版），2001，16(2):44~46．[3] 何坚勇．运筹学基础．北京：清华大学出版社，2000．[4] 周汉良，范玉妹. 数学规划及其应用．北京：冶金工业出版社．[5] 陈宝林．最优化理论与算法(第二版) ．北京：清华大学出版社，2005．[6] 张建中，许绍吉. 线性规划. 北京：科学出版社，1999.[7] 姚恩瑜，何勇，陈仕平．数学规划与组合优化．杭州：浙江大学出版社，2001．[8] 卢开澄．组合数学算法与分析．清华大学出版社， 1982．[9] Even． Shimon． Algzithmic Combinatorial． The Macmillan Company， New York， 1973．[10] J．P．Tremblay， R．Manohar．Discrete Mathematical Structures with Applications to Computer Science， 1980．[11] 李修睦．图论．华中工学院出版社， 1982．[12] Pranava R G．Essays on optimization and incentive contracts[C]．Massachusetts Institute of Technology， Sloan School of Management: Operations Research 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