长郡理科实验班招生考试数学试卷28

长郡理科实验班招生 考试数学试卷（四）时量：60分钟 满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1.已知<COSA<Sin80°，则锐角A 的取值范围是（ ） A.6080A ︒<<︒ B.3080A ︒<<︒ C.1060A ︒<<︒D.1030A ︒<<︒2.设1x 、2x 是方程20x x k ++=的两个实根，若恰有22211222x x x x k ++=成立，则k 的值为（ ） A.1-B.12或1-C.12D.12-或13.一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的14，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如右图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了.（ ）A.20分钟B.22分钟C.24分钟D.26分钟4.内角的度数为整数的正n 边形的个数是（ ） A.24B.22C.20D.185.如图，已知E 、F 点分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，BD 、DF 分别交EC 于点C 、H ，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于（ ）A.26B.28C.24D.306.张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示：请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案.此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（ ） A.500元 B.600元 C.700元 D.800元二、填空题（每题5分，共30分）7.若14x x-=，则2421x x x =++ .8.如右图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从4点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 .9.若化简1x -25x -，则x 的取值范围是 .10.方程20x ax b ++=的两根为1x ，2x ，且3322121212x x x x x x +=+=+，则有序实数对(),a b 共有 对.11.如右图，直角坐标系中直线AB 交x 轴，y 轴于点()4,0A 与()0,3B -，现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过 秒后动圆与直线AB 相切.12.二次函数22y x ax a =++在12x -≤≤上有最小值4-，则a 的值为 .三、解答题（每题10分，共40分）13.已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求：代数式432234x x y x y xy xy ++++的值.14.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，直角边BC 与直角坐标系中的x 轴重合，其内切圆的圆心坐标为()0,1P ，若抛物线221y kx kx =++的顶点为A .求： （1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）用k 表示B 点的坐标； （3）当k 取何值时，60ABC ∠=︒.15.如图，在△ABC 中，AC BC =，CD 是AB 边上的高线，且有23CD AB =，又E ，F 为CD 的三等分点，求证：180ACB AEB AFB ∠+∠+∠=︒.16.已知二次函数2224y x mx m =-+-的图象与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），且与y 轴交于点D.（1）当点D 在y 轴正半轴时，是否存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形？若存.在，求出m 的值；若不存在，请说明理由；（2）当1m =-时，将函数2224y x mx m =-+-的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Ω.当直线12y x b =+与图象Ω有两个公共点时，求实数b的取值范围.数学试卷（四）参考答案一、选择题（每题5分，共30分） 1.D 2.A 3.C 4.B. 5.B 6.B 二、填空题（每题5分，共30分）7.1198. 9.14x ≤≤ 10.311.73或17312.5三、解答题（每题10分，共40分）13.解：由已知条件可知xy 和()x y +是方程217660t t -+=的两个实数根， 16t =，261111xy t x y =⎧=⇒⎨+=⎩或116x y xy +=⎧⎨=⎩当11xy =，6x y +=时，x 、y 是方程26110y y -+=的两个根 ∵36440t ∆=-<，∴此方程没有实数根.当6xy =，11x y +=时，x ，y 是方程21160u u -+=的两个根 ∴2121240∆=->，∴此方程有实数根， 这时()2222109x y x y xy +=+-= ∴432224x x y x y xy y ++++()()44222222x y x y xy x y xy x y =+++++ ()()2222222x y x y xy x y =+-++12499=14.（1）∵221y kx kx =++，∴.对称轴1x =-，易见抛物线是以Rt △ABC 的直角边AC 所在直线为对称轴，由题易得()1,1A k --，又当0x =时，1y =，则抛物线过()0,1P ， 故开口向下.（2）如图，1AC k =-，1BC CO OB OB =+=+，AB AD BD AE OB AC CE OB OB k =+=+=-+=-， 由勾股定理得()()()22211111,0111k k k k OB OB k OB OB B k k k ---⎛⎫-++=-⇒=⇒=⇒ ⎪+++⎝⎭（3）∵60ABC ∠=︒，∴tan ABC ∠=又21tan 2k ABC k-∠==210k +-=.∴12k =，22k =-.又∵0k <，∴2k =.15.证明：∵23CD AB =，且,E F 为CD 三等分点，D 为AB 中点， ∴1132CD AB =，即AD DF =，∴45AFD ∠=︒ ∴22222AF AD DF DF FE FC =+==⋅. ∴AFE CFA ∆∆:，∴CAF AEF ∠=∠. 即∴45ACD AED AFD ∠+∠=∠=︒.∴90ACD AED AFD ∠+∠+∠=︒，所以得证.16.解：令0y =得22240x mx m -+-=，解得12x m =-，22x m =+， ∴()2,0A m -，()2,0B m +，()20,4D m -. （1）∵点D 在y 轴正半轴，∴240m ->，设存在实数m ，使得BOD ∆为等腰三角形，则BO OD =，则224m m +=-， ①当20m +>时，242m m -=+，解得3x =或2x =-（舍去）； ②当20m +<时，2420m m -++=，解得1x =或2x =-（都舍去）； ③当20m +=时，点,,O B D 重合，不合题意，舍去； 综上所述，3m =，（2）当1m =-时，223y x x =+-，则()3,0A -，()1,0B 顶点为()1,4--. 因为直线12y x b =+与图象Ω由两个公共点，则当直线12y x b =+过A 点准时32b =，当直线12y x b =+过()1,0B 时，12b =-，当直线12y x b =+与223y x x =--+只有一个公共点时，7316b =，根据图像，可得1322b -<<或7316b >.“最湖南的网课”，胡哥与他的朋友们，联合出品。

此文档下载后即可编辑长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷（数学12） 注意：(1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( )(A) 直线y = –x 上 (B) 抛物线 y =2x 上 (C) 直线y = x 上 (D) 双曲线xy = 1上2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k 的值是 ( ) (A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20 3．若－1＜a ＜0，则aa a a 1,,,33一定是 ( )(A) a1最小，3a 最大 (B) 3a 最小，a 最大(C) a1最小，a 最大 (D) a1最小， 3a 最大第4题4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（）(A) AE⊥AF （B）EF：AF =2：1(C) AF2 = FH·FE （D）FB ：FC = HB ：EC5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）(A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）（A）30 （B）35 （C）56 （D）448二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7．若4sin2A – 4sinAcosA + cos2A = 0, 则tanA = ___ ___ . 8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三(第9题)个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。

长郡理科实验班招生 考试数学试卷（三）时量：60分钟 满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1.下列图中阴影部分面积与算式2131242-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的结果相同的是（ ）2.对于两个数，200820092009M =⨯，200920082008N =⨯.则（ ） A.M N = B.M N > C.M N < D.无法确定3.已知1sin cos 8αα⋅=，且4590α︒<<︒，则cos sin αα-的值为（ ）B. C.34D. 4.如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ）A.22a -<< 2a <≤ C.2a ≤D.2a ≤≤5.向高为H 的永瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如左图所示，那么水瓶的形状是（ ）6.如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm ，4cm 的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A 的位置变化为12A A A →→，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边21A C 与桌面所成的角恰好等于BAC ∠，则A 翻滚到2A 位置时共走过的路程为（ ）A.B.8πcmC.D.4πcm二、填空题（每题5分，共30分）7.若1x =，则((3221x x x -++的值是 .8.已知⊙O 的半径1OA =，弦AB 、AC 的长分别是、，则BAC ∠的度数是 .9.如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，30BAC ∠=︒，6AB =，将ABC ∆以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转至AB 边延长线上的点C '处，那么AC 边转过的图形（图中阴影部分）的面积是 .10.如图，两个反比例函数1k y x =和2ky x=在第一象限内的图象依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC x ⊥轴于点C ，交2C 于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积为 .11.已知,,a b c 为实数且13ab a b =+，14bc b c =+，15ac a c =+，则abcab bc ca=++ . 12.设1C ，2C ，3C ……为一群圆，其作法如下：1C 是半径为a 的圆，在1C 的圆内作四个相等的圆2C （如图），每个圆2C 和圆1C 都内切，且相邻的两个圆2C 均外切，再在每一个圆2C 中，用同样的方法作四个相等的圆3C ，依此类推作出4C ，5C ，6C …….则（1）圆2C 的半径长等于 （用a 表示）；（2）圆k C 的半径为 （k 为正整数，用a 表示，不必证明）.三、解答题（13题12分、14题14分、15题14分，共40分）13.设m 是不小于1-的实数，关于x 的方程()2222330x m x m m +-+-+=有两个不相等的实数根1x 、2x ，（1）若22126x x +=，求m 值； （2）求22121211mx mx x x +--的最大值.14.某商场将进价为2600元的彩电以3000元售出，平均每天能销售出6台。

( )＇ ()( 3 - 2 ) cm ，⊙O 与这两个圆都相切，3 + 2 cm 和12、以 O 为圆心的两个同心圆的半径分别为长郡中学初一理科实验班招生试卷(时量： 60 分钟；满分：100 分 注意合理分配时间 )一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题 6 分，共 36 分）１、平面内有 4 条相交直线，它们的交点最多有 m 个，最少有 n 个，则 m －n=（）A ．7B ．5C ．4D ．3 2、若（x －1）2的算术平方根是x －1，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1 B ．x≤1 C ．x ＞1 D ．x≥13、直角三角形纸片的两直角边长分别为 6，8，现将 △ A BC 如图那样折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE ，则 CE 的长为（）CA ．1B ． 2C ．74 D ．32 68E4、下列五个命题：（第 3 题）BA（1）若直角三角形的两条边长为 3 和 4，则第三边长是 5； D（2） a 2 ＝a （a ≥0）；（3）若点 P （a ，b ）在第三象限，则点 P （－a ，－b ＋1）在第一象限；（4）顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形； （5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等。

其中正确命题的个数是（ ） A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个5、已知抛物线 y = x 2 + bx + c 的系数满足 2b - c = 5 ，则这条抛物线一定经过点（)A ． (-2,-1)B ． (-1,-2)C ． (2,-1)D ． (-2,1) 6、关于 x 、y 的方程 x 2+xy+y 2=29 的整数解（x 、y ）的组数为（ ）A 、2组B 、3组C 、4组D 、无穷多组二.填空题：(每题 5 分，共 30 分)7、观察分析下列数据，寻找规律：已知一列实数１、 5 、3、 13 、 17 、……，则第n 个数是__________； 8、如图所示，菱形 A BCD 边长为 a ，点 O 在对角线 AC 上一点，且 OA=a ，OB=OC=OD=1,则 a 等于（ ） 9、如图，在 Rt ∆ABC 中，D 为斜边 AB 上一点，AD ＝5，BD ＝4，四边形 CEDF 为正方形，则图中阴影部 分的面积为 ；第 8 题图第 9 题图第 10 题图10、如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，动点 P 从点 B 出发，沿梯形的边由 B→C→D→A 运动，设点 P 运动的路程为 △x ， ABP 的面积为 y ，把 y 看作 x 的函数，函数图象如图 2 所示，则△ABC 的 面积为111、若不论 x 取何值时，分式总有意义，则 m 的取值范围是_________x 2 - 2 x + m - 32 21则⊙O 1 的半径是 （仔细想想）三、解答题（本大题共3题，13、14题11分，15每题12分，共34分）13、某仪器厂计划制造A、B两种型号的仪器共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表：成本（万元/套）售价（万元/套）A2530B2834（1）该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？（2）该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？（3）根据市场调查，每套B型仪器的售价不会改变，每套A型仪器的售价将会提高a万元（a>0），且所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造才能获得最大利润？14、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000千米后该轮胎报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000千米后该轮胎报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。

2019年湖南省长沙市天心区长郡中学实验班自主招生数学试卷（理科）一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯形、圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）A．B．C．D．2．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，且交AB于E，DB与CE相交于O，已知AB＝6，BC＝4，则等于（）A．B．C．D．不一定3．（6分）已知△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）A．24B．20C．15D．不确定4．（6分）已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（）A．15B．24C．25D．265．（6分）在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（）ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ10813A．S＝24B．S＝30C．S＝31D．S＝396．（6分）如图，长方形木板的长为4cm，宽为3cm，某同学使之在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上的一块小木板挡住，使木板与桌面成30°，则点A滚到A2位置时走过的路径总长为（）A．10cm B．3.5πcm C．4.5πcm D．2.5πcm二、填空题：（每题5分，共30分）7．（5分）方程组的解是．8．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则化简﹣|b+c|﹣|a﹣c|＝．9．（5分）将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为．10．（5分）如图，△OP1A1，△A1P2A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y＝的图象上，斜边OA1、A1A2都在横轴上，则点A2的坐标是．11．（5分）等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到P A与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为秒．12．（5分）若p＝，q＝，则＝．三、解答题（本大题共3题，13、14题11分，15每题12分，共34分）13．（11分）刘老师装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，我市盛世商贸城装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，请你帮助刘老师制定一种购买方案，使购买瓷砖所付费用最少．14．（11分）已知平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）若AB＝10，AB与CD间距离为8，AE＝EB，BF＝FC，求△DEF的面积．（2）若△ADE，△BEF，△CDF的面积分别为5，3，4，求△DEF的面积．15．（12分）如图，已知直线y＝﹣m（x﹣4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，M是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．（1）证明：∠MCN＝90°；（2）设OM＝x，AN＝y，求y关于x的函数解析式；（3）若OM＝1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．2019年湖南省长沙市天心区长郡中学实验班自主招生数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯形、圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵5种图象中，等腰梯形、圆、等腰三角形、菱形4种是轴对称图形，∴一次过关的概率是．故选：D．2．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，且交AB于E，DB与CE相交于O，已知AB＝6，BC＝4，则等于（）A．B．C．D．不一定【解答】解：∵CE是∠DCB的平分线，DC∥AB∴∠DCO＝∠BCE，∠DCO＝∠BEC∴∠BEC＝∠BCE∴BE＝BC＝4∵DC∥AB∴△DOC∽△BOE∴OB：OD＝BE：CD＝2：3∴＝故选：B．3．（6分）已知△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）A．24B．20C．15D．不确定【解答】解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，∵周长为24，AB＝10，∴AC+BC＝14，AC2+BC2＝102，∴2×AC×BC＝（AC+BC）2﹣（AC2+BC2）＝142﹣102＝4×24，∴S△ABC＝AC×BC＝24．故选：A．4．（6分）已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（）A．15B．24C．25D．26【解答】解：根据以上分析不含阴影的矩形个数为26个．故选：D．5．（6分）在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（）ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ10813A．S＝24B．S＝30C．S＝31D．S＝39【解答】解：如图，b x a108y13∵每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S．∴x+10+y＝8+y+13，∴x＝11，∵b+11+a＝8+10+a，∴b＝7，∴S＝b+10+13＝30．故选：B．6．（6分）如图，长方形木板的长为4cm，宽为3cm，某同学使之在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上的一块小木板挡住，使木板与桌面成30°，则点A滚到A2位置时走过的路径总长为（）A．10cm B．3.5πcm C．4.5πcm D．2.5πcm【解答】解：∵长方形长为4cm，宽为3cm，∴AB＝5cm，第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，此次点A走过的路径是＝π（cm），第二次是以C为旋转中心，4cm为半径旋转60°，此次走过的路径是＝π（cm），∴点A两次共走过的路径是+π＝π（cm）．故选：B．二、填空题：（每题5分，共30分）7．（5分）方程组的解是．【解答】解：，∵①+②得，x﹣y＝1③；①﹣②得，x﹣3y＝﹣1④，∴③④联立得，，解得．故答案为：．8．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则化简﹣|b+c|﹣|a﹣c|＝2c．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴a﹣b＞0，b+c＜0，a﹣c＞0，∴原式＝﹣|b+c|﹣|a﹣c|＝|a﹣b|﹣|b+c|﹣|a﹣c|＝a﹣b+b+c﹣（a﹣c）＝a﹣b+b+c﹣a+c＝2c．故答案为2c．9．（5分）将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为576．【解答】解：根据以上分析：小正方体的棱长是2，表面积是2×2×6＝24，恰有2面涂有颜色的小正方体共有24个．则这样的小正方体表面积的和是24×24＝576．故答案为576．10．（5分）如图，△OP1A1，△A1P2A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y＝的图象上，斜边OA1、A1A2都在横轴上，则点A2的坐标是（8，0）．【解答】解：设A1坐标为（a，0），A2为（b，0），∵△OP1A1，△A1P2A2是等腰直角三角形，∴P1坐标为（，），P2坐标为（，），∵点P1在函数y＝的图象上，∴，∴a1＝8，a2＝﹣8（不合题意，舍去），∴P2坐标为（，）∵点P2在函数y＝的图象上，∴＝，∴b1＝8，b2＝﹣8（不合题意，舍去），∴A2为（8，0）．故答案为（8，0）．11．（5分）等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到P A与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为7或25秒．【解答】解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，∵BC＝8cm，∴BD＝CD＝BC＝4cm，∴AD＝＝3，分两种情况：当点P运动t秒后有P A⊥AC时，∵AP2＝PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+32＝（PD+4）2﹣52∴PD＝2.25，∴BP＝4﹣2.25＝1.75＝0.25t，∴t＝7秒，当点P运动t秒后有P A⊥AB时，同理可证得PD＝2.25，∴BP＝4+2.25＝6.25＝0.25t，∴t＝25秒，∴点P运动的时间为7秒或25秒．12．（5分）若p＝，q＝，则＝．【解答】解：∵p＝﹣，q＝+，∴p2+q2＝（﹣）2+（+）2＝16，pq＝（﹣）（+）＝2，则+＝＝＝．故答案为：．三、解答题（本大题共3题，13、14题11分，15每题12分，共34分）13．（11分）刘老师装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，我市盛世商贸城装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，请你帮助刘老师制定一种购买方案，使购买瓷砖所付费用最少．【解答】解：设购买大包装x包，小包装y包，根据题意，得50x+30y＝480．因为x、y为非负整数，所以方程的解为或或或．当x＝0，y＝16时，所付费用为：0×30+16×20＝320（元）；当x＝3，y＝11时，所付费用为：3×30+11×20＝310（元）；当x＝6，y＝6时，所付费用为：6×30+6×20＝300（元）；当x＝9，y＝1 时，所付费用为：9×30+1×20＝290（元）．所以购买大包装9包，小包装1包所付费用最少，费用为290元．14．（11分）已知平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）若AB＝10，AB与CD间距离为8，AE＝EB，BF＝FC，求△DEF的面积．（2）若△ADE，△BEF，△CDF的面积分别为5，3，4，求△DEF的面积．【解答】解：（1）∵AB＝10，AB与CD间距离为8，∴S▱ABCD＝80，∵AE＝BE，BF＝CF．∴S△AED＝S▱ABCD，S△BEF＝S▱ABCD，S△DCF＝S▱ABCD，∴S△DEF＝S▱ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DCF＝S▱ABCD＝30；（2）设AB＝x，AB与CD间距离为y，由S△DCF＝4，知F到CD的距离为，则F到AB的距离为y﹣，∴S△BEF＝BE（y﹣）＝3，∴BE＝，AE＝x﹣＝，S△AED＝AE×y＝××y＝5，得（xy）2﹣24 xy+80＝0，xy＝20或4，∵S▱ABCD＝xy＞S△AED＝5，∴xy＝4不合，∴xy＝20，S△DEF＝S▱ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DCF＝20﹣5﹣3﹣4＝8．15．（12分）如图，已知直线y＝﹣m（x﹣4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，M是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．（1）证明：∠MCN＝90°；（2）设OM＝x，AN＝y，求y关于x的函数解析式；（3）若OM＝1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．【解答】证明：（1）∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径，∴AT、OM是⊙C的切线，又∵MN切⊙C于点P，∴∠CMN＝∠OMN，∠CNM＝∠ANM，∵OM∥AN，∴∠ANM+∠OMN＝180°，∴∠CMN+∠CNM＝∠OMN+∠ANM＝（∠OMN+∠ANM）＝90°，∴∠MCN＝90°；解：（2）由（1）可知：∠1+∠2＝90°，而∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3；∴Rt△MOC∽Rt△CAN，∴＝，∵直线y＝﹣m（x﹣4）交x轴于点A，交y轴于点B，∴0＝﹣m（x﹣4），∴x＝4，∴A（4，0），∴AC＝CO＝2，∵OM＝x，AN＝y，∵＝，∴y＝；（3）∵OM＝1，∴AN＝y＝4，此时S四边形ANMO＝10，∵直线AB平分梯形ANMO的面积，∴△ANF的面积为5过点F作FG⊥AN于G，则FG•AN＝5，∴FG＝，∴点F的横坐标为4﹣＝，∵M（0，1），N（4，4），∴直线MN的解析式为y＝x+1，∵F点在直线MN上，∴F点的纵坐标为y＝，∴F（，），∵点F又在直线y＝﹣m（x﹣4）上，∴＝﹣m（﹣4），∴m＝．。

最全长郡理科实验班招生考试数学试卷（一）时量：60分钟满分：100分一选择题（每题5分，共30分）l.已知α为实数，则代数式27−12α＋2a2的最小值为（）A.0B.3C.33D.92.若n为整数，则能使n+1n−1也为整数的n的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个·3.已知α，b为实数，且αb=1，设M=a a+1+b b+1,N=1a+1+1b+1,则M、N的大小关系是A..M>NB.M=NC.M<N.D.无法确定4.一张圆桌旁有四个座位如图，A,B,C,D四人随机坐在四个座位上，则A与D相邻的概率是（）A.23B12C14 D.295.如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A.2πB.πC.23D.46.如图，平面中两条直线l1，和l2相交子点0，对于平面上任意一点M，若P,q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p1,q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，有以下几个结论：①“距离坐标”是（0,1)的点有1个；②“距离坐标”是（5，的的点有4个；③“距离坐标”是（α，α），（α为非负实数）的点有4个．其中正确的有其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（每题5分，共30分）7.已知α，b,C是实数，且α2+6b＝-17,b2+8c=-23,c2+2α＝14，则α＋b+c=.8.已知关于 的不等式（2α-b）＞b的解集是 棨−12，则a b b+-36a3=.9.对正实数α，b作定义a∗b=ab−a+b，若4*x=44，则x的值是.10.在△ABC中，AB=4C,∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E 两点，连结CD，如果AD=l，则tan∠BCD的值为.11.已知：如图，在直角△ABC中，AD=DE=EB，且CD2+CE2=1，则斜边AB的长为12.小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的是基叫做中裆题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道．三、解答题（每题10分，共40分）13.某商场将进价为2600元的彩电以3000元售出，平均每天能销售出6台．为丁配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种彩电的售价每降低50元，平均每天就能多售出3台．(1）商场要想在这种彩电销售中每天盈利3600元，同时又要使百姓得到最卢大实惠，每台彩电应降价多少元？(2）每告彩电降价多少元时，商场每天销售这种彩电的利润最高？最高利润是多少？14.已知点M,N的坐标分别为（0,1),(0,-1），点P是抛物线y=14x2上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=14x2的另一个交点为点Q，连接NP、NQ，求证：∠PNM=∠QNM.15、已知关于x的方程（m2−1）x2−33m−1+18=0有两个正整数根（m是整数），△ABC的三边a、b、c满足c=23，m2+a2m−8a=0，m2+b2m−8b=0，求：（1）m的值；（2）△ABC的面积；16.直线y=x−10与x轴交于A点，点B在第一象限，且AB=35，以cos∠OAB=25 (1）若点C是点B关于x轴的对称点，求过0、C、A三点的抛物线的表达式(2）在(1）中的抛物线上是否存在点P(P点在第一象限），使得以点P、0、C、A为顶点的囚边形是梯形？若存在，求出点O的坐标；若不存在，请说明理由．(3）若将点O、A分别变换为点Q(-4m,0),R(6m,0）（m 0且为常数）），设过Q、R两点且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线（开口向上）与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S∆QNM，△QNR的面积为S∆QNR，求S∆QNM:S∆QNR的数学试卷（一）参考答案一、选择题（每题5分，共30分）1.B2.D3.B4.A5.C6.B二、填空题（每题5分，共30分）7.-88.-39.3610.12 11.55312.20三、解答题（每题10分，共40分）13.解：设每台彩电降价x 元（0<x<400），商场销售这种彩电平均每天的利润为y 元，则有y =3000−2600−x 6+=350（x 2−−4000）……………………4分(1）因为要每天盈利3600元，则y=36002−300x −4000=3600所以x 2−300x +2000=0，解得x=100或俨200,又因为要使百姓得到最大实惠，则每台要降价200元．…………………………7分(2)∵y =350x 2−300x −4000=350（x −150）2+3750∴当x=150时，y 取得最大值为3750,所以每台彩电降价150元时，商场的利润最高为3750元．………………10分14.解：（1）设点P 的坐标为（x 0，14x 02），则PM===14x02+1；……………………4分（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为H、R，由（1）知PH=PM,MN、QR都垂直于直线y=-1，所以PH//MH//QR，于是QM EN=MP NH,所以QR RN=PH HN,因此，Rt∆PHN∽Rt∆QNM.………………………………9分于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM。

2011年长郡中学理科实验班招生考试数学试卷（复试）考生注意：本试卷全卷共19小题，分值100分，考试时间60分钟。

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共计32分）1.三角形每条边长都是2005的质因数，则这样不同的三角形共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个2.一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行（）A.0.5小时B.1小时C.1.2小时D.1.5小时3.已知A、B、C、D四个人中，有两个人参加了星期天的义务劳动，且：①B和D不同时参加②C参加D也参加③D不参加A也不参加④A和B只有一人参加则参加劳动的两个人是（）A.A和CB. A和DC. C和DD.B和C4.某同学在手工制作中，用一边长为12的等边三角形纸片，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（）A.23 B. 33 C. 24 D. 345.圆内接四边形的四条边长顺次为5、10、11、14，则这个四边形的面积为（）A.78.5B.97.5C.90D. 1026. 已知关于x的不等式组230320a xa x+>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则a的取值范围是（）A.23≤a≤32B.43≤a≤32C.43＜a≤32D.43≤a＜327. 如图，平行四边形的每一个顶点都用直线与两条对边的中点相连。

这些直线所围成图形的面积是原平行四边形面积的 ( )A．四分之一 B．六分之一 C．八分之一 D．十分之一8. 将一张边长分别为a，b)(ba>的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕的长为( )二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共计32分）9. 如图，AB，CD分别是⊙O的直径和弦，AD，BC相交于点E，∠AEC=α，则△CDE与△ABE的面积比为。

（用含α的三角函数表示）10. 有10条不同的直线nnbxky+=（n = 1，2，3，…，10），其中369k k k==，4710b b b===，则这10条直线的交点个数最多有。

湖南省长沙市长郡中学实验班2018届高三（上）选拔考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为1，则|z|=（）A．1 B．2C．D．2．（5分）已知集合A={x|x2+2x﹣3≤0，x∈Z}，集合B={x|ln x＜2}，则A∩B=（）A．{0} B．{1}C．{0，1} D．∅3．（5分）长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a12﹣a8=8，a10﹣a6=4，则S23=（）A．23 B．96C．224 D．2765．（5分）已知F为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．6．（5分）下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是（）A．f（x）=sin x B．f（x）=x3+1C．f（x）=log2（+x）D．f（x）=7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入i=1，S=0，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．118．（5分）若二项式（x2+）7展开式的各项系数之和为﹣1，则含x2项的系数为（）A．560 B．﹣560 C．280 D．﹣2809．（5分）某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（）A．192+96πB．256+96πC．192+100πD．256+100π10．（5分）已知椭圆C：+=1，若直线l经过M（0，1），与椭圆交于A、B两点，且=﹣，则直线l的方程为（）A．y=±x+1 B．y=±x+1 C．y=±x+1 D．y=±x+111．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的每个顶点都在球O的表面上，SA⊥底面ABC，AB=AC=4，BC=2，且二面角S﹣BC﹣A的正切值为4，则球O的表面积为（）A．240πB．248πC．252πD．272π12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣x ln x﹣k（x+2）+2在区间[，+∞）上有两个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若实数x，y满足，则z=3x+y的最小值为．14．（5分）设=（，m），=（m，），且•=1，则||=．15．（5分）已知cos（﹣α）+sin（π﹣α）=﹣，﹣＜α＜0，则cos（2α+）=．16．（5分）在数列{a n}中，首项不为零，且a n=a n﹣1（n∈N*，n≥2），S n为{a n}的前n项和，令T n=，n∈N*，则T n的最大值为．三、解答题（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin A cos2A﹣cos（B+C）=sin3A+．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的取值范围．18．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA=BC=5，AC=8，D为线段AC的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥A1D；（Ⅱ）若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为，求AA1的长．19．（8分）某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y（百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图：（Ⅰ）依据数据的折线图，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y是多少斤？（Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：=，=﹣．20．（12分）已知P是抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点，P到直线x﹣y+4=0的距离为d1，P到E的准线的距离为d2，且d1+d2的最小值为3．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）直线l1：y=k1（x﹣1）交E于点A，B，直线l2：y=k2（x﹣1）交E于点C，D，线段AB，CD的中点分别为M，N，若k1k2=﹣2，直线MN的斜率为k，求证：直线l：kx﹣y﹣kk1﹣kk2=0恒过定点．21．（12分）已知函数f（x）=﹣1（b∈R，e为自然对数的底数）在点（0，f（0））处的切线经过点（2，﹣2）．（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）+ax（a∈R）的单调性；（Ⅱ）若∀x∈R，不等式e x f（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，求实数c的取值范围．22．（14分）设a1，a2，a3，a4，a5是5个正实数（可以相等）．证明：一定存在4个互不相同的下标i，j，k，l，使得|﹣|＜．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（8分）在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为（β为参数），在极坐标系中，直线l1的方程为：α1=θ，直线l2的方程为α2=θ+．（Ⅰ）写出曲线M的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．【参考答案】一、选择题1．C【解析】由复数z==的虚部为1，得，即a=2．∴z=1+i．则|z|=．故选：C．2．B【解析】集合A={x|x2+2x﹣3≤0，x∈Z}={x|﹣3≤x≤1，x∈Z}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，集合B={x|ln x＜2}={x|0＜x＜e2}，则A∩B={1}．故选：B．3．B【解析】长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，基本事件总数n==10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数m==6，选取的2人恰为一男一女的概率为p==．故选：B．4．D【解析】设等差数列{a n}的公差为d，∵a4+a12﹣a8=8，a10﹣a6=4，∴a1+7d=8，4d=4，解得d=1=a1．则S23=23+=276．故选：D．5．C【解析】双曲线C：﹣=1的左焦点为F（﹣c，0），渐近线方程为y=±x，设F关于y=x的对称点为（m，﹣m），由题意可得=﹣，（*）且（0﹣m）=•（m﹣c），可得m=c，代入（*）可得b2=3a2，c2=a2+b2=4a2，则离心率e==2．故选：C．6．C【解析】逐一考查所给选项中函数的性质：A．f（x）=sin x是定义域上的奇函数，函数不具有单调性，不合题意；B．f（x）=x3+1是定义域上的非奇非偶函数，函数单调递增，不合题意；C．是定义域上的奇函数，函数单调递增，符合题意；D．是定义域上的奇函数，函数单调递减，不合题意；故选：C．7．B【解析】模拟程序的运行，可得i=1，S=0，满足条件S＜2，执行循环体，S=ln3，i=3满足条件S＜2，执行循环体，S=ln3+ln=ln5，i=5满足条件S＜2，执行循环体，S=ln5+ln=ln7，i=7满足条件S＜2，执行循环体，S=ln7+ln=ln9＞2，i=9此时，不满足条件S＜2，退出循环，输出i的值为9．故选：B．8．A【解析】令x=1，可得：（1+a）7=﹣1，解得a=﹣2．∴的通项公式：T r+1==（﹣2）r x14﹣3r，令14﹣3r=2，解得r=4．∴含x2项的系数==560．故选：A．9．C【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是半圆柱体与直三棱柱的组合体，且组合体的底面积与俯视图相同；如图所示，∴俯视图的面积为S底=π•52+×8×6=+24，∴该几何体的体积是V几何体=（+24）×8=100π+192．故选：C．10．B【解析】设直线l的方程为m（y﹣1）=x．A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（9+5m2）y2﹣10m2y+5m2﹣45=0，∴y1+y2=，y1y2=，∵=﹣，∴y1﹣1=﹣．联立解得m=±3．则直线l的方程为：y=x+1．故选：B．11．D【解析】由题意，AB=AC=4，BC=2，底面是等腰三角形，过A作BC垂直交于D，AD⊥BC，且D是BC中点．可得AD=1．底面外接圆半径r=8．SA⊥底面ABC，AB=AC=4∴SC=SB．D是BC中点．∴SD⊥BC．平面S﹣BC﹣A的二面角是∠SDA，二面角正切值为4，∴AS=4AD．可得AS=4．外接球R2=解得：R2=68球O的表面积S=4πR2=272π．故选：D．12．A【解析】令f（x）=0可得：，令，则，令t（x）=x2+3x﹣4﹣2ln x，则，据此可得函数t（x）在区间上单调递增，且t（1）=0，故当x∈（0，1）时，t（x）＜0，h’（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，t（x）＞0，h’（x）＞0，则函数h（x）在区间上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，而：，据此可得：实数k的取值范围为．故选：A．二、填空题13．﹣2【解析】作出不等式表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由得A（﹣2，4），由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移y=﹣3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以z=3x+y的最小值：﹣2．故答案为：﹣2．14．【解析】∵=（，m），=（m，），且•=1，∴==1，解得m=1，∴=（1，），∴||==．故答案为：．15．【解析】由cos（﹣α）+sin（π﹣α）=﹣，可得cos cosα+sin sinα+sinα=．即cosα+sinα=．∴sin（α+）=．∵﹣＜α＜0，∴﹣＜α+＜，∴cos（α+）=则cos（2α+）=cos2（α+）﹣sin2（α+）=故答案为：．16．2+2【解析】数列{a n}中，首项不为零，且a n=a n﹣1（n∈N*，n≥2），∴数列{a n}为等比数列，首项为a1，公比为．∴，．S n=，S2n=，T n====≤=2（），当且仅当n=2时取等号．∴T n的最大值为2+2．故答案为：2+2．三、解答题17．解：（Ⅰ）∵4sin A cos2A﹣cos（B+C）=sin3A+，∴4sin A cos2A+cos A=sin3A+，∴2cos A sin2A+cos A=sin2A cos A+cos2A sin A+，整理可得：cos A+sin A=，∴可得：sin（A+）=，∵A∈（0，），可得：A+∈（，），∴A+=，可得：A=．（Ⅱ）∵A=，b=2，∴S△ABC=sin A==c．又∵由正弦定理，可得：，∴c===+1，∵B，C为锐角，可得：B∈（30°，90°），可得：tan B∈（，+∞），可得：∈（0，3），可得：c=+1∈（1，4），∴S△ABC=c∈（，2）．18．（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴BD⊥AA1，∵BA=BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC，又AC∩AA1=A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1D⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1D．（Ⅱ）过A1作A1E⊥C1D于E，由（I）可知BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥A1E，又BD∩C1D=D，∴A1E⊥平面BC1D，∴∠A1DE为直线A1D与平面BC1D所成角，即sin∠A1DE=，∴cos∠A1DE=±．设AA1=x，则A1D=C1D=，在△A1DC1中，由余弦定理得：=±，解得x=2或x=8．∴AA1=2或8．19．解：（Ⅰ）由题意可得：，则：，所以y关于x的线性回归方程为，当x=10时，百斤=550斤，所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y是550斤．（Ⅱ）记商家总利润为Y元，由已知条件可知至少需安装1台，①安装1台光照控制仪可获得周利润5000元，②安装2台光照控制仪的情形：当X＞70时，一台光照控制仪运行，此时Y=5000﹣800=4200元，当30＜X≤70时，两台光照控制仪都运行，此时Y=5000+5000=10000元，故Y的分布列为所以EY=4200×0.2+10000×0.8=8840元，③安装3台光照控制仪的情形：当X＞70时，一台光照控制仪运行，此时Y=5000﹣1600=3400元，当50≤X≤70时，两台光照控制仪运行，此时Y=5000+5000﹣800=9200元，当30＜X＜50时，三台光照控制仪都运行，此时Y=5000+5000+5000=15000元，故Y的分布列为所以EY=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620元，综上，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．20．解：（Ⅰ）根据题意，抛物线E：y2=2px，则其焦点为，由抛物线的定义可得d2=|PF|，则d1+d2=d1+|PF|，其最小值为点F到直线x﹣y+4=0的距离，∴，解得p=4（舍去负值），∴抛物线E的方程为y2=8x；证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得，则，所以y1+y2=k1（x1﹣1）+k1（x2﹣1）；∴AB的中点M的坐标为，同理可得点N的坐标为，则直线MN的斜率，则k=（k1+k2）=﹣2，则直线l的方程kx﹣y﹣kk1﹣kk2=0可化为y=kx﹣k（k1+k2），即y=kx+2，令x=0可得y=2，∴直线l恒过定点（0，2）．21．解：（Ⅰ）因为f（0）=b﹣1，所以过点（0，b﹣1），（2，﹣2）的直线的斜率为k=﹣，而f′（x）=﹣，由导数的几何意义可知，f′（0）=﹣b=﹣，所以b=1，所以f（x）=﹣1，则F（x）=ax+﹣1，F′（x）=a﹣，当a≤0时，F′（x）＜0，函数F（x）在R上单调递减；当a＞0时，由F′（x）=a﹣=0，得x=﹣ln a，当x∈（﹣∞，﹣ln a）时，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减，当x∈（﹣ln a，+∞）时，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增．（Ⅱ）不等式e x f（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，即不等式e x+cx﹣c≥0恒成立，设g（x）=e x+cx﹣c，g（x）=e x+c，若c≥0，则g′（x）＞0，函数g（x）单调递增且不存在最小值，不满足题意；当c＜0时，由g′（x）=e x+c=0，得x=ln（﹣c），当x∈（﹣∞，ln（﹣c））时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（ln（﹣c），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）≥g（ln（﹣c））=﹣2c+c ln（﹣c），要使得g（x）≥0恒成立，只需﹣2c+c ln（﹣c）≥0恒成立，由于c＜0，所以有ln（﹣c）≤2，解得﹣e2≤c＜0，即当c∈[﹣e2，0）时，g（x）≥0恒成立，即e x+cx﹣c≥0恒成立，也即不等式e x f（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，所以实数c的取值范围为[﹣e2，0）．22．证明：不妨设a1≤a2≤a3≤a4≤a5，考虑以下5个分数：，，，，，①它们都属于区间（0，1],把区间（0，1]分成两个区间：和，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含①中的3个数（记这3个数依次为a，b，c）,将①中的5个数依次围成一个圆圈，则①中任意三个数中都有两个数是相邻的（与是相邻的），即a，b，c中至少有两个数是相邻的,假设a与b相邻，则另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．于是，a、b对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，一定存在4个互不相同的下标i，j，k，l，使得|﹣|＜．23．解：（Ⅰ）由（β为参数）消去参数β得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8，∴曲线M是以（1，1）为圆心，为半径的圆．（Ⅱ）设|OA|=ρ1，|OC|=ρ2，∵O，A，C三点共线，则①，将曲线M的方程化成极坐标方程得：ρ2﹣2ρ（sinθ+cosθ）﹣6=0，∴，代入①得：，用代θ得：又∵l1⊥l2，∴，∴，∵sin22θ∈[0，1]，∴．。