人教A版高中数学选修2-2课堂训练微积分基本定理

选修2-21.6微积分基本定理一、选择题1．下列积分正确的是( )[答案] AA.214B.54 C.338D.218[答案] A[解析] ⎠⎛2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4d x ＝⎠⎛2－2x 2d x ＋⎠⎛2－21x4d x＝13x 3| 2－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x －3| 2－2 ＝13(x 3－x －3)| 2－2 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫8－18－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－8＋18＝214.故应选A.3.⎠⎛1－1|x |d x 等于( )A.⎠⎛1－1x d xB.⎠⎛1－1d xC.⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d xD.⎠⎛0－1x d x ＋⎠⎛01(－x )d x[答案] C[解析] ∵|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x (x <0)∴⎠⎛1－1|x |d x ＝⎠⎛0－1|x |d x ＋⎠⎛01|x |d x＝⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ，故应选C.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(0≤x <1)2－x (1≤x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.故应选C.5.⎠⎛ab f ′(3x )d x ＝( )A ．f (b )－f (a )B ．f (3b )－f (3a ) C.13[f (3b )－f (3a )]D ．3[f (3b )－f (3a )][答案] C[解析] ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤13f (3x )′＝f ′(3x ) ∴取F (x )＝13f (3x )，则⎠⎛abf ′(3x )d x ＝F (b )－F (a )＝13[f (3b )－f (3a )]．故应选C. 6.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213B.223 C.233D.253[答案] C[解析] ⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3| 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x | 32＝233.A ．－32B ．－12C.12D.32[答案] D [解析] ∵1－2sin2θ2＝cos θ8．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．cos xB ．sin xC ．－cos xD ．－sin x[答案] A[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x0＝sin x －sin0＝sin x .所以F ′(x )＝cos x ，故应选A. 9．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝( )A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对[答案] C[解析] ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)| k 0＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0或1.10．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F (x )＝⎠⎛0x (t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2| x 0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0得x ＝0或x ＝4，列表如下：x (－1,0) 0 (0,4) 4 (4,5) F ′(x ) ＋－0 ＋F (x )极大值极小值可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－3.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253∴最大值为0，最小值为－323. 二、填空题 11．计算定积分：①⎠⎛1－1x 2d x ＝________②⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －2x 2d x ＝________③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝________ ④⎠⎛0－π2|sin x |d x ＝________[答案] 23；436；2；1[解析] ①⎠⎛1－1x 2d x ＝13x 3| 1－1＝23.②⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x | 32＝436.③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.[答案] 1＋π213．(2010·陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2dx ＝x 3| 10＝1，则P ＝S 1S 阴＝13. 14．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题15．计算下列定积分： (1)⎠⎛052x d x ；(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ；(3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ；(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x .[解析] (1)⎠⎛052x d x ＝x 2| 50＝25－0＝25.(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛012x d x＝13x 3| 10－x 2| 10＝13－1＝－23. (3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403.(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－3x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2.16．计算下列定积分：[解析] (1)取F (x )＝12sin2x ，则F ′(x )＝cos2x＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32＝14(2－3)． (2)取F (x )＝x 22＋ln x ＋2x ，则F ′(x )＝x ＋1x＋2.∴⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋2d x ＝F (3)－F (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋ln3＋6－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4＋ln2＋4＝92＋ln 32. (3)取F (x )＝32x 2－cos x ，则F ′(x )＝3x ＋sin x17．计算下列定积分： (1)⎠⎛0－4|x ＋2|d x ；(2)已知f (x )＝，求⎠⎛3－1f (x )d x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝|x ＋2|＝∴⎠⎛0－4|x ＋2|d x ＝－⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛0－2(x ＋2)d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | －2－4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | 0－2＝2＋2＝4.(2)∵f (x )＝∴⎠⎛3－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x | 21 ＝12＋12＝1. 18．(1)已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值；(2)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．[解析] (1)取F (x )＝23ax 3－12a 2x 2则F ′(x )＝2ax 2－a 2x ∴f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x＝F (1)－F (0)＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.(2)∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。

1.5~1.6 定积分的概念、微积分基本定理重点练一、单选题1．)10x dx =⎰（ ）A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 2．已知函数()e3211(1)2f x x dx x f x x'=⋅--⎰，则()()11f f '+=（ ） A ．－1B ．1C ．－2D ．23．已知311tan 4e dx x πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎰，则2sin cos cos sin αααα+=-（ ） A ．4-B ．4C ．5D ．5-4．已知()()ln xxf x e e -=+，201sin 2a xdx π=⎰， 1.112b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 3c =，则下列选项中正确的是（ ） A ．()()()f a f b f c >> B ．()()()f a f c f b >> C ．()()()f c f a f b >>D ．()()()f c f b f a >>二、填空题5．011edx x-+=⎰⎰______________.6．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.三、解答题7．计算下列各式的值．（1）()0sin cos d x x x π-⎰；（2）1x⎰．参考答案1．【答案】D【解析】由定积分的运算法则，可得)111()x dx dx x dx =+-⎰⎰⎰，又由1dx ⎰相当于是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的14，如图所示，可得104dx π=⎰， 又因为021011()1()|22x d x x --=-=⎰，所以)1110001()42x dx dx x dx π=+-=-⎰⎰⎰. 故选D.2．【答案】A【解析】因为e111ln |1edx x x ==⎰，所以()()3212f x x x f x '=--，所以()()232'12f x x xf '=--，令1x =，得()()13212f f ''=--，解得1(1)3f '=，所以321()23f x x x x =--，14(1)1233f =--=-， ()()1411133f f ⎛⎫'+=+-=- ⎪⎝⎭，故选A ． 3．【答案】D【解析】由()()()331311ln ln ln13e e dx x C e C C x ⎰=+=+-+=，则tan 1tan 341tan πααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，则tan 2α=，由2sin cos 2tan 15cos sin 1tan αααααα++==---故选D. 4．【答案】C【解析】()()ln xxf x e e-=+，x ∈R ，则()()()ln xx f x ee f x --=+=，所以()f x 为R 上的偶函数，并且()x xx xe ef x e e---'=+，则[)0,x ∈+∞时，()0f x '≥，当且仅当0x =时，“=”成立， 所以()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，在(],0x ∈-∞上单调递减，()220111sin cos 222a xdx x ππ==-=⎰1.111110222b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221log log 332c ==-， 又()22111log 3log 3222f c f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()f c f a f b >>.故选C 5．【答案】21π+【解析】11edx x⎰=ln 1e x ln ln1101e =-=-=，因为2-⎰表示的是圆224x y +=在x 轴及其上方的面积，所以2-⎰21222ππ=⨯⨯=，所以11edx x⎰2-+⎰＝12π+.故填21π+. 6．【答案】13【解析】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为31120021(1()|33S dx x x ==-=⎰， 由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为113113p ==⨯． 故填137．【答案】（1） 2；（2） π【解析】（1）由题得()0sin cos d (cos sin )|(cos sin )(cos 0sin 0)x x x x x ππππ-=--=-----⎰=10102-++=；（2）令22(1)4(13,0)y x y x y =∴-+=≤≤≥，因为1x ⎰等于1,3,x x x ==轴和曲线ADB 所围成的曲边梯形的面积，如图扇形ACB ， 扇形ACB 的面积为212=4ππ⨯⨯，所以1x π=⎰.。

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微积分基本定理【教学目标】1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．【教法指导】本节学习重点：会利用微积分基本定理求函数的积分．本节学习难点:直观了解并掌握微积分基本定理的含义．【教学过程】☆复习引入☆从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ错误!x3d x的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念-—导数和定积分,这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？☆探索新知☆探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ错误!错误!d x吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢?思考1 如下图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t）,并且y（t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t）＝y′(t)．设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s，你能分别用y（t)，v(t）表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y（t)知：s＝y(b)－y(a），通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃ错误!v(t)d t＝ʃ错误!y′（t)d t，所以ʃ错误!v(t)d t＝ʃ错误!y′(t）d t＝y(b）－y(a)．其中v(t）＝y′(t)．小结（1)一般地，如果f(x)是区间［a，b］上的连续函数，并且F′（x)＝f（x），那么ʃ错误!f（x)d x＝F（b)－F（a）．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃ错误!f（x）d x很方便，其关键是准确写出满足F′（x)＝f（x）的F（x）．思考2 对一个连续函数f（x）来说,是否存在唯一的F(x)，使F′（x）＝f（x)?若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质,若F′(x)＝f(x）,则对任意实数c,[F（x）＋c］′＝F′(x）＋c′＝f(x)．不影响，因为ʃ错误!f（x）d x＝[F（b）＋c］－[F（a）＋c］＝F(b)－F(a)例1 计算下列定积分：（1)ʃ错误!错误!d x；(2)ʃ错误!（2x－错误!）d x；(3）ʃ错误!(cos x－e x)d x。