2019中考数学试题分类汇编 知识点14 一元二次方程的几何应用

第8讲 一元二次方程考纲要求命题趋势1．理解一元二次方程的概念． 2．掌握一元二次方程的解法． 3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．4．会列一元二次方程解决实际问题.结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.一、一元二次方程的概念1．只含有两个个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． 二、一元二次方程的解法1．解一元二次方程的基本思想是降次，主要方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解. 2．配方法：通过配方把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)变形为2)2(ab x ＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．3．公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2－4ac ≥0时，x ＝____________. 4．用因式分解法解方程的原理是：若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0． 三、一元二次方程根的判别式1．一元二次方程根的判别式是b 2－4ac ．2．(1)b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等实数根； (2)b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等实数根； (3)b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根． 四、一元二次方程根与系数的关系1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________，x 1x 2＝__________.五、实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)写出答案．1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况为( )A ．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．如果2是一元二次方程x2＝c的一个根，那么常数c是( )A．2 B．－2 C．4 D．－43．某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是( ) A．200(1＋a%)2＝148 B．200(1－a%)2＝148C．200(1－2a%)＝148 D．200(1－a2%)＝1484．已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=05．若（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，则x2+y2= ．6.若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是．7.已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或118.若a•b≠1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0，则2+的值为（）A．B．C．D．9.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程．答案1． B2． C3． B4． A5．5解：设x2+y2=m，∵（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，∴m2﹣3m﹣10=0，解得：m1=﹣2，m2=5，∵x2+y2≥0，∴x2+y2=5；故答案为：5．6．a≥﹣1解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，当a≠0时，方程是一元二次方程，若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0，解得：a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．7. D解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC的周长为10或11．故选：D．8． A解：∵2a2+5a+1=0，∴+5×+2=0；又∵b2+5b+2=0，∴、b可以看成是关于x的一元二次方程x2+5x+2=0的两根；∴由韦达定理，得x1•x2=2，即•b=2，∴a=；∴2+=2+=．9．（30﹣2x）（20﹣x）=6×782019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.2．小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（ ） A ．互相平分 B ．相等 C ．互相垂直D ．平分一组对角3．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．的是（ ） A.与2017年相比，2018年年末全国农村贫困人口减少了1386万人 B.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降C.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万D.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降1.4个百分点4．已知一次函数y=kx+b 中，x 取不同值时，y 对应的值列表如下：则不等式kx+b ＞0（其中k ，b ，m ，n 为常数）的解集为（ ）A ．x ＞2B ．x ＞3C ．x ＜2D ．无法确定5．下列计算正确的是（ ） A.224x x x -∙=B.()236xx -=C.236x x x ∙=D.()222m n m n -=-6．扇形的弧长为20πcm ，面积为240πcm 2，那么扇形的半径是（ ） A ．6cmB ．12cmC ．24cmD ．28cm7．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭莱月的用电量，如表所示:用电量(千瓦•120 140 160 180 200时)户数 2 3 6 7 2则这20户家庭该月用电量的众数和中位数、平均数分别是( )A．180，160，164 B．160，180；164C．160，160，164 D．180，180，1648．在圆环形路上有均匀分布的四家工厂甲、乙、丙、丁，每家工厂都有足够的仓库供产品储存．现要将所有产品集中到一家工厂的仓库储存，已知甲、乙、丙、丁四家工厂的产量之比为1：2：3：5．若运费与路程、运的数量成正比例，为使选定的工厂仓库储存所有产品时总的运费最省，应选的工厂是（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A.甲超市的利润逐月减少B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C.8月份两家超市利润相同D.乙超市在9月份的利润必超过甲超市10．如图，在△ABC中，AC＝BC＝25，AB＝30，D是AB上的一点（不与A、B重合），DE⊥BC，垂足是点E，设BD＝x，四边形ACED的周长为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（）A. B.C. D.11．抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a <）经过点(0,2)，且关于直线1x =-对称，()1,0x 是抛物线与x 轴的一个交点.有下列结论：①方程22ax bx c ++=的一个根是x=-2；②若112x <<，则2134a -<<-；③若4m =时，方程2ax bx c m ++=有两个相等的实数根，则2a =-；④若302x -≤≤时，23y ≤≤，则1a =-.其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．下列计算正确的是（ ） A ．（a 2b ）2＝a 2b 2 B ．a 6÷a 2＝a 3C ．（3xy 2）2＝6x 2y 4D ．（﹣m ）7÷（﹣m ）2＝﹣m 5二、填空题13．若关于x 的方程kx 2﹣3x ﹣94＝0有实数根，则实数k 的取值范围是_____． 14．﹣6的相反数等于_____．15．若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ． 16．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为_____．17．﹣12018+(3﹣1)0＝_____．18．方程 的解是___________________________.三、解答题19．如图，过△DBE 点D 作直线l ∥BE ，以点B 为圆心，BD 为半径作弧交直线l 于点A ． （1）求证：∠BAD ＝∠DBE ；（2）在AD 上截取AC ＝BE ，求证：四边形BEDC 是等腰梯形．20．如图，点A（﹣1，m）是双曲线y1＝kx与直线y2＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，另一个交点C在第四象限，AB⊥x轴于B，且cos∠AOB＝10 10（1）求m的值；（2）求△AOC的面积；（3）直接写出使y1＞y2成立的x的取值范围．21．阅读下列材料，并解决相关的问题按照一定顺序排列的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记a n，一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差用字母d表示，如数列1，3，5，7，9…为等差数列，其中a1＝1，d＝2（1）等差数列1，6，11，16…公差d为，第11项是．（2）若一个等差数列的公差为d＝3，第2项为10，求第1项a1和第n项a n（用含n的表达式表示）．22．2011年，陕西西安被教育部列为“减负”工作改革试点地区．学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了名学生；（2）将图①补充完整；（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近80000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？23．郑州市创建国家生态园林城市实施方案已经出台，到2019年5月底，市区主城区要达到或超过《国家生态园林城市标准》各项指标要求．郑州市林荫路推广率要超过85%，在推进此活动中，郑州市某小区决定购买A、B两种乔木树，经过调查，获取信息如下：如果购买A种树木40棵，B种树木60棵，需付款11400元；如果购买A种树木50棵，B种树木50棵，需付款10500元．树种购买数量低于50棵购买数量不低于50棵A 原价销售以八折销售B 原价销售以九折销售（1）A种树木与B种树木的单价各多少元？（2）经过测算，需要购置A、B两种树木共100棵，其中B种树木的数量不多于A种树木的三分之一，如何购买付款最少？最少费用是多少元？请说明理由．24．（1）计算：(-2）2+ 12-（23）0．（2）化简：（a+2)(a-2)-a（a-4)．25．如图，在平面直角坐标系中，小正方形格子的边长为1，Rt△ABC三个顶点都在格点上，请解答下列问题：(1)写出A，C两点的坐标；(2)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；(3)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点C旋转至C2经过的路径长．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A D A B C A D D B D D二、填空题≥-．13．k114．615．m＞﹣4．16．1217．018．三、解答题19．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质，可得∠BAD=∠BDA，由平行线的性质，可得∠DBE=∠BDA，继而可证得：∠BAD=∠DBE；（2）首先由SAS可证得△ABC≌△BDE，然后可得BC=DE，继而可证得四边形BEDC是等腰梯形．【详解】（1）∵以点B为圆心，BD为半径作弧交直线l于点A，即BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∵直线l∥BE，∴∠DBE＝∠BDA，∴∠BAD＝∠DBE；（2）在△ABC和△BDE中，∵AB BDBAD DBE AC BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△BDE（SAS），∴BC＝DE，∵直线l∥BE，AD≠BE，∴四边形BEDC是梯形，∴四边形BEDC是等腰梯形．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰梯形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．20．（1）m＝3；（2）4；（3）x＜﹣1或0＜x＜3．【解析】【分析】（1）根据已知条件得到OB=1，由cos∠AOB=1010，得到OA=10，根据勾股定理即可得到结论；（2）先把两函数的解析式联立组成方程组，求出x、y的值，得出A、C两点的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）观察图象，根据一次函数与反比例函数的交点坐标即可求出一次函数的值大于反比例函数的值x的取值范围．【详解】解：（1）∵A （﹣1，m ），AB ⊥x 轴于B ， ∴OB ＝1， ∵cos ∠AOB ＝1010， ∴OA ＝10，∴AB ＝22A B O O -＝3， ∴A （﹣1，3）， ∴m ＝3；（2）∵A （﹣1，3）是双曲线1ky x=与直线y 2＝﹣x ﹣（k+1）在第二象限的交点， ∴k ＝﹣3，∴反比例函数的解析式为：13y x=-，一次函数的解析式为：y 2＝﹣x+2， 23y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩， ∴C （3，﹣1）， ∴△AOC 的面积＝12×2×1+12×2×3＝4； （3）由图象知，y 1＞y 2成立的x 的取值范围为：x ＜﹣1或0＜x ＜3．【点睛】此题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义，反比例函数的性质，求两函数的交点坐标，比较函数值的大小，三角形的面积等知识，能根据△ABO 的面积求出k 的值是解答此题的关键． 21．（1）5，51；（2）a n ＝3n+4． 【解析】 【分析】（1）根据定义直接计算即可；（2）由a 2=a 1+d ，a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d…可知：序列号n 比d 的系数小1，故：a n =a 1+（n-1）d ． 【详解】（1）如果一个数列a 1，a 2，a 3，a 4，…是等差数列，且公差为d ，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，……a n﹣a n﹣1＝d，所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝a1+2d，a4＝a1+3d，……由此可得a n＝a1+（n﹣1）d（用a1和d的代数式表示）；由此可得：d＝6﹣1＝5，第11项是：1+10×5＝51，故答案为：5，51；（2）由题意得：a1＝10﹣3＝7，由（1）得：a n＝a1+（n﹣1）d＝7+3（n﹣1）＝3n+4．【点睛】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，知道什么是等差数列，会用等差数列解决问题．22．(1)200，（2）补图见解析；（3）54°；（4）680000人.【解析】【分析】（1）根据A级有50人，所占的比例是25%，据此即可求解；（2）求得C级所占的比例，乘以总人数即可求解，进而作出条形图；（3）利用360度，乘以C级所占的比例即可求解；（4）总人数乘以A，B两级所占的比例的和即可求解．【详解】解：（1）50÷25%＝200（名）；（2）C级的人数是：200×（1﹣25%﹣60%）＝30（人）．；（3）C级所占的圆心角的度数是：360×（1﹣25%﹣60%）＝54°；（4）80000×（25%+60%）＝68000（人）．【点睛】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°比．23．（1）A种树每棵150元，B种树每棵100元；（2）当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为11500元．【解析】【分析】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木40棵，B种树木60棵，需付款11400元；如果购买A种树木50棵，B种树木50棵，需付款10500元”列出方程组并解答；（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，根据“B种树木的数量不多于A种树木的三分之一”列出不等式并求得a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，依题意得：400.960114000.8500.95010500x yx y+⨯=⎧⎨⨯+⨯=⎩，解得150100xy=⎧⎨=⎩，即A种树每棵150元，B种树每棵100元；（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，则（100﹣a）13a ≤，解得a≥75．设实际付款总金额是y元，则y＝0.8×150a+100（100﹣a），即y＝20a+10000．∵k＝20＞0，y随a的增大而增大，∴当a＝75时，y最小．即当a＝75时，y最小值＝20×75+10000＝11500（元）．答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为11500元．【点睛】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．24．（1）323+（2）4a-4【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂，二次根式的化简，零指数幂，然后计算加减法．（2）利用平方差公式和单项式乘多项式法则解答．【详解】（1）原式=4+23-1=3+23；（2）原式=a2-4-a2+4a=4a-4.【点睛】考查了平方差公式，实数的运算，单项式乘多项式等知识点．25．(1)A点坐标为(﹣4，1)，C点坐标为(﹣1，1)；(2)见解析；(3)102π．【解析】【分析】(1)利用第二象限点的坐标特征写出A，C两点的坐标；(2)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(3)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后描点得到△A2B2C2，再利用弧长公式计算点C旋转至C2经过的路径长．【详解】解：(1)A点坐标为(﹣4，1)，C点坐标为(﹣1，1)；(2)如图，△A1B1C1为所作；(3)如图，△A2B2C2为所作，OC＝2213+＝10，点C旋转至C2经过的路径长＝9010180π⋅⋅＝102π．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＞BC ，若以AC 为底面圆半径、BC 为高的圆锥的侧面积为S 1，以BC 为底面圆半径、AC 为高的圆锥的侧面积为S 2，则（ ）A ．S 1＝S 2B ．S 1＞S 2C ．S 1＜S 2D ．S 1、S 2的大小关系不确定2．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（ ） A ．﹣1B ．1C ．3D ．53．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 为AD 中点，分别以B 、E 为圆心，以AB 、AE 为半径画弧，两弧交于点F ，连接AF 、BE ，则AF 的长为（ ）A.125B.135C.245D.54．某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形(作品不完全重合)．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉(例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图)．若有36枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品( )A.22张B.23张C.24张D.25张5．若a 2+2a ﹣3＝0，则代数式（a ﹣）的值是（ ） A.4B.3C.﹣3D.﹣46．已知二次函数y ＝ax 2+bx 的图象经过点A （﹣1，1），则ab 有（ ） A.最小值0 B.最大值1 C.最大值2D.有最小值﹣7．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，沿CE 折叠△CDE ，点D 恰好落在AC 的中点F 处，若CD ＝3，则△ACE 的面积为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．238．估计372-的值应在( ) A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和9之间9．如图，在ABC ∆中，30ABC ∠=︒，10AB =，那么以A 为圆心、6为半径的⊙A 与直线BC 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定10．对于函数y=-2（x-3）2，下列说法不正确的是（ ） A.开口向下B.对称轴是3x =C.最大值为0D.与y 轴不相交11．下列运算正确的是（ ） A.222()x y x y +=+ B.632x x x ÷=C.2(3)3-=D.32361126xy x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭12．将直线y ＝2x ﹣3向右平移2个单位．再向上平移2个单位后，得到直线y ＝kx+b ，则下列关于直线y ＝kx+b 的说法正确的是（ ） A ．经过第一、二、四象限 B ．与x 轴交于（2，0） C ．y 随x 的增大而减小 D ．与y 轴交于（0，﹣5）二、填空题13．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4．则S 1﹣S 2+S 3+S 4等于_____．14．若正方形的面积是9，则它的对角线长是_____．15．点P （5，﹣3）关于x 轴对称的点P′的坐标为____________.16．如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8m ，两侧蹑地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个门洞的高度为_______m .（精确到0.1m ）17．计算：38﹣|﹣2|＝_____．18．某校随机调查了八年级20名男生引体向上的个数，统计数据如表所示，则这些男生引体向上个数的中位数与众数之和为_____．个数 6 7 8 9 10人数 2 3 4 6 5三、解答题19．先化简，再求值：2443111x xxx x-+⎛⎫÷+-⎪--⎝⎭，其中x的值是不等式组3215xx-<⎧⎨+≤⎩的一个整数解.20．如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，过点C作CG⊥AE，垂足为G，连接DG，（1）若BC＝6，CF＝2，求CE的长；（2）猜想：AG、CG、DG之间有何数量关系，并证明．21．等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，两边分别交BC、CD于M、N．（1）如图①，作AE⊥AN交CB的延长线于E，求证：△ABE≌△AND；（2）如图②，若M、N分别在边CB、DC所在的直线上时.①求证：BM+MN=DN；②如图③，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN=10，CM=8，求AP的长．22．某学校开展名著阅读活动，现老师推荐2部不同的名著A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部阅读．(1) 甲选择名著A的概率为；(2) 求甲、乙、丙3人选择同一部名著的概率．（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）23．下表是2018年三月份某居民小区随机抽取20户居民的用水情况：：月用水量/吨15 20 25 30 35 40 45户数 2 4 m 4 3 0 1（1）求出m＝，补充画出这20户家庭三月份用电量的条形统计图；（2）据上表中有关信息，计算或找出下表中的统计量，并将结果填入表中：统计量名称众数中位数平均数数据（3）为了倡导“节约用水绿色环保”的意识，江赣市自来水公司实行“梯级用水、分类计费”，价格表如下：月用水梯级标准Ⅰ级（30吨以内）Ⅱ级（超过30吨的部分）单价（元/吨） 2.4 4如果该小区有500户家庭，根据以上数据，请估算该小区三月份有多少户家庭在Ⅰ级标准？（4）按上表收费，如果某用户本月交水费120元，请问该用户本月用水多少吨？24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y＝mx在第二象限内的图象交于点C，CE⊥x轴，tan∠ABO＝12，OB＝4，OE＝2．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数在第四象限内图象上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF，如果S△BAF＝4S△DFO，求点D的坐标．25．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，∠EAD＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，连接EF．（1）求证：EF＝ED；（2）若AB ＝22，CD ＝1，求FE 的长．【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D B D B A A D CD二、填空题 13．6 14．2 15．(5，3) 16．1 17．0 18．18 三、解答题19．当1x =-时，原式=3-；当0x =时，原式=1- 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出整数解得到x 的值，代入计算即可求出值． 【详解】2443111x x x x x -+⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭22(2)13111x x x x x ⎛⎫--=÷- ⎪---⎝⎭2(2)(2)(2)11x x x x x -+-=÷-- 2(2)11(2)(2)x x x x x --=⨯-+-22x x -=+解不等式组3215x x -<⎧⎨+≤⎩得32x -<≤，其整数解：21012212x --≠-、、 、 、 、、 、x 可以等于10-、当1x =-时，原式=3-； 当0x =时，原式=1- 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（1）3（2）AG=CG+2DC 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可；（2）在AE 上截取AH ＝CG ，连接DH ，利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 【详解】（1）在正方形ABCD 中， ∵AB ∥DC ，AB ＝BC ， ∴△CEF ∽△BEA ， ∴CE CFBE AB =， ∵BC ＝6，CF ＝2，BE ＝BC+CE ， ∴266CE CE =+，解得：CD ＝3；（2）猜想：AG 、CG 、DG 之间的数量关系为：2AG CG DG =+， 证明如下：在AE 上截取AH ＝CG ，连接DH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AD ＝DC ，∠ADC ＝∠BCD ＝90°， ∴∠DAE ＝∠E ，∠DCG+∠GCE ＝90°， ∵CG ⊥AE ，∴∠E+∠GCE ＝90°， ∴∠DCG ＝∠E ＝∠DAE ， 在△ADH 与△CDG 中AD CD DAH DCG AH CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADH ≌△CDG （SAS ），∴DH ＝DG ，∠ADH ＝∠CDG ，∵∠ADC ＝∠ADH+∠HDC ＝90°，∴∠HCD+∠GDC ＝∠HDG ＝90°，∴HG ＝222DH DG DG +=，∵AG ＝AH+HG ，AH ＝CG ，∴AG ＝CG+2DG ．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，正方形的性质、勾股定理等知识的应用，关键是利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答．21．（1）见解析；（2）①见解析；②AP=310.【解析】【分析】（1）利用互余判断出∠EAB=∠NAD ，即可得出结论；（2）先构造出△ADG ≌△ABM ，进而判断出，△AMG 为等腰直角三角形，即可得出NM=NG ，即可得出结论；（3）由（2）得出MN+BM=DN ，进而得出CN=18-2BC ，再利用勾股定理得求出CN=6，在判断出△ABP ∽△ACN ，得出AP AB 1AN AC 2==，再利用勾股定理求出AN ，代入即可得出结论． 【详解】解：（1）如图①，∵AE 垂直于AN ，∴∠EAB+∠BAN=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠NAD+∠BAN=90°，∴∠EAB=∠NAD ，又∵∠ABE=∠D=90°，AB=AD ，∴△ABE≌△AND；………………（2）如图②，在ND上截取DG=BM，连接AG、MG，∵AD=AB，∠ADG=∠ABM=90°，∴△ADG≌△ABM，∴AG=AM，∠MAB=∠GAD，∵∠BAD=∠BAG+∠GAD=90°，∴∠MAG=∠BAG+∠MAB=90°，∴△AMG为等腰直角三角形，∴AN⊥MG，∴AN为MG的垂直平分线，∴NM=NG，∴DN﹣BM=MN，即MN+BM=DN；（3）如图③，连接AC，同（2），证得MN+BM=DN，∴MN+CM﹣BC=DC+CN，∴CM﹣CN+MN=DC+BC=2BC，即8﹣CN+10=2BC，即CN=18﹣2BC，在Rt△MNC中，根据勾股定理得MN2=CM2+CN2，即102=82+CN2，∴CN=6，∴BC=6，∴AC=62，∵∠BAP+∠BAQ=45°，∠NAC+∠BAQ=45°，∴∠BAP=∠NAC，又∵∠ABP=∠ACN=135°，∴△ABP∽△ACN，∴AP AB1 AN AC2==在Rt△AND中，根据勾股定理得AN2=AD2+DN2=36+144，解得AN=65，∴AP1 652=，∴AP=310．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠EAB=∠NAD，解（2）的关键是判断出△AMG为等腰直角三角形，解（3）的关键是判断出△ABP∽△ACN．22．(1)12；(2)14【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出甲、乙、丙3人选择同1部电影的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】解：（1）甲选择名著A的概率=12；（2）画树状图为：共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙3人选择同1部名著的结果数为2，所以甲、乙、丙3人选择同1部名著的概率=28=14．【点睛】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．23．（1）6（2）25，25，26.5（3）100（4）39【解析】【分析】（1）根据各用户数之和等于数据总和即可求出m 的值，根据表格数据补全统计图；（2）根据众数、中位数、平均数的定义计算即可；（3）用达标的用户数除以总用户数，乘以500即可；（4）设该用户本月用水x 吨，列方程2.4×30+4（x ﹣30）＝108，解答即可．【详解】（1）m ＝20﹣2﹣4﹣4﹣3﹣0﹣1＝6，这20户家庭三月份用电量的条形统计图：故答案为6；（2）根据题意可知，25出现的次数最多，则众数为25，由表可知，共有20个数据，则中位数为第10、11个的平均数，即为25；平均数为（15×2+20×4+25×6+30×4+45×1）÷20＝26.5，故答案为25，25，26.5；（3）小区三月份达到ⅠI 级标准的用户数：3150010020+⨯=（户）， 答：该小区三月份有100户家庭在ⅠI 级标准；（4）∵2.4×30＝72＜120，∴该用户本月用水超过了30吨，设该用户本月用水x 吨，2,4×30+4（x ﹣30）＝108，解得x ＝39，答：该用户本月用水39吨．【点睛】本题考查的是统计表即条形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．24．（1）6y x =-，122y x =-+；（2）D （32，﹣4）． 【解析】【分析】（1）由条件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m 的值，可求得反比例函数解析式；（2）设出D的坐标，从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标．【详解】解：（1）∵tan∠ABO＝12，∴A1OB2O=，且OB＝4，∴OA＝2，∵CE⊥x轴，即CE∥AO，∴△AOB∽△CEB，∴AO BOCE BE=，即2442CE=+，解得CE＝3，∴C（﹣2，3），∴m＝﹣2×3＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝6x -；∵OA＝2，OB＝4，∴A（0，2），B（4，0），代入y＝kx+b得240bk b=⎧⎨+=⎩，解得1k2b2⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为y＝12x-+2；（2）设D（x，6x -），∵D在第四象限，∴DF＝x，OF＝6x，∴S△DFO＝12DF•OF＝1632xx⋅=，由（1）可知OA＝2，∴AF＝2+6x，∴S△BAF＝12AF•OB16624222x x⎛⎫⎛⎫=+⨯=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵S△BAF＝4S△DFO，∴2（2+6x）＝4×3，解得x＝32，当x＝32时，6x-的值为﹣4，∴D（32，﹣4）．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质、待定系数法求反比例函数的解析式、三角形的面积鞥，用D点坐标表示出△BAF和△DFO的面积是解题的关键．25．（1）见解析；（2）EF＝53.【解析】【分析】（1）由旋转的性质可求∠FAE＝∠DAE＝45°，即可证△AEF≌△AED，可得EF＝ED；（2）由旋转的性质可证∠FBE＝90°，利用勾股定理和方程的思想可求EF的长．【详解】（1）∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，∴∠BAE+∠DAC＝45°，∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，∴∠BAF＝∠DAC，AF＝AD，CD＝BF，∠ABF＝∠ACD＝45°，∴∠BAF+∠BAE＝45°＝∠FAE，∴∠FAE＝∠DAE，AD＝AF，AE＝AE，∴△AEF≌△AED（SAS），∴DE＝EF（2）∵AB＝AC＝22，∠BAC＝90°，∴BC＝4，∵CD＝1，∴BF＝1，BD＝3，即BE+DE＝3，∵∠ABF＝∠ABC＝45°，∴∠EBF＝90°，∴BF2+BE2＝EF2，∴1+（3﹣EF）2＝EF2，∴EF＝5 3【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用方程的思想解决问题是本题的关键．。

一元二次方程及其应用一.选择题1.（2019•湖北省鄂州市•3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A．B．C．D．0【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，代入代数式计算即可．【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝是解题的关键．2.（2019•湖北省仙桃市•3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12 B．10 C．4 D．﹣4【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解；【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．3.（2019•湖北省咸宁市•3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≤1C．m＞1 D．m≥1【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，解得：m≤1．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．4.（2019•四川省达州市•3分）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500（1+x）2＝9100B．2500（1+x%）2＝9100C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．5. （2019•广东广州•3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（）A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，解得：k＝±2．∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0有实数根，∴△＝[﹣（k ﹣1）]2﹣4×1×（﹣k +2）≥0，解得：k ≥2﹣1或k ≤﹣2﹣1，∴k ＝2．故选：D ．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x 1﹣x 2+2）（x 1﹣x 2﹣2）+2x 1x 2＝﹣3，求出k 的值是解题的关键．6. （2019•广西北部湾•3分）扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm ，则可列方程为 （ ） A ．(30﹣x ) (20﹣x ) =43×20× 30 B ． (30﹣2x ) (20﹣x ) =41×20× 30 C ． 30 x +2×20x ) =41×20× 30 D ． (30﹣2x ) (20﹣x ) =43×20× 30 【答案】D【解析】解：设花带的宽度为xm ，则可列方程为（30-2x ）（20-x ）=×20×30， 故选：D ．根据空白区域的面积=矩形空地的面积可得．本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．7. （2019•贵州省铜仁市•4分）一元二次方程4x 2﹣2x ﹣1＝0的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 B ．【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×4×（﹣1）＝20＞0，∴一元二次方程4x 2﹣2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根．8 （2019•河北省•2分）小刚在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）时，只抄对了a ＝1，b ＝4，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是（ ）A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根是x ＝﹣1D ．有两个相等的实数根 A 【解答】解：∵小刚在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）时，只抄对了a ＝1，b ＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，∴（﹣1）2﹣4+c＝0，解得：c＝3，故原方程中c＝5，则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．9. （2019•贵州省铜仁市•4分）某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为．20%．【解答】解：设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去）．答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%．10.（2019浙江丽水3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1 【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．【解答】解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．（2019•山东威海•3分）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（）A．2023 B．2021 C．2020 D．2019【分析】根据题意可知b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，所求式子化为a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016即可求解；【解答】解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．12．（2019•山东潍坊•3分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）A．m＝﹣2 B．m＝3 C．m＝3或m＝﹣2 D．m＝﹣3或m＝2 【分析】设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，由根与系数的关系得x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，再由x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2代入即可；【解答】解：设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，∴△＝﹣4m≥0，∴m≤0，∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4m2﹣2m2﹣2m＝2m2﹣2m＝12，∴m＝3或m＝﹣2；∴m＝﹣2；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．13．(2019•浙江丽水•3分)用配方法解方程x2－6x－8＝0时，配方结果正确的是() A．(x－3)2＝17 B．(x－3)2＝14 C．(x－6)2＝44 D．(x－3)2＝1【考点】用配方法解一元二次方程．【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．【解答】解：用配方法解方程x2－6x－8＝0时，配方结果为(x－3)2＝17，故选A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．14. (2019湖北咸宁市3分)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≤1C．m＞1 D．m≥1【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，解得：m≤1．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．15（2019湖北省鄂州市）（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A．B．C．D．0【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，代入代数式计算即可．【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝是解题的关键．16. (2019湖北仙桃)（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12 B．10 C．4 D．﹣4【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解；【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．二.填空题1.（2019•湖北省荆门市•3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为1．【分析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，解得：k1＝﹣，k2＝1．∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，∴k＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，求出k值是解题的关键．2. （2019•甘肃庆阳•4分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为4．【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．【解答】解：由题意，△＝b2﹣4ac＝（）2﹣4＝0得m＝4故答案为4【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．3．（2019•山东青岛•3分）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．【分析】根据“关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可．【解答】解：根据题意得：△＝1﹣4×2m＝0，整理得：1﹣8m＝0，解得：m＝，故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．4．（2019•山东泰安•4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k．【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k 的取值范围；【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，解得k；故答案为：k．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．5．（2019•山东威海•3分）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是x1＝，x2＝．【分析】直接利用公式法解方程得出答案．【解答】解：3x2＝4﹣2x3x2+2x﹣4＝0，则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，故x＝，解得：x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．【点评】此题主要考查了公式法解方程，正确掌握公式法是解题关键．6. (2019湖北荆门)（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为1．【分析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，解得：k1＝﹣，k2＝1．∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，∴k＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，求出k值是解题的关键．三.解答题1.（2019•湖北省鄂州市•8分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，试求k的值．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根得到△＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．【解答】（1）解：∵原方程有实数根，∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0∴k≤1（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：x 1+x 2 ＝2，x 1 •x 2 ＝2k ﹣1又∵+＝x 1•x 2， ∴∴（x 1+x 2）2﹣2x 1 x 2 ＝（x 1 •x 2）2∴22﹣2（2k ﹣1）＝（2k ﹣1）2 解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根∵k ≤1 ∴． 【点评】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．2.（2019•湖北省随州市•7分）已知关于x 的一元二次方程x 2-（2k +1）x +k 2+1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2=3，求k 的值及方程的根．【答案】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-（2k +1）x +k 2+1=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k +1）2-4（k 2+1）＞0，整理得，4k -3＞0，解得：k ＞，故实数k 的取值范围为k ＞；（2）∵方程的两个根分别为x 1，x 2，∴x 1+x 2=2k +1=3，解得：k =1，∴原方程为x 2-3x +2=0，∴x 1=1，x 2=2．【解析】（1）由于关于x 的一元二次方程x 2-（2k +1）x +k 2+1=0有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此进行计算即可；（2）利用根与系数的关系得出x 1+x 2=2k +1，进而得出关于k 的方程求出即可．本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．3.（2019•四川省广安市•10分）已知关于x 的一元二次方程04)4(2=++-k x k x .（1）求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为1x 、2x ，满足431121=+x x ，求k 的值； （3）若Rt △ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根1x 、2x ，求∆Rt ABC的内切圆半径.（1）证明：Θ0)4(16816)4(222≥-=+-=-+=∆k k k k k ，……………………2分 ∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根. ………………3分（2）由题意得：421+=+k x x ，k x x 421=⋅， ……………………4分 431121=+x x Θ，432121=⋅+∴x x x x ，即4344=+k k ， ……………………5分 解得：2=k ； ……………………6分（3）（3）解方程得：41=x ，k x =2， ………………7分根据题意得：22254=+k ，即3=k ，………………8分设直角三角形ABC 的内切圆半径为r ，如图，由切线长定理可得：5)4()3(=-+-r r ， ∴直角三角形ABC 的内切圆半径r =12543=-+； ………………10分 4. （2019•广东广州•12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G 等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G 基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G 基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G 基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率．【分析】（1）2020年全省5G 基站的数量＝目前广东5G 基站的数量×4，即可求出结论；（2）设2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为x ，根据2020年底及2022年底全省5G 基站数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．答：计划到2020年底，全省5G 基站的数量是6万座．（2）设2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为x ，依题意，得：6（1+x ）2＝17.34，解得：x 1＝0.7＝70%，x 2＝﹣2.7（舍去）．答：2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为70%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解4题的关键．5. （2019·广西贺州·8分）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？【分析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该该贫困户2016年及2018年家庭年人均纯收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论；（2）根据2019年该贫困户的家庭年人均纯收入＝2018年该贫困户的家庭年人均纯收入×（1+增长率），可求出2019年该贫困户的家庭年人均纯收入，再与4200比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，依题意，得：2500（1+x）2＝3600，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．（2）3600×（1+20%）＝4320（元），4320＞4200．答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6. （2019•黑龙江省绥化市•6分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．考点：一元二次方程根的判别式，韦达定理。

2019年全国中考数学真题分类汇编：一元二次方程及应用一、选择题1.（2019年山东省滨州市）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3【考点】解一元二次方程【解答】解：x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝﹣1+4，（x﹣2）2＝3，故选：D．2. （2019年四川省达州市）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500（1+x）2＝9100B．2500（1+x%）2＝9100C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．故选：D．3. （2019年广西贵港市）若α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，且+=-，则m等于（）A. B. C. 2 D. 3【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】解：α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，∴α+β=2，αβ=m，∵+===-，∴m=-3；故选：B．4. （2019年江苏省泰州市）方程2x2+6x－1=0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（）A ．－6B ．6C ．－3D ． 3 【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】试题分析：∵一元二次方程2x 2+6x －1=0的两个实根分别为x 1，x 2，由两根之和可得; ∴x 1+x 2=﹣26=3， 故答案为：C ．5. （2019年河南省）一元二次方程（x +1）（x ﹣1）＝2x +3的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：原方程可化为：x 2﹣2x ﹣4＝0， ∴a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣4，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0， ∴方程由两个不相等的实数根． 故选：A ．6. （2019年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿 线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区 居民年人均收入平均增长率为 ．（用百分数表示） 【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x ， 20000（1+x ）2＝39200，解得，x 1＝0.4，x 2＝﹣2.4（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%， 故答案为：40%．7. （2019年甘肃省）若一元二次方程x 2﹣2kx +k 2＝0的一根为x ＝﹣1，则k 的值为（ ） A ．﹣1B ．0C ．1或﹣1D ．2或0【考点】一元二次方程的解【解答】解：把x ＝﹣1代入方程得：1+2k +k 2＝0， 解得：k ＝﹣1， 故选：A ．8. （2019年湖北省鄂州市）关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ＝0的两实数根分别为x 1、x 2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A．B．C．D．0【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A．9. （2019年湖北省荆州市）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴△＝k2﹣4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．10. （2019年黑龙江省伊春市）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意，得：1+x+x2＝43，解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．故选：C．11. （2019年内蒙古包头市）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或36【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】解：当a＝4时，b＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+b＝12，∴b＝8不符合；当b＝4时，a＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+a＝12，∴a＝8不符合；当a＝b时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴12＝2a＝2b，∴a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34；故选：A．12. （2019年内蒙古赤峰市）某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（）A．400（1+x2）＝900 B．400（1+2x）＝900C．900（1﹣x）2＝400 D．400（1+x）2＝900【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设月平均增长率为x，根据题意得：400（1+x）2＝900．故选：D．13. （2019年内蒙古呼和浩特市）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x22﹣4x12+17的值为（）A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，x12+x1＝3，∴x22﹣4x12+17＝x12+x22﹣5x12+17＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣5x12+17＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）﹣5x12+17＝24﹣5x22＝24﹣5（﹣1﹣x1）2＝24﹣5（x12+x1+1）＝24﹣5（3+1）＝4，故选：D．14. （2019年内蒙古通辽市）一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（）A．48 B．24 C．24或40 D．48或80【考点】一元二次方程的应用【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝0，所以x1＝5，x2＝3，∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，∴菱形的另一条对角线为2＝6，∴菱形的面积＝×6×8＝24．故选：B．15. （2019年新疆）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≤B．k＞C．k＜且k≠1D．k≤且k≠1【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠1．故选：D．16.（2019年新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，故选：A．二、填空题1.（2019年上海市）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：由题意知△＝1﹣4m＜0，∴m＞．故填空答案：m＞．2. （2019年山东省济宁市）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是．【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解答】解：∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，∴x1x2＝＝﹣2，∴1×x2＝﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故答案为﹣2．3. （2019年山东省青岛市）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：根据题意得：△＝1﹣4×2m＝0，整理得：1﹣8m＝0，解得：m＝，故答案为：．4. （2019年山东省枣庄市）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根得△＝b 2﹣4ac ＝4+4×3a ＞0， 解得a ＞ 则a ＞且a ≠0故答案为a ＞且a ≠05. （2019年四川省资阳市）a 是方程2x 2＝x +4的一个根，则代数式4a 2﹣2a 的值是 ． 【考点】一元二次方程的解【解答】解：∵a 是方程2x 2＝x +4的一个根， ∴2a 2﹣a ＝4，∴4a 2﹣2a ＝2（2a 2﹣a ）＝2×4＝8． 故答案为：8．6. （2019年江苏省泰州市）若关于x 的方程x 2+2x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】∵关于x 的方程x 2+2x +m ＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4﹣4m ＞0 解得：m ＜1，∴m 的取值范围是m ＜1. 故答案为：m ＜1.7. （2019年江苏省扬州市）一元二次方程()22-=-x x x 的根为___.【考点】一元二次方程的解法 【解答】解：()22-=-x x x()()021=--x x x 1=1， x 2=28. （2019年湖北省十堰市）对于实数a ，b ，定义运算“◎”如下：a ◎b ＝（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2．若（m +2）◎（m ﹣3）＝24，则m ＝ ．【考点】一元二次方程的解法【解答】解：根据题意得[（m +2）+（m ﹣3）]2﹣[（m +2）﹣（m ﹣3）]2＝24， （2m ﹣1）2﹣49＝0，（2m ﹣1+7）（2m ﹣1﹣7）＝0， 2m ﹣1+7＝0或2m ﹣1﹣7＝0，所以m 1＝﹣3，m 2＝4． 故答案为﹣3或4．9. （2019年甘肃省武威市）关于x 的一元二次方程x 2+x +1＝0有两个相等的实数根，则m 的取值为 ．【考点】一元二次方程根的判别式 【解答】解：由题意，△＝b 2﹣4ac ＝（）2﹣4＝0得m ＝4 故答案为410. （2019年辽宁省本溪市）如果关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +k ＝0有实数根，那么k 的取值范围是 ．【考点】一元二次方程根的判别式 【解答】解：根据题意得：△＝16﹣4k ≥0， 解得：k ≤4． 故答案为：k ≤4．11. （2019年西藏）一元二次方程x 2﹣x ﹣1＝0的根是 ． 【考点】一元二次方程的解法【解答】解：△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5， x ＝，所以x 1＝，x 2＝．故答案为x 1＝，x 2＝．三、解答题1.（2019年安徽省）解方程2x 1=4-（）【考点】一元二次方程的解法【解答】利用直接开平方法：x-1=2或x-1=-2 ∴ ， 2.（2019年北京市）关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．【考点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法【解答】∵01222=-+-m x x 有实数根，∴△≥0，即0)12(4)2(2≥---m ，∴1≤m∵m 为正整数，∴1=m ，故此时二次方程为,0122=+-x x 即0)1(2=-x∴121==x x ，∴1=m ，此时方程的根为121==x x3.（2019年乐山市）已知关于x 的一元二次方程04)4(2=++-k x k x . （1）求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为1x 、2x ，满足431121=+x x ，求k 的值； （3）若Rt △ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根1x 、2x ，求∆Rt ABC的内切圆半径.【考点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、一元二次方程根与系数关系、内切圆 【解答】（1）证明： 0)4(16816)4(222≥-=+-=-+=∆k k k k k ，∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根.（2）由题意得：421+=+k x x ，k x x 421=⋅， 431121=+x x，432121=⋅+∴x x x x ，即4344=+k k ， 解得：2=k ；（3）解方程得：41=x ，k x =2，根据题意得：22254=+k ，即3=k ， 设直角三角形ABC 的内切圆半径为r ，如图， 由切线长定理可得：5)4()3(=-+-r r ，∴直角三角形ABC 的内切圆半径r =12543=-+；4.（2019年重庆市）某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？ （2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，64月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少a%．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值．【考点】一元一次方程的应用与解法、一元二次方程的应用与解法【解答】（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，由题意得：2（50×2x+80x）＝90000，解得x＝250答：该小区共有250套80平方米的住宅．（2）参与活动一：50平方米住宅每户所交物管费为100元，有500×40%＝200户参与活动一，80平方米住宅每户所交物管费为160元，有250×20%＝50户参与活动一；参与活动二：50平方米住宅每户所交物管费为100（1﹣%）元，有200（1+2a%）户参与活动二；80平方米住宅每户所交物管费为160（1﹣%）元，有50（1+6a%）户参与活动二．由题意得100（1﹣%）•200（1+2a%）+160（1﹣%）•50（1+6a%）＝[200（1+2a%）×100+50（1+6a%）×160]（1﹣a%）令t＝a%，化简得t（2t﹣1）＝0∴t1＝0（舍），t2＝，∴a＝50．答：a的值为50．5. （2019年山东省德州市）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．【考点】一元二次方程的应用与解法【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128（1+x ）+128（1+x ）2=608 化简得：4x 2+12x -7=0 ∴（2x -1）（2x +7）=0， ∴x =0.5=50%或x =-3.5（舍）答：进馆人次的月平均增长率为50%． （2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3=128×=432＜500答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．6. （2019年四川省攀枝花市）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚 熟芒果远销北上广等大城市。

专题04 一元二次方程及其应用一、基础知识1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式：ax 2+bx +c =0(a ≠0)。

其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

4.一元二次方程的解法有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。

（1）直接开方法。

适用形式：x 2=p 、(x +n )2=p 或(mx +n )2=p 。

（2）配方法。

套用公式a 2+2ab +b 2=(a +b )2；a 2-2ab +b 2=(a -b )2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上b 2，把左边配成x 2+2bx +b 2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。

（3）公式法。

当b 2-4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c =0的实数根可写为：a ac b b x 242-±-=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式。

这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

①b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根。

a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= ②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根。

a b x x 221-== ③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。

定义：b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b 2-4ac 。

（4）因式分解法。

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

一元二次方程及其应用考点一、一元二次方程的解法（10分）1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考点二、一元二次方程根的判别式（3分）根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆考点三、一元二次方程根与系数的关系（3分）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

考点四、分式方程（8分）1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

2019年中考专题复习第八讲一元二次方程及应用【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是，是常数项【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果ax 2 =b 则X 2 = X1= X2=2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为即方程两边都二次项系数,②、移项：把项移到方程的边③、配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程3、公式法：如果方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 满足b 2-4ac≥0，则方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A.B=0的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是法和法】三、一元二次方程根的判别式关于X的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号表示①当时，方程有两个不等的实数根方程有两个实数跟，则②当时，方程看两个相等的实数根③当时，方程没有实数根【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】四、一元二次方程根与系数的关系：关于X的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1、X2则X1+X2 = X1X2 =五、一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行常见题型1、增长率问题：连续两率增长或降低的百分数a（1+X）2=b2、利润问题：总利润= ×或总利润= —3、几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】【重点考点例析】考点一：一元二次方程的解例1（2018•苏州）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ．【思路分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=-2，然后利用整体代入的方法进行计算．【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，∴4+2m+2n=0，∴n+m=-2，故答案为：-2．【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．考点二：一元二次方程的解法考点三：根的判别式的运用例3（2018•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【思路分析】（1）计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2-4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△=b2-4a=（a+2）2-4a=a2+4a+4-4a=a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2-4a=0，若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=-1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．考点四：根与系数的关系例4（2018•孝感）已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=p（p+1）．（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22-x1x2=3p2+1，求p的值．【思路分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出p值．【解答】解：（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0．∵△=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，∴无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）∵原方程的两根为x1、x2，∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p．又∵x12+x22-x1x2=3p2+1，∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1，∴52-3（6-p2-p）=3p2+1，∴25-18+3p2+3p=3p2+1，∴3p=-6，∴p=-2．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22-x1x2=3p2+1，求出p值．考点五：一元二次方程的应用例5（2018•遵义）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函【聚焦山东中考】1．（2018•临沂）一元二次方程2304y y --= 配方后可化为（ ） A ．2112y +=（） B ．2112y -=（）C ．21324y +=（） D ．21324y -=（） 2．（2018•泰安）一元二次方程（x+1）（x-3）=2x-5根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有一个正根，一个负根C ．有两个正根，且都小于3D ．有两个正根，且有一根大于3 3． （2018•菏泽）关于x 的一元二次方程（k+1）x 2-2x+1=0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k≥0B ．k≤0C ．k ＜0且k≠-1D ．k≤0且k≠-1 4．（2018•潍坊）已知关于x 的一元二次方程2204mmx m x -++=（） 有两个不相等的实数根x 1，x 2．若1211 4m x x += ，则m 的值是（ ） A ．2B ．-1C ．2或-1D ．不存在 5． （2018•聊城）已知关于x 的方程（k-1）x 2-2kx+k-3=0有两个相等的实根，则k 的值是 ．6．（2018•威海）关于x 的一元二次方程（m-5）x 2+2x+2=0有实根，则m 的最大整数解是 ．7．（2018•德州）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x-2=0的两个实数根，则x 1+x 2+x 1x 2= ．8. （2018•莱芜）已知x 1，x 2是方程2x 2-3x-1=0的两根，则x 12+x 22= ．9．（2018•烟台）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x+m-1=0的实数根x 1，x 2，满足3x 1x 2-x 1-x 2＞2，则m 的取值范围是 ．10．（2018•东营）关于x 的方程2x 2-5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A 是锐角三角形ABC 的一个内角．（1）求sinA 的值；（2）若关于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．11．（2018•德州）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？【备考真题过关】一、选择题1．（2018•盐城）已知一元二次方程x2+k-3=0有一个根为1，则k的值为（）A．-2 B．2C．-4 D．42．（2018•宜宾）一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（）A．-2 B．1C．2 D．03.（2018•贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根，则α+β-αβ的值是（）A．3 B．1C．-1 D．-34．（2018•凉山州）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的一个根，则m+n 的值是（）A．1 B．2C．-1 D．-25．（2018•铜仁市）关于x的一元二次方程x2-4x+3=0的解为（）A．x1=-1，x2=3B．x1=1，x2=-3C．x1=1，x2=3D．x1=-1，x2=-36．（2018•安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或9A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长8．（2018•泰州）已知x1、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜09．（2018•包头）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5C．4 D．310．（2018•湘潭）若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≤1C．m＞1 D．m＜111.（2018•福建）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根12.（2018•娄底）关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定13.（2018•宜宾）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A．2% B．4.4%C．20% D．44%14.（2018•眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）A．8% B．9%C．10% D．11%二、填空题15．（2018•扬州）若m是方程2x2-3x-1=0的一个根，则6m2-9m+2015的值16．（2018•荆门）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2-2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．17．（2018•淮安）一元二次方程x2-x=0的根是．18．（2018•黄冈）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为．19．（2018•南京）设x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根，且x1+x2=1，则x1= ，x2= ．20．（2018•内江）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为．21．（2018•十堰）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2-ab，例如，5※3=52-5×3=10．若（x+1）※（x-2）=6，则x的值为．22．（2018•吉林）若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值为．23．（2018•岳阳）关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．三、解答题24. （2018•成都）若关于x的一元二次方程x2-（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．25. （2018•玉林）已知关于x的一元二次方程：x2-2x-k-2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）给k取一个负整数值，解这个方程．26．（2018•沈阳）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．27．（2018•重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a 的值．28．（2018•南充）已知关于x 的一元二次方程x 2-（2m-2）x+（m 2-2m ）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x 1，x 2，且x 12+x 22=10，求m 的值．29. （2018•天门）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+1）x+m 2-2=0．（1）若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x 1，x 2，且（x 1-x 2）2+m 2=21，求m 的值．2019年中考专题复习第八讲 一元二次方程及应用参考答案【聚焦山东中考】1.【思路分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：2304y y --= 234y y -= 2114y y -+= 2112y -=（） 故选：B ．【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．4.【思路分析】先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m 的不等式组，解之得出m 的取值范围，再根据根与系数的关系可得出1212214m x x x x m ++==， ，结合1211 4m x x += ，即可求出m 的值． 【解答】解：∵关于x 的一元二次方程2204m mx m x -++=（）有两个不相等的实数根x 1、x 2， ∴2024?()04m m m m ⎧⎪⎨⎪⎩≠+-＝＞ ，解得：m ＞-1且m≠0．∵x 1、x 2是方程2204m mx m x -++=（）的两个实数根，∴1212214m x x x x m ++==， ， ∵1211 4m x x += ，∴21 44m m m += ， ∴m=2或-1，∵m ＞-1，∴m=2．故选：A ．【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m 的不等式组；（2）牢记两根之和等于ba - 、两根之积等于 c a ．2()2k --⎨⎩＝解得：k=34．311.【思路分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x-30）万元，销售数量为（-10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．【解答】解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：4060045550k bk b⎨⎩++⎧＝＝，解得：101000kb⎨⎩-⎧＝＝，∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=-10x+1000．（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x-30）万元，销售数量为（-10x+1000）台，根据题意得：（x-30）（-10x+1000）=10000，整理，得：x2-130x+4000=0，解得：x1=50，x2=80．∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=50．答：该设备的销售单价应是50万元/台．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．【备考真题过关】一、选择题1.【思路分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x=1代入方程得1+k-3=0，解得k=2．故选：B．C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=-2，结论C错误；D、由x1•x2=-2，可得出x1、x2异号，结论D错误．综上即可得出结论．【解答】解：A∵△=（-a）2-4×1×（-2）=a2+8＞0，∴x1≠x2，结论A正确；B、∵x1、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确；C、∵x1、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，∴x1•x2=-2，结论C错误；D、∵x1•x2=-2，∴x1、x2异号，结论D错误．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．9.【思路分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．【解答】解：∵a=1，b=2，c=m-2，关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有实数根∴△=b2-4ac=22-4（m-2）=12-4m≥0，∴m≤3．∵m为正整数，且该方程的根都是整数，∴m=2或3．∴2+3=5．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．10.【思路分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．【解答】解：∵方程x 2-2x+m=0有两个不相同的实数根，∴△=（-2）2-4m ＞0，解得：m ＜1．故选：D ．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．11.【思路分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=-（a+1），当b=a+1时，-1是方程x 2+bx+a=0的根；当b=-（a+1）时，1是方程x 2+bx+a=0的根．再结合a+1≠-（a+1），可得出1和-1不都是关于x 的方程x 2+bx+a=0的根．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（a+1）x 2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，∴22102())41(0a b a +≠-+⎧⎨⎩＝＝ ， ∴b=a+1或b=-（a+1）．当b=a+1时，有a-b+1=0，此时-1是方程x 2+bx+a=0的根；当b=-（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x 2+bx+a=0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠-（a+1），∴1和-1不都是关于x 的方程x 2+bx+a=0的根．故选：D ．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．12.【思路分析】先计算判别式得到△=（k+3）2-4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．【解答】解：△=（k+3）2-4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．13.【思路分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14.【思路分析】设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1-x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得6000（1-x）2=4860，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．答：平均每次下调的百分率为10%．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．二、填空题15.【思路分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2m2-3m-1=0，∴2m2-3m=1∴原式=3（2m2-3m）+2015=2018故答案为：2018【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．16.【思路分析】把x=2代入kx2+（k2-2）x+2k+4=0得4k+2k2-4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．【解答】解：把x=2代入kx2+（k2-2）x+2k+4=0得4k+2k2-4+2k+4=0，整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=-3，因为k≠0，所以k的值为-3．故答案为-3．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．17.【思路分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：x（x-1）=0，可得x=0或x-1=0，解得：x1=0，x2=1．故答案为：x1=0，x2=1．【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．18.【思路分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．【解答】解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，∵3＜第三边的边长＜9，∴第三边的边长为7．∴这个三角形的周长是3+6+7=16．故答案为：16．【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．19.【思路分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=1可得出m的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可得出结论．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根，且x1+x2=1，∴m=1，∴原方程为x2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得：x1=-2，x2=3．故答案为：-2；3．【点评】本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，利用根与系数的关系求出m的值是解题的关键．20.【思路分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4，∴at2+bt+1=0，由题意可知：t1=1，t2=2，∴t1+t2=3，∴x3+x4+2=3故答案为：1【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．21.【思路分析】根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得，（x+1）2-（x+1）（x-2）=6，整理得，3x+3=6，解得，x=1，故答案为：1．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键．22.【思路分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的不等式，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根，∴△=b2-4ac=0，即：22-4（-m）=0，解得：m=-1，故选答案为-1．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．23.【思路分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：由已知得：△=4-4k＞0，解得：k＜1．故答案为：k＜1．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．三、解答题24.【思路分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．27.【思路分析】（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50-x）个垃圾集中处理点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；（2）根据单价=总价÷数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费用，设y=a%结合总价=单价×数量即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，进而可得出a的值．【解答】解：（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50-x）个垃圾集中处理点，根据题意得：x≥4（50-x），解得：x≥40．答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．（2）修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+（50-40）×2]=1.3（万元），修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2=2.6（万元）．根据题意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%），设y=a%，整理得：50y2-5y=0，解得：y1=0（不合题意，舍去），y2=0.1，∴a的值为10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，列出关于x 的一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．28.【思路分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：△=（2m-2）2-4（m2-2m）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．。

第19讲一元二次方程的有关概念及解法知识能力解读知能解读（一）一元二次方程的有关概念1一元二次方程的定义及一般形式定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫作一元二次方程.点拨对定义的理解抓住三个条件：“一元”“二次”“整式方程”,缺一不可，同时强调二次项的系数不为0.一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠,其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项.使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根.判定一个数是否为一元二次方程的解的方法是：只需将这个值代入一元二次方程的左右两边，看方程两边是否相等.若相等，则这个数是方程的解；若不相等，则这个数不是方程的解.知能解读（二）一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有配方法、公式法和因式分解法.其中因式分解法是特殊解法，而配方法和由配方法推导出来的公式法是一般方法，一般方法对任何一元二次方程者随用.1配方法一般地，对于方程2x p =.（1）当0p >时，根据平方根的意义，方程2x p =有两个不相等的实数根成：1x =2x =（2）当0p =时，方程2x p =有两个相等的实数根120x x ==.（3）当0p <时，因为对任意实数x .都有20x ≥，所以方程2x p =无实数根.如果方程能化成2x p =或x =x =mx n +=通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.配方的目的是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为1：可在方程两边都除以二次项系数；（2）移项：使方程左边是二次项和一次项,右边为常数项(移项时注意变号)；（3）配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方形式，把方程化为()()20x m n n +=≥的形式；（4）如果变形后的方程右边的数为非负数，直接开平方解变形后的方程.点拨(1)配方法的一般步骤可简记为：一移，二化，三配，四求解.(2)配方一般先把常数项移到方程右边，再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1).(3)用配方法解一元二次方程，实质就是对一元二次方程变形，转化为开平方所需的形式.配方：是为了降次,利用平方根的意义把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.2公式法解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=-≥时，方程()200ax bx c a ++=≠的实数根可写成x =的形式，这个式子叫作一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式.解一个具体的一元二次方程时,把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.点拨用公式法解一元二次方程的记忆口诀要用公式解方程，首先化成一般式.调整系数随其后，使其成为最简比.确定参数,,a b c ，计算方程判别式.判别式值与零比，有无实根便得知.若有实根套公式，若无实根要告之.3因式分解法通过因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分懈法.因式分解法体现了将一元二次方程“降次”转化为一元一次方程来解的思想，运用这种方法的步骤：（1）将所有项移到方程的左边，将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解.方法技巧归纳方法技巧（一）一元二次方程的识别方法判断一个方程是一元二次方程，应抓住它的三个特征：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2且二次项系数不为0.点拨（1）正确理解掌握定义是解题的关键，尤其是准确掌握20ax bx c ++=中“0a ≠”这一条件.（2）应先把方程化成一般形式()200ax bx c a ++=≠后，再判断该方程是不是一元二次方程.方法技巧（二）用配方法解一元二次方程配方法解方程的关键在于配方，即先把方程整理成2x bx c +=的形式，然后在方程两边都加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方形式.点拨（1）用配方法解一元二次方程必须先把二次：项系数化为1才能配方，这是关键的一步.（2）配方的重要步骤是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方的目的是根据()2222a ab b a b ±+=±，将一般形式的一元二次方程化为()()20x a b b +=≥的形式，然后再用直接开平方法求解.方法技巧（三）用公式法解一元二次方程用公式法解一元二次方程的一般步骤如下：（1）把方程化为一般形式；（2）确定,,a b c 的值,注意各项系数包括它们前面的符号；（3）计算24b ac -的值；（4）当时240b ac -≥，把,,a b c 及24b ac -的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当240b ac -<时，方程无实数根.点拨用公式法解方程注意三点：一是将方程化为一般形式；二是熟记求根公式()2402b x b ac a-=-≥；三是掌握用此法解方程的步骤（前面已讲）. 方法技巧（四）用因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程的关键有三点：一是要将方程的右边化为0；二是熟练掌握因式分解的方法(提公因式法和公式法）；三是切忌方程两边同时除以含未知数的整式.注意（1）用因式分解法解一元二次方程时，方程右边必须为0.（2）第（2）题中的方程()()()1222x x x -+=+两边不能同除以()2x +，这样容易丢掉根2x =-.遇到此类情形要先移项把方程一边化为0.（3）第（4）题中()220x -=，得出122x x ==，不能只写成2x =.方法技巧（五）一元二次方程中的阅读理解题点拨本题体现了换元法在解高次方程中的应用，突出了解方程中的降次思想和转化思想. 方法技巧（六）含字母系数的方程的解法注意由于原方程对a 的取值没有限制条件，所以它不一定是一元二次方程，显然当0a =或1a =时，方程分别是不同的一元一次方程，当0a ≠且1a ≠时，方程才是一元二次方程，这种分类讨论思想要注意掌握.易混易错辨析易混易错知识对一元二次方程的定义理解不透或思维不严谨，易出现错解.如判定一元二次方程时忽略“0a ≠”的条件.易混易错（一）忽略一元二次方程20ax bx c ++=中“0a ≠”的条件易混易错（二）用求根公式时未化成一般形式致错易混易错（三）解一元二次方程时丢根易混易错（四）配方时未将系数化为1易混易错（五）乱用因式分解中考试题研究中考命题规律本讲的主要考点有一元一次方程的一般形式和一元二次方程的解法等，题型有填空题、选择题、解答题，近几年部分地区中考出现了阅读理解题、开放题等新题型，应予以关注.中考试题（一）对一元二次方程相关概念的理解点拨已知一元二次方程的根求未知系数或有关代数式的值时，常把方程的根代入一元二次方程中求解.中考试题（二）解一元二次方程（1）用配方法解方程（2）用公式法解方程点拨用公式法求解，先把一元二次方程化为一般形式，再计算24b ac -，最后代入公式求解.（3）用因式分解法解方程中考试题（三）一元二次方程的探究创新第20讲一元二次方程根的判别式和根与系数的关系知识能力解读知能解读（一）一元二次方程根的判别式及应用1一元二次方程根的判别式将()200ax bx c a ++=≠配方成222b b x a a -±⎛⎫+= ⎪⎝⎭240b ac -≥时，方程才有实数根，这样24b ac -的值就决定着一元一次方程根的情况.一般地，式子24b ac -叫作一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式，通常用“∆”2相等的实数根时，0∆=；当方程没有实数根时，0∆<.注意（1）24b ac ∆=-只适用于一元二次方程.只有确定是一元二次方程时，才能确定a 、b 、c，求出∆.（2）使用时，要先将一元二次方程化为一般形式后，才能确定a 、b 、c ，求出∆.（3）当240bac ∆=-≥时，方程有实数根.2一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式主要有以下应用：①不解一元二次方程，判别根的情况；②根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围.知能解读（二）一元二次方程根与系数的关系及应用1内容若一元二次方程()200ax bxc a ++=≠有实数根，设这两个实数根分别为12,x x ，由求根公式得)240x b ac =-≥，令1a c x =，2x =.由此可得1222b b b b x x a a---+=+==-，1222b b x x a a--=⋅=()()()22222244442b b b ac ac c a a a a ----===.所以12b x x a +=-，12c x x a =.即对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠来说，若12,x x 是它的两个实数根，则12b x x a +=-，12c x x a =. 这一结论可表述为：一元一次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系.注意（1）根与系数的关系是在方程()200ax bx c a ++=≠有根的前提下（即240b ac -≥)才能够成立的，运用根与系数的关系解题时首先要检验24b ac -是否非负.（2）根与系数的关系的应用：①不解方程，求与方程的根有关的代数式的值；②已知方程一根，求方程的另一根；③与根的判别式相结合,解决一些综合题.2应用（1）验根：不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系，可以检验两个数是不是一元二次方程的两根.（2）已知方程的一个根，求另一根及未知系数.（3）不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求关于12,x x 的对称式的值.（4）已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.3拓展（1）与两根有关的几个代数式的变形：①()2221212122x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③()()()2121212x a x a x x a x x a ++=+++； ④12x x -===（3）以12,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）为12120x x x x x x -++=.方程技巧归纳方法技巧（一）一元二次方程根的判别式的应用一元二次方根根的判别式24b ac ∆=-阐明了根的存在性与系数的内在联系，它的应用非常广泛，现举例说明如下：1不解方程，判断方程根的情况解题时，一般分两步：（1）先求出24b ac ∆=-的值；（2）由24b ac -与零的关系判断方程根的情况.点拨判断一元二次方程根的情况要根据24b ac -的值是大于0，小于0还是等于0来判断.当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac -<时，方程没有实数根；当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根.2根据方程根的情况确定待定系数的取值注意方程有两个实数根，则0∆≥；方程有两个不相等的实数根，则0∆>，解题时一定要注意两者的区别.方法技巧（二）一元二次方程根与系数的关系的应用一元二次方程根与系数的关系不仅提供了方程两根与系数之间的内在联系，也为我们处理有关一元二次方程问题提供了重要思路和方法.方法技巧（三）根的判别式和根与系数关系的综合应用易混易错辨析易混易错知识1.利用实数根的个数确定字母的取值范围时忽略0a ≠.2.关于x 的方程20ax bx c ++=有两个实数根的大前提是原方程为一元二次方程，所以必须保证二次项系数0a ≠，这个隐含条件常常成为命题设置的“陷阱在应用一元二次方程根与系数的关系时易出错.要注意其成立的两个前提条件：（1)在一元二次方程条件下，注意二次项系数0a ≠；(2)存在实数根的条件下，注意根的判别式0∆≥.两者缺一不可.解题时，常常因为忽略某一方面导致出错.易混易错(一)根据一元二次方程根的情况确定未知系数取值范围时忽略“0a ≠”的条件）易错易混（二）二次项系数0a ≠或0∆≥考虑不周致错中考试题研究中考命题规律本讲的主要考点有根的判别式及根与系数的关系的简单应用，近年来，直接考查根的判别式及根与系数的关系的题目明显增加，题型以选择题、填空题为主，有时出现与解直角三角形、四边形、二次函数有关的综合题，题型有解答题和开放探究题.中考试题（一）利用判别式方程根的情况中考试题（二）根据方程根的情况求字母的取值范围中考试题（三）已知方程的一个根，求另一个根及字母的值中考试题（四）求关于方程两根的代数式的值中考试题（五）已知两根关系，求某个字母的值中考试题（六）一元二次方程的综合应用第21讲实际问题与一元二次方程（实践与探究）知识能力解读知能解读（一）列一元一次方程解应用题得方法步骤列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的拓展，两者的解题方法类似,但由于一元二次方程有两个实数解，所以要注意检验得出的方程的 解是否符合实际意义.其步骤如下：（1）审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系.（2）设：选用适当的方式设未知数(直接设未知数或间接设未知数)，不要漏写单位，用含未知数的代数式表示题目中涉及的量.（3）列：根据题目中的等量关系，用含未知数的代数式表示其他未知数，列出含未知数的等式.注意等号两边量的单位必须一致.（4）解：解所列方程，求出未知数的值.（5）验：一是检验得到的未知数的值是否为方程的解，二是检验方程的解是否符合题意.（6）答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位.知能解读(二)主要题型列一元二次方程解应用题在日常生活、生产、科技等方面有着广泛的应用，如增长率(降低率)问题、利息问题、数字问题、利润问题、动点问题等.方法技巧归纳方法技巧（一）增长率（降低率）问题的解题方法（1）增长量=原产量×增长率；（2）增产后的产量=原产量×（1+增长率）.点拨增长率问题：若设基数为a ，平均增长率为x ，则增长n 次后的值为()1na x +.方法技巧（二）利息问题的解题方法解答此类问题的关键是理解实际生活中的一些概念，如本金、利率、利息等.注意对于存款利息问题，解题时一定要注意每次增长的基础量是否相同.方法技巧（三）数字问题的解题方法解答此类问题的关键是掌握好数的表示方法和设法.如：（1）两位数=十位数字×10+个位数字，三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字；（2）三个连续整数可设为1,,1x x x -+，三个连续奇数（或偶数）可设为2,,2x x x -+等.点拨（1）解决有关多位数的问题时，一般不直接设出这个多位数，而是间接设某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字.（2）正确列出方程的关键是熟练掌握用未知数表示多位数的方法，如：两位数=十位数字×10+个位数字.方法技巧（四）利润问题的解题方法解决利润问题的关键是弄清标价、售价、成本价的实际意义及利润的两个等量关系：（1）利润=售价-成本价（进货价）；（2）利润率=利润成本价（进货价）×100%. 点拨利润=售价-进价，所以每千克核桃降价x 元后获利()6040x --元，每天卖出核桃100202x ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭千克，这是解题的关键，注意根据最大让利原则x 应取6，而不取4. 方法技巧（五）动点问题的解题方法动点问题关键是根绝动点运动时的起点和终点等条件列出方程求解.点拨通过分析这类问题，可以培养同学们的抽象思维能力.用“静”的方法来处理“动”的问题是解决运动型数学问题的基本思维技巧.如此题中的“静”就是指PQ 的长度为.方法技巧（六）图形面积问题的解题方法图形面积问题多涉及三角形全等、勾股定理、三角形三边关系及各种规则图形的面积公式，多考查矩形面积问题.点拨（1）列方程解应用题得关键是认真读题，找出题中的等量关系.（2）本题中的墙的长度对于方程的解有限制作用.易混易错辨析易混易错知识忽略检验，导致结论错误.列一元二次方程解决实际问题，是一元二次方程的一个重要应用.由于一般情况下一元二次方程有两个实数解，所以应注意检验得到的未知数的值是否符合题意及实际问题的意义.易混易错（一）列一元二次方程解应用题时因忽视隐含条件而致误易混易错（二）在解决有关比赛等问题时，因理解题意而致误中考试题研究中考命题规律本讲的主要考点有列一元二次方程解决图形面积问题、增长率（降低率）问题和与市场经济有关的利润问题等实际问题.题型有选择题、填空题和解答题.中考试题(一）图形面积问题中考试题(二）增长率（降低率）问题点拨(1)有关百分率的问题常应用公式()1n a x b +=求解，其中a 是基数，x 是增长率或降低率，n 是变化次数，b 是经过n 次变化后的结果.（2)应用一元二次方程解应用题时要注意舍去不合题意的解.中考试题(三）利润问题点拨本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键.此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.。

2019年全国各地中考数学压轴题专集一元二次方程解答2019年全国各地中考数学压轴题专集答案二、一元二次方程1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．（1）用含p的代数式表示q；2（2）求证：抛物线y1＝x＋px＋q与x轴有两个交点；22（3）设抛物线y1＝x＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x＋px＋q ＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．2解：（1）∵关于x的一元二次方程x＋px＋q＋1＝0有一个实数根为22∴2＋2p＋q＋1＝0，整理得：q＝－2p－52222（2）∵△＝p－4q＝p－4(－2p－5)＝p＋8p＋20＝(p＋4)＋42无论p取任何实数，都有(p＋4)≥02∴无论p取任何实数，都有(p＋4)＋4＞0，∴△＞02∴抛物线y1＝x＋px＋q与x轴有两个交点22（3）∵抛物线y1＝x＋px＋q与抛物线y2＝x＋px＋q＋1的对称轴相同，2都为直线x＝－2p2，且开口大小相同，抛物线y2＝x＋px＋q＋1可由抛物2线y1＝x＋px＋q沿y轴方向向上平移一个单位得到∴EF∥MN，EF＝MN＝1∴四边形FEMN是平行四边形pp由题意得S四边形FEMN＝EF·|－|＝2，即|－|＝222∴p＝±42．（安徽某校自主招生）设关于x的方程x－5x－m＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．22解：∵△＝5－4(－m＋1)＝4m＋2122∴不论m取何值，方程x－5x－m＋1＝0都有两个不相等的实根222∵x－5x－m＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m222∵|α|＋|β|≤6，∴α＋β＋2|αβ|≤36，即(α＋β)－2αβ＋2|αβ|≤3622∴25－2(1－m)＋2|1－m|≤362当1－m≥0，即－1≤m≤1时，25≤36成立∴－1≤m≤1 ①222当1－m＜0，即m＜－1或m＞1时，得25－4(1－m)≤3622解得－∴－15≤m≤ 221515≤m＜－1或1＜m≤ ② 22综合①、②得：－15m≤223．（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x＋2ax＋a＝0的两个实数根．2（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：（1）∵x1，x2是一元二次方程(a－6)x＋2ax＋a＝0的两个实数根2－即－4a(a－6)≥0假设存在实数a使－x1＋x1x2＝4＋x2成立，则4＋(x1＋x2)－x1x2＝0∴4＋－2aa－＝0，得a＝24 a－6a－6∵a＝24满足a≥0且a≠6∴存在实数a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立（2）∵(x1＋1)(x2＋1)＝(x1＋x2)＋x1x2＋1＝－2aaa＋＋1＝－ a－6a－6a－6∴要使(x1＋1)(x2＋1)为负整数，则只需a为7，8，9，124．（江苏模拟）已知关于x的方程x－(a＋b＋1)x＋a＝0（b≥0）有两个实数根x1、x2，且2x1≤x2．（1）求证：x1≤1≤x21（2）若点A（1，2），B，1），C（1，1），点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动，2问是否存在这样的点P，使a＋b＝5？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4解：（1）由根与系数的关系得：x1＋x2＝a＋b＋1，x1x2＝a ∴a＝x1x2，b＝x1＋x2－x1x2－1 ∵b≥0，∴x1＋x2－x1x2－1≥0 ∴1－x1－x2＋x1x2≤0 ∴(1－x1)(1－x2)≤0又∵x1≤x2，∴1－x1≥0，1－x2≤0 即x1≤1，x2≥1 ∴x1≤1≤x2（2）∵x1＋x2＝a＋b＋1，a＋b＝59，∴x1＋x2＝ 44①当点P（x1，x2）在BC边上运动时则1≤x1≤1，x2＝1 2∴x1＝995－x2＝－1＝＞1 444故在BC边上不存在满足条件的点P②当点P（x1，x2）在AC边上运动时则x1＝1，1≤x2≤2 取x2＝595，则x1＋x2＝，即a＋b＝4445故在AC边上存在满足条件的点P（1，）4③当点P（x1，x2）在AB边上运动时 1则≤x1≤1，1≤x2≤2，易知x2＝2x12∵x1＋x2＝933，∴x1＝，x2＝ 442133又∵＜＜1，1＜＜224233故在AB，）42综上所述，当点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动时，在BC边上没有满足条件的点，533而在AC、AB边上存在满足条件的点，它们分别是（1，，）442＝＝＝x2．（福建模拟）已知方程组有两个实数解和，且x1x2≠0，x1≠x2．＝2x ＋＝＝2（1）求b的取值范围；（2）否存在实数b，使得11＋＝1？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． x1x2解：（1）由已知得4x＝(2x＋b)，整理得4x＋(4b－4)x＋b＝0222122∵x1≠x2，∴△＞0，即(4b－4)－16b＞0，解得b＜2b又∵x1x2≠0，∴≠0，∴b≠0421综上所述，b＜且b≠02b11x＋x4(1－b)（2）∵x1＋x2＝1－b，x1x2＝＋＝＝＝1得 4x1x2x1x2b2∴b＋4b－4＝0，解得b＝－2±2221∵－2＋22＝2(2－1)，∴b＝－2＋2不合题意，舍去2∴b＝－2－22 6．（成都某校自主招生）已知a，b，c为实数，且满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．8解：∵a＋b＋c＝0，abc＝8，∴a，b，c都不为零，且a＋b＝－c，ab＝c∴a，b是方程x＋cx＋＝0的两个实数根c82∴△＝c－4×≥0c82当c＜0时，c－4×≥0恒成立c当c＞0时，得c≥32，∴c≥243故c的取值范围是c＜0或c≥24＋y＝3a－17．（四川某校自主招生）已知实数x、y满足，求xy的取值范围． 2＋y＝4a－2a＋解：∵(x－y)≥0，∴x＋y≥2xy222∴2(x＋y)≥(x＋y)22∴2(4a－2a＋2)≥(3a－1)2即a－2a－3≤0，解得－1≤a≤32221222∵xy＝[(x＋y)－(x＋y)]122＝[(3a－1)－(4a－2a＋2)] 212＝(5a－4a－1) 25229＝(a－－2510∴当a＝∴－29时，xy有最小值－；当a＝3时有最大值16 5109xy≤16 102228．（福建某校自主招生）已知方程(ax＋1)＝a(1－x)（a＞1）的两个实数根x1、x2满足x1＜x2，求证：－1＜x1＜0＜x2＜1．222证明：将原方程整理，得2ax＋2ax＋1－a＝0222令y＝2ax＋2ax＋1－a，由于a＞1，所以这是一条开口向上的抛物线 2当x＝0时，y＝1－a＜0，∴原方程有一个正根和一个负根又∵x1＜x2，∴x1＜0＜x2222又当x＝1时，y＝2a＋2a＋1－a＝(a＋1)＞0222当x＝－1时，y＝2a－2a＋1－a＝(a－1)＞0 ∴－1＜x1＜0＜x2＜1。

一元二次方程的几何应用一、选择题1. （2018贵州安顺，T6，F3）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2 -7x+10 = 0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A. 12B. 9C. 13D. 12或9【答案】A【解析】解x2-7x+10 = 0，得x=2或5.已知在等腰三角形中，有两腰相等，且两边之和大于第三边，∴腰长为5，底边长为2.∴该等腰三角形的周长为5+5+2=12.【知识点】解一元二次方程，三角形两边的和大于第三边.二、填空题1. （2018湖北黄冈，12题，3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为__________【答案】16【解析】解该方程得x1=3，x2=7，因为两边长为3和6，所以第三边x的范围为：6-3<x<6+3，即3<x<9，所以舍去x1=3，即三角形的第三边长为7，则三角形的周长为3+6+7=16【知识点】解一元二次方程，三角形三边关系2. （2018江西，12，3分）在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为________．【答案】2，23，14－ 2【解析】∵PD＝2AP，∴设AP＝x，则PD＝2x，①当P在AD边上时，如解图①，∵AD＝6，∴AP＋PD＝6，∴x＋2x＝6即x＝2，∴AP＝2②当P在DC上时，如解图②在Rt△ADP中，AP＞PD，PD≠2AP，第12题解图① 第12题解图②③当P 在BC 边上时，如解图③， DP 最大为62，AP 最小为6，PD ≠2AP ，④当P 在AB 上时，如解图④，在Rt △ADP 中，AP 2＋AD 2＝PD 2，∴x 2＋62＝(2x )2，解得x 1＝23，x 2＝－23(舍)，∴AP ＝23；第12题解图③ 第12题解图④ 第12题解图⑤ 第12题解图⑥⑤当P 在AC 对角线上时，如解图⑤，在Rt △ADC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝62，∴AO ＝12AC ＝32，在Rt △PDO 中，PO ＝32－x ，PD ＝2x ，DO ＝AO ＝32，∴PD 2＝PO 2＋DO 2，(2x )2＝(32)2＋(32－x )2，解得x 1＝14－2，x 2＝－14－2(舍)，∴AP ＝14－2；⑥当P 在DB 对角线上时，如解图⑥，在Rt △APO 中，AP 2＝AO 2＋PO 2，∴x 2＝(2x －32)2＋(32)2，整理得：x 2－42x ＋12＝0，∴(－42)2－4×1×12＝－16＜0，∴方程无解，综上所述：AP ＝2或23或14－ 2【知识点】正方形，一元二方程的解法，勾股定理3. （2018浙江省台州市，16，5分）如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE DF =，BE ，CF 相交于点G .若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2:3，则BCG ∆的周长为 ．【答案】【思路分析】通过正方形的边长可以求出正方形的面积，根据“阴影部分的面积与正方形的面积之比为2:3”可以求出空白部分的面积；利用正方形的性质可以证明ΔBCE ≌CDF ，一是可以得到ΔBCG 是直角三角形，二是可以得到ΔBCG 的面积，进而求出BG CG=3；利用勾股定理可以求出22+=9BG CG ，这样就可以求出，因而ΔBCG 的周长就可以表示出来了.【解题过程】∵在正方形ABCD 中，AB=3，∴2ABCD ==9S 3正方形，∵阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2:3，∴空白部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为1:3，∴=3S 空白，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD ，∠BCE=∠CDF=90°∵CE=DF,∴ΔBCE ≌CDF(SAS)∴∠CBE=∠DCF,∵∠DCF+∠BCG=90°,∴∠CBE+∠BCG=90°,即∠BGC=90°，ΔBCG 是直角三角形 易知BCG FGED 3==S S 2∆四边形，∴BCG 13=BG CG=S 22∆，∴BG CG=3，根据勾股定理：222+=BG CG BC ，即22+=9BG CG∴222=+2BG CG+=9+23=15BG+CG BG CG ⨯（），∴，∴ΔBCG 的周长=BG+CG+BC=【知识点】正方形的性质，三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的解法；三、解答题1. （2018浙江杭州，21，10分） 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连接CD 。