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长方体和正方体的数学模型及相关公式长方体和正方体是几何学中的基本立体形状，两者在数学模型和相关公式上有着不同的特点和应用。
本文将详细介绍长方体和正方体的数学模型以及相关公式。
一、长方体长方体是由6个矩形面组成的立体形状，其中相对的两个面具有相等的长度和宽度。
以下是长方体的数学模型和相关公式：1. 长方体的体积（V）公式：长方体的体积可以通过长（l）、宽（w）和高（h）的乘积来计算，公式如下：V = l × w × h2. 长方体的表面积（A）公式：长方体的表面积由各个面积的总和组成，公式如下：A = 2lw + 2lh + 2wh3. 长方体的对角线（d）公式：长方体的对角线可以通过长、宽和高的平方和再开平方根来计算，公式如下：d = √(l^2 + w^2 + h^2)二、正方体正方体是由6个正方形面组成的立体形状，它具有边长相等的特点。
以下是正方体的数学模型和相关公式：1. 正方体的体积公式：正方体的体积可以通过边长（s）的立方来计算，公式如下：V = s^32. 正方体的表面积公式：正方体的表面积由各个面积的总和组成，公式如下：A = 6s^23. 正方体的对角线公式：正方体的对角线可以通过边长的平方开平方根来计算，公式如下：d = √(2s^2)三、长方体和正方体的比较长方体和正方体在几何形状上有明显的区别。
长方体的长度、宽度和高度可以是不同的，而正方体的边长是相等的。
因此，两者的体积、表面积和对角线的计算公式也存在差异。
在应用上，长方体和正方体都有广泛的使用。
例如，在建筑设计中，长方体可以代表房间、建筑物等的形状，而正方体则可用于设计室内家具等。
结论本文详细介绍了长方体和正方体的数学模型及相关公式。
长方体由6个矩形面组成，而正方体由6个正方形面组成。
长方体的体积、表面积和对角线的计算必须考虑长度、宽度和高度，而正方体的计算仅需边长。
两者在几何形状和应用领域上有所不同，但都在数学和实际中发挥着重要的作用。
长方体正方体解题技巧长方体和正方体是立体几何中两个最基本的几何体，掌握它们的解题技巧对于解决其他复杂几何问题也有很大的帮助。
本文将围绕长方体和正方体的基础公式、比例关系、立体思维、切割合并、运动问题以及排列组合等方面进行介绍。
1.基础公式长方体和正方体是最常见的立体几何体，它们的基础公式包括体积和表面积等。
对于长方体，体积V可以表示为长a、宽b、高h的乘积，即V=a×b×h。
长方体的表面积S可以表示为2ab+2bc+2ac，即S=2(ab+bc+ac)。
对于正方体，体积V和表面积S都可以表示为边长a的立方和六倍边长的乘积，即V=a³和S=6a²。
2.比例关系长方体和正方体中存在一些比例关系，例如边长与角度的关系。
在长方体中，如果一个面是正方形，那么其余三个面也必须是长方形，而且长宽高两两垂直。
这意味着在长方体中，相邻面的面积比是相等的，而且长宽高两两之间的比也相等。
在正方体中，如果一个面是正方形，那么其余五个面也必须是正方形，而且相邻面的角度和边长都相等。
这意味着在正方体中，相邻面的面积比是相等的，而且每个面的面积和体积也都相等。
3.立体思维解决长方体和正方体的问题需要具备一定的立体思维，从三个方向上看问题，理解空间形态，掌握形体特征。
要充分运用长方体和正方体的性质，如对称性、平行性、垂直性等，帮助自己更好地理解问题。
例如，在解决一个涉及长方体和正方体的几何问题时，可以尝试将问题转化为一个二维问题，通过平面的角度解决三维问题。
4.切割合并在解决长方体和正方体的问题时，往往需要通过切割和合并的方式，将复杂的问题分解为几个简单的问题，从而化繁为简。
例如，一个复杂的长方体可以切割成几个小的长方体，通过计算每个小长方体的体积和表面积，再合并起来就可以得到整个长方体的体积和表面积。
要注意切割和合并过程中的一些细节问题，例如切割后每个部分的长度、角度、面积和体积等。
5.运动问题长方体和正方体中也存在一些运动问题，例如角速度和杆速度等。
1、长方体的“一角”模型新课标教材对高中立体几何的教学分成了两套思路。
一套是传统思路，以欧式几何中的公理、定理及推论作为一条主线，灵活添加辅助线，数形结合求得题解；另一套则是借助空间直角坐标系，将立体图形坐标化，从而将几何问题完全转化成代数问题，再通过方程来解决问题。
在此，我愿意另辟蹊径，用模型的意识来看待立体几何问题，利用补形法，力争将高考立体几何大题变为口算题！为了实现这一目标，我们先来熟悉一下几个模型：在三棱锥P A B-中，,,PA PB PB PC PC PA⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c===.①三棱锥P ABC-的高h=证明：设直线AH交BC于D点，由于H点一定在△ABC内部，所以D点一定在BC上，连结PD. 在△PAD中：PH==②,,P BC A P CA B P AB C------二面角的平面角分别是：arctan,arctanbc ac ab.例1、四棱锥P A B C D-中，底面A B C D是边长为的正方形，,1PA ABCD PA⊥=面，求A DP B--的大小.分析：考虑三棱锥A PDB-，它就是模型1－长方体的“一个角”.本来我们可以利用结论②解：设二面角A DP B--的大小为α.则：tanα===，故ADCBC Aarctan2α=我们看到象例1这样本来是高考中大题目，可是抓到了长方体“一角”，做起来就变得很轻松了.例2、直二面角D AB E --中，ABCD 是边长为2的正方形（见图）AE ＝BE ，求B 点到面ACE 的距离.分析：这是一道高考中的大题.因为D －AB －E 是直二面角，BC ⊥面ABE ，当然面ABCD ⊥面ABE ，又因为ABCD 是正方形，BC 要垂直于面ABE.在ABE 中，AE 就是面内的一条线，而BE 就是BF 在该面内的射影，而AE 是垂直于BF ，这是因为BF 垂直面ACE 的，所以AE 是垂直于面ACE 的.所以AE 垂直于BF ，又有AE ＝BE ，所以△ABE 是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环境的过程.图形中特殊的位置关系约束△ABE 的形状.补充图形，在正方体1111ABCD A BC D -看问题.在这里看直二面角的局部图形.问题就转化为：求D 到面ACE 的距离，就是求O 点到面AB 1C 的距离.因为O ，B 到面ACB 1的距离相等，所以只须求B 到面ACB 1的距离即可，考虑三棱锥B －ACB 1，它是模型2.312,3BC BA BB BF ===∴==所以，D 到面ACE的距离为3. 点评：比起高考评分标准给的答案那要简单得多了.这儿要注意：一个是把局部的直二面角根据它的AEB 是以E 为直角的等腰直角三角形和ABCD 是正方形的图形特征，补足正方体，这就是一种扩大的几何环境，而正方体也就是长方体模型，另一方面又抓到这正方体的一个角B －ACB 1，那么这个角的模型更高，D 11CBE D CBA这就使我们在运算过程中得以简化.所以说一道看起来很复杂的几何题，用典型几何模型做就显得轻松. 例3 底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截，AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1（见图），求C 点到面AEC 1F 的距离.分析：这也是一道高考题，在评分标准中给出了很多的辅助线.现在我们用典型的空间模型，再对这道题解解看.解：延长C 1E 交CB 延长线于M ，延长CD ，交C 1F 延长线于N ，C －C 1NM 是模型2.因为13,,321C C CM CM CM CN BC BE CM ===--同理13,,1242C C CN CN CN CN CD DF CN ===--. 所以，C 到面C 1MN=C 1C。
长方体模型在立体几何中的应用江苏省太仓高级中学 陆红力立体几何中学生最易掌握的简单几何体是长方体和正方体，其简单的几何性质和直观的几何构造已为广大高中生所熟悉,在长方体中适当添加辅助线，不仅可以构建各种线线关系、线面关系、面面关系，还可以割出像三棱锥、四棱锥、直三棱柱、长方体等，所以在遇到某些点、线、面及空间角和距离的问题时,若能联想并巧妙合理地构造出相关的长方体并加以解决,则能使很多复杂的问题变得更易理解,从而起到事半功倍的效果。
一 构造长方体 判断位置关系例1 在空间，下列命题正确的是 （1）如果直线a ,b 分别与直线l 平行，那么a //b .（2）如果直线a 与平面β内的一条直线b 平行，那么a //β.（3）如果直线a 与平面β内的两条直线b ，c 都垂直，那么a ⊥β.（4）如果平面β内的一条直线a ⊥平面γ，那么β⊥γ.说明：如图1，以长方形为模型，使得,,AD a BC b ==平面AC 为β，就可否定（2）；再使1,,,AB a AD b BC c ===就可否定（3）；所以正确为（1）、（4），因为（1）为平行线公理，（4）为面面垂直判定定理。
例2 已知 m ,l 是直线，α，β是平面，给出下列命题：（1） 若l 垂直α内的两条相交直线，则l α⊥.（2） 若//l α，则l 平行于α内的所有直线.（3） 若,,m l αβ⊂⊂且,l m ⊥则αβ⊥.（4） 若,l β⊂且,l α⊥则αβ⊥.（5） 若,,m l αβ⊂⊂且//αβ，则//m l .其中正确的是 ，（请将正确命题的序号填上）说明：如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，选1l AB =，平面1DC β=，但1AB 不平行1DD ，易否定（2）；选平面1AC α=，平面1,,,AC AB m AD l β===，否定（3）；选平面AC α=，平面1111,,,AC AB m B C l β===，否定（5）；因为（1）（4）分别为线面垂直、面面垂直判定定理，所以选（1）（4）.此类问题是高考常见题型，主要考查线线、线面、面面位置关系。
长方体模型在立体几何中的应用作者：***来源：《广东教学报·教育综合》2021年第58期【摘要】“问渠那得清如许，为有源头活水来。
”立体几何中，通过对长方体切割，再旋转、变换等得到多面体，构建长方体模型不仅有利于培养学生的空间想象能力、数据处理能力和逻辑推理能力，也有利于学生转换和化归思想方法的培养，而且更是让学生追溯知识源头，培养学生的数学核心素养。
【关键词】长方体模型;立体几何;数学核心素养2019版《高中数学教材必修二（A版）》中对立体几何初步的学习提出了从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形;再以长方体为载体，直观认识和理解空间中点、直线、平面之间的位置关系。
正如高考命题组的专家所说：“高考题源自课本，要追溯源头，方可把握和提升学生的数学核心素养。
”立体几何是历年高考的重点，选择题、填空题的难度低、中、难都有考查，解答题稳定在中档题，难度以低、中档难度为主，点、线、面位置关系的判定与性质、空间几何的计算是考查的重点内容，着重考查推理能力和空间想象能力，转化与化归思想贯穿始终。
经笔者探究，多数多面体可通过补形，构建长方体模型，厘清点、线、面的关系，认清本质，形成空间想象能力、数据处理能力和逻辑推理能力，以下是笔者的分析和见解：2019版新教材普通高中教科书（A版）第96页第八章立体几何初步开篇就强调了“借助长方体，从构成立体图形的基本元素——点、直线、平面入手，研究他们的性质以及相互之间的位置关系，特别是对直线、平面的平行与垂直的关系展开研究，从而进一步认识空间几何体的性质”;在近几年高考真题中以长（正）方体为模型，通过切割、旋转等形成多面体考查空间点、线、面的位置关系。
一、对长方体、正方体直接切割将正方体A1B1C1D1—ABCD（图1）的侧面进行切割，设M、N分别是A1D1、AD中点，在MN上取点P将正方体切割后，得到的四棱锥（图1-1）就是2017年高考全国卷（Ⅰ）理数第18题;将图1正方体切割后，得图1-2实线部分便是2016年高考全国卷（Ⅰ）理数第18题。
秒杀思路分析
A．18+B．54+C．90D．81
A．B．C．D．2
A．B．C．D．2
A．6B．9
C．3D．
3
A．8B．6C．4D．
8
A．3
2
B．
9
2
C．1D．3
秒杀思路分析
三视图问题一般有两类，一类是单一几何体，另一类是组合体.一般在解题时需把“三视图”还原成几何体，这样才能方便计算与求解.
【示例1】（2016年全国丙卷文10）网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）
A．18+B．54+C．90D．81
A．B．C．D．2
A
．B
．C
．D ．2
A．6B．9
2C．3D．3
2
解：可把三棱锥A BCD
-放置在长、宽、高分别为4，4，3的长方体中，可得其左视图为DEF
△，其
面积为233
2
⨯=.
【试题4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是_________.
A ．8
B ．6
C ．4
D ．8
3
解：几何体如图，为一斜三棱柱，底面积S =，两底面距离(高）
h =，则4V ==，故选C .
A ．3
2B ．9
2C ．1 D ．3
解：如图，几何体为四棱锥P ABCD -.1122332V x +=⨯⨯⨯=，解得3x =，故选D .。
巧构正（长）方体，妙解立体几何题陈璇【摘要】正、长方体是立体几何中两个重要模型，其所含的线线、线面、面面的位置关系内容丰富，各种角度及距离均可在其中得以体现。
通过构建这两个模型能使复杂问题简单化，抽象问题直观化。
【期刊名称】考试周刊【年(卷),期】2011(000)039【总页数】2【关键词】构建正（长）方体立体几何解题正（长）方体图形对称完美，点、线、面的位置关系、各种角度及距离均可在其中得以体现，堪称立体几何中的“万花筒”.因此在解题中假如能挖掘题设条件，展开联想，构造出相应的正（长）方体，往往能起到化难为易，简捷明了的效果，使人有“柳暗花明又一村”的感觉.1.求几何体的表面积或体积例1.在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是——解析：这个题目直接求解很难，但注意到有三条共点线段两两垂直，且都相等，这是正方体的基本特征，因此可考虑放在正方体中来求解.以PA、PB、PC为棱作正方体，则该正方体的外接球就是题中的球，故正方体的对角线就是球的直径，可得答案3πa2.例2.如图1，已知多面体ABC-DEFG中，AB、AC、AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为（）A.2B.4C.8D.9解析：这是一个不规则的多面体，想直接求体积便要通过割补法把多面体分解成若干个规则的多面体来求，这样既麻烦又易出错.但假如把它放在正方体中去就容易得多了.如图2，连BD、BG，易知，VB-EFDG=2，V正方体BG＝8，因此所求多面体的体积应介于2和8之间，故选B.2.解决点、线、面位置关系问题例3.已知l、m、n为两两垂直、异面的3条直线，过l作平面α与m垂直，则直线n与平面α的关系是______.解析：题目没有图形，确实有些棘手，但注意到正方体里的异面直线、垂直关系很多，又符合题目中两两垂直的条件，能不能放在正方体中来解决呢？实际上只要把正方体画出来（图3）就可以得到答案n∥α.例4.如图4，在空间六边形（即六个点中没有任何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1∥CC1，求证：平面A1BC1∥平面ACD1.解析：问题中的空间六边形对于学生来说是比较陌生的，待证平行的两平面在图中不易找到直接的证明线索.但借助正方体的空间衬托（如图5），则可以在正方体中找到相应的空间六边形，那么所证的两平行平面就成为学生十分熟悉的问题了.3.求空间角例5.如图6，过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，且PA=AB，则平面ABP与平面CDP所成二面角（小于或等于90°）的度数是__________.解析：这道题是“无棱”二面角问题，而要求二面角的大小则需要得到二面角的棱.尽管可以过点作平行线得到两平面的交线，但此交线与图中其它线面关系不明朗.注意到图中有两两互相垂直的三条直线，可以把图放在正方体中（图7），则易见平面ABP与平面CDP的交线为PE，而且容易得到二面角的平面角为∠DPA=45°.显然，利用了正方体作为辅助图形，使得图形清晰直观，看似棘手的问题也就轻松解决了.例6.如图8，在正四面体SABC，E、F分别是棱SC与棱AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角的大小是__________.解析：这道题的常规做法是通过平移作出异面直线所成角，再在所成角所在的三角形中利用余弦定理求解，但这样做的缺点是计算量太大.而由于正四面体的6条棱长相等，而正方体六个面的对角线也相等且刚好能构成一个四面体，因此可以考虑将正四面体SABC放在正方体AMBN-QCPS中（图9），则EF正好是上下底面中心的连线，则EF∥AQ，∠QAS就是异面直线EF与SA所成的角，显然∠QAS=45°，故异面直线EF与SA所成的角的大小是45°.从这道题中可以看出利用正方体除了可以解决一些有两两互相垂直的三条直线的特征的几何体问题外，也可以解决一些正面体的问题，且同样能起到事半功倍的效果. 4.求空间距离例7.若空间一点P到两两垂直的射线OA、OB、OC的距离分别为a、b、c，则OP=________.解析：这道题初看上去毫无头绪，连图都不知道要怎样画，也不知距离应该怎样找.不妨换种思维，看能不能在同样有两两垂直，有很多垂直关系的长方体中找到点到线的距离.如图10，可证AP⊥OA，则AP表示点P到OA的距离a，同理，PB、PC分别表示点P到OB、OC的距离b、c. 显然，OP即为长方体的对角线，求其长需要长方体的长、宽、高，不妨分别设为x、y、z，则有x2+y2=a2，x2+z2=b2，y2+z2=c2，将以上三式相加可得故OP2=x2+y2+即例8.如图11，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CC1=1，∠ABC=90°，求C点到平面AB1C1的距离.解析：此题可用等体积法，利用VC-AB1C1=VA-B1C1C求得点C到平面A1B1C1的距离，但过程繁琐，计算麻烦，但若如图12把直三棱柱ABC-A1B1C1补成正方体ABCD-A1B1C1D1，则点C到平面AB1C1的距离就是点C到平面AB1C1D的距离，取C1D的中点O，连结CO，则CO⊥C1D，CO⊥AD.又C1D⊥AD，垂足为D，∴CO⊥平面AB1C1D，.∴点C到平面AB1C1的距离是5.解决射影问题例9.若直角∠ABC的一边BC∥平面α，BA与α斜交，则∠ABC在平面α上的射影是______角.（填“锐”、“直”或“钝”）解析：如图13，在正方体中找到直角∠ABC，易知图中∠AB′C′即∠ABC在面上的射影，显然∠AB′C′=90°即为所求.例10.如图14，已知正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________.解析：这个问题单凭想象求解难度不小，但若能借助正方体这个模型，便能迎刃而解.将正四面体放入正方体中，使其四个顶点与正方体的四个顶点重合.正四面体的棱长为1，则相对的两条棱互相垂直，且距离为由于AB∥平面α，所以当CD∥平面α或CD奂α（即将平面AEBF或平面CHDG作为平面α）时，四面体在α内的射影为正方形，其面积为（最大）；当CD⊥α（即将平面ABHG作为平面α）时，四面体在α内的射影为等腰三角形，其面积为（最小）.总之，利用正（方）体的完美性质，可以变难为易，使难题轻松获解；可以变陌生为熟悉，使问题迎刃而解；可以优化解题途径，使解题过程简捷明快，生动有趣；可以激发学生的学习兴趣，培养创造思维.参考文献：［1］王前.构建正（长）方体巧解特殊三棱锥问题［J］.考试（高考数学版），2009，（z2）.［2］井咱菊.构造正（长）方体解立体几何题［J］.数学爱好者（高考版），2008，（11）.［3］令狐青芳.构建正（长）方体速解立体几何题［J］.运城学院学报，2003，（3）.［4］薛金星.中学教材全解［M］.西安:陕西人民教育出版社，2008.。
高中数学立体几何题型举例分析在高中数学中，立体几何是一个重要的考点，涉及到空间几何图形的性质和计算方法。
掌握好立体几何的基本概念和解题技巧，对于学生来说是非常重要的。
本文将通过举例分析不同类型的立体几何题目，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、长方体的表面积和体积计算题目：一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，求其表面积和体积。
解析：长方体的表面积等于各个面的面积之和，体积等于底面积乘以高。
根据题目中给出的长方体的长、宽、高，可以计算出其表面积和体积。
长方体的表面积为2(长×宽+长×高+宽×高)=2(3×4+3×5+4×5)=94cm²，体积为长×宽×高=3×4×5=60cm³。
这道题目考察了长方体的表面积和体积的计算方法，需要学生掌握长方体的定义和计算公式。
二、正方体的对角线长度计算题目：一个正方体的边长为a，求其对角线的长度。
解析：正方体是一种特殊的长方体，其边长相等。
对于一个正方体，其对角线可以看作是通过立方体中心的一条线段。
根据勾股定理，可以求得正方体的对角线长度。
对于一个正方体，其对角线的长度等于边长的平方根乘以√3，即对角线长度=√3a。
这道题目考察了正方体的对角线长度的计算方法，需要学生理解和运用勾股定理。
三、圆柱的体积计算题目：一个圆柱的底面半径为r，高为h，求其体积。
解析：圆柱的体积等于底面积乘以高。
对于一个圆柱，其底面积等于πr²，其中π取近似值3.14。
根据题目中给出的圆柱的底面半径和高，可以计算出其体积。
圆柱的体积为πr²h。
这道题目考察了圆柱的体积的计算方法，需要学生掌握圆柱的定义和计算公式。
四、球的表面积和体积计算题目：一个球的半径为r，求其表面积和体积。
解析：球的表面积等于4πr²，体积等于4/3πr³。
