解直角三角形的实际应用题

解直角三角形的实际应用题的解题步骤解直角三角形的实际应用题的解题步骤1. 引言直角三角形是高中数学中的重要概念之一，其解题方法和应用广泛存在于实际生活中。

本文将以解直角三角形的实际应用题为主题，通过深度和广度的分析，帮助读者更好地理解和应用直角三角形的知识。

2. 实际应用题的意义和背景实际应用题是数学知识在实际问题中的运用，对于培养学生的问题解决能力和应用能力至关重要。

解直角三角形的实际应用题有助于学生将抽象的数学概念和具体的实际问题进行联系，培养他们的分析和推理能力。

3. 解题步骤的概述解直角三角形的实际应用题可以分为以下几个步骤：求两个已知角度的第三个角度、确定已知角度的对边、确定未知角度的对边、求斜边、求面积等。

4. 具体步骤的详解（1）求两个已知角度的第三个角度：根据直角三角形的性质，在直角三角形中，三个角的和为180度。

通过已知的两个角度，我们可以求得第三个角度，从而建立起直角三角形的坐标系。

（2）确定已知角度的对边：根据已知角度可以确定相应的直角三角形边长比例关系。

通过题目中给出的已知角度和对边的长度比例，我们可以推导出未知角度的对边的长度。

（3）确定未知角度的对边：根据已知角度的对边和比例关系，可以推导出未知角度的对边与已知对边之间的比例关系。

通过这个比例关系，我们可以求得未知角度对应的对边长度。

（4）求斜边：已知两个直角三角形的边长，可以利用勾股定理来求解斜边的长度。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

（5）求面积：已知直角三角形的两个直角边，可以利用面积公式来求解三角形的面积。

直角三角形的面积等于两个直角边长度的乘积的一半。

5. 个人观点和理解直角三角形的实际应用题在我们的日常生活中具有广泛的应用，例如在建筑、导航、物理等领域。

解题过程中，我们需要根据已知条件进行分析，应用数学知识和技巧来推导出未知的数据，从而解决实际问题。

通过解题过程中的分析和推理，我们还可以培养自己的逻辑思维和问题解决能力。

解直角三角形应用题考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2 CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC考点二、直角三角形的判定 （3~5分）1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即cbcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系1cos sin 22=+A A5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形 （3~5） 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

解直角三角形C1.如图1，一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60°，此后飞机P60以300米/秒的速度沿平行于地面AB的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D的D正上方C处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米）12千A G图1B 2.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡角∠BAD=60 ,坡长AB=203m,为加强水坝强度,将坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡的坡角∠F=45 ,求AF的长度(结果精确到1米,参考数据cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31，参考数据:2≈1.414,3≈1.732).(2题图)cos18°≈0.953．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB=4米，斜面E17cm 距离BC=4.25米，斜坡总长DE=85米．A B（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；CD F（2）若这段斜坡用厚度为17cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?（第3题）4．在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19．5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距83km的C处．B北（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．lCA M N东5.如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4米.（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走。

解直角三角形的应用题型直角三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解决实际问题中常用的基本图形之一。

在应用题中，我们经常需要用到直角三角形的性质和定理，以解决各种实际问题。

下面列举一些常见的直角三角形应用题型。

1. 求斜边长已知直角三角形的一条直角边和另一条边的长度，求斜边长。

这类问题可以用勾股定理解决，即斜边的长度等于直角边长度的平方加上另一条边长度的平方的平方根。

例题：已知直角三角形的一个直角边为3，另一条边长为4，求斜边长。

解：斜边长等于3的平方加上4的平方的平方根，即√(3+4)=√25=5。

2. 求角度已知直角三角形两个角度，求第三个角度。

由于直角三角形的内角和为180度，因此第三个角度可以用90度减去已知的两个角度得到。

例题：已知直角三角形两个角度分别为30度和60度，求第三个角度。

解：第三个角度等于90度减去30度和60度的和，即90-30-60=0度。

3. 求高已知直角三角形的斜边和一条直角边，求高。

我们可以通过求出这个三角形的面积以及底边长度来求出高，也可以利用正弦定理或余弦定理求出高。

例题：已知直角三角形的斜边长为5，直角边长为3，求高。

解：利用勾股定理可求出这个三角形的面积为(3*4)/2=6。

利用面积公式S=1/2*底边长*高，可得高为(2*6)/3=4。

4. 求面积已知直角三角形的两条直角边长度，求面积。

我们可以利用面积公式S=1/2*底边长*高求出面积。

例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为4和3，求面积。

解：利用面积公式S=1/2*4*3，可得面积为6。

以上是直角三角形应用题的一些常见类型，希望能对大家的学习有所帮助。

解直角三角形经典题型应用题1. 一个田径运动员越过一根高度为2米的木板，如果他离地面的水平距离是3米，那么他的起跳点距离木板底部的高度是多少？解：设起跳点距离木板底部的高度为x，则根据勾股定理，得到：$x^2 + 3^2 = 2^2$化简得：$x^2 = 2^2 - 3^2 = -5$由于x是高度，因此应该为正数。

但是由于方程无解，因此无法解出起跳点距离木板底部的高度。

这个结果告诉我们，如果要跨越一个木板，距离不能太远，否则就无法起跳！2. 一个人看到一个高楼，测得距离为50米，角度为30度，那么这个高楼的高度是多少？解：设高楼的高度为h，根据三角函数，得到：$tan(30) = \frac{h}{50}$化简得：$h = 50\times tan(30) = 50 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx28.87$因此，这个高楼的高度约为28.87米。

3. 一个人站在一座桥上，看到一条河流在他的正下方流过，测得桥与河面的垂直距离为20米，角度为45度，那么河宽是多少？解：设河宽为w，根据三角函数，得到：$tan(45) = \frac{w}{20}$化简得：$w = 20\times tan(45) = 20$因此，河宽为20米。

4. 在一个矩形田地中，角A的顶点和角B的底点均在田地边界上，角A的角度为30度，角B的角度为60度，且田地的长宽比为3:2，那么田地的面积是多少？解：假设田地的长为3x，宽为2x，则田地的面积为6x²。

又根据三角函数，得到：$tan(30) = \frac{3x}{y}$$tan(60) = \frac{2x}{y}$化简得：$x = y\times tan(30) = y\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}$ $x = y\times tan(60) = y\cdot\sqrt{3}$解得：$y = 6\sqrt{3}$因此，田地的面积为6x² = 1080平方米。

解直角三角形的实际应用题的解题步骤一、引言在数学中，直角三角形是研究的重要对象之一，其特殊的性质和广泛的应用使其成为数学学习中的重要内容。

解直角三角形的实际应用题，是数学知识与实际问题相结合的体现，也是数学运用能力的考验。

在本文中，我们将探讨解直角三角形的实际应用题的解题步骤，希望能帮助读者更深入地理解这一内容。

二、实际应用题的解题步骤1. 理解问题解题的第一步是要充分理解问题。

在解直角三角形的实际应用题时，我们需要明确问题的背景和要求，理解其中涉及的相关知识点。

如果题目是要求求解某个角的值或某条边的长度，我们需要明确所给信息和要求，以便有针对性地进行求解。

2. 标注已知量和未知量解题的第二步是要标注已知量和未知量。

在直角三角形中，我们通常会遇到三边、三角或边角关系的已知量和未知量，标注清楚有助于我们更清晰地把握问题的本质。

通过标注已知量和未知量，我们可以更好地运用三角函数关系进行求解。

3. 应用三角函数关系接下来，我们需要应用三角函数关系进行求解。

根据已知量和未知量的不同组合，我们可以选择使用正弦、余弦或正切等三角函数来建立方程，然后通过解方程来求解未知量。

这一步需要我们熟练掌握三角函数的性质和运用技巧，以便准确地进行计算和推导。

4. 检验和解答问题我们需要检验和解答问题。

在求解过程中，我们得到的答案可能是角的大小或边的长度，需要通过检验来验证我们的答案是否符合题意。

在解答问题时，我们也需要根据问题的要求给出完整的答案和解释，以便清晰地呈现解题过程和结果。

三、个人观点和总结解直角三角形的实际应用题需要我们熟练掌握三角函数的运用和技巧，也需要我们对实际问题有较强的理解和分析能力。

在解题过程中，我们要善于应用已知信息，创造性地建立方程，以及正确地运用三角函数关系，才能得到准确的答案。

通过解直角三角形的实际应用题，我们不仅能够巩固数学知识，还能培养解决实际问题的能力，这对我们的学习和生活都具有重要意义。

2024年新课标中考数学二轮必考抢分专练解直角三角形及其应用1如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC=α，则A，C两处相距()A.xsinα米 B.xcosα米 C.x⋅sinα米 D.x⋅cosα米【答案】B【解析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，∴∠ABC=90°，AB=x米.∴cosα=ABAC，∴AC=ABcosα=xcosα米.故选：B .【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.2日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD=45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°，BC=15.3m，则灯塔的高度AD大约是() (结果精确到1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)A.31mB.36mC.42mD.53m【答案】B【解析】在Rt△ADB中，得出AD=BD，设AD=x，则BD=x，CD=x-15.3，在Rt△ADC中，根据正切得出tan∠ACD=ADCD=xx-15.3=3，求解即可得出答案．【详解】在Rt△ADB中，∠ABD=45°，∴AD=BD，设AD=x，则BD=x，CD=x-15.3，在Rt△ADC中，∠ACD=60°，∴tan∠ACD=ADCD =xx-15.3=3，∴x≈36，∴灯塔的高度AD大约是36m．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度数．3如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB的长，下列按键顺序正确的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】根据正弦的定义得出AB=7÷sin28°，进而可得答案．由题意得sin28°=7 AB，∴AB=7÷sin28°，∴按键顺序为7 ÷ sin2 8 = ，故选：B．【点睛】本题考查了正弦的定义，计算器的使用，正确理解三角函数的定义是解题的关键．4一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．【答案】63+6##6+63【解析】过点C作CD⊥AB交于点D，利用特殊角的三角函数值，列方程即可解答．如图，过点C 作CD ⊥AB 交于点D ，由题意可知tan ∠CAD =tan30°=33,tan ∠CBD =tan45°=1，设CD 为x ，∴BD =CD ÷tan45°=x ，AD =CD ÷tan30°=3x ，根据AB =AD -BD ，可得方程3x -x =12，解得x =63+6，∴渔船与灯塔C 的最短距离是63+6 海里，故答案为：63+6．【点睛】考查了解解直角三角形-方位角问题，熟知特殊角度的三角函数值是解题的关键．5如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m 高的支柱，则共需钢材约m (结果取整数)．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)【答案】21【解析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解．∵△ABC 是等腰三角形，且CD ⊥AB ，∴AD =BD ，∵CD =3m ，∴AC =BC =CD sin37°=5m ,AD =BD =CD tan37°=4m ，∴共需钢材约为2AC +2AD +CD =21m ；故答案为21．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．6如图，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读数恰为2cm ，若按相同的方式将22.5°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为cm ．【答案】22+2【解析】根据平行线的性质得到∠DBO=∠AOB=45°，解直角三角形求出OB=22cm，再推出∠BOC=∠BCO，进而得到BC=BO=22cm，再求出CD的长即可得到答案．由题意得，BC∥OA，∠BDO=90°，OB=2cm，∴∠DBO=∠AOB=45°，∴OB=BD=22cmcos∠DBO∵∠AOC=22.5°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=22.5°，∠BCO=∠AOC=22.5°，∴∠BOC=∠BCO，∴BC=BO=22cm，∴CD=BD+BC=22+2cm，∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为22+2cm，故答案为：22+2．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定，正确求出BC的长是解题的关键．7如图，O,R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m,R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB(精确到0.1m)．参考数据：sin24.2°≈0.41,cos24.2°≈0.91,tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60,cos36.9°≈0.80,tan36.9°≈0.75．【答案】无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9米【解析】解Rt△AOR，求得AO，OR，在Rt△BOR中，求得BO，根据AB=BO-AO，即可求解．依题意，∠ARO=24.2°，∠BRO=36.9°，AR=40，在Rt△AOR中，∠ARO=24.2°，∴AO=AR×sin∠ARO=40×sin24.2°，RO=AR×cos∠ARO=40×cos24.2°，在Rt△BOR中，OB=OR×tan∠BRO=40×cos24.2°×tan36.9°，∴AB=BO-AO=40×cos24.2°×tan36.9°-40×sin24.2°≈40×0.91×0.75-40×0.41≈10.9(米)答：无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．8某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB=400米，BP=200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．(结果精确到1米，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268)【答案】垂直高度PC约为204米【解析】【分析】过点B作BD⊥PC于D，作BE⊥AC于E，则四边形DCEB为矩形，在Rt△ABE中利用正弦函数求出DC长度，在Rt△PBD中，∠PBD=30°，可以求出PD长度，即可求出PC．【详解】过点B作BD⊥PC于D，作BE⊥AC于E，则四边形DCEB为矩形，∴DC=BE，在Rt△ABE中，∠A=15°，sin A=BE AB，则BE=AB⋅sin A≈400×0.259=103.6(米)，∴DC=BE=103.6米，在Rt△PBD中，∠PBD=30°，BP=200米，则PD=12BP=100米，∴PC=PD+DC=100+103.6≈204米．答：垂直高度PC约为204米．9钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i=5 6，求该岛礁的高(即点A到海平面的铅垂高度)．(结果保留整数)(参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60)【答案】该岛礁的高AB 为300米．【解析】根据斜坡AC 的坡度i =56，可设AB =5x 米，BC =6x 米，继而表示出BD 的长度，再由tan30.96°≈0.60，可得关于x 的方程，解出即可得出答案．【详解】∵斜坡AC 的坡度i =56，∴AB ：BC =5：6，故可设AB =5x 米，BC =6x 米，在Rt △ADB 中，∠D =30.96°，BD =(140+6x )米，∴tan30.96°=5x 140+6x=0.60，解得：x =60(米)，经检验，x =60是方程的解，∴5x =300(米)，答：该岛礁的高AB 为300米．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，构建直角三角形是解题的关键．102023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O 处发射，当飞船到达A 点时，从位于地面C 处的雷达站测得AC 的距离是8km ，仰角为30°；10s 后飞船到达B 处，此时测得仰角为45°．(1)求点A 离地面的高度AO ；(2)求飞船从A 处到B 处的平均速度．(结果精确到0.1km/s ，参考数据：3≈1.73)【答案】(1)4km(2)飞船从A 处到B 处的平均速度约为0.3km/s【解析】【分析】(1)根据含30度角的直角三角形的性质即可得到结论；(2)在Rt △AOC 中，根据直角三角形的性质得到OC =32AC =43km ，在Rt △BOC 中，根据等腰直角三角形的性质得到OB =OC =43km ，于是得到结论．【小问1详解】解：在Rt △AOC 中，∵∠AOC =90°，∠ACO =30°，AC =8km ，∴AO =12AC =12×8=4km ，【小问2详解】在Rt △AOC 中，∵∠AOC =90°，∠ACO =30°，AC =8km ，∴OC =32AC =43km ，在Rt △BOC 中，∵∠BOC =90°，∠BCO =45°，∴∠BCO =∠OBC =45°，∴OB =OC =43km ，∴AB =OB -OA =(43-4)km ，∴飞船从A 处到B 处的平均速度=43-410≈0.3km/s ．【点睛】考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．11如图，堤坝AB 长为10m ，坡度i 为1:0.75，底端A 在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D 处立有高20m 的铁塔CD ．小明欲测量山高DE ，他在A 处看到铁塔顶端C 刚好在视线AB 上，又在坝顶B 处测得塔底D 的仰角α为26°35 ．求堤坝高及山高DE ．(sin26°35 ≈0.45，cos26°35 ≈0.89，tan26°35 ≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1m )【答案】堤坝高为8米，山高DE 为20米．【解析】过B 作BH ⊥AE 于H ，设BH =4x ，AH =3x ，根据勾股定理得到AB =AH 2+BH 2=5x =10，求得AH =6，BH =8，过B 作BF ⊥CE 于F ，则EF =BH =8，BF =EH ，设DF =a ，解直角三角形即可得到结论．【详解】过B 作BH ⊥AE 于H ，∵坡度i 为1:0.75，∴设BH =4x ，AH =3x ，∴AB =AH 2+BH 2=5x =10，∴x =2，∴AH =6，BH =8，过B 作BF ⊥CE 于F ，则EF =BH =8，BF =EH ，设DF =a ，∵α=26°35 ．∴BF =DF tan26°35=a 0.5=2a ，∴AE =6+2a ，∵坡度i 为1:0.75，∴CE ：AE =20+a +8 ：6+2a =1：0．75，∴a =12，∴DF =12(米)，∴DE =DF +EF =12+8=20(米)，答：堤坝高为8米，山高DE 为20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．12如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点B ，A ，D ，E 均在同一直线上，AB =AC =AD ，测得∠B =55°，BC =1.8m ，DE =2m ．(结果保小数点后一位)(1)连接CD ，求证：DC ⊥BC ；(2)求雕塑的高(即点E 到直线BC 的距离)．(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)【答案】(1)见解析(2)雕塑的高约为4.2米【解析】【分析】(1)根据等边对等角得出∠B =∠ACB ,∠ACD =∠ADC ，根据三角形内角和定理得出2∠B +∠ADC =180°，进而得出∠BCD =90°，即可得证；(2)过点E 作EF ⊥BC ，交BC 的延长线于点F ，在Rt △BDC 中，得出AD =BC cos B = 1.8cos55°，则BE =AD +DE =2+1.8cos55°，在Rt △EBF 中，根据EF =BE ⋅sin B ，即可求解．【小问1详解】解：∵AB =AC =AD ，∴∠B =∠ACB ,∠ACD =∠ADC∵∠B +∠ADC +∠BCD =180°即2∠B +∠ADC =180°∴∠B +∠ADC =90°即∠BCD =90°∴DC ⊥BC ；【小问2详解】如图所示，过点E 作EF ⊥BC ，交BC 的延长线于点F ，在Rt △BDC 中，∠B =55°，BC =1.8m ，DE =2m∴cos B =BC AD ，∴AD =BC cos B = 1.8cos55°∴BE =AD +DE =2+ 1.8cos55°在Rt △EBF 中，sin B =EF BE，∴EF =BE ⋅sin B×sin55°=2+ 1.8cos55°×0.82≈2+ 1.80.57≈4.2(米)．答：雕塑的高约为4.2米．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．13如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得AB=120cm，BD=80cm，∠ABD=105°，∠BDQ=60°，底座四边形EFPQ为矩形，EF=5cm．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面PF的距离．(结果精确到1cm．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【答案】159cm【解析】【分析】过点A作AG⊥PF于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作DN⊥BM于点N，分别解作出的直角三角形即可解答．【详解】解：如图，过点A作AG⊥PF于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D 作DN⊥BM于点N，∴四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，∴MH=ND，EF=HG=5，BM∥DH，∴∠NBD=∠BDQ=60°，∴∠ABM=∠ABD-∠NBD=105°-60°=45°，在Rt△ABM中，∠AMB=90°，∵sin∠ABM=sin45°=AMAB，=602，∴AM=AB⋅sin45°=120×22在Rt△BDN中，∠BND=90°，∵sin∠NBD=sin60°=NDBD，∴ND=BD⋅sin60°=80×3=403，2∴MH=ND=403，∴AG=AM+MH+GH=602+403+5≈60×1.41+40×1.73+5≈159cm，答：展板最高点A到地面PF的距离为159cm．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．14如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？(结果保留根号)【答案】63-6千米【解析】【分析】过点D作DM⊥AB于点M，由垂线段最短可得DM的长即为所求，先求出∠ACB=90°，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得AC=CD，然后在Rt△ABC中，解直角三角形可得AC,BC的长，从而可得BD的长，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：如图，过点D作DM⊥AB于点M，由垂线段最短可知，DM的长即为所求，由题意得：∠BAC=60°,∠BAD=15°,∠BCE=30°,AB∥EF，AB=24千米，∴∠CAD=45°，∠ACF=∠BAC=60°，∠ABC=∠BCE=30°，∴∠ACB=180°-∠ACF-∠BCE=90°，∴Rt△ACD是等腰直角三角形，∴AC =CD ，在Rt △ABC 中，AC =12AB =12千米，BC =AB ⋅cos30°=123千米，∴BD =BC -CD =BC -AC =123-12 千米，在Rt △BDM 中，DM =12BD =63-6 千米，答：输油管道的最短长度是63-6 千米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．15如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的(南北)宽AB =6.5米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是∠DAE =76.5°，最小夹角是∠DBE =29.5°．求遮阳蓬的宽CD 和到地面的距离CB ．参考数据：sin29.5°≈49100，cos29.5°≈87100，tan29.5°≈1425，sin76.5°≈97100，cos76.5°≈23100，tan76.5°≈215．【答案】CD =7.5米，BC =4.2米．【解析】【分析】过点D 作DF ⊥EB 于F ，解Rt △ADF ，得DF ≈215AF ，解Rt △BDF ，得DF ≈1425AF +6.5 ，所以215AF =1425AF +6.5 ，解得AF =1米，从而得DF =4.2米，再由矩形的性质求解即可．【详解】解：如图，过点D 作DF ⊥EB 于F ，在Rt △ADF 中，∠AFD =90°，∴DF =AF ⋅tan ∠FAD =AF ⋅tan76.5°≈215AF ，在Rt △BDF 中，∠BFD =90°，∴DF =BF ⋅tan ∠FBD =AF +AB ⋅tan29.5°≈1425AF +6.5 ，∴215AF =1425AF +6.5 ，解得：AF =1(米)，∴DF=215×1=4.2(米)，∴BF=AB+AF=6.5+1=7.5(米)，∵∠AFD=ABC=∠C=90°∴矩形BCDF，∴CD=BF=7.5米，BC=DF=4.2米．答：遮阳蓬的宽CD为7.5米，到地面的距离CB为4.2米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．162023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单(2022-2025年)》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑洛种驳岸(也叫护坡)．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度(结果精确到0.1m．参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解功能驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物驳岸剖面图相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE与CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD=135°，∠EDC= 60°，ED=6m，AE=1.5m，CD=3.5m计算结果交流展示【答案】BC的长约为1.4m,AB的长约为4.2m．【解析】【分析】过点E作EF⊥CD于点F，延长AB,DC交于点H，首先根据∠EDF的三角函数值求出EF =ED⋅sin∠EDF=33，FD=ED⋅cos∠EDF=3，然后得到四边形AEFH是矩形，进而得到CH=HF-CF=1.5-0.5=1，然后在Rt△BCH中利用∠BCH的三角函数值求出BC=CHcos∠BCH =2≈1.4m，进而求解即可．【详解】解：过点E作EF⊥CD于点F，延长AB,DC交于点H，∴∠EFD=90°．由题意得，在Rt△EFD中，∠EDF=60°,ED=6,sin∠EDF=EFED,cos∠EDF=FDED．∴EF=ED⋅sin∠EDF=6×sin60°=6×32=33．∴FD=ED⋅cos∠EDF=6×cos60°=6×12=3．由题意得，∠H=90°，四边形AEFH是矩形．∴AH=EF=33,HF=AE=1.5．∵CF=CD-FD=3.5-3=0.5，∴CH=HF-CF=1.5-0.5=1．∴在Rt△BCH中，∠H=90°,∠BCH=180°-∠BCD=180°-135°=45°．∵cos∠BCH=CHBC ,tan∠BCH=BHCH．∴BC=CHcos∠BCH =1cos45°=122=2≈1.4m．∴BH=CH⋅tan∠BCH=1×tan45°=1，∴AB=AH-BH=33-1≈3×1.73-1≈4.2m．答：BC的长约为1.4m,AB的长约为4.2m．【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．17一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯(灯杆底部不可到达)的高AB．如图所示，当小明爸爸站在点D处时，他在该景观灯照射下的影子长为DF，测得DF=2.4m；当小明站在爸爸影子的顶端F处时，测得点A的仰角α为26.6°．已知爸爸的身高CD=1.8m，小明眼睛到地面的距离EF=1.6m，点F、D、B在同一条直线上，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB．求该景观灯的高AB．(参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)【答案】4.8m【解析】【分析】过点E作EH⊥AB，垂足为H，根据题意可得：EH=FB，EF=BH=1.6m，然后设EH= FB=xm，在Rt△AEH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，从而求出AB的长，再根据垂直定义可得∠CDF=∠ABF=90°，从而证明A字模型相似三角形△CDF∽△ABF，最后利用相似三角形的性质可得AB=34x，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【详解】过点E作EH⊥AB，垂足为H，由题意得：EH=FB，EF=BH=1.6m，设EH=FB=xm，在Rt△AEH中，∠AEH=26.6°，∴AH=EH⋅tan26.6°≈0.5x(m)，∴AB=AH+BH=(0.5x+1.6)m，∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴∠CDF=∠ABF=90°，∵∠CFD=∠AFB，∴△CDF∽△ABF，∴CD AB =DF BF，∴1.8 AB =2.4x，∴AB=34x，∴34x=0.5x+1.6，解得：x=6.4，∴AB=34x=4.8(m)，∴该景观灯高AB约为4.8m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．18渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥(如图1)，桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD，如图2．在桥面上点A处，测得A到左桥墩D的距离AD=200米，左桥墩所在塔顶B的仰角∠BAD=45°，左桥墩底C的俯角∠CAD=15°，求CD的长度．(结果精确到1米．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【答案】CD的长度54米【解析】【分析】AD上截取AE，使得AE=EC，设CD=x，在Rt△ECD中，ED=3x，EC=2x，则AD= AE+ED=3+2x，进而即可求解．【详解】解：如图所示，AD上截取AE，使得AE=EC，∴∠EAC=∠ECA，∵∠CAD=15°∴∠CED=2∠EAC=30°，设CD=x，在Rt△ECD中，ED=3x，EC=2x∴AD=AE+ED=3+2x又AD=200∴200=3+2x∴x=2003+2=2002-3≈200×2-1.73=54即CD=54米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．。

A B CD 《解直角三角形》实际应用1、为了加快城市经济发展，某市准备修建一座横跨南北的大桥．如图10所示，测量队在点A 处观测河对岸水边有一点C ，测得C 在北偏东60°的方向上，沿河岸向东前行30米到达B 处，测得C 在北偏东45°的方向上，请你根据以上数据帮助该测量队计算出这条河的宽度(结果保留根号)．2、如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手B 离地面高度AB 为1.5m ，风筝飞到C 处时的线长BC 为30m ，这时测得∠CBD ＝60º．求此时风筝离地面的高度（精确到0.1m ，3≈1.73）．3、在一次数学测验活动中，小明到操场测量旗杆AB 的高度.他手拿一支铅笔MN ，边观察边移动（铅笔MN 始终与地面垂直）.如示意图，当小明移动到D 点时，眼睛C 与铅笔、旗杆的顶端M 、A 共线，同时，眼睛C 与它们的底端N 、B 也恰好共线.此时，测得DB=50m ，小明的眼睛C 到铅笔的距离为0.65m ，铅笔MN 的长为0.16m ，请你帮助小明计算出旗杆AB 的高度（结果精确到0.1m ）.4、光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min 的速度向正东方向行走，在A 处测得建筑物C 在北偏东60°方向上，20min 后他走到B 处，测得建筑物C 在北偏西45°方向上，求建筑物C 到公路AB 的距离．（已知3 1.732≈）5、阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。

请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种．．测量方案。

（1）所需的测量工具是： ； （2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB 的长度为x ，请用所测数据（用小写字母表示）求出x.6、如图，在上海世博会会场馆通道的建设中，建设工人将坡长10m (AB ＝10m )、坡角为20.5°(∠BAC ＝20.5°)的斜坡通道改造成坡角为12.5°(∠BDC ＝12.5°)斜坡通道，使坡的起点从点A 向左平移至点D 处，求改造后的斜坡通道BD 的长(结果精确到0.1m ，参考数据：sin12.5°≈0.21，sin20.5°≈0.35，sin69.5°≈0.94)．7、小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度 1.2CD =m ，0.8CE =m ，30CA =m （点A E C 、、在同一直线上）． 已知小明的身高EF 是1.7m ，请你帮小明求出楼高AB （结果精确到0.1m ）．A BDF（第20题图）北东AC B 北北C60° 45°。