吉林省延边2017-2018学年高二上学期期中数学(文科)试卷 Word版含解析

吉林省延边二中2018～2018学年度第一学期期中考试试卷高二文科数学试卷说明：1.本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分120分，答题时间120分钟。

2.本卷包括21小题，共8页。

其中，第Ⅰ卷是客观试题，共12题，每题4分，总计48分；第Ⅱ卷是主观试题，共9题，总计72分。

3.请将第Ⅰ卷的客观试题答案用2B 铅笔涂在答题卡的相应位置；主观试题答在试卷的相应位置。

一、单项选择题（在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

共12题，48分）1.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）A.x －y =0B.x +y =0C.|x |－y =0D.|x |－|y |=0 2.圆（x －1）2＋y 2＝1的圆心到直线y =33x 的距离是（ ） A.21B.23C.1D.33直线（23-）x +y =3和直线x +（32-）y =2的位置关系是（ ）A.相交不垂直B.垂直C.平行D.重合4. 曲线x 2+y 2+22x －22y =0关于（ ） A.直线x =2轴对称B.直线y =－x 轴对称C.点（－2，2）中心对称D.点（－2，0）中心对称5.椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ）A.－1B.1C.5D. －56.过抛物线y 2=8x 上一点P(2, －4)与抛物线仅有一个公共点的直线有 （ ） （A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）1条或3条7. 椭圆31222y x +=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（ ）A.±43 B.±23 C.±22D.±43 8. 如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A.（0，＋∞）B.（0，2）C.（1，＋∞）D.（0，1）9. 设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（ ）A.1B.25 C.2 D.510.设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的离心率为，且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -= Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -= Ｄ．22136x y -= 11. 设12F F ，分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=（ ）AB ．CD ．12. 设θ是三角形的一个内角，且1sin cos 5θθ+=，则方程22sin cos 1x y θθ-=表示（ ） （A ） 焦点在x 轴上的椭圆 （B ） 焦点在y 轴上的椭圆 （C ） 焦点在x 轴上的双曲线 （D ） 焦点在y 轴上的双曲线二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上。

2017-2018学年高二上学期期中试卷（文科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A 等于（ ）A ．135°B ．45°C ．135°或45°D ．60° 3．设a ＞b ，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．＜B ．a 3＞b 3C ．＞D ．a 2＞b 24．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3，a 4=2，则a 5等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．（﹣∞，2]∪[5，+∞）C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．[3，5]6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，则角A 是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，则S 12等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．148．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则等于（ ）A ．2B ．C ．D ．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A 、B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）甲 乙 原料限额 A （吨） 3 2 12 B （吨） 128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元 11．若等差数列{a n }的公差为2，且a 5是a 2与a 6的等比中项，则该数列的前n 项和S n 取最小值时，n 的值等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．712．定义算式⊗：x ⊗y=x （1﹣y ），若不等式（x ﹣a ）⊗（x+a ）＜1对任意x 都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．不等式x 2+x ﹣2＞0的解集为 ．14．在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n （n ≥1），则该数列的通项a n = ．15．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a=1，c=，∠A=30°，则b 等于 ．16．下列命题中：①在△ABC 中，sinA ＞sinB ，则A ＞B ；②若a ＞0，b ＞0，a+b=4，则的最大值为3；③已知函数f （x ）是一次函数，若数列{a n }的通项公式为a n =f （n ），则该数列是等差数列；④数列{b n }的通项公式为b n =q n ，则数列{b n }的前n 项和S n =．正确的命题的序号是 ．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，平面四边形ABCD 中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD 的长；（2）求∠ADC 的度数．18．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4=10，a 3=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm 2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm 为长度单位分米），上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm ．（1）若设版心的高为xdm ，求海报四周空白面积关于x 的函数S （x ）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2ccosA+a=2b ．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c 取最小值时，求△ABC 的面积．21．已知f （x ）=x 2+ax+b ，a ，b ∈R ，若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜0或x ＞2}．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式f （x ）＜m 2﹣1．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n =． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n =，求T n ；（Ⅲ）若存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．2017-2018学年高二上学期期中试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的函数特性．【分析】利用符号为（﹣1）n 与绝对值为即可得出．【解答】解：数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是a n =（﹣1）n．故选：D ．【点评】本题考查了数列的通项公式，参考老头老娘了与计算能力，属于基础题．2．已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°【考点】正弦定理．【分析】结合已知条件a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A【解答】解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选B【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形，属于容易题3．设a＞b，则下列不等式中恒成立的是（）A．＜B．a3＞b3C．＞D．a2＞b2【考点】不等式比较大小．【分析】A．取a=2，b=﹣1时不成立；B．利用函数y=x3在R上单调递增即可判断出正误．C．取a=2，b=1时不成立；D．取a=1，b=﹣2时不成立．【解答】解：A．取a=2，b=﹣1时不成立；B．由于函数y=x3在R上单调递增，∵a＞b，∴a3＞b3，成立．C．取a=2，b=1时不成立；D．取a=1，b=﹣2时不成立．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3，a 4=2，则a 5等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 6=3，a 4=2，∴6a 1+d=3，a 1+3d=2，解得a 1=﹣7，d=3． 则a 5=﹣7+3×4=5， 故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．（﹣∞，2]∪[5，+∞）C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．[3，5]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率， 由图象知OC 的斜率最小，OA 的斜率最大，由得，即A （1，5），此时OA 的斜率k=5，由得，即C （2，4），此时OC 的斜率k==2，即2≤≤5，则的取值范围是[2，5]，故选：A ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率是解决本题的关键．6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，则角A 是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理．【分析】直接利用余弦定理化简求解即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，由余弦定理可得：cosA=，解得A=．故选：A ．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．7．设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，则S 12等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14 【考点】等比数列的前n 项和．【分析】直接利用等比数列的性质，化简求解即可．【解答】解：等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，可得S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，也是等比数列，S 12﹣S 8===8．S 12=14． 故选：D ．【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用，考查计算能力．8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，可得，可得sin2A=sin2B ． 可得2A=2B 或2A+2B=π，即：A=B 或A+B=；故选：D ．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则等于（ ）A ．2B ．C ．D ．【考点】等差数列的性质．【分析】利用===，即可得出结论．【解答】解： =====，故选C．【点评】本题考查等差数列通项的性质，考查等差数列的求和公式，比较基础．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【考点】简单线性规划的应用．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z=3x+4y=6+12=18．max即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．11．若等差数列{an }的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和Sn取最小值时，n的值等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值．【解答】解：由a5是a2与a6的等比中项，可得a52=a2a6，由等差数列{an}的公差d为2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=﹣11，a n =a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…可得该数列的前n项和Sn取最小值时，n=6．故选：C．【点评】等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前n项和的最小值，属于中档题．12．定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【考点】二次函数的性质．【分析】由已知中算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），我们可得不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则（x﹣a）（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立则△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要条件是a＜0，△＜0构造一个关于a的不等式，是解答本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1} ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解出即可得出．【解答】解：不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜﹣2．∴不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1}．故答案为：{x|x＜﹣2或x＞1}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．在数列{an }中，若a1=1，an+1=2an（n≥1），则该数列的通项an= 2n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得，该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此求得它的通项公式．【解答】解：由于在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n （n ≥1），则该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，故它的通项公式为 a n =1×2n ﹣1=2n ﹣1，故答案为 2n ﹣1．【点评】本题主要考查等比数列的定义和通项公式，属于基础题．15．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a=1，c=，∠A=30°，则b 等于 1或2 ．【考点】正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得b 2﹣3b+2=0，进而可解得b 的值．【解答】解：∵a=1，c=，∠A=30°，∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得：1=b 2+3﹣2×b ×，整理可得：b 2﹣3b+2=0，∴解得：b=1或2． 故答案为：1或2．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．16．下列命题中：①在△ABC 中，sinA ＞sinB ，则A ＞B ；②若a ＞0，b ＞0，a+b=4，则的最大值为3；③已知函数f （x ）是一次函数，若数列{a n }的通项公式为a n =f （n ），则该数列是等差数列；④数列{b n }的通项公式为b n =q n ，则数列{b n }的前n 项和S n =．正确的命题的序号是 ①②③ ．【考点】命题的真假判断与应用；基本不等式；数列的函数特性；正弦定理．【分析】逐项判断．①利用正弦定理易得；②先平方在利用基本不等式即可；③由等差数列的函数特征易得；④易知当q=1时，结论不正确．【解答】解：①由正弦定理，当sinA＞sinB时，由 a＞b，故有A＞B，所以①为真；②≤9+（a+3）+（b+2）=18，所以“=”当且仅当“”成立，故②为真；③由等差数列的通项公式的函数特征知③正确；④易知，当q=1时结论不正确．总上可得①②③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查了正弦定理，基本不等式，等差数列的通项以及等比数列的前n项和问题．其中第2个命题的判断是本题难点．属于中档题．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）方法一：在△BCD中，由题意和正弦定理求出BD；方法二：由∠BDC=30°求出BC，利用条件和余弦定理列出方程，求出BD；（2）在△ABD中，利用条件和余弦定理求出cos∠ADB的值，结合图象求出∠ADC的度数．【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：，即…解得BD=3…方法二：由已知得∠BDC=30°，故…由余弦定理得：BD2=CD2+BC2﹣2CDBCcos∠BCD= …∴BD=3…（2）在△ABD 中，由余弦定理得：…∴∠ADB=45° … 由已知∠BDC=30°…∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查一题多解，化简、计算能力．18．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4=10，a 3=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）利用等差数列的通项公式即可得出． （II ）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d ，∵a 1+a 4=10，a 3=6．∴，解得， ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，∴．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm，求出海报四周空白面积．（2）利用基本不等式求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm…故海报四周空白面积为，…即S（x）=2x++8，x＞0…（2）由基本不等式得：…当且仅当时取等号…∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…【点评】本题考查实际问题选择函数的模型，基本不等式的应用，考查计算能力．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积；方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…∵A+B+C=π，∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…∴sinA=2sinAcosC，…∵sinA≠0，∴cosC=，…又∵C是三角形的内角，∴C=．…（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，…∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，…∴（当且仅当a=b=2时等号成立），…∴c的最小值为2，故．…方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴，…∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即 c2=a2+b2﹣ab，…∴，…又∵C是三角形的内角，∴c=．…（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a，由余弦定理得，c 2=a 2+b 2﹣ab=（a+b ）2﹣3ab ，…∴c 2=16﹣3a （4﹣a ）=3（a ﹣2）2+4，…∴当a=2时，c 的最小值为2，故． …【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力．21．已知f （x ）=x 2+ax+b ，a ，b ∈R ，若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜0或x ＞2}．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式f （x ）＜m 2﹣1． 【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）利用方程的根，列出方程组，即可求解a ，b 的值；（Ⅱ）化简不等式为乘积的形式，通过因式的根的大小对m 讨论，求解不等式的解集即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意可知，方程x 2+ax+b=0两根分别为0，2，…将两根代入方程得∴．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知不等式f （x ）＜m 2﹣1为x 2﹣2x ＜m 2﹣1， 即[x ﹣（1﹣m ）][x ﹣（1+m ）]＜0，…∴当m=0时，1﹣m=1+m ，不等式的解集为Φ；…当m ＞0时，1﹣m ＜1+m ，不等式的解集为{x|1﹣m ＜x ＜1+m}； … 当m ＜0时，1+m ＜1﹣m ，不等式的解集为{x|1+m ＜x ＜1﹣m}．… （如上，没有“综上所述…”，不扣分）【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n =． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n =，求T n ；（Ⅲ）若存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知数列的前n 项和，利用a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2）求数列的通项公式；（Ⅱ）把b n =变形，利用裂项相消法化简，代入S n =得答案；（Ⅲ）把a n 、T n 代入T n ﹣λa n ≥3λ，分离参数λ，利用不等式求得最值得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1==n ，当n=1时，a 1=S 1=1也符合上式，∴a n =n ；（Ⅱ）∵，∴=；（Ⅲ）∵存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，∴存在n ∈N *，使得成立，即有解，∴，而，当n=1或n=2时取等号，∴λ的取值范围为．【点评】本题考查数列递推式，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，训练了利用分离参数法求解数列恒成立问题，是中档题．。

2017-2018学年吉林省延边州汪清六中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共计60分）1．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．32．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=，A=30°，则B=（）A．60°或120°B．60°C．120° D．30°或150°3．（5分）等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15 B．30 C．31 D．644．（5分）在△ABC中，若c=2acosB，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形5．（5分）在数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，a15=﹣10，则a1=（）A．38 B．﹣38 C．18 D．﹣186．（5分）在△ABC中，已知a=1，C=30°，S△ABC=2，则b等于（）A．6 B．8 C．9 D．117．（5分）等差数列{a n}中，a2+a8=16，则{a n}的前9项和为（）A．56 B．96 C．80 D．728．（5分）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A．B．C．D．9．（5分）若等差数列{a n}满足a1+a3=﹣2，a2+a4=10，则a5+a7的值是（）A．﹣22 B．22 C．﹣46 D．4610．（5分）在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么A等于（）A．30°B．60°C．120° D．150°11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=π，则cos（a2+a8）的值为（）A．B．C．D．12．（5分）下列各组数，可以是钝角三角形的长的是（）A．6，7，8 B．7，8，10 C．2，6，7 D．5，12，13二、填空（每小题5分，共计20分）13．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=﹣5n+2，则其前n项和S n=．14．（5分）已知{a n}是等比数列，a3=2，a6=，则公比q=．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a=，则S△ABC=．16．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=．三、解答题（共计70分）17．（10分）已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．18．（12分）在△ABC中，已知b=8，c=3，．（Ⅰ）求a的值，并判定△ABC的形状；（Ⅱ）求△ABC的面积．19．（12分）已知等差数列{a n}中，a1=9，a4+a7=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当n为何值时，数列{a n}的前n项和取得最大值？20．（12分）已知△ABC的面积为，BC=2，∠ABC=，求△ABC的周长．21．（12分）设{a n}是等差数列，已知a10=30，a20=50．（1）求通项a n；（2）若，求数列{b n}的前20的和S20．22．（12分）已知数列{a n}满足，数列{b n}满足．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．2017-2018学年吉林省延边州汪清六中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共计60分）1．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．3【解答】解：∵S3=6=（a1+a3），且a3=a1+2d，a1=4，∴d=﹣2，故选：C．2．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=，A=30°，则B=（）A．60°或120°B．60°C．120° D．30°或150°【解答】解：∵a=1，b=，A=30°，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＞a∴∠B=60°或120°故选：A．3．（5分）等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15 B．30 C．31 D．64【解答】解：方法一：设公差等于d，由a7+a9=16可得2a1+14d=16，即a1+7d=8．再由a4=1=a1+3d，可得a1=﹣，d=．故a12 =a1+11d=﹣+=15，方法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a p+a q=a m+a n，即p+q=m+n∵a7+a9=a4+a12∴a12=15故选：A．4．（5分）在△ABC中，若c=2acosB，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【解答】解：利用余弦定理：则：c=2acosB=解得：a=b所以：△ABC的形状为等腰三角形．故选：B．5．（5分）在数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，a15=﹣10，则a1=（）A．38 B．﹣38 C．18 D．﹣18﹣a n=2，a15=﹣10，【解答】解：在数列{a n}中，a n+1可得数列{a n}为公差d为2的等差数列，即有a1+14d=﹣10，即a1=﹣10﹣14×2=﹣38．故选：B．6．（5分）在△ABC中，已知a=1，C=30°，S△ABC=2，则b等于（）A．6 B．8 C．9 D．11【解答】解：∵a=1，C=30°，S=2=absinC=，△ABC∴解得：b=8．故选：B．7．（5分）等差数列{a n}中，a2+a8=16，则{a n}的前9项和为（）A．56 B．96 C．80 D．72【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a8=16，得2a5=16，∴a5=8，则{a n}的前9项和S9=9a5=9×8=72．故选：D．8．（5分）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A．B．C．D．【解答】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=×﹣×=由正弦定理得：，∴PB==30（+），∴树的高度为PBsin45°=30（+）×=（30+30）m，答：树的高度为（30+30）m．故选：A．9．（5分）若等差数列{a n}满足a1+a3=﹣2，a2+a4=10，则a5+a7的值是（）A．﹣22 B．22 C．﹣46 D．46【解答】解：∵等差数列{a n}满足a1+a3=﹣2，a2+a4=10，∴，解得a1=﹣7，d=6，∴a5+a7=a1+4d+a1+6d=﹣7+24﹣7+36=46．故选：D．10．（5分）在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么A等于（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：由（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，变形得：（b+c）2﹣a2=3bc，整理得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：cosA==，又A为三角形的内角，则A=60°．故选：B．11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=π，则cos（a2+a8）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，a1+a5+a9=π，∴a1+a5+a9=3a5=π，解得，∴a2+a8=2a5=，∴cos（a2+a8）==﹣cos=﹣．故选：A．12．（5分）下列各组数，可以是钝角三角形的长的是（）A．6，7，8 B．7，8，10 C．2，6，7 D．5，12，13【解答】解：考察选项可知，三角形是钝角三角形最只可能是C与D中，验证选项C：最大角的余弦函数值为：=﹣＜0，满足题意的是选项C，选项D，是直角三角形的三个边长．故选：C．二、填空（每小题5分，共计20分）13．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=﹣5n+2，则其前n项和S n=﹣．【解答】解：a1=﹣3，a n+1﹣a n=﹣5（n+1）+2﹣（﹣5n+2）=﹣5，∴{a n}是首项为﹣3，公差为﹣5的等差数列，∴S n=na1+=﹣3n﹣=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知{a n}是等比数列，a3=2，a6=，则公比q=．【解答】解：根据题意，{a n}是等比数列，a3=2，a6=，则有q3===，解可得q=，故答案为：．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a=，则S△ABC=．【解答】解：a=，由正弦定理可得sinB===，由a＞b，可得A＞B，则B=，C=π﹣A﹣B=π﹣﹣=，=absinC=×××sin则S△ABC=×（×+×）故答案为：．16．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=45．【解答】解：a4+a5+a6=S6﹣S3=36﹣9=27，a4+a5+a6=（a1+3d）+（a2+3d）+（a3+3d）=（a1+a2+a3）+9d=S3+9d=9+9d=27，所以d=2，则a7+a8+a9=（a1+6d）+（a2+6d）+（a3+6d）=S3+18d=9+36=45．故答案为：45三、解答题（共计70分）17．（10分）已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．【解答】解：设此三个数分别为：a﹣d，a，a+d，由题意可得：a﹣d+a+a+d=15，（a﹣d）2+a2+（a+d）2=83，联立解得a=5，d=±2．∴此三个数分别为：3，5，7；或7，5，3．18．（12分）在△ABC中，已知b=8，c=3，．（Ⅰ）求a的值，并判定△ABC的形状；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）b=8，c=3，，可得a2=b2+c2﹣2bccosA=64+9﹣2×8×3×=64，解得a=8，则a=b，△ABC为等腰三角形；（Ⅱ）b=8，c=3，，可得A为锐角，即有sinA==，可得△ABC的面积为bcsinA=×8×3×19．（12分）已知等差数列{a n}中，a1=9，a4+a7=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当n为何值时，数列{a n}的前n项和取得最大值？【解答】解：（1）由a1=9，a4+a7=0，得a1+3d+a1+6d=0，解得d=﹣2，∴a n=a1+（n﹣1）•d=11﹣2n．（2）∵a1=9，d=﹣2，S n=9n+•（﹣2）=﹣n2+10n=﹣（n﹣5）2+25，∴当n=5时，S n取得最大值．20．（12分）已知△ABC的面积为，BC=2，∠ABC=，求△ABC的周长．【解答】解：设三角形的A，B，C所对边分别为a，b，c，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accos60°，化为b2=c2﹣2c+4，又acsin60°=，化为c=1，可得b2=3，即b=，∴a+b+c=2++1=3+，∴△ABC的周长是3+．21．（12分）设{a n}是等差数列，已知a10=30，a20=50．（1）求通项a n；（2）若，求数列{b n}的前20的和S20．【解答】解：（1）设公差为d，则a20﹣a10=10d=20，∴d=2．∴a10=a1+9d=a1+18=30，∴a1=12．∴a n=a1+（n﹣1）d=12+2（n﹣1）=2n+10．（2）=n+4，可得数列{b n}是等差数列．∴数列{b n}的前20的和S20==29．22．（12分）已知数列{a n}满足，数列{b n}满足．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】（1）证明：n≥2时，由a n=，取倒数可得：=+2，又，=2．b1==1．∴b n﹣b n﹣1∴数列{b n}是等差数列，首项为1，公差为2．（2）解：由（1）可得：b n=1+2（n+1）=2n﹣1．∴=2n﹣1，解得a n=．。

2017-2018学年度第二学期高二级文科数学期中试题答案一、选择题：CBCA DADC BDCB 二、填空题：13.1; 14.b 21+a 41 ；15,-1；16.26、【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用，采用中间值大小比较方法.【解析】ln ln 1e π>=，51log 2log 2<，1212z e -===，故选答案A.9、【解析】由12n n S a +=可知 ，当1n =时得211122a S == 当2n ≥时，有12n n S a += ① 12n n S a -= ②①－②可得122n n n a a a +=-即132n n a a +=，故该数列是从第二项起以12为首项，以32为公比的等比数列，故数列通项公式为2113()22nn a -⎧⎪=⎨⎪⎩(1)(2)n n =≥， 故当2n ≥时，1113(1())3221()3212n n n S ---=+=- 当1n =时，11131()2S -==，故选答案B本题还有其它方法11．圆222210x x y y -+-+=的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点(3,2)P 向这个圆作两条切线，则点P 到圆心M 的距离等于5，每条切线与PM 的夹角的正切值等于21，所以两切线夹角的正切值为1242tan 1314θ⋅==-，该角的余弦值等于35，选B.（不排除其它方法）15、答案：1-（y 的系数是负的）；三、解答题 17.解：（1）211cos 22cos 1212cos 2cos 22+-++=++A A A A 2c o s c o s 22A A += ……2分505153212592=⋅+⋅= ……………… 5分 （2）,2,4sin 21===b A bc S ABC ∆中，54cos 1sin 2=-=A A ……… 7分代入解得5=c …… 8分 由余弦定理得： 1753522254cos 222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ………10分 17=∴a ………11分18． 【解析】（1）由312S =，530S =得：11331251030a d a d +=⎧⎨+=⎩……2分解得：12,2a d ==……4分 所以2n a n =.……5分 （2）因为11111()(1)(1)(21)(21)22121n n a a n n n n ==--+-+-+……7分所以1111133557(21)(21)n T n n =++++⨯⨯⨯-⋅+111111111[()()()()]21335572121n n =-+-+-++--+……9分 11(1)22121n n n =-=++.……11分 19【解析】(1)由已知得1//2EF AB EF AB =且 取AD 的中点G,连结GH,GF则1GH//2AB AB =且GH//,EF GH EF GH EFGH ∴=∴且即为平行四边形FG//EH ，,平面且平面EH ADF FG ADF ⊄⊂∴E H∥平面EAD …………4分 (2)EH ABCD ⊥平面,且FG//EH,FG ABCD FG ADF ∴⊥⊂平面且平面ADF ABCD ∴⊥平面平面 …………8分(3) 由（1）（2）可得，平行四边形EFGH 为矩形， ∴HG ⊥FG，有∵HG⊥AD，∴HG⊥平面EAD ∴EF⊥平面EAD ，∴EF 为三棱锥E-ADE 的高且EF=GH=1，又因为1=××21=ΔEG AD S EAD ，∴31=1•1•31=AFD E V -. …………12分20（一）直接法（除了原点）的轨迹方程为所以点，设根据垂径定理020)2(),2(),(),2(),,(),(90222=-+∴=--∙=--∙=∙∴--==∴=∠x y x M y x x y x y x y x y x y x M OMC点评：挖掘圆的几何特征：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，一定联想垂径分弦定理，挖掘出CM OA ⊥，再把CM OA ⊥坐标化的方法：（优选方法（1） （1）向量转化法：0CM OA ⋅=;(2)斜率转化法：分类有无斜率利用1CM OA k k ⋅=-；（3）勾股定理：222OM MC OC +=直接法：根据已知条件找到一个等式，只要将有关的点代入等式，等式里除了所求点的坐标为(x,y),其它点的坐标已知，化简此等式就是所求点的轨迹方程（二）定义法（除了原点））的轨迹方程为（所以点），半径中点（圆心为）为直径的圆（除了原点的轨迹为以点，设根据垂径定理11-1||211,0),(9022=+∴==∴=∠y x M OC r OC OC M y x M OMC定义法：根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，判断点的轨迹符合每个曲线的性质，在使用待定系数法求出轨迹方程,CM OA ⊥∴点M 在以OC 为直径的圆上（下略）这是：利用圆的性质（直径所对的圆周角是直角的逆定理） （三）相关点代入法（除了原点））即（）（（（上在曲线（点中点为设11-42)224)24)2),(22220220),(,),(22222020220000000000=+=+-∴=+-∴=+-⎩⎨⎧==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=∴y x y x y x y x y x A y y xx y y y x x x OA M y x A y x M相关点代入法：已知某点A 的曲线方程，找出所求点P 坐标与点A 坐标之间的关系，用点P 坐标表示点A 坐标，代入点A 所在的曲线方程并化简。

上学期期中考试数学（文）学科考试说明： 1.考试时间为120分钟，满分150分，选择题涂卡。

2.考试完毕交答题卡。

第Ⅰ卷一、选择题（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）1．已知椭圆的标准方程22110y x +=，则椭圆的焦点坐标为（ ）A ．(10,0)，(10,0)- B.(0,10)，(0,10)- C ．(0,3)，(0,3)- D ．(3,0)，(3,0)- 2．双曲线2x 2-y 2=8的实轴长是（ ）A. 2B. 22C. 4D. 423．已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的焦点到渐近线的距离为4，则双曲线C 的虚轴长为（ ）A. 4B. 8C. 45D. 254．抛物线y=a x 2的准线方程为y=2，则实数a 的值为A. －18B. 18C. 8D. －85．从一批产品中取出三件，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）A. A 与C 互斥B. B 与C 互斥C. 任两个均互斥D. 任两个均不互斥6．下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A. 回归直线一定过样本中心(),x yB. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适C. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好D. 甲、乙两个模型的2R 分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好7．设经过点()2,1M 的等轴双曲线的焦点为12,F F ，此双曲线上一点N 满足12NF NF ⊥，则12NF F ∆的面积为（ ）A.2 B.3 C. 2 D. 38．已知椭圆，是椭圆的右焦点，为左顶点，点在椭圆上，轴，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.9．已知直线l 过点()3,2P -且与椭圆22:12016x y C +=相交于,A B 两点，则使得点P为弦AB 中点的直线斜率为（ ）A ．35-B ．65-C ．65D ．3510．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是A. 916B. 12C. 716D. 3811．方程11422=-+-t y t x 表示的曲线为C ，给出下面四个命题，其中正确命题的个数是（ ）①若曲线C 为椭圆，则1＜t ＜4；②若曲线C 为双曲线，则t ＜1或t ＞4；③曲线C 不可能是圆；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则251<<t 。

2017-2018学年度第一学期第一次阶段检测高二数学（满分120分，时间90分钟）一、选择题（每小题4分，共48分，每题只有一项是符合要求的）1．在ABC中，a 2,b 2,A 450，则B等于() A．450B．300C．600D．300或15002．已知各项均为正数的等比数列，，则的值为()a1a 16a a2aa n958A．16 B．32 C．48 D．64x y 23．设变量x,y满足约束条件3x 0，则z2x y的最小值为()y6y 3A．－7 B．－6 C．－1 D．2 4．下列命题中正确的是()A．若a,b,c是等差数列，则log2a,l og b,log c是等比数列22B．若a,b,c是等比数列，则log2a,l og b,log c是等差数列22C．若a,b,c是等差数列，则2a,2b,2c是等比数列D．若a,b,c是等比数列，则2a,2b,2c是等差数列5.已知公差不为0的等差数列a满足nSSa2，S 为数列3a a14nna的前n项和，则32SS53的值为（）A.2B.3C. 2D. 36．已知不等式x22x 30的整数解构成等差数列a的前三项，则数列的第项为a 4n n()A．3 B．－1 C．2 D．3或－17．已知ABC中，三内角A,B,C依次成等差数列，三边a,b,c成等比数列，则ABC是() A．直角三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形8．关于x的不等式x2ax6a0的解集是x m x n，且n m5，则实数a的取值范围是()A．- 1 -C ．(－25，－24)∪(0,1)D ．x 2, x 0 9．已知函数则不等式的解集为( )f (x )f (x )x 2x 2, x 0A ．B ．C ．D ．10.已知数列中，，前 项和为 S ，且点在直线aP a anNx y 1an*11,nnnn 111 1 1 上，则.... （）SSS S123nn n122nn A.B.C.D.2 n n 1n 1 2n 111．一个等比数列前三项的积为 2 ，最后三项的积为 4 ，且所有项的积为 64 ，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项T 分别为数列a与数列12. 【2016河北衡水中学高三一调，理】已知S 和b 的前n 项和，nnnn且 S eSe ，T 取得最大值时，n 的值为（）ae 4 ，5 ae ，(nN ) ，则当bn1nn 1nnA ．4B ．5C ．4或 5D ．5或 6二、填空题（每小题 4分，共 16分．将最简答案填在答题纸相应位置） 13.在 ABC 中, 角 A , B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,且 c4 2, B 45,面积 S 2 ,则b________． 14．已知为等比数列的前 项和，且,则Sa 4aaa nS 3 8,S7..._______ nn6591115．已知数列中，， a11 ，则 a 16 ________a1anna2n16．已知 a[1,1]，不等式 x 2 (a 4)x 4 2a 0 恒成立，则 x 的取值范围为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 56分).17.（ 本 题 满 分 10分 ） 已 知a是 公 差 为3的 等 差 数 列 ,数 列b 满 足nn1b =1，b = ，a bbnb ,.12n n 1n 1n3（I ）求a 的通项公式；n（II ）求b 的前 n 项和.n- 2 -18．(本小题满分10分)已知函数f(x)ax24ax3.(1)当a1时，求关于x的不等式f(x)0的解集；(2)若对于任意的x R，均有不等式f(x)0成立，求实数a的取值范围．19．(本小题满分12分)已知ABC的周长为21，且sin B sin C2sin A.(1)求边BC的长；1(2)若ABC的面积为sin A，求角的大小．A620.(本小题满分12分)已知为数列的前项和，且Sa nn na2S a a n n Nn32(31,*)21n(1)求证：为等比数列；(2)求数列的前项和.a2n a n Sn n n21．(本小题满分12分)已知定义域为[0,1]的函数f(x)是增函数，且f(1)1.(1)若对于任意x[0,1]，总有4f2(x)4(2a)f(x)54a0，求实数a的取值范围；- 3 -12 n(2)证明：2) 1.f ( ....2223n 1答案1B 2D 3A 4C 5C 6D 7D 8D 9A10C 11B 12C7113【答案】5 14答案：－15答案：16答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)823117.【答案】（I ） a3n1（II ）.n2 23n118.解：(1)当 a ＝－1时，不等式 ax 2－4ax －3>0，即－x 2＋4x －3>0.可化为 x 2－4x ＋3<0，即(x －1)(x －3)<0，解得 1<x <3， 故不等式 f (x )>0的解集为(1,3)．(2)①当 a ＝0时，不等式 ax 2－4ax －3≤0恒成立； ②当 a ≠0时，要使得不等式 ax 2－4ax －3≤0恒成立； 只需Error!即Error!3 解得Error!即－ ≤a <0，43综上所述，a 的取值范围为[，0].－ 419.解：(1)由正弦定理，得 AC ＋AB ＝ 2BC .∵AB ＋BC ＋AC ＝ 2＋1， ∴ 2BC ＋BC ＝ 2＋1，BC ＝1. 11(2)∵S △ABC ＝ AC ·AB ·sin A ＝ sin A ，2 6 1∴AC ·AB ＝ . 3又 AC ＋AB ＝ 2，由余弦定理，得 AC 2＋AB 2－BC 2 cos A ＝2AC ·ABAC ＋AB 2－2AC ·AB －BC 2 ＝2AC ·AB2 2－ －13 1 ＝ ＝ ， 2 23∴A＝60°.20.解：(1)由a n＋1＝3a n－2n可得a n＋1－2n＋1＝3a n－2n－2n＋1＝3a n－3·2n＝3(a n－2n)，- 4 -a n＋1－2n＋1即＝3.a n－2n又a2＝3a1－2，则S2＝a1＋a2＝4a1－2，得a2＋S2＝7a1－4＝31，得a1＝5，a n＋1－2n＋1∴a1－21＝3≠0，且＝3.a n－2n故{a n－2n}为等比数列．(2)由(1)可知a n－2n＝3n－1(a1－21)＝3n，故a n＝2n＋3n，21－2n31－3n3n＋1 7 ∴S n＝＋＝2n＋1＋－.1－2 1－3 2 221.解：(1)f(x)在上是增函数，则f(x)≤f(1)＝1，故1－f(x)≥0，当f(x)＝1时，不等式化为0·a＋1≥0，显然a∈R；当f(x)<1时，不等式化为4f2x－8f x＋5a≤对于x∈恒成立．4－4f x4f2x－8f x＋5设y＝4－4f x1＝1－f(x)＋≥1.4[1－f x]1 当且仅当f(x)＝时取等号，2∴y min＝1，从而a≤1，综上所述，a∈(－∞，1]．1 2 n(2)令T n＝＋＋…＋，①22 23 2n＋11 12 n－1 n 则T n＝＋＋…＋＋，②2 23 24 2n＋1 2n＋21 1 1 n 1 n ①－②化简得，T n＝＋＋…＋－＝1－－<1，2 22 2n2n＋1 2n2n＋1又由①知T n>0，∵f(x)在上是增函数，1 2 n( 2n＋1)<f(1)＝1.∴f＋＋…＋22 23- 5 -。

吉林省2017—2018学年高二数学上学期期中试题文（扫描版）吉林省实验中学2017--—2018学年度上学期高二年级数学学科(文）期中考试试题答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13)2π；（14）10)2(22=+-y x ；（15）8；(16）16322=-y x ． 三、解答题：（17）(本小题满分10分）解:（1）∵ 点P （a ,a +1）在圆上，∴ 045)1(144)1(22=++--++a a a a ， ∴ 4=a , P （4，5），∴ 102)35()24(||22=-++=PQ , K PQ ＝314253=---. -—-————-5分(2)∵ 圆心坐标C 为（2，7）， ∴ 24)37()22(||22=-++=QC ，∴ 262224||max =+=MQ ，222224min ||=-=MQ 。

-——-——10分（18）(本小题满分12分）解：因为)(q p ⌝∧为真命题，所以p 是真题并且q 是假命题 ———-——--2分由p 真，1≥-a 解得 1-≤a -—---————6分由q 假，得12142≤+a ，即22≤≤-a —-------—10分综上，12-≤≤-a ——---—-——-12分（19）（本小题满分12分）解：由对称性可知，不妨设渐近线方程：0=-ay bx —-———-——-2分则12222==+cbb a b ， —————-—---—-4分 所以22224b a bc +==，即223b a = 又因为2=a ，所以34,422==b a 所以双曲线方程为:223144x y -= —--——-—----12分 （20）（本小题满分12分） 解:（Ⅰ)，得消去y y x mx y ⎩⎨⎧=++=1422 012522=-++m mx x ， 0)1(54422≥-⨯-=∆m m解得]25,25[--—-—--——6分 （Ⅱ)设直线与椭圆交点),(),,(2211y x B y x A ，则51,5222121-=-=+m x x m x x 2516202)5)1(4254(2||222m m m AB -⨯=--= ]25,25[-∈m .5102||0max ==∴AB m 时，当此时，l 的方程为x y =。

2017-2018学年吉林省延边二中高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分，每题只有一项是符合要求的）1．（4分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 2．（4分）如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为真命题3．（4分）与命题“若a∈M则b∉M”的等价的命题是（）A．若a∉M，则b∉M B．若b∉M，则a∈M C．若a∉M，则b∈M D．若b ∈M，则a∉M4．（4分）已知+=1，（x＞0，y＞0），则x+y的最小值为（）A．12 B．14 C．16 D．185．（4分）在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．6．（4分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则D．若a＜b＜0，则7．（4分）已知数列{a n}满足…=（n∈N*），则a10=（）A．1026 B．1029 C．1032 D．10358．（4分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．49．（4分）已知集合A={x|x2+2x﹣3≤0}，B={x|（x﹣2a）[x﹣（a2+1）]≤0}，且A⊊B，则实数a的取值范围是（）A．[﹣）B．（）C．（]D．（）10．（4分）设集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是（）A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞5 11．（4分）一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前55个圈中的●的个数是（）A．10 B．9 C．8 D．1112．（4分）在△ABC中，若，则△ABC的面积的最大值为（）A．8 B．16 C．D．二、填空题（每小题4分，共16分．将最简答案填在答题纸相应位置）13．（4分）关于x的不等式﹣x2+3x+10＞0的解集为．14．（4分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为．15．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值等于．16．（4分）设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）. 17．（10分）已知关于x的不等式|x﹣1|+|x+3|≤m的解集不是空集，记m的最小值为t．（Ⅰ）求t的值；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+3|＞|x﹣a|的解集包含[﹣1，0]，求实数a的取值范围．18．（10分）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土．为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持40海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一艘某国海上保安厅舰船C．（1）求cos∠ACB的值；（保留2个有效数字，=1.14，=1.732）（2）海监船B奉命以每小时45海里的速度前往C处对某国舰船进行驱逐，那么海监船B到达C处最少需要多少时间？（假定舰船C在原处不动，结果保留一位小数）19．（12分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．20．（12分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．21．（12分）解关于x的不等式（a∈R）．附加题22．（20分）设数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n﹣n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）若c1=1，b n=c n+1﹣c n=，d n=求证：数列{b n•d n}的前n项和S n．2017-2018学年吉林省延边二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分，每题只有一项是符合要求的）1．（4分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．2．（4分）如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为真命题【解答】解：¬（p或q）为假命题，则p或q为真命题所以p，q至少有一个为真命题．故选：C．3．（4分）与命题“若a∈M则b∉M”的等价的命题是（）A．若a∉M，则b∉M B．若b∉M，则a∈M C．若a∉M，则b∈M D．若b ∈M，则a∉M【解答】解：由原命题和逆否命题是等价命题，知“若a∈M则b∉M”的等价命题是“若b∈M，则a∉M”，故选：D．4．（4分）已知+=1，（x＞0，y＞0），则x+y的最小值为（）A．12 B．14 C．16 D．18【解答】解：∵+=1，（x＞0，y＞0），则x+y=（x+y）（）=10+≥10+2=18，当且仅当即x=6，y=12时，等号成立．故x+y的最小值为18．故选：D．5．（4分）在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠ABC=，AB=，BC=3，∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣6=5，∴AC=，则由正弦定理=得：sin∠BAC==．故选：C．6．（4分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则D．若a＜b＜0，则【解答】解：A，当c=0时，有ac2=bc2 故错．B 若a＜b＜0，则a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，a2＞ab；ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，ab ＞b2，∴a2＞ab＞b2故对C 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知，故错．D 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知，故错故选：B．7．（4分）已知数列{a n}满足…=（n∈N*），则a10=（）A．1026 B．1029 C．1032 D．1035【解答】解：数列{a n}满足…=（n∈N*），∴n≥2时，…=，∴=，可得：lga n=3n+2，∴a n=103n+2．∴a10=1032．故选：C．8．（4分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．4【解答】解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．9．（4分）已知集合A={x|x2+2x﹣3≤0}，B={x|（x﹣2a）[x﹣（a2+1）]≤0}，且A⊊B，则实数a的取值范围是（）A．[﹣）B．（）C．（]D．（）【解答】解：∵集合A={x|x2+2x﹣3≤0}={x|﹣3≤x≤1}，a2+1≥2a，∴当a2+1=2a时，B={x|（x﹣2a）[x﹣（a2+1）]≤0}={x|2a≤x≤a2+1}，且A⊊B，∴，解得a．当a2+1=2a，即a=1时，B={2}，不满足A⊊B．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．故选：C．10．（4分）设集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是（）A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞5【解答】解：∁U B={（x，y）|x+y﹣n＞0}∵P（2，3）∈A∩（∁U B）∴2×2﹣3+m＞0，2+3﹣n＞0∴m＞﹣1，n＜5故选：A．11．（4分）一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前55个圈中的●的个数是（）A．10 B．9 C．8 D．11【解答】解：将圆分组：第一组：○●，有2个圆；第二组：○○●，有3个圆；第三组：○○○●，有4个圆；…每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n组圆的总个数为s n=2+3+4+…+（n+1）=×n，令s n=55，解得n≈9.6，即包含9整组，故含有●的个数是9个，故选：B．12．（4分）在△ABC中，若，则△ABC的面积的最大值为（）A．8 B．16 C．D．【解答】解：△ABC中，，设A、B、C所对边分别为a，b，c，则c•b•cosA=a=8①；所以△ABC的面积为：S△ABC=bcsinA=bc=bc=，由余弦定理可得b2+c2﹣2bc•cosA=a2=64②，由①②消掉cosA得b2+c2=80，所以b2+c2≥2bc，bc≤40，当且仅当b=c=2时取等号，所以S=≤=8，△ABC所以△ABC面积的最大值为8．故选：D．二、填空题（每小题4分，共16分．将最简答案填在答题纸相应位置）13．（4分）关于x的不等式﹣x2+3x+10＞0的解集为{x|﹣2＜x＜5} ．【解答】解：不等式﹣x2+3x+10＞0化为x2﹣3x﹣10＜0，即（x+2）（x﹣5）＜0，解得﹣2＜x＜5，∴不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．故答案为：{x|﹣2＜x＜5}．14．（4分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．15．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值等于．【解答】解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==×≥．故答案为：．16．（4分）设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最大值为．【解答】解：因为二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），所以⇒ac=4⇒c=，所以===1+由于a+≥12（当且仅当a=6时取等号）所以1+≤1+=．故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）.17．（10分）已知关于x的不等式|x﹣1|+|x+3|≤m的解集不是空集，记m的最小值为t．（Ⅰ）求t的值；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+3|＞|x﹣a|的解集包含[﹣1，0]，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为|x﹣1|+|x+3|≥|（x﹣1）﹣（x+3）|=4，当且仅当﹣3≤x≤1时取等号，故m≥4，即t=4．…（5分）（Ⅱ）x∈[﹣1，0]．则x﹣1＜0．x+3＞0．由已知得1﹣x+x+3＞|x﹣a|在x∈[﹣1，0]上恒成立，∴x﹣4＜a＜x+4在x∈[﹣1，0]上恒成立，∴﹣4＜a＜3．∴实数a的取值范围是（﹣4，3）…（10分）18．（10分）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土．为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持40海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一艘某国海上保安厅舰船C．（1）求cos∠ACB的值；（保留2个有效数字，=1.14，=1.732）（2）海监船B奉命以每小时45海里的速度前往C处对某国舰船进行驱逐，那么海监船B到达C处最少需要多少时间？（假定舰船C在原处不动，结果保留一位小数）【解答】解：（1）过B作BD⊥AC 于D，由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=105°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°，所以cos∠ACB=0.87；（2）在Rt△ABD中BD=AB•sin∠BAD=40×=20（海里），在Rt△BCD中，BC===40（海里）∴海监船B需要=1.3小时，答：海监船B赶往C处最少需要1.3小时．19．（12分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：当P为真时，a=0，或，解得：a∈[0，4）﹣﹣（3分）当Q为真时，△=1﹣4a≥0．解得：a∈（﹣∞，]﹣﹣（6分）如果p∨q为真，p∧q为假，即p和q有且仅有一个为真，﹣﹣（8分）当p真q假时，a∈（，4）当p假q真时，a∈（﹣∞，0）a的取值范围即为：（﹣∞，0）∪（，4）﹣﹣（12分）20．（12分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20解得或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n，∴b n=a n+log a n=a n﹣n，∴S n=﹣=2n+1﹣2﹣，21．（12分）解关于x的不等式（a∈R）．【解答】解：显然当a=0时，原不等式是不成立的．当a≠0时原不等式可化为，即，等价于[（a﹣1）x﹣（2a﹣1）]（x﹣1）＞0（*），当a=1时，（*）式可转化为﹣（x﹣1）＞0，即x﹣1＜0，即x＜1．当a＞1时，（*）式可转化为．当a＜1时，（*）式可转化为．又当a≠1时，，所以当a＞1或a＜0时，；当a=0时，；当0＜a＜1时，．综上，当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜1或；当a=1时，原不等式的解集为{x|x＜1}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为；当a=0时，原不等式的解集为∅；当a＜0时，原不等式的解集为．附加题22．（20分）设数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n﹣n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）若c1=1，b n=c n+1﹣c n=，d n=求证：数列{b n•d n}的前n项和S n．+A（n+1）+B=2（a n+An+B）【解答】解：（1）此时我们不妨设a n+1=2a n+An﹣A+B与已知条件式比较系数得A=﹣1，B=0．即a n+1∴a n﹣（n+1）=2（a n﹣n）又a1﹣1=2，+1∴{a n﹣n}是首项为2，公比为2的等比数列．∴．（2）证明：由（1）知，∴．当n≥2时，c n=c1+（c2﹣c1）+（c3﹣c2）+…+（c n﹣c n﹣1）=1+b1+b2+…+b n﹣1=+…+==2﹣．当n=1时，c1=1也适合上式，所以，故．2n+1﹣2≥2n，2n+1﹣1≥3，∴，∴．。

2017-2018学年高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．24．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．27．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．259．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．13．（5分）=．14．（5分）若正数a，b满足a+b=1，则+的最小值为．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．17．（5分）过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）【分析】分别求出集合A和集合B中不等式的解集，求出两个解集的公共部分即为两个集合的交集．【解答】解：由集合B可知x﹣1＞0即x＞1；由集合A可知|x|≤2即﹣2≤x≤2．所以B∩A={x|1＜x≤2}故选C．【点评】本题是一道以求不等式的解集为平台，求集合交集的基础题，也是高考中的基本题型．2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b【分析】根据平面的基本性质，可判断A；根据面面垂直的性质定理可判断B；根据线面平行的判定定理可判断C；根据异面直线夹角的定义，可判断D【解答】解：三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面或三个平面，故A 错误；若平面α⊥β，且α∩β=l，由面面垂直的性质定理可得：过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β，故B正确；若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α或m⊂α，故C错误；若直线a与直线b平行，且直线a⊥l，则l⊥b，故D错误；故选：B【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面的基本性质，面面垂直的性质定理，线面平行的判定定理，异面直线夹角的定义，难度不大，属于基础题．3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．2【分析】首先根据已知题意分析圆心与半径．通过直线与圆相交构造一个直角三角形．直角边分别为半弦长，弦心距．斜边为半径．按照勾股定理求出半弦长，然后就能求出弦长．【解答】解：根据题意，圆为x2+y2﹣4y=0故其圆心为（0，2），半径为：2圆心到直线的距离为：d==由题意，圆的半径，圆心到直线的距离，以及圆的弦长的一半构成直角三角形故由勾股定理可得：l=2=2故选：B．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，首先根据圆分析出圆的要素，然后根据直线与圆相交时构造的直角三角形按照勾股定理求出结果．属于基础题4．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【分析】对两个条件，“cosA+sinA=cosB+sinB”与“C=90°”的关系，结合三角函数的定义，对选项进行判断【解答】解：“C=90°”成立时，有A+B=90°，故一定有“cosA+sinA=cosB+sinB”成立又当A=B时cosA+sinA=cosB+sinB”成立，即“cosA+sinA=cosB+sinB”得不出“C=90°”成立所以“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要非充分条件故选B．【点评】本题考查充要条件，解答本题要熟练理解掌握三角函数的定义，充分条件，必要条件的定义，且能灵活运用列举法的技巧对两个命题的关系进行验证，本题考查了推理论证的能力，解题时灵活选择证明问题的方法是解题成功的保证．5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图想象出空间几何体，代入数据求值．【解答】解：如图所示，四面体为正四面体．是由边长为1的正方体的面对角线围成．其边长为，则其表面积为4×（××）=2．故选D．【点评】本题考查了学生的空间想象力，属于中档题．7．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：D．【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力，属于基础题．8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．25【分析】根据等差数列的性质，我们可将a k=a1+a2+a3+…+a7，转化为a k=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得a k=7a4=21d，进而求出k值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据a4是数列前7项的平均项（中间项）将a k=a1+a2+a3+…+a7，化为a k=7a4，是解答本题的关键．9．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣【分析】条件“||=||”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=||2，•=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法．【解答】解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．【点评】若非零向量，，满足||=||，则．模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积．向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3【分析】利用函数f（x）的单调性以及f（0）=3，f（3）=﹣1，求出集合P，Q 的解集，利用充分条件和必要条件的定义进行求解．【解答】解：∵f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，∴不等式﹣1＜f（x+t）＜3，等价为f（3）＜f（x+t）＜f（0），即3＞x+t＞0，解得﹣t＜x＜3﹣t，即P={x|﹣t＜x＜3﹣t}．由f（x）＜﹣1得f（x）＜f（3），即x＞3，∴Q={x|x＞3}，∵“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，∴﹣t≥3，即t≤﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，考查充分条件和必要条件的应用，利用函数的单调性先求解集合P，Q的等价条件是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为12．【分析】由方差的性质得2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为22×3=12．【解答】解：∵数据组k1，k2…k8的平均数为3，方差为3，∴2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为：22×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．【分析】甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，先做出甲和乙都抽到判断题的概率，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题， ∵甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为， ∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1﹣= 故答案为：． 【点评】本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，考查对立事件的概率．13．（5分）= ．【分析】考查已知条件和要求的表达式，不难得到结果．【解答】解：因为1﹣sin 2x=cos 2x ，所以又=，所以= 故答案为：【点评】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．14．（5分）若正数a ，b 满足a +b=1，则+的最小值为 ． 【分析】变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数a ，b 满足a +b=1，∴（3a +2）+（3b +2）=7．∴+===，当且仅当a=b=时取等号． ∴+的最小值为． 故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．【分析】等比数列{a n}中，公比q=2，可得a1a10=a2a9=...=a5a6=．由log2a1+log2a2+...+log2a10=35，利用对数的运算性质可得log2（a1a2 (10)==35，化为=27，可得a1．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{a n}中，公比q=2，∴a1a10=a2a9=…=a5a6=．∵log2a1+log2a2+…+log2a10=35，∴log2（a1a2…a10）==35，∴=27，∴a1=．∴a1+a2+…+a10==．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的性质通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是①③④（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．【分析】根据向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质可判断①，根据向量数量积的定义，及充要条件的定义，可判断②；根据否命题的定义，可判断③；根据向量数量积运算法则及向量模的定义，可判断④【解答】解：①非零向量、满足||=||=||，则以，为邻边的平行四边形为菱形，且，的夹角为60°，根据菱形的对角线平分对角，可得与的夹角为30°，故①正确； ②•＞0，、的夹角为锐角或0，故•＞0，是、的夹角为锐角的必要不充分条件，故②错误；③命题“若m 2+n 2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”，故③正确；④若（）===0，即，即AB=AC ，则△ABC 为等腰三角形，故④正确．故答案为：①③④【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质，向量数量积的定义，充要条件的定义，否命题的定义，向量数量积运算法则及向量模的定义，是向量与逻辑的综合应用，难度中档．17．（5分）过点（2，3）且与直线l 1：y=0和l 2：都相切的所有圆的半径之和为 42 ．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用条件列出方程组，求出圆的半径即可．【解答】解：因为所求圆与y=0相切，所以设圆的圆心坐标（a ，r ），半径为r ，l 2：化为3x ﹣4y=0． 所以，解②得a=﹣r ，或a=3r ，由a=﹣r 以及①可得：a 2+14a +13=0，解得a=﹣1或a=﹣13，此时r=3或r=39， 所有半径之和为3+39=42．由a=3r以及①可得：9r2﹣18r+13=0，因为△=﹣144，方程无解；综上得，过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为：42．故答案为：42．【点评】本题考查圆的方程的求法，计算准确是解题的关键，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．【分析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以，且C+A=π﹣B，∴，∴，∴，又sinA＞0，∴（Ⅱ）如图，由正弦定理得∴，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴【点评】本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．=4a n+2，①由S n+1则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），①﹣②得a n+1又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1，所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC；（3）利用四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求出四棱锥P﹣ABCD的高为PA，利用PA⊥AB，即可求PB的长．【解答】（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，…（3分）∴OM∥平面PAB．…（4分）（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分）∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴菱形ABCD的面积为，…（11分）∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴，得…（12分）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分）在Rt△PAB中，．…（14分）【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C 的面积小于13，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，即可得出结论．【解答】解：（I）设圆C：（x﹣a）2+y2=R2（a＞0），由题意知，解得a=1或a=，…（3分）又∵S=πR2＜13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4．…（6分）（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），又∵l与圆C相交于不同的两点，联立，消去y得：（1+k2）x2+（6k﹣2）x+6=0，…（9分）∴△=（6k﹣2）2﹣24（1+k2）=3k2﹣6k﹣5＞0，解得或．x 1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+6=，=（x1+x2，y1+y2），，假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，∴，解得，假设不成立．∴不存在这样的直线l．…（13分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）结合韦达定理用m把α，β的和、乘积表示出来，代入所求化简即可；（2）利用定义进行证明，在判断结果的符号时，要适当结合第一问m与α，β间的关系，将m用α，β替换，根据α，β与x1，x2的大小关系进行化简判断符号．（3）先假设存在，根据已知构造出取最值时的等式，只要取等号的条件存在，即存在．【解答】解：（1）由题意得，故．（2）∀x1，x2∈[α，β]，x1＜x2，可得，因为（x1﹣α）（x2﹣β）≤0，（x1﹣β）（x2﹣α）＜0，两式相加得2x1x2﹣（α+β）（x1+x2）+2αβ＜0；又因为，∴（x2﹣x1）[4x1x2﹣4﹣m（x1+x2）]＜0．所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）在[α，β]上为增函数．（3）函数在[α，β]上为增函数，所以．当且仅当时，等号成立，此时f（β）=2，即．结合可得m=0．综上可得，存在实数m=0满足题意．【点评】本题综合考查了函数的零点与方程的根之间的关系，即利用函数的观点解决方程的问题，或利用方程思想来解决函数问题．属于综合题，有一定难度．。

a a a2b 则吉林省 2017—2018 学年高二数学上学期期中考试卷（五）（文科）（考试时间 100 分钟 满分 120 分）一、单项选择题（共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分）1．已知 a ∈R ，则“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．若 a ，b ∈R ，且 ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A ．a 2+b 2＞2abB ．C ．D ．3．设 0＜a ＜1，m=log （a 2+1），n=l og （a+1），p=log （2a ），则 m ，n ，p 的大小关系是（ ） A ．n ＞m ＞p B ．m ＞p ＞n C ．m ＞n ＞p D ．p ＞m ＞n 4．已知等差数列{a n }与等比数列{b n }，满足 a 3=b 3， 3﹣b 2b 4=0， {a n }前 5 项的和 S 5 为（ ）A ．5B ．20C ．10D ．405．等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，已知 a m ﹣1+a m+1﹣a m2=0，S 2m ﹣1=38，则 m=（）A ．2B ．9C ．10D ．196．各项均为正数的等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 S n =3，S 3n =39，则 S 4n 等于（ ）A ．80B ．90C ．120D ．1307．当 x ，y 满足 时，则 t=x+y 的最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．58．在△ABC 中，已知 a 2﹣b 2﹣c 2= bc ，则角 B+C 等于（ ）A ．B ．C ．D ． 或9．若{a n }是等差数列，首项 a 1＞0，a 2016+a 2017＞0，a 2016．a 2017＜0，则使前 n 项和 S n ＞0 成立的最大自然数 n 是（ ）A ．4031B ．4033C ．4034D ．403210．已知二次函数 f （x ）=cx 2﹣4x+a+1 的值域是[1，+∞），则 的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知 a ，b ，m ，n ，x ，y 都是正实数，且 a ＜b ，又知 a ，m ，b ，x 成等差数列，a ，n ，b ， y 成等比数列，则有（ ）A ．m ＞n ，x ＞yB ．m ＞n ，x ＜yC ．m ＜n ，x ＞yD ．m ＜n ，x ＜y12．两个等差数列{a n }的和{b n }的前 n 项和分别为 S n 和 T n ，已知成立的正整数 t 的个数是（ ） A ．3 B ．6 C ．4 D ．5二、填空题（包括 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）= ，则使 a n =tb nb c13．不等式﹣x 2+|x|+2＜0 的解集是 ．14．已知正数组成等差数列{a n }的前 20 项和为 100，那么 a 7•a 14 的最大值为 ．15．设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 2a 6=6+a 7，则 S 9 的值是．16．若 a ＞1，设函数 f （x ）=a x +x ﹣4 的零点为 m ，g （x ）=log a x+x ﹣4 的零点为 n ，则 + 的最小值为．三、解答题（包括 6 个题，17、18 题各 8 分，19、20、21，22 题 10 分，共 56 分，请写必 要的解答过程）17．已知函数 f （x ）=log 2（|x+1|+|x ﹣2|﹣m ）． （1）当 m=7 时，求函数 f （x ）的定义域；（2）若关于 x 的不等式 f （x ）≥2 的解集是 R ，求 m 的取值范围． △18．在 ABC 中，a ，b ，c 分别为内角 A ，B ，C 所对的边长， ， ，1+2cos （B+C ） =0，求：（1）角 A 的大小； （2）边 BC 上的高． 19△．在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ， ， ，已知 cosC+（cosA ﹣ sinA ）cosB=0． （1）求角 B 的大小；（2）若 a+c=1，求 b 的取值范围．20．已知在正整数数列{a n }中，前 n 项和 S n 满足：S n = （a n +2）2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若 b n = a n ﹣30，求数列{b n }的前 n 项和的最小值．21．已知等差数列{a n }中，公差 d ＞0，其前 n 项和为 S n ，且满足：a 2•a 3=45，a 1+a 4=14． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令，f （n ）=（n ∈N *），求 f （n ）的最大值．22．数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=3，S n 和 S n+1 满足等式（Ⅰ）求 S 2 的值； ，（Ⅱ）求证：数列（Ⅲ）若数列{b n }满足 是等差数列；，求数列{b n }的前 n 项和 T n ；（Ⅳ）设，求证：．参考答案一、单项选择题1．A2．D3．D4．C5．C6．C．7．C．8．A．9．D．10．C．11．B．12．C．二、填空题13．解：x≥0时：﹣x2+x+2＜0，解得：x＞2或x＜﹣1（舍）；x＜0时：﹣x2﹣x+2＜0，解得：x＞1（舍）或x＜﹣2；故答案为：{x|x＜﹣2或x＞2}．14．解：∵正数组成等差数列{a n}的前20项和为100，∴∴a7+a14=10∴=25故答案为：2515．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a6=6+a7，∴2（a1+5d）=6+a1+6d，∴a1+4d=a5=6，∴S9==9a5=9×6=54．故答案为：54．16．解：由题意，构建函数F（x）=a x，G（x）=log a x，h（x）=4﹣x，则h（x）与F（x），G（x）的交点A，B的横坐标分别为m、n．注意到F（x）=a x，G（x）=log a x，关于直线y=x对称，可以知道A，B关于y=x对称，由于y=x与y=4﹣x交点的横坐标为2，∴m+n=4．则+=（+）（m+n）=（2++）≥（2+2）=1，当且仅当m=n=2时，等号成立，故+的最小值为1，故答案为：1．三、解答题17．解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．18．解：（1）由1+2cos（B+C）=0，和A+B+C=π所以cosA=，sinA=，A=（2）由正弦定理得：sinB==．从而cosB==由b＜a知B＜A，所以B不是最大角，B＜由上述结果知B=，C=，sinC=sin（A+B）=sin（），设边BC上的高为h则有h=bsinC=sin（）==．19．解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，即sinAsinB﹣sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，又B为三角形的内角，则B=；（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，则≤b＜1．20．解：1）∵S n=（a n+2）2，∴当n=1时，（解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a n+2）2﹣=0，∵n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=4．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为4，∴a n=2+4（n﹣1）=4n﹣2．，化为=0，，化为（an﹣an﹣1﹣4）（an+a n﹣1）（2）b n=a n﹣30=由b n≤0，解得=2n﹣31．，因此前15项的和最小．又数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前15项和T15=∴数列{b n}的前n项和的最小值为﹣225．21．解：（Ⅰ）∵数列a n}是等差数列，∴a2•a3=45，a1+a4=a2+a3=14．=﹣225．∴．∵公差d＞0，∴，解得d=4，a1=1．∴a n=1+4（n﹣1）=4n﹣3．（Ⅱ）∵，∴=2n，∴f（n）==．当且仅当，即n=5时，f（n）取得最大值．22．解：（I）∵，2 1当 n=1 时，S 2=2S 1+2=2a 1+2=8 故 S 2=8证明：（II ）∵∴又由故= +1，即 ﹣ =1=a 1=3，是以 3 为首项，以 1 为公差的等差数列（III ）由（II ）可知，=n+2∴∴当 n=1 时，a 1=3 当 n ≥ 时，a n =S n ﹣S n ﹣=2n+1 经检验，当 n=1 时也成立 ∴a n =2n+1（n ∈N*）∴解得：．（Ⅳ）∵∴= ．。