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江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试数学答案解析

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2019届高三年级第一次模拟考试(八)(扬州)数学参考答案1. {－2}2. 23. 22π34. 105. －26. 497. 52 8. 1 9. 52 10. 0 11. (－∞，9] 12.3 13.116或－1－33214. e 2 15. f(x)＝cos 2x ＋23sin xcos x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 . (4分) (1) 由－π2＋2kπ≤2x ＋π6≤π2＋2kπ，k ∈Z ，解得－π3＋kπ≤x ≤π6＋kπ，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ]，k ∈Z .(8分)(2) 由f(x)＝0得2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0， 解得2x ＋π6＝kπ，即x ＝－π12＋kπ2，k ∈Z .因为x ∈(0，π]，所以x ＝5π12或x ＝11π12.(14分)16. (1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1，所以四边形AA 1B 1B ，四边形BB 1C 1C 均为平行四边形． 因为E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点， 所以E ，F 分别是AB 1，CB 1的中点 ， 所以EF ∥AC.(4分)因为EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC.(8分)(2) 因为四边形AA 1B 1B 为矩形， 所以BB 1⊥AB.因为平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，BB 1⊂平面ABB 1A 1，平面ABB 1A 1∩平面ABC ＝AB ， 所以BB 1⊥平面ABC.(12分) 因为AC ⊂平面ABC ， 所以BB 1⊥AC.(14分)17. (1) 在△ABD 中，由BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·ADcos θ，得BD 2＝14－65cos θ， 又cos θ＝－55， 所以BD ＝2 5.(2分) 因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以 sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫－552＝25. 由BD sin ∠BAD ＝ABsin ∠ADB ，得2525＝3sin ∠ADB ， 解得sin ∠ADB ＝35.因为△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以∠CDB ＝π2且CD ＝BD ＝25，所以cos ∠ADC ＝cos ⎝⎛⎭⎫∠ADB ＋π2＝ －sin ∠ADB ＝－35.(5分)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD·DCcos ∠ADC ＝(5)2＋(25)2－2×5×25×⎝⎛⎭⎫－35＝37, 所以AC ＝37.(7分)(2) 由(1)得BD 2＝14－65cos θ，S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×3×5×sin θ＋12×BD 2＝7＋352sin θ－35cos θ＝7＋352(sin θ－2cos θ)＝7＋152sin (θ－φ)，此时sin φ＝25，cos φ＝15且φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，(10分) 当θ－φ＝π2时 ，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ＋π2，此时sin θ＝15，cos θ＝－25，所以BD 2＝14－65cos θ＝14－65×(－25)＝26，即BD ＝26，(13分) 所以当草坪ABCD 的面积最大时，小路BD 的长度为26百米. (14分) 18. (1) 设直线AP 的斜率为k ，P(x 0，y 0)， 由题意得2a ＝4，c a ＝12，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3， 所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.因为点P 在椭圆M 上，且位于第一象限，所以0<k<32，x 204＋y 203＝1，直线AP 的方程为y ＝k(x ＋2)．因为k AP ·k BP ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝－34，所以k BP ＝－34k，所以直线BP 的方程为y ＝－34k(x －2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y ＝－34k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－8k 24k 2＋3，y ＝12k 4k 2＋3， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3.因为l 1⊥PA ，所以k AC ＝－1k ，则直线AC 的方程为y ＝－1k (x ＋2)．因为l 2⊥PB ，所以k BC ＝43k ，则直线BC 的方程为y ＝43k(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝－1k（x ＋2），y ＝43k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－64k 2＋3，y ＝－16k 4k 2＋3，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－64k 2＋3，－16k 4k 2＋3.(6分)因为点C 的横坐标为－1， 所以8k 2－64k 2＋3＝－1，解得k ＝±12.因为0<k<32， 所以k ＝12，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32.(8分) (2) 设Q(x Q ，y Q )，C(x C ，y C )，又直线AC 的方程为y ＝－1k (x ＋2)．联立⎩⎨⎧y ＝－1k（x ＋2），x 24＋y23＝1，消去 y ，整理得(3k 2＋4)x 2＋16x ＋16－12k 2＝0，所以－2x Q ＝16－12k 23k 2＋4，解得x Q ＝6k 2－83k 2＋4.因为AC → ＝λAQ → ，所以λ＝x C ＋2x Q ＋2＝8k 2－64k 2＋3＋26k 2－83k 2＋4＋2＝16k 2（3k 2＋4）12k 2（4k 2＋3）＝1＋712k 2＋9.(14分)因为0<k<32， 所以λ∈⎝⎛⎭⎫2518，169.(16分)19. (1) f(x)＝(3－x)e x ，f′(x)＝(2－x)e x ， 令f′(x)＝0，解得x ＝2，列表如下：所以当x ＝2时，函数f(x)取得极大值，极大值f(2)＝e 2，无极小值．(3分) (2) 由y ＝f(x)g(x)＝(3－x)(x ＋a)e x ，得y′＝e x [－x 2＋(3－a)x ＋3a －2x ＋(3－a)]＝e x [－x 2＋(1－a)x ＋2a ＋3]． 因为e x >0，令m(x)＝－x 2＋(1－a)x ＋2a ＋3，所以函数y ＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增等价于对任意的x ∈[1，2]，函数m(x)≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧m （1）≥0，m （2）≥0，解得a ≥－3，(8分)故a 的取实范围是[－3，＋∞)．(3) 由题意得h(x)＝f （x ）＋g （x ）x ＝（3－x ）e x ＋x ＋a x ，则h′(x)＝e x （－x 2＋3x －3）－ax 2.令r(x)＝e x (－x 2＋3x －3)－a,因为h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值， 所以h′(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根， 即r(x)＝e x (－x 2＋3x －3)－a ＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)．(10分)因为r′(x)＝e x (－x 2＋3x －3－2x ＋3)＝e x (－x 2＋x)＝x(1－x)e x ，所以当x ∈(0，1)时，r′(x)>0，r(x)单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，r′(x)<0，r(x)单调递减，则0<x 1<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧r （0）<0，r （1）>0，解得－3<a<－e ，所以r ⎝⎛⎭⎫32＝－34e 32－a<－34e 32＋3<0. 因为r(x)在区间(0，＋∞)上连续且r(0)·r(1)<0，r(1)·r ⎝⎛⎭⎫32<0， 所以r(x)＝0在区间(0，1)和区间⎝⎛⎭⎫1，32上各有一个实数根， 所以函数h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值时，有－3<a<－e ，并且在区间(0，1)上存在极小值f(x 1)，在区间⎝⎛⎭⎫1，32上存在极大值f(x 2)， 所以h(x 2)＝（3－x 2）ex 2＋x 2＋a x 2，且h′(x 2)＝ex 2（－x 22＋3x 2－3）－ax 22＝0，所以a ＝ex 2(－x 22＋3x 2－3)， 所以h(x 2)＝[(3－x 2)ex 2＋x 2＋ex 2(－x 22＋3x 2－3)]×1x 2＝ex 2(2－x 2)＋1，(13分) 令H(x)＝e x (2－x)，则H′(x)＝e x (1－x)，当x ∈(1，＋∞)时，H′(x)<0，H(x)单调递减， 因为x 2∈⎝⎛⎭⎫1，32， 所以h ⎝⎛⎭⎫32<h(x 2)<h(1)， 即h(x 2)∈⎝⎛⎭⎫12e 32＋1，e ＋1，则3<12e 32＋1<e ＋1<4.因为h(x)的极大值小于整数b ，所以满足题意的整数b 的最小值为4.(16分)20. (1) 因为数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n ，所以m n ＝2，M n＝a n ＝2n ，则b n ＝2＋2n 2＝1＋2n －1，所以 B n ＝n ＋1－2n1－2×1＝2n －1＋n.(4分)(2) 若数列{b n }是等差数列，设其公差为d′. 因为b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝M n －M n －12＋m n －m n －12＝d′. 根据M n ，m n 的定义，有以下结论：M n ≥M n －1，m n ≤m n －1，且两个不等式中至少有一个取等号．(6分) ①若d′>0，则必有M n >M n －1， 所以a n ＝M n >M n －1≥a n －1，即对n ≥2，n ∈N *都有a n >a n －1， 所以M n ＝a n ，m n ＝a 1，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝a n ＋a 12－a n －1＋a 12＝a n －a n －12＝d′， 所以a n －a n －1＝2d′，即{a n }为等差数列；②当d′<0时，则必有m n <m n －1，所以a n ＝m n <m n －1≤a n －1，即对n ≥2，n ∈N *都有a n <a n －1， 所以M n ＝a 1，m n ＝a n ，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝a 1＋a n 2－a 1＋a n －12＝a n －a n －12＝d′， 所以a n －a n －1＝2d′，即{a n }为等差数列； ③当d′＝0时，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12，M n －M n －12＋m n －m n －12＝0， 因为M n －M n －1，m n －m n －1中必有一个为0，所以根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 即M n ＝M n －1，m n ＝m n －1，所以{a n }为常数数列，所以{a n }为等差数列， 综上，数列{a n }也一定是等差数列．(10分)(3) 因为b n ＋1－b n ＝[2n ＋1－100(n ＋1)]－[2n －100n]＝2n －100， 所以当n<7时，b n ＋1－b n <0，即b 1>b 2>…>b 6>b 7， 当n ≥7时，b n ＋1－b n >0，即b 7<b 8<b 9<…. 以下证明：a 1>a 2>…>a 6>a 7，a 7<a 8<a 9<…. 当n<7时，若m n ≤a n ＋1≤M n ，则M n ＋1＝M n ，m n ＋1＝m n ， 所以b n ＋1＝b n ，不合题意；若a n ＋1>M n ，则M n ＋1＝a n ＋1，m n ＋1＝m n ，则M n ＋m n 2<M n ＋1＋m n ＋12，得b n <b n ＋1，与b n >b n ＋1矛盾，不合题意；所以a n ＋1<m n ≤a n ，即a 1>a 2>…>a 6>a 7；同理可证：a 7<a 8<a 9<…，即n ≥7，n ∈N *时，a n <a n ＋1. ①当n ≤7时，M n ＝a 1，m n ＝a n ， 所以b n ＝a 1＋a n2，所以a n ＝2b n －a 1，a 1＝b 1＝－98， 因为b n ＝2n －100n ，所以a n ＝2n ＋1－200n ＋98，所以A n ＝4（1－2n ）1－2－200×n （n ＋1）2＋98n ＝2n ＋2－100n 2－2n －4；(13分)②当n>7时，a 1>a 2>…>a 6>a 7，且a 7<a 8<a 9<…，所以m n ＝a 7＝28－200×7＋98＝－1 046，则M n 为a 1或a n .若M n 为a 1，则b n 为常数，与题意不符，所以M n ＝a n ，所以b n ＝a n ＋a 72，所以a n ＝2b n －a 7＝2n ＋1－200n ＋1 046，所以A n ＝A 7＋a 8＋a 9＋…＋a n ＝29－4 900－14－4＋29（1－2n －7）1－2－200×（n ＋8）（n －7）2＋1 046(n －7) ＝2n ＋2－100n 2＋946n －6 640，所以A n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2－100n 2－2n －4， n ≤7，2n ＋2－100n 2＋946n －6 640， n ≥8，n ∈N *.(16分)21. A ．因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋3b ＋6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤68，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，(5分)所以矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－1－2λ－2＝(λ－3)(λ－2)－2＝λ2－5λ＋4＝0.令f(λ)＝0，解得矩阵A 的特征值为1或4.(10分)B ．将直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－2－t 化为普通方程为x ＋2y ＋4＝0.(2分)将圆C 的极坐标方程ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＋4y ＝0，即(x －2)2＋(y ＋2)2＝8，其圆心(2，－2)，半径为22，(5分) 所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－4＋4|5＝25，所以直线l 被圆C 截得的弦长为 2（22）2－⎝⎛⎭⎫252＝1255.(10分)22. (1) 因为正方形ABCD 的边长为2，所以AB ⊥AD ，CB ⊥CD ，AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝2. 又AE ⊥平面ABD ，所以以点A 为原点，AB ，AD ，AE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．过点C 作CF ⊥BD ，垂足为F.因为平面ABD ⊥平面CBD ，CF ⊂平面CBD ，平面ABD ∩平面CBD ＝BD ， 所以CF ⊥平面ABD. 因为CB ＝CD ＝2，所以F 为BD 的中点，CF ＝ 2.(2分) 因为AE ＝2，所以E(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，F(1，1，0)，C(1，1，2)， 所以DE →＝(0，－2，2)，BC →＝(－1，1，2)， 所以DE →·BC →＝0， 所以DE →⊥BC →，所以直线DE 与直线BC 所成的角为π2.(5分)(2) 设AE 的长度为a(a>0)，则E(0，0，a)． 因为AD ⊥平面ABE,所以平面ABE 的一个法向量为n 1＝(0，1，0)．(6分) 设平面BDE 的法向量为n 2＝(x 1，y 1，z 1)． 因为BE →＝(－2，0，a)，BD →＝(－2，2，0)， 所以n 2⊥BE →，n 2⊥BD →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BE →＝－2x 1＋az 1＝0，n 2·BD →＝－2x 1＋2y 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝a 2z 1，x 1＝y 1，取z 1＝2，则x 1＝y 1＝a ，所以平面BDE 的一个法向量为n 2＝(a ，a ，2)，(8分)所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝a a 2＋a 2＋4×1＝a 2a 2＋4.因为二面角ABED 的大小为π3，所以a 2a 2＋4＝12，解得a ＝2， 所以AE 的长度为 2.(10分)23. (1) 设点P(x ，y)，则Q(－2，y)， 所以OP →＝(x ，y)，OQ →＝(－2，y)． 因为OP →·OQ →＝0，所以OP →·OQ →＝－2x ＋y 2＝0，即y 2＝2x.(2分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 3，y 3)，直线BD 与x 轴交点为E ，直线AB 与内切圆的切点为T.设直线AM 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12，则联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12，y 2＝2x ，得k 2x 2＋(k 2－2)x ＋k 24＝0，所以x 1x 2＝14且0<x 1<x 2，所以x 1<12<x 2，所以直线AN 的方程为y ＝y 1x 1－12⎝⎛⎭⎫x －12， 与方程y 2＝2x 联立得y 21x 2－(y 21＋2x 21－2x 1＋12)x ＋14y 21＝0， 化简得2x 1x 2－⎝⎛⎭⎫2x 21＋12x ＋12x 1＝0， 解得x ＝14x 1或x ＝x 1.因为x 3＝14x 1＝x 2，所以BD ⊥x 轴，设△MBD 的内切圆圆心为H ，则点H 在x 轴上且HT ⊥AB.(5分) 令t ＝x 2＋12，则t>1，所以r ＝112t －1＋1t 2＋1t在区间(1，＋∞)上单调递增，则r>12＋1，即r 的取值范围为(2－1，＋∞)．(10分)。

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2019届普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷(解析版)

2019届普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷(解析版)

2019届普通高等学校招生全国统一考试模拟卷文科数学本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( )A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.A∩B=⌀2.复数z=-3+i2+i的共轭复数是( )A.2+iB.2-IC.-1+iD.-1-i3.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)(n≥2,x1,x2,…,x n不全相等)的散点图中,若所有样本点(x i,y i)(i=1,2,…,n)都在直线y=12x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为( )A.-1B.0C.12D.14.设F1、F2是椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )A.12B.23C.34D.455.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是( )A.(1-√3,2)B.(0,2)C.(√3-1,2)D.(0,1+√3)6.如果执行如图的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,a N,输出A,B,则( )A.A+B为a1,a2,…,a N的和B.A+B2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数C.A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数D.A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6B.9C.12D.188.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为√2,则此球的体积为( )A.√6πB.4√3πC.4√6πD.6√3π9.已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( ) A.π4B.π3C.π2D.3π410.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A,B 两点,|AB|=4√3,则C 的实轴长为( ) A.√2 B.2√2 C.4D.811.当0<x≤12时,4x<log a x,则a 的取值范围是( ) A.(0,√22) B.(√22,1)C.(1,√2)D.(√2,2)12.数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 .14.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q= . 15.已知向量a,b 夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=√10,则|b|= . 16.设函数f(x)=(x+1)2+sinxx 2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m= .三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,c=√3asin C-ccos A. (Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,△ABC 的面积为√3,求b,c.18.(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n 14 0 频数110(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.19.(本小题满分12分)AA1,D是棱AA1的中点.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=12(Ⅰ)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.20.(本小题满分12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(Ⅰ)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4√2,求p的值及圆F的方程;(Ⅱ)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e x-ax-2.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0,求k的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.(本小题满分10分) 选修4—1:几何证明选讲如图,D,E 分别为△ABC 边AB,AC 的中点,直线DE 交△ABC 的外接圆于F,G 两点.若CF∥AB,证明: (Ⅰ)CD=BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD.23.(本小题满分10分) 选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosφ,y =3sinφ(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A,B,C,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,π3). (Ⅰ)求点A,B,C,D 的直角坐标;(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(Ⅰ)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(Ⅱ)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.答案详解一、选择题1.B A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则B ⫋A,故选B. 评析 本题考查了集合的关系以及二次不等式的解法.2.D z=-3+i 2+i =(-3+i )(2-i )(2+i )(2-i )=-5+5i5=-1+i,z =-1-i,故选D.评析 本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选. 3.D 所有点均在直线上,则样本相关系数最大即为1,故选D.评析 本题考查了线性回归,掌握线性回归系数的含义是解题关键,本题易错选C. 4.C 设直线x=32a 与x 轴交于点Q,由题意得∠PF 2Q=60°,|F 2P|=|F 1F 2|=2c,|F 2Q|=32a-c,∴32a-c=12×2c,e=c a =34,故选C.评析 本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要. 5.A 由题意知区域为△ABC(不含边界).当直线-x+y-z=0过点C(1+√3,2)时,z min =1-√3; 当过点B(1,3)时,z max =2.故选A.评析 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想.正确理解直线的斜率、截距的几何意义是求解的关键.6.C 不妨令N=3,a 1<a 2<a 3,则有k=1,A=a 1,B=a 1;x=a 2,A=a 2;x=a 3,A=a 3,故输出A=a 3,B=a 1,选C. 评析 本题考查了流程图,考查了由一般到特殊的转化思想.7.B 由三视图可得,该几何体为三棱锥S-ABC,其中底面△ABC 为等腰三角形,底边AC=6,AC 边上的高为3,SB⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=13×12×6×3×3=9.故选B.评析 本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键.8.B 如图,设平面α截球O 所得圆的圆心为O 1,则|OO 1|=√2,|O 1A|=1,∴球的半径R=|OA|=√2+1=√3.∴球的体积V=43πR 3=4√3π.故选B.评析 本题考查了球的基础知识,利用勾股定理求球的半径是关键. 9.A 由题意得2πω=2(54π-π4),∴ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),则π4+φ=kπ+π2(k∈Z),φ=kπ+π4(k∈Z),又0<φ<π,∴φ=π4,故选A. 评析 本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.10.C 由题意可得A(-4,2√3).∵点A 在双曲线x 2-y 2=a 2上,∴16-12=a 2,a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.评析 本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a.11.B 易知0<a<1,则函数y=4x与y=log a x 的大致图象如图,则只需满足log a 12>2,解得a>√22,故选B.评析 本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式.12.D 当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1,当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3,∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+1+a2k+3=2,∴a2k-1=a2k+3,∴a1=a5=…=a61.∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)=30×(3+119)2=30×61=1 830.评析本题考查了数列求和及其综合应用,考查了分类讨论及等价转化的数学思想.二、填空题13.答案y=4x-3解析y'=3ln x+1+x·3x=3ln x+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.14.答案-2解析由S3+3S2=0得4a1+4a2+a3=0,有4+4q+q2=0,解得q=-2.评析本题考查了等比数列的运算,直接利用定义求解可达到事半功倍的效果.15.答案3√2解析把|2a-b|=√10两边平方得4|a|2-4|a|·|b|·cos 45°+|b|2=10.∵|a|=1,∴|b|2-2√2|b|-6=0.∴|b|=3√2或|b|=-√2(舍去).评析本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量问题转化为数量问题是求解的关键.16.答案 2解析f(x)=x 2+1+2x+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,令g(x)=2x+sinxx2+1,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.评析本题考查了函数性质的应用,运用了奇函数的值域关于原点对称的特征,考查了转化与化归的思想方法.三、解答题17.解析(Ⅰ)由c=√3asin C-c·cos A及正弦定理得√3·sin A·sin C-cos A·sin C-sin C=0.由于sin C≠0,所以sin (A -π6)=12. 又0<A<π,故A=π3.(Ⅱ)△ABC 的面积S=12bcsin A=√3,故bc=4. 而a 2=b 2+c 2-2bccos A,故b 2+c 2=8. 解得b=c=2.评析 本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想,灵活利用正、余弦定理是求解关键,正确的转化是本题的难点.18.解析 (Ⅰ)当日需求量n≥17时,利润y=85. 当日需求量n<17时,利润y=10n-85. 所以y 关于n 的函数解析式为 y={10n -85, n <17,85,n ≥17(n∈N). (Ⅱ)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为1100(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.(ii)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.评析 本题考查概率统计,考查运用样本频率估计总体概率及运算求解能力. 19.解析 (Ⅰ)证明:由题设知BC⊥CC 1,BC⊥AC,CC 1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC 1A 1. 又DC 1⊂平面ACC 1A 1,所以DC 1⊥BC.由题设知∠A 1DC 1=∠ADC=45°,所以∠CDC 1=90°,即DC 1⊥DC. 又DC∩BC=C,所以DC 1⊥平面BDC. 又DC 1⊂平面BDC 1,故平面BDC 1⊥平面BDC. (Ⅱ)设棱锥B-DACC 1的体积为V 1,AC=1. 由题意得V 1=13×1+22×1×1=12.又三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V=1,所以(V-V 1)∶V 1=1∶1. 故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.评析 本题考查了线面垂直的判定,考查了体积问题,同时考查了空间想象能力,属中档难度.20.解析 (Ⅰ)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F 的半径|FA|=√2p. 由抛物线定义可知A 到l 的距离d=|FA|=√2p.因为△ABD 的面积为4√2,所以12|BD|·d=4√2,即12·2p·√2p=4√2,解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8.(Ⅱ)因为A,B,F 三点在同一直线m 上,所以AB 为圆F 的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|,所以∠ABD=30°,m 的斜率为√33或-√33.当m 的斜率为√33时,由已知可设n:y=√33x+b,代入x 2=2py 得x 2-2√33px-2pb=0. 由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43p 2+8pb=0.解得b=-p 6. 因为m 的截距b 1=p 2,|b 1||b |=3,所以坐标原点到m,n 距离的比值为3. 当m 的斜率为-√33时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n 距离的比值为3.评析 本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.21.解析 (Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=e x -a.若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0,所以, f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.(Ⅱ)由于a=1,所以(x-k)f '(x)+x+1=(x-k)(e x -1)+x+1.故当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0等价于k<x+1e -1+x(x>0).①令g(x)=x+1e x -1+x,则g'(x)=-xe x -1(e x -1)2+1=e x (e x -x -2)(e x -1)2. 由(Ⅰ)知,函数h(x)=e x -x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.故g'(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2). 当x∈(0,α)时,g'(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g'(α)=0,可得e α=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).由于①式等价于k<g(α),故整数k 的最大值为2.评析 本题考查了函数与导数的综合应用,判断出导数的零点范围是求解第(Ⅱ)问的关键.22.证明 (Ⅰ)因为D,E 分别为AB,AC 的中点,所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD 是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连结AF,所以四边形ADCF 是平行四边形,故CD=AF.因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.(Ⅱ)因为FG∥BC,故GB=CF.由(Ⅰ)可知BD=CF,所以GB=BD.而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD.评析 本题考查了直线和圆的位置关系,处理好平行的关系是关键.23.解析 (Ⅰ)由已知可得A (2cos π3,2sin π3), B 2cos π3+π2,2sin π3+π2, C 2cos π3+π,2sin π3+π, D 2cos π3+3π2,2sin π3+3π2, 即A(1,√3),B(-√3,1),C(-1,-√3),D(√3,-1).(Ⅱ)设P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1,所以S 的取值范围是[32,52].评析 本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法,正确“互化”是关键,难点是建立函数S=f(φ).24.解析 (Ⅰ)当a=-3时,f(x)={-2x +5, x ≤2,1,2<x <3,2x -5,x ≥3.当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时, f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(Ⅱ)f(x)≤|x -4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a 的取值范围为[-3,0].评析 本题考查了含绝对值不等式的解法,运用零点法分类讨论解含绝对值的不等式,考查了运算求解能力.。

江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟考试数学试题(精编含解析)

江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟考试数学试题(精编含解析)


【点评】考查奇函数概念及性质，属于基础题型。
8．已知等比数列an为单调递增数列，设其前 n 项和为 Sn ，若 a2 2 ， S3 7 ，则 a5 的值为
．
【答案】16
【解析】显然此等比数列不是常数列，因此设： an

a1
qn1 ， a2

a1
q

2，
a1

2 q
，
S3

a1
(q2
．
【答案】 1,1
【解析】取两个集合的交集 【点评】考查集合的交集运算，该题属于基础题型。
2．设复数 z a i （其中 i 为虚数单位），若 zz 2 ，则实数 a 的值为
．
【答案】 1
【解析】 z a i ， z a i ， zz (a i)(a i) a2 1 2 ， a2 1， a 1
10．设 A (x, y) 3x 4 y 7 ，点 P A ，过点 P 引圆 (x 1)2 y2 r2 (r 0) 的两条切线
PA, PB ，若 APB 的最大值为 ，则 r 的值为
．
3
【答案】1
【解析】算出满足使 APB 最大值的 P 点轨迹，连接 P 点和圆心，由切线可知： P 点到圆心的距
，解得：



5 6
,
4 3

【点评】三角函数零点个数问题，求解参数范围。难度中等。
12．若正实数 a 、 b 、 c 满足 ab a 2b ， abc a 2b c ，则 c 的最大值为
．
【答案】 8 7
【解析】由 abc a 2b c ， ab a 2b ，解得 c a 2b a 2b 1 1 ， ab 1 a 2b 1 a 2b 1
江苏省南京2019届高三一模数学含答案

江苏省南京2019届高三一模数学含答案

2019届高三年级第一次模拟考试 数 学 (满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1. 若集合A ＝(－∞，1]，B ＝{－1，1，2}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z ＝a ＋i (其中i 为虚数单位)．若zz ＝2，则实数a 的值为________．3. 某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n ＝________.4. 从1，2，3中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________．5. 在如图所示的流程图中，若输入x 的值为－4，则输出c 的值为________．(第5题)(第9题)6. 若双曲线x 22－y 2m＝1的离心率为2，则实数m 的值为________．7. 已知y ＝f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x ＋1，则f (－ln 2)的值为________．8. 已知等比数列{a n }为单调递增数列，设其前n 项和为S n .若a 2＝2，S 3＝7，则a 5的值为________．9. 如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝4，AC ＝3，BC ＝1，E 、F 分别为AB 、PC 的中点，则三棱锥BEFC 的体积为________．10. 设A ＝{(x ，y)|3x ＋4y ≥7}，点P ∈A ，过点P 引圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r>o)的两条切线PA 、PB.若∠APB 的最大值为π3，则r 的值为________．11. 设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，其中ω>0.若函数f(x)在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．12. 若正实数a 、b 、c 满足ab ＝a ＋2b ，abc ＝a ＋2b ＋c ，则c 的最大值为________． 13. 设函数f(x)＝x 3－a 2x(a>0，x ≥0)，O 为坐标原点，A(3，－1)，C(a ，0)．若对此函数图象上的任意一点B ，都满足OA →·OB →≤OA →·OC →成立，则a 的值为________．14. 若数列{a n }满足a 1＝0，a 4n －1－a 4n －2＝a 4n －2－a 4n －3＝3，a 4n a 4n －1＝a 4n ＋1a 4n＝12，其中n ∈N *，且对任意n ∈N *都有a n <m 成立，则m 的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，记△ABC 的面积为S ，且2S ＝AB →·AC →. (1) 求角A 的大小；(2) 若c ＝7，cos B ＝45，求a 的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别是棱BC 、CC 1上的点(点D 不同于点C)，且AD ⊥DE ，F 为棱B 1C 1上的点，且A 1F ⊥B 1C 1.求证：(1) 平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2) A 1F ∥平面ADE.盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治．目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)＝m ln x－x＋600xx2＋144－6(4≤x≤22，m∈R)，其中x为每天的时刻．若在凌晨6点时刻，测得空气质量指数为29.6.(1) 求实数m的值；(2) 求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln 6＝1.8)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l ：y ＝k(x －m)(m ∈R )与椭圆C 相交于P 、Q 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设椭圆的左顶点为A ，记直线AP 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2. ①若m ＝0，求k 1k 2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值．若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x3－tx2＋1(t∈R)．(1) 若函数f(x)在区间(0，1)上无极值点，求t的取值范围；(2) 求证：对任意实数t，在函数f(x)的图象上总存在两条切线相互平行；(3) 当t＝3时，若函数f(x)的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由．已知数列{a n}，其中n∈N*.(1) 若{a n}满足a n＋1－a n＝q n－1(q>0，n∈N*)．①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r＋t，且a r，a s，a t成等差数列，求q的值．（2）设数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项和为c n，c n＝b n＋2－3，n∈N*, 若a1＝1，a2＝2，且|a2n＋1－a n a n＋2|≤k恒成立，求k的最小值．2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题 (本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)直线l ：2x －y ＋3＝0经过矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 01d 变换后还是直线l ，求矩阵M 的特征值．B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点O 为原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－32t ，y ＝12t(t 为参数)，求直线l 被圆C 截得的弦长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知正实数x 、y 、z ，满足x ＋y ＋z ＝3xyz ，求xy ＋ yz ＋xz 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA ＝AB＝2，E是棱PB的中点．(1) 求异面直线EC与PD所成角的余弦值；(2) 求二面角BECD的余弦值．23. (本小题满分10分)已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N*，都有a1C0n＋a2C1n＋a3C2n＋…＋a n C n n＝(a n＋2－1)·2n－1成立．＋1(1) 求a3的值；(2) 证明：数列{a n}是等差数列．2019届高三年级第一次模拟考试(一)(南京、盐城)数学参考答案1. {－1，1}2. ±13. 804. 135. 46. 67. －38. 169. 36 10. 1 11. ⎣⎡⎭⎫56，43 12. 87 13. 6214. 815. (1) 由2S ＝AB →·AC →，得bc sin A ＝bc cos A ， 因为A ∈(0，π)， 所以tan A ＝1，即A ＝π4.故A 的大小为π4.(6分)(2) 在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以sin B ＝35，所以sin C ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A·sin B ＝7210.(10分)由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a 22＝77210，解得a ＝5.故a 的值为5.(14分)16. (1) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC.(2分) 因为AD ⊂平面ABC ， 所以BB 1⊥AD.又因为AD ⊥DE ，在平面BCC 1B 1中，BB 1与DE 相交， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1. 又因为AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(6分)(2) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面A 1B 1C 1.(8分) 因为A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以BB 1⊥A 1F.又因为A 1F ⊥B 1C 1，在平面BCC 1B 1中，BB 1∩B 1C 1＝B 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.(10分) 在(1)中已证得AD ⊥平面BCC 1B 1， 所以A 1F ∥AD.又因为A 1F ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ， 所以A 1F ∥平面ADE.(14分) 17. (1) 由题意，得f(6)＝29.6，代入f(x)＝m ln x －x ＋600xx 2＋144－6(4≤x ≤22，m ∈R )，得m ln 6－6＋600×662＋144－6＝29.6，解得m ＝12.(5分)(2) 由已知函数求导得f ′(x )＝12－x x ＋600·144－x 2（x 2＋144）2＝(12－x )⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x ＋600（12＋x ）（x 2＋144）2.令f ′(x )＝0得x ＝12，(9分)当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：所以函数在x ＝12处取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时．(12分)答：(1) 实数m 的值为12.(2) 每天空气质量指数最高的时刻为12时．(14分)18. (1) 在椭圆C 中，2c ＝2，两准线间的距离为2·a 2c ＝8，即a 2c ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(3分)(2) ①由(1)得，点A(－2，0)，设点P(x 0，y 0)， 由于m ＝0，则Q(－x 0，－y 0)． 由x 204＋y 203＝1得y 20＝3－3x 204，(5分) 所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.故k 1k 2的值为－34.(8分)②由(1)得，点A(－2，0)．设点P(x 1，y 1)，则直线AP 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k 1（x ＋2），消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，(10分)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21，代入y ＝k 1(x ＋2)，得y 1＝12k 13＋4k 21， 所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21.(12分)由k 1k 2＝－14得k 2＝－14k 1， 整体代换得点Q(24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k )．(13分) 设M(m ，0)，由P 、Q 、M 三点共线，得PM →∥QM →，即12k 13＋4k 21·⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21－21＋12k 21－m ＝－12k 11＋12k 21·(6－8k 213＋4k 21－m)， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0， 解得m ＝1.故实数m 的值为1.(16分)19. (1) 由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1，得f′(x)＝3x 2－2tx ，由f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝23t. 因为函数f(x)在区间(0，1)上无极值点，所以23t ≤0或23t ≥1， 解得t ≤0或t ≥32. 故t 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(4分)(2) 由(1)知f′(x)＝3x 2－2tx ，令f′(x)＝1，则3x 2－2tx －1＝0，所以Δ＝(－2t)2＋12>0，即对任意实数t ，f′(x)＝1总有两个不同的实数根x 1，x 2， 所以不论t 为何值，函数f(x)的图象在点x ＝x 1，x ＝x 2处的切线平行．(8分)设这两条切线的方程分别为y ＝(3x 21－2tx 1)x －2x 31＋tx 21＋1和y ＝(3x 22－2tx 2)x －2x 32＋tx 22＋1.若两条切线重合，则－2x 31＋tx 21＋1＝－2x 32＋tx 22＋1，即2(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝t(x 1＋x 2)，即2[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]＝t(x 1＋x 2)．又x 1＋x 2＝2t 3， 所以x 1x 2＝t 29， 所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t 29－4t 29＝0，即x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾， 所以这两条切线不重合．综上，对任意实数t ，函数f(x)的图象总存在两条切线相互平行．(10分)(3) 当t ＝3时，f(x)＝x 3－3x 2＋1，则f ′(x)＝3x 2－6x ，由(2)知当x 1＋x 2＝2时，两切线平行．设A(x 1，x 31－3x 21＋1)，B(x 2，x 32－3x 22＋1)，不妨设x 1>x 2，则过点A 的切线方程为y ＝(3x 21－6x 1)x －2x 31＋3x 21＋1.(11分)所以两条平行线间的距离d ＝||2x 32－2x 31－3（x 22－x 21）1＋9（x 21－2x 1）2 ＝||（x 2－x 1）[]2（x 1＋x 2）2－2x 1x 2－3（x 1＋x 2）1＋9（x 21－2x 1）2＝4，化简得(x 1－1)6＝1＋9[(x 1－1)2－1]2，(13分)令(x 1－1)2＝λ(λ≥0)，则λ3－1＝9(λ－1)2，即(λ－1)(λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2，即(λ－1)(λ2－8λ＋10)＝0，显然λ＝1为一解，λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根，所以这样的λ有三解．又(x 1－1)2＝λ(λ≥0), x 1>x 2, x 1＋x 2＝2，所以x 1有三解，所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分)20. (1) ①由a 4－a 3＝4，a 3－a 2＝2，a 2－a 1＝1，累加得a 4＝8.(3分)②因为a n ＋1－a n ＝q n －1，所以a n －a n －1＝q n －2，…，a 2－a 1＝1，当q ＝1时，a n ＝n ，满足题意；当q ≠1时，累加得a n ＋1＝1－q n1－q＋a 1， 所以a n ＝1－q n －11－q＋a 1.(5分) 若存在r ，s ，t 满足条件，化简得2q s ＝q r ＋q t ，即2＝q r －s ＋q t －s ≥2q r ＋t －2s ＝2，此时q ＝1(舍去)．(7分)综上所述，符合条件q 的值为1. (8分)(2) 由c n ＝b n ＋2－3，n ∈N *可知c n ＋1＝b n ＋3－3，两式作差可得b n ＋3＝b n ＋2＋b n ＋1，又由c 1＝1，c 2＝4，可知b 3＝4，b 4＝7，故b 3＝b 2＋b 1，所以b n ＋2＝b n ＋1＋b n 对一切的n ∈N *恒成立．(11分)对b n ＋3＝b n ＋2＋b n ＋1，b n ＋2＝b n ＋1＋b n 两式进行作差可得a n ＋3＝a n ＋2＋a n ＋1，又由b 3＝4，b 4＝7可知a 3＝1，a 4＝3，故a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥2)．(13分)又由a 2n ＋2－a n ＋1a n ＋3＝(a n ＋1＋a n )2－a n ＋1·(a n ＋2＋a n ＋1)＝(a n ＋1＋a n )2－a n ＋1·(a n ＋2a n ＋1)＝－a 2n ＋1＋a n a n ＋2，n ≥2，所以|a 2n ＋2－a n ＋1a n ＋3|＝|a 2n ＋1－a n a n ＋2|，(15分)所以当n ≥2时，|a 2n ＋1－a n a n ＋2|＝5；当n ＝1时，|a 2n ＋1－a n a n ＋2|＝3，故k 的最小值为5.(16分)21. A . 设直线l 上一点(x ，y )，经矩阵M 变换后得到点(x ′，y ′)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 01d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝x ＋dy ， 因为变换后的直线还是直线l ，将点(x ′，y ′)代入直线l 的方程，得2ax －(x ＋dy )＋3＝0， 即(2a －1)x －dy ＋3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝2，－d ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，d ＝1，(6分) 所以令矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a 0－1λ－d ＝(λ－a )(λ－d )＝0， 解得λ＝a 或λ＝d ，所以矩阵的M 的特征值为32与1.(10分) B. 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2－2x ＝0，所以圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心C (1，0)，半径r ＝1.(3分)又⎩⎨⎧x ＝2－32t ，y ＝12t ，消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y －2＝0，(6分)所以圆心到直线l 的距离d ＝||1－212＋（3）2＝12，所以直线l 被圆C 截得的弦长为212－⎝⎛⎭⎫122＝ 3. (10分)C. 因为x ＋y ＋z ＝3xyz ，所以1xy ＋1yz ＋1zx ＝3.(5分) 又(xy ＋yz ＋zx )·⎝⎛⎭⎫1xy ＋1yz ＋1zx ≥(1＋1＋1)2＝9， 所以xy ＋yz ＋zx ≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号，所以xy ＋yz ＋zx 的最小值为3. (10分)22. (1) 因为PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直． 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．又因为PA ＝AB ＝2，AD ＝1，所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)．(2分) 因为E 为棱PB 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫22，0，22， 所以EC →＝⎝⎛⎭⎫22，1，－22，PD →＝(0，1，－2)，所以cos 〈EC →，PD →〉＝1＋112＋1＋12×1＋2＝63， 所以异面直线EC 与PD 所成角的余弦值为63.(6分) (2) 由(1)得EC →＝⎝⎛⎭⎫22，1，－22，BC →＝(0，1，0)，DC →＝(2，0，0)． 设平面BEC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧22x 1＋y 1－22z 1＝0，y 1＝0，令x 1＝1，则z 1＝1，所以平面BEC 的一个法向量为n 1＝(1，0，1)． 设平面DEC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧22x 2＋y 2－22z 2＝0，2x 2＝0，令z 2＝2，则y 2＝1，所以平面DEC 的一个法向量为n 2＝(0，1，2)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝21＋1×1＋2＝33， 由图可知二面角BECD 为钝角，所以二面角BECD 的余弦值为－33. (10分)23. (1) 在a 1C 0n ＋a 2C 1n ＋a 3C 2n ＋…＋a n ＋1C n n ＝(a n ＋2－1)·2n －1中， 令n ＝1，则a 1C 01＋a 2C 11＝a 3－1，由a 1＝1，a 2＝3，解得a 3＝5. (3分)(2) 假设a 1，a 2，a 3，…，a k 是公差为2的等差数列，则a k ＝2k －1. ①当n ＝1时，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝5, 此时假设成立；(4分) ②当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时，a 1，a 2，a 3，…，a k 是公差为2的等差数列．(5分)由a 1C 0k －1＋a 2C 1k －1＋a 3C 2k －1＋…＋a k C k －1k －1＝(a k ＋1－1)·2k －2，k ≥2， 对该式倒序相加，得(a 1＋a k )2k －1＝2(a k ＋1－1)·2k －2，所以a k ＋1－a k ＝a 1＋1＝2，所以a k ＋1＝2k ＋1＝2(k ＋1)－1.根据①、②可知数列{}a n 是等差数列．(10分)。

江苏省泰州市2019届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)

江苏省泰州市2019届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)


T 的值是 ________．
a5＋ a3
7. 已知数列 {a n} 满足 log2an＋ 1－ log2an＝ 1，则
＝ ________．
a3＋ a1
8. 若抛物线 y 2＝ 2px(p>0) 的准线与双曲线 x 2－ y 2＝ 1 的一条准线重合，则 p＝ ________．
9. 如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中， M 为棱 AA 1 的中点，记三棱锥 A 1MBC 的体积为 V 1，四
17. (本小题满分 14 分 ) 如图，三个小区分别位于扇形
OAB 的三个顶点上， Q 是弧 AB 的中点，现欲在线段 OQ 上找一
处开挖工作坑 P(不与点 O，Q 重合 )，为小区铺设三条地下电缆管线 PO，PA，PB，已知 OA ＝2 千米， π
∠AOB ＝ 3，记∠APQ ＝ θr ad ，地下电缆管线的总长度为 y 千米． (1) 将 y 表示成 θ的函数，并写出 θ的范围；
3. 复数 z 满足 zi＝ 4＋ 3i(i 是虚数单位 )，则 |z|＝ ________． 4. 函数 y＝ 1－ x2的定义域是 ________．
5. 从 1， 2， 3， 4，5 这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为
6 的概率为 ________．
6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的
V1
棱锥 A 1BB 1C1C 的体积为
V
2，则
V
的值是
2
________．
10. 已知函数 f(x) ＝2x4＋ 4x 2，若 f(a＋ 3)>f(a － 1)，则实数 a 的取值范围为 ________． 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，过圆 C1：(x－ k) 2＋(y ＋ k － 4)2＝ 1 上任一点 P 作圆 C2：x2＋ y2＝ 1