子空间迭代法

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基于ANSYS软件平板网架结构的模态分析

１子空间迭代法
Ａｂｔａｔ：Ｂａｅｎｍｕｔ－ｓｌｓｉｙｔｍ，ｍｏａｎｌｉｐｃｕｓｅｌｒｓｎｅｔａｇｕｒｃｌｉｌｔｄｓｒｃｓｄｏｌｍａｓｅａｔｓｓｅｉｃｄｌａａｙｓｓｓａｅｔｓｓａｅｐｅｅｔｄｗｉｌｒｅｎｍｅａｍｕａｅｒｈｉｓｓｆｒｏｗａｅＡＮＳｔＹＳ．ＩｈｓｉｔｏｕｅｕｓａｅｍｅｈｔｔａｎｒｄｃｄｓｂｐｃｔｏｗｉＡＮＳｄｈＹＳ，ａｄｃｒｉｓｏｈｄｌｎｌｓｓａｅｈｙａｃｎａｒｅｎｔｅｍｏａａｙｉｆｒｔｅｄｎｍｉａｔ
Ｔｈｏｃｕｉｎａｅｃｒａｎｒｆｒｎｅｖｌｅｔｅｓｍｅｔｐｆｓａｅｔｓｔｃｕｒｅｆｔｌｍｅｔｎｌｓｓ．ｅｃｎｌｓｏｓｈｖｅｔｉｅｅｅｃａｕｔａｅｏｃｕｓｓｒｔｅｉｔｎｉｅｅｎａｙｉｏｈｙｐｒｕｎｈｉｅａＫｅｗｏｄｓ：ｓａｅｔｕｓｓ：ＡＮＳｏｆａｅ：ｍｏａｎｌｉｙｒｐｃｒｓｅＹＳｓｔｒｗｄｌａａｙｓｓ
摘要：将平板网架结构简化为多质点的弹性体系，利用大型数值仿真计算软件ＡＳＳ对其进行模态分析．ＮＹ笔者介绍了平板网架结构ＡＳＳ分析的子空间迭代法，ＮＹ并对动力模型进行模态分析后，到了主振型结构在各个方向的得动力特性．该结论对同类型平板网架结构的有限元分析具有一定的参考价值．
ｍｏｅ，ｏｔｉｅｈｔｕｔｒｅｆｏｃｌｔｏｈｒｃｅｉｔｌａｈｔｕｔｒａｈｄｒｃｉｎｍａｎｍｏｅｏｖｂａｉｎ．ｄ１ｂａｎｄｔｅｓｒｃｕｅｓｌｓｉｌｉｎｃａａｔｒｉａｗｅｌｔｅｓｒｃｕｉｅｃｉｔｉｄｆｉｒｔａｓｃｓｓｅｎｅｏｏ

20世纪十大算法

20世纪十大算法本世纪初，美国物理学会(American Institute of Physics)和IEEE计算机社团(IEEE Computer Society)的一本联合刊物《科学与工程中的计算》发表了由田纳西大学的Jack Dongarra和橡树岭国家实验室的Francis Sullivan联名撰写的“世纪十大算法”一文，该文“试图整理出在20世纪对科学和工程领域的发展产生最大影响力的十大算法”。

作者苦于“任何选择都将是充满争议的，因为实在是没有最好的算法”，他们只好用编年顺序依次列出了这十项算法领域人类智慧的巅峰之作——给出了一份没有排名的算法排行榜。

有趣的是，该期杂志还专门邀请了这些算法相关领域的“大拿”为这十大算法撰写十篇综述文章，实在是蔚为壮观。

本文的目的，便是要带领读者走马观花，一同回顾当年这一算法界的盛举。

1946蒙特卡洛方法在广场上画一个边长一米的正方形，在正方形内部随意用粉笔画一个不规则的形状，呃，能帮我算算这个不规则图形的面积么？蒙特卡洛(Monte Carlo)方法便是解决这个问题的巧妙方法:随机向该正方形内扔N（N是一个很大的自然数）个黄豆，随后数数有多少个黄豆在这个不规则几何形状内部，比如说有M个:那么，这个奇怪形状的面积便近似于M/N，N越大，算出来的值便越精确。

别小看这个数黄豆的笨办法，大到国家的民意测验，小到中子的移动轨迹，从金融市场的风险分析，到军事演习的沙盘推演，蒙特卡洛方法无处不在背后发挥着它的神奇威力。

蒙特卡洛方法由美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann（看清楚了，这位可是冯诺伊曼同志！）,Stan Ulam和Nick Metropolis共同发明。

就其本质而言，蒙特卡洛方法是用类似于物理实验的近似方法求解问题，它的魔力在于，对于那些规模极大的问题，求解难度随着问题的维数（自变量个数）的增加呈指数级别增长，出现所谓的“维数的灾难”（Course of Dimensionality）。

【国家自然科学基金】_子空间法_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802

推荐指数 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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多分类器融合多侧面递进算法声矢量阵列基向量地震反应谱分析地震反应反应谱法参数识别动力特性动力测试动力学模型减缩内积变换共轭辛正交储粮害虫人脸识别人工免疫算法主成分分析 hamiiton 奇异矩阵
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71
复合材料层合板均匀圆形阵噪声消除同步半盲算法动力缩聚剪枝信号特征子空间二阶krylov子空间 mnist手写体字库 krylov子空间方法 ipr算法 galerkin法 doa估计 ccqc法 bayes距离 bayes分类器 arnoldi算法 arnoldi方法
2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

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非线性度非线性宏模型非监督鉴别投影(udp) 非正交模式非平稳非对称系统雷达目标识别零空间判别投射(ndpe) 隶属度隶属云随机子空间法随机子空间方法随机子空间随机场随机变分原理降维降秩子空间降水阵列信号处理阵列铁磁链方程钢管混凝土提篮连拱量子调控采样重构遗传算法递推算法适应值函数运动合成软颤振软测量转换模型身份识别跟踪超小波超分辨率超分辨估计超分辨谱峰谐波信号误差界语音盲分离识别解空间解析试函数解析宏模型角色动画视频监视规范紧框架小波观测子空间观测历元血流图虚子空间主成分分析 mimo雷达特征子空间子空间迭代法动力特性风洞试验自振特性聚类分析线性判别分析空间谱目标识别独立分量分析特征融合特征提取流形学习波达方向估计气动导数无穷范数归一化支持向量机恒虚警局部保持投影对角加载子空间分解多类分类四元数合成孔径雷达参数识别参数估计分数低阶统计量冲击噪声主成分分析(pca) 主元分析中央扣 music算法 lanczos迭代高维数据高光谱图像飞机设计风险评价颤振导数颤振分析频域预编码预测控制预处理谱随机有限元非负矩阵稀疏分解非负矩阵分解非线性系统非线性时变系统
2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
阵列校正阵列信号阵元间互耦错误收敛部分元等效电路模型逻辑算子迭代法连续过程近场联合估计运行模态运动误差过程监测载波频偏跨媒体检索超宽带费米环境说话人识别说话人空间语音空间识别精度苏拉马都大桥自适应辨识自适应均衡膜型网壳聚类联合像素矢量联合估计综述维数约简结构分析结构线性模式簇线性模式线性判决分析(lda) 纤维丛红外目标检测纠缠演化紧框架系统辨识精度简化空间谱空间粒子探测器空间烧孔现象空间振形稳定性稳定子码稳健自适应波束形成稳健性离群数据码字矩阵方程相干信源相关反馈

多自由度结构受冲击时的动力响应

文章编号：１０，８３２０）２０９－５０３２４（０７０－３２０
多自由度结构受冲击时的动力响应
郑家树，左东
（西南交通大学峨眉分校基础部，四川峨眉６４０）１２２
摘要：根据有限单元法的基本原理，将工程结构离散化，成为多自由度结构，采用子空间迭代法分析其自振特性，用Ｗｉｏ．ｌｎ０法可以计算其动力响应．文中以龙潭河大桥为例，计算了该桥拱项受横向冲击时的动力响应，ｓ并与该桥受横向地震作用时的计算结果进行了比较，两者的变化规律不一致．
［＝ａＭ］Ｃ】ｉ＋］．
２ｇ，ｇｏ）（，－／ｊｏｃ
—
（）２
系数与由选定的两个振型阻尼比和相应的自振频率表示：
＝一
： —
２，ｊ￣ｏ．，ｊｏｏｃｃ（／，￣）ｏｃ
—
ＯＣ一 ∞ ２
，１，＝一
，： — —
ｏｃ一 ∞ ２
其相应的广义特征值方程为：
收稿日期：２０．９１０６０＇９
作者简介：郑家树（９０）１７－，男，西南交通大学峨眉分校基础部副教授，博士研究生
维普资讯
第２期
郑家树等：多自由度结构受冲击时的动力响应
３３９
ｄｔＫ卜ｅ［（
列向量、加速度列向量，ｆｌ为激振力列向量，均为时问，的函数．１－ｌｇ微分方程组．式（）－￣是－＇
由于影响结构阻尼的因素甚为复杂，目前通常采用Ｒｙｉ阻尼假定，ａｌｇｅｈ即将阻尼矩阵［】ｃ写成质量矩阵【】和刚度矩阵『的线性组合：］

基本迭代方法

−1
,
k = 0, 1, . . . ,
,
k = 0, 1, . . . , (3.2)
N
称为迭代矩阵.
这就是基于矩阵分裂 A = M − N 的迭代方法.
选取不同的 M , 就可以构造出不同的迭代方法.
9/98
1.2
Jacobi 迭代
记 A = D − L − U , 其中 D 为 A 的对角部分, −L 和 −U 为 A 的严格下三角和严格上三角部分. 取 M = D, N = L + U , 则可得 Jacobi 迭代方法: x(k+1) = D−1 (L + U )x(k) + D−1 b 对应的迭代矩阵为 GJ = D−1 (L + U )
定常迭代法有时也称为经典迭代法, 基本迭代法或不动点迭代法.
3/98
迭代法基本想法
当直接求解 Ax = b 比较困难时, 我们可以求解一个近似等价方程组 M x = b , 其中 M 是对 A 的某种意义下的近似. 设 M x = b 的解为 x(1) . 则它与原方程的解 x∗ = A−1 b 之间的差满足 ( ) A x∗ − x(1) = b − Ax(1) 如果 x(1) 已经满足精度要求, 则可以停止计算, 否则需要进行修正.
关键技术矩阵分裂
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1.1
矩阵分裂与定常迭代
定义 1 (矩阵分裂, Matrix Splitting) 设 A ∈ Rn×n 非奇异, 称 A=M −N 为 A 的一个矩阵分裂 , 其中 M 非奇异. (3.1)
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给定一个矩阵分裂 (3.1), 则原方程组 Ax = b 就等价于 M x = N x + b . 于是我们就可以构造出以下的迭代格式 M x(k+1) = N x(k) + b 或 x(k+1) = M −1 N x(k) + M −1 b ≜ Gx(k) + g 其中 G ≜ M

板锥网壳结构的动力分析

１板锥网壳结构自振特性分析
板锥网壳结构自振特性可由结构在无振型来表示，多自由度体系无而阻尼自由振动方程可归结为广义特征值问题，即求解特征方程：（Ｋ一［）｝０［］Ｍ］｛＝｛｝（）１式中，为总刚度矩阵，］［］［为总质量矩阵，为固有频率，击｝｛为振型向量。其中，三角形板片采用具有内
（）水平振型、向振型同时存在，３竖存在着振型耦合，但前几阶振型主要以竖向振为主，后几阶振型中
水平振型也较大。
（）频率相当密集，１尤其在低频阶段更为显著，且总有几个振型的频率非常接近。（）自２振频率随结构形式不同而有很大差异，板锥球面网壳的自振频率很大，跨度为３ｍ时，０高达１７次／，ｓ而板锥柱面网壳结构的自振频率较小，凯威特型板锥球面网壳的自振频率比短程线型稍小，六角锥型板锥柱面网壳的前几阶自振频率比四角锥型小，而后几阶自振频率相差不大。
２１
表１板锥网壳结构前１０阶振型频率
注：指Ｋ６ ① ６型板锥球面网壳；指Ｋ４型板锥球面网壳；指短程线型板锥球面网壳； ② ６ ③
④ 指四角锥型板锥柱面网壳；指六角锥型板锥柱面网壳 ⑤
从计算结果可以反映板锥网壳结构自振特性具有 ‘
如下规律：
０引言
板锥网壳结构是指用板片组成锥体单元，网壳按结构的曲面形状将锥体单元拼接成整体，各锥顶再用杆件有规律地相互连接所形成的一种新型结构形式（１图所示）。板锥网壳结构受力性能合理，以充分可利用板材的强度和刚度，发挥材料的最大效用，同时集承重、围护、装饰为一体，轻质高强，具有良好的技术经济效益，并且具有鲜明的建筑视觉效果，因此在国外得到了广泛的应用＿，１但在国内还是个空白。Ｊ

Hypre：高性能预条件子

下面是 V-循环结构的多重网格方法（MG）求解线性方程组 Ax=b 的过程。计算时可以直
接调用 MG ( A0 , b, u0 , 0) ，并按照 V-循环迭代过程求解；MG 也可以作为 CG、GMRES 等迭代
法的预条件子。
Algorithm: MG ( Ak , bk , uk , k)
PFMG,.....
PFMG
使用简单点光滑的并行半粗化多重网格预条件子
BoomerAMG 并行代数多重网格（AMG）预条件子
ParaSails
并行稀疏近似逆预条件子
BoomerAMG 既可作为迭代法, 也可作为预条件子。用户可以选择不同的并行粗化技巧（比如 CLJP 粗化、经典 RS 粗化）和松弛策略（比如 Gauss-Seidel 松弛、Jacobi 或加权 Jacobi 松弛）。
int ilower[2][2] = {{-3, 1}, {0, 1}}；iupper[2][2] = {{-1, 2}, {2, 4}}；
HYPRE_StructGridCreate（MPI_COMM_WORLD, 2, &grid）； %创建 2 维网格
% 以各个处理机上的网格中心(cell center)为离散点，需要定义各中心点的坐标（这里只介绍 P0） HYPRE_StructGridSetExtents（grid, ilower[0], iupper[0]）； %左下角{-3, 1}, 右上角{-1, 2}
包括诸如结构化多重网格（SMG）和基于矩阵元的代数多重网格（AMG）。 2) 常用的迭代法实现： Hypre 提供一些最常用的基于 Krylov 子空间迭代法。比如求解非对称
矩阵的 GMRES 和求解对称矩阵的 CG（包括 PCG, CGNR, BiCGStab）。在/hypre-1.6.0/src/ krylov 目录下, 可以看到这些迭代法的细节：gmres.c , pcg.c , cgnr.c , bicgstab.c 。 3) 直观的以网格为中心的界面： Hypre 通过各种网格界面表示和处理稀疏矩阵，每个界面提供对一些求解器的访问，因此不需要用户去学习和创建复杂的数据结构，而别的线性求解器软件包没有这个功能。Hypre 中的数据结构、求解器和网格界面的关系见图 1。Hypre 的网格界面包括：

迭代方法和最优化算法及其应用

迭代方法和最优化算法及其应用概述迭代方法和最优化算法是当代数学和计算机科学领域中非常重要的研究方向。

它们被广泛应用于各种实际问题的求解中，比如物理、金融、工程、医学、社会科学等领域。

本文将讨论迭代方法和最优化算法的基本概念、性质和应用，并以实际案例为例，说明它们在现实生活中的重要性和实用价值。

迭代方法迭代方法是一种基于递推公式或迭代框架的数值计算方法。

它的基本思想是利用已知结果来推导新的结果，并不断逼近最终解。

常见的迭代方法有牛顿迭代法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、共轭梯度法、Krylov子空间方法等。

以牛顿迭代法为例，其递推公式为：$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$其中，$x_k$是第k次迭代得到的近似解，$f(x)$和$f'(x)$分别是函数f(x)及其导数。

牛顿迭代法的主要优点是收敛速度较快，但也有不足之处，如迭代路径不一定收敛、局部最优解的存在、计算导数的困难性等。

最优化算法最优化算法是一种通过数学优化模型来求解优化问题的方法。

它的基本思想是通过优化目标函数来找到最优解，其中目标函数可以是线性的或非线性的，并且通常还要满足一定的限制条件。

最优化算法的常见分类有线性规划、整数规划、非线性规划、凸优化、半定规划等等。

其中最常用的最优化算法之一是梯度下降法，其主要思想是朝着当前位置负梯度方向走一步，来不断逼近最小值。

应用实例迭代方法和最优化算法被广泛应用于现实生活中各种领域的问题求解中。

以金融领域为例，投资组合优化是一个经典的优化问题，目的是在给定的风险和收益目标下，找到最优的投资组合。

这个问题可以通过构建数学模型来求解，其中一个应用广泛且高效的方法是基于最优化算法的组合优化模型。

另一方面，迭代方法和最优化算法在医学中也有广泛应用。

例如，在医学影像重建中，迭代算法可以用于改善低剂量CT图像的清晰度，从而帮助医生更准确地诊断病情。

特征值与特征向量算法的研究

特征值与特征向量算法的研究摘要：目前在很多科学领域中进行研究时，问题常会转化成特征值与特征向量的求解。

本文就求解特征值、特征向量的几个重要的算法作出了研究。

如：幂法，反幂法，QR算法，Jacobi迭代法等。

讨论了各算法的原理及各算法在MATLAB中的运行情况，从而比较出在面对不同性质的矩阵时每个算法都各有千秋。

幂法计算简单，特别适用于高阶稀疏矩阵，但其收敛速度较慢，要想加快幂法的收敛速度可采用反幂法及位移技术。

QR方法被人们称为数值数学，最值得注意的算法之一，它是目前求任意矩阵全部特征值和特征向量最有效的方法。

Jacobi方法是古典方法，它收敛快，精度高，便于并行计算且算法稳定。

但比较适用于求低阶的对称矩阵的全部特征值和特征向量。

关键词：特征值特征向量幂法 QR算法雅可比算法Abstract:At present While carrying on research in a lot of scientific fields，the questions often change into how to solve the eigenvalue and eigenvector. The degree paper do research in some important arithmetic on eigenvalue and eigenvector, such as power method, inverse power method, QR arithmetic and Jacobi arithmetic etc. In this paper, we discuss the theory of arithmetic, also including how to use them in the MATLAB. Then we can come to the conclusion that the power method is easy to run, it is fit to sparse matrix, but the speed is too slow! If you want to speed the rate of convergence, you can use inverse power method. QR is diffused as numerical mathematics, one of the noteworthiness arithmetic; it is the best arithmetic which can solve all eigenvalue and eigenvector of any matrix. Jacobin arithmetic is a classicality, the rate of convergence is fast, and the precision are high too. It is easy to parallel calculate, and the result is steady but it is fit to calculate all eigenvalue and eigenvector of symmetric matrix.Keywords:Eigenvalue eigenvector power method QR arithmetic Jacobin arithmetic目录摘要 (1)1绪论1．1问题提出与研究的目的和意义 (3)1．2国内外研究现状 (3)1．3论文结构与研究方法 (3)1．4论文使用的软件环境 (4)2 MATLAB语言及其在数值计算方面应用的简介 (4)2．1幂法 (4)2．2反幂法 (6)2．3移位反幂法 (8)2．4 QR算法 (10)2．5雅可比（Jacobi）迭代法 (12)3记单侧旋转法的对称矩阵特征值的求法 (16)4几种算法的比较 (16)5 MATLAB计算仿真结果 (17)在MATLAB中用幂法求其特征值与特征向量 (17)6尚待深入研究的问题 (17)参考文献 (18)致谢 (18)一、绪论1.1问题提出与研究的目的和意义代数特征值问题是数值代数的一个重要研究领域。

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