指数函数的图象和性质

指数函数的图象和性质对数函数（1）对数的运算性质：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么： ①N M MN a a a log log log +=； ②N M NMa a a log log log -=； ③)(log log R n M n Ma na ∈=。

（2）换底公式：)0,10,10(log log log >≠>≠>=b c c a a abb c c a 且且点、直线、平面之间的位置关系1．平面平面的性质：公理1的作用“直线在平面上的依据”、公理2的作用“确定一个平面的依据，用其证明点、线共面”、公理3的作用“判定两个平面相交的依据，用其证明点在直线上——两平面的公共点一定在交线上”。

2．空间两直线的位置关系和异面直线的概念与画法空间中两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面。

相交的两条直线与平行的两条直线都是共面的，异面直线“不同在任何一个平面内”的不共面性，指这两条直线永远不具备确定平面的条件，因此，常用平面衬托法画两条异面直线，图1；在两个平面内的两条直线可能是“相交直线、平行直线、异面直线”三种位置关系。

图2αβalb图 23．空间直线和平面的位置关系直线与平面相交、直线在平面内、直线与平面平行直线在平面外——直线和平面相交或平行，记作a ⊄α包括a ∩α=A 和a ∥α 4．空间平面与平面的位置关系⑴平面与平面平行、平面与平面相交⑵如果平面α∥β⇒α内任意直线a ∥β，即面面平行⇒线面平行。

但任意直线a ⊂α、b ⊂β不都有a ∥b ，即“面面平行⇒线线平行”是指平面α、β与第三个平面γ的两条交线平行5．关于平行、垂直及异面直线所成的角⑴定理“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补”说明平移不改变角的大小，只改变角的顶点的位置。

所以求异面直线所成的角，要先平移找角，后求角。

⑵若直线a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c （公理4）。

⑶垂直于同一个平面的所有直线（即平面的垂线）互相平行；注意：⑴若直线l ∥平面α，则l 与α 只与α内哪样的直线平行呢？ 图3 ⑵若直线l ⊥平面α，则l 与α b 一定与α内任意直线都垂直！图41. 直线的倾斜角和直线的斜率⑴坐标平面内的直线都有倾斜角，且一条直线的倾斜角是唯一的，倾斜角的范围为[0°，180°）； 直线的斜率有存在和不存在两种：当直线的倾斜角θ≠90°时，存在斜率k ＝tan θ， 当直线的倾斜角θ＝90°时，不存在斜率。

⑵经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线： 若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k=tan θ=1212x x y y --,若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率不存在，其倾斜角为900。

2．直线方程的适用范围⑴一般式Ax+By+C=0 (A 、B 不同时为0)：对坐标平面内的任何直线都适用 。

⑵点斜式Y- Y 0=k （X- X 0）、斜截式Y=kX+b 不能表示无斜率（垂直于x 轴）的直线.⑶两点式121y y y y --=121x x x x --不能表示平行或重合于两坐标轴的直线.⑷截距式a x +by=1不能表示平行或重合于两坐标轴的直线及过原点的直线 3．两条直线“平行或垂直”的判定直线l 1∥l 2 或重合⇔倾斜角α1=α2⇔有斜率时k 1=k 2 ，或都无斜率；直线l 1∥l 2 ⇔有斜率时k 1=k 2且y 轴上的截距不同，或都无斜率且x 轴上的截距不同；直线l 1⊥l 2 ⇔有斜率时k 1×k 2=-1，或一条有斜率k 1=0另一条无斜率。

若11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++= 且若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零。

①l 1//l 2⇔111222A B C A B C =≠； ②l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0； ③l 1与l 2相交⇔1122A B A B ≠； ④l 1与l 2重合⇔111222A B C A B C ==；4．对称问题及中点公式⑴若两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）关于直线l ：y=kx+b 对称： ①P 1P 2中点在l 上：221y y +=k 221x x ++b ， ②P 1P 2⊥l ：1212x x y y --×k=-1⑵若两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）关于点M （x 0，y 0）对称：M 是P 1P 2的中点（也叫中心） x 0=221x x + ，y 0= 221y y +5．两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的距离公式│P 1P 2│=212212)()(y y x x -+-两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的中点坐标公式M （221x x +，221y y +） 6．点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式d 1=2200BA CBy Ax +++平行直线Ax+By+C 1=0、Ax+By+C 2=0的距离公式d 2=2212BA C C +-1. 确定圆的三要素：圆心坐标a 、b 和半径r ；一般方程中D 、E 、F 且D 2+E 2-4F ＞0。

2. 直线与圆的位置关系的判定 圆心),(b a C到直线的距离——圆心距d =⑴若0d r <⇔⇔∆>相交 ⑵若0d r =⇔⇔∆=相切 ⑶若0d r >⇔⇔∆<相离△法利用直线与圆的方程联立方程组22Ax By C x y Dx Ey F ++=++++=⎧⎨⎩来判断和求解。

3. 经过一点M （x 0，y 0）作圆（x-a ）2+（y-b ）2=r 2的切线⑴点M 在圆上时，切线方程为（x 0-a ）（x-a ）+（y 0-b ）（y-b ）= r 2⑵点M 在圆外时，有2条切线、2个切点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），方程（x 0-a ）（x-a ）+（y 0-b ）（y-b ）= r 2不是切线方程，而是经过2个切点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线方程。

4. 直线被圆所截得的弦长公式│AB │=222d r -（垂径分弦定理）=]4))[(1(212212x x x x k -++=]4))[(11(212212y y y y k-++5. 圆与圆的位置关系设两个大小不等的圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，圆心距︱O 1O 2︱=d .则共有五种位置关系如下：d ＞r 1+r 2 ⇔外离； d= r 1+r 2 ⇔外切；︱r 1-r 2︱＜d ＜r 1+r 2 ⇔相交； d=︱r 1-r 2︱⇔内切； 0≤d ＜︱r 1-r 2︱⇔内含；6. 空间直角坐标系，两点之间的距离公式⑴ xoy 平面上的点的坐标的特征A （x ，y ，0）：竖坐标z=0xoz 平面上的点的坐标的特征B （x ，0，z ）：纵坐标y=0yoz 平面上的点的坐标的特征C （0，y ，z ）：横坐标x=0x 轴上的点的坐标的特征D （x ，0，0）：纵、竖坐标y=z=0 y 轴上的点的坐标的特征E （0，y ，0）：横、竖坐标x=z=0 z 轴上的点的坐标的特征E （0，0，z ）：横、纵坐标x=y=0⑵│P 1P 2│=212212212-z z -y y -x x ）（）（）（++1．任意角和弧度制从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。

在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合）。

为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成α+k ·3600（k ∈Z ）的形式，特例，终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角的集合为{α|α=900+k ·18000，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k ·900，k ∈Z}。

另外，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。

在弧度制下，扇形弧长公式 =|α|R ，扇形面积公式||R 21R 21S 2α== ，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

2．任意角的三角函数利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数。

设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则rysin =α，r xcos =α，xy tan =α。

3．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：22sin cos 1αα+= （2）商数关系：sin tan cos ααα= 4．三角函数的诱导公式利用三角函数定义，可以得到诱导公式：即πα2k+与α之间函数值的关系（k ∈Z ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。

5．函数()ϕω+=x A y sin 的图象作函数y A x =+sin()ωϕ的图象主要有以下两种方法： （1）用“五点法”作图用“五点法”作y A x =+sin()ωϕ的简图，主要是通过变量代换，设ϕω+=x z ，由z 取0，2π，π，23π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象。

（2）用“图象变换法”作图由函数y x =sin 的图象通过变换得到y A x =+sin()ωϕ的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。

法一：先平移后伸缩y x y x =−→−−−−−−−=+><sin sin()()()||向左或向右平移个单位ϕϕϕϕ00，1sin y x ωωϕ−−−−−−−−→=+横坐标变为原来的倍纵坐标不变（）法二：先伸缩后平移y x =−→−−−−−−−s i n 横坐标变为原来的倍纵坐标不变1ω纵坐标变为原来的倍横坐标不变A y A x −→−−−−−−−=+sin()ωϕy x y x =−→−−−−−−−=+><sin sin()()()||ωωϕϕϕϕω向左或向右平移个单位00纵坐标变为原来的倍横坐标不变A y A x −→−−−−−−−=+sin()ωϕ可以看出，前者平移||ϕ个单位，后者平移ωϕ个单位。

原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的。

因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则会出现错误。