8-简单的超静定问题

l1 F N 1l1 E 1 A1
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2

cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a

简单的超静定问题
20
例题 6-2
2. 取1杆和2杆为AB杆的多余约束，FN1和FN2 为多余未知力。得基本静定系如图c。
F
3
AC
B
(c)
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
21
例题 6-2
3. 由变形图（图d）可得变形相容条件为
E
(d) C Dl1 FN1
Δl1 2Δl3 Δl2 2Δl1
F
A
F
FN3
2E F 1A 1F cNo 2 3 l 1sF N E l1 3 3c A 3o s
于是可求出多余未知力FN3 。
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
例2
y
q
A
C
BxA
l/2
l/2
l
8
B
超静定梁
q
A
l/2
FC
l
基本静定系统
B 补充方程为 5ql4 FCl3 0 38E4 I 48EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
1
第 6 章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
2
§6-1 超静定问题及其解法
Ⅰ. 关于超静定问题的概述
(b)
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
mm×30 mm的矩形，钢的弹性
模量E=210 GPa，铜的弹性模
量E3=100 GPa。
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
29
例题 6-3
解：1. 装配后有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3，如 图d所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，

根据前面的分析可知，杆件在轴 向的总变形应包括两部分：
工程力学
第十章 简单超静定问题
（1）由于温度变化引起的变形：此处温度升高
t℃，若B处刚性支撑假想地去除，则杆件可以
“自由”地伸长，设伸长量为lt
（2）由于B处的刚性支撑并没有真的去除，而是这个刚
性支撑为抵抗由于温度升高引起的变形而产生了一个约
束反力 FNB 正是这个约束反力的存在，使得杆件没有产 生真正的伸长，根据相对性原理，相当于这个约束反力
1
2
1
A
A
B
（a）
图10.5
2 B
（b）
工程力学
第十章 简单超静定问题
如果上面的固定物与下面的ABC杆件通过三根杆件连结，如图
10.6a所示，且其中的2杆被加工短了，强制安装后，显然2杆 要被拉长一点，1杆和3杆就要被缩短一点，如图10.6b所示。 因此2杆内存在着轴向拉力，1、3杆内存在轴向压力。这种在 载荷作用以前就存在的轴力称为装配内力，与之相应的应力称 为装配应力，有时也称之为初应力。
试求温度升高 t ℃时杆内的温度应力。
。
图10.8
工程力学
第十章 简单超静定问题
解：第一步，受力分析，如图10.8b所示，列写平 衡方程：
Fx 0, FNA FNB 0
（a）
第二步，进行变形分析，列写变形协调方程。由于杆件两端 是刚性支撑，可想而知，杆件在轴向的总变形量应该为零：
l 0
（b）
工程力学
第十章 简单的超静定
问题
工程力学
第十章 简单超静定问题
第十章 简单超静定问题
§10-1 基本概念及求解方法 §10-2 拉压超静定问题 §10-3 扭转超静定问题 §10-4 弯曲超静定问题

( wB ) FBy
C C F F
8FBy a 3 3EI
(b) (b)
B B
所以
3 14 Fa 3 8FBy a 0 3EI 3EI
MA
MA MA
A A
B B (c) (c) B B B (d) (d) FBy FBy
FA y
A A A
C C
7 FBy F 4
4）由整体平衡条件求其他约束反力
第六章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法
§6-2 拉压超静定问题
§6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
§6-1 超静定问题及其解法
超静定问题与超静定结构：未知力个数多于独立 的平衡方程数。 超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差。 变形几何相容方程：有多余约束的存在，杆件（或 结构）的变形受到多于静定结构的附加限制。根据 变形的几何相容条件，建立附加的方程。
7-6
目录
采用超静定结构
MA MA FA y FA y
A A 2a 2a (a) (a) A A
B B a a
F F
C C
例 求梁的支反力，梁的抗弯 刚度为EI。 解：
1）判定超静定次数
(b) (b)
B B F F FBy FBy B B B
C C
2）解除多余约束，建立相当系统 3）进行变形比较，列出变形协调 条件
FN1 FN 2 33.3kN
FN 2 2 33.3MPa A2
FN 1 1 66.7MPa A1
例：设温度变化为t，1、2杆的膨胀系数为1， 3杆
的膨胀系数为3，由温差引起的变形为l= •t •l,
求各杆温度应力。