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轴力图1234-5-4-3-2-11234567N(F/4)x(a)第六章 简单超静定问题 习题解[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。
设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则：B BD R N = F R N B CD += F R N B AC 3+=变形谐调条件为：0=∆l02=⋅+⋅+⋅EA aN EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N03)(2=++++F R F R R B B B45FR B -=（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45FN BD-= 445F F F N CD -=+-=47345FF F N AC=+-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。
试求各杆的轴力。
解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。
∑=0X030cos 30cos 01032=-+-N N N0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1)∑=0Y030sin 30sin 0103=-+F N N2013=+N N (2)变形谐调条件：设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：00130cos 30sin x y l δδ+=∆x l δ=∆200330cos 30sin x y l δδ-=∆03130cos 2x l l δ=∆-∆2313l l l ∆=∆-∆设l l l ==31，则l l 232=223311233EA l N EA lN EA l N ⋅⋅=- 22331123A N A N A N =- 15023200100231⨯=-N N N23122N N N =-21322N N N -= (3)(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。
6-1试作图示等直杆的轴力图。
解：平衡方程：0:3xA B FF F F =+=∑几何方程：00ABACD D AB C B l lll l ∆=∆+∆+∆==∆物理方程：(2)2(2)A AC AAC A C D A C D B ACB AC F l F al E A E AF F l F F al E AE AFlF a lE AE A++-∆==--∆==∆==-补充方程：(32)042A A A B B F a F F a F aE A E A FA E F F -+--==联立求解：7453344A B A A B B F F F F FF F F F F +=⎧⎨-=⎩⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩轴力图：如图所示。
F N7F /4 - +F /4 5F /46-2如图所示托架承受载荷10kN F =，等直杆1、2、3由同一材料制成，各杆横截面面积分别为21100mm A =、22150mm A =、23200mm A =。
试求1、2、3轴力。
解：平衡方程（如图所示）：oo0:()cos3000:()cos600x D B C y D B F F F F F F F F ⎧=--=⎪⎨=+-=⎪⎩∑∑几何方程（如图所示）：123o o13oo 2321o2;;cos(60)cos(90)cos(60)cos(60)1(ctg sin 2cos(60)1(ctg sin 2l l l l l l l l l l θθθθθθθθθ∆∆∆=∆=∆=∆--+⎧∆-==⎪∆⎪∆-∆⇒⎨∆+⎪==∆⎪⎩物理方程: 123oo123;;cos30cos30B C D F l F l F ll l l E A E A E A ∆=∆=∆=补充方程：1323222B D CB DC F F F F F F A A A -=⇒-=联立求解：8.4530kN 2.6795kN 11.5470kN(220(02)2B C B D C D D B C D B F F F F F F F F F F F F ⎧-=⎪+-=⇒⎨⎪-=⎧⎩=⎪=⎨⎪=⎩ll 1 D x6-3如图所示刚性板由四根截面形状、大小及杆长相同的支柱支撑。
图
习题⋅-16
图
⋅
N l 图
习题⋅-56习 题
[6-1] 试作图示等直杆的轴力图。
解：把A 支座去掉，代之以约束反力A R （↑）。
A AC R N = F R N A CD 2-=
F R N A BD 3-=
变形协调条件为：
0=∆l
02=⋅+⋅+⋅EA a
N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N
03)2(2=-+-+F R F R R A A A
4
7F
R A =
故：4
7F R N A AC =
= 42472F
F F F R N A CD -=-=-= 4
53473F
F F F R N A BD
-
=-=-= 轴力图如图所示。
[6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆BD 和CE 支承。
已知钢杆BD 和CE 的横截面面积22200mm A =和21400mm A =，钢杆的许用应力MPa 170][=σ，试校核该钢杆的强度。
解：以AB 杆为研究对象，则：
0=∑A
M
1
02
3
)330(3121=⨯
⨯-⨯+⨯N N 135321=+N N (1)
变形协调条件：
3
1
21=∆∆l l 123l l ∆=∆
1
12238.1EA l
N EA l N ⨯=⋅ 400
32008.11
2N N =⋅ 212.1N N = (2)
(2)代入（1）得：
13532.122=+N N
)(143.322
.4135
2kN N ≈=
（拉力） )(571.38143.322.12.121kN N N ≈⨯== （压力）
按轴力正负号的规定，记作：
kN N 571.381-=；kN N 143.322=
强度校核：
MPa MPa mm N A N 170][4275.9640038571||
||2
111=<===σσ，符合强度条件。
图
习题⋅-15
6 MPa MPa mm N
A N 170][715.160200321432
122=<===
σσ，符合强度条件。
因此，钢杆符合强度条件，即安全。
[6-15(a)] 试求图示超静定梁的支反力。
解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R ，则变形协调方程为：
0=B w 0=+B e R BM w w
查附录IV ，得：
EI
a M EI a M w e e BM e
2222)2(-=-=
EI
a R a a EI a R w B B R B
38)223(6)2(3
2-=-⨯-=
故， 03823
2=--=+EI
a R EI a M w w B e R BM B e
03
4=+
a
R M B e a
M R e
B 43-
= （负号表示方向向下，即↓） 由0=∑Y 得：a
M R e
A 43=
（↑）
B
图
习题⋅-176
B
由0=∑A M 得：e e A M a a M M +⋅-243，a
M
M e A 2=（逆时针方向转动）
[习题6-17] 梁AB 因强度和刚度不足，用同一材料和同样截面的短梁AC 加固，如图所示。
试求：
（1）二梁接触处的压力C F ；
（2）加固后梁AB 的最大弯矩和B 点的挠度减小的百分数。
解：（1）求二梁接触处的压力C F
以AB 为研究对象，把C 处的圆柱垫去掉，代之以约束反力C F （↑）；以AC 为研究对象，作用在C 处的力为'C F （↓）。
C F 与'C F 是一对作用与反作用力，
'C C F F =。
受力如图所示。
AB 梁在C 处的挠度：
C CF CF AB C w w w +=,。
查附录IV 得：
EI
Fl l l EI l F w CF
48523(6)2(32
=
-=
B
B
FL
图
M EI
l F l l EI l F w C C CF C
24)223(6)2(32
-
=-⋅-= 故，EI
l F EI Fl w w w C CF CF AB C C 244853
3,-=+= AC 梁在C 处的挠度：
EI
l F EI l F w C C AC
C 243)2(33
',=
= 变形协调方程：
AC C AB C w w ,,=
EI
l F EI l F EI Fl C C 242448533
3=- 2424485C
C F F F =- C C F F F 225=-
4
5F
F C =
（↑） （2）求加固后梁AB 的最大弯矩和B 点的挠度减小的百分数 ① 弯矩的变化情况
加固前：2
2Fl l F M C -=⋅
-= max M Fl M A =-=
B
A
图
M Fl 3Fl 加固后：
max '
2
2M Fl l F M C
=-=⋅-=
8
3245'
Fl
l F Fl M A -
=⋅+
-= 显然，AB 梁的最大弯矩
减小：%5021=-Fl Fl
Fl （负弯矩只表示AB 梁上侧受拉） ② B 点挠度的变化情况
加固前：
EI
Fl w B 33
=
加固后：2
'
l w w w C C CF CF CF B ⋅++=θ
EI
Fl w CF
33= EI Fl EI l F EI l F l l EI l F w C C CF C
965244524)223(6)2(333
2-
=⋅-=-=-⋅-= EI
Fl EI l F EI l F EI l F EI l l F C C C CF C
3258458]2)2(22[222
2-
=⋅-=-=-⋅⋅-=θ 故，2
'
l w w w C C CF CF CF B ⋅++=θ
23259653233l
EI Fl EI Fl EI Fl ⋅--=
EI
Fl 192393
=
B 点挠度减小的百分数为：
%3964251926419225319239333
333===-EI
Fl EI Fl EI Fl EI Fl EI Fl。
