《高等数学》第一篇第一章--函数[1]

第一章函数与极限初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量，所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法，本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的一些性质。

一、本章主要内容：1、数列极限的定义，函数极限的定义，函数的左右极限。

2. 极限的性质，函数的极限与其左右极限的关系，极限的唯一性，局部有界性，保号性。

3. 无穷小和无穷大的概念、性质极其运算、无穷小的比较。

4．极限的四则运算、复合运算、等价无穷小代换。

5．极限存在的两个准则与两个重要极限，（1）单调有限准则，重要极限（2）夹逼准则，重要极限6．函数的连续性概念和间断点的类型7．闭区间上连续函数的性质：最大（小）值定理、有界性定理、零点定理、介值定理。

二、内容提要框图三本章重点1. 正确理解函数与复合函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图象．2. 建立极限概念与理解ε－N方法, 函数极限的概念与ε－δ方法3. 无穷小的概念与性质4. 单调有界法则与两个重要极限及其应用5. 初等函数的连续性及其应用四本章难点1. 反函数概念，由实际问题建立函数关系式与求分段的复合函数的关系式．2. ε－N, ε－δ极限定义证明法3. 理解无穷小，无穷小与任意小、充分小、很小的数的区别4. 两个重要极限公式，分清各公式的特点及适用时机．5. 闭区间上连续函数的几条性质．第一节映射与函数学习指导1．教学目的读者应理解集合、映射的概念；理解函数概念，了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性，了解反函数概念。

2．基本练习会求函数的定义域，会求函数的反函数。

会判断函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性；熟练掌握基本初等函数的图形和性质。

会把复合函数分解成基本初等函数的组合。

3．应注意的事项本节内容大多数中学阶段已经学过，此处为了教学方便，将中学阶段的内容加以归纳，扩充，提高。

学生可根据自己的知识结构进行复习、有重点地学习，对教材上的练习题，先阅读题目，再适当选做部分练习题。

2 函数的极限
高等数学 第一章. 第二节
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定义1 给定一个数列xn ，如果当n无限增大时，xn 无限接近于某一
个确定常数A，则称当n趋于无穷时，数列xn 的极限为A，记作
lim
n∞
xn
A?或xn
A（n
∞）．
此时也称数列xn 收敛．如果当n无限增大时，xn 无限接近的常数A不存在，
则称数列xn 发散，此时也称数列xn 的极限不存在．
称为中间变量．
1）复合函数的复合原则：前一个函数的定义域与后一个函数的值域
的交集非空，即中间变量有意义．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
第 16 页
例1 将y表示成x的复合函数．
（1）y eu，u sin v，v 3 x；（2）y ln u，u 2 v， 2 v sec x； （3）y arcsin u，u 2 x．2
四、基本初等函数
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数． 1.幂函数y x ( R)?
幂函数y x 的定义域和值域随的取值不同而不同，但是无论 取何值，幂
函数在x (0， ∞)内总有定义．常见的幂函数的图像如图所示．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
2.指数函数y a x (a 0，a 1)
指数函数y a（ x a 0，a 1）的定义域 为(∞， ∞，) 值域为(0， ∞．) 指数函数的 图像如图所示．
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1 函数
高等数学 第一章. 第一节
3.对数函数y loga x (a 0，a 1)
对数函数y loga x（a 0，a 1）的定义域为(0， ∞， ) 值域为(∞， ∞．) 对数函数y loga x是指数函数y ax的 反函数，其图像如图所示．

22 22 2222 a b 2 a b c d c d
2 2 22 22 (| x | | y |) | x y | 2 a b c d 2 ac 2 b
为证三角不等式只须证明
2 22 2 ac bd a b c d
为证上式，又只须证明


点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
U ( a ) { x a x a } .

a
a
0
a
x
U a ). 点 a 的去心的 邻域 , 记作 (
U ( a ) { x 0 x a } .

a a ; ab a b ; 运算性质: b b a x a ; x a ( a 0 ) x a 或 x a ; x a ( a 0 )
a , b R , 且 a b .
{ x a x b } 称为开区间,
o a b { x a x b } 称为闭区间, o
记作 ( a ,b )
x 记作 [ a ,b ] x
a
b
{ x a x b } 称为半开区间, { x a x b } 称为半开区间,
(3) 狄利克雷函数
1 当 x 是有理数时 yD (x ) 0 当 x 是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(4) 取最值函数 y max{ f ( x ), g ( x )} y min{ f ( x ), g ( x )}
y
f (x)
y
f (x)
g(x)
o
x
g(x)
x y x y . 绝对值不等式: 绝对值不等式的两个变形公式：

2.函数的两个要素 函数的对应规律和定义域称为函数的两个要素. （１）对应法则 给定自变量的一个值后，通过对应法则得到唯一的函数值。
例3 下面各组对应法则是否相同？为什么？
(1)
f:
x y
1 6
2 7
3 8
4 9
g:
x y
1 6
2 7
3 8
4 9
(2)
φ:
x y
1 1
2 1
3 1
4 1
ψ:
x y
4 1
一、基本初等函数
函数名称
函数表达式
常数函数
y =C
(C 为常数)
幂函数
y x ( 为实数)
指数函数
y ax
(a ＞0,a ≠1,a 为常数)
对数函数
y =log a x (a ＞0,a ≠1,a 为常数)
三角函数 y = sin x , y =cos x , y =tan x , y =cot x
而成的，其定义域为［-1，1］，它是 u 1 x2 的定义域的一
部分. （3） y =arcsin u ,u =2+x 2 是不能复合成一个函数的．
例2 分析下列复合函数的结构：
⑴ y = cot x
2
解 ⑴ y= u,
⑵ y = eu ,
; u cot v ,
u sin v ,
⑵ y esin . x21
习惯上总是用 x 表示自变量，而用 y 表示函数，因此， 往往把 x = (y )改写成 y = ( x )，称为y = f (x) 的矫形反
函数，记作 y f 1(x) .称函数 y f (x) 的反函数 x ( y) 为