高中数学第一章集合与函数概念1.3.1.1函数的单调性课时达标训练新人教A版必修1

⎩⎨
0, x3
+
x
−
1,
x > 0, x = 0, x < 0.
如果奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最小值为 5 ，那么 f (x) 在区间
[−7, −3] 上是
A．增函数且最小值是 −5 B．增函数且最大值是 −5
C．减函数且最大值是 −5 D．减函数且最小值是 −5
例题：
求函数
y
= √−x−−−−−1 −
1 x
的最小值．
解：因为 x − 1 ⩾ 0 且 x ≠ 0，所以 x ⩾ 1 ，则函数 f(x) 的定义域为 [1, +∞)．
又
y = √−x−−−−−1 在
[1, +∞)
上单调递增，而
y=
1 x
在
[1, +∞)
上单调递减，所以
y
=
−
1 x
在
[1, +∞)
上单调递增．所以
解：B
因为奇函数 f(x) 在区间 [3, 7] 上是增函数，所以 f(x) 在[−7, −3] 上也是增函数，且奇函数
f f
(x) 在区间 (−3)max =
[3, 7] −f (3)
上 =
f(3)min = −5，故选
5，则 B．
f (x)
在区间
[−7, −3]
上有
定义 [−2, 2] 在上的偶函数 g(x)，当 x ⩾ 0 时，g(x) 单调递减，若 g(1 − m) < g(m) 成立， 求 m 的取值范围． 解：因为 g(x) 是偶函数，所以
y
=
√−x−−−−−1 −
1 x

课时11 函数的单调性(1)函数单调性的概念1．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定 答案 D解析 由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x 1，x 2不在同一单调区间内，所以f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定．故选D.2．已知函数f (x )的定义域为A ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量x 1，x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，则( )A ．f (x )在这个区间上为增函数B ．f (x )在这个区间上为减函数C ．f (x )在这个区间上的增减性不确定D ．f (x )在这个区间上为常函数 答案 A解析 ①当x 1＞x 2时，x 1－x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， ∴f (x )在区间I 上是增函数．②当x 1＜x 2时，x 1－x 2＜0，则f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在区间I 上是增函数．综合①②可知，f (x )在区间I 上是增函数．故选A.函数单调性的判断A ．函数f (x )在[－1,2]上是增函数B ．函数f (x )在[－1,2]上是减函数C ．函数f (x )在[－1,4]上是减函数D ．函数f (x )在[2,4]上是增函数 答案 A解析 由图象知，f (x )在[－1,2]上是增函数，在(2,4]上是减函数，故选A.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，－x 2，x <0的单调性为( )A ．在(0，＋∞)上为减函数B．在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数 C ．不能判断单调性D ．在(－∞，＋∞)上是增函数 答案 D解析 画出函数图象．如图，由图知f (x )在R 上为增函数．函数单调性的证明5.(1)证明：函数f (x )＝x 2－x在区间(0，＋∞)上是增函数；(2)证明：函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数． 证明 (1)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－1x 1－x 22＋1x 2＝(x 1－x 2)x 1＋x 2＋1x 1x 2.∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＋1x 1x 2＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数．(2)设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0， 而f (x 2)－f (x 1)＝(x 32＋x 2)－(x 31＋x 1) ＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21)＋(x 2－x 1) ＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21＋1) ＝(x 2－x 1)x 2＋x 122＋34x 21＋1.因为x 2＋x 122＋34x 21＋1＞0，x 2－x 1＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)． 因此函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数.解 令u (x )＝2－x 2，则u (x )在(－∞，0]上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，且u (0)＝2.f (x )＝8＋2x －x 2＝－(x －1)2＋9在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数．令－x 2＋2＝1，则x ＝±1.∴当x ∈(－∞，－1]时，u (x )为增函数，值域为(－∞，1]，且f (x )在(－∞，1]上也为增函数．∴g (x )在(－∞，－1]上为增函数．同理，g (x )在[－1,0]上为减函数，在[0,1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数． 所以函数g (x )的单调递增区间是(－∞，－1]，[0,1]，单调递减区间是[－1,0]，[1，＋∞).忽视单调区间的端点值而致误7.函数y ＝xx ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．易错分析 分离常数后解析式为y ＝1－ax ＋a，根据单调性得出－a <－2即a >2，由于忽视了端点值而得出a >2的错误结论．答案 a ≥2 正解 y ＝xx ＋a＝1－ax ＋a依题意，得函数的单调增区间为(－∞，－a )，(－a ，＋∞)，要使函数在(－2，＋∞)上为增函数，只要－2≥－a ，即a ≥2.一、选择题1．下列说法中，正确的有( ) ①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f x 1－f x 2x 1－x 2＜0，则y ＝f (x )在I 上是减函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④函数y ＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 B解析 ①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f x 1－f x 2x 1－x 2＜0，则y ＝f (x )在I 上是减函数，这是减函数的定义，故①正确；②函数y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故②错误；③函数y ＝－1x在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是增函数，故③错误；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，故④错误．故选B.2．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ①y ＝|x |；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 答案 C解析 ①y ＝|x |＝－x (x <0)在(－∞，0)上为减函数；②y ＝|x |x＝－1(x <0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；③y ＝－x 2|x |＝x (x <0)在(－∞，0)上是增函数；④y ＝x ＋x|x |＝x －1(x <0)在(－∞，0)上是增函数．故选C.3．当y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈(－∞，1))是单调函数时，b 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞) B．(－∞，－2] C ．(－2，＋∞) D．(－∞，－2) 答案 B解析 由y ＝x 2＋bx ＋c 可知，二次函数的对称轴为 x ＝－b2，要使函数y ＝x 2＋bx ＋c 在(－∞，1)上是单调函数，则－b2≥1，所以b ≤－2.故选B.4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,1)C ．(0,1)D ．(0,1] 答案 D解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，得a ≤1.由函数g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，得a >0，故a 的取值范围为(0,1]．5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x ＜1，－x ＋1，x ≥1是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－17∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞答案 C解析 要使f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件： ①g (x )＝(3a －1)x ＋4a 在(－∞，1)上为减函数； ②h (x )＝－x ＋1在[1，＋∞)上为减函数； ③g (1)≥h (1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，a －＋4a ≥－1＋1，所以17≤a ＜13.二、填空题6．已知函数f (x )＝|x ＋a |在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围是________． 答案 a ≤－1解析 当x ∈R 时，f (x )＝|x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≥－a ，－x －a ，x <－a ，∴f (x )的递减区间为(－∞，－a ]． 由题意，(－∞，1]⊆(－∞，－a ]， ∴－a ≥1，即a ≤－1.7．若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是单调________函数．答案 减解析 y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，y ＝ax 2＋bx ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2－b 24a， 对称轴x ＝－b2a<0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是单调减函数．8．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________. 答案 －6解析 作出函数f (x )＝|2x ＋a |的图象，大致如图，根据图象可得函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞，即－a2＝3，a ＝－6.三、解答题9．已知函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (x )<0(x >0)，试判断F (x )＝1f x在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．解 F (x )＝1f x在(0，＋∞)上为减函数．证明如下：任取x 1，x 2，使0<x 1<x 2，则F (x 2)－F (x 1)＝1f x 2－1f x 1＝f x 1－f x 2f x 1f x 2.∵x >0时，f (x )<0，∴f (x 1)·f (x 2)>0. 又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0. ∴F (x 2)－F (x 1)<0，即F (x 2)<F (x 1)． ∴函数F (x )＝1f x在(0，＋∞)上为减函数．10．求函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a ＞b ＞0)的单调区间． 解 由题意知函数f (x )的定义域是(－∞，－b )∪(－b ，＋∞)． 设x 1，x 2是区间(－b ，＋∞)上的任意两个实数，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1＋b －x 2＋a x 2＋b ＝1＋a －b x 1＋b －1＋a －b x 2＋b ＝a －b x 1＋b －a －bx 2＋b＝a －bx 2－x 1x 1＋b x 2＋b.∵a ＞b ＞0，x 2＞x 1＞－b ，∴a －b ＞0，x 2－x 1＞0，x 2＋b ＞0，x 1＋b ＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)， ∴函数f (x )在(－b ，＋∞)上为减函数，即函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a ＞b ＞0)的单调递减区间为(－b ，＋∞)．同理可得，函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a ＞b ＞0)的单调递减区间还有(－∞，－b )． 综上可得，函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a ＞b ＞0)的单调递减区间为(－∞，－b )和(－b ，＋∞)．。

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1。

3.1 函数的单调性(第二课时）一．选择题1．f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，则不等式f（x)＞f(8（x－2）)的解集是( )A． (0，＋∞） B． (0，2）C． (2，＋∞） D．【答案】D【解析】由是定义在上的增函数得，，故选D。

【点睛】利用函数的单调性来求不等式的解集时，一般根据单调性列出相应的不等式进行求解，在此过和中一定要注意函数的定义也要考虑进去,才不会致使结果出错.2．函数f(x)＝x|x－2｜的增区间是（ )A．（－∞，1] B． [2，＋∞)C．（－∞，1］，[2,＋∞） D． (－∞，＋∞）【答案】C由图像可知f（x）的增区间是(－∞，1]，［2，＋∞)．故选C。

3．下列四个函数在(－∞，0）上为增函数的是（）①y＝｜x|＋1；②y＝；③y＝－；④y＝x＋。

A．①② B．②③C．③④ D．①④【答案】C【解析】①在上为减函数；②在上既不是增函数,也不是减函数;③在上是增函数;④在上也是增函数．故选C.4．设f(x)＝(2a－1）x＋b在R上是减函数,则有（ )A．a≥ B．a≤C．a>－ D．a〈【答案】D【解析】∵在上是减函数,故，即 .故选D.5．已知函数在内单调递减，则的取值范围是（）.A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分段函数的两段都是减函数，且在处的函数值左边的不小于右边的．【详解】【点睛】本题考查函数的单调性，对分段函数来讲，要使得函数在定义域上为减函数，除两段都是减函数外,在分界点处函数值也需满足一定的条件．6．设函数f（x）是定义在(－∞,+∞）上的增函数， a为实数, 则（）A． f（a)＜f(2a） B． f(a2)＜f(a） C． f（a2+a）＜f（a) D． f （a2+1）〉f（a）【答案】D【解析】因为，即，又是单调递增函数，，应选答案D.二．填空题7．函数在区间（0，＋∞）上是增函数，则实数m的取值范围是________.【答案】【解析】∵函数在区间上是增函数，∴，解得.8．已知函数f(x)为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足的实数x的取值范围为________．【答案】点睛：根据知识：若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上,若，则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有;据此可以解不等式,由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系。

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1.3 错误!1．3.1 单调性与最大（小）值第一课时函数的单调性预习课本P27～29，思考并完成以下问题(1）增函数、减函数的概念是什么?（2)如何表示函数的单调区间？（3)函数的单调性和单调区间有什么关系？错误!1．定义域为I的函数f（x)的增减性［点睛］定义中的x1，x2有以下3个特征(1）任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;（2）有大小，通常规定x1<x2;(3)属于同一个单调区间．2．单调性与单调区间如果函数y＝f（x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x)在这一区间上具有(严格的）单调性，区间D叫做y ＝f(x）的单调区间．［点睛］一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和"连接．如函数y＝错误!在(－∞,0)和(0，＋∞）上单调递减，却不能表述为：函数y＝错误!在(－∞，0）∪（0，＋∞）上单调递减．错误!1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）函数y＝x2在R上是增函数．( )(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )（3）在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( ）答案：(1）×（2)×（3)×2。