第3讲 圆的方程

第3讲 圆的方程基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.x 2＋y 2＝2 B.x 2＋y 2＝ 2 C.x 2＋y 2＝1D.x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为(0，0)，|AB |＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. 答案 A2.(2017·某某七校联考)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A.(x －2)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D.(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析 已知圆的圆心C (1，2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2，1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A. 答案 A3.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值X 围是( )A.(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C.(－2，0)D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 解析 方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.答案 D4.(2017·某某一中检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213C.253D.43解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，其到原点的距离为 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.答案 B 二、填空题6.若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________. 解析 设圆心C 坐标为(2，b )(b <0)，则|b |＋1＝4＋b 2.解得b ＝－32，半径r ＝|b |＋1＝52，故圆C 的方程为：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2547.(2017·某某模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________.解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大.答案 (0，－1)8.(2017·某某调研)已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________.解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2，1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.由于直线过圆心C (2，1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y －0＝x －1，即为x －y答案 x ＋y －1＝0 x －y －1＝0 三、解答题9.已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.解 l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直.三交点A ，B ，C 连线构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1). 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.所以点B 的坐标是(1，－1).线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1，又|AB |＝（－2－1）2＋（－1＋1）2＝3. 故所求圆的标准方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94.10.在△ABC 中，已知|BC |＝2，且|AB ||AC |＝m ，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.解 如图，以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系.则有B (－1，0)，C (1，0)，设点A 的坐标为(x ，y ). 由|AB ||AC |＝m ，得（x ＋1）2＋y 2＝m （x －1）2＋y 2.整理得(m 2－1)x 2＋(m 2－1)y 2－2(m 2＋1)x ＋(m 2－1)＝0.① 当m 2＝1时，m ＝1，方程是x ＝0，轨迹是y 轴.当m 2≠1时，对①式配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2＋1m 2－12＋y 2＝4m 2（m 2－1）2.所以，点A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2－1，0为圆心，2m |m 2－1|为半径的圆(除去圆与BC 的交点). 能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( ) A.1 B.5 C.4 2D.3＋2 2解析 由题意知圆心C (2，1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2b a ×2ab ＝3＋22， 当且仅当b a＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立. ∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.答案 D12.已知圆心(a ，b )(a ＜0，b ＜0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( ) A.(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9B.(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25C.(x ＋6)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499解析 由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b |，则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由圆心在直线y ＝2x ＋1上， 得b ＝2a ＋1 ①，由此圆在y 轴上截得的弦长为25， 得b 2－a 2＝5 ②，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝73(舍去).所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9.故选A.答案 A13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________.解析 设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|PA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.答案 7414.在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C . (1)某某数b 的取值X 围； (2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论.解 (1)显然b ≠0，否则，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0，0)，(－2，0)，这与题设不符.由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b >0，即b <1.所以b 的取值X 围是(－∞，0)∪(0，1).(2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b ).设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得⎩⎨⎧（－1－1－b ）2＋D （－1－1－b ）＋F ＝0，（－1＋1－b ）2＋D （－1＋1－b ）＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.又b ≠0，解上述方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－（b ＋1），F ＝b .所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 过定点，证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0(*).为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0，1)，(－2，1)均在圆C 上.因此，圆C 过定点.15.(2016·某某卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，某某数t 的取值X 围. 解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6，7)，半径r ＝5， 由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)， 且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)∵k OA ＝2，∴可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0. 又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝25， 即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形， 又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10. ∴|TA |＝|PQ |≤10，即（t －2）2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的X 围为[2－221，2＋221].。

第3讲 圆的方程基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )2 ＝2y ＋2x A. 2＝2y ＋2x .B 1＝2y ＋2x C.4＝2y ＋2x .D 解析 AB 的中点坐标为(0，0)，，22＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝|AB | 2.＝2y ＋2x 圆的方程为∴ 答案 A)(对称的圆的方程为x ＝y 关于直线1＝22)－y (＋21)－x (圆)嘉兴七校联考(2017·2. 1 ＝21)－y (＋22)－x (A. 1＝22)－y (＋21)＋x .(B 1＝21)－y (＋22)＋x (C.1＝22)＋y (＋21)－x .(D 22)－y (＋21)－x (圆∴，)1，′(2C 对称的点为x ＝y 关于直线)2，(1C 已知圆的圆心 解析 A.故选，1＝21)－y (＋22)－x (对称的圆的方程为x ＝y 关于直线1＝ 答案 A)(的取值范围是a 则实数，表示圆0＝1－a ＋2a 2＋ay 2＋ax ＋2y ＋2x 方程.3⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞2)∪－，∞－(A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0B. )0，2－(C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，23D. .23＜a ＜2解得－，0＞3a24－a －1则，表示圆3a24－a －1＝2)a ＋y (＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 2方程为 解析 答案 D上任一点连线的中点的轨迹方程是4＝2y ＋2x 与圆2)－，(4P 点)绍兴一中检测(2017·4.( )1 ＝21)＋y (＋22)－x (A. 4＝21)＋y (＋22)－x .(B 4＝22)－y (＋24)＋x (C.1＝21)－y (＋22)＋x .(D 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x02，y ＝－2＋y02，则，)y ，x (M 的中点为PQ ，)0y ，0x (Q 设圆上任一点为 解析，4＝22)＋y (2＋24)－x (2即，4＝20y ＋20x 所以，上4＝2y ＋2x 在圆Q 因为点⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2x －4，y0＝2y ＋2.1.＝21)＋y (＋22)－x (化简得 答案 A外接圆的圆心到原ABC △则，)3，(2C ，)3，(0B ，)0，(1A 已知三点)卷Ⅱ全国(2015·5.点的距离为( )53A. 213B.253C.43D. ①，1＝x 的垂直平分线方程为BC 得线段，)3，(2C ，)3，(0B 由点 解析 的垂直平分线方程为AB 得线段，)3，(0B ，)0，(1A 由点 ②，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1233＝32－y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233外接圆的圆心坐标为ABC △解得，①②联立 B.故选.213＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332其到原点的距离为 答案 B 二、填空题6.若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________.＝1＋|b |＝r 半径，32＝－b 解得.4＋b2＝1＋|b |则，<0)b )(b ，(2坐标为C 设圆心 解析，52.254＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋32＋22)－x (的方程为：C 故圆 254＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋32＋22)－x ( 答案 的C 圆心，的面积取最大值时C 当圆，2k ＝－y 2＋kx ＋2y ＋2x ：C 已知圆)广州模拟(2017·7.坐标为________..的面积最大C 时圆0＝k 当，所以1.＋2k 34＝－21)＋y (＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 2的方程可化为C 圆 解析 答案 (0，－1)的最M 那么过点，内的一点0＝y 2－x 4－2y ＋2x ：C 是圆)0，(1M 已知点)丽水调研(2017·8.短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________.1－02－1＝CM k ∵，)1，(2C 的圆心为0＝y 2－x 4－2y ＋2x ：C 圆，垂直CM 的最短弦与M 过点 解析＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.由于直线过圆心C (2，1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y －0＝x －1，即为x－y －1＝0.答案 x ＋y －1＝0 x －y －1＝0三、解答题再，先画出图形，两两相交0＝1－y ＋x 2：3l ，0＝1＋y ：2l ，0＝y 2－x ：1l 已知三条直线9.求过这三个交点的圆的方程.连线构成直角C ，B ，A 三交点.互相垂直3l 与1l ，轴x 平行于2l 解三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，y ＋1＝0解方程组1).－，2－(的坐标是A 所以点⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0解方程组 所以点B 的坐标是(1，－1). ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1是的中点坐标AB 线段 3.＝（－2－1）2＋（－1＋1）2＝|AB |又 .94＝21)＋y (＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12故所求圆的标准方程是 .并说明轨迹是什么图形，的轨迹方程A 求点，m ＝|AB||AC|且，2＝|BC |已知，中ABC △在10. 解 如图，以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系.则有B (－1，0)，C (1，0)，设点A 的坐标为(x ，y ).－2m (整理得.（x －1）2＋y2m ＝（x ＋1）2＋y2得，m ＝|AB||AC|由0.①＝1)－2m (＋x 1)＋2m 2(－2y )1－2m (＋2x 1) .轴y 轨迹是，0＝x 方程是，1＝m ，时1＝2m 当 .4m2（m2－1）2＝2y ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m2＋1m2－1得，式配方①对，时1≠2m 当).的交点BC 除去圆与(为半径的圆2m|m2－1|，为圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋1m2－1，0的轨迹是以A 点，所以 能力提升题组 (建议用时：25分钟)的最2b＋1a 则，的周长0＝8－y 2－x 4－2y ＋2x 始终平分圆)>0b ，>0a 0(＝2－by 2＋ax 若直线11.小值为( )A.1B.52C.422＋D.3 解析 由题意知圆心C (2，1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， 2a b＋b a ＋3＝)b ＋a )(2b＋1a (＝2b＋1a ∴ ，22＋3＝b a ×2ab2＋3≥ ，2a b＝b a 当且仅当 .等号成立，时1－2＝a ，2－2＝b 即 .22＋3的最小值为2b＋1a ∴ 答案 D12.已知圆心(a ，b )(a ＜0，b ＜0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆)(则圆的方程为，52轴上截得的弦长为y 在，的半径 9＝23)＋y (＋22)＋x (A.25＝25)＋y (＋23)＋x (B. 499＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋73＋26)＋x (C. 499＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋73＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23D. 解析 由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b |，则圆的方程为，上1＋x 2＝y 由圆心在直线.2b ＝2)b －y (＋2)a －x ( 得b ＝2a ＋1 ①，，52轴上截得的弦长为y 由此圆在 ，② 5＝2a －2b 得 A.故选9.＝23)＋y (＋22)＋x (所以所求圆的方程为).舍去(⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝73或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3得①②由答案 A其中，2|PA |＋2|PB |＝d 记.上的动点C 是圆P 设点，1＝24)－y (＋23)－x (：C 已知圆13.A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________.20y ＋20x 2.＋)20y ＋20x 2(＝21)－0y (＋20x ＋21)＋0y (＋20x ＝2|PA |＋2|PB |＝d ，)0y ，0x (P 设 解析74.＝max d ∴，36＝21)＋(5＝max )20y ＋20x (∴，为圆上任一点到原点距离的平方 答案 74的图象与两个坐标轴有三)R ∈x (b ＋x 2＋2x ＝)x (f 二次函数设，中xOy 在平面直角坐标系14.个交点，经过这三点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论.的图象与两个坐标轴只有两个交点b ＋x 2＋2x ＝)x (f 二次函数，否则，≠0b 显然(1) 解(0，0)，(－2，0)，这与题设不符.x ，故它与)b ，(0轴有一个非原点的交点y 的图象与b ＋x 2＋2x ＝)x (f 二次函数，知≠0b 由－4因此方程的判别式，有两个不相等的实数根0＝b ＋x 2＋2x 从而方程，轴必有两个交点4b >0，即b <1.所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0，1).的图象与两b ＋x 2＋2x ＝)x (f 二次函数，于是.1－b 1±＝－x 得，0＝b ＋x 2＋2x 由方程(2)).b ，(0，)0，1－b ＋1－(，)0，1－b －1－(个坐标轴的交点是 的方C 将它们的坐标分别代入圆，过上述三点C 圆，0＝F ＋Ey ＋Dx ＋2y ＋2x 的方程为C 设圆程，得⎩⎨⎧（－1－1－b ）2＋D （－1－1－b ）＋F ＝0，（－1＋1－b ）2＋D （－1＋1－b ）＋F ＝0，b2＋Eb ＋F ＝0. ⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－（b ＋1），F ＝b.得，解上述方程组，≠0b 又 0.＝b ＋y 1)＋b (－x 2＋2y ＋2x 的方程为C 所以圆 (3)圆C 过定点，证明如下：＋20x 并变形为，的方程C 将该点的坐标代入圆，)b 不依赖于0y ，0x )(0y ，0x (过定点C 假设圆0(*).＝)0y －(1b ＋0y －0x 2＋20y －0x 2＋20y ＋20x 式得(*)结合，0＝0y －1必须有，都成立b 的≠0)b <1(b 式对所有满足(*)为使0.＝0y.过定点C 圆，因此.上C 均在圆)1，2－(，)1，(0点，经检验知⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－2，y0＝1.或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝0，y0＝1解得15.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的).4，(2A 及其上一点0＝60＋y 14－x 12－2y ＋2x ：M 圆 (1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程；.的取值范围t 求实数，TQ →＝TP →＋TA →使得，Q 和P 上的两点M 满足：存在圆)0，t (T 设点(3) ，5＝r 半径，)7，(6M 圆心，25＝27)－y (＋26)－x (的方程化为标准形式为M 圆(1) 解 ，0)＞b (2b ＝2)b －y (＋26)－x (的方程为N 设圆，由题意 5.＋b ＝（6－6）2＋（b －7）2且 1.＝21)－y (＋26)－x (的标准方程为N 圆，∴1＝b 解得 0.＝m ＋y －x 2即，m ＋x 2＝y 的方程为l 可设直线，∴2＝OA k (2)∵ ，52＝22＋42＝|OA |＝|BC |又 ，52＝25－5＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC|22＝d 的距离为l 到直线)7，(6M 的圆心M 圆，由题意 15.＝－m 或5＝m 解得，52＝|2×6－7＋m|22＋（－1）2即∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.，为平行四边形AQPT 则四边形，TQ →＝TP →＋TA →由(3) 又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10. ，10≤（t －2）2＋42即，|≤10PQ |＝|TA |∴ .212＋2≤t ≤212－2解得 ].212＋2，212－[2的范围为t 故所求。

第三节 圆的方程知识梳理 一、圆的标准方程设圆心C 坐标为(a ，b )，半径是r ，则圆C 的标准方程是____________．特别地，圆心为O (0,0)时，标准方程为______________________．答案：（x-a ）2+（y-b ）2=r 2x 2+y 2=r 2二、圆的一般方程当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的________________，其圆心为____________，半径r ＝____________.答案：一般方程 （-D 2，-E 2） 2422F E D -+基础自测1．方程x 2＋y 2－4kx －2y －k ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14<k <1 B ．k <14或k >1 C ．k ∈R D ．k ＝14或k ＝1解析：因为(－4k)2＋(－2)2－4(－k)＝15k 2＋(k ＋2)2>0恒成立，所以k∈R. 故选C.答案：C2．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |－1<a <1} B ．{a |0<a <1} C ．{a |a <－1或a >1} D ．{a |a ＝±1}解析：因为点(1,1)在圆内，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4， 即－1<a <1. 答案：A3．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是______________________．解析：AB 的垂直平分线为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝x ，得圆心M (1,1)，故半径r ＝|AM |＝2， 所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝44．已知圆C 的圆心与点P(－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称．直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|＝6，则圆C 的方程为________________________．解析：圆心的坐标为(0，－1)，所以r 2＝32＋－4－11252＝18，圆的方程为x2＋(y ＋1)2＝18.答案：x 2＋(y ＋1)2＝181．(2013·山东卷)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，所以k AB ＝－2，所以直线AB 的方程为：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0. 答案：A2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．解析：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为r ＝32＋1－12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y 得方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.,1．(2013·汕尾二模)已知圆C 的方程为：(x －2)2＋y 2＝25，则过M (0，1)的圆C 的对称轴所在的直线方程为__________________．解析：由：(x －2)2＋y 2＝25，得圆心C (2,0)，又圆C 的对称轴过M (0,1)，由直线方程的两点式得：y －01－0＝x －20－2，整理得：x ＋2y －2＝0.所以过M (0,1)的圆C 的对称轴所在的直线方程为x ＋2y －2＝0.答案：x ＋2y －2＝02．(2013·揭阳一模)已知圆C 经过直线2x －y ＋2＝0与坐标轴的两个交点，又经过抛物线y 2＝8x 的焦点，则圆C 的方程为________________．解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，直线2x －y ＋2＝0与坐标轴的两个交点坐标分别为A (－1,0)，B (0,2)，设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A 、B 、F 三点的坐标代入圆的方程得：⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝0，4＋2E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1，E ＝－1，F ＝－2.于是所求圆的方程为x 2＋y 2－x －y －2＝0.即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝52.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝52。

第3讲 圆的方程1．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <1C ．a >1或a <－1D ．a ＝±12．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是( )A.5＋3 B ．6 5＋14C ．－5＋3D ．－6 5＋143．(2017年广东广州一模)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(1,0)D ．(－1,0)4．(2019年江西新余模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．45．(2017年天津)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠F AC ＝120°，则圆的方程为_______．6．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．7．若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是________；当半径最大时，圆的方程为________________．8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______________．9．(2018年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．10．已知在直角坐标系xOy 中，A (4,0)，B ⎝⎛⎭⎫0，32，若点P 满足OP ＝1，P A 的中点为M ，则BM 的最大值为__________．11．(2014年新课标Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为点M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积．12．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．第3讲 圆的方程 1．A 解析：∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a )2＋(1＋a )2<4，∴－1<a <1.2．A 解析：将x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0转化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝32，x 2＋y 2的最大值是圆心到坐标原点的距离加半径，即(－2)2＋12＋3＝5＋3.故选A.3．B 解析：圆C 的方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，∴当k ＝0时圆C 的面积最大．故圆心C 的坐标为(0，－1)．4．B 解析：方法一，由(x －3)2＋(y －4)2＝1，知圆上点P (x 0，y 0)可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3＋cos θ，y 0＝4＋sin θ. ∵∠APB ＝90°，即AP →·BP →＝0，∴(x 0＋m )(x 0－m )＋y 20＝0，∴m 2＝x 20＋y 20＝26＋6cos θ＋8sin θ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝34， ∴0<m ≤6，即m 的最大值为6.故选B.方法二，∵在Rt △APB 中，原点O 为斜边中点，|AB |＝2m (m >0)，∴m ＝|OP |≤|OC |＋r ，C (3,4)，r ＝1，∴|OP |≤6，即m ≤6.故选B.方法三，根据题意，画出示意图，如图D178所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，∵∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m . ∵|OC |＝32＋42＝5，∴|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.图D178 图D1795．(x ＋1)2＋(y －3)2＝1 解析：如图D179，圆心C 的坐标设为(－1，b )，显然半径r ＝1，又∠F AC ＝120°，则∠F AO ＝30°.又OF ＝1，则OA ＝b ＝ 3.∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.6．(－2，－4) 5 解析：由题意，得a 2＝a ＋2，∴a ＝－1或2.当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5；当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54，不表示圆． 7．2＜m ＜4 (x －1)2＋(y ＋3)2＝1 解析：∵原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m )2＝－m 2＋6m－8，∴r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)＞0，∴2＜m ＜4.当m ＝3时，r 最大为1，圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1.8．(x －1)2＋y 2＝2 解析：∵直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，∴圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，∴半径最大时的半径r ＝2，∴半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.9．3 解析：设A (a,2a )(a >0)，则由圆心C 为AB 的中点，得C ⎝⎛⎭⎫a ＋52，a ，易得⊙C ：(x－5)(x －a )＋y (y －2a )＝0，与y ＝2x 联立解得点D 的横坐标x D ＝1，∴D (1,2)．∴AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝⎝⎛⎭⎫1－a ＋52，2－a .由AB →·CD →＝0，得(5－a )⎝⎛⎭⎫1－a ＋52＋(－2a )(2－a )＝0，a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.∵a >0，∴a ＝3.∴A 的横坐标为3.10．3 解析：由图D180和A (4,0)，B ⎝⎛⎭⎫0，32，OP ＝1，则P 点轨迹为x 2＋y 2＝1，设M (x ，y )，则P (2x －4,2y )⇒(2x －4)2＋(2y )2＝1⇒(x －2)2＋y 2＝14，M 的轨迹为圆D (2,0)，半径为12，故BM 的最大值为|BD |＋12＝52＋12＝3.图D18011．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，∴圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，∴M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)知，M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故点O 在线段PM 的垂直平分线上．又点P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .∵ON 的斜率为3，∴直线l 的斜率为－13. 故直线l 的方程为y ＝－13x ＋83，即x ＋3y －8＝0. 则点O 到直线l 的距离为d ＝|－8|12＋32＝4105. 又点N 到直线l 的距离为|1×1＋3×3－8|10＝105， 则|PM |＝2 2－⎝⎛⎭⎫1052＝4105. ∴S △POM ＝12×4105×4105＝165. 12．解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴的交点是(0，b )，令f (x )＝x 2＋2x ＋b ＝0，由题意，得b ≠0，且Δ＞0，解得b ＜1，且b ≠0.∴b 的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)．(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，且x 2＋Dx ＋F ＝0与x 2＋2x ＋b ＝0，是同一个方程，故D ＝2，F ＝b .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入，得出E ＝－b －1.∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C必过定点(0,1)和(－2,1)．证明如下：将(0,1)代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0. ∴圆C必过定点(0,1)．同理可证圆C必过定点(－2,1)．。