同济大学高等数学第七版1-7无穷小的比较

无穷小的比较1.7.1无穷小比较的概念根据无穷小的运算性质，两个无穷小的和、差、积仍是无穷小，但两个无穷小的商却会出现不同的情况，例如，（1）21123lim 221-=-+-→x x x x （非零常数）；（2）01)1(lim 221=--→x x x ； （3）∞=-+-→221)1(23lim x x x x ；（4）xx x x x x 1sin lim 1sinlim00→→=（极限不存在，但不为∞）。

注：上述例（1）、（2）、（3）的详解见本章第五节。

针对两个无穷小的商出现的不同情况，有如下定义：定义1.6.1 设α、β是自变量同一变化过程中的两个无穷小，且0≠α （1）若0lim=αβ，则称β是比α高阶的无穷小，相应地，称α是比β低阶的无穷小，记作)(αβo =；（2）若C =αβlim（C 为非零常数），则称β与α是同阶无穷小；特别的，若1lim =αβ，则称β与α是等价无穷小，记作αβ~；注：根据此定义，可以认为当αβlim 不存在且不为∞时，表示两个无穷小不能进行比较。

思考：若∞=αβlim，则β与α是什么关系？ 根据该定义及上述前三例的结果，可知，当1→x 时，232+-x x 与12-x 是同阶的无穷小，232+-x x 是比2)1(-x 低阶的无穷小，2)1(-x 是比12-x 高阶的无穷小。

又如，因为1sin lim0=→x xx ，故当0→x 时，x sin 与x 是等价无穷小；因为21cos 1lim 20=-→xx x ，故当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小。

【例1】当1→x 时，将无穷小量233+-x x 与1-x 进行比较。

解：因为1)2()1(lim 123lim 2131-+-=-+-→→x x x x x x x x 0)2)(1(lim 1=+-=→x x x所以，当1→x 时，无穷小量233+-x x 是1-x 的高阶无穷小。

1.7.2常用等价无穷小根据等价无穷小的定义以及前面各节例题，可归纳出下列常用等价无穷小： 当0→x 时x x ~sin x x ~tan x x ~arcsinx x ~arctan 221~cos 1x x -下面再举几个常用等价无穷小的例子。

则称函数 f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大,
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
lim f ( x) (或 lim f ( x) )
x x0 ( x)
x x0 ( x)
lim 1 , 函数 1 是当x 0时的无穷大.
例如, n 时, 1 是无穷小， n
但n个 1 之和为1不是无穷小. n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证 设函数u在U 0 ( x0 , )内有界， 则M 0, 1 0,使得当0 x x0 1时 恒有u M.
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
又设是当x x0时的无穷小,
0, 2
0,使得当0
x
x0
时
2
恒有 . M
取 min{1 ,2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M ,
M 当x x0时, u 为无穷小.
有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
恒有 f (x)
1,
即
1 f (x)
.
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0. x x0
M 0, 0,使得当0 x x0 时
恒有 f (x) 1 , M
由于 f ( x) 0, 从而 1 M . f (x)
当x
x0时,
M.
无界
(2)
取
xn

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim x g x f 且lx g x f )()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以 f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以 f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1-cos x ~ 2/2^x ，xe -1 ~ x ，)1ln(x ~ x ，1)1(x ~ x二．求极限的方法1．两个准则准则 1.单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤h (x )若A x h A x g )(lim ,)(lim ，则Ax f )(lim 2．两个重要公式公式11sin limx x x公式2ex xx /10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332n n nnnxxo n xx x xxx o n x x x x e)(!2)1(...!4!21cos 2242nnnx o n xxxx )()1(...32)1ln(132nnn x o n xxxxx )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2nnx o xn n xx x )(12)1( (5)3arctan 1212153n n n xo n xxxxx 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0x f x x，0)(lim 0x F x x；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(limx F x f xx 存在时，)()(limx F x f xx 也存在且等于)()(limx F x f xx ；当)()(limx F x f x x为无穷大时，)()(limx F x f xx 也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L ospital ）法则.型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）)(lim 0x f xx ，)(lim 0x F xx ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x时未定式型的洛必达法则，对于x 时未定式型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“”型才能运用该法则；)()(lim)()(limx F x f x F x f x xx x)()(lim)()(lim 0x F x f x F x f x xxx（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0'00x f xx f x x f x (如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式11)()(1limdx x f n kf nnk n（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x)的间断点。

推论：如果函数f ( x) 在闭区间[ a,b] 上连续，且f ( a) 与f ( b) 异号，则在( a,b) 内至少存在一个点ξ ，使得f ( ξ ) = 0这个推论也称为零点定理
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第二章 导数与微分 一．基本概念
1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。
∈[ a,b] ，有公式
，
, 称为拉格朗日余项 上面展开式称为以0(x) 为中心的n 阶泰勒公式。当 x0 =0 时，也称为n阶麦克劳林
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公式。 常用公式( 前8个)
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五．导数的应用
一．基本知识 设函数f ( x) 在 x0 处可导，且 x0 为f ( x) 的一个极值点，则 f '(x0) 0 。 我们称x 满足 f '(x0) 0 的 x0 称为 f (x) 的驻点，可导函数的极值点一定是驻点， 反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
二．求导公式
三．常见求导
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1. 复合函数运算法则 2. 由参数方程确定函数的运算法则
设x =( t) ，y =(t) 确定函数y = y( x) ，其中'(t),'(t) 存在，且'(t) ≠ 0，则 dy '(t)
dx '(t) 3. 反函数求导法则 设y = f ( x) 的反函数x = g( y) ，两者皆可导，且f ′( x) ≠ 0 则 g'( y) 1 1 ( f '(x) 0)
2. 第二充分条件
f (x) 在 x0 处二阶可导，且 f (x0) 0 ，f (x0 ) 0 ，则①若 f (x0 ) 0 ， 则 x0 为极大值点；②若 f (x0 ) 0 ，则 x0 为极小值点.